CN104009748B

CN104009748B - 一种具有丰富动力学行为的忆阻超混沌系统及混沌电路

Info

Publication number: CN104009748B
Application number: CN201410263901.XA
Authority: CN
Inventors: 李慧芳; 王丽丹; 段书凯
Original assignee: Southwest University
Current assignee: Southwest University
Priority date: 2014-06-13
Filing date: 2014-06-13
Publication date: 2017-08-08
Anticipated expiration: 2034-06-13
Also published as: CN104009748A

Abstract

本发明公开了一种具有丰富动力学行为的忆阻超混沌系统及混沌电路，本发明提出一个新的五阶忆阻超混沌系统，此系统具有丰富的混沌动力学行为，不同的角度的相轨图，可以看到网格以及涡卷等不同的混沌行为。这对于以后利用忆阻器件产生复杂动力学混沌系统迈出了基础的一步。

Description

一种具有丰富动力学行为的忆阻超混沌系统及混沌电路

技术领域

本发明涉及一种混沌系统及电路。

背景技术

忆阻器是一种有记忆功能的非线性电阻器，它代表着电荷与磁通量之间的关系，具有会“记住”之前的电流量的功能。最早是在1971年由美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授首次提出，直到2008年5月，惠普实验室的科学家在《自然》杂志撰文指出，他们成功研制出了世界首个忆阻器。忆阻元件的存在，使电路设计的基础元件由电阻、电容和电感增加到了四个，忆阻器为电路设计及其忆阻电路应用提供了全新的发展空间。

从第一个混沌系统在1963年被Lorenz发现以来，混沌的研究向着更深入更有价值的方向不断的前进着。在不同的领域越来越发挥出重要的作用。然而，混沌系统中都含有非线性的部分，如果用现有元件来设计混沌系统，将会产生较大的功耗，混沌系统的体积也较为庞大。新型电路元件——忆阻器在这方面具有天然的优势。忆阻器具有纳米尺寸、非线性特征，很适合应用于混沌系统中的非线性部分。而对于忆阻混沌系统的研究也在不断地发展着。2008年，Makoto Itoh将忆阻器应用到Chua电路和振荡电路中，产生了混沌现象。接着又有人实现了基于PWL忆阻器的混沌系统。Muthuswamy提出了基于一个分段线性忆阻器的混沌系统。包伯成等人提出了一种带有立方忆阻器的典型的蔡氏电路，文章中，令这样就得到了一个具有立方特性的忆阻器，对于具有该特性的忆阻器应用于蔡电路中，也能产生混沌吸引子。此后，他们又在上述立方忆阻器的基础上，加入一个负电导，做成了一个有源的忆阻器，将该有源的忆阻器放到蔡氏振荡电路中，也产生了混沌吸引子。对于基于忆阻器的混沌电路的研究，Stork等人提出了基于忆阻器的反馈系统，在该文献中也是将忆阻器的特性看做是分段线性的，并且产生了混沌吸引子。王丽丹等人利用忆阻器的非线性特性，成功推导出一个磁控忆阻器，并把它应用到了混沌系统中，得到了基于该忆阻器的混沌系统。

发明内容

本发明目的是实现一种具有丰富动力学行为的忆阻超混沌系统及混沌电路。

为了实现上述第一目的，采用以下技术方案：一种混沌系统，其特征在于：所述混沌系统所对应的数学模型如下所示：

混沌系统的无量纲方程为：

式中，a，b，c，d，e，f和h是常数，且c＝d＝e＝f＝0.5是固定系数，而a，b和h的设置不同的值得到的混沌吸引子不同。

其中，

式中，x是进入忆阻器的磁通量,R_ON＝100Ω,R_OFF＝20kΩ,M(0)＝16kΩ,D＝10nm。

式中，A>0，α_m∈(0,A](m＝±1,±2,…±M)称为三角波的变参数，α_m又称为三角波的相对转折点值，M为正整数，选取g₁(y)的M＝2,[α₁,α₂]＝[0.1,0.1]，而g₂(x)的M＝5，即[α₁,α₂,α₃,α₄,α₅]＝[0.1,0.1,0.05,0.01,0.001]。

