CN103217385B - 椭偏仪测量系统的随机误差评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法。该方法首先建立椭偏仪测量系统的系统模型和系统传递函数，然后通过分析椭偏仪测量系统的随机噪声的来源及特点，建立适用于具体配置类型椭偏仪测量系统的随机噪声模型，最后根据传递函数和随机噪声模型，推导随机噪声的传递模型，从而计算评估系统的随机误差。评估仪器随机误差的一般方法是进行多次测量，然后根据多次测量结果的分布情况评估测量系统的随机误差，本发明方法通过建立随机噪声模型和计算随机噪声传递特性，可以在一次测量中评估椭偏仪测量系统的随机误差。适用于现有多种配置类型的椭偏仪测量系统。

Description

椭偏仪测量系统的随机误差评估方法

技术领域

本发明属于仪器测量技术领域，具体涉及一种新的评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法。该方法只需进行一次测量即可评估椭偏仪测量系统的随机误差，它适用于对多种配置类型的椭偏仪测量系统的随机误差进行评估。

背景技术

椭偏测量技术是通过检测偏振光在经过样品反射(或透射)前后偏振状态的变化情况来研究待测样品性质的光学测量方法。这种测量方法是一种高精度、非接触的测量方法，被广泛应用于过程诊断如薄膜生长和表面结构实时测量、金属光学性质测量、物理吸附和化学吸附等领域。椭偏仪测量系统是一种利用椭偏测量技术对待测样品进行测量标定的光学测量仪器系统。椭偏仪测量系统具有多种配置类型，包括旋转起偏器型、旋转检偏器型、单旋转补偿器型和双旋转补偿器型等。

近年来，双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统配置得到逐步完善和广泛的应用。相对于其他椭偏仪测量系统配置，双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统通过控制两个补偿器按照一定比例(通常为5∶3)连续旋转，可以在一次测量中标定待测样品的所有16个穆勒矩阵元素，从而获得更丰富的样品信息，因此得到了广泛的应用。美国宾夕法尼亚州立大学的柯林斯等人(R.W.Collins et al.，J.Opt.Soc.Am.A，Vol.16，pp.1997-2006，1999)对双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的测量配置设计、测量原理、数据处理及系统校准过程等进行了详细描述。本发明也将以双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统配置作为一个典型的实施例进行详细说明。

在使用测量仪器对待测样品进行测量时，测量结果往往会在一定程度上偏离其真实值。产生这些偏差的原因很多，包括仪器随机噪声、仪器系统误差、环境随机噪声以及测量人为误差因素等。其中，由于仪器随机噪声引起的偏差，反应了仪器本身测量的稳定性能，通常被称为仪器随机误差。为了合理地计算评估仪器随机误差，必须利用一定的技术手段对各种随机噪声的来源和特点进行合理的分析和描述，并计算推导随机噪声在仪器系统中的传递，从而评估随机噪声对最终测量结果的影响。

发明内容

本发明的目的是提供一种评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，该方法简单可行，适用于多种配置类型椭偏仪测量系统。

本发明提供的一种评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，包括下述步骤：

第1步建立待评估的椭偏仪测量系统的系统模型和系统传递函数；

系统模型为式I所示的线性方程： $I_h=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{hl}}{x}_l,$ 式I

其中，I_h为探测器获得的信号，x_l为待测参数，L为总的待测参数个数，下标h和l分别表示第h个测量分量和第l个待测参数，a_hl表示第h个测量分量I_h关于第l个待测参数x_l的系数，即椭偏仪测量系统传递特性；

椭偏仪测量系统的系统传递函数如式II所示，其中，I₀为傅里叶系数直流分量，(α_2n，β_2n)为被直流分量I₀归一化的各阶傅里叶系数，下标n为傅里叶系数阶数，ω为旋转椭偏仪测量系统中旋转部件的旋转基频，N为椭偏仪测量系统的傅里叶系数总阶数；矩阵A中第l行第h列的元素a_hl如式III所示，B_L×H＝A⁺是矩阵A的广义逆矩阵，I_Hx1是由H个测量分量I_h组成的向量； ${\left[\begin{array}{c}{I}_0\\ {\mathrm{\α}}_{2n}\\ {\mathrm{\β}}_{2n}\end{array}\right]}_{L\×1}=B_{L\×H}{I}_{H\×1},n=\mathrm{1,2},\·\·\·,N;L=2N+1,$ 式II $a_{\mathrm{hl}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\π}{I}_0}{\mathrm{H\ω}},& h=1\\ \sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\cos \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right),& h=\mathrm{2,3},\·\·\·,N+1\\ \sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\sin \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right),& h=N+2,N+3,\·\·\·,2N+1\end{array}\right.,$ 式III

