CN105093933A - 一种确定lpv变增益控制器的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定LPV变增益控制器的方法，该方法包括：根据系统建模误差和LPV参数在线测量偏差，通过模型转换得到参数不确定的LPV系统的线性系统的控制器求解问题的标准形式；将线性系统的控制器求解问题转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题；求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y；依次计算得到控制器K₁中的参数C_K1,B_K1,A_K1；根据控制器K₁中的参数，确定控制器K中的参数。通过使用本发明所提供的方法，可以设计单一的具有自调节法则的控制器，可以保证闭环系统的稳定，且具有良好的动态性能和鲁棒性。

Description

一种确定LPV变增益控制器的方法

技术领域

本发明涉及航空航天技术，特别涉及一种确定线性参数变化(LPV，LinearParameterVarying)变增益控制器的方法。

背景技术

高超声速飞行器的动态性能受变化参数的影响，而且这些变化的参数构成了它们的工作空间(比如高度、马赫数、温度等)。利用LPV变增益理论设计控制方案，可以使控制器在整个工作空间中工作，控制器根据系统模型的参数而变化，可以使飞行器在整个飞行过程中的大包线范围内始终具有良好的动态性能和鲁棒性。

但是，现有技术中的飞行器控制器设计通常采用的方法是增益调度技术，该技术虽然能够保证系统在每个工作点附近满足要求的性能，但是高超声速飞行器在飞行过程中的高度、速度、攻角、动压等参数将随着飞行轨迹的变化而发生剧烈变化，系统状态距离线性化的平衡点较远，系统参数变化较快，外界扰动强，因此，现有技术中的基于增益预置方法的控制器存在明显的缺陷，需要设计的线性化控制器也随之增多，依赖于大量的数值计算，并且无法从理论上保证系统在整个参数区域内的控制性能和稳定性。

发明内容

有鉴于此，本发明提供一种确定LPV变增益控制器的方法，从而可以确定LPV控制器的稳定性。

本发明的技术方案具体是这样实现的：

一种确定LPV变增益控制器的方法，该方法包括：

A、根据系统建模误差和LPV参数在线测量偏差，通过模型转换得到参数不确定的LPV系统的线性系统的控制器求解问题的标准形式；

B、将线性系统的控制器求解问题转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题；

C、求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y；

D、依次计算得到控制器K₁中的参数C_K1,B_K1,A_K1；

E、根据控制器K₁中的参数，确定控制器K中的参数。

较佳的，所述步骤A包括：

考虑参数不确定性，对系统建模误差和LPV参数在线测量误差中的可确定信息进行进一步的提取，得到如下形式的LPV系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_1\Σ\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_1\Σ(t\left)F_2\right)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_2\Σ\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_2\Σ(t\left)F_2\right)u+D_{1}w\\ w\left(t\right)={\mathrm{\Δ}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\end{array}\right.;$

其中，参变矩阵均为LPV参数向量q(t)的测量值的仿射函数，B₁、D₁、E₁、E₂、F₁、F₂均是确定的时不变矩阵；

用z表示表示所述LPV系统的可测量输出，则有：

$z=C_1\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x+D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)u+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)w+{\mathrm{\ΔC}}_{1}x+{\mathrm{\ΔD}}_{11}u;$

因此，将所述LPV系统进一步写成：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_1\Σ\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_1\Σ(t\left)F_2\right)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_2\Σ\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_2\Σ(t\left)F_2\right)u+D_{1}w\\ z=C_1\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x+D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)u+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)w+E_3\ΣF_{1}x+E_3\ΣF_{2}u\\ w\left(t\right)={\mathrm{\Δ}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\end{array}\right.;$

与所述LPV系统相对应的控制器K表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_k=A_k\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x_k+B_k\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)z\\ u=C_k\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x_k+D_k\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)z\end{array}\right.;$

其中，是的函数；使得所述由LPV系统与控制器K组成的闭环系统满足如下条件：

1)闭环系统参数依赖稳定；

2)被控输出y和扰动w满足指标是γ的H_∞性能指标：

令：

$\hat{z}=C_1\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)w+E_3{\mathrm{\ΣF}}_{1}x+E_3{\mathrm{\ΣF}}_{2}u;$

则对于相对应的第二LPV系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\Σ}\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+-E_1\mathrm{\Σ}(t\left)F_2\right)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\Σ}\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\θ}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\Σ}(t\left)F_2\right)u+D_{1}w\\ \hat{z}=C_1\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)w+E_{3}d\\ w\left(t\right)={\mathrm{\Δ}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\\ d\left(t\right)=\mathrm{\Σ}\left(t\right)(F_{1}x+F_{2}u)\end{array}\right.;$

则设该第二LPV系统的控制器为K₁：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_k=A_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t))x_k+B_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)\hat{z}\\ u=C_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)x_k+D_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)\hat{z}\end{array}\right.;$

根据 $\hat{z}=z-D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right(t\left)\right)u,$ 得控制器K：

A_k＝A_k1-B_k1(I+D₁₁D_k1)^-1D₁₁C_k1

B_k＝B_k1(I+D₁₁D_k1)^-1

C_k＝(I+D_k1D₁₁)^-1C_k1。

D_k＝D_k1(I+D₁₁D_k1)^-1

较佳的，所述步骤B包括：

将由所述第二LPV系统和控制器K₁组成的闭环系统表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_c=A_c{x}_c+B_{cx}\mathrm{\Δ}{C}_{cx}{x}_c\\ y=C_c{x}_c+E_{cx}{\mathrm{\ΔC}}_{cx}{x}_c\end{array}\right.;$

其中：

$x_c=\left[\begin{array}{c}x\\ x_k\end{array}\right],A_c=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right],B_{cx}=\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right],C_{cx}=\left[\begin{array}{c}{F}_1,F_2{C}_{k1}\\ C_w,D_w{C}_{k1}\end{array}\right],$

$\mathrm{\Δ}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Σ}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ}}_w\end{array}\right]C_c=\[C_0,D_0{C}_{k1}\],E_{cx}=\[E_2,D_1\];$

进一步，所述闭环系统等价于：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_c=A_c{x}_c+B_{cx}p\\ y=C_c{x}_c+E_{cx}p\\ q=C_{cx}{x}_c\\ p=\mathrm{\Δ}q\end{array}\right.;$

令与所述闭环系统对应的Lyapunov函数为V(x)＝x^TPx，满足系统稳定要求：

P＞0且 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)<0;$

得到第一不等式：

$x_c^T(A_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P})x_c+x_c^T{\mathrm{PB}}_{cx}p+p^T{B}_{cx}^T{\mathrm{Px}}_c<0;$

因为p＝Δq，Δ^TΔ≤I，即p^Tp≤q^Tq，得到第二不等式：

q^Tq-p^Tp≥0；

当所述第一不等式和第二不等式同时成立时，等价于存在常数δ＞0使得以下第三不等式成立：

$x_c^T(A_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P})x_c+x_c^T{\mathrm{PB}}_{cx}p+p^T{B}_{cx}^T{\mathrm{Px}}_c+\mathrm{\&delta;}(q^{T}q-p^{T}p)<0;$