为了实现上述第二目的，采用以下技术方案：一种具有丰富动力学行为的忆阻超混沌电路，其特征在于：由以下电路构成：

(1)x状态实现电路：

z状态变量的电压V_z接电阻R₁后输入运算放大器U₁的反相输入端，U₁的反相输入端与输出端之间接有电容C₁实现积分功能；运算放大器U₁的输出接电阻R₂后输入运算放大器U₂的反相输入端，运算放大器U₂的反相输入端与输出端之间接有电阻R₃，运算放大器U₂的输出得到x状态变量的电压V_x；

(2)y状态实现电路：

u状态变量的电压V_u接电阻R₄后输入运算放大器U₃的反相输入端，运算放大器U₃的反相输入端与输出端之间接有电容C₂实现积分功能；运算放大器U₃的输出接电阻R₅后输入运算放大器U₄的反相输入端，运算放大器U₄的反相输入端与输出端之间接有电阻R₆，运算放大器U₄的输出得到y状态变量的电压V_y；

(3)z状态实现电路：

V_x接电阻R₇后连接运算放大器U₅的反相输入端，在运算放大器U₅的反相输入端和输出端之间还连接有两条支路，其中第一支路为负极连接运算放大器U₅反相输入端、正极连接运算放大器U₅输出端的整流二级管D₁，第二支路为串联的电阻R₉和整流二极管D₂，其中整流二级管D₂的负极连接运算放大器U₅的输出端，运算放大器U₅的同相输入端接电阻R₈后接地；运算放大器U₆的反相输入段接电阻R₁₁后接在电阻R₉和整流二级管D₂之间，运算放大器U₆的同相输入端接电阻R₁₂后接地；

V_x端还依次串联电阻R₁₀、电阻R₁₃、电阻R₁₄和电阻R₁₅后接在运算放大器U₇的输出端，运算放大器U₆的反相输入端还通过导线连接在电阻R₁₀和R₁₃之间，运算放大器U₆的输出端连接在电阻R₁₃和电阻R₁₄之间，运算放大器U₇的反相输入端还通过导线连接在电阻R₁₄和R₁₅之间，运算放大器U₇的输出端接在芯片U₈的FLUX端；

芯片U₈的CHANGE端依次连接电阻R₁₆、电阻R₁₇、电阻R₁₈、电阻R₁₉、电阻R₂₀、电阻R₂₃、电阻R₂₄及电容C₃后连接运算放大器U₁₂的输出端；

运算放大器U₉的同相输入端连接在电阻R₁₆与电阻R₁₇之间，运算放大器U₉的输出端连接在电阻R₁₈与电阻R₁₇之间，运算放大器U₁₀的同相输入端连接在电阻R₁₈与电阻R₁₉之间，运算放大器U₁₀的输出端连接在电阻R₂₀与电阻R₁₉之间，运算放大器U₁₁的同相输入端连接在电阻R₂₃与电阻R₂₀之间，运算放大器U₁₁的反相输入端接地，在运算放大器U₁₁的反相输入端和同相输入端之间还连接有电阻R₂₂和电容V₁，电阻R₂₁的一端接V_w，一端接在运算放大器U₁₁的同相输入端；运算放大器U₁₁的输出端连接在电阻R₂₄与电阻R₂₃之间，运算放大器U₁₂的同相输入端连接在电阻R₂₄和电容C₃之间，运算放大器U₁₂的输出端输出V_z；

(4)u状态实现电路：

直流电压V_AA通过电阻R₂₅以及滑动变阻器R₂₆接地，而滑动变阻器R₂₆的滑动抽头接运算放大器U₁₃的反相输入端；V_y经电阻R₂₉接入运算放大器U₁₃的同相输入端，电阻R₃₁接在运算放大器U₁₃的同相输入端和输出端之间；

