CN103049593A

CN103049593A - 一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法

Info

Publication number: CN103049593A
Application number: CN2012103739726A
Authority: CN
Inventors: 李英明; 姜华; 曹凤莲
Original assignee: 李英明
Priority date: 2012-10-05
Filing date: 2012-10-05
Publication date: 2013-04-17

Abstract

本发明公开了一种求两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，该方法主要对给定的两条参数曲线，证明了两条曲线间的Hausdorff距离一定会在这两条曲线的偏导曲线的交点上达到，然后通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置，通过求两个三次曲线的近似的Hausdorff距离和两条空间四次Bézier曲线P(s)以及Q(t)Hausdorff距离的计算验证了本方法的效率与准确性，本发明通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置，大大减少了计算时间，提高了算法效率。

Description

一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法

本发明涉及计算机辅助设计领域和模式识别领域，特别涉及一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法。

背景技术

随着计算机辅助设计越来越多的应用到产品设计中，计算机辅助设计技术的发展也带来了新的需求，曲线间的匹配程度和度量通常采用Hausdorff距离，然而，Hausdorff距离的计算却相当困难，并且通常相当费时，它的研究也只局限在某些特定的场合下。目前的研究有对两条平面曲线的Hausdorff距离；圆锥曲线与参数有理Bézier曲线间近似Hausdorff误差的方法，两条二维或三维空间中曲线间近似Hausdorff距离的算法的研究却很少。为了提高Hausdorff距离的计算效率，减少计算时间，研究计算两条二维或三维空间中曲线间近似Hausdorff距离的方法具有重要的意义。

Hausdorff距离定义如下：

给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t ₀ ≤t≤t ₁ ，假设两条参数曲线的末端端点重合，即： P _s (s)≠0，Q _t (t)≠0，P(s0)= Q(t ₀ )且P(s ₁ )= Q(t ₁ )

则这两条曲线间的Hausdorff距离定义如下：

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，算法效率高，速度快，计算精度可控，满足实用要求。

一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，其实施步骤如下：

第一步证明了两条曲线间的Hausdorff距离一定会在这两条曲线的偏导曲线的交点上达到

1）Hausdorff距离的定义及几何意义

给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t ₀ ≤t≤t ₁，假设两条参数曲线的末端端点重合，即：

P _s (s)≠0，Q _t (t)≠0，P(s ₀ )= Q(t ₀ )且P(s ₁ )= Q(t ₁ )

则这两条曲线间的Hausdorff距离如下：

. (1)

为了计算它们之间的Hausdorff距离，定义一个两条曲线间距离函数的平方项的映射

让

，假设

所以是函数

的一个局部极值点，即,对于任意s,s ₀ ≤s≤s ₁，可以得到在s-t平面内的一条曲线f _t (s,t)=0，这条曲线上的任一点

满足：

另一条曲线f _s (s,t)=0上的任一点

使得：

两条曲线f _s (s,t)=0以及f _t (s,t)=0的几何意义，即：

,

对于两条正则参数曲线P(s)以及Q(t)，有两个原因使得

f _s(s,t)=0，即：

(1) P(s)=Q(t),即两条曲线相交,

(2) P _s(s)垂直于P(s)- Q(t)。

类似地，同样有两点使得f _t(s,t)=0，即：

(1) P(s)=Q(t)，两条曲线相交,

(2) Q _t(t)垂直于P(s)- Q(t)。

定义引理1简化Hausdorff距离的计算。

引理1 两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线f _s(s,t)=0和f _t(s,t)=0间的交点求出，即：

证明：等式f _s(s,t)=0隐式定义了s-t平面上的一条曲线。假设这条曲线的显式表达式为：

约束上述方程，即f(s,t)，在上述曲线f _s (s, t)=0上，可以得到单变量t的函数，也就是f(s(t),t)，t ₀ ≤t≤t ₁ ，固定

, 使

由于在两个端点，有f(s(t ₀),t ₀)= f(s(t ₁),t ₁)=0，以及f(s,t≥0),0,(s,t∈[s ₀ ,s ₁ ]×[t ₀ ,t ₁ ]),所以函数f(s(t),t)的最大值点必然出现在其局部极值点，即