令P＝δP，则所述第三不等式成立等价于：

$\left[\begin{array}{ccc}{A}_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P}& {\mathrm{PB}}_{cx}& C_{cx}^T\\ B_{cx}^{T}P& -I& 0\\ C_{cx}& 0& -I\end{array}\right]<0$

即下述LMI不等式成立：

$\left[\begin{array}{ccc}{\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]}^{T}P+P\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]+\stackrel{\&CenterDot;}{P}& P\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}{F}_1^T& C_w^T\\ C_{k1}^T{F}_2^T& C_{k1}^T{D}_w^T\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]}^{T}P& -I& 0\\ \left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]& 0& -I\end{array}\right]<0.$

较佳的，所述步骤C包括：

对所述LMI不等式应用Schur补引理知，所述LMI不等式成立等价于如下第四不等式成立：

${\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]}^{T}P+P\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]+\stackrel{\&CenterDot;}{P}+P\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right];$

${\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]}^{T}P+{\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]<0$

如果记所述第四不等式的左端为Γ，且令：

$P=\left[\begin{array}{cc}X& Y^{-1}-X\\ Y^{-1}-X& X-Y^{-1}\end{array}\right],T=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ I& I\end{array}\right];$

则有：

$P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}Y& Y\\ Y& Y+{(X-Y^{-1})}^{-1}\end{array}\right],T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -I& I\end{array}\right];$

Γ负定，等价于T^TΓT负定。令：

$T^T\mathrm{\&Gamma;}T=\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}$

$\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}=\left[\begin{array}{cc}{A}_0^T+C_{k1}^T{B}_0^T& C_1^T{B}_{k1}^T-A_0^T+A_{k1}^T{-C_{k1}^{T}B}_0^T\\ C_{k1}^T{B}_0^T& A_{k1}^T-C_{k1}^T{B}_0^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_0+B_0{C}_{k1}& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1-A_0+A_{k1}-B_0{C}_{k1}& A_{k1}-B_0{C}_{k1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}& 0\\ 0& {(X-Y^{-1})}^{\&prime;}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3-E_1& B_{k1}{D}_{12}-B_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_1^T& {(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T\\ B_1^T& {(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T& {(C_w+D_w{C}_{k1})}^T\\ {\left(F_2{C}_{k1}\right)}^T& {\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_1+F_2{C}_{k1}& F_2{C}_{k1}\\ C_w+D_w{C}_{k1}& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]\end{array};$

则有：

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{11}={(A_0+B_0{C}_{k1})}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}(A_0+B_0{C}_{k1})+{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})\\ +{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T(C_w+D_w{C}_{k1})+Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}={(A_{k1}-B_0{C}_{k1}+B_{k1}{C}_1-A_0)}^T(X-Y^{-1})+Y^{-1}{B}_0{C}_{k1}+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T{F}_2{C}_{k1}\\ +{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T{D}_w{C}_{k1}+Y^{-1}\&lsqb;E_1{(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+B_1{(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}={(A_{k1}-B_0{C}_{k1})}^T(X-Y^{-1})+(X-Y^{-1})(A_{k1}-B_0{C}_{k1})+{(X-Y^{-1})}^{\&prime;}\\ +{\left(F_2{C}_{k1}\right)}^T\left(F_2{C}_{k1}\right)+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)+(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1){\left(B_{k1}{E}_3{E}_1\right)}^T\\ +(B_{k1}{D}_{12}-B_1){(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\end{array}$

定理1、由所述第二LPV系统和控制器K₁组成的闭环系统的稳定等价于下述不等式组成立：

$\left[\begin{array}{ccccc}{(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T& ({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)E_{3\&perp;}& {\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T& F_1^T& C_w^T\\ E_{3\&perp;}^T(E_1^{T}X+C_T)& -E_{3\&perp;}^T{E}_{3\&perp;}& E_{3\&perp;}^T{D}_T& 0& 0\\ B_1^{T}X-D_T^T(E_1^{T}X+C_T)& D_T^T{E}_{3\&perp;}& -I-D_T^T{D}_T& 0& 0\\ F_1& 0& 0& -I& 0\\ C_w& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{ccccc}(A_0+D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{C}_w)Y+Y{(A_0+D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{C}_w)}^T-\stackrel{\&CenterDot;}{Y}-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& E_1& B_1& {\mathrm{YF}}_1^T+({\mathrm{YC}}_w^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T)D_{{\mathrm{wD}}_0}& ({\mathrm{YC}}_w^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T)C_w\\ E_1^T& -I& 0& 0& 0\\ B_1^T& 0& -I& 0& 0\\ F_{1}Y+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T(C_{w}Y-D_{{\mathrm{wB}}_0})& 0& 0& -D_{w{D}_0}^T{D}_{w{D}_0}-I& -D_{w{D}_0}^T{C}_w\\ C_w^T(C_{w}Y-D_{{\mathrm{wB}}_0})& 0& 0& -C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}& -C_w^T{C}_w\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{cc}X& I\\ I& Y\end{array}\right]>0$

其中，上述不等式组中的第一个LMI不等式由计算得到，第二个LMI不等式由计算得到，第三个LMI不等式保证P>0成立；

由于因此把T取为使得的可逆矩阵，则有： $C_T^T{E}_{3\&perp;}=0,D_T^T{E}_{3\&perp;}=0,C_w^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}=0,C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}=0;$

因此，定理1中控制器存在的条件等价为如下的第二不等式组：

$\left[\begin{array}{ccccc}{(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T& {\mathrm{XE}}_1& {\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T& F_1^T& C_w^T\\ E_1^{T}X& -I& 0& 0& 0\\ B_1^{T}X-D_T^T(E_1^{T}X+C_T)& 0& -I-D_T^T{D}_T& 0& 0\\ F_1& 0& 0& -I& 0\\ C_w& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0;$

$\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{0}Y+{\mathrm{YA}}_0^T-\stackrel{\&CenterDot;}{Y}-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& E_1& B_1& {\mathrm{YF}}_1^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{w{D}_0}& {\mathrm{YC}}_w^T\\ E_1^T& -I& 0& 0& 0\\ B_1^T& 0& -I& 0& 0\\ F_{1}Y-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& 0& 0& -D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}-I& 0\\ C_{w}Y& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{cc}X& I\\ I& Y\end{array}\right]>0$

当上一公式中的线性正矩阵不等式有解时，则LPV控制器存在且稳定，求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y。

较佳的，所述步骤D包括：

对定理1应用Schur补引理得：

$\begin{array}{c}{R}_1=Y^{-1}{A}_0+A_0^T{Y}^{-1}+{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}\\ +{\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;+C_w^T{C}_w<0\end{array};$

$\begin{array}{c}{R}_2={(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T+F_1^T{F}_1+C_w^T{C}_w+{\mathrm{XE}}_1{E}_1^{T}X\\ +\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;}^T<0\end{array}$

进一步设：

${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{11}={\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}=R_1,{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}=R_2+R_1;$