直流电压V_BB通过电阻R₂₇以及滑动变阻器R₂₈接地，而滑动变阻器R₂₈的滑动抽头接运算放大器U₁₄的反相输入端；V_y经电阻R₃₀接入运算放大器U₁₄的同相输入端，电阻R₃₂接在运算放大器U₁₄的同相输入端和输出端之间；运算放大器U₁₃和运算放大器U₁₄的输出端分别连电阻R_iv后同时接入运算放大器U₁₅的同相输入端，V_y连电阻R₃₃后也接入运算放大器U₁₅的同相输入端，运算放大器U₁₅的同相输入端和输出端之间连接有电阻R₃₄，这样运算放大器U₁₅输出得到三角波；

运算放大器U₁₅的输出端连接电阻R₃₅后接在运算放大器U₁₆的反相输入端，运算放大器U₁₆的反相输入端和输出端之间连接有电阻R₃₆，在运算放大器U₁₆的同相输入端上还连接电阻R₃₇接地；运算放大器U₁₆的输出端接电阻R₃₈后接在运算放大器U₁₇的反相输入端，运算放大器U₁₇的反相输入端和输出端之间连接有电容C₄，运算放大器U₁₇的输出端接电阻R₃₉后接在运算放大器U₁₈的反相输入端，运算放大器U₁₈的反相输入端和输出端之间连接有电阻R₄₀，运算放大器U₁₈的输出端输出V_u；

(5)w状态实现电路：

直流电压V_AA通还电阻R₄₁以及滑动变阻器R₃₅接地，而滑动变阻器R₃₅的滑动抽头接运算放大器U₁₉的反相输入端；V_x连电阻R₄₃接入运算放大器U₁₉的同相输入端，电阻R₄₅接在运算放大器U₁₉的同相输入端和输出端之间；

直流电压V_BB通过电阻R₄₂以及滑动变阻器R₃₇接地，而滑动变阻器R₃₇的滑动抽头接运算放大器U₂₀的反相输入端；V_x连电阻R₄₄接入运算放大器U₂₀的同相输入端，电阻R₄₆接在运算放大器U₂₀的同相输入端和输出端之间；运算放大器U₁₉和运算放大器U₂₀的输出端分别连电阻R_iv后同时接入运算放大器U₂₁的同相输入端，V_x连电阻R₄₇后也接入运算放大器U₂₁的同相输入端，运算放大器U₂₁的同相输入端和输出端之间连接有电阻R₄₈，这样运算放大器U₂₁输出得到三角波；

运算放大器U₂₂的反相输入端通过电阻R₅₁接V_z，通过电阻R₅₂接V_u以及通过电阻R₅₃接V_w，而运算放大器U₂₁的输出端通过电阻R₅₀输入运算放大器U₂₂同相输入端，运算放大器U₂₂反相输入端和输出端接电阻R₅₄实现加法器的功能，运算放大器U₂₂的输出端通过电阻R₅₅输入运算放大器U₂₃的反相输入端，运算放大器U₂₃的反相输入端和输出端之间连接电容C₅实现积分，运算放大器U₂₃的输出端电阻R₅₆后输入运算放大器U₂₄的反相输入端，而运算放大器U₂₄的反相输入端和输出端连接电阻R₅₇，运算放大器U₂₄的输出得到V_w。

本发明提出一个新的五阶忆阻超混沌系统，此系统具有丰富的混沌动力学行为，不同的角度的相轨图，可以看到网格以及涡卷等不同的混沌行为。这对于以后利用忆阻器件产生复杂动力学混沌系统迈出了基础的一步。

附图说明

图1为参数A和α可调的g(x)波的关系图；

图2为当a＝2,b＝1000，h＝0，初值(4,1,0,0,0)时混沌吸引子示意图；

图3这当a＝2,b＝1000，h＝0时x,y,z,u,w的时域图；

图4为当a＝2,b＝1000，h＝0，初值(4,1,0,0,0)时混沌吸引子示意图；

图5为本发明实施例的第一个模块的具体电路图；

图6为本发明实施例的第二个模块的具体电路图；

图7为本发明实施例的第三个模块的具体电路图；

图8为本发明实施例的第四个模块的具体电路图；

图9为本发明实施例的第五个模块的具体电路图。

图10为本发明实施例具体电路图实现的混沌吸引子。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步说明。