因为函数f(s,t)限制在曲线f _s(s,t)=0上，可以得到：

这意味着可以在两条曲线f _s(s,t)=0以及f _t(s,t)=0的交点处达到。

相似地，可以证明可以在f _s(s,t)=0以及f _t(s,t)=0的交点处达到。

因此，上述定义是正确的，见附图2所示

（2）第二步通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置。

在通常情况下，他们的形状非常复杂，所以他们的交点也同样非常复杂。但大多数情况下两条曲线P(s)以及Q(t)都满足一条简单的性质，而这条性质使得f _s(s, t) =0与f _t(s, t)=0的求交运算变得较为容易。这种性质可表示成如下:

引理2 (1)穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向Q′(t)的直线，如果其与曲线P(s)仅相交于唯一点，那么在区域[s ₀ ,s ₁]×[t ₀ ,t ₁]，存在曲线f _t(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s ₀ , t ₀)以及(s ₁ , t ₁)。

(2)穿过任意点P(s)并且垂直于该点的切向P′(s)的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域[s ₀ ,s ₁]× [t ₀ ,t ₁]，存在曲线f _s(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s ₀ ,t ₀ )以及(s ₁ ,t ₁ )。

证明：这里仅证明(1)，(2)的证明与(1)是完全相似的。引理中的条件，即穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向Q′(t)的，且与曲线P(s)仅相交于唯一点的直线，意味着，对于任意直线t=t _a ,t _a∈[t ₀ ,t ₁]与曲线f _t(s,t)=0,(s,t)∈[s ₀ ,s ₁]×[t ₀ ,t ₁]相交于唯一点。另一方面，因为P(s ₀)=Q(t ₀)以及P(s ₁ )=Q(t ₁ )，f _t(s ₀,t ₀)=f _t(s ₁ ,t ₁)=0，也就是，点(s ₀ ,t ₀)和(s ₁ ,t ₁)均落在曲线f _t(s,t)=0上。

利用反证法证明曲线f _t(s, t) = 0在分支为连续的。

假设曲线f _t(s, t) = 0,（s,t）

[s ₀ ,s ₁]×[t ₀ ,t ₁]在上述定义域中非连续。非连续性会导致两种情况，或者直线t = t _a与曲线f _t(s,t)=0无交点（见附图3（a）），或者两者之间多于一个相交点（见附图3（b）、（c））。第一种情况意味着穿过点Q(t _a)且垂直于与该点的切向Q′(t _a)的直线，与曲线P(s)无交点。第二种情况则意味着直线将会与曲线P(s)有多于一个交点。两种情况都将导致矛盾的产生。所以假设不成立，即曲线的连续性得到证明。

然后，假设曲线f _t (s, t)=0在[s ₀ ,s ₁]×[t ₀ ,t ₁]分支是自交的。（见附图3（d））这种自相交的情况会使得穿过点Q(t _a )且垂直于该点切向Q′(t _a )的直线，与曲线P(s)有多于一个交点。这同样会导致矛盾。

因此，在区域[s ₀ ,s ₁]×[t ₀ ,t ₁]，存在一个连接点(s ₀ , t ₀)与点(s ₁ , t ₁)的曲线f _t(s, t)=0的非自交连续分支。

根据引理1，两条曲线P(s)与Q(t)间的Hausdorff距离可以在曲线l ₁ : f _s (s, t)=0与l ₂ : f _t (s, t) =0的交点处达到。如果两条曲线P(s)与Q(t)满足引理2的条件，则存在l ₁与l ₂在(s ₀ , t ₀ )以及(s ₁ , t ₁ )上的非自交连续分支，因此，l ₁与l ₂的交点可通过追踪它们其中的一条计算求得。

（3）第三步需要分析这种近似估算Hausdorff距离的精确程度

假设近似的Hausdorff距离出现在点A=(s _a ,t _a)处，而真实的Hausdorff距离出现在点B=(s _b ,t _b)处，连接这两点间的线段被记为L，即：

假设线段L的长度为h，根据中值定理，

其中ξ∈[0,1]，输入的追踪步长ε可被认为例子中的h，用于估计近似Hausdorff距离的精确程度。

第四步通过计算平面及空间上两条曲线的Hausdorff距离验证了本发明的效率与准确性。

（1）计算两个平面Bézier曲线P(s)以及Q(t)间的Hausdorff距离（见附图4）。两个平面三次Bézier曲线的控制顶点如下：

P(t) : (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 0);

Q(s) : (0, 0), (1, 2), (2, 2), (3, 0);

通过算法1，可以得到这两条三次曲线的近似的Hausdorff距离，也就是0.75，在曲线P(s)上点(1.5, 0.75)，与曲线Q(t)上点(1.5, 1.5)之间。这个例子的计算时间为0.1749秒。

（2）要处理两条空间四次Bézier曲线P(s)以及Q(t) （见附图5）。其控制顶点如下：

P(s): (0, 0, 0), (1, 1, -1), (2, 1, 1), (3, -1, -1), (4, 0, 0);

Q(t): (0,0,0), (1,0.5, -0,5), (1.5, -0.5, 0.5), (3, -1, -0.5), (4, 0, 0).

