CN104122549A - 基于反卷积的雷达角超分辨成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于反卷积的雷达角超分辨成像方法，将雷达角超分辨成像转化成一个复数域上的卷积反演问题，并通过添加约束条件改变卷积反演问题固有的病态性；同时，将卷积反演问题转化成相应的复数域上约束目标函数的最优解的实现问题；再使用实数域上的向量表示复变量，将复数域上的约束目标函数最优解问题转化成实数域上无约束目标函数最优解的实现问题；最后，使用Lagrange乘子法实现实数域上无约束目标函数最优解，实现扫描雷达角超分辨成像。本发明的方法能够突破天线系统参数对雷达图像分辨率的限制，实现雷达角超分辨成像；成像结果在保持目标幅度、数目、位置信息上具有良好的效果。

Description

基于反卷积的雷达角超分辨成像方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术领域，尤其涉及一种基于反卷积的雷达角超分辨成像方法。

背景技术

雷达作为微波成像领域中的重要工具，具有全天时，全天候工作能力，已被广泛应用于海洋搜救、地形测绘、地质灾害救援等领域。传统的合成孔径雷达(SAR)能够实现侧视及斜前视区域二维高分辨的成像，但是无法实现雷达平台正前视区域成像。这是因为正前视区域的等距离线和等多普勒线平行。为了实现雷达前视区域成像，可使用雷达前视波束扫描的方式。扫描雷达是指雷达波束在方位上均匀或非均匀扫描被探测区域，通过雷达天线波束掠过场景中目标的时间先后关系，对回波信号的处理，获取目标在前视方位向上的散射信息，最终达到对被探测区域的超分辨成像。本发明提出采用方位向实波束扫描的方式实现前视区域方位向高分辨。雷达成像的本质是利用观测到的场景散射信息结合信号处理的方法提高雷达的分辨率，使得分辨单元的尺寸小于被成像的目标尺寸，最终得到目标的细节信息。本发明中提出的方位向信号处理方法正是基于这种思想，通过前视方位向回波信号的卷积反演实现雷达前视区域角超分辨；在处理距离向回波信号时与传统的SAR相同，采用脉冲压缩的方式实现距离向高分辨成像。在文献：Gambardella,Attilio,and MaurizioMigliaccio."On the superresolution of microwave scanning radiometer measurements."Geoscience andRemote Sensing Letters,IEEE5.4(2008):796-800.和Migliaccio,Maurizio,and Attilio Gambardella."Microwave radiometer spatial resolution enhancement."Geoscience and Remote Sensing,IEEE Transactionson43.5(2005):1159-1169.中提出回波信号可等价为发射信号与场景中目标散射系数的卷积结果。因此，卷积反演的方式可实现雷达角超分辨。然而，卷积反演问题本身具有的不适定性，使得该问题的求解具有一定的难度。在文献：Richardson,William Hadley."Bayesian-basediterative method of image restoration."JOSA62.1(1972):55-59.和Lucy,L.B."An iterative technique forthe rectification of observed distributions."The astronomical journal79(1974):745.中提出基于贝叶斯理论下的卷积反演方法，并被广泛应用于光学图像的超分辨。由于光学成像中无需考虑信号的相位信息，如果将光学中卷积反演的方法直接应用到微波成像中，将无法使用微波成像中信号的相位信息会造成角分辨率低，目标幅度信息失真、位置偏移，虚假目标的出现等现象。这些现象都会影响着雷达成像技术在国民经济领域中的应用。

发明内容

本发明的目的是针对背景技术存在的缺陷，提出了一种基于反卷积的雷达角超分辨成像方法。

本发明的技术方案为：一种基于反卷积的雷达角超分辨成像方法，具体包括以下步骤：

步骤一：雷达回波建模，

雷达进行前视扫描时，雷达平台沿X轴正方向运动速度记为V，雷达平台高度记为H，雷达天线沿Y轴方向扫描角速度记为ω，雷达天线波束俯仰角记为θ，发射信号载频记为f_c，雷达平台初始位置记为(0,0,H)，脉冲重复时间记为PRI，场景沿距离向(X轴方向)采样点数记为N_r，成像场景回波方位向(Y轴方向)采样点数记为N_a，t时刻雷达平台与场景中位于(x,y)处目标的距离记为R(x,y,t)，为目标的方位角；雷达发射信号为：

