CN103338880A

CN103338880A - 三维物体生产方法

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Publication number: CN103338880A
Application number: CN2011800432067A
Authority: CN
Inventors: A·斯尼斯
Original assignee: Arcam AB
Current assignee: Arcam AB
Priority date: 2011-01-28
Filing date: 2011-01-28
Publication date: 2013-10-02
Anticipated expiration: 2031-01-28
Also published as: KR101820553B1; EP2667987A1; EP2667987B1; EP2667987A4; WO2012102655A1; RU2553796C2; US9073265B2; BR112013009155A2; JP5712306B2; RU2013112124A; BR112013009155B1; JP2014508668A; KR20130139247A; US20130300035A1; CN103338880B

Abstract

本发明涉及一种用于通过连续提供粉末层并且使所述层的所选区域熔合在一起而生产三维物体的方法，所述区域对应于所述三维物体的连续横截面，其中所述方法针对至少一个所述层包括下列步骤：将所述至少一个粉末层施加至工作区域上，并且通过从辐射枪供应能量至所选区域而使所述至少一个粉末层的所述所选区域熔合在一起。本发明的特征在于其包括下列步骤：创建将在使所述至少一个粉末层的所述所选区域熔合在一起时使用的预期射束路径，依据假设沿着所述预期射束路径移动的虚射束的特定能量沉积计算沿着所述预期射束路径的所述至少一个粉末层的温度，取决于所述计算的温度及针对使所述所选区域熔合在一起的所述步骤而设定的条件而沿着所述预期射束路径调整所述虚射束的所述特定能量沉积，及基于所述计算和所述调整提供将在使所述至少一层的所述所选区域熔合在一起时用于所述预期射束路径的实际射束的所述特定能量沉积的操作方案。

Description

三维物体生产方法

技术领域

本发明涉及一种通过连续提供粉末层并且使所述层的所选区域熔合在一起而生产三维物体的方法，所述区域对应于三维物体的连续横截面。

发明背景

使用可通过用电磁辐射或电子的高能射束照射它而熔合在一起并且固化的粉末材料逐层生产三维对象的设备在例如US4863538、US5647931和SE524467中已知。这种设备包括例如粉末供应、用于连续将粉末层施加在可垂直调整平台或工作区域上的构件和在工作区域上方引导射束的构件。粉末随射束在工作区域上方逐层移动而烧结或熔化并且固化。

当使用高能射束熔化或烧结粉末时，重要的是全面控制被照射材料的温度以为对象提供适当的材料性质并且避免几何变形。例如，过高的局部温度可能破坏所生产的对象且太不均匀的温度分布可能导致裂纹。此外，为了提供完全熔合，粉末床的上层温度在熔化步骤期间应正常保持为高于最小值。除保持控制温度外，通常重要的是试图缩短生产时间，即试图在所选区域上方尽可能高效地扫动射束。

仅每个粉末层的所选部分或区域熔合在一起。射束在每个所选区域上方以使区域完全熔合在一起的扫描或剖面线图案在特定路径上扫动。通常，这种扫描图案具有在所选区域上方等距离分布的平行行形式。可包括数个部分区域的这些所选区域的每一个对应于构建在粉末床中的对象的横截面。

以具有平行行的扫描图案扫动射束可通过按顺序扫描行而完成。由于沿着先前扫描的行的来自加热材料的热传递，沿着将被扫描的特定行的材料温度将比起始温度高（即，高于第一行被扫描时的材料温度）。至少在使用高能射束时，这种温度升高必须予以考虑以维持材料内的适当局部温度。

一种将这种情况予以考虑的方式是响应温度升高而调整射束能量输入。这可例如通过改变射束功率或通过改变射束在粉末层上方移动的速度而完成。一个实例是增大第一扫描行的末端接近第二扫描行的开端的射束转动位置上的射束速度。但是，为了适当地这么做，需要有关材料温度的信息。此温度或更准确地说粉末床的表面温度可使用热相机测量。但是，基于来自这样一种相机的输入实时校正或控制射束因系统的长响应时间而难以适当地执行（即使在检测到升高的温度时立即采取措施以降低温度，温度仍可能继续升高达一段时间）。然而，热相机可在生产后用于检查生产过程是否出错。

US5904890公开一种方法，其中射束扫描速度依据具有平行行的扫描图案中的扫描行的长度变化。射束速度对于较长扫描行较低且对于较短行较高以在射束远离特定区域时避免不同的冷却。目的是实现所生产的产品的均匀密度分布。在射束速度与扫描行长度相比较高的情况下这种方法可能对于上述温度升高有用。但是，如果扫描行是长的，那么射束速度应仅在扫描行的末端部分上调整且如果行分布在相同粉末层的数个所选区域上方或以不同图案分布，那么在所述区域的所有部分上温度升高不会类似。此外，如果射束能量高，那么可能需要更复杂的扫描图案。在这种情况下，温度升高无法仅通过相对于扫描行的长度变化射束速度而适当地予以考虑。

WO2008/013483公开一种方法，其中平行扫描行按特定顺序被扫描使得在连续被扫描行之间建立最小安全距离。扫描行之间的温度（和带电粒子）升高因此通过防止连续被扫描行之间的热传递干扰的发生而予以考虑。方法主要旨在以高射束速度及高射束功率预热粉末层但还可在熔化粉末步骤期间用于避免热传递干扰。但是，这可能导致相当耗时的生产过程。

因此，需要更精细的扫描策略，其允许完全的温度控制以及高效的生产。

发明概要

本发明的目标是提供一种用于生产三维物体的上述类型的方法，所述方法展现控制温度和加快生产的改进可能。这个目标通过独立权利要求1所含的技术特征定义的方法实现。附属权利要求含有本发明的有利实施方案、进一步发展和变型。

本发明涉及一种用于通过连续提供粉末层并且使所述层的所选区域熔合在一起而生产三维物体的方法，所述区域对应于三维物体的连续横截面，其中所述方法针对至少一个所述层包括下列步骤：将至少一个粉末层施加至工作区域上并且通过从辐射枪供应能量至所选区域而使至少一个粉末层的所选区域熔合在一起。

本发明的特征在于方法包括下列步骤：创建将在使至少一个粉末层的所选区域熔合在一起时使用的预期射束路径；依据假设沿着预期射束路径移动的虚射束的特定能量沉积而沿着预期射束路径计算至少一个粉末层的温度；取决于计算的温度及针对使所选区域熔合在一起的步骤而设定的条件而沿着预期射束路径调整虚射束的特定能量沉积；及基于计算和调整提供将在使至少一层的所选区域熔合在一起时用于预期射束路径的实际射束的特定能量沉积的操作方案。