本发明提出的混沌系统的无量纲方程为：

式中，a，b，c，d，e，f和h是常数，且c＝d＝e＝f＝0.5是固定系数，而a，b和h的设置不同的值得到的混沌吸引子不同。式中有三个非线性项，通过文献(Lidan Wang.MEMRISTORMODEL AND ITS APPLICATION FOR CHAOS GENERATION.International Journal ofBifurcation and Chaos@World Scientific Publishing Company)中的推导，我们可以得到电磁控忆阻器模型f(x)如下：

其中，

式中，x是进入忆阻器的磁通量。文中所用忆阻器模型取：

R_ON＝100Ω,R_OFF＝20kΩ,M(0)＝16kΩ,D＝10nm

第二，三个非线性项都是三角波序函数，其数学表达式为

令M＝1，α＝α_±1∈(0,A]可得三角波函数g(x)与变量x，变参数A和α的关系如图1。

混沌系统方程(1)设置不同的a,b和h的值会有不同的混沌现象出现。当a＝2,b＝1000，h＝0时系统产生丰富的混沌现象。不同的初始条件也会导致混沌结果完全不同。设置初值(4,1,0,0,0)，从不同的角度看会得到涡卷以及网格等不同的吸引子，如图2(a,b,c，d)所示。此时系统的时域波如图3(a)。设置初值(4,0.0001,0,0,1)，同样会看到涡卷以及网格等不同的吸引子，如图4(a,b,c,d)所示。此时系统的时域波如图3(b)。

图2中a：x-y-z平面，b：y-x平面,c：y-u平面，d：z-w平面；图3中，a：初值(4,1,0,0,0)，b；初值(4,1,0,0,0)；图4中a：x-y-z平面,b：y-x平面，c：y-u平面，d：z-w平面。

对于混沌系统方程(1)，利用Jacobi方法计算出Lyapunov指数如图4，其中，有两个正的指数，两个零指数和一个负的指数，分别为：l₁＝0.579845，l₂＝1.000034，l₃＝0.000848，l₄＝0.000038，l₅＝-0.344156。由于计算得到两个零指数，说明此计算方法确实计算的是Lyapunov指数。而且l₁和l₂两个指数值都大于零，是两个正指数，此系统是一个超混沌系统。

根据(1)式得系统的平衡点计算如下：

由于z＝0,u＝0,F₁(y)＝0，式子(5)可以简化为

由式(6)以及所设计三角波序列的特性可以得到x＝-w，则

式中参数a＝2,b＝1000。

由式(7)计算出系统的平衡点只有1个P(1.9028,0,0,0,-1.9028)。此平衡点对应的Jacobin矩阵如式(8)。

其中,K₁＝K₂＝-1分别代表三角波序列g₁(y),g₂(x)在各自线性段函数的负斜率。

下面验证系统在平衡点的稳定性。设系统特征多项式为：

f(λ)＝a₀λ⁵+a₁λ⁴+a₂λ³+a₃λ²+a₄λ+a₅ (9)

根据4.3.1中Jacobin矩阵可得特征多项式中：

a₀＝1,a₁＝0.5,a₂＝0.516,a₃＝1.031,a₄＝0.562,a₅＝0.531

先初步判定此平衡点对于系统是否稳定。根据Routh-Hurwitz稳定条件可知稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数，而上述a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,a₅均是大于0的数，所以可以初步判定可能稳定。因系统是五维的，所以要证明其稳定性还需进一步判定。

根据Routh-Hurwitz判据，现以(9)式中各系数写出如下行列式：

劳斯-赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a₀>0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求：

由(11)式可算出△₂<0，从而这个平衡点P是系统的不稳定平衡点。

在分析混沌的产生时，总所周知，连续发生的分岔现象往往是出现混沌现象的先兆。文中超混沌系统首先不断地分岔然后失稳，最终达到混沌状态

如图5至图9所示，一种忆阻涡卷混沌电路，此电路是根据上面的混沌系统理论得到的，电路中的运放使用TL082。TL082的电源电压是Vcc＝15V,V_EE＝-15V。

图5中U₁和U₂详细连接关系是z状态变量的电压V_z接电阻R₁后输入运算放大器U₁的反相输入端，U₁的反相输入端与输出端之间接有电容C₁实现积分功能；运算放大器U₁的输出接电阻R₂后输入运算放大器U₂的反相输入端，运算放大器U₂的反相输入端与输出端之间接有电阻R₃，运算放大器U₂的输出得到x状态变量的电压V_x。

