CN103399291A - 基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法，主要解决现有技术的相干源情况下空间分辨率不足，低信噪比情况下估计性能不佳，以及运算速度慢难以满足硬件实时性要求的问题。其实现过程为：利用阵元去噪对接收数据进行去噪处理，获得大信噪比的数据观测矢量；对待测角度空间进行栅格划分获得角度单元；根据角度单元和阵元坐标构造观测矩阵；根据观测矩阵和数据观测矢量通过零空间调整和正交投影获得目标的波达方向估计值。本发明实现了在低信噪比和相干源情况下获得超分辨的多目标波达方向估计，空间分辨率高，运算速度快，适合于硬件实现。

Description

基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，更进一步涉及阵列信号处理和压缩感知领域中一种基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法。本发明可以有效解决相控阵在低信噪比、相干源情况下波达方向估计性能不佳的问题，实现超分辨波达方向估计。

背景技术

信号的波达方向(DOA：Direction of Arrival)估计是阵列信号处理领域的一个重要分支，随着科技的不断进步，对信号波达方向估计的精确度和分辨率有越来越高的要求，超分辨DOA估计技术在波束形成和时域谱的基础上发展起来的，在雷达、通信等方面有非常广泛的应用。

目前，超分辨DOA估计技术主要有子空间方法和压缩感知方法两种。

中国人民解放军理工大学所提出的专利申请“信号波达方向估计方法”(申请号：200810022655.3，公开号：101325807)公开了一种基于子空间分解的DOA估计方法。该方法通过空间协方差差分方法来克服信号源的相干性，通过对获得的协方差矩阵进行特征分解来获得信号子空间和噪声子空间，然后在信号子空间形成功率谱，通过对功率谱进行谱峰搜索来对波达方向进行估计。虽然该方法可以实现相干信号源的超分辨估计，但是仍然存在的不足是，该方法以损失阵列部分孔径为代价，造成了空间分辨率下降，使得相控阵分辨目标的能力降低。

程旺宗，王建英，尹忠科，谭亲林发表的论文“一种DOA估计新方法”(《计算机应用研究》2009，26(10)：3951-3956)中公开了一种基于压缩感知的DOA估计方法。该方法利用信号的稀疏性，通过稀疏重构算法对信号源的波达方向进行估计。虽然该方法具有分辨率高、解相干和短快拍的优点，但是仍然存在的不足是，该方法在低信噪比情况下估计性能不佳，并且由于该方法的运算速度较慢，难以满足硬件实现所需的实时性要求。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术的不足，提出一种基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法。本发明对阵列接收数据进行阵元去噪处理来构建数据观测矢量，将角度空间进行栅格划分构建观测矩阵，通过零空间调整和正交投影来实现目标的波达方向估计。

本发明的具体实施步骤如下：

(1)接收数据：

采集相控阵各个阵元的回波数据，并存储在系统内存中；

(2)阵元去噪：

按下式对接收数据进行阵元去噪，得到数据观测矢量：

$y=\frac{1}{M}X{x}_1^H$

其中，y表示数据观测矢量，M表示采样快拍数，X表示相控阵第2至第N个阵元的接收数据，X为(N-1)×M维矩阵，N表示相控阵阵元的个数，x₁表示相控阵第一个阵元的接收数据，x₁为1×M维矢量，H表示共轭转置运算；

(3)划分角度单元：

将待测的角度空间[θ_min，θ_max]按下式进行栅格划分，得到P个角度单元：

θ_m＝θ_min+(m-1)Δθ

其中，θ_m表示第m个角度单元，m＝1，2，...，P，P表示角度单元个数，θ_min表示角度空间的最小值，θ_max表示角度空间的最大值，-90°≤θ_min＜θ_max≤90°，Δθ表示角度间隔，Δθ＝(θm_ax-θ_min)/(P-1)；

(4)构建观测矩阵：

4a)按下式计算观测矩阵的元素：

[A]_r，s＝exp(j2πx_esinθ_m/λ)

其中，[A]_r，s表示观测矩阵的第r行第s列的元素，A表示观测矩阵，x_e表示第e个相控阵阵元所对应的坐标值，e＝2，3，...，N，N为相控阵阵元的个数，r＝e-1，θ_m表示步骤(3)中所述的角度单元，m＝1，2，...，P，P为角度单元个数，s＝m，j表示虚数单位，λ表示载波波长：