则由Schur补引理知负定。又，由知：

$\begin{array}{c}{\left(B_0{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}\left(B_0{C}_{k1}\right)+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})+{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T(C_w+D_w{C}_{k1})\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{B}_0{B}_0^T{Y}^{-1}+C_w^T{C}_w\end{array};$

故而，

$\begin{array}{c}{\left(B_0{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}\left(B_0{C}_{k1}\right)+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D_{w_{B_0}}Y}^{-1}\end{array};$

上式等价于：

$\begin{array}{c}-{\left(D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}-Y^{-1}\left(D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}\right)+{(F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_w{C}_{k1})}^T(F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}){+\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\end{array};$

如果令：

$D_w{C}_{k1}={(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}{D}_{{\mathrm{wD}}_0}^T)}^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+D_{{\mathrm{wD}}_0}{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}{F}_1;$

则验证得上式成立；因此得：

$\begin{array}{c}{D}_w^T{D}_w{C}_{k1}=D_w^T\&lsqb;{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}{D}_{{\mathrm{wD}}_0}^T)}^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+D_{{\mathrm{wD}}_0}{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}{F}_1\&rsqb;\\ =-(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2^T{F}_2)B_0^T{Y}^{-1}-F_2^T{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2{F}_2^T)}^{-1}{F}_1\end{array};$

又因为D_w＝[0，I，…，I]，其中，单位阵的个数为n_θ，因此结合上一式得：

$C_{k1}=-n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}\&lsqb;{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2^T{F}_2)}^{-1}{B}_0^T{Y}^{-1}-F_2^T{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2{F}_2^T)}^{-1}{F}_1\&rsqb;;$

由 ${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}=R_1+R_2$ 得：

$\begin{array}{c}(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1){(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+(B_{k1}{D}_{12}-B_1){(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\\ -(X-Y^{-1})B_{k1}{C}_1-C_1^T{B}_{k1}^T(X-Y^{-1})-Y^{-1}\&lsqb;E_1{(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+B_1(B_{k1}{D}_{12}\\ -B_1{)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})-(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1)E_1^T+(B_{k1}{D}_{12}-B_1)B_1^T\&rsqb;Y^{-1}=\\ -C_T^T{E}_1^{T}X-{\mathrm{XE}}_1{C}_T+\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;}^T\\ -Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}-C_T^T{C}_T+{\mathrm{XE}}_1{E}_1^{T}X\end{array};$

记B_Bk1＝(X-Y^-1)B_k1E₃，则：

$\begin{array}{c}{B}_{Bk1}{B}_{Bk1}^T+\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-B_{Bk1}{D}_T\&rsqb;{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-B_{Bk1}{D}_T\&rsqb;}^T-(B_{Bk1}{C}_T+C_T^T{B}_{Bk1}^T)=\\ ({\mathrm{XB}}_1-C_T^T{D}_T){(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{({\mathrm{XB}}_1-C_T^T{D}_T)}^T-C_T^T{C}_T\end{array};$

则，令 $B_{Bk1}={\mathrm{XB}}_1{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{D}_T^T+C_T^T{(I+D_T{D}_T^T)}^{-1},$ 因此得：

$(X-Y^{-1})B_{k1}{E}_3=({\mathrm{XB}}_1{D}_T^T+C_T^T){(I+D_T{D}_T^T)}^{-1};$

即

$B_{k1}={(X-Y^{-1})}^{-1}({\mathrm{XB}}_1{D}_T^T+C_T^T){(I+D_T{D}_T^T)}^{-1}{T}^T{\&lsqb;I,0\&rsqb;}^T;$

又因为因此：

不确定性LPV模型，将线性系统的控制器求解转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题，并且通过求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y，以及控制器K₁中的参数，并最终确定控制器K中的参数，从而可以设计单一的具有自调节法则的控制器，可以保证闭环系统的稳定，且具有良好的动态性能和鲁棒性。

附图说明

图1为本发明实施例中的确定LPV变增益控制器的方法的流程示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下参照附图并举实施例，对本发明进一步详细说明。

本实施例提供了一种确定LPV变增益控制器的方法，该方法适用于高超声速飞行器的LPV系统。

图1为本发明实施例中的确定LPV变增益控制器的方法的流程示意图。如图1所示，本发明实施例中的确定LPV变增益控制器的方法包括：。

步骤101，根据系统建模误差和LPV参数在线测量偏差，通过模型转换得到参数不确定的LPV系统的线性系统的控制器求解问题的标准形式。

在本发明的技术方案中，可以先考虑系统建模误差和LPV参数在线测量偏差，建立一个LPV模型(即LPV系统)。

例如，较佳的，在本发明的具体实施例中，上述的步骤101包括：

考虑参数不确定性，对系统建模误差和LPV参数在线测量误差中的可确定信息进行进一步的提取，可以得到如下形式的适用于高超声速飞行器的LPV系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}(t\left)F_2\right)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}(t\left)F_2\right)u+D_{1}w\\ w\left(t\right)={\mathrm{\&Delta;}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，参变矩阵均为LPV参数向量q(t)的测量值的仿射函数，B₁、D₁、E₁、E₂、F₁、F₂均是确定的时不变矩阵。

用z表示表示上述LPV系统的可测量输出，则有：

$z=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x+D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)u+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)w+{\mathrm{\&Delta;C}}_{1}x+{\mathrm{\&Delta;D}}_{11}u;$

因此，上述待研究的高超声速飞行器的LPV系统可进一步写成：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\&Sigma;\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\&Sigma;(t\left)F_2\right)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\&Sigma;\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\&Sigma;(t\left)F_2\right)u+D_{1}w\\ z=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x+D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)u+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)w+E_3\&Sigma;F_{1}x+E_3\&Sigma;F_{2}u\\ w\left(t\right)={\mathrm{\&Delta;}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\end{array}\right.---\left(2\right)$

与上述LPV系统相对应的控制器K可以表示为：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_k=A_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x_k+B_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)z\\ u=C_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x_k+D_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))z\end{array}---\left(3\right)$

其中，是的函数，但不一定是仿射函数。使得上述由LPV系统与控制器K组成的闭环系统满足如下条件：

1、闭环系统参数依赖稳定；

2、被控输出y和扰动w满足指标是γ的H_∞性能指标：

令：

$\hat{z}=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)w+E_3{\mathrm{\&Sigma;F}}_{1}x+E_3{\mathrm{\&Sigma;F}}_{2}u;$

则对于相对应的第二LPV系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}(t\left)F_2\right)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}(t\left)F_2\right)u+D_{1}w\\ \hat{z}=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)w+E_{3}d\\ w\left(t\right)={\mathrm{\&Delta;}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\\ d\left(t\right)=\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)(F_{1}x+F_{2}u)\end{array}\right.---\left(4\right)$

则可设该第二LPV系统的控制器为K₁：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_k=A_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x_k+B_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)\hat{z}\\ u=C_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)x_k+D_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t\left)\right)\hat{z}\end{array}\right.---\left(5\right)$

那么，根据可得控制器K：

A_k＝A_k1-B_k1(I+D₁₁D_k1)^-1D₁₁C_k1

B_k＝B_k1(I+D₁₁D_k1)^-1(6)

