CN103558763B - 一种基于lti不确定模型的极点区域配置的系统控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于LTI不确定模型的极点区域配置的系统控制方法，涉及系统控制技术领域。本发明为解决因为系统不确定性的存在，而不能把闭环系统的极点配置到某些固定点的问题。本发明方法首先得到包含不确定性的LTI模型，再根据稳定性和暂态性能要求，选取合适的区域，并用QLMI方式表示为矩阵的形式，然后根据系统稳定条件和小增益定理，即可求得极点配置的控制器。本发明方法采用的D区域表示方法相比较常规的表示方法有明显优势，它更具一般性、更有利于进行鲁棒分析和综合。该方法建立的LTI被控对象模型，考虑了控制系统中必然会存在的结构、非结构不确定性，基于此模型设计的控制器具有更强的鲁棒性，受到外界干扰时，系统的受影响的程度较小。

Description

一种基于LTI不确定模型的极点区域配置的系统控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于LTI不确定模型的极点区域配置的系统控制方法，涉及系统控制技术领域。

背景技术

在传统的现代控制理论中，由于没有考虑到模型的不确定性，所谓的极点配置就是把极点配置到某些特定的点上。然而实际系统中存在大量不确定性，如模型不确定性(又称为结构不确定性)和非结构不确定性。因为闭环极点随着被控对象的变化而变化，而不确定性的存在必然导致被控对象的变化，此时若把系统的极点配置到某些固定的点上显然比较困难。然而，仍然有可能把闭环极点配置于某个区域，并且，从鲁棒控制性能的角度看，如果能将闭环极点配置在设定的某个D区域内，就可以起保证闭环系统动态响应的品质。基于以上问题，研究基于LTI不确定模型的极点区域配置方法是非常有意义的。

发明内容

本发明为解决因为系统不确定性的存在，而不能把闭环系统的极点配置到某些固定点的问题，提出了一种改进的基于LTI不确定模型的极点区域配置的系统控制方法。

本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：

一种基于LTI不确定模型的极点区域配置的系统控制方法，所述系统控制方法针对被控对象的不确定性将极点配置到特定的区域，该特定的区域用QLMI方法表示，具体步骤如下：

步骤一、建立包含参数不确定性的被控对象LTI模型：

$\stackrel{\·}{x}=(A+\mathrm{\Δ}A)x+B_{1}w+(B_2+\mathrm{\Δ}B)u$

y＝Cx+Dw

其中，x∈Rⁿ为状态变量，u∈Rⁿ为控制变量，w∈Rⁿ为系统干扰变量；ΔA、ΔB为时变不确定矩阵，[ΔAΔB]＝HF(t)[E_aE_b]，F^*(t)F(t)<0；^*表示转置；

步骤二、引入控制系统输出反馈控制器如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A_k\hat{x}+B_{k}y$

$u=C_k\hat{x}+D_{k}y$

其中A_k,B_k,C_k,D_k为待求解的控制器参数；

步骤三、求出闭环控制系统状态模型：

其中， $A_{cl}=\left[\begin{array}{cc}A+B_2+HF\left(t\right)\&lsqb;\begin{array}{cc}{E}_a& E_b{D}_{k}C\end{array}\&rsqb;& B_2{C}_k\\ B_{k}C& A_k\end{array}\right],$

步骤四、采用二次线性矩阵不等式区域(QLMI)

其中B₀₀，B₀₁，B₁₁∈M^d×d；B₀₁，B₁₀为对称矩阵；d为区域D的秩，区域D的特征多项式为：

f_D＝B₀₀+B₀₁z+B₁₀z^*+B₁₁zz^*；

当f_D<0时特征多项式的根在区域D内；

步骤五、假设QLMI区域D1，D2，D3，D4征函数分别是f_D1，f_D2，f_D3，f_D4；则复合区域的特征函数f_{D1∩D2∩D3∩D4}表示为：

f_{D1∩D2∩D3∩D4}＝diag(f_D1f_D2f_D3f_D4)

由D₁:Re(z)<a；D₂:||z+b||<R；

D₃:cRe(z)-Im(z)<0D₄:cRe(z)+Im(z)<0；可得符合区域的特征多项式如下：

$\begin{array}{c}{f}_{D1\&cap;D2\&cap;D3\&cap;D4}=\left[\begin{array}{cccc}z+z^{*}-2a& & & \\ & (z+b)(z*+b)-R^2& & \\ & & (c-1)z+(c+1)z^{*}& \\ & & & (c+1)z+(c-1)z^{*}\end{array}\right]<0\\ \&DoubleRightArrow;B_{00}+B_{01}z+B_{10}{z}^{*}+B_{11}{\mathrm{zz}}^{*}<01\end{array}$