4b)将步骤4a)中获得的观测矩阵元素按照行列位置排列，构成观测矩阵；

(5)零空间调整：

5a)按下式计算角度循环矢量：

z＝A^H(AA^H)^-1y

其中，z表示角度循环矢量，A表示观测矩阵，H表示共轭转置运算，y表示数据观测矢量；

5b)对角度循环矢量z的元素进行求模，从模值中寻找模值最大元素和与模值最大元素所对应的位置标号；

5c)构造P×1维辅助矢量；

5d)按下式计算角度恢复矢量：

v＝z+[I_P-A^H(AA^H)^-1A](u-z)

其中，v表示角度恢复矢量，z表示角度循环矢量，I_P表示P×P维单位矩阵，P为角度单元个数，A表示观测矩阵，H表示共轭转置运算，u表示辅助矢量；

5e)按下式计算收敛系数：

ε＝norm(v)/norm(z)

其中，ε表示收敛系数，norm(·)表示求矢量的2范数，v表示角度恢复矢量，z表示角度循环矢量；

5f)判断收敛系数ε是否大于阀值ε₀，若ε＞ε₀，则令角度循环矢量z＝v，返回步骤5b)，否则，执行步骤(6)；

(6)正交投影：

6a)搜索步骤5d)中的角度恢复矢量v的峰值元素，寻找与峰值元素对应的位置标号；

6b)从步骤(3)中的P个角度单元中搜索第I个角度单元，将搜索到的角度单元记录为第k个目标的波达方向估计值，其中，I表示峰值元素在角度恢复矢量v中对应的位置标号，k表示记录的目标数；

6c)按下式计算导向矢量的元素：

${\left[a\right]}_t=\exp (j2\mathrm{\π}{x}_e\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k/\mathrm{\λ})$

其中，[a]_t表示导向矢量的第t行元素，a表示导向矢量，j表示虚数单位，x_e表示第e个相控阵阵元的坐标值，e＝2，3，...，N，N为相控阵阵元的个数，t＝e-1，

表示步骤6b)中的第k个目标的波达方向估计值，λ表示载波波长；

6d)将步骤6c)中获得的导向矢量元素按照行列位置排成一列，构成导向矢量；

6e)按下式计算投影矢量：

w＝[I_N-1-a^Ha/(a^Ha)]y

其中，w表示投影矢量，I_N-1表示(N-1)×(N-1)维单位矩阵，N为相控阵阵元的个数，a表示步骤6d)中的导向矢量，H表示共轭转置运算，y表示数据观测矢量；

6f)判断步骤6b)中记录的目标数k是否小于已知信源数，若k小于已知信源数，则令数据观测矢量y＝w，返回步骤(5)，否则，执行步骤(7)；

(7)获得目标波达方向：

将步骤6b)中记录的所有的目标波达方向估计值传输给系统。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

第一，由于本发明采用阵元去噪方法获得数据观测矢量，克服了现有技术中压缩感知方法在低信噪比情况下估计性能不佳的问题，使得本发明可以在低信噪比情况下实现超分辨波达方向估计。

第二，由于本发明通过正交投影来更新数据观测矢量，克服了现有技术中子空间方法需要以损失阵列孔径为代价才能分辨相干源的问题，使得本发明具有更高的空间分辨率的优点。

第三，由于本发明采用零空间调整获得角度恢复矢量，克服了现有技术中压缩感知方法所存在的运算较慢硬件难以实现的缺点，使得本发明具有实时性高和易于硬件实现的优点。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明的仿真示意图；

图3为本发明的实测数据处理示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的描述。

参照图1，本发明的具体实施步骤如下：

步骤1.接收数据。

采集相控阵各个阵元的回波数据，并将回波数据存储在系统内存中；

步骤2.阵元去噪。

按下式对接收数据进行阵元去噪，得到数据观测矢量：

$y=\frac{1}{M}X{x}_1^H$

其中，y表示数据观测矢量，M表示采样快拍数，X表示相控阵第2至第N个阵元的接收数据，X为(N-1)×M维矩阵，N表示相控阵阵元的个数，x₁表示相控阵第一个阵元的接收数据，x₁为1×M维矢量，H表示共轭转置运算。