图6中第二模块的连接关系与图5相同。u状态变量的电压V_u接电阻R₄后输入运算放大器U₃的反相输入端，运算放大器U₃的反相输入端与输出端之间接有电容C₂实现积分功能；运算放大器U₃的输出接电阻R₅后输入运算放大器U₄的反相输入端，运算放大器U₄的反相输入端与输出端之间接有电阻R₆，运算放大器U4的输出得到y状态变量的电压V_y。

图1和2中U₁，U₂，U₃和U₄的有如下表达式：

则其微分方程为：

则令R₂＝R₃＝1kΩ,R₁＝100kΩ,而C₁＝33nF。这样就可以得到。同理R₅＝R₆＝1kΩ,R₄＝100kΩ,而C₂＝33nF。得。

图7中，V_x接电阻R₇后连接运算放大器U₅的反相输入端，在运算放大器U₅的反相输入端和输出端之间还连接有两条支路，其中第一支路为负极连接运算放大器U₅反相输入端、正极连接运算放大器U₅输出端的整流二级管D₁，第二支路为串联的电阻R₉和整流二极管D₂，其中整流二级管D₂的负极连接运算放大器U₅的输出端，运算放大器U₅的同相输入端接电阻R₈后接地；运算放大器U₆的反相输入段接电阻R₁₁后接在电阻R₉和整流二级管D₂之间，运算放大器U₆的同相输入端接电阻R₁₂后接地；V_x端还依次串联电阻R₁₀、电阻R₁₃、电阻R₁₄和电阻R₁₅后接在运算放大器U₇的输出端，运算放大器U₆的反相输入端还通过导线连接在电阻R₁₀和R₁₃之间，运算放大器U₆的输出端连接在电阻R₁₃和电阻R₁₄之间，运算放大器U₇的反相输入端还通过导线连接在电阻R₁₄和R₁₅之间，运算放大器U₇的输出端接在芯片U₈的FLUX端；芯片U₈的是现有技术，具体的参数可以在[Wang,L.D.[2012]\Memristor Model and ItsApplication For Chaos Generation,"Int.J.Bifurc.Chaos Vol.22,No.8]这篇文章中查阅。

运算放大器U₉的同相输入端连接在电阻R₁₆与电阻R₁₇之间，运算放大器U₉的输出端连接在电阻R₁₈与电阻R₁₇之间，运算放大器U₁₀的同相输入端连接在电阻R₁₈与电阻R₁₉之间，运算放大器U₁₀的输出端连接在电阻R₂₀与电阻R₁₉之间，运算放大器U₁₁的同相输入端连接在电阻R₂₃与电阻R₂₀之间，运算放大器U₁₁的反相输入端接地，在运算放大器U₁₁的反相输入端和同相输入端之间还连接有电阻R₂₂和电容V₁，电阻R₂₁的一端接V_w，一端接在运算放大器U₁₁的同相输入端；运算放大器U₁₁的输出端连接在电阻R₂₄与电阻R₂₃之间，运算放大器U₁₂的同相输入端连接在电阻R₂₄和电容C₃之间，运算放大器U₁₂的输出端输出V_z。

U₅,U₆以及U₇所在部分的电路有如下关系(其中运算器U₅,U₆是产生绝对值电路)：

电路中有两个整流二极管，它们的作用是当输入U₅的电压是正电压时U₅导通，相反，如果输入电压为负时截至，即U₅不工作。这样就可以通过电路参数设置来实现绝对值电路。这里的整流二极管D₁和整流二极管D₂使用D120NQ045。

只要使可得V_U4＝|V_x|，则可R₉＝R₁₃＝R₇＝1kΩ，R₁₁＝500kΩ。又有则R₁₀＝1kΩ。而对于U₇有所以设R₁₅＝R₁₄＝1kΩ就可得到V_U6＝-V_U5。从而V_U7＝-|V_x|。