术语“预期射束路径”涉及跨所选区域配置的扫描或行图案并且指的是为在所述区域内熔化/熔合粉末的目的而在所选区域上方扫动射束时射束点旨在遵循的路径的至少一部分。原则上，预期射束路径可具有任意形式，只要其在所选区域内提供粉末的完全熔合，即，其可例如分段或连续以及包括笔直和弯曲部分。此外，即使行图案相同，例如如果行按不同顺序被扫描或如果单行在相反方向上被扫描，射束路径仍可变化。

“依据假设沿着预期射束路径移动的虚射束的特定能量沉积而沿着预期射束路径计算至少一个粉末层的温度”的步骤意指沿着预期射束路径的延伸部在预期射束路径上或接近预期射束路径的局部温度或局部温度分布例如通过计算沿着预期射束路径分布的许多点的局部温度（分布）而计算出来，考虑由假设在沿着预期射束路径移动时产生特定能量沉积的虚射束沉积至材料的能量。

沿着预期射束路径的特定点上（即，特定时间点上）的局部粉末层温度取决于例如材料层中的起始温度分布、材料的热性质（诸如导热率）、虚射束的特定能量沉积历史（包括射束的当前位置及多少能量或功率在其至当前位置的路径期间已沉积至材料层）和射束路径的几何图案。

术语“射束的特定能量沉积”指的是（虚或实）射束每时间单位及层的面积单位（射束功率及点大小）沉积的能量，即，每面积单位沉积的功率除以射束速度。因此，改变特定能量沉积可通过改变射束在层表面上方移动的速度、通过改变射束的功率和/或通过改变射束的点大小（即，在特定时间点直接暴露于射束的层表面积）而完成。在计算中，虚射束的特定能量沉积历史因此还包括速度、功率或点大小的变化。此外，射束的形状和射束的能量/功率分布可改变并且包括在计算中。

计算可能复杂且费时且可进行允许计算足够准确的温度，同时仍考虑特定能量沉积历史的各种简化（其可能强烈影响射束尚未到达但热已从预期射束路径的先前已"熔合"部分传导来的预期射束路径的点上的温度）。

“取决于计算的温度和针对使所选区域熔合在一起的步骤设定的条件而沿着预期射束路径调整虚射束的特定能量沉积”的步骤意指在例如计算表明温度在特定点上变得比针对最大温度设定的条件更高的情况下（其可能要求接近特定点的例如射束速度的增大或射束功率的减小或改变特定能量沉积历史以减小来自射束路径的先前部分的所述点的间接热传导加热）在预期射束路径的特定部分上方调整射束参数，即射束速度、功率和/或点大小的至少一个。

可处理沿着预期射束路径的虚射束的特定能量沉积的调整使得沿着路径（的部分）的温度再计算使用其他射束参数执行。或者，或作为补充，可能利用与将熔合材料相关的一组预定数据，其中所述数据组包括依据计算的温度和设定的条件的特定能量沉积的适当值。这些预定数据用于避免耗时的再计算并且可例如当在沿着预期射束路径分布的许多点上计算温度时使用。取决于在相对接近地定位在对应于虚射束的当前位置的点前方的“下一”点上计算的温度，将在将射束从当前位置移动直到其到达“下一”点时使用的特定能量沉积的适当值可直接从预定数据中获得。这个过程针对沿着预期射束路径分布的其余点重复。因此，以此方式，沿着预期射束路径逐步调整特定能量沉积。

术语“操作方案”（针对特定能量沉积）指的是实际射束的特定能量沉积如何，即速度、功率和点大小的每一个在熔合粉末的步骤期间期望如何随时间（或随沿着射束路径的位置，因这个位置与时间相关）而变化。因此，操作方案含有有关射束的速度、功率和点大小在熔合所选区域时应如何变化的信息。提供或确定/创建这个操作方案的步骤是从先前步骤提取和总结结果的形式。在逐步调整特定能量沉积的上述实例中，操作方案包括射束参数的逐步变化。操作方案还可包括有关针对预期射束路径的部分的射束参数设置的信息，其中可能不需要诸如针对预期射束路径的初始部分的温度计算和特定能量沉积调整。

材料的温度与其能量含量相关。因此可能取代计算真实温度而计算并且利用另一个能量及温度相关参数。术语计算的温度还涵盖这些相关参数。

创建预期射束路径、沿着预期射束路径计算温度、调整虚特定能量沉积和确定操作方案的步骤不一定需要每次或严格按照给定顺序执行。例如，计算和调整可以迭代方式执行且操作方案可针对整个射束路径的部分逐步确定。此外，虽然创建预期射束路径的步骤可相当简单-可选择具有带给定扫描方向的等距笔直及平行行的预设行图案-这个步骤可包括用于查找有利行图案和有利的、最终所选预期射束路径的计算和调整。

因此，本发明简而言之涉及一种方法，其中将在使粉末熔合在一起时使用的射束的特定能量沉积可通过针对不同特定能量沉积和条件沿着射束路径计算所得温度而预调整以响应将使用的特定扫描图案的温度升高而变化。换句话说，发明方法使得可能通过计算和调适预定射束在沿着路径图案通过并且熔化粉末时其特定能量沉积应如何随时间（或所选区域上的位置）变化。

多种条件可用于计算以优化特定能量沉积的操作方案，诸如以使生产时间最小化，避免超过特定最大温度，避免在特定时间间隔期间超过特定温度、使获得的最高温度最小化、沿着射束路径获得熔化材料的均匀宽度及这些情况的不同组合，诸如兼顾使生产时间最小化及获得的最高温度。各种可能的射束路径可在选择一个预期路径前评估。

为了简化及加速计算，条件可包括一个或两个射束参数（速度、功率和点大小）和/或预设射束路径，诸如放置为彼此相距类似距离的一组平行行的预设（预计算）值。

发明方法是一般性的并且适用于所选区域的任意几何形状。应当注意粉末层可包括可具有类似或不同几何形状的数个所选区域。

当已确定适当特定能量沉积操作方案时，这个方案用于相关层的所选区域（的部分）的实际熔化/熔合在一起。发明方法优选地用在所形成对象的所有层或至少大多数层上。

发明的效果是其提供所选区域的温度和温度分布的全面控制并且使得可能以复杂方式规划熔合步骤。接着，这可用于避免达到过高温度（其可能破坏所构建的产品），获得均匀温度分布（其通过减小应力及裂纹形成而改善产品性质）及加速生产（其使生产更具成本效益）。

在本发明的有利实施方案中，方法包括在使至少一个粉末层的所选区域熔合在一起时使用特定能量沉积的操作方案的步骤。

在本发明的另一个有利实施方案中，特定能量沉积是射束每时间单位及面积单位所沉积的能量除以射束速度，且特定能量沉积可通过改变射速速度、射束功率和/或射束点大小而改变。