利用噪声之间的不相关性，将第一个相控阵阵元的接收数据与其他阵元的接收数据做去噪处理，有效提高了数据观测矢量的信噪比。

步骤3.划分角度单元。

将待测的角度空间[θ_min，θ_max]按下式进行栅格划分，得到P个角度单元：

θ_m＝θ_mim+(m-1)Δθ

其中，θ_m表示第m个角度单元，m＝1，2，...，P，P表示角度单元个数，θ_min表示角度空间的最小值，θ_max表示角度空间的最大值，-90°≤θ_min＜θ_max≤90°，Δθ表示角度间隔，Δθ＝(θ_max-θ_min)/(P-1)。

待测的角度空间指的是目标可能存在的角度空间，角度间隔取得越小，估计精度越高，在本实施例中，角度空间取的是[-90°，90°]，角度间隔是0.1°，角度空间划分成1801个角度单元。

步骤4.构建观测矩阵：

4a)按下式计算观测矩阵的元素：

[A]_r，s＝exp(j2πx_esinθ_m/λ)

其中，[A]_r，s表示观测矩阵的第r行第s列的元素，A表示观测矩阵，x_e表示第e个相控阵阵元所对应的坐标值，e＝2，3，...，N，N为相控阵阵元的个数，r＝e-1，θ_m表示步骤(3)中所述的角度单元，m＝1，2，...，P，P为角度单元个数，s＝m，j表示虚数单位，λ表示载波波长。

4b)将步骤4a)中获得的观测矩阵元素按照行列位置排列，构成观测矩阵。

获得的观测矩阵行数等于相控阵阵元的个数减一，观测矩阵的列数等于角度单元的个数。

步骤5.零空间调整。

5a)按下式计算角度循环矢量：

z＝A^H(AA^H)^-1y

其中，z表示角度循环矢量，A表示观测矩阵，H表示共轭转置运算，y表示数据观测矢量。

5b)对角度循环矢量z的元素进行求模，寻找模值最大元素及其对应的位置标号。

5c)构造P×1维辅助矢量，实现过程如下：

第一步，从角度循环矢量z中剔除模值最大元素，得到角度补矢量；

第二步，从观测矩阵A中抽取第J列矢量组成最大列矢量，J表示模值最大元素在角度循环矢量z中对应的位置标号；

第三步，从观测矩阵A中剔除最大列矢量，得到观测补矩阵；

第四步，构造一个所有元素均为0的P×1维的初始辅助矢量；

第五步，按下式计算辅助替换元素：

u＝z_J+(b^Hb)^-1b^H(A^cz^c)

其中，u表示辅助替换元素，z_J表示模值最大元素，J表示模值最大元素在角度循环矢量z中对应的位置标号，b表示最大列矢量，H表示共轭转置运算，A^c表示观测补矩阵，z^c表示角度补矢量；

第六步，将初始辅助矢量的第Q个元素替换为辅助替换元素u，得到辅助矢量，其中Q与J的数值大小相等。

5d)按下式计算角度恢复矢量：

v＝z+[I_P-A^H(AA^H)^-1A](u-z)

其中，v表示角度恢复矢量，z表示角度循环矢量，I_P表示P×P维单位矩阵，P为角度单元个数，A表示观测矩阵，H表示共轭转置运算，u表示辅助矢量。

5e)按下式计算收敛系数：

ε＝norm(v)/norm(z)

其中，ε表示收敛系数，norm(·)表示求矢量的2范数，v表示角度恢复矢量，z表示角度循环矢量。

5f)判断收敛系数ε是否大于阀值ε₀，若ε＞ε₀，则令角度循环矢量z＝v，返回步骤5b)，否则，执行步骤(6)。

阀值ε₀为10^-8～10^-3之间的任意一个实数，在本实施例中ε₀＝10^-3。

步骤6.正交投影。

零空间调整获得角度恢复矢量，搜索角度恢复矢量中的峰值元素，峰值元素在角度恢复矢量中所处位置与目标估计角度在角度单元中所处位置相同，获得目标波达方向的估计值，计算该目标对应的导向矢量，并将数据观测矢量投影到导向矢量的正交空间，得到新的数据观测矢量，迭代回步骤5)求解下一个目标的波达方向估计值，直至得到所有目标的波达方向估计值。