两条曲线间的近似Hausdorff距离是0.7141，对应于曲线P(s)上的点(1.6818, -0.2614, -0.0641)，以及曲线Q(t)上的点(2.000, 0.3750, -0.1250)。在这个例子中，本发明需要的时间为0.1969秒。

本发明具有下述优点：

1、定义并验证了两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线f _s (s, t) = 0 和f _t (s, t) = 0间的交点求出。

2、通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置，简化了求Hausdorff距离的方法，提高了算法的效率。

附图说明

图1为本发明实施例的基本流程示意图。

图2为本发明Hausdorff距离示意图。

图3为本发明实施例的曲线不连续性与自交示意图；

图3(a)为本发明实施例的直线t = t _a与曲线f _t (s, t) = 0没有交点示意图；

图3(b)为本发明实施例的直线t = t _a与曲线f _t (s, t) = 0有一个交点示意图；

图3(c)为本发明实施例的直线t = t _a与曲线f _t (s, t) = 0示意图;

图3(d)为本发明实施例的曲线f _t (s, t) = 0自相交, 有两个交点示意图。

图4为本发明实施例的计算两条平面三次Bézier曲线间的Hausdorff距离示意图；

图4(a)为本发明实施例的两条平面曲线P(s),Q(t)以及它们之间Hausdorff距离示意图;

图4(b)为本发明实施例的两条导矢曲线f _s(s, t) = 0以及f _t(s, t) = 0(蓝色)，一条追踪曲线(红色)，以及它们之间的交点(标记处)示意图。

图5为本发明实施例的计算两条空间四次Bézier曲线间的Hausdroff距离示意图。

图5(a)为本发明实施例的计算两条空间曲线P(s),Q(t)以及它们的近似Hausdroff距离示意图；

图5(b)为本发明实施例的两条导矢曲线f _s(s, t) = 0以及f _t(s, t) = 0 (蓝色)，一条追踪曲线(红色)，以及它们间的交点(标记)示意图。

具体实施方式

如图1所示，本实施实施步骤如下：

1）给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t ₀ ≤t≤t ₁，假设两条参数曲线的末端端点重合，即：

则这两条曲线间的Hausdorff距离定义如下：

2）研究两条曲线f _s (s,t)=0以及f _t (s,t)=0的几何意义，即：

,

3）证明两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线f _s(s,t)=0和f _t(s,t)=0间的交点求出，即：

4）进一步简化运算，得出引理2 (1)穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向Q′(t)的直线，如果其与曲线P(s)仅相交于唯一点，那么在区域[s ₀ ,s ₁]×[t ₀ ,t ₁]，存在曲线f _t(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s ₀ , t ₀)以及(s ₁ , t ₁)。

5）根据引理1，两条曲线P(s)与Q(t)间的Hausdorff距离可以在曲线l ₁ : f _s (s, t)=0与l ₂ : f _t (s, t) =0的交点处达到。如果两条曲线P(s)与Q(t)满足引理2的条件，则存在l ₁与l ₂在(s ₀ , t ₀ )以及(s ₁ , t ₁ )上的非自交连续分支，因此，l ₁与l ₂的交点可通过追踪它们其中的一条计算求得。

6）通过追踪l ₁，会生成一个点集序列。在这个序列中的每对相邻点都被用来代替f _t (s, t)，然后检查它们的符号变化。如果在相邻点P ₁以及P ₂处发生了符号变化，那么在它们之间(参照图4(b) ,5(b))一定存在着交点。

7）测试函数f _s ² (s,t)+ f _t ² (s,t)在三点P ₁,

, 以及P ₂ 的取值，选择三者之一作为交点，在该点处函数f _s ² (s,t)+ f _t ² (s,t)取最小值，将这些交点代入f(s, t)，最大值可被认为近似的Hausdorff距离。