在本发明的另一个有利实施方案中，方法包括使用与将熔合材料相关的一组预定数据，其中所述数据组包括将依据计算的温度和设定的条件选择的特定能量沉积的值。

在本发明的另一个有利实施方案中，针对熔合步骤设定的条件包括针对至少一个粉末层的一个或数个下列条件：最大温度；工作温度；熔体深度及熔体宽度。

在本发明的另一个有利实施方案中，计算温度的步骤包括求解含时热方程的步骤。

在本发明的另一个有利实施方案中，计算温度的步骤包括沿着预期射束路径计算局部温度分布。

在本发明的另一个有利实施方案中，计算温度的步骤包括在沿着预期射束路径分布的许多点上或接近其执行的数个计算。

在本实施方案的一个变型中，邻近计算点之间的最大距离通过设定邻近点之间的特定能量沉积的允许改变的限值而设定。例如，只要射束速度变化达射束的最大允许改变，速度就被设定。

在本发明的另一个有利实施方案中，创建预期射束路径的步骤包括下列步骤：沿着多个可行射束路径进行温度计算，及从所述多个射束路径中选出预期射束路径。

附图简述

在下文给出的本发明描述中，参考下列附图，其中：

图1以示意图示出可应用本发明方法的用于生产三维产品的已知装置的实例。

图2示出射束在正x轴方向上行进的盒中的表面温度曲线及相应熔体深度和熔体宽度的示意图，

图3至图5示出通过FEM计算的一些温度分布曲线连同根据方程3中的高斯系列的近似分布。

图6分别示出点-行及点-点距离

和

其中

是全局坐标系中针对指数项的位置，并且其中

和

是全局坐标系中针对行j的线段k的坐标。

图7示出具有等腰梯形形式的所选区域的预期射束路径的实例，其中预期射束路径使得射束从底部开始扫描行至顶部，同时将方向由从左至右改变为从右至左，和

图8示出将用于图7所示的预期射束路径的射束的特定能量沉积的确定操作方案，其中本实例中的特定能量沉积通过改变射束速度而改变。

具体实施方式

图1示出用于生产三维产品的已知装置1的实例。装置1包括上方将构建三维产品3的可垂直调整工作台2、一个或多个粉末分配器4、被配置来在工作台2上连续分布用于形成粉末床5的薄粉末层的构件28、用于输送能量至粉末床5以使粉末床5的部分熔合在一起的电子枪形式的辐射枪6、用于在所述工作台2上方引导由辐射枪6发射的电子束并且使其成形的偏向及射束成形线圈7和被配置来控制装置1的不同部分的控制单元8。

在典型的工作循环内，工作台2被放低，新的粉末层被施加至粉末床5顶部的工作区域上，且电子束在粉末床5的上层5'的所选部分上方扫描。原则上，这个循环重复直到产品完成。本领域专家在图1所述的类型和配置激光枪而非电子枪的装置方面了解用于生产三维产品的装置的一般功能和组成。

传统上，设有电子枪的设备结合真空运作，通常低于大约10-2mbar以避免电子束与位于电子枪与工作区域之间的原子或分子相互作用。

具有等腰梯形形式的粉末层所选区域的实例示于图7中。还示出预期射束路径。

现将描述发明方法的实施方案。在本实施方案的实例中，预期射束路径遵循彼此等距分布的多个平行行和笔直行（扫描或剖面线行）。在本实例中所调整的射束参数是射束速度。在计算中，调整射束速度使得特定深度上熔化材料的宽度（参看图2的熔体宽度和熔体深度）沿着整个射束路径变得相等。这允许使用射束路径的平行部分之间的固定距离。其余参数预定（或从其他预定参数中计算得到）。

作为概述，方法的实施方案描述如下：

1.包括针对不同组材料性质、材料温度和射束功率的温度曲线和相关射束参数（点大小和射束速度）的数据被创建并且存储在数据库中。这些数据通过针对类似于图2所示的测试盒的简单几何形状的FEM计算而获得。

2.用于生产三维物体的机器通过求解含时热方程而针对沿着射束轨道（路径）分布的许多点的每一个实时计算局部温度分布。方程式的解通过用高斯包络展开先前熔合（即，虚熔合）的剖面线行的温度曲线而获得。对应于所使用的射束和材料参数的温度曲线从数据库中获得。

3.特定点上的射束参数取决于局部计算温度分布而选择并且其从数据库中的预计算数据中获得（通过针对所使用的材料将计算的温度分布与预计算的温度曲线作比较并且选择对应于最匹配计算的分布的曲线的射束参数）。

4.一旦剖面线行完成，行的末端上的温度曲线还通过高斯函数近似且步骤2和步骤3（即，两个先前步骤）针对下一剖面线行重复。

实时执行计算的表达意指粉末的熔合与计算同时执行。通常，后续层的射束参数操作方案的计算在前一层熔合时执行。原则上，可能在开始第一层的熔合过程前针对所有层执行操作方案的所有计算和确定，但是这通常会导致开始生产前的等待时间。在另一极端情况下，操作方案的计算和确定针对沿着非常靠近实际射束所定位之处的射束路径的点执行，但是这会在计算或熔合出错的情况下导致用于进行校正或再计算的非常小的裕度。

方法的实施方案介绍

为了获得根据所述方法控制熔化过程所需的适当数据，在无热源的情况下以及在均匀材料域内考虑含时热方程-∞<x<∞，-∞<y<∞和-∞<z<0：

方程1a.

\frac{&PartialD;}{&PartialD; t} T (x, y, z, t) - \frac{λ}{c_{p} ρ} {&dtri;}^{2} T (x, y, z, t) = 0

此处，T(x,y,z,t)是含时温度分布，λ是导热率，c_p是热容且p是材料密度。

边界条件总结如下：

方程1b

T=T₀；x,y→±∞，z→-∞

在x方向上移动的有关z=0的高斯成形源项用于描述虚能量射束。穿过相同顶部表面的辐射假设为遵循Stefan-Boltzmann定律。

方程1c

{- λ \frac{&PartialD;}{&PartialD; z} T (x, y, t) |}_{z = 0} = \frac{P_{in}}{{2 πσ}^{2}} e^{(- ({(x - v_{x} t)}^{2} + y^{2}) / {2 σ}^{2})} - radcoeff (T {(x, y, 0, t)}^{4} - T_{sur}^{4})

此处，P_in是吸收的射束功率，v_x是射束速度，σ是偏离值（射束点大小），radcoeff是来自表面的辐射系数且T_sur是表面上方的环境温度。

T₀是工作温度，即熔化/熔合前材料的所要温度。

为了缩短生成数据所需的时间，可适当地通过假设围绕移动点的温度分布已达到稳定状态（x=x-tv_x,dt=-dx/v_x）而移除时间相依性。

方程2a

- v_{x} \frac{&PartialD;}{&PartialD; x} T (x, y, z) - \frac{λ}{c_{p} ρ} {&dtri;}^{2} T (x, y, z) = 0