$p\left(\mathrm{\τ}\right)=\mathrm{rect}\left(\frac{\mathrm{\τ}}{T_p}\right)\·\exp \left(\mathrm{j\π}{\mathrm{k\τ}}^2\right)$

其中，rect(·)表示矩形函数，T_p表示发射脉冲时宽，k表示调频斜率，τ表示斜距方向快时间。设雷达波束扫描区域为Ω，回波信号可写成下列二维卷积形式：

$\begin{array}{c}{s}_1(\mathrm{\τ},t)=\underset{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\mathrm{\σ}(x,y)\·{\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j4\mathrm{\π}{f}_c\frac{R(x,y,t)}{c}\}\\ \·p(\mathrm{\τ}-\frac{2\·R(x,y,t)}{c})\mathrm{dxdy}+N_1(\mathrm{\τ},t)\end{array}$

其中，σ(x,y)表示位于(x,y)处目标后向散射系数，ω_a表示方位向天线方向图调制，t表示慢时间变量，t_a表示方位角a对应的时刻，T_β表示方位向波束驻留时间，c表示电磁波传播速度，R₀表示t＝0时刻天线与目标初始斜距，N₁(τ,t)表示原始回声中的噪声；对R(x,y,t)在t＝0时刻进行泰勒展开，得到下列表达式：

其中，o(t)表示时间t的高阶无穷小，这里的R(x,y,t)近似表示成

步骤二：回波数据距离向脉冲压缩与距离走动校正，

将τ,t分别进行离散化处理，假设表示对s₁(τ,t)第m_r个快时间，第m_a个方位时间的一个离散表示；针对场景Ω中目标后向散射系数σ(x,y)，(x,y)∈Ω，假设表示Ω中，沿斜距方向的第n_r个和沿方位向第n_a个后向散射系数；对于单次采样与的关系可表示成下列解析形式：

$s_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中， ${\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\}\·p\{{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})}{c}\},$ ∑表示求和运算；表示与对应的N₁(τ,t)在时刻的采样；

根据距离向参考时间τ_ref和发射信号的调频斜率k，构造距离向脉压参考信号将p_ref与进行最大自相关运算，实现在距离向脉冲压缩；脉压后的回波信号可表示为：

$s_2({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_2(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_2({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中，表示经过距离向脉压操作后的噪声， ${\mathrm{\φ}}_2(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})}{c}\left]\right\},$ B表示发射信号的带宽；

场景中的目标在方位时刻t时与雷达平台之间的瞬时距离为：

$R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\≈R_0-{\mathrm{Vt}}_{m_a}$

通过雷达平台上的惯导设备准确获取平台运动速度V、时间t，对数据进行尺度变换可得：

$s_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中， ${\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\},$

表示距离走动校正过程中引入的噪声。

步骤三：雷达角超分辨建模，

$\stackrel{\→}{\mathrm{\τ}}=[{\mathrm{\τ}}_1,{\mathrm{\τ}}_2,...{\mathrm{\τ}}_{m_r},...{\mathrm{\τ}}_{N_r}],\stackrel{\→}{t}=[t_1,t_2,...t_{m_a},...t_{N_a}]$ 分别表示快时间和慢时间向量；分别表示场景Ω中沿x方向和y方向的后向散射系数系数；其中，P，Q分别表示场景Ω沿X，Y轴方向离散化处理的单元个数。数据域中的快时间回波和场景Ω中位于距离向的波束扫面范围内的散射目标关系如下：

S＝Φσ+n

其中，[·]^T表示对括号内的元素进行转置运算，表示复数域上K行1列的复向量，K表示接收到的方位向回波个数， $\mathrm{\σ}={[\mathrm{\σ}(x_r,y_1),\mathrm{\σ}(x_r,y_2),...\mathrm{\σ}(x_r,y_{n_a}),...\mathrm{\σ}(x_r,y_Q)]}^T\∈C^{Q\×1},$ 表示复数域上Q行1列的复向量，表示回波数据中的噪声向量；表示第I(I＝1,2,…K)次回波中的噪声；。观测矩阵Φ∈C^K×Q具有下列形式：

其中， ${\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{{2R}_0}{c}\left]\right\},$ I＝1,2,…,K；J＝1,2,…,Q。