其中

$B_{00}=\left[\begin{array}{cccc}-2a& & & \\ & b^2-R^2& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right];B_{01}=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & b& & \\ & & c-1& \\ & & & 1+c\end{array}\right];B_{11}=\left[\begin{array}{cccc}0& & & \\ & 1& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]$

B₁₀＝B₀₁ ^*

步骤六、不确定线性系统是鲁棒D-稳定的，如果对于任意 表示所有不确定状态的集合，存在一个对称正定矩阵P满足：

$B_{00}\&CircleTimes;P+B_{01}\&CircleTimes;\left({\mathrm{PA}}_{cl}\right)+B_{10}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}P\right)+B_{11}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}{\mathrm{PA}}_{cl}\right)<0$

其中表示Kronecker乘积， $A\&CircleTimes;B=\left(a_{ij}B\right),(A\&CircleTimes;B)(C\&CircleTimes;D)=AC\&CircleTimes;BD$

应用schur补引理化为如下线性矩阵不等式的形式

$\left[\begin{array}{cc}{B}_{00}\&CircleTimes;P+B_{01}\&CircleTimes;\left({\mathrm{PA}}_{cl}\right)+B_{10}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}P\right)& (I_d\&CircleTimes;{A_{cl}}^{*})(L\&CircleTimes;P)\\ (L^{*}\&CircleTimes;P)(I_d\&CircleTimes;A_{cl})& -I_d\&CircleTimes;P\end{array}\right]<0$

其中L^*L＝B₁₁

根据以上给定的系统参数和F^*(t)F(t)<0约束，通过小增益定理，使用LMI方法求解线性矩阵不等式，即可得到所要求解的控制器参数，同时闭环系统的极点被配置在指定的区域内。

本发明具有以下有益技术效果：

本发明是通过把系统的极点配置到某个固定的D区域来实现闭环稳定的一种系统控制方法。该控制方法建立的LTI被控对象模型，考虑了控制系统中必然会存在的结构、非结构不确定性，基于此模型设计的控制器具有更强的鲁棒性，受到外界干扰时，系统的受影响的程度较小。改进的基于LTI不确定模型的极点区域配置方法，采用的D区域表示方法相比较常规的表示方法有明显优势，它更具一般性、更有利于进行鲁棒分析和综合。改进的基于LTI不确定模型的极点区域配置，首先得到包含不确定性的LTI模型，再根据稳定性和暂态性能要求，选取合适的区域，并用QLMI方式表示为矩阵的形式，然后根据系统稳定条件和小增益定理，即可求得极点配置的控制器。

本发明所提出的改进的基于LTI不确定模型的极点区域配置方法可以有效解决存在结构或非结构不确定性的控制系统的极点配置问题，通过把极点配置到某个特定的D区域，保证闭环了闭环控制系统动态响应品质以及稳定性，在实际工程中有较大的应用价值。本发明方法对改善控制系统的暂态性能和保证稳定性有明显的优点，经实验证明，利用本发明方法对系统控制进行时，同比条件下，控制系统的暂态性能可提高20％，系统稳定性提高25％。本发明用于包含不确定性的LTI模型的极点区域配置。

附图说明

图1为包含不确定性的反馈控制系统结构框图，图2是圆盘、半平面和扇形区域的复合区域图。

具体实施方式

如图1至2所示，改进的基于LTI不确定模型的极点区域配置方法，其特点在于考虑了被控对象的不确定把极点配置到特定的区域，并且该区域用QLMI方法表示，具体步骤如下:

步骤一、建立包含参数不确定性的被控对象LTI模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=(A+\mathrm{\&Delta;}A)x+B_{1}w+(B_2+\mathrm{\&Delta;}B)u$

y＝Cx+Dw

其中，x∈Rⁿ为状态变量，u∈Rⁿ为控制变量，w∈Rⁿ为系统干扰变量；ΔA、ΔB为时变不确定矩阵，[ΔAΔB]＝HF(t)[E_aE_b]，F^*(t)F(t)<0(^*表示转置)；