U₇的输出电压输入忆阻器模型U₈的FLUX，而从CHANGE输出通过R₁₆连接到U₉的输入端。这样CHANGE输出得f(-|x|)这一项。为了得到1000f(-|x|)前面的系数1000，U₉的反馈接R₁₇，其输出通过R₁₈接U₁₀的负输入端，反馈接R₁₉。即

则设置R₁₉＝1KΩ,R₁₇＝10KΩ,R₁₆＝100Ω,R₁₈＝100Ω,从而得到V_U9＝1000f(-|x|)。

再看U₁₁和U₁₂，U₁₀的输出连R₂₀，w状态变量的电压V_w连R₂₁以及直流电压V₁连R₂₂分别接U₁₁负输入端，正输入端接直流电压V₁的负端，反馈接R₂₃实现加法器的功能。U₁₁的输出接R₂₄输入U₁₂的负输入端，反馈接C₃实现积分的功能得到V_z。与U₁₁相连的直流电压为2V。有如下电路关系：

这样设置R₂₀＝R₂₁＝R₂₂＝R₂₃＝1KΩ，C₃＝1uF，R₂₄＝100kΩ。最后就有

图8中，三个运算器U₁₃,U₁₄,U₁₅是用来产生三角波，其详细连接关系是；

直流电压V_AA通过电阻R₂₅以及滑动变阻器R₂₆接地，而滑动变阻器R₂₆的滑动抽头接运算放大器U13的反相输入端；V_y经电阻R₂₉接入运算放大器U₁₃的同相输入端，电阻R₃₁接在运算放大器U₁₃的同相输入端和输出端之间；

直流电压V_BB通过电阻R₂₇以及滑动变阻器R₂₈接地，而滑动变阻器R₂₈的滑动抽头接运算放大器U14的反相输入端；V_y经电阻R₃₀接入运算放大器U₁₄的同相输入端，电阻R₃₂接在运算放大器U₁₄的同相输入端和输出端之间。运算放大器U₁₃和运算放大器U₁₄的输出端分别连电阻R_iv后同时接入运算放大器U₁₅的同相输入端，V_y连电阻R₃₃后也接入运算放大器U₁₅的同相输入端，运算放大器U₁₅的同相输入端和输出端之间连接有电阻R₃₄，这样运算放大器U₁₅输出得到三角波；

运算放大器U₁₅的输出端连接电阻R₃₅后接在运算放大器U₁₆的反相输入端，运算放大器U₁₆的反相输入端和输出端之间连接有电阻R₃₆，在运算放大器U₁₆的同相输入端上还连接电阻R₃₇后接地；运算放大器U₁₆的输出端接电阻R₃₈后接在运算放大器U₁₇的反相输入端，运算放大器U₁₇的反相输入端和输出端之间连接有电容C₄，运算放大器U₁₇的输出端接电阻R₃₉后接在运算放大器U₁₈的反相输入端，运算放大器U₁₈的反相输入端和输出端之间连接有电阻R₄₀，运算放大器U₁₈的输出端输出V_u。

据图5以及式(4)中A与三角波平衡点的关系，为了得到更好的混沌系统，可设A＝1作为典型参数来设计三角波电路。这时，三角波序列对应的正斜率平衡点的电压值是±1V-±3V。为了得到这个电压值设计一个分压电路，可以通过调节电阻R₂₅,R₂₆,R₂₇,R₂₈的得到不同的分压值。这里的V_AA和V_BB分别是±15V。图中的R_iv和R_iv是电压电流转换电阻。因为实验测得各运算放大器的输出饱和电压为V_sat＝13.5V，则决定R_iv＝R_iv＝13.5K。R₃₃是为了产生三角波的负斜率而设置的。当R₃₃＝1K时，可得三角波负斜率K_＝-1。图中右边上下两个放大器，是用来决定相对转折点α的大小的。而α与R₃₁，R₂₉及V_sat的关系如下；

