CN104318594B - 一种平面向量场的四边形网格化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种平面向量场的四边形网格化方法，其主要步骤为：输入一个平面向量场F，确定对F进行网格化处理的平面区域Ω，以及一组过程控制参数；对覆盖区域Ω的扩展矩形包围盒进行栅格化处理；根据流场及控制参数，分别生成向量场F及其正交对偶向量场G的流线集合；求出各栅格单元中F的流线与G的流线的交点，并将所得到的交点分别插入到相关流线上的相应位置；提取由交点和流线交织成的平面网格的面片；对网格中的非四边形网格面片进行剖分，生成四边形单元占优的网格；通过网格细分产生平面四边形网格。本发明能够实现任意平面向量场的四边形网格化，其原理简单，易于实现，能够自动生成面片大小较为均匀的四边形网格。

Description

一种平面向量场的四边形网格化方法

技术领域

本发明公开一种平面向量场的四边形网格化方法，相关内容属于计算机图形技术领域，内容涉及数字化流场的可视化方法，尤其涉及一种平面向量场的四边形网格化方法。

背景技术

目前，与本发明相关的技术主要有两方面：

(1)图像的网格化技术：随着图像处理技术的发展，很多数字图像处理算法需要将图像转化为三角网格进行后继处理。现有技术公开了几种图像的三角网格表示方法。如DDTs(数据依赖三角形剖分)方法(参见：P.Li等，A tuned mesh-generation strategy forimage representation based on data-dependent triangulation,IEEE Transactionon Image Processing,2013,22(5):2004-2018)，该方法根据一个能够隐式侦测图像边缘细节的成本函数来产生一组三角形来剖分图像，在后继处理中利用这组三角形来替换原输入图像。该技术针对规则图像而非平面向量场进行网格化，最终输出的结果为三角形平面网格而非四边形平面网格。

(2)几何模型网格化技术：利用扫描设备可以获得表示物体表面形状的采样点数据(点云)，根据这些数据对曲面进行重构，能够重建描述物体形状的数字化几何模型。目前，已有多种曲面重构方法。如Mencl重构方法(参见：R.Mencl等，a graph-based approachto surface reconstruction,Computer Graphics Forum,1995,14(3):467-468)，该方法是一种基于面片生成过程的方法，通过计算点云的欧几里得最小生成树，得到一个曲面描述图，然后在曲面描述图的基础上，通过填充三角形得到重构曲面网格。该技术最终用三角形面片而非四边形面片来逼近物体的形状。

目前，尚未见到针对平面向量场进行四边形网格化处理的文献。

发明内容

本发明给出一种平面向量场的四边形网格化方法，该方法可根据一组控制参数自动生成不同密度且分布均匀的流线，进而生成面片大小较为均匀的平面四边形网格。

为了叙述方便，对相关的概念、符号做如下说明：

1.平面向量场F＝f(x,y)及对F进行网格化处理范围─—平面区域Ω。对于任意一点p＝(x,y)∈Ω，可由F＝f(x,y)得到p点处的向量场值f(p)。

2.网格生成过程的相关控制参数：

步长参数h：在生成流线的过程中，用于控制流线每次向前行进的距离；

密度控制参数d_s：用于控制两条相邻流线之间的最近距离；

终止控制参数d_e：用于判定一条流线的生长过程是否终止。

本发明公开一种平面向量场的四边形网格化方法，其步骤如下：

1.输入平面向量场及网格化控制参数：输入给定的平面向量场F＝f(x,y)，以及对向量场F进行网格化处理的平面区域Ω；确定网格化控制参数：平面向量场流线的生长步长参数h、流线的密度控制参数d_s、终止单条流线生长的控制参数d_e等，并使h＞d_e；

求区域Ω的各边均平行于坐标轴的矩形包围盒Θ，并适当放大Θ，记之为Σ；

2.建立平面矩形区域Σ的栅格剖分结构：沿X轴和Y轴方向分别等分Σ，在区域Σ内形成栅格结构，将平面矩形区域Σ分割成具有m×n个栅格单元的栅格结构；

3.生成向量场F的流线：任选一采样点s₀(x,y)∈Ω，计算其场值f(s₀)，从s₀沿f(s₀)方向前进h距离，得到采样点s₁；计算s₁的场值f(s₁)，从s₁沿f(s₁)方向前进h距离，得到新采样点s₂的位置，……，如此重复，直到或者其与已有采样点的最小距离小于或者等于d_e为止；