C_k＝(I+D_k1D₁₁)^-1C_k1

D_k＝D_k1(I+D₁₁D_k1)^-1

也就是说，如果求出控制器K₁那么就可以确定控制器K。

因此，通过上述的模型转换，即可得到参数不确定的LPV系统鲁棒控制问题(即线性系统的控制器求解问题)的标准形式。

步骤102，将线性系统的控制器求解问题转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题。

在本发明的技术方案中，为了确定LPV控制器是否存在且稳定，可以先将上述线性系统的控制器求解问题转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题。

例如，较佳的，在本发明的具体实施例中，可以先将由所述第二LPV系统和控制器K₁组成的闭环系统表示为：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_c=A_c{x}_c+B_{cx}{\mathrm{\&Delta;C}}_{cx}{x}_c\\ y=C_c{x}_c+E_{cx}{\mathrm{\&Delta;C}}_{cx}{x}_c\end{array}---\left(7\right)$

其中：

$x_c=\left[\begin{array}{c}x\\ x_k\end{array}\right],A_c=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right],B_{cx}=\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right],C_{cx}=\left[\begin{array}{c}{F}_1,F_2{C}_{k1}\\ C_w,D_w{C}_{k1}\end{array}\right],$

$\mathrm{\&Delta;}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Sigma;}& 0\\ 0& {\mathrm{\&Delta;}}_w\end{array}\right]C_c=\&lsqb;C_0,D_0{C}_{k1}\&rsqb;,E_{cx}=\&lsqb;E_2,D_1\&rsqb;.$

进一步，上述闭环系统可以等价于：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_c=A_c{x}_c+B_{cx}p\\ y=C_c{x}_c+E_{cx}p\\ q=C_{cx}{x}_c\\ p=\mathrm{\&Delta;}q\end{array}\right.---\left(8\right)$

令与上述闭环系统对应的Lyapunov函数为V(x)＝x^TPx，满足系统稳定要求：

P＞0且 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)<0$

即可得第一不等式：

$x_c^T(A_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P})x_c+x_c^T{\mathrm{PB}}_{cx}p+p^T{B}_{cx}^T{\mathrm{Px}}_c<0---\left(9\right)$

又因为p＝Δq，Δ^TΔ≤I，即p^Tp≤q^Tq，也即可得第二不等式：

q^Tq-p^Tp≥0(10)

当上述第一不等式(9)和第二不等式(10)同时成立时，等价于存在常数δ＞0使得以下第三不等式成立：

$x_c^T(A_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P})x_c+x_c^T{\mathrm{PB}}_{cx}p+p^T{B}_{cx}^T{\mathrm{Px}}_c+\mathrm{\&delta;}(q^{T}q-p^{T}p)<0---\left(11\right)$

进一步令P＝δP，则上述第三不等式成立等价于：

$\left[\begin{array}{ccc}{A}_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P}& {\mathrm{PB}}_{cx}& C_{cx}^T\\ B_{cx}^{T}P& -I& 0\\ C_{cx}& 0& -I\end{array}\right]<0$

也即下述LMI不等式成立：

$\left[\begin{array}{ccc}{\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]}^{T}P+P\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]+\stackrel{\&CenterDot;}{P}& P\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}{F}_1^T& C_w^T\\ C_{k1}^T{F}_2^T& C_{k1}^T{D}_w^T\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]}^{T}P& -I& 0\\ \left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]& 0& -I\end{array}\right]<0---\left(12\right)$

因此可知，可以将线性系统的控制器求解问题转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题。当所述线性正矩阵不等式有解时，LPV控制器存在且稳定。

步骤103，求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y。

在本发明的技术方案中，可以使用多种具体的实施方式来实现上述的步骤103。以下将以其中的一种实现方式为例，对本发明的技术方案进行详细的介绍。

例如，较佳的，在本发明的具体实施例中，所述步骤103包括：

对所述LMI不等式(12)应用Schur补引理知，所述LMI不等式(12)成立等价于下述第四不等式成立：

${\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]}^{T}P+P\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]+\stackrel{\&CenterDot;}{P}+P\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{kI}{D}_{12}\end{array}\right]---\left(13\right)$

${\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]}^{T}P+{\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]<0$

如果记上述第四不等式(13)的左端为Γ，且令：

$P=\left[\begin{array}{cc}X& Y^{-1}-X\\ Y^{-1}-X& -X-Y^{-1}\end{array}\right],T=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ I& I\end{array}\right];$

则有：

$P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}Y& Y\\ Y& Y+{(X-Y^{-1})}^{-1}\end{array}\right],T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -I& I\end{array}\right];$

Γ负定，等价于T^TΓT负定。令：

$T^T\mathrm{\&Gamma;}T=\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}$

$\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}=\left[\begin{array}{cc}{A}_0^T+C_{k1}^T{B}_0^T& C_1^T{B}_{k1}^T-A_0^T+A_{k1}^T{-C_{k1}^{T}B}_0^T\\ C_{k1}^T{B}_0^T& A_{k1}^T-C_{k1}^T{B}_0^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_0+B_0{C}_{k1}& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1-A_0+A_{k1}-B_0{C}_{k1}& A_{k1}-B_0{C}_{k1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\left(Y^{}\right)}^{\&prime;}& 0\\ 0& {(X-Y^{-1})}^{\&prime;}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3-E_1& B_{k1}{D}_{12}-B_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_1^T& {(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T\\ B_1^T& {(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T& {(C_w+D_w{C}_{k1})}^T\\ {\left(F_2{C}_{k1}\right)}^T& {\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_1+F_2{C}_{k1}& F_2{C}_{k1}\\ C_w+D_w{C}_{k1}& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]\end{array};$

则有：

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{11}={(A_0+B_0{C}_{k1})}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}(A_0+B_0{C}_{k1})+{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})\\ +{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T(C_w+D_w{C}_{k1})+Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}={(A_{k1}-B_0{C}_{k1}+B_{k1}{C}_1-A_0)}^T(X-Y^{-1})+Y^{-1}{B}_0{C}_{k1}+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T{F}_2{C}_{k1}\\ +{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T{D}_w{C}_{k1}+Y^{-1}\&lsqb;E_1{(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+B_1{(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}={(A_{k1}-B_0{C}_{k1})}^T(X-Y^{-1})+(X-Y^{-1})(A_{k1}-B_0{C}_{k1})+{(X-Y^{-1})}^{\&prime;}\\ +{\left(F_2{C}_{k1}\right)}^T\left(F_2{C}_{k1}\right)+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)+(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1){(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T\\ +(B_{k1}{D}_{12}-B_1){(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\end{array}$