V_sat的值是确定的，则文中选取R₃₁＝R₃₂＝200kΩ，R₂₉＝R₃₀＝1kΩ可得α＝0.068。

U₁₅输出的三角波通过R₃₅输入U₁₆的负向端；同时U₁₆的正输入端通过R₃₇接地；其输出通过R₃₈输入U₁₇的负输入端。U₁₇利用反馈电路连接C₄实现积分，其输出连R₃₉输入U₁₈的负端，而U₁₈反馈接R₄₀，输出得到V_u。设U₁₅输出的三角波为U₁₅＝ξg₁(y)(ξ是系数)。而U₁₆,U₁₇,U₁₈的电路关系式为：

则R₃₆＝R₄₀＝1KΩ,R₃₅＝R₃₉＝10KΩ。试验中通过调节取C₄＝33nF,R₃₈＝100kΩ满足的要求，从而得到

图9中的三个运算器U₁₉,U₂₀,U₂₁是用来产生三角波，电路参数以及连接关系与图4所述对应一致。

直流电压V_AA通过电阻R₄₁以及滑动变阻器R₃₅接地，而滑动变阻器R₃₅的滑动抽头接运算放大器U₁₉的反相输入端；V_x连电阻R₄₃接入运算放大器U₁₉的同相输入端，电阻R₄₅接在运算放大器U₁₉的同相输入端和输出端之间。

直流电压V_BB通过电阻R₄₂以及滑动变阻器R₃₇接地，而滑动变阻器R₃₇的滑动抽头接运算放大器U₂₀的反相输入端；V_x连电阻R₄₄接入运算放大器U₂₀的同相输入端，电阻R₄₆接在运算放大器U₂₀的同相输入端和输出端之间。运算放大器U₁₉和运算放大器U₂₀的输出端分别连电阻R_iv后同时接入运算放大器U₂₁的同相输入端，V_x连电阻R₄₇后也接入运算放大器U₂₁的同相输入端，运算放大器U₂₁的同相输入端和输出端之间连接有电阻R₄₈，这样运算放大器U₂₁输出得到三角波；

设置C₅＝33nF，R₅₅＝100kΩ，R₅₆＝R₅₇＝10KΩ。

关于U₂₂，设其正反向输入端为p和n。则有：

其中，R_p＝R₄₉//R₅₀，而R_p＝R₅₁//R₅₂//R₅₃//R₅₄。又根据放大器虚短的原则，R_p＝R_n。根据这样的关系设置R₅₁＝R₅₂＝R₅₃＝10kΩ，R₅₄＝5kΩ，R₅₀＝10kΩ，R₃₇＝2.5kΩ。最终得到

Claims

1.一种具有丰富动力学行为的忆阻超混沌电路，其特征在于：由以下电路构成：

（1）x状态实现电路：

z状态变量的电压Vz经电阻R1后输入运算放大器U1的反相输入端，U1的反相输入端与输出端之间接有电容C1实现积分功能；运算放大器U1的输出经电阻R2后输入运算放大器U2的反相输入端，运算放大器U2的反相输入端与输出端之间接有电阻R3，运算放大器U2的输出得到x状态变量的电压Vx；

（2）y状态实现电路：

u状态变量的电压Vu经电阻R4后输入运算放大器U3的反相输入端，运算放大器U3的反相输入端与输出端之间接有电容C2实现积分功能；运算放大器U3的输出经电阻R5后输入运算放大器U4的反相输入端，运算放大器U4的反相输入端与输出端之间接有电阻R6，运算放大器U4的输出得到y状态变量的电压Vy；

（3）z状态实现电路：

电压Vx经电阻R7后连接运算放大器U5的反相输入端，在运算放大器U5的反相输入端和输出端之间还连接有两条支路，其中第一支路为负极连接运算放大器U5反相输入端、正极连接运算放大器U5输出端的整流二级管D1，第二支路为串联的电阻R9和整流二极管D2，其中整流二级管D2的负极连接运算放大器U5的输出端，运算放大器U5的同相输入端经电阻R8后接地；运算放大器U6的反相输入端经电阻R11后接在电阻R9和整流二级管D2之间，运算放大器U6的同相输入端经电阻R12后接地；

电压Vx端还依次串联电阻R10、电阻R13、电阻R14和电阻R15后接在运算放大器U7的输出端，运算放大器U6的反相输入端还通过导线连接在电阻R10和R13之间，运算放大器U6的输出端连接在电阻R13和电阻R14之间，运算放大器U7的反相输入端还通过导线连接在电阻R14和R15之间，运算放大器U7的输出端接在芯片U8的FLUX端；