方程2b

- λ \frac{&PartialD;}{&PartialD; z} T (x, y, 0) = \frac{P_{in}}{{2 πσ}^{2}} e^{(- (x^{2} + y^{2}) / 2 σ)} - radcoeff (T {(x, y, 0)}^{4} - T_{sur}^{4})

方程2c

T(±∞,±∞,-∞)=T₀

上述热方程可针对数个不同材料性质组、T₀和射束设置而用例如FEM技术求解。这个过程可如何运作在图2中举例说明。

图2描绘射束在正x轴方向上行进的“测试盒”。表面上的温度曲线连同其中熔体体积由对应于材料的熔化温度的等温曲线表示的熔体体积的切片一起示出。此处，射束参数v_x和σ已被优化以获得有关熔体深度和熔体宽度的熔体体积的特定曲线。此外，材料内的最大温度限于Tmax。当然，可能存在用于优化射束参数的其他条件。例如，使熔体体积中的温度梯度最小化可作为一个这种体积。

描述剖面线行的末端上的能量输入所需的温度曲线将通过用一系列高斯函数近似方程2a中的T(x,y,z)而获得。通过这么做，随后甚至可针对任意数量的剖面线行获得半无限域中温度分布的分析解。系列T'(x,y,z)将为：

方程3

T (x, y, z) \approx T^{'} (x, y, z) = T_{0} + Σ_{i = 1}^{i = N} A_{i} \exp (- {(x - {xpos}_{i})}^{2} / σ_{x_{i}}) \exp (- z^{2} / σ_{z_{i}}) \exp (- y^{2} / σ_{y_{i}})

参数A_i、xpos_i、可从T(x,y,z)与T'(x,y,z)之间的逐点非线性平方匹配中获得。此处，xpos_i是指数项i沿着射束路径的x位置。在射束坐标系中，其将是负值，因为射束被假设为在正x方向上行进并且位于x=0上。

在图3至图5中，通过FEM计算得到的一些温度分布连同根据方程3的近似分布示出。

匹配程度主要由所使用的高斯函数的数量确定。在下文实例中，N等于10至12的值，意指存在用于每个温度曲线的30至36个高斯函数。

材料内的含时温度分布

在射束已扫描一行之后材料内的含时温度分布T(x,y,z,t)通过格林函数和卷积连同从方程3中获得的初始条件T'(x',y',z')获得：

方程4

T^{'} (x, y, z, t) = \frac{1}{{(4 πDt)}^{3 / 2}} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{0} (\exp (- \frac{{(z - z^{'})}^{2}}{4 Dt}) + \exp (- \frac{{(z + z^{'})}^{2}}{4 Dt}))

\exp (- \frac{{(y - y^{'})}^{2}}{4 Dt}) \exp (- \frac{{(x - x^{'})}^{2}}{4 Dt}) T^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'}) {dz}^{'} {dy}^{'} {dx}^{'} + T_{surf} - T_{0}

其中

D = \frac{λ}{c_{p} ρ}

此处，假设材料温度等于T_surf并且与T₀不同。穿过表面的热损耗现被设为零：

- λ \frac{&PartialD;}{&PartialD; z} T^{'} (x, y, 0, t) = 0

当射束已扫描M行时，方程4的右手侧被和替换：

方程5

T^{''} (x, y, z, t) = T_{surf} +

Σ_{j = 1}^{j = M} \frac{1}{{(4 πD (t - t_{j}))}^{3 / 2}} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{0} (\exp (- \frac{{(z - z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) + \exp (- \frac{{(z + z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}))

\exp (- \frac{{(y - y^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (\frac{{(x - x^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) {T_{j}}^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'}) H (t - t_{j}) {dz}^{'} {dy}^{'} {dx}^{'} - T_{0 j}

其中t_j等于行j完成时的时间，T_0j是在行j完成时点周围的温度，T'j(x',y',z')是根据针对行j的方程3的温度分布且H(t-t_j)是定义如下的亥维塞（heaviside）阶跃函数：

H (t) = \{\begin{matrix} 0, t < 0 \\ 1, t &GreaterEqual; 0 \end{matrix}

在将T'(x,y,z)的表达式（方程4）插入方程5时，需记得方程3中的x、xpos_i和y坐标指的是以行j的终点为中心的局部坐标系，x轴指向针对此行的射束移动方向，而方程5中的x'和y'坐标指的是由部分的表面确定的全局坐标系。此外，如果行j的射束路径需通过各具有不同方向的数个线段描述，那么方程3中的y需由作为行j的线段k与点(x',y')之间的距离的

替换且x'-xpos_i需由作为指数x项i在线段上的位置与相同线段上(x',y')的投影点之间的距离的替换（见图6）。

以此方式，可考虑任意类型的射束路径。但是，应记得方程3中的温度分布从直线模拟中获得。因此，如果射束路径的曲率非常大，那么仅以如xpos_i值确定的相同距离沿着这个路径放置方程3中的项可能是非常差的近似。在此情况下，可能需要针对弯曲几何形状的FEM解。

图6分别示出点-行和点-点距离

和

是全局坐标系中针对指数项的位置。和

是全局坐标系中针对行j的线段k的坐标。

对于含有定位在

上的至少一个指数项的每个线段kj，平方距离

和

需表示为(ax'+by'+c)²项的线性组合，否则可能无法分析求解方程5中的积分。这在以下方程中完成。

{(d_{{y_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2} = {(\frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - (x_{1}^{k_{j}} - x^{'}) (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{\sqrt{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}}})}^{2}

L_{x_{i}}^{k_{j}} = | {xpos}_{i}^{j} | - Σ_{l = 1}^{l = k - 1} \sqrt{{(x_{2}^{l_{j}} - x_{1}^{l_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{l_{j}} - y_{1}^{l_{j}})}^{2}}

\tan θ = \frac{y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}}}{x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}}

{xpos}_{i}^{k_{j}} = x_{2}^{k_{j}} - L_{x_{i}}^{k_{j}} \cos θ

y {pos}_{i}^{k_{j}} = y_{2}^{k_{j}} - L_{x_{i}}^{k_{j}} \sin θ

{(d_{{x_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2} = {({xpos}_{i}^{k_{j}} - x^{'})}^{2} + {({ypos}_{i}^{k_{j}} - y^{'})}^{2} - {(d_{{y_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2}

此处，假设射束从点1行进至点2且线段1是行j的最后一个线段。因此，线段向后求和。

是来自方程4针对行j的指数项i的x位置的绝对值，即行j的射束路径坐标系中的x位置。

在射束已扫描M行时将所有结合在一起将提供含时温度分布的下列表达式：

方程6

T^{'} (x, y, z, t) = T_{surf} + Σ_{j = 1}^{j = M} T_{0 j} +

Σ_{j = 1}^{j = M} \frac{H (t - t_{j})}{{(4 πD (t - t_{j}))}^{3 / 2}} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{0} (\exp (- \frac{{(z - z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) + \exp (- \frac{{(z + z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}))