步骤四：卷积反演实现雷达角超分辨，

在无噪声的情况下回波数据S、观测矩阵Φ以及散射系数σ应满足以下关系：

S＝Φσ

则满足S＝Φσ+n的体现为以下约束目标函数的最优值：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=\underset{\mathrm{\σ}}{\arg \min }{\left|\right|\left|\mathrm{\σ}\right|\left|\right|}_1$

subject to S＝Φσ

其中，表示求解关于变量σ的最小值；|||·|||₁表示欧氏距离下复数域向量的l₁范数，定义为：其中，Re、Im分别表示对复变量函数取实部、虚部,Q表示向量长度；

对于任意一个复变量函数f，其实部、虚部分别记为：Re(f)、Im(f)，那么，将复变量函数f的向量向量表现形式为 $f_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(f\right)\\ \mathrm{Im}\left(f\right)\end{array}\right];$

则上述约束目标函数最优值的变量S、σ、n的向量表现形式分别如下：

$S_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(s\right)\\ \mathrm{Im}\left(s\right)\end{array}\right];{\mathrm{\σ}}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\end{array}\right]$

对于复数域上的矩阵Φ的表示形式为：

${\mathrm{\Φ}}_b=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)& -\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)& \mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\end{array}\right]$

其中，Φ中元素为

${\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}$ 的实部与虚部分别为：

$\mathrm{Re}\left[{\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)\right]={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}\·\cos \left\{\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\right\}$

$\mathrm{Im}\left[{\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)\right]=-{\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}\·\sin \left\{\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\right\}$

对于复变量乘积运算后的表示为：

${\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)\end{array}\right]$

其中， $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)=\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)=\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\end{array}\right.;$

则上述约束目标函数最优值转化成对下列无约束目标函数关于σ的最优解：

L(σ_b,λ)＝||σ_b||₁+λ·[S_b-(Φσ)_b]

即 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_b=\underset{\mathrm{\σ}}{\arg \min }L({\mathrm{\σ}}_b,\mathrm{\λ});$

其中，λ是一个实数表示Lagrange乘子；||σ_b||₁表示l₁范数。

对上述无约束目标函数关于σ的最优解分别对σ_b和λ进行梯度运算，并令计算结果等于零得：

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\left|{\mathrm{\σ}}_b\right|}\right)& {\left({\mathrm{\Φ}}_b\right)}^T\\ {\mathrm{\Φ}}_b& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_b\\ \mathrm{\λ}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ S_b\end{array}\right]$

其中，|·|表示求模元算，diag(·)表示将括号内的向量转化成一个对角矩阵，矩阵主对角线上的元素依次为对应向量中的元素，(·)^T表示对括号内向量或矩阵进行转置操作；

对上述矩阵方程化简可得：

[Φ_b·diag(|σ_b|)·(Φ)^T]·λ＝-S_b

σ_b＝-diag(|σ_b|)·(Φ)^T·λ

对上述化简得到的方程的复变量的实部和虚部分别进行迭代求解。

本发明的有益效果：本发明针对复信号提出了卷积反演方法实现雷达角超分辨成像的方法。将雷达角超分辨成像转化成一个复数域上的卷积反演问题，并通过添加约束条件改变卷积反演问题固有的病态性；同时，将卷积反演问题转化成相应的复数域上约束目标函数的最优解的实现问题；再使用实数域上的向量表示复变量，将复数域上的约束目标函数最优解问题转化成实数域上无约束目标函数最优解的实现问题；最后，使用Lagrange乘子法实现实数域上无约束目标函数最优解，实现扫描雷达角超分辨成像，避免了传统的卷积反演方法中涉及的正则参数的选取，具有更广的使用范围。本发明的方法能够突破天线系统参数对雷达图像分辨率的限制，实现雷达角超分辨成像；成像结果在保持目标幅度、数目、位置信息上具有良好的效果。

附图说明

图1是本发明方法的流程示意图。

图2是本发明具体实施方式采用的扫描雷达成像系统结构图。

图3是本发明具体实施时采用的扫描雷达成像系统参数表。

图4是本发明具体实施时采用的仿真目标场景。

图5是具体实施例中方位向目标回波加入SNR＝20dB高斯白噪声时对应的剖面图。

图6是具体实施例中得到的扫描雷达角超分辨处理结果。

具体实施方式

本发明采用仿真实验来论证所提的雷达角超分辨方法的可行性和有效性，所有步骤、结论都在Matlab2012仿真平台上验证正确。下面结合附图和具体实施例对本发明方法做进一步的阐述。