第2步根据椭偏仪测量系统的系统特性，建立椭偏仪测量系统的随机噪声模型；

椭偏仪测量系统的系统特性主要包括类型、光源种类和系统所处的环境特点，椭偏仪测量系统的随机噪声模型为式IV： ${\mathrm{\σ}}_{I_h}^2={\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1{I}_h+{\mathrm{\ϵ}}_2{I}_h^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{I}_h^3,$ 式IV

式中，(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)为系统随机噪声模型中各阶随机噪声系数，ε₀为暗电流噪声和热噪声系数，ε₁为散粒噪声系数，ε₂为光源噪声和光调制噪声系数，ε₃为低频噪声系数，表示第h个探测信号I_h的随机噪声均方差，反映I_h的随机误差；

第3步测量标定椭偏仪测量系统的随机噪声模型各阶系数(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)；

第4步根据第1步建立的系统模型及第2步建立的系统随机噪声模型，将探测器探测信号的随机误差传递到待测样品待测参数上，建立椭偏仪测量系统的随机噪声传递模型，如式V所示， ${\mathrm{\σ}}_{x_l}^2=\underset{h=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{b_{\mathrm{lh}}}^2{\mathrm{\σ}}_{I_h}^2,$ 式V

其中，表示待测参数x_l的噪声均方根这样，根据式IV建立的随机噪声传递模型，结合式II所示的具体的椭偏仪测量系统的系统传递函数，求得待测傅里叶系数的随机噪声均方差，如式VI所示，

${\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{I_0}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\α}}_{2n}}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\β}}_{2n}}^2\end{array}\right]}_{L\×1}=C_{L\×H}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{I_1}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{I_2}^2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\σ}}_{I_H}^2\end{array}\right]}_{H\×1},n=\mathrm{1,2},\·\·\·,N;L=2N+1,---\mathrm{VI}$

其中，分别是傅里叶系数I₀，α_2n和β_2n的随机噪声均方根，C_LxH是随机噪声传递系数矩阵，其第l行第h列的元素c_lh＝b_lh ²；

第5步根据第4步建立的随机噪声传递模型及第3步标定的随机噪声模型的各阶系数，计算评估椭偏仪测量系统的随机误差。

与一般的仪器随机误差评估方法相比，本发明所提供的评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，首先建立椭偏仪测量系统的系统模型和系统传递函数，然后通过分析椭偏仪测量系统的随机噪声的来源及特点，建立适用于具体配置类型椭偏仪测量系统的随机噪声模型，最后根据椭偏仪系统的传递函数和椭偏仪测量系统的随机噪声模型，推导随机噪声的传递模型，从而计算评估椭偏仪测量系统的随机误差。该方法只需进行一次测量即可计算评估椭偏仪测量系统的随机误差，适用于现有多种配置类型的椭偏仪测量系统。

附图说明

图1是本发明所提供的椭偏仪测量系统的随机误差评估方法的流程图。

图2是双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统原理示意图。

具体实施方式

本发明提供的一种评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，包括下述步骤：

第1步建立待评估的椭偏仪测量系统的系统模型和系统传递函数。

本发明方法适用的椭偏仪测量系统可以是旋转起偏器型、旋转检偏器型、单旋转补偿器型和双旋转补偿器型等类型。椭偏仪测量系统包括光源、起偏臂、检偏臂和探测器部分。

光源发出的光束为非偏振光，经过起偏臂调制后变成偏振光(通常是椭圆偏振光)，偏振光与样品发生相互作用，偏振态发生改变，这样样品信息就耦合到偏振光的偏振态中，然后检偏臂对偏振光进行解调，最后由探测器检测出射偏振光的光强信号。这样，在系统得到校准的情况下，通过对探测器探测的光强信号进行分析，便可以解出样品待测信息。椭偏仪测量系统的系统模型可以描述为式(1)所示的线性方程，

$I_h=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{hl}}{x}_l,---\left(1\right)$

其中，I_h为探测器获得的信号，x_l为待测参数，L为总的待测参数个数，下标h和l分别表示第h个测量分量和第l个待测参数，a_hl表示第h个测量分量I_h关于第l个待测参数x_l的系数，即椭偏仪测量系统传递特性，当椭偏仪测量系统得到校准后，a_hl便为已知量。