\exp (- \frac{{(y - y^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (\frac{{(x - x^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) Σ_{k_{j} = 1}^{k_{j} = K_{j}} Σ_{i = 1}^{i = N_{k_{j}}^{j}} A_{i}^{j} \exp (- {(d_{{x_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2} / σ_{x_{i}}^{j}) \exp (- {(d_{{y_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2} / σ_{y_{i}}^{j})

\exp (- z^{' 2} / σ_{z_{i}}^{j}) {dz}^{'} {dy}^{'} {dx}^{'} - T_{0 j} = T_{surf} + Σ_{j = 1}^{j = M} \frac{H (t - t_{j})}{{(4 πD (t - t_{j}))}^{3 / 2}} Σ_{k_{j} = 1}^{k_{j} = K_{j}} Σ_{i = 1}^{i = N_{k}^{j}} A_{i}^{j} I_{z}^{ij} I_{x}^{ij} I_{y}^{ij}

其中：

K_j是针对剖面线路径j的直线段数。

是有关各线段k_j的指数项数。

在后续段中，将对和内项的分析表达式求导。但是，应提及使用上述针对T'(x,y,z,t)的表达式，可能计算得到更多或更少任意类型的射束路径的温度且计算可在多CPU配置中有效完成，其意指计算可实时执行。

高斯函数的属性和积分

为了求解方程6中的表达式，需了解高斯函数的一些属性。

1.两个高斯函数的乘积是另一个高斯函数：

\exp (- \frac{{(ax - x_{1})}^{2}}{σ_{1}}) \exp (- \frac{{(bx - x_{2})}^{2}}{σ_{2}}) = Aexp (- \frac{{(x - x_{3})}^{2}}{σ_{3}})

σ_{3} = {({(\frac{σ_{1}}{a^{2}})}^{- 1} + {(\frac{σ_{2}}{b^{2}})}^{- 1})}^{- 1}

x_{3} = (σ_{3} σ_{1}^{- 1} x_{1} a + σ_{3} σ_{2}^{- 1} x_{2} b)

A = \exp (- \frac{{({ax}_{3} - x_{1})}^{2}}{σ_{1}}) \exp (- \frac{{({bx}_{3} - x_{2})}^{2}}{σ_{2}})

2.一个高斯函数的积分：

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{{(a - bx)}^{2}}{σ}) dx = \frac{\sqrt{πσ}}{b}

{&Integral;}_{- \infty}^{0} \exp (- \frac{{(a - bz)}^{2}}{σ}) dz = \frac{\sqrt{π} σ}{2 b} erfc (\frac{a}{σ})

{&Integral;}_{- \infty}^{0} \exp (- \frac{{(a + bz)}^{2}}{σ}) dz = \frac{\sqrt{πσ} - \frac{\sqrt{π} σ}{2} erfc (\frac{a}{σ})}{b}

计算T'(x,y,z,t)的积分

首先考虑z方向上的积分：

I_{z}^{ij} = {&Integral;}_{- \infty}^{0} (\exp (- \frac{{(z - z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) + \exp (- \frac{{(z + z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})})) \exp (- z^{' 2} / σ_{z_{i}}^{j}) {dz}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{0} \exp (\frac{{(z - z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- z^{' 2} / σ_{z_{i}}^{j}) {dz}^{'} + {&Integral;}_{- \infty}^{0} \exp (\frac{{(z + z^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- z^{' 2} / σ_{z_{i}}^{j}) {dz}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{0} A_{z_{i}}^{ij} \exp (- {(z_{{eff}_{1}}^{ij} - z^{'})}^{2} / σ_{z}^{ij}) {dz}^{'} + {&Integral;}_{- \infty}^{0} A_{z_{i}}^{ij} \exp (- {(z_{{eff}_{2}}^{ij} + z^{'})}^{2} / σ_{z}^{ij}) {dz}^{'} =

A_{z}^{ij} \frac{\sqrt{{πσ}_{z}^{ij}}}{2} erfc (\frac{z_{eff}^{ij}}{σ_{z}^{ij}}) + A_{z}^{ij} (\sqrt{{πσ}_{z}^{ij}} - \frac{\sqrt{{πσ}_{z}^{ij}}}{2} erfc (\frac{z_{eff}^{ij}}{σ_{z}^{ij}})) = \{\begin{matrix} \sqrt{{πσ}_{z}^{ij}}, z = 0 \\ A_{z}^{ij} \sqrt{{πσ}_{z}^{ij}}, z &NotEqual; 0 \end{matrix}

其中：

σ_{z}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{z_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

z_{eff}^{ij} = σ_{z}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} z

A_{z}^{ij} = \exp (- \frac{{(z_{eff}^{ij} - z)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(z_{eff}^{ij})}^{2}}{σ_{z_{i}}^{j}})

其次考虑x和y积分：

I_{x}^{ij} I_{y}^{ij} =

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{{(y - y^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(x - x^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- {(d_{{x_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2} / σ_{x_{i}}^{j}) \exp (- {(d_{{y_{i}}^{'}}^{k_{j}})}^{2} / σ_{y_{i}}^{j}) {dy}^{'} {dx}^{'}

在所有线段平行的情况下，无需x与y之间的差值，因为坐标系可容易地变换以与剖面线行对齐。因此，在下文实例中，所有行假设为与x轴平行。

(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}}) = 0, {ypos}_{i}^{k_{j}} = y_{1}^{k_{j}}

I_{x}^{ij} = {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{{(x - x^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- {({xpos}_{i}^{k_{j}} - x^{'})}^{2} / σ_{x_{i}}^{j}) {dx}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{x_{2}}^{ij} \exp (- {(x_{{eff}_{2}}^{ij} - x^{'})}^{2} / σ_{x_{2}}^{ij}) {dx}^{'} = A_{x_{2}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{x_{2}}^{ij}}

I_{y}^{ij} = {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{{(y - y^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- {(y_{1}^{k_{j}} - y^{'})}^{2} / σ_{y_{i}}^{j}) {dy}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{y_{2}}^{ij} \exp (- {(y_{{eff}_{2}}^{ij} - x^{'})}^{2} / σ_{y_{2}}^{ij}) {dx}^{'} = A_{y_{2}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{y_{2}}^{ij}}

其中：

σ_{x_{2}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

x_{{eff}_{2}}^{ij} = σ_{x_{2}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} x + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1} {xpos}_{i}^{k_{j}}

A_{x_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - x)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - {xpos}_{i}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{x_{i}}^{j}})

σ_{y_{2}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{y_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

y_{{eff}_{2}}^{ij} = σ_{y_{2}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} y + σ_{y_{2}}^{ij} {(σ_{y_{i}}^{j})}^{- 1} y_{1}^{k_{j}}

A_{y_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{y_{i}}^{j}})