6a)搜索步骤5d)中的角度恢复矢量v的峰值元素，寻找与峰值元素对应的位置标号。

6b)从步骤(3)中的P个角度单元中搜索第I个角度单元，将搜索到的角度单元记录为第k个目标的波达方向估计值，其中，I表示峰值元素在角度恢复矢量v中对应的位置标号，k表示记录的目标数。

6c)按下式计算导向矢量的元素：

${\left[a\right]}_t=\exp (j2\mathrm{\π}{x}_e\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k/\mathrm{\λ})$

其中，[a]_t表示导向矢量的第t行元素，a表示导向矢量，j表示虚数单位，x_e表示第e个相控阵阵元的坐标值，e＝2，3，...，N，N为相控阵阵元的个数，t＝e-1，表示步骤6b)中的第k个目标的波达方向估计值，λ表示载波波长。

6d)将步骤6c)中获得的导向矢量元素按照行列位置排成一列，构成导向矢量。

6e)按下式计算投影矢量：

w＝[I_N-1-a^Ha/(a^Ha)]y

其中，w表示投影矢量，I_N-1表示(N-1)×(N-1)维单位矩阵，N为相控阵阵元的个数，a表示步骤6d)中的导向矢量，H表示共轭转置运算，y表示数据观测矢量。

6f)判断步骤6b)中记录的目标数k是否小于已知信源数，若k小于已知信源数，则令数据观测矢量y＝w，返回步骤(5)，否则，执行步骤(7)。

步骤7.获得目标波达方向。

将步骤6b)中记录的所有的目标波达方向估计值传输给系统。

下面结合附图2、附图3对本发明的效果做进一步的描述：

附图2是本方面的仿真示意图，仿真条件和仿真结果如下：

1.仿真条件：

运行系统为Intel(R)Core(TM)2Duo CPU E45002.20GHz，64位Windows操作系统，仿真软件采用MATLAB R(2010a)，仿真参数设置如下表所示：

参数	参数值
		载频	1.5GHz
相控阵阵元个数	16
		阵元间距	0.1m
目标个数	3
		目标中频	5.42MHz，5.7MHz，5.7MHz
目标角度	-15°，-2°，10°
		目标信噪比	-5dB，-5dB，0dB

2.仿真结果：

图2(a)表示本发明方法形成的波达方向估计曲线，图2(a)中横坐标表示角度，纵坐标表示功率。图2(a)中的曲线表示在各个角度上功率分布情况，3个尖峰表示3个真实目标处的功率。图2(b)表示子空间方法形成的波达方向估计曲线，图2(b)中横坐标表示角度，纵坐标表示功率。图2(b)中曲线表示在各个角度上功率分布情况，2个尖峰表示2个真实目标处的功率。图2(c)表示压缩感知方法获得的波达方向估计曲线，横坐标表示角度，纵坐标表示功率。图2(c)中的曲线表示在各个角度上功率分布情况，14个尖峰表示3个真实目标和11个虚假目标处的功率。

由图2(b)中子空间方法形成的波达方向估计曲线可见，子空间方法只出现了2个代表目标的尖峰，与仿真条件中的目标个数相比，显然没有分辨出仿真条件中的3个目标。由图2(c)中压缩感知方法获得的波达方向估计曲线可见，压缩感知方法出现了14个代表目标的尖峰，由于仿真条件只有3个目标，所以其他11个尖峰代表了虚假目标，影响了估计精度。由图2(a)中本发明方法形成的波达方向估计曲线可见，本发明方法出现3个代表目标的尖峰，成功的在低信噪比且存在相干信号的情况下分辨出3个目标。下表具体说明三种方法的波达方向估计结果。

	目标1估计值	目标2估计值	目标3估计值
				本发明方法	-15.3°	-2°	10.3°
子空间方法	-14.8°	\	10.6°
				压缩感知方法	-18.7°	-3°	10.6°