芯片U8的CHANGE端依次连经电阻R16、电阻R17、电阻R18、电阻R19、电阻R20、电阻R23、电阻R24及电容C3后连接运算放大器U12的输出端；

运算放大器U9的同相输入端连接在电阻R16与电阻R17之间，运算放大器U9的输出端连接在电阻R18与电阻R17之间，运算放大器U10的同相输入端连接在电阻R18与电阻R19之间，运算放大器U10的输出端连接在电阻R20与电阻R19之间，运算放大器U11的同相输入端连接在电阻R23与电阻R20之间，运算放大器U11的反相输入端接地，在运算放大器U11的反相输入端和同相输入端之间还连接有电阻R22和电容V1，电阻R21的一端接电压Vw，一端接在运算放大器U11的同相输入端；运算放大器U11的输出端连接在电阻R24与电阻R23之间，运算放大器U12的同相输入端连接在电阻R24和电容C3之间，运算放大器U12的输出端输出电压Vz；

（4）u状态实现电路：

直流电压VAA通过电阻以及滑动变阻器接地，而滑动变阻器的滑动抽头接运算放大器U13的反相输入端；电压Vy经电阻接入运算放大器U13的同相输入端，电阻接在运算放大器U13的同相输入端和输出端之间；

直流电压VBB通过电阻以及滑动变阻器接地，而滑动变阻器的滑动抽头接运算放大器U14的反相输入端；电压Vy经电阻接入运算放大器U14的同相输入端，电阻R32接在运算放大器U14的同相输入端和输出端之间；运算放大器U13和运算放大器U14的输出端分别连电阻后同时接入运算放大器U15的同相输入端，电压Vy连电阻后也接入运算放大器U15的同相输入端，运算放大器U15的同相输入端和输出端之间连接有电阻，这样运算放大器U15输出得到三角波；

运算放大器U15的输出端连经电阻R35后接在运算放大器U16的反相输入端，运算放大器U16的反相输入端和输出端之间连接有电阻R36，在运算放大器U16的同相输入端上还连经电阻R37接地；运算放大器U16的输出端经电阻R38后接在运算放大器U17的反相输入端，运算放大器U17的反相输入端和输出端之间连接有电容C4，运算放大器U17的输出端经电阻R39后接在运算放大器U18的反相输入端，运算放大器U18的反相输入端和输出端之间连接有电阻R40，运算放大器U18的输出端输出电压Vu；

（5）w状态实现电路：

直流电压VAA通过电阻R41以及滑动变阻器R35接地，而滑动变阻器R35的滑动抽头接运算放大器U19的反相输入端；电压Vx连电阻R43接入运算放大器U19的同相输入端，电阻R45接在运算放大器U19的同相输入端和输出端之间；

直流电压VBB通过电阻R42以及滑动变阻器R37接地，而滑动变阻器R37的滑动抽头接运算放大器U20的反相输入端；电压Vx连电阻R44接入运算放大器U20的同相输入端，电阻R46接在运算放大器U20的同相输入端和输出端之间；运算放大器U19和运算放大器U20的输出端分别连电阻后同时接入运算放大器U21的同相输入端，电压Vx连电阻R47后也接入运算放大器U21的同相输入端，运算放大器U21的同相输入端和输出端之间连接有电阻R48，这样运算放大器U21输出得到三角波；

运算放大器U22的反相输入端通过电阻R51接电压Vz，通过电阻R52接电压Vu以及通过电阻R53接电压Vw，而运算放大器U21的输出端通过电阻R50输入运算放大器U22同相输入端，运算放大器U22反相输入端和输出端经电阻R54实现加法器的功能，运算放大器U22的输出端通过电阻R55输入运算放大器U23的反相输入端，运算放大器U23的反相输入端和输出端之间连接电容C5实现积分，运算放大器U23的输出端电阻R56后输入运算放大器U24的反相输入端，而运算放大器U24的反相输入端和输出端连经电阻R57，运算放大器U24的输出得到电压Vw。