如果线段不平行且具有任意方向，那么在一定程度上涉及代数。在此情况下，首先考虑x积分：

I_{x}^{ij} = {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{{(x - x^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- {({xpos}_{i}^{k_{j}} - x^{'})}^{2} / σ_{x_{i}}^{j}) \exp (\begin{matrix} - {(\frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - (x_{1}^{k_{j}} - x^{'}) (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{\sqrt{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}}})}^{2} \times \\ (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}) \end{matrix}) {dx}^{' =}

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{x_{1}}^{ij} \exp (- {(x_{{eff}_{1}}^{ij} - x^{'})}^{2} / σ_{x_{1}}^{ij}) \exp (\begin{matrix} - {(\frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - (x_{1}^{k_{j}} - x^{'}) (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{\sqrt{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}}})}^{2} \\ (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}) \end{matrix}) {dx}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{x_{1}}^{ij} \exp (- {(x_{{eff}_{1}}^{ij} - x^{'})}^{2} / σ_{x_{1}}^{ij}) \exp \begin{matrix}  \end{matrix} (\begin{matrix} - {(\frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})} - x^{'})}^{2} / \\ {(\frac{{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}^{2}}{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}} (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}))}^{- 1} \end{matrix}) {dx}^{'} =

A_{x_{1}}^{ij} {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{x_{2}}^{ij} \exp (- {(x_{{eff}_{2}}^{ij} - x^{'})}^{2} / σ_{x_{2}}^{ij}) {dx}^{'} = A_{x_{1}}^{ij} A_{x_{2}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{x_{2}}^{ij}}

其中：

σ_{x_{1}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

x_{{eff}_{1}}^{ij} = σ_{x_{1}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} x + σ_{x_{1}}^{ij} {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1} {xpos}_{i}^{k_{j}}

A_{x_{1}}^{ij} = \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{1}}^{ij} - x)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (\frac{{(x_{{eff}_{1}}^{ij} - {xpos}_{i}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{x_{i}}^{j}})

σ_{x_{2}}^{ij} = {({(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} + \frac{{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}^{2}}{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}} (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}))}^{- 1} =

{({(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} + {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1})}^{- 1}

σ_{xy}^{ij} = {(\frac{{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}^{2}}{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}} (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}))}^{- 1}

x_{{eff}_{2}}^{ij} = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} x_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})} =

a - y^{'} c

a = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} x_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) y_{1}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})} =

σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} x_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} b

b = \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) y_{1}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}

c = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} (x_{1}^{k_{j}} - x_{2}^{k_{j}}) / (y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}}) = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} d

d = (x_{1}^{k_{j}} - x_{2}^{k_{j}}) / (y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})

A_{x_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - x_{{eff}_{1}}^{ij})}^{2}}{σ_{x_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})})}^{2}}{σ_{xy}^{ij}}) =

\exp (- \frac{(a - x_{{eff}_{1}}^{ij} - y^{'} c)}{σ_{x_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{(a - b - y^{' (c + d)})}^{2}}{σ_{xy}^{ij}}) = A^{ij} \exp - {(e - y^{'})}^{2} / σ_{y})

σ_{y} = {({(\frac{σ_{x_{1}}^{ij}}{c^{2}})}^{- 1} + {(\frac{σ_{xy}^{ij}}{{(c + d)}^{2}})}^{- 1})}^{- 1}

e = σ_{y} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} (a - x_{e {ff}_{1}}^{ij}) c + σ_{y} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} (a - b) (c + d)

A^{ij} = \exp (- \frac{{(ce - a + x_{{eff}_{1}}^{ij})}^{2}}{σ_{x_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{((c + d) e - a + b)}^{2}}{σ_{xy}^{ij}})

因此：

I_{x}^{ij} = A_{x_{1}}^{ij} A_{x_{2}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{x_{2}}^{ij}} = A_{x_{1}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{x_{2}}^{ij}} A^{ij} \exp (- \frac{{(e - y^{'})}^{2}}{σ_{y}})

现考虑y积分：

I_{y}^{ij} = {&Integral;}_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{{(y - y^{'})}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- {({ypos}_{i}^{k_{j}} - y^{'})}^{2} / σ_{x_{i}}^{j}) \exp ({- (e - y^{'})}^{2} / σ_{y}) {dy}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{y_{1}}^{ij} \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{1}}^{ij} - y^{'})}^{2}}{σ_{y_{1}}^{ij}}) \exp (- {(e - y^{'})}^{2} / σ_{y}) {dy}^{'} =

{&Integral;}_{- \infty}^{\infty} A_{y_{1}}^{ij} A_{y_{2}}^{ij} \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y^{'})}^{2}}{σ_{y_{2}}^{ij}}) dy = A_{y_{1}}^{ij} A_{y_{2}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{y_{2}}^{ij}}

其中：

σ_{y_{1}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

y_{{eff}_{1}}^{ij} = σ_{y_{1}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} y + σ_{y_{1}}^{ij} {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1} {ypos}_{i}^{k_{j}}

A_{y_{1}}^{ij} = \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{1}}^{ij} - y)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{1}}^{ij} - {ypos}_{i}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{x_{i}}^{j}})

σ_{y_{2}}^{ij} = {({(σ_{y_{1}}^{ij})}^{- 1} + {(σ_{y})}^{- 1})}^{- 1}

y_{e {ff}_{2}}^{ij} = σ_{y_{2}}^{ij} {(σ_{y_{1}}^{ij})}^{- 1} y_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{y_{2}}^{ij} {(σ_{y})}^{- 1} e

A_{y_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y_{{eff}_{1}}^{ij})}^{2}}{σ_{y_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - e)}^{2}}{σ_{y}})

总表达式的总结

T^{''} (x, y, z, t) = T_{surf} + Σ_{j = 1}^{j = M} \frac{1}{{(4 πD (t - t_{j}))}^{3 / 2}} Σ_{k_{j} = 1}^{k_{j} = K_{j}} Σ_{i = 1}^{i = N_{k}^{j}} A_{i}^{j} I_{z}^{ij} I_{x}^{ij} I_{y}^{ij}

指数项的位置：

L_{x_{i}}^{k_{j}} = | {xpos}_{i}^{j} | - Σ_{l = 1}^{l = k - 1} \sqrt{{(x_{2}^{l_{j}} - x_{1}^{l_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{l_{j}} - y_{1}^{l_{j}})}^{2}}

\tan θ = \frac{y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}}}{x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}}

{xpos}_{i}^{k_{j}} = x_{2}^{k_{j}} - L_{x_{i}}^{k_{j}} \cos θ

{ypos}_{i}^{k_{j}} = y_{2}^{k_{j}} - L_{x_{i}}^{k_{j}} \sin θ

I_{z}^{ij} = \{\begin{matrix} \sqrt{{πσ}_{z}^{ij}}, z = 0 \\ A_{z}^{ij} \sqrt{{πσ}_{z}^{ij}}, z &NotEqual; 0 \end{matrix}