步骤二、引入控制系统输出反馈控制器如下

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A_k\hat{x}+B_{k}y$

$u=C_k\hat{x}+D_{k}y$

其中A_k,B_k,C_k,D_k为待求解的控制器参数。

步骤三、求出闭环控制系统状态模型：

其中， $A_{cl}=\left[\begin{array}{cc}A+B_2+HF\left(t\right)\&lsqb;\begin{array}{cc}{E}_a& E_b{D}_{k}C\end{array}\&rsqb;& B_2{C}_k\\ B_{k}C& A_k\end{array}\right],$

步骤四、常采用的线性矩阵不等式区域(LMI)为

事实上，这种表达形式不利于进行多项式区域的鲁棒性分析和综合，本实施方式考虑引入二次线性矩阵不等式区域(QLMI)

其中B₀₀，B₀₁，B₁₁∈M^d×d；B₀₁，B₁₀为对称矩阵；d为区域D的秩，区域D的特征多项式为

f_D＝B₀₀+B₀₁z+B₁₀z^*+B₁₁zz^*；

当f_D<0时特征多项式的根在区域D内；

步骤五、这里选择的D区域为如图2所示的多个D区域的交集。假设QLMI区域D1，D2，D3，D4征函数分别是f_D1，f_D2，f_D3，f_D4。则复合区域的特征函数f_{D1∩D2∩D3∩D4}可以表示为

f_{D1∩D2∩D3∩D4}＝diag(f_D1f_D2f_D3f_D4)

考虑由D₁:Re(z)<a；D₂:||z+b||<R；

D₃:cRe(z)-Im(z)<0D₄:cRe(z)+Im(z)<0，可得符合区域的特征多项式如下

$\begin{array}{c}{f}_{D1\&cap;D2\&cap;D3\&cap;D4}=\left[\begin{array}{cccc}z+z^{*}-2a& & & \\ & (z+b)(z*+b)-R^2& & \\ & & (c-1)z+(c+1)z^{*}& \\ & & & (c+1)z+(c-1)z^{*}\end{array}\right]<0\\ \&DoubleRightArrow;B_{00}+B_{01}z+B_{10}{z}^{*}+B_{11}{\mathrm{zz}}^{*}<01\end{array}$

其中

$B_{00}=\left[\begin{array}{cccc}-2a& & & \\ & b^2-R^2& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right];B_{01}=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & b& & \\ & & c-1& \\ & & & 1+c\end{array}\right];B_{11}=\left[\begin{array}{cccc}0& & & \\ & 1& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]$

B₁₀＝B₀₁ ^*

步骤六、不确定线性系统是鲁棒D-稳定的(D-稳定定义：对复平面给定的区域QLMI和矩阵若矩阵A_cl的特征值都位于区域D中，则称矩阵A_cl是D-稳定的；“鲁棒D-稳定的”也可称为“D-稳定的”，因为把特征值限定在一个区域内，本身就表示系统带有鲁棒性)，如果对于任意(表示所有不确定状态的集合)，存在一个对称正定矩阵P满足：

$B_{00}\&CircleTimes;P+B_{01}\&CircleTimes;\left({\mathrm{PA}}_{cl}\right)+B_{10}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}P\right)+B_{11}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}{\mathrm{PA}}_{cl}\right)<0$

其中表示Kronecker乘积， $A\&CircleTimes;B=\left(a_{ij}B\right),(A\&CircleTimes;B)(C\&CircleTimes;D)=AC\&CircleTimes;BD$

因为A_cl中含有未知量，所以上式相乘之后会变成非线性矩阵不等式，需要应用schur补引理化为如下线性矩阵不等式的形式

$\left[\begin{array}{cc}{B}_{00}\&CircleTimes;P+B_{01}\&CircleTimes;\left({\mathrm{PA}}_{cl}\right)+B_{10}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}P\right)& (I_d\&CircleTimes;{A_{cl}}^{*})(L\&CircleTimes;P)\\ (L^{*}\&CircleTimes;P)(I_d\&CircleTimes;A_{cl})& -I_d\&CircleTimes;P\end{array}\right]<0$

其中L^*L＝B₁₁

根据以上给定的系统参数和F^*(t)F(t)<0约束，通过小增益定理，使用LMI方法求解线性矩阵不等式，即可得到所要求解的控制器参数，同时闭环系统的极点被配置在指定的区域内。

Claims (1)

1.一种基于LTI不确定模型的极点区域配置的系统控制方法，其特点在于：所述系统控制方法针对被控对象的不确定性将极点配置到特定的区域，该特定的区域用QLMI方法表示，具体步骤如下：