由上表可知，本发明方法成功的估计出了3个目标的波达方向估计值，且估计误差较小，子空间方法只估计出了2个目标的波达方向估计值，压缩感知方法估计出了3个目标的估计值，但是估计误差较大。

附图3是本方面的实测数据处理示意图，实验条件和实验结果如下：

1.实验条件：

实验中相控阵采用6元等距线阵，阵元间距7.5cm，输入信号频段S频段，采样频率1GHz，采样点数1024角度搜索步长0.1°。三个信源的中频分别是110MHz，100MHz，110MHz，对应的角度分别是-35°，-10°，12°。

2.实验结果：

图3(a)表示本发明方法处理实测数据形成的波达方向估计曲线，图3(a)中横坐标表示角度，纵坐标表示功率，曲线表示在各个角度上功率分布情况，3个尖峰表示3个真实目标处的功率。图3(b)表示子空间方法处理实测数据形成的波达方向估计曲线，图3(b)中横坐标表示角度，纵坐标表示功率，图3(b)中的曲线表示在各个角度上功率分布情况，1个尖峰表示1个真实目标处的功率。图3(c)表示压缩感知方法处理实测数据获得的波达方向估计曲线，横坐标表示角度，纵坐标表示功率，图3(c)中的曲线表示在各个角度上功率分布情况，5个尖峰表示3个真实目标和2个虚假目标处的功率。

由图3(b)中子空间方法处理实测数据形成的波达方向估计曲线可见，子空间方法只出现1个代表目标的尖峰，与实际数据中已知的目标数相比，丢失了2个目标。由图3中(c)压缩感知方法处理实测数据获得的波达方向估计曲线可见，压缩感知方法出现5个代表目标的尖峰，与实际数据中已知的目标数相比，出现了2个虚假目标，影响了估计精度。由图3中(a)本发明方法处理实测数据形成的波达方向估计曲线可见，本发明方法出现了3个代表目标的尖峰，成功的在存在相干信号的情况下分辨出3个目标。下表具体说明了三种方法的波达方向估计结果和三种方法处理实测数据时程序运行的时间。

	目标1估计值	目标2估计值	目标3估计值	程序运行时间
					本发明方法	-35.2°	-11°	11.8°	0.180687秒
子空间方法	\	-10.8°	\	0.332461秒
					压缩感知方法	-33°	-16°	4.7°	1.413164秒

由上表可知，本发明方法成功的估计出了3个目标的波达方向估计值，且估计误差较小，子空间方法只估计出了1个目标的波达方向估计值，压缩感知方法估计出了3个目标的估计值，但估计误差较大。本发明方法的程序运行所需的时间比子空间方法和压缩感知方法的运算所需的时间都要短。

Claims (3)

1.一种基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法，包括如下步骤：

(1)接收数据：

采集相控阵各个阵元的回波数据，并存储在系统内存中；

(2)阵元去噪：

按下式对接收数据进行阵元去噪，得到数据观测矢量：

$y=\frac{1}{M}X{x}_1^H$

其中，y表示数据观测矢量，M表示采样快拍数，X表示相控阵第2至第N个阵元的接收数据，X为(N-1)×M维矩阵，N表示相控阵阵元的个数，x₁表示相控阵第一个阵元的接收数据，x₁为1×M维矢量，H表示共轭转置运算；

(3)划分角度单元：

将待测的角度空间[θ_min，θ_max]按下式进行栅格划分，得到P个角度单元：

θ_m＝θ_min+(m-1)Δθ

其中，θ_m表示第m个角度单元，m＝1，2，...，P，P表示角度单元个数，θ_min表示角度空间的最小值，θ_max表示角度空间的最大值，-90°≤θ_min＜θ_max≤90°，Δθ表示角度间隔，Δθ＝(θ_max-θ_min)/(P-1)；

(4)构建观测矩阵：

4a)按下式计算观测矩阵的元素：

[A]_r，s＝exp(j2πx_esinθ_m/λ)

其中，[A]_r，s表示观测矩阵的第r行第s列的元素，A表示观测矩阵，x_e表示第e个相控阵阵元所对应的坐标值，e＝2，3，...，N，N为相控阵阵元的个数，r＝e-1，θ_m表示步骤(3)中所述的角度单元，m＝1，2，...，P，P为角度单元个数，s＝m，j表示虚数单位，λ表示载波波长；