本发明扫描雷达角超分辨成像的流程示意图如图1所示，具体过程如下：

步骤一：雷达回波建模，

本实施方案是针对如图2所示的雷达成像几何模式，涉及到的相关参数如下：雷达平台高度H、沿X轴正方向飞行速度V、雷达天线沿Y轴方向扫描角速度ω，雷达天线波束俯仰角θ，发射信号载频f_c，雷达平台初始位置(0,0,H)，脉冲重复时间PRI，场景沿距离向(X轴方向)采样点数N_r，成像场景回波方位向(Y轴方向)采样点数N_a，t时刻雷达平台与场景中位于(x,y)处目标的距离R(x,y,t)，目标的方位角扫描雷达成像参数如图3所示。雷达发射信号为：

$p\left(\mathrm{\τ}\right)=\mathrm{rect}\left(\frac{\mathrm{\τ}}{T_p}\right)\·\exp \left(\mathrm{j\π}{\mathrm{k\τ}}^2\right)$

其中，rect(·)表示矩形函数，T_p表示发射脉冲时宽，k表示调频斜率，τ表示斜距方向快时间。

设雷达波束扫描区域为Ω，回波信号可写成下列二维卷积形式：

$\begin{array}{c}{s}_1(\mathrm{\τ},t)=\underset{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\mathrm{\σ}(x,y)\·{\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j4\mathrm{\π}{f}_c\frac{R(x,y,t)}{c}\}\\ \·p(\mathrm{\τ}-\frac{2\·R(x,y,t)}{c})\mathrm{dxdy}+N_1(\mathrm{\τ},t)\end{array}$

其中，σ(x,y)表示位于(x,y)处目标后向散射系数，ω_a表示方位向天线方向图调制，t表示慢时间变量，t_a表示方位角a对应的时刻，T_β表示方位向波束驻留时间，c表示电磁波传播速度，R₀表示t＝0时刻天线与目标初始斜距，N₁(τ,t)表示原始回声中的噪声。

由于R(x,y,t)关于方位时间t是非线性函数，本发明中对R(x,y,t)在t＝0时刻进行泰勒展开，得到下列表达式：

其中，o(t)表示时间t的高阶无穷小；因为作用距离远、成像扇区小，R(x,y,t)近似表示成

本实施步骤中采用的目标的幅度和位置信息如图4所示。设置的目标幅度自左向右分别为：1、0.8、1、0.8、1。仿真目标在幅度上的差异是为了体现本发明的方法在处理目标幅度上存在差异时，能有效保持目标幅度信息；目标位置的设置如图所示，是为了体现本发明提供的方法具有的角超分辨性能。根据图3给出的仿真参数，距离时间向量为：

T_r＝[-1/f_s·N_r/2,-1/f_s·(N_r/2-1),…,1/f_s·(N_r/2-1)]，

其中f_s为距离向采样率，N_r为目标回波距离向采样点数；方位时间向量为：

T_a＝[-PRI·N_a/2,-PRI·(N_a/2-1),…,PRI·(N_a/2-1)]；

其中，PRI为发射信号脉冲重复时间，N_a为目标回波方位向采样点数。按照仿真参数，在Matlab2012仿真平台下生成回波，记为s₁(τ,t)。s₁(τ,t)的离散变现形式如下：

$s_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

步骤二：回波数据距离向脉冲压缩与距离徙动校正，

本步骤实现回波数据s₁(τ,t)沿距离向脉冲压缩。首先，将τ,t分别进行离散化处理，假设表示对s₁(τ,t)第m_r个快时间，第m_a个方位时间的一个离散表示；针对场景Ω中目标后向散射系数σ(x,y)，(x,y)∈Ω，假设表示Ω中，沿斜距方向的第n_r个和沿方位向第n_a个后向散射系数。对于单次采样与的关系可表示成下列解析形式：

$s_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中， ${\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\}\·p\{{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})}{c}\},$ ∑表示求和运算；表示与对应的N₁(τ,t)在时刻的采样；

根据雷达发射信号调频斜率k和距离向参考时间τ_ref，构造距离向脉压参考信号将p_ref与进行最大自相关运算，实现回波数据在距离向脉冲压缩。脉冲压缩后的数据记为解析形式如下：

$s_2({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_2(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_2({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中，表示经过距离向脉压操作后的噪声， ${\mathrm{\φ}}_2(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})}{c}\left]\right\};$ B表示发射信号的带宽。