返回到s₀，并沿f(s₀)的反方向-f(s₀)前进h距离，得到新点s_-1的位置，……，如此重复，直到或者其与已有采样点的最小距离小于或者等于d_e为止；

最后，将有序采样点列…,s_-2,s_-1,s₀,s₁,s₂,…所定义的折线视为流线，并将该采样点列放入到F的流线集合中，将各采样点s_i及相应流线均记入所对应的各栅格结构单元中，同时将s_i放入备选点序列A中；

若备选点序列A非空，则从A中摘除一点p，以p为起点，在与p的场值f(p)正交的方向上取与p距离为d_s的新的起始点p₁,p₂；判断是否满足p₁∈Ω且p₁与已有采样点的最小距离大于d_e，若满足条件，则以该点为初始点生成流线，对于点p₂进行同样的操作；

重复摘除A中的点，产生新的流线，直到A为空为止；

4.生成F的正交对偶向量场G的流线：定义F的正交对偶向量场G＝g(x,y)，采用与步骤3相同的方法生成G的流线，并将每一条流线的有序采样点列存入向量场G的流线集合中，同时将采样点及相应流线均记入该采样点所对应的各栅格结构单元中；

5.计算F的流线与G的流线的交点：对每个栅格单元C，从其内已注册的F的流线l^F上任选两个相继的点p_i,p_i+1(其中至少有一个点在该单元内)，从其内已注册的G的流线l^G上任选两个相继的点q_j,q_j+1(其中至少有一个点在该单元内)，判断线段p_ip_i+1与线段q_jq_j+1是否有 交点；若有交点，则将交点分别插入到l^F和l^G上的相应位置处；

6.提取四边形占优网格的顶点和边：删除各条流线上的采样点，换之于用流线上的交点来表示各条流线，并删除少于两个交点的退化流线及与之相关的交点；将F的所有流线上的交点放入顶点集合中；将F和G的每条流线上的任意两个相继交点所定义的线段，作为备选边，放入备选边集合中；

7.生成四边形占优网格的面片：遍历备选边集合中的各边，识别由F和G的各条流线交织而成的网格结构中的多边形面片，其具体步骤为：

7.1首先确定以下A)或B)之一作为面片提取过程中的边搜索“前进规则”：

A)“向左转”最优先，“直行”次优先，“向右转”最不优先；

B)“向右转”最优先，“直行”次优先，“向左转”最不优先；

7.2为备选边集合中的所有边设置一个计数变量，并将各计数变量的值初始化为0；

7.3遍历备选边集中的每条边e，并执行如下判断与操作：

1)若e的计数为2，则不处理该边；

2)若e的计数小于2，则使之增1，并设该边的顶点(即交点)分别为p₁和p₂；这时欲提取面片的第一条边是由点p₁到达点p₂的边；而后根据“前进规则”所约定的顺序判断由点p₂“向左转”到达点p₄，还是“直行”到达点p₃，或是“向右转”到达点p₅；在依据“前进规则”依次判定前进方向的过程中，若往最优先方向前进的交点不存在，则向次优先方向前进，若次优先方向的交点也不存在，则向最不优先方向前进；

3)设上述前进过程到达的新交点为p，把新边p₂p视为上述边e，重复上面的前进过程，直至所经历的顶点再次出现点p₁为止；这时，用所经历的顶点序列定义一个平面简单多边形区域，其即为所要提取的多边形面片；

当面片被提取后，判断其是否为非四边形网格面片；若是非四边形网格面片，则对其进行四边形化剖分处理，生成以四边形网格面为主的平面网格，称之为四边形占优网格；

8.生成二维向量场的平面四边形网格：对于四边形占优网格的每条边，计算出它的中点；对于每个面片，计算其重心，并将该重心与其各边中点相连接，生成平面四边形网格。

本发明方法具有如下优点：

1.在绘制流线的过程中，通过参数来控制流线的密度，可以生成较为均匀的流线，由此生成的四边形网格面的大小也较为均匀。

2.在流线生长过程中，判断一个采样点是否有效时，只需查找与当前采样点所在的栅格 单元相邻的单元中的采样点，进而计算这些采样点与当前采样点之间的距离。可以减少计算量，提高算法的效率。

3.具有自适应性，用户只需输入适当参数的值，就可以生成不同密度的网格。

4.本发明能够实现任意平面向量场的四边形网格化，其原理简单，易于实现，能够自动生成面片大小较为均匀的四边形网格。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为向量场进行网格化处理的平面区域：a图为不规则区域及其包围盒，b图为任意摆放的矩形及其包围盒，c图为各边平行于坐标轴向的矩形及其包围盒；