定理1、由所述第二LPV系统和控制器K₁组成的闭环系统的稳定等价于下述不等式组成立：

$\left[\begin{array}{ccccc}{(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X\left(A_0{-E}_1{C}_T\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T& ({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)E_{3\&perp;}& {\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T& F_1^T& C_w^T\\ E_{3\&perp;}^T(E_1^{T}X+C_T)& -E_{3\&perp;}^T{E}_{3\&perp;}& E_{3\&perp;}^T{D}_T& 0& 0\\ B_1^{T}X-D_T^T(E_1^{T}X+C_T)& D_T^T{E}_{3\&perp;}& -I-D_T^T{D}_T& 0& 0\\ F_1& 0& 0& -I& 0\\ C_w& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{ccccc}(A_0+D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{C}_w)Y+Y{(A_0+D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{C}_w)}^T-\stackrel{\&CenterDot;}{Y}-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& E_1& B_1& {\mathrm{YF}}_1^T+({\mathrm{YC}}_w^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T)D_{{\mathrm{wD}}_0}& ({\mathrm{YC}}_w^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T)C_w\\ E_1^T& -I& 0& 0& 0\\ B_1^T& 0& -I& 0& 0\\ F_{1}Y+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T(C_{w}Y-D_{{\mathrm{wB}}_0})& 0& 0& -D_{w{D}_0}^T{D}_{w{D}_0}-I& -D_{w{D}_0}^T{C}_w\\ C_w^T(C_{w}Y-D_{{\mathrm{wB}}_0})& 0& 0& -C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}& -C_w^T{C}_w\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{cc}X& I\\ I& Y\end{array}\right]>0$

其中，上述不等式组中的第一个LMI不等式由计算得到，第二个LMI不等式由计算得到，第三个LMI不等式保证P>0成立。

针对参数不确定的LPV系统鲁棒控制问题，得到了控制器存在的充分条件，即当上述三个线性矩阵不等式有解时，控制器存在。

进一步分析可知：因此可以把T取为使得的可逆矩阵，则有： $C_T^T{E}_{3\&perp;}=0,D_T^T{E}_{3\&perp;}=0,C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}=0,C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}=0.$

因此，定理1中控制器存在的条件可以等价为如下所述的第二不等式组：

$\left[\begin{array}{ccccc}{(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T& {\mathrm{XE}}_1& {\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T& F_1^T& C_w^T\\ E_1^{T}X& -I& 0& 0& 0\\ B_1^{T}X-D_T^T(E_1^{T}X+C_T)& 0& -I-D_T^T{D}_T& 0& 0\\ F_1& 0& 0& -I& 0\\ C_w& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0---\left(14\right)$

$\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{0}Y+{\mathrm{YA}}_0^T-\stackrel{\&CenterDot;}{Y}-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& E_1& B_1& {\mathrm{YF}}_1^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}& {\mathrm{YC}}_w^T\\ E_1^T& -I& 0& 0& 0\\ B_1^T& 0& -I& 0& 0\\ F_{1}Y-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& 0& 0& -D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}-I& 0\\ C_{w}Y& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{cc}X& I\\ I& Y\end{array}\right]>0$

当上述公式(14)中的线性正矩阵不等式有解时，则LPV控制器存在且稳定，可以由MATLAB中的LMI工具箱判断控制器存在条件是否成立，因此可以通过求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y。

步骤104，依次计算得到控制器K₁中的参数C_K1,B_K1,A_K1。

在本发明的技术方案中，可以使用多种具体的实施方式来实现上述的步骤104。以下将以其中的一种实现方式为例，对本发明的技术方案进行详细的介绍。

例如，较佳的，在本发明的具体实施例中，所述步骤104包括：

对定理1应用Schur补引理得：

$\begin{array}{c}{R}_1=Y^{-1}{A}_0+A_0^T{Y}^{-1}+{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}\\ +{\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;+C_w^T{C}_w<0\end{array};$

$\begin{array}{c}{R}_2={(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T+F_1^T{F}_1+C_w^T{C}_w+{\mathrm{XE}}_1{E}_1^{T}X\\ +\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;}^T<0\end{array}$

进一步设：

${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{11}={\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}=R_1,{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}=R_2+R_1;$

则由Schur补引理知负定。又，由知：

$\begin{array}{c}{\left(B_0{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}\left(B_0{C}_{k1}\right)+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})+{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T(C_w+D_w{C}_{k1})\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{B}_0{B}_0^T{Y}^{-1}+C_w^T{C}_w\end{array};$

故而，

$\begin{array}{c}{\left(B_0{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}\left(B_0{C}_{k1}\right)+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\end{array};$

上式等价于：

$\begin{array}{c}-{\left(D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}-Y^{-1}\left(D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}\right){+(F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_w{C}_{k1})}^T(F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}){+\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\end{array};$

如果令：

$D_w{C}_{k1}={(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}{D}_{{\mathrm{wD}}_0}^T)}^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+D_{{\mathrm{wD}}_0}{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}{F}_1---\left(15\right)$

则验证得上式成立；因此得：

$\begin{array}{c}{D}_w^T{D}_w{C}_{k1}=D_w^T\&lsqb;{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}{D}_{{\mathrm{wD}}_0}^T)}^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+D_{{\mathrm{wD}}_0}{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}{F}_1\&rsqb;\\ =-(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2^T{F}_2)B_0^T{Y}^{-1}-F_2^T{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2{F}_2^T)}^{-1}{F}_1\end{array}---\left(16\right)$

又因为D_w＝[0，I，…，I]，其中，单位阵的个数为n_θ，因此

结合(16)式得：

$c_{k1}=-n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}\&lsqb;{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2^T{F}_2)}^{-1}{B}_0^T{Y}^{-1}-F_2^T{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2{F}_2^T)}^{-1}{F}_1\&rsqb;---\left(17\right)$

由 ${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}=R_1+R_2$ 得：

$\begin{array}{c}(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1){(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+(B_{k1}{D}_{12}-B_1){(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\\ -(X-Y^{-1})B_{k1}{C}_1-C_1^T{B}_{k1}^T(X-Y^{-1})-Y^{-1}\&lsqb;E_1{(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+B_1(B_{k1}{D}_{12}\\ -B_1{)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})-(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1)E_1^T+(B_{k1}{D}_{12}-B_1)B_1^T\&rsqb;Y^{-1}=\\ -C_T^T{E}_1^{T}X-{\mathrm{XE}}_1{C}_T+\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;}^T\\ -Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}-{C_T^{T}C}_T+{\mathrm{XE}}_1{E}_1^{T}X\end{array}---\left(18\right)$

记B_Bk1＝(X-Y^-1)B_k1E₃，则(15)式可以写成：

$\begin{array}{c}{B}_{Bk1}{B}_{Bk1}^T+\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-B_{Bk1}{D}_T\&rsqb;{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-B_{Bk1}{D}_T\&rsqb;}^T-(B_{Bk1}{C}_T+C_T^T{B}_{Bk1}^T)=\\ ({\mathrm{XB}}_1-C_T^T{D}_T){(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{({\mathrm{XB}}_1-C_T^T{D}_T)}^T-C_T^T{C}_T\end{array}---\left(19\right)$

则，令 $B_{Bk1}={\mathrm{XB}}_1{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{D}_T^T+C_T^T{(I+D_T{D}_T^T)}^{-1},$ 验证知式(19)成立。因此得：

$(X-Y^{-1})B_{k1}{E}_3=({\mathrm{XB}}_1{D}_T^T+C_T^T){(I+D_T{D}_T^T)}^{-1};$

也即

$B_{k1}={(X-Y^{-1})}^{-1}({\mathrm{XB}}_1{D}_T^T+C_T^T){(I+D_T{D}_T^T)}^{-1}{T}^T{\&lsqb;I,0\&rsqb;}^T---\left(20\right)$