其中：

σ_{z}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{z_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

z_{eff}^{ij} = σ_{z}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} z

A_{z}^{ij} = \exp (- \frac{{(z_{eff}^{ij} - z)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(z_{eff}^{ij})}^{2}}{σ_{z_{i}}^{j}})

平行行：

(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}}) = 0, {ypos}_{i}^{k_{j}} = y_{1}^{k_{j}}

I_{x}^{ij} = A_{x_{2}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{x_{2}}^{ij}}

I_{y}^{ij} = A_{y_{2}}^{ij} \sqrt{π σ_{y_{2}}^{ij}}

其中：

σ_{x_{2}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

x_{{eff}_{2}}^{ij} = σ_{x_{2}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} x + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1} {xpos}_{i}^{k_{j}}

A_{x_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - x)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - {xpos}_{i}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{x_{i}}^{j}})

σ_{y_{2}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{y_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

y_{{eff}_{2}}^{ij} = σ_{y_{2}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} y + σ_{y_{2}}^{ij} {(σ_{y_{i}}^{j})}^{- 1} y_{1}^{k_{j}}

A_{y_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{y_{i}}^{j}})

剖面线行的任意方向：

(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) &NotEqual; 0, (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}}) &NotEqual; 0

I_{x}^{ij} I_{y}^{ij} = A_{x_{1}}^{ij} \sqrt{{πσ}_{x_{2}}^{ij}} A^{ij} A_{y_{1}}^{ij} A_{y_{2}}^{ij} \sqrt{π σ_{y_{2}}^{ij}}

其中：

σ_{x_{2}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

x_{{eff}_{1}}^{ij} = σ_{x_{1}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} x + σ_{x_{1}}^{ij} {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1} {xpos}_{i}^{k_{j}}

A_{x_{1}}^{ij} = \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{1}}^{ij} - x)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{1}}^{ij} - {xpos}_{i}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{x_{i}}^{j}})

σ_{x_{2}}^{ij} = {({(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} + \frac{{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}^{2}}{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}} (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}))}^{- 1} = {({(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} + {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1})}^{- 1}

σ_{xy}^{ij} = {(\frac{{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}^{2}}{{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}})}^{2} + {(y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}^{2}} (\frac{1}{σ_{y_{i}}^{j}} - \frac{1}{σ_{x_{i}}^{j}}))}^{- 1}

x_{{eff}_{2}}^{ij} = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} x_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})} = a - y^{'} c

a = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} x_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) y_{1}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})} = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} x_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} b

b = \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) y_{1}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})}

c = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} (x_{1}^{k_{j}} - x_{2}^{k_{j}}) / (y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}}) = σ_{x_{2}}^{ij} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} d

d = (x_{1}^{k_{j}} - x_{2}^{k_{j}}) / (y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})

A_{x_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - x_{{eff}_{1}}^{ij})}^{2}}{σ_{x_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{(x_{{eff}_{2}}^{ij} - \frac{(x_{2}^{k_{j}} - x_{1}^{k_{j}}) (y_{1}^{k_{j}} - y^{'}) - x_{1}^{k_{j}} (y_{2}^{k_{j}} - y_{1}^{k_{j}})}{(y_{1}^{k_{j}} - y_{2}^{k_{j}})})}^{2}}{σ_{xy}^{ij}}) =

\exp (- \frac{(a - x_{{eff}_{1}}^{ij} - y^{'} c)}{σ_{x_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{(a - b - y^{' (c + d)})}^{2}}{σ_{xy}^{ij}}) = A^{ij} \exp - {(e - y^{'})}^{2} / σ_{y})

σ_{y} = {({(\frac{σ_{x_{1}}^{ij}}{c^{2}})}^{- 1} + {(\frac{σ_{xy}^{ij}}{{(c + d)}^{2}})}^{- 1})}^{- 1}

e = σ_{y} {(σ_{x_{1}}^{ij})}^{- 1} (a - x_{e {ff}_{1}}^{ij}) c + σ_{y} {(σ_{xy}^{ij})}^{- 1} (a - b) (c + d)

A^{ij} = \exp (- \frac{{(ce - a + x_{{eff}_{1}}^{ij})}^{2}}{σ_{x_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{((c + d) e - a + b)}^{2}}{σ_{xy}^{ij}})

σ_{y_{1}}^{ij} = {({(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} + {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1})}^{- 1}

y_{{eff}_{1}}^{ij} = σ_{y_{1}}^{ij} {(4 D (t - t_{j}))}^{- 1} y + σ_{y_{1}}^{ij} {(σ_{x_{i}}^{j})}^{- 1} {ypos}_{i}^{k_{j}}

A_{y_{1}}^{ij} = \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{1}}^{ij} - y)}^{2}}{4 D (t - t_{j})}) \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{1}}^{ij} - {ypos}_{i}^{k_{j}})}^{2}}{σ_{x_{i}}^{j}})

σ_{y_{2}}^{ij} = {({(σ_{y_{1}}^{ij})}^{- 1} + {(σ_{y})}^{- 1})}^{- 1}

y_{e {ff}_{2}}^{ij} = σ_{y_{2}}^{ij} {(σ_{y_{1}}^{ij})}^{- 1} y_{{eff}_{1}}^{ij} + σ_{y_{2}}^{ij} {(σ_{y})}^{- 1} e

A_{y_{2}}^{ij} = \exp (- \frac{{(y_{{eff}_{2}}^{ij} - y_{{eff}_{1}}^{ij})}^{2}}{σ_{y_{1}}^{ij}}) \exp (- \frac{{(y_{e {ff}_{2}}^{ij} - e)}^{2}}{σ_{y}})

沿着剖面线行的射束参数计算

当（虚）射束沿着剖面线路径扫描时，点周围的温度现可从方程6中的表达式以及通过插入先前剖面线行的温度曲线的预计算高斯函数计算得到。

通过了解温度以及通过获得针对不同条件的射束参数的最佳数据，可能适当方式调整射束能量输入（即，特定能量沉积）。

实例

在下文剖面线实例（参看图7）中，梯形将用恒定射束功率熔化且将由射束速度改变以具有恒定熔体深度和熔体宽度。预期射束路径使得射束通过将方向从左至右改变为右至左而开始从底部至顶部扫描图7中的行。

点大小已针对Tsurf（部分在熔合前的温度）优化使得熔体池的最大温度限于Tmax。这意指第一剖面线行用恒定速度及固定点大小扫描。所有其他行用相同点大小和功率但以不同及变化速度扫描。沿着预期射束路径分布的各计算点的速度通过首先计算所述点周围的温度分布而获得及随后从数据库中的速度对温度数据中获得。数据库中的速度已针对特定射束设置（功率和点大小）和温度优化使得熔体深度和熔体宽度对于所有行相同。在每个剖面线行的末端上，由虚射束创建的温度曲线通过从数据库中取得的高斯函数建模。数据库的温度范围从Tsurf至Tmelt且预计算数据的温阶设定为20K。使用查找表程序以针对计算温度挑选最接近速度和高斯函数。