图3为栅格单元的标记方法；

图4为以S₀为初始点生成的一条流线；

图5为两个新的初始点；

图6a和图6b分别为F和G的流线；

图7为不同密度的F和G的流线，a图中，d_s＝0.015；b图中，d_s＝0.02；c图中，d_s＝0.03；

图8为F的流线和G的流线的交点；

图9为以p₂为端点的四条边；

图10为四边形占优平面网格的一个多边形面片；

图11为一个多边形面片的剖分过程；

图12为剖分处理后得到的四边形占优的平面网格；

图13为四边形占优平面网格的细分过程。

具体实施方式

为了更清楚地阐明本发明的技术方案，下面结合具体的实施例和相关附图，对本发明的技术细节进行详细说明。

本实施例涉及的主要数据结构为：

1.有序采样点双向链表L：存储用于定义一条流场流线的有序采样点序列：…,s_-2,s_-1,s₀,s₁,s₂,…。

2.流线集合L^F和L^G：分别用于存储向量场F及其正交对偶向量场G的流线，即L^F或L^G中的元素均为不同长度的双向链表L。

3.备选点队列A：用于存储当前已有流线的某些采样点，这些采样点可潜在地用于生成下一条新流线。

4.顶点集合V：用于存储潜在四边形网格的顶点。

5.边集合E：用于存储潜在四边形网格的边(备选边)。

6.面片集合S_f：用于存储潜在四边形网格的面。

本实施例的具体步骤(参见附图1)如下：

1.输入平面向量场及网格化控制参数

输入给定的平面向量场F＝f(x,y)，以及对向量场F进行网格化处理的平面区域Ω；输入网格化控制参数：平面向量场流线的生长步长h、流线的密度控制参数d_s、终止单条流线生长的控制参数d_e等。本实施例中，取参数h＝0.05、d_s＝0.02、d_e＝0.01。

求区域Ω的各边均平行于坐标轴的矩形包围盒Θ。不同平面区域的包围盒如附图2所示。本实施例中，取平面区域为Ω＝[x₀,y₀]×[x₁,y₁](x₀＜x₁,y₀＜y₁)，显然其包围为其自身，即Θ＝Ω＝[x₀,y₀]×[x₁,y₁]。

保持包围盒Θ的中心不变，按X轴和Y轴正负方向少许放大Θ，放大后的包围盒记为Σ＝[x₀-Δ,y₀-Δ]×[x₁+Δ,y₁+Δ]。本实例中，取Δ为Θ最大边长的1/100。

2.建立平面矩形区域Σ的栅格剖分结构

沿X轴和Y轴方向分别等分平面区域Σ，形成大小为m×n的栅格结构，其将区域Σ剖分为一系列小的矩形栅格单元，其中每个栅格单元的大小均为Δx×Δy。

分别沿X轴和Y轴对栅格单元进行编号，每个栅格单元均由两个序号表示，如：X轴方向第i个、Y轴方向第j个单元可表示为C_ij(参见附图3)。

对于平面上的任意一点(x,y)，由下式

可确定它位于栅格单元C_ab内，其中为截断操作，如

3.生成向量场F的流线

取任意一点s∈Ω，并称s为起始点(种子点)，同时记s₀＝s。计算向量场在s₀处的场值f(s₀)，从s₀沿f(s₀)方向前进h距离，得到新点s₁；再计算向量场在s₁处的场值f(s₁)，从s₁沿f(s₁)方向前进h距离，得到新点s₂；……，如此重复。称此过程为流线生长。

在上述流线生长的过程中，每前进一步均要做如下判断：

1)如果新点“跑”出了区域Ω，则停止流线生长；

2)如果当前产生的新点与种子点或其它已有新点的距离小于d_e，也停止流线生长。

然后，再回到种子点s＝s₀处，从s₀沿f(s₀)的负方向前进h距离，得到新点s_-1；再计算向量场在s_-1处的场值f(s_-1)，从s_-1沿f(s_-1)负方向前进h距离，得到新点s_-2，……。流线生长过程中，采用与前述相同的方法判断生成过程是否停止。

上述得到的…,s_-2,s_-1,s₀,s₁,s₂,…，以折线形式定义了一条流线(参见附图4)，将这个有序点列存入到向量场F＝f(x,y)的流线列表L^F中；同时，运用式(1)判断点列中的各个点分别属于哪个栅格结构单元，并将各点注册到其所在的栅格结构单元中，同时将该流线也分别一并注册到各点所在的各栅格结构单元中；并且将所有的新点添加到“备选点队列”A中。