又因为因此：

$\begin{array}{c}{A}_{k1}={(X-Y^{-1})}^{-1}\&lsqb;A_0^T{Y}^{-1}+{\mathrm{XA}}_0-Y^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{Y}{Y}^{-1}+{\mathrm{XB}}_0{C}_{k1}+F_1^T(F_1+F_2{C}_{k1})+X(E_1{E}_1^T\\ +B_1{B}_1^T)Y^{-1}+C_w^T{C}_w\&rsqb;-B_{k1}{D}_{12}{B}_1^T{Y}^{-1}-B_{k1}{C}_1\end{array}---\left(21\right)$

因此可知，控制器K₁中的A_k1，B_k1，C_k1可以由上述的公式(17)～(21)给出，使得闭环系统稳定。

步骤105，根据控制器K₁中的参数，确定控制器K中的参数。

在本发明的技术方案中，在得到了控制器K₁中的参数之后，即可根据控制器K₁中的参数，确定控制器K中的参数，从而确定控制器K。

例如，较佳的，在本发明的具体实施例中，可以使用如下所述的公式确定控制器K中的参数：

A_k＝A_k1-B_k1(I+D₁₁D_k1)^-1D₁₁C_k1

B_k＝B_k1(I+D₁₁D_k1)^-1

C_k＝(I+D_k1D₁₁)^-1C_k1

D_k＝D_k1(I+D₁₁D_k1)^-1。

综上可知，在本发明中的确定LPV变增益控制器的方法中，针对高超声速飞行器的参数不确定性LPV模型，将线性系统的控制器求解转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题，并且通过求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y，以及控制器K₁中的参数，并最终确定控制器K中的参数，从而可以设计单一的具有自调节法则的控制器，可以保证闭环系统的稳定，且具有良好的动态性能和鲁棒性。通过使用该方法，可以对参数测量存在误差和非线性系统转化成LPV系统过程中存在建模误差的高超声速飞行器进行系统建模，提高LPV模型的建模精确程度。另外，由于本发明中的上述方法具有一定的通用性，因此也可以应用于不同外形的高超声速飞行器。此外，在实际工程应用中，考虑参数不确定性的LPV系统建模结果对于此类飞行器姿态控制的设计与研究也具有显著的参考价值。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明保护的范围之内。

Claims (5)

1.一种确定LPV变增益控制器的方法，其特征在于，该方法包括：

A、根据系统建模误差和LPV参数在线测量偏差，通过模型转换得到参数不确定的LPV系统的线性系统的控制器求解问题的标准形式；

B、将线性系统的控制器求解问题转化为求解一个线性正矩阵不等式的凸优化问题；

C、求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y；

D、依次计算得到控制器K₁中的参数C_K1,B_K1,A_K1；

E、根据控制器K₁中的参数，确定控制器K中的参数。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤A包括：

考虑参数不确定性，对系统建模误差和LPV参数在线测量误差中的可确定信息进行进一步的提取，得到如下形式的LPV系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_2)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_2)u+D_{1}w\\ w\left(t\right)={\mathrm{\&Delta;}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\end{array}\right.;$

其中，参变矩阵均为LPV参数向量q(t)的测量值的仿射函数，B₁、D₁、E₁、E₂、F₁、F₂均是确定的时不变矩阵；

用z表示表示所述LPV系统的可测量输出，则有：

$z=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x+D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))u+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))w+{\mathrm{\&Delta;C}}_{1}x+{\mathrm{\&Delta;D}}_{11}u;$

因此，将所述LPV系统进一步写成：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_2)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_2)u+D_{1}w\\ z=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x+D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))u+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))w+E_3{\mathrm{\&Sigma;F}}_{1}x+E_3{\mathrm{\&Sigma;F}}_{2}u\\ w\left(t\right)={\mathrm{\&Delta;}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\end{array}\right.;$

与所述LPV系统相对应的控制器K表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_k=A_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x_k+B_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))z\\ u=C_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x_k+D_k\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))z\end{array}\right.;$

其中，是的函数；使得所述由LPV系统与控制器K组成的闭环系统满足如下条件：

1)闭环系统参数依赖稳定；

2)被控输出y和扰动w满足指标是γ的H_∞性能指标：||y||L₂＜γ||w||L₂；

令：

$\hat{z}=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))w+E_3{\mathrm{\&Sigma;F}}_{1}x+E_3{\mathrm{\&Sigma;F}}_{2}u;$

则对于相对应的第二LPV系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(A_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(B_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_1\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_2)u+B_{1}w\\ y=\left(C_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_1)x+\left(D_0\right(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right))+E_2\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_2)u+D_{1}w\\ \hat{z}=C_1\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}\left(t\right)}\right)x+D_{12}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))w+E_{3}d\\ w\left(t\right)={\mathrm{\&Delta;}}_w(C_{w}x+D_{w}u)\\ d\left(t\right)=\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)(F_{1}x+F_{2}u)\end{array}\right.;$

则设该第二LPV系统的控制器为K₁：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_k=A_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x_k+B_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))\hat{z}\\ u=C_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))x_k+D_{k1}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))\hat{z}\end{array};$

根据 $\hat{z}=z-D_{11}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right(t))u,$ 得控制器K：

$\begin{array}{c}{A}_k=A_{k1}-B_{k1}{(I+D_{11}{D}_{k1})}^{-1}{D}_{11}{C}_{k1}\\ B_k=B_{k1}-{(I+D_{11}{D}_{k1})}^{-1}\\ C_k={(I+D_{k1}{D}_{11})}^{-1}{C}_{k1}\\ D_k=D_{k1}{(I+D_{11}{D}_{k1})}^{-1}\end{array};$

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤B包括：

将由所述第二LPV系统和控制器K₁组成的闭环系统表示为： $\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_c=A_c{x}_c+B_{cx}\mathrm{\&Delta;}{C}_{cx}{x}_c\\ y=C_c{x}_c+E_{cx}{\mathrm{\&Delta;C}}_{cx}{x}_c\end{array}\right.;$

其中：

$x_c=\left[\begin{array}{c}x\\ x_k\end{array}\right],A_c=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{c}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right],B_{cx}=\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right],c_{cx}=\left[\begin{array}{c}{F}_1,F_2{c}_{k1}\\ C_w,D_w{C}_{k1}\end{array}\right],$

$\mathrm{\&Delta;}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Sigma;}& 0\\ 0& {\mathrm{\&Delta;}}_w\end{array}\right]C_c=\&lsqb;C_0,D_0{C}_{k1}\&rsqb;,E_{cx}=\&lsqb;E_2,D_1\&rsqb;;$

进一步，所述闭环系统等价于：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_c=A_c{x}_c+B_{cx}p\\ y=C_c{x}_c+E_{cx}p\\ q=C_{cx}{x}_c\\ p=\mathrm{\&Delta;}q\end{array}\right.;$