沿着每个剖面线行的所得速度曲线描绘于图8中。这些曲线基于沿着预期射束路径的局部温度分布的计算并且对应于将在使至少一层的所选区域熔合在一起时将用作预期射束路径的射束的特定能量沉积的确定操作方案，其中本实例中特定能量沉积通过改变射束速度而改变。

在上文实例中，逐步程序用于沿着行获得温度和速度。这意指首先沿着行的特定点上的温度使用针对平行行的方程6计算得到。其次，速度通过使用数据库作为查找表而从温度中获得。沿着剖面线行的下一点可使用固定距离Δr计算得到，其中时间步长将等于Δr/速度。但是，由于温度梯度相对于时间和空间坐标非常显著地变化，所以固定距离程序不够高效。在一些位置上，需要小步长而在其他位置上相当长的步长可能足够准确。而是使用速度的最大允许改变。从其中可获得温度的最大允许差以及通过针对时间和空间来数量上计算温度的导数，可获得最大允许空间步长。

导出的算法非常高效，并且在实时计算中包括数千个剖面线行不存在问题。术语实时计算指的是其中沿着剖面线行计算速度的时间将小于实际熔化时间的计算。

本发明不限于上述实施方案而是可在权利要求的范围内以不同方式修改。例如，在优化射束参数以及创建数据库时可能使用熔化过程的更详细和复杂的描述；粉末可建模为非均质材料连同熔体热含和熔化-凝固过程的详细模型。

根据方程6的计算可用于相对于例如最小熔化/熔合时间而优化剖面线策略。对于这样一种优化，无需实时进行所有计算，只要其从实践角度看可行。但是，如果每个可行剖面线策略的计算可实时完成，那么可能有利。因此，可能无需保存从优化步骤获得的所有数据。而是，将在优化步骤期间保存的信息可限于例如剖面线角、剖面线行之间的距离、剖面线相对于部分的位置等。

所述方法可结合例如如WO2004/056511所述用于计算维持将在特定温度下构建的部分所需的射束功率的方法。因此，总能量输入可从包括部分的几何形状的能量平衡计算中计算得到，而本文所述方法用于控制熔合期间由射束提供的局部能量或功率沉积。

所述方法使用均质材料模型以沿着剖面线行获得局部温度（分布）。但是，材料性质的局部差异可通过在不同位置上使用不同D值而建模。例如，非常薄的截面可通过具有较低的导热率而建模。不存在对用于用甚至针对这些截面的优化数据扩展数据库的方法的限制。以类似方式，可能考虑粉末床中位于更接近可调整工作台的下层，所述可调整工作台可能具有与粉末床不同的热性质。

在计算和确定所选区域的一部分的操作方案之前可仅创建所选区域的所述部分的预期射束路径。此外，可仅计算并且确定完全创建的预期射束路径的一部分的操作方案。使至少一层的所选区域熔合在一起的步骤可在针对所选区域的尚未熔合部分的创建预期射束路径、计算温度等步骤进行时启动。此外，至少一个粉末层可包括多个所选区域；这些所选（部分）区域可具有不同形式并且可分别处理。

如上所述，在沿着预期射束路径计算温度时，由（虚）射束沿着路径沉积直到特定时间点的能量在针对相同时间点的温度计算执行时予以考虑。以此方式，温度升高被适当地予以考虑。

在上述实例中，温度计算在沿着预期射束路径分布的许多位置上执行及在计算局部温度分布的每个这些位置上计算。此外，在位于虚射束位置之前一个步长的位置上计算局部温度分布。将在将射束移动这一单步长至稍微前方的下一位置时使用的特定能量沉积从含有针对不同局部温度分布（针对所使用的粉末材料和针对特定熔合条件）的许多预计算特定能量沉积（即，所述实例中的射束速度）的数据库中获得，其中下一位置上的计算的局部温度分布用于从数据库中选择适当值。

Claims

1.一种通过连续提供粉末层并且使所述层的所选区域熔合在一起而生产三维物体的方法，所述区域对应于所述三维物体的连续横截面，

其中所述方法针对至少一个所述层包括下列步骤：

-将所述至少一个粉末层施加至工作区域，

-通过从辐射枪供应能量至所述所选区域而使所述至少一个粉末层的所选区域熔合在一起，

其特征在于其包括下列步骤：

-创建将在使所述至少一个粉末层的所述所选区域熔合在一起时使用的预期射束路径，

-依据假设沿着所述预期射束路径移动的虚射束的特定能量沉积计算沿着所述预期射束路径的所述至少一个粉末层的温度，

-取决于所述计算的温度及针对使所述所选区域熔合在一起的所述步骤而设定的条件而沿着所述预期射束路径调整所述虚射束的所述特定能量沉积；和

-基于所述计算和所述调整提供将在使所述至少一层的所述所选区域熔合在一起时用于所述预期射束路径的实际射束的所述特定能量沉积的操作方案。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于：

其包括在使所述至少一个粉末层的所述所选区域熔合在一起时使用所述特定能量沉积的所述操作方案的所述步骤。

3.根据权利要求1或2所述的方法，其特征在于：

所述特定能量沉积是所述射束每时间单位及面积单位所沉积的能量除以所述射束速度，且所述特定能量沉积可通过改变射束速度、射束功率和/或射束点大小而改变。

4.根据先前权利要求中任一项所述的方法，其特征在于：

所述方法包括使用与将熔合材料相关的一组预定数据，其中所述数据组包括将依据计算的温度和设定的条件选择的所述特定能量沉积的值。

5.根据先前权利要求中任一项所述的方法，其特征在于：

针对所述熔合步骤设定的所述条件包括一个或数个针对所述至少一个粉末层的下列条件：最大温度；工作温度；熔体深度和熔体宽度。

6.根据先前权利要求中任一项所述的方法，其特征在于：

计算所述温度的所述步骤包括求解含时热方程的步骤。

7.根据先前权利要求中任一项所述的方法，其特征在于：

计算所述温度的所述步骤包括计算沿着所述预期射束路径的局部温度分布。

8.根据先前权利要求中任一项所述的方法，其特征在于：

计算温度的所述步骤包括在沿着所述预期射束路径分布的许多点上或接近其执行的数个计算。

9.根据权利要求8所述的方法，其特征在于：

邻近计算点之间的最大距离通过设定所述邻近点之间的所述特定能量沉积的允许改变的限值而设定。

10.根据先前权利要求中任一项所述的方法，其特征在于：

创建所述预期射束路径的所述步骤包括下列步骤：

-沿着多个可行射束路径进行所述温度的计算，和

-从所述多个射束路径中选出所述预期射束路径。