如果“备选点队列”A非空，则从中摘除一个点，记为p。计算场值f(p)，并选取p处与f(p)正交的两个方向上与点p相距d_s的两个点p₁、p₂为新的种子点(参见附图5)。若p₁或者p₂在Ω内且与已有点的距离大于d_e，则重复前述流线生长过程，产生新的流线，并将新流线上的新点加入到A队列中。

重复摘除A中的点，产生新流线，直至A队伍为空为止。附图6(a)为F的流线示意图。

4.生成向量场F的正交对偶向量场G的流线

定义F的正交对偶向量场G＝g(x,y)为：对任意一点p(x,y)∈Ω，可知F在p处的场值为f(p)＝(a,b)，则取在p处与f(p)正交的向量值为g(p)＝(-b,a)。

采取与步骤3相同的方法生成G的流线，并将每一条流线的有序点列存入到向量场G的流线列表L^G中，同时将各点注册到其所在的栅格结构单元中，将该流线也分别一并注册到各点所在的各栅格结构单元中。附图6(b)为G的流线示意图。附图7为不同密度的F和G的流线情况。

5.计算F的流线与G的流线的交点

对每个栅格单元C，首先从其内已注册的F的流线l^F上任选两个相继的点p_i,p_i+1(其中至少有一个点在该单元内)，从其内已注册的G的流线l^G上任选两个相继的点q_j,q_j+1(其中至少有一个点在该单元内)。然后，判断线段p_ip_i+1与线段q_jq_j+1是否有交点。若有交点，则根据两线段所在的直线方程求出交点c。最后，将交点c分别有序地插入到流线l^F和l^G中，即流线l^F由p₀,p₁,…,p_i,p_i+1,…,p_m变为p₀,p₁,...,p_i,c,p_i+1,...,p_m，流线l^G由q₀,q₁,...,q_j,q_j+1,...,q_n变为q₀,q₁,...,q_j,c,q_j+1,…,q_n。附图8为求得交点情况的示意图。

6.提取四边形占优网格的顶点和边

1)删除L^F和L^G中的每条流线上的采样点，换之于用流线上的交点来表示每一条流线，并删除少于两个交点的退化流线；将L^F中的所有流线上的交点放入顶点序列V中；

2)对于L^F和L^G中的每条流线c₀,c₁,…,c_m，将该流线上任意两个相继交点c_i,c_i+1所定义的线段，作为备选边，放入备选边序列E中。

7.生成四边形占优网格的面片

根据“一种对偶向量场流线交织网格的多边形面片提取方法”，识别由F和G的各条流线交织而成的网格结构中的多边形面片。

1)本实施例中，将“一种对偶向量场流线交织网格的多边形面片提取方法”中的“A)向左转最优先，直行次优先，向右转最不优先”作为面片提取过程中的边搜索“前进规则”。如附图10所示，假设该图中所有边的计数都小于2。以边p₁p₂作为初始边进行面片提取，将边p₁p₂的计数增加1。这时，欲提取的面片的边由p₁到达p₂；由于p₂的最优先(“向左转”)方向前进的顶点不存在，则向次优先(“直行”)方向前进到达p₃，将边p₂p₃的计数增加1；由于p₃的最优先(“向左转”)方向前进的顶点存在，则“向左转”前进到达p₄，将边p₃p₄的计数增加1；由p₄向最优先(“向左转”)方向前进到达p₅，将边p₄p₅的计数增加1；由于p₅的最优先(“向左转”)方向和次优先(“直行”)方向的顶点都不存在，则沿最不优先(“向右转”)方向前进到达p₆，将边p₅p₆的计数增加1；然后依次“向右转”前进到达p₇，“向左转”前进到达p₈，“向左转”前进到达p₉，“直行”到达p₁₀，……，最后到达p₁，同时将遍历到 的各边的计数增加1。由点序列p₁p₂p₃p₄p₅p₆p₇p₈p₉p₁₀p₁₁p₁₂p₁₃p₁₄定义的平面简单多边形，即为以边p₁p₂作为初始边提取的多边形面片。

2)当面片被提取后，判断其是否为四边形面片。若是四边形面片，则将其放入面片集合S_f中。若是非四边形面片，则在该多边形的任意两个相邻凸角处割下一个四边形，直到未被分割的面为四边形或者三角形为止。最后，将剖分处理后得到的面片放入S_f中。