令与所述闭环系统对应的Lyapunov函数为V(x)＝x^TPx，满足系统稳定要求：

P＞0且 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)<0;$

得到第一不等式：

$x_c^T(A_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P})x_c+x_c^T{\mathrm{PB}}_{cx}p+p^T{B}_{cx}^T{\mathrm{Px}}_c<0;$

因为p＝Δq，Δ^TΔ≤I，即p^Tp≤q^Tq，得到第二不等式：

q^Tq-p^Tp≥0；

当所述第一不等式和第二不等式同时成立时，等价于存在常数δ＞0使得以下第三不等式成立：

$x_c^T(A_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P})x_c+x_c^T{\mathrm{PB}}_{cx}p+p^T{B}_{c\&CenterDot;x}^T{\mathrm{Px}}_c+\mathrm{\&delta;}(q^{T}q-p^{T}p)<0;$

令P＝δP，则所述第三不等式成立等价于：

$\left[\begin{array}{ccc}{A}_c^{T}P+{\mathrm{PA}}_c+\stackrel{\&CenterDot;}{P}& {\mathrm{PB}}_{cx}& C_{cx}^T\\ B_{cx}^{T}P& -I& 0\\ C_{cx}& 0& -I\end{array}\right]<0$

即下述LMI不等式成立：

$\left[\begin{array}{ccc}{\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]}^{T}P+P\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]+\stackrel{\&CenterDot;}{P}& P\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}{F}_1^T& C_w^T\\ C_{k1}^T{F}_2^T& C_{k1}^T{D}_w^T\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]}^{T}P& -I& 0\\ \left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]& 0& -I\end{array}\right]<0.$

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述步骤C包括：

对所述LMI不等式应用Schur补引理知，所述LMI不等式成立等价于如下第四不等式成立：

$\begin{array}{c}{\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]}^{T}P+P\left[\begin{array}{cc}{A}_0& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1& A_{k1}\end{array}\right]+\stackrel{\&CenterDot;}{P}+P\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3& B_{k1}{D}_{12}\end{array}\right]}^{T}P+{\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_2{C}_{k1}\\ C_w& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]<0\end{array};$

如果记所述第四不等式的左端为Γ，且令：

$P=\left[\begin{array}{cc}X& Y^{-1}-X\\ Y^{-1}-X& X-Y^{-1}\end{array}\right],T=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ I& I\end{array}\right];$

则有：

$P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}Y& Y\\ Y& Y+{(X-Y^{-1})}^{-1}\end{array}\right],T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -I& I\end{array}\right];$

Γ负定，等价于T^TΓT负定。令：

$T^T\mathrm{\&Gamma;}T=\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}$

$\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}=\left[\begin{array}{cc}{A}_0^T+C_{k1}^T{B}_0^T& C_1^{\text{T}}{B}_{k1}^T-A_0^T+A_{k1}^T-C_{k1}^T{B}_0^T\\ C_{k1}^T{B}_0^T& A_{k1}^T-C_{k1}^T{B}_0^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\\ \text{+}\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_0+B_0{C}_{k1}& B_0{C}_{k1}\\ B_{k1}{C}_1-A_0+A_{k1}-B_0{C}_{k1}& A_{k1}-B_0{C}_{k1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}& 0\\ 0& {(X-Y^{-1})}^{\&prime;}\end{array}\right]\\ \text{+}\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_1& B_1\\ B_{k1}{E}_3-E_1& B_{k1}{D}_{12}-B_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_1^T& {(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T\\ B_1^T& {(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\end{array}\right]\end{array};$

$\left[\begin{array}{cc}{Y}^{-1}& 0\\ 0& X-Y^{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T& {(C_w+D_w{C}_{k1})}^T\\ {\left(F_2{C}_{k1}\right)}^r& {\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_1+F_2{C}_{k1}& F_2{C}_{k1}\\ C_w+D_w{C}_{k1}& D_w{C}_{k1}\end{array}\right]$

则有：

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{11}={(A_0+B_0{C}_{k1})}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}(A_0+B_0{C}_{k1})+{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}+(F_1+F_2{C}_{k1})T(F_1+F_2{C}_{k1})\\ +{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T(C_w+D_w{C}_{k1})+Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}={(A_{k1}+B_0{C}_{k1}+B_{k1}{C}_1-A_0)}^T(X-Y^{-1})+Y^{-1}{B}_0{C}_{k1}+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T{F}_2+C_{k1}\\ +{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T{D}_w{C}_{k1}+Y^{-1}\&lsqb;E_1{(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+B_1{(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}={(A_{k1}-B_0{C}_{k1})}^T(X-Y^{-1})+(X-Y^{-1})(A_{k1}-B_0{C}_{k1})+{(X-Y^{-1})}^{\&prime;}\\ +{\left(F_2{C}_{k1}\right)}^T\left(F_2{C}_{k1}\right)+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1){(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T\\ +(B_{k1}{D}_{12}-B_1){(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\end{array}$

定理1、由所述第二LPV系统和控制器K₁组成的闭环系统的稳定等价于下述不等式组成立：

$\left[\begin{array}{ccccc}{(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T>+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T& ({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)E_{3\&perp;}& {\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T& F_1^T& C_w^T\\ {E_3^T}_{\&perp;}(E_1^{T}X+C_T)& -E_{3\&perp;}^T{E}_{3\&perp;}& E_{3\&perp;}^T{D}_T& 0& 0\\ B_1^{T}X-D_T^T(E_1^{T}X+C_T)& D_T^T{E}_{3\&perp;}& -I-D_T^T{D}_T& 0& 0\\ F_1& 0& 0& -I& 0\\ C_w& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{ccccc}(A_0+D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{C}_w)Y+Y{(A_0+D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{C}_w)}^T-\stackrel{\&CenterDot;}{Y}-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& E_1& B_1& {\mathrm{YF}}_1^T+({\mathrm{YC}}_w^T-D_{{\mathrm{CB}}_0}^T)D_{{\mathrm{wD}}_0}& ({\mathrm{YC}}_w^T-D_{{\mathrm{CB}}_0}^T)C_w\\ E_1^T& -I& 0& 0& 0\\ B_1^T& 0& -I& 0& 0\\ F_{1}Y+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T(C_{w}Y-D_{{\mathrm{wB}}_0})& 0& 0& -D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}-I& -D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{C}_w\\ C_w^T(C_{w}Y-D_{{\mathrm{wB}}_0})& 0& 0& -C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}& -C_w^T{C}_w\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{cc}X& I\\ I& Y\end{array}\right]>0$

其中，上述不等式组中的第一个LMI不等式由计算得到，第二个LMI不等式由计算得到，第三个LMI不等式保证P>0成立；

由于因此把T取为使得的可逆矩阵，则有：

$C_T^T{E}_{3\&perp;}=0,$ $D_T^T{E}_{3\&perp;}=0,$ $C_w^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}=0,$ $C_w^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}=0;$

因此，定理1中控制器存在的条件等价为如下的第二不等式组：

$\left[\begin{array}{ccccc}{(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T& {\mathrm{XE}}_1& {\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T& F_1^T& C_w^T\\ E_1^{T}X& -I& 0& 0& 0\\ B_1^{T}X-D_T^T(E_1^{T}X+C_T)& 0& -I-D_T^T{D}_T& 0& 0\\ F_1& 0& 0& -I& 0\\ C_w& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0;$