在完成回波信号距离向脉冲压缩之后，需要对回波进行距离走动校正。得到的数据中的sinc函数还有与有关的时间变量。距离徙动的完成在数学表达式上体现为消除受影响。场景中的目标在方位时刻t时与雷达平台之间的瞬时距离为：

$R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\≈R_0-{\mathrm{Vt}}_{m_a}$

对雷达与目标的斜距距离历史进行泰勒级数展开，因为作用距离远、成像扇区小，可近似表示成并将其带入再对中的进行尺度变换。得

$s_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中， ${\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\},$ 表示距离徙动校正过程中引入的噪声和之和。

从上式可以看出，数据的包络不再受时间变量的影响，从而完成距离徙动校正。

步骤三：雷达角超分辨建模，

本步骤已知回波数据雷达天线方位向权值函数φ₃(m_r,m_a,n_r,n_a)，求解后向散射系数即通过等式 $s_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})={\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)\⊗\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$ 求解其中表示卷积运算。首先将数据的获取过程表示成矩阵与向量的线性运算形式。

对于场景Ω而言，本发明中采用矩阵和向量运算的形式表示回波数据、发射信号、场景散射系数以及噪声之间的关系。 $\stackrel{\→}{\mathrm{\τ}}=[{\mathrm{\τ}}_1,{\mathrm{\τ}}_2,...{\mathrm{\τ}}_{m_r},...{\mathrm{\τ}}_{N_r}],\stackrel{\→}{t}=[t_1,t_2,...t_{m_a},...t_{N_a}]$ 分别表示快时间和慢时间向量；分别表示场景Ω中沿x方向和y方向的后向散射系数系数。其中，P,Q分别表示场景Ω沿X,Y轴方向离散化处理的单元个数。回波数据域中的快时间回波和场景Ω中位于距离向的波束扫面范围内的散射目标关系如下：

S＝Φσ+n

其中，[·]^T表示对括号内的元素进行转置运算；K表示接收到的回波个数，表示复数域，表示复数域上K行1列的复向量， $\mathrm{\σ}={[\mathrm{\σ}(x_r,y_1),\mathrm{\σ}(x_r,y_2),...\mathrm{\σ}(x_r,y_{n_a}),...\mathrm{\σ}(x_r,y_Q)]}^T\∈C^{Q\×1},$ 表示复数域上Q行1列的复向量，表示回波数据中的噪声向量；表示第I(I＝1,2,…K)次回波中的噪声。。观测矩阵Φ∈C^K×Q具有下列形式：

其中， ${\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{{2R}_0}{c}\left]\right\},$

I＝1,2,…,K；J＝1,2,…,Q。

雷达角超分辨的实现体现在已知回波数据S、观测矩阵Φ，未知噪声n特征的情况下，通过求解场景散射系数σ。本发明将上述过程称之为卷积反演。这里的雷达角超分辨是指通过信号处理的方法，突破雷达天线系统参数对雷达实波束图像角分辨率的限制。这里的卷积反演是指已知卷积结果、卷积核、噪声未知的情况下，通过数学方法实现正向卷积过程的逆过程，重构未知量。

步骤四：卷积反演实现雷达角超分辨，

本步骤是在已知S、Φ的条件下，通过对前向卷积过程的反演求解场景散射系数σ。

雷达天线具有低通滤波效应，回波数据S是丢失了散射场景σ的高频信息。又因为前向卷积对应傅立叶变换后的乘积运算，卷积反演对应傅立叶变换后的除法运算。因此，在前向卷积过程中贡献很少的高频信息，在卷积反演时经除法运算后造成对这一部分高频信息的放大引起噪声放大，使得直接在频域进行卷积反演求解是不可行的。

针对上述问题，本发明提出将求解转化成约束目标函数最优解的实现问题。

在许多应用环境下，如海面船舶成像、城市雷达成像、机场跑道异物成像，场景的雷达图像信息体现在少数的强散射目标上，这种稀疏的特性可使用散射系数构成的向量的l₁范数进行描述。在无噪声的情况下回波数据S、观测矩阵Φ以及散射系数σ应满足以下关系：