当探测器探测信息总个数H大于等于待测参数总个数L时，通过解方程(1)即可得到待测参数x_l(l＝1，2，…，L)，如式(2)所示，

$x_l=\underset{h=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{lh}}{I}_h,---\left(2\right)$

其中，b_lh是第l个待测参数x_l表达式中关于第h个测量分量I_h的系数。

根据系统模型，结合不同配置类型椭偏仪测量系统的特点，可以得到具体的椭偏仪测量系统的系统传递函数，如式(3)所示，

$I\left(t\right)=I_0[1+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\α}}_{2n}\cos 2\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\β}}_{2n}\sin 2\mathrm{n\ωt})],---\left(3\right)$

其中，I(t)为椭偏仪测量系统出射光强，{I₀，I₀(α_2n，β_2n)}为待测傅里叶系数，这些傅里叶系数中包含了待测样品的椭偏参数、反射参数甚至结构信息等，其中，I₀为傅里叶系数直流分量，(α_2n，β_2n)为被直流分量I₀归一化的各阶傅里叶系数，下标n为傅里叶系数阶数，ω为旋转椭偏仪测量系统中旋转部件的旋转基频，t为旋转部件旋转时间，N为椭偏仪测量系统的傅里叶系数总阶数，对于旋转起偏器型和旋转检偏器型配置椭偏测量系统N＝1，对于单旋转补偿器型配置椭偏仪测量系统N＝2，对于双旋转补偿器型配置椭偏仪测量系统N＝16。

为了获得H个测量分量，通常采取的方式是将一个旋转周期平均分成H个区间，在每个区间内分别对(3)式进行积分，因此可以得到：

$I_h=\underset{(h-1)\mathrm{\π}/\mathrm{N\ω}}{\overset{\mathrm{h\π}/\mathrm{N\ω}}{\∫}}{I}_0[1+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\α}}_{2n}\cos 2\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\β}}_{2n}\sin 2\mathrm{n\ωt})]\mathrm{dt}$

$=\frac{\mathrm{\π}{I}_0}{\mathrm{H\ω}}+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{I_0}{\mathrm{n\ω}}\left[\sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\right][{\mathrm{\α}}_{2n}\cos \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right)+{\mathrm{\β}}_{2n}\sin \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right)],(h=\mathrm{1,2},\·\·\·,H),---\left(4\right)$

(4)式可以进一步写成如式(5)所示的矩阵方程形式：

$I_{H\×1}=A_{H\×L}{\left[\begin{array}{c}{I}_0\\ {\mathrm{\α}}_{2n}\\ {\mathrm{\β}}_{2n}\end{array}\right]}_{L\×1},(n=\mathrm{1,2},\·\·\·,N;L=2N+1),---\left(5\right)$

其中，I_Hx1是由H个测量分量I_h组成的向量，A_HxL是由(4)式中各傅里叶系数的系数组成的矩阵，简称矩阵A；矩阵A中第l行第h列的元素a_hl如式(6)所示

$a_{\mathrm{hl}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\π}{I}_0}{\mathrm{H\ω}},& h=1\\ \sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\cos \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right),& h=\mathrm{2,3},\·\·\·,N+1\\ \sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\sin \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right),& h=N+2,N+3,\·\·\·,2N+1\end{array}\right.,---\left(6\right)$

当探测器探测信息总个数H大于等于待测参数总个数L＝2N+1时，通过解方程(5)即可得到待测傅里叶系数{I₀，[α_2n，β_2n]}，具体的椭偏仪测量系统的系统传递函数如(7)式所示，

${\left[\begin{array}{c}{I}_0\\ {\mathrm{\α}}_{2n}\\ {\mathrm{\β}}_{2n}\end{array}\right]}_{L\×1}=B_{L\×H}{I}_{H\×1},(n=\mathrm{1,2},\·\·\·,N;L=2N+1),---\left(7\right)$

其中B_L×H＝A⁺是矩阵A的广义逆矩阵，矩阵B中第l行第h列的元素用b_lh表示。

这样，根据求得的傅里叶系数便可以得到待测样品的信息。

第2步根据椭偏仪测量系统的系统特性，建立椭偏仪测量系统的随机噪声模型。

椭偏仪测量系统的系统特性主要包括类型、光源种类和系统所处的环境特点。椭偏仪测量系统中的随机噪声主要包括暗电流噪声、热噪声、散粒噪声、光源噪声、光调制噪声和低频噪声等。各种类型的随机噪声的特点如下：