$\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{0}Y+{\mathrm{YA}}_0^T-\stackrel{\&CenterDot;}{Y}-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& E_1& B_1& {\mathrm{YF}}_1^T-D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}& {\mathrm{YC}}_w^T\\ E_1^T& -I& 0& 0& 0\\ B_1^T& 0& -I& 0& 0\\ F_{1}Y-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}& 0& 0& -D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0}-I& 0\\ C_{w}Y& 0& 0& 0& -I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{cc}X& I\\ I& Y\end{array}\right]>0$

当上一公式中的线性正矩阵不等式有解时，则LPV控制器存在且稳定，求解所述线性正矩阵不等式，得到对应的正定参数依赖矩阵X和Y。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述步骤D包括：

对定理1应用Schur补引理得：

$\begin{array}{c}{R}_1=Y^{-1}{A}_0+A_0^T{Y}^{-1}+{\left(Y^{-1}\right)}^{\&prime;}-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}\\ +{\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;+C_w^T{C}_w<0\\ R_2={(A_0-E_1{C}_T)}^{T}X+X(A_0-E_1{C}_T)+\stackrel{\&CenterDot;}{X}-C_T^T{C}_T+F_1^T{F}_1+C_w^T{C}_w+{\mathrm{XE}}_1{E}_1^{T}X\\ +\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;}^T<0\end{array};$

进一步设：

${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{11}={\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}=R_1,{\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}=R_2+R_1;$

则由Schur补引理知负定。又，由知：

$\begin{array}{c}{\left(B_0{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}\left(B_0{C}_{k1}\right)+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})+{(C_w+D_w{C}_{k1})}^r{(C_w+D_w{C}_{k1})}^T\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{B}_0{B}_0^T{Y}^{-1}+C_w^T{C}_w\end{array};$

故而，

$\begin{array}{c}{\left(B_0{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}+Y^{-1}\left(B_0{C}_{k1}\right)+{(F_1+F_2{C}_{k1})}^T(F_1+F_2{C}_{k1})+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)\\ ={\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{wB0}{D}_{wB0}{Y}^{-1}\end{array};$

上式等价于：

$\begin{array}{c}-{\left(D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}\right)}^T{Y}^{-1}-Y^{-1}\left(D_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_w{C}_{k1}\right)+{(F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_w{C}_{k1})}^T(F_1-D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_w{C}_{k1})+{\left(D_w{C}_{k1}\right)}^T\left(D_w{C}_{k1}\right)\\ ={\&lsqb;F_1+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;}^T{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}\&lsqb;F_1+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\&rsqb;-Y^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}\end{array};$

如果令：

$D_w{C}_{k1}={(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}{D}_{{\mathrm{wD}}_0}^T)}^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+D_{{\mathrm{wD}}_0}{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}{F}_1;$

则验证得上式成立；因此得：

$\begin{array}{c}{D}_w^T{D}_w{C}_{k1}=D_w^T\&lsqb;{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}{D}_{{\mathrm{wD}}_0}^T)}^{-1}{D}_{{\mathrm{wB}}_0}{Y}^{-1}+D_{{\mathrm{wD}}_0}{(I+D_{{\mathrm{wD}}_0}^T{D}_{{\mathrm{wD}}_0})}^{-1}{F}_1\&rsqb;\\ =-(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2^T{F}_2)B_0^T{Y}^{-1}-F_2^T{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2{F}_2^T)}^{-1}{F}_1\end{array};$

又因为D_w＝[0，I，…，I]，其中，单位阵的个数为n_θ，因此结合上一式得：

$C_{k1}=-n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}\&lsqb;{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2^T{F}_2)}^{-1}{B}_0^T{Y}^{-1}-F_2^T{(I+n_{\mathrm{\&theta;}}^{-1}{F}_2{F}_2^T)}^{-1}{F}_1\&rsqb;;$

由 ${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{22}=R_1+R_2$ 得：

$\begin{array}{c}(X-Y^{-1})\&lsqb;(B_{k1}{E}_3-E_1){(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+(B_{k1}{D}_{12}-B_1){(B_{k1}{D}_{12}-B_1)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})\\ -(X-Y^{-1})B_{k1}{C}_1-C_1^T{B}_{k1}^T(X-Y^{-1})-Y^{-1}\&lsqb;E_1{(B_{k1}{E}_3-E_1)}^T+B_1(B_{k1}{D}_{12}\\ -B_1{)}^T\&rsqb;(X-Y^{-1})-(X-Y^{-1})(B_{k1}{E}_3-E_1)E_1^T+(B_{k1}{D}_{12}-B_1)B_1^T\&rsqb;Y^{-1}=\\ -C_T^T{E}_{\text{1}}^{T}X-{\mathrm{XE}}_1{C}_T+\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-({\mathrm{XE}}_1+C_T^T)D_T\&rsqb;}^T\\ -Y^{-1}(E_1{E}_1^T+B_1{B}_1^T)Y^{-1}-C_T^T{C}_T+{\mathrm{XE}}_1{E}_1^{T}X\end{array};$

记B_Bk·1＝(X-Y^-1)B_k1E₃，则：

$\begin{array}{c}{B}_{Bk1}{B}_{Bk1}^T+\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-B_{Bk1}{D}_T\&rsqb;{\&lsqb;{\mathrm{XB}}_1-B_{Bl1}{D}_T\&rsqb;}^T-(B_{Bk1}{C}_T+C_T^T{B}_{Bk1}^T)=\\ ({\mathrm{XB}}_1-C_T^T{D}_T){(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{({\mathrm{XB}}_1-C_T^T{D}_T)}^T+C_T^T{C}_T\end{array};$

则，令 $B_{Bk1}={\mathrm{XB}}_1{(I+D_T^T{D}_T)}^{-1}{D}_T^T+C_T^T{(I+D_T{D}_T^T)}^{-1},$ 因此得：

$(X-Y^{-1})B_{k1}{E}_3=({\mathrm{XB}}_1{D}_T^T+C_T^T){(I+D_T{D}_T^T)}^{-1};$

即

$B_{k1}={(X-Y^{-1})}^{-1}({\mathrm{XB}}_1{D}_T^T+C_T^T){(I+D_T{D}_T^T)}^{-1}{T}^T{\&lsqb;I,0\&rsqb;}^T;$

又因为 ${\widetilde{\mathrm{\&Gamma;}}}_{12}=R_1,$ 因此：

$\begin{array}{c}{A}_{k1}={(X-Y^{-1})}^{-1}\&lsqb;A_0^T{Y}^{-1}+{\mathrm{XA}}_0-Y^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{Y}{Y}^{-1}+{\mathrm{XB}}_0{C}_{k1}+F_1^T(F_1+F_2{C}_{k1})+X(E_1{E}_1^T\\ +B_1{B}_1^T)Y^{-1}+C_w^T{C}_w\&rsqb;+B_{k1}{D}_{12}{B}_1^T{Y}^{-1}-B_{k1}{C}_1\end{array}.$