S＝Φσ

将卷积反演求解σ转化成以下约束目标函数最优值的实现问题。满足S＝Φσ+n的体现为以下约束目标函数的最优值：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=\underset{\mathrm{\σ}}{\arg \min }{\left|\right|\left|\mathrm{\σ}\right|\left|\right|}_1$

subject to S＝Φσ

其中，表示求解关于变量σ的最小值；|||·|||₁表示欧氏距离下复数域向量的l₁范数，定义为：其中，Re、Im分别表示对复变量函数取实部、虚部,Q表示向量长度。

本发明中使用凸优化方法对约束目标函数的最优值的求解，需要将其中的复变量转化成实数域上的变量进行表示。具体表示方式如下：

对于任意一个复变量函数f，其实部、虚部分别记为：Re(f)、Im(f)，那么，将复变量函数f的向量表现形式为 $f_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(f\right)\\ \mathrm{Im}\left(f\right)\end{array}\right];$

则上述约束目标函数最优值的变量S、σ、n的向量表现形式分别如下：

$S_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(s\right)\\ \mathrm{Im}\left(s\right)\end{array}\right];{\mathrm{\σ}}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\end{array}\right]$

对于复数域上的矩阵Φ的表示形式为：

${\mathrm{\Φ}}_b=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)& -\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)& \mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\end{array}\right]$

其中，Φ中元素φ₃(m_r,I,n_r,J)的实部与虚部分别为：

$\mathrm{Re}\left[{\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)\right]={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}\·\cos \left\{\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\right\}$

$\mathrm{Im}\left[{\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)\right]=-{\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}\·\sin \left\{\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\right\}$

对于复变量乘积运算后的表示为：

${\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)\end{array}\right]$

其中， $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)=\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)=\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\end{array}\right..$

因为上式约束目标函数的最优值中的变量都是复变量函数，本发明在求解最优值时将上述约束目标函数最优值转化成对下列无约束目标函数关于σ的最优解：

L(σ_b,λ)＝||σ_b||₁+λ·[S_b-(Φσ)_b]

即 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_b=\underset{\mathrm{\σ}}{\arg \min }L({\mathrm{\σ}}_b,\mathrm{\λ});$

其中，λ是一个实数表示Lagrange乘子，||σ_b||₁表示l₁范数。

完成上述转化之后，使用Lagrange乘子方法求解。对上述无约束目标函数关于σ的最优解分别对σ_b和λ进行梯度运算，并令计算结果等于零得：

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\left|{\mathrm{\σ}}_b\right|}\right)& {\left({\mathrm{\Φ}}_b\right)}^T\\ {\mathrm{\Φ}}_b& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_b\\ \mathrm{\λ}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ S_b\end{array}\right]$

其中，|·|表示求模元算，diag(·)表示将括号内的向量转化成一个对角矩阵，矩阵主对角线上的元素依次为对应向量中的元素，(·)^T表示对括号内向量或矩阵进行转置操作。这里的Lagrangian乘子法是引入一个新的参数，将约束条件函数与原函数联系到一起，使能配成与变量数量相等的等式方程，从而求出得到原函数极值的各个变量的解。

对上述矩阵方程化简可得：

[Φ_b·diag(|σ_b|)·(Φ)^T]·λ＝-S_b

σ_b＝-diag(|σ_b|)·(Φ)^T·λ

最后，本步骤采用迭代的方式实现以上两式的求解。构造的迭代过程如下：

[Φ_b·diag(|σ_b ^(k)|)·(Φ)^T]·λ^(k+1)＝-S_b

${\mathrm{\σ}}_b^{(k+1)}=-\mathrm{diag}\left(\right|{\mathrm{\σ}}_b^{(k+1)}\left|\right)\·{\left(\mathrm{\Φ}\right)}^T\·{\mathrm{\λ}}^{(k+1)}$

其中，k表示迭代的次数。进行一定次数迭代后将所得的迭代结果作为卷积反演的结果并将其作为雷达角超分辨处理结果，如图6所示。

通过图6的结果可以看出，本发明提出的方法可以实现扫描雷达角超分辨。超分辨处理的结果对于目标的幅度、位置、数量信息能够准确的恢复。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种基于反卷积的雷达角超分辨成像方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

步骤一：雷达回波建模，

雷达进行前视扫描时，雷达平台沿X轴正方向运动速度记为V，雷达平台高度记为H，雷达天线沿Y轴方向扫描角速度记为ω，雷达天线波束俯仰角记为θ，发射信号载频记为f_c，雷达平台初始位置记为(0,0,H)，脉冲重复时间记为PRI，场景沿距离向(X轴方向)采样点数记为N_r，成像场景回波方位向(Y轴方向)采样点数记为N_a，t时刻雷达平台与场景中位于(x,y)处目标的距离记为R(x,y,t)，为目标的方位角；雷达发射信号为：