(a)暗电流噪声和热噪声与信号电流无关，可以用常数表示；

(b)散粒噪声与信号电流成正比关系；

(c)光源噪声和光调制噪声是由于光源和光调制导致的噪声，与信号电流平方成正比关系；

(d)低频噪声，如果忽略其与调制频率的关系，则可用和信号电流三次方成正比的白噪声近似表达。

椭偏仪测量系统的系统特性，建立适合具体配置类型的椭偏仪测量系统的随机噪声模型，如式(8)所示，

${\mathrm{\σ}}_{I_h}^2={\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1{I}_h+{\mathrm{\ϵ}}_2{I}_h^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{I}_h^3,---\left(8\right)$

式中，(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)为系统随机噪声模型中各阶随机噪声系数，具体来说ε₀为暗电流噪声和热噪声系数，ε₁为散粒噪声系数，ε₂为光源噪声和光调制噪声系数，ε₃为低频噪声系数，表示第h个探测信号I_h的随机噪声均方差，反映了I_h的随机误差。

第3步测量标定椭偏仪测量系统的随机噪声模型各阶系数；

在这一步，我们要在具体的椭偏测量系统中标定第2步建立的随机噪声模型中的各阶随机噪声系数(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)，具体方法和步骤如下。

1)测量暗电流噪声和热噪声。将探测器的接收口全部遮蔽，保证没有光进入探测器，按照正常模式进行多次数据采集，这时测量信号中仅包含暗电流噪声和热噪声，对多次测量数据进行平均，可以得到噪声模型的常数项系数ε₀。

2)测量散粒噪声和光源噪声。打开探测器接收口，保证椭偏仪测量系统中所有的旋转部件保持静止不动，按照正常模式进行多次数据采集，将采集的数据画成散点图，进行回归分析得到噪声模型的系数，这时主要是(ε₀，ε₁)，ε₀与第1)步中得到的ε₀相差不大。

3)测量电机调制噪声。让椭偏仪测量系统中的旋转部件按照正常的转速连续旋转起来，按照正常的模式进行数据采集，将采集的数据画成散点图，进行回归分析得到噪声模型的系数，这时主要是(ε₀，ε₁，ε₂)，(ε₀，ε₁)与第2)步中得到的(ε₀，ε₁)相差不大。

4)测量整个椭偏仪测量系统的随机噪声。整个椭偏仪测量系统调整到正常运行状态，按照正常模式进行数据采集，将测量的数据画成散点图，进行回归分析确定噪声模型的所有系数(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)，这里得到的(ε₀，ε₁，ε₂)与第3)步得到的(ε₀，ε₁，ε₂)应该相差不大。

以上每一步都可以验证上一步的结果，这样经过以上四步，便可以完全确定第2步建立的随机噪声模型中的系数。

第4步根据第1步建立的系统模型及第2步建立的系统随机噪声模型，将探测器探测信号的随机误差传递到待测样品待测参数上，建立椭偏仪测量系统的随机噪声传递模型。如式(9)所示，

${\mathrm{\σ}}_{x_l}^2=\underset{h=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{b_{\mathrm{lh}}}^2{\mathrm{\σ}}_{I_h}^2,---\left(9\right)$

其中，为待测参数x_l的噪声均方根，根据(9)建立的随机噪声传递模型，结合式(7)所示的具体的椭偏仪测量系统的系统传递函数，便可求得待测傅里叶系数的随机噪声均方差，如式(10)所示，

${\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{I_0}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\α}}_{2n}}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\β}}_{2n}}^2\end{array}\right]}_{L\×1}=C_{L\×H}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{I_1}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{I_2}^2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\σ}}_{I_H}^2\end{array}\right]}_{H\×1},(n=\mathrm{1,2},\·\·\·,N;L=2N+1),---\left(10\right)$

其中，分别是傅里叶系数I₀，α_2n和β_2n的随机噪声均方根，C_LxH是随机噪声传递系数矩阵，其第l行第h列的元素c_lh＝b_lh ²。

第5步根据第4步建立的随机噪声传递模型及第3步标定的随机噪声模型的各阶系数，计算评估椭偏仪测量系统的随机误差。通常用三倍的待测参数随机噪声均方根来评估椭偏仪测量系统的随机误差。

本发明所提供的评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法的实施流程如图1所示。下面以双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统为实施例，结合附图和实施例对本发明方法的原理和工作过程作详细说明。