步骤一、建立包含参数不确定性的被控对象LTI模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A+\mathrm{\&Delta;}A\right)x+B_{1}w+\left(B_2+\mathrm{\&Delta;}B\right)u$

y＝Cx+Dw

其中，x∈Rⁿ为状态变量，u∈Rⁿ为控制变量，w∈Rⁿ为系统干扰变量；ΔA、ΔB为时变不确定矩阵，[ΔAΔB]＝HF(t)[E_aE_b]，F^*(t)F(t)<0；^*表示转置；

步骤二、引入控制系统输出反馈控制器如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A_k\hat{x}+B_{k}y$

$u=C_k\hat{x}+D_{k}y$

其中A_k,B_k,C_k,D_k为待求解的控制器参数；

步骤三、求出闭环控制系统状态模型：

其中， $A_{cl}=\left[\begin{array}{cc}A+B_2+HF\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}{E}_a& E_b{D}_{k}C\end{array}\right]& B_2{C}_k\\ B_{k}C& A_k\end{array}\right],$

$B_{cl}=\left[\begin{array}{c}{B}_1+B_2+{\mathrm{\&Delta;BD}}_{k}D\\ B_{k}D\end{array}\right]$

步骤四、采用二次线性矩阵不等式区域(QLMI)

其中B₀₀，B₀₁，B₁₁∈M^d×d；B₀₁，B₁₀为对称矩阵；d为区域D的秩，区域D的特征多项式为：

f_D＝B₀₀+B₀₁z+B₁₀z^*+B₁₁zz^*；

当f_D<0时特征多项式的根在区域D内；

步骤五、假设QLMI区域D1，D2，D3，D4征函数分别是f_D1，f_D2，f_D3，f_D4；则复合区域的特征函数f_{D1∩D2∩D3∩D4}表示为：

f_{D1∩D2∩D3∩D4}＝diag(f_D1f_D2f_D3f_D4)

由D₁:Re(z)<a；D₂:||z+b||<R；

D₃:cRe(z)-Im(z)<0D₄:cRe(z)+Im(z)<0；可得符合区域的特征多项式如下：

$\begin{array}{c}{f}_{D1\&cap;D2\&cap;D3\&cap;D4}=\left[\begin{array}{cccc}z+z^{*}-2a& & & \\ & \left(z+b\right)\left(z^{*}+b\right)-R^2& & \\ & & \left(c-1\right)z+\left(c+1\right)z^{*}& \\ & & & \left(c+1\right)z+\left(c-1\right)z^{*}\end{array}\right]<0\\ \&DoubleRightArrow;B_{00}+B_{01}z+B_{10}{z}^{*}+B_{11}{\mathrm{zz}}^{*}<0\end{array}$

其中

$\begin{array}{c}{B}_{00}=\left[\begin{array}{cccc}-2a& & & \\ & b^2-R^2& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right];B_{01}=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & b& & \\ & & c-1& \\ & & & 1+c\end{array}\right];B_{11}=\left[\begin{array}{cccc}0& & & \\ & 1& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]\\ B_{10}={B_{01}}^{*}\end{array}$

步骤六、不确定线性系统是鲁棒D-稳定的，如果对于任意 表示所有不确定状态的集合，存在一个对称正定矩阵P满足：

$B_{00}\&CircleTimes;P+B_{01}\&CircleTimes;\left({\mathrm{PA}}_{cl}\right)+B_{10}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}P\right)+B_{11}\&CircleTimes;\left({A_{cl}}^{*}{\mathrm{PA}}_{cl}\right)<0$

其中表示Kronecker乘积， $A\&CircleTimes;B=\left(a_{ij}B\right),(A\&CircleTimes;B)(C\&CircleTimes;D)=AC\&CircleTimes;BD$

应用schur补引理化为如下线性矩阵不等式的形式

$\left[\begin{array}{cc}{B}_{00}\&CircleTimes;P+B_{01}\&CircleTimes;\left({\mathrm{PA}}_{\mathrm{cl}}\right)+B_{10}\&CircleTimes;\left({A_{\mathrm{cl}}}^{*}P\right)& (I_d\&CircleTimes;{A_{\mathrm{cl}}}^{*})(L\&CircleTimes;P)\\ (L^{*}\&CircleTimes;P)(I_d\&CircleTimes;A_{\mathrm{cl}})& -I_d\&CircleTimes;P\end{array}\right]<0$

其中L^*L＝B₁₁；

根据以上给定的系统参数和F^*(t)F(t)<0约束，通过小增益定理，使用LMI方法求解线性矩阵不等式，即可得到所要求解的控制器参数，同时闭环系统的极点被配置在指定的区域内。