$p\left(\mathrm{\τ}\right)=\mathrm{rect}\left(\frac{\mathrm{\τ}}{T_p}\right)\·\exp \left(\mathrm{j\π}{\mathrm{k\τ}}^2\right)$

其中，rect(·)表示矩形函数，T_p表示发射脉冲时宽，k表示调频斜率，τ表示斜距方向快时间；设雷达波束扫描区域为Ω，回波信号可写成下列二维卷积形式：

$\begin{array}{c}{s}_1(\mathrm{\τ},t)=\underset{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\mathrm{\σ}(x,y)\·{\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j4\mathrm{\π}{f}_c\frac{R(x,y,t)}{c}\}\\ \·p(\mathrm{\τ}-\frac{2\·R(x,y,t)}{c})\mathrm{dxdy}+N_1(\mathrm{\τ},t)\end{array}$

其中，σ(x,y)表示位于(x,y)处目标后向散射系数，ω_a表示方位向天线方向图调制，t表示慢时间变量，t_a表示方位角a对应的时刻，T_β表示方位向波束驻留时间，c表示电磁波传播速度，R₀表示t＝0时刻天线与目标初始斜距，N₁(τ,t)表示原始回声中的噪声；对R(x,y,t)在t＝0时刻进行泰勒展开，得到下列表达式：

其中，o(t)表示时间t的高阶无穷小，这里的R(x,y,t)近似表示成

步骤二：回波数据距离向脉冲压缩与距离徙动校正，

将τ,t分别进行离散化处理，假设表示对s₁(τ,t)第m_r个快时间，第m_a个方位时间的一个离散表示；针对场景Ω中目标后向散射系数σ(x,y)，(x,y)∈Ω，假设表示Ω中，沿斜距方向的第n_r个和沿方位向第n_a个后向散射系数；对于单次采样与的关系可表示成下列解析形式：

$s_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_1({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中， ${\mathrm{\φ}}_1(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\}\·p\{{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})}{c}\},$ ∑表示求和运算；表示与对应的N₁(τ,t)在时刻的采样；

根据距离向参考时间τ_ref和发射信号的调频斜率k，构造距离向脉压参考信号将p_ref与进行最大自相关运算，实现在距离向脉冲压缩；脉压后的回波信号可表示为：

$s_2({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_2(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_2({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中，表示经过距离向脉压操作后的噪声， ${\mathrm{\φ}}_2(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})}{c}\left]\right\},$ B表示发射信号的带宽；

场景中的目标在方位时刻t时与雷达平台之间的瞬时距离为：

$R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_a})\≈R_0-{\mathrm{Vt}}_{m_a}$

通过雷达平台上的惯导设备准确获取平台运动速度V、时间t，对数据进行尺度变换可得：

$s_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})=\underset{n_a=1}{\overset{N_a}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_r=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)\·\mathrm{\σ}(x_{n_r},y_{n_a})+N_3({\mathrm{\τ}}_{m_r},t_{m_a})$

其中， ${\mathrm{\φ}}_3(m_r,m_a,n_r,n_a)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_{m_a}-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_{n_a},t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\},$

表示距离徙动校正过程中引入的噪声和之和；

步骤三：雷达角超分辨建模，

$\stackrel{\→}{\mathrm{\τ}}=[{\mathrm{\τ}}_1,{\mathrm{\τ}}_2,...{\mathrm{\τ}}_{m_r},...{\mathrm{\τ}}_{N_r}],\stackrel{\→}{t}=[t_1,t_2,...t_{m_a},...t_{N_a}]$ 分别表示快时间和慢时间向量；分别表示场景Ω中沿x方向和y方向的后向散射系数系数；其中，P，Q分别表示场景Ω沿X，Y轴方向离散化处理的单元个数；数据域中的快时间回波和场景Ω中位于距离向的波束扫面范围内的散射目标关系如下：

S＝Φσ+n

其中，[·]^T表示对括号内的元素进行转置运算，表示复数域上K行1列的复向量，K表示接收到的方位向回波个数， $\mathrm{\σ}={[\mathrm{\σ}(x_r,y_1),\mathrm{\σ}(x_r,y_2),...\mathrm{\σ}(x_r,y_{n_a}),...\mathrm{\σ}(x_r,y_Q)]}^T\∈C^{Q\×1},$ 表示复数域上Q行1列的复向量，表示回波数据中的噪声向量，表示第I(I＝1,2,…K)次回波中的噪声；观测矩阵Φ∈C^K×Q具有下列形式：