如附图11a所示，∠abc和∠pab为两个相邻的凸角，连接c,p，得到四边形abcp。按照这种方式，继续进行分割，可得到四边形abcp、defc、ghif、klmj和多边形cfijmnop(参见附图11b)。由于多边形cfijmnop不是三角形或者四边形，需对其继续分割，分割后得到四边形opcn、jmni和多边形cfin(参见附图11c)。由于多边形cfin为四边形，该多边形面片的分割结束。

图12为将非四边形面片进行剖分处理后得到的四边形占优的平面网格。

8.生成二维向量场的平面四边形网格

对于四边形占优网格的每条边，计算出它的中点；对于每个面片，计算其重心，并将其重心与其各边中点相连接，生成平面四边形网格。

如附图13所示，图13a为一个四边形占优平面网格的示意图，图13b为计算出的网格每个面的重心及其每条边的中点，图13c为细分后的平面四边形网格。

Claims (2)

1.一种平面向量场的四边形网格化方法，其特征在于，具体步骤如下：

a.输入平面向量场及网格化控制参数：输入一个平面向量场F、对向量场F进行网格化处理的平面区域Ω、以及网格化控制参数，其中，网格化控制参数包括：平面向量场流线的生长步长参数h、流线的密度控制参数d_s、终止单条流线生长的控制参数d_e，并使h＞d_e；求区域Ω的各边均平行于坐标轴的矩形包围盒，并将其适当放大，记之为Σ；

b.建立平面矩形区域Σ的栅格剖分结构：沿X轴和Y轴方向分别等分Σ，在区域Σ内形成栅格结构；

c.生成向量场F的流线：根据输入的网格化控制参数，对向量场F进行采样，并用有序采样点定义的折线来逼近向量场F的流线；将表示流线的有序采样点列存入向量场F的流线集合中，将各采样点注册到其所在的栅格结构单元中，同时将流线也分别注册到其采样点所在的各栅格结构单元中；

d.生成向量场F的正交对偶向量场G的流线：定义F的正交对偶向量场G；生成G的流线，将流线的有序采样点列存入G的流线集合中，将各采样点注册到其所在的栅格结构单元中，同时将流线也分别注册到其采样点所在的各栅格结构单元中；

e.计算向量场F的流线与向量场G的流线的交点：在每个栅格单元内，判断其内已注册的向量场F的流线和向量场G的流线是否存在交点；若存在交点，则求出该交点，并将其插入到相关流线的相应位置；

f.提取四边形占优网格的顶点和边：删除每条流线上的采样点，换之于用流线上的交点来表示每一条流线，并删除少于两个交点的退化流线及与其相关的交点；将向量场F的所有流线上的交点放入顶点集合中；将向量场F和向量场G的每一条流线上任意两个相继交点所定义的线段，作为备选边，放入备选边集合中；

g.生成四边形占优网格的面片：遍历备选边集合中的各边，识别由向量场F和向量场G的各条流线交织而成的网格结构中的多边形面片；对非四边形网格面进行剖分，生成以四边形面片为主的平面网格，称之为四边形占优网格；

h.生成二维向量场的平面四边形网格：对于四边形占优网格的每条边，计算出它的中点；对于每个面片，计算其重心，并将其重心与其各边中点相连接，生成平面四边形网格。

2.根据权利要求1所述的一种平面向量场的四边形网格化方法，其特征在于，所述步骤g中的四边形占优网格的面片的生成方法包括如下具体步骤：

(1)确定以下A或B之一作为面片提取过程中的边搜索“前进规则”：

A.“向左转”最优先，“直行”次优先，“向右转”最不优先；

B.“向右转”最优先，“直行”次优先，“向左转”最不优先；

(2)为备选边集合中的每条边设置一个计数变量，并将各计数变量的值初始化为0；

(3)遍历备选边集合中的各条边e，并执行如下判断与操作：

1)若e的计数为2，则不处理该边；

2)若e的计数小于2，则使之增1，并设该边的顶点，即交点，分别为p₁和p₂；这时欲提取面片的第一条边为由点p₁到达点p₂的边，而后根据“前进规则”所约定的顺序判断由点p₂“向左转”到达点p₄，还是“直行”到达点p₃，或是“向右转”到达点p₅；在依据“前进规则”依次判定前进方向的过程中，若往最优先方向前进的顶点不存在，则向次优先方向前进，若次优先方向的顶点也不存在，则向最不优先方向前进；

3)设上述前进过程到达的新顶点为p，把新边p₂p视为上述边e，重复上面的前进过程，直至所经历的顶点再次出现点p₁为止；这时，用所经历的顶点序列定义一个平面简单多边形区域，其即为所要提取的多边形面片。