4b)将步骤4a)中获得的观测矩阵元素按照行列位置排列，构成观测矩阵；

(5)零空间调整：

5a)按下式计算角度循环矢量：

z＝A^H(AA^H)^-1y

其中，z表示角度循环矢量，A表示观测矩阵，H表示共轭转置运算，y表示数据观测矢量；

5b)对角度循环矢量z的元素进行求模，从模值中寻找模值最大元素和与模值最大元素所对应的位置标号；

5c)构造P×1维辅助矢量；

5d)按下式计算角度恢复矢量：

v＝z+[I_P-A^H(AA^H)^-1A](u-z)

其中，v表示角度恢复矢量，z表示角度循环矢量，I_P表示P×P维单位矩阵，P为角度单元个数，A表示观测矩阵，H表示共轭转置运算，u表示辅助矢量；

5e)按下式计算收敛系数：

ε＝norm(v)/norm(z)

其中，ε表示收敛系数，norm(·)表示求矢量的2范数，v表示角度恢复矢量，z表示角度循环矢量；

5f)判断收敛系数ε是否大于阀值ε₀，若ε＞ε₀，则令角度循环矢量z＝v，返回步骤5b)，否则，执行步骤(6)；

(6)正交投影：

6a)搜索步骤5d)中的角度恢复矢量v的峰值元素，寻找与峰值元素对应的位置标号；

6b)从步骤(3)中的P个角度单元中搜索第I个角度单元，将搜索到的角度单元记录为第k个目标的波达方向估计值，其中，I表示峰值元素在角度恢复矢量v中对应的位置标号，k表示记录的目标数；

6c)按下式计算导向矢量的元素：

${\left[a\right]}_t=\exp (j2\mathrm{\π}{x}_e\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k/\mathrm{\λ})$

其中，[a]_t表示导向矢量的第t行元素，a表示导向矢量，j表示虚数单位，x_e表示第e个相控阵阵元的坐标值，e＝2，3，...，N，N为相控阵阵元的个数，t＝e-1，

表示步骤6b)中的第k个目标的波达方向估计值，λ表示载波波长；

6d)将步骤6c)中获得的导向矢量元素按照行列位置排成一列，构成导向矢量；

6e)按下式计算投影矢量：

w＝[I_N-1-a^Ha/(a^Ha)]y

其中，w表示投影矢量，I_N-1表示(N-1)×(N-1)维单位矩阵，N为相控阵阵元的个数，a表示步骤6d)中的导向矢量，H表示共轭转置运算，y表示数据观测矢量；

6f)判断步骤6b)中记录的目标数k是否小于已知信源数，若k小于已知信源数，则令数据观测矢量y＝w，返回步骤(5)，否则，执行步骤(7)；

(7)获得目标波达方向：

将步骤6b)中记录的所有的目标波达方向估计值传输给系统。

2.根据权利要求1所述的基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法，其特征在于：步骤5c)中所述的构造P×1维辅助矢量的步骤如下：

第一步，从角度循环矢量z中剔除模值最大元素，得到角度补矢量；

第二步，从观测矩阵A中抽取第J列矢量组成最大列矢量，J表示模值最大元素在角度循环矢量z中对应的位置标号；

第三步，从观测矩阵A中剔除最大列矢量，得到观测补矩阵；

第四步，构造一个所有元素均为0的P×1维的初始辅助矢量；

第五步，按下式计算辅助替换元素：

u＝z_J+(b^Hb)^-1b^H(A^cz^c)

其中，u表示辅助替换元素，z_J表示模值最大元素，J表示模值最大元素在角度循环矢量z中对应的位置标号，b表示最大列矢量，H表示共轭转置运算，A^c表示观测补矩阵，z^c表示角度补矢量；

第六步，将初始辅助矢量的第Q个元素替换为辅助替换元素u，得到辅助矢量，其中Q与J的数值大小相等。

3.根据权利要求1所述的基于快速稀疏恢复的超分辨波达方向估计方法，其特征在于：步骤5f)中所述阀值ε₀为10^-8～10^-3之间的任意一个实数。

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