其中， ${\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\}\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{{2R}_0}{c}\left]\right\},$

i＝1,2,…,K；j＝1,2,…,Q；

步骤四：卷积反演实现雷达角超分辨，

在无噪声的情况下回波数据S、观测矩阵Φ以及散射系数σ应满足以下关系：

S＝Φσ

则满足S＝Φσ+n的体现为以下约束目标函数的最优值：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=\underset{\mathrm{\σ}}{\arg \min }{\left|\right|\left|\mathrm{\σ}\right|\left|\right|}_1$

subject to S＝Φσ

其中，表示求解关于变量σ的最小值；|||·|||₁表示欧氏距离下复数域向量的l₁范数，定义为：其中，Re、Im分别表示对复变量函数取实部、虚部,Q表示向量长度；

对于任意一个复变量函数f，其实部、虚部分别记为：Re(f)、Im(f)，那么，将复变量函数f的向量表现形式为 $f_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(f\right)\\ \mathrm{Im}\left(f\right)\end{array}\right];$

则上述约束目标函数最优值的变量S、σ、n的向量表现形式分别如下：

$S_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(s\right)\\ \mathrm{Im}\left(s\right)\end{array}\right];{\mathrm{\σ}}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\end{array}\right]$

对于复数域上的矩阵Φ的表示形式为：

${\mathrm{\Φ}}_b=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)& -\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)& \mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\end{array}\right]$

其中，Φ中元素φ₃(m_r,I,n_r,J)的实部与虚部分别为：

$\mathrm{Re}\left[{\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)\right]={\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}\·\cos \left\{\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\right\}$

$\mathrm{Im}\left[{\mathrm{\φ}}_3(m_r,I,n_r,J)\right]=-{\mathrm{\ω}}_a\left(\frac{t_i-t_a}{T_{\mathrm{\β}}}\right)\·\sin c\left\{B\right[{\mathrm{\τ}}_{m_r}-\frac{2R_0}{c}\left]\right\}\·\sin \left\{\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}R(x_{n_r},y_j,t_{m_r})\right\}$

对于复变量乘积运算后的表示为：

${\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)\end{array}\right]$

其中， $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)=\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ\σ}\right)=\mathrm{Im}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Re}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{Re}\left(\mathrm{\Φ}\right)\mathrm{Im}\left(\mathrm{\σ}\right)\end{array}\right.;$

则上述约束目标函数最优值转化成对下列无约束目标函数关于σ的最优解：

L(σ_b，λ)＝||σ_b||₁+λ·[S_b-(Φσ)_b]

即 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_b=\underset{\mathrm{\σ}}{\arg \min }L({\mathrm{\σ}}_b,\mathrm{\λ});$

其中，λ是一个实数表示Lagrange乘子，||σ_b||₁表示l₁范数；

对上述无约束目标函数关于σ的最优解分别对σ_b和λ进行梯度运算，并令计算结果等于零得：

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\left|{\mathrm{\σ}}_b\right|}\right)& {\left({\mathrm{\Φ}}_b\right)}^T\\ {\mathrm{\Φ}}_b& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_b\\ \mathrm{\λ}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ S_b\end{array}\right]$

其中，|·|表示求模元算，diag(·)表示将括号内的向量转化成一个对角矩阵，矩阵主对角线上的元素依次为对应向量中的元素，(·)^T表示对括号内向量或矩阵进行转置操作；

对上述矩阵方程化简可得：

[Φ_b·diag(|σ_b|)·(Φ)^T]·λ＝-S_b

σ_b＝-diag(|σ_b|)·(Φ)^T·λ

对上述化简得到的方程的复变量的实部和虚部分别进行迭代求解。

2.根据权利要求1所述的基于反卷积的雷达角超分辨成像方法，其特征在于，步骤四中所述的构造迭代的过程如下：

[Φ_b·diag(|σ_b ^(k)|)·(Φ)^T]·λ^(k+1)＝-S_b

${\mathrm{\σ}}_b^{(k+1)}=-\mathrm{diag}\left(\right|{\mathrm{\σ}}_b^{(k+1)}\left|\right)\·{\left(\mathrm{\Φ}\right)}^T\·{\mathrm{\λ}}^{(k+1)}$

其中，k表示迭代的次数。