(1)建立双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的测量模型和系统传递函数。

搭建双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统。

图2为双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的原理示意图，双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统主要包括光源1、起偏器2、起偏臂旋转补偿器3、检偏臂旋转补偿器5、检偏器6和探测器7。起偏器2和起偏臂旋转补偿器3组成双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的起偏臂8，检偏臂旋转补偿器5和检偏器组成双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的检偏臂9。光源1发出的光束为非偏振光，经过起偏器2变为线偏振光，经过起偏臂旋转补偿器3的调制变为椭圆偏振光，然后偏振光与待测样品4发生作用，偏振光的偏振态发生改变，检偏臂旋转补偿器5对偏振光进行解调，再经过检偏器6，最后由探测器7探测出射偏振光的光强信号。

探测器7探测得到包含待测样品4信息的光强信号，然后对探测器7探测到的光强信号进行傅里叶分析，得到包含待测样品4穆勒矩阵信息的傅里叶系数，最后由这些傅里叶系数即可解出待测样品4的穆勒矩阵信息。

双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的起偏臂旋转补偿器3和检偏臂旋转补偿器5以一定的比例连续旋转，这里以5∶3为例，这种情况下探测器7探测的光强信号可以写成式(11)所示的表达式(R.W.Collins et al.，J.Opt.Soc.Am.A，Vol.16，pp.1997-2006，1999)，

$I\left(t\right)=I_0[1+\underset{n=1}{\overset{16}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\α}}_{2n}\cos 2\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\β}}_{2n}\sin 2\mathrm{n\ωt})],---\left(11\right)$

其中，I(t)表示椭偏仪测量系统出射光强，{I₀，I₀(α_2n，β_2n)}表示光强信号展成傅里叶展开形式时的各阶傅里叶系数，这些傅里叶系数包含了待测样品4的穆勒矩阵信息，I₀为直流分量，(α_2n，β_2n)为被直流分量I₀归一化的各阶傅里叶系数，n表示傅里叶系数阶数，ω为两个旋转补偿器旋转的基频，t为旋转补偿器旋转时间。

对式(11)进行Hadamard分析可以得到式(12)所示的形式(R.W.Collinset al.，J.Opt.Soc.Am.A，Vol.16，pp.1997-2006，1999)，

$I_h{=\∫}_{(h-1)\mathrm{\π}/\mathrm{H\ω}}^{\mathrm{h\π}/\mathrm{H\ω}}{I}_0[1+\underset{n=1}{\overset{16}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\α}}_{2n}\cos 2\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\β}}_{2n}\sin 2\mathrm{n\ωt})]\mathrm{dt},---\left(12\right)$

式(12)中，H表示总的Hadamard积分个数，H应该大于傅里叶系数的总个数，I_h表示第h个Hadamard积分分量。

傅里叶系数与待测样品穆勒矩阵之间的关系如式(13)所示，

${\mathrm{\α}}_{2n}=\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{{\mathrm{\α}}_{2n},m_{\mathrm{ij}}}{m}_{\mathrm{ij}},---\left(13a\right)$

${\mathrm{\β}}_{2n}=\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{{\mathrm{\β}}_{2n},m_{\mathrm{ij}}}{m}_{\mathrm{ij}},---\left(13b\right)$

式(13)中，i表示待测样品穆勒矩阵的行，j表示待测样品穆勒矩阵的列，m_ij表示待测样品穆勒矩阵中第i行第j列的元素，和分别表示α_2n和β_2n关于m_ij的系数，当双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统得到校准后，系数和均为已知量。

这样，通过(12)式可以解得各阶傅里叶系数，然后通过解(13)式就可以得到样品的穆勒矩阵。因此，式(11)-(13)就是双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的传递函数，由(11)-(13)式表达的双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的传递特性符合式(1)所描述的线性关系。

第(1)步主要是完成双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的搭建和系统模型的建立以及系统传递函数的推导，为评估仪器系统随机误差做准备工作。

(2)分析描述双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声来源及特点。

双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声包括暗电流噪声、热噪声、散粒噪声、光源噪声、调制噪声和低频噪声等。其中，暗电流噪声和热噪声与光强信号无关，可以用常数表示；散粒噪声与光强信号成正比关系；光源噪声和调制噪声是由于光源和光调制导致的噪声，与光强信号平方成正比关系；低频噪声则用和光强信号三次方成正比的白噪声近似表达。

(3)建立双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声模型。

根据第(2)步的分析，我们可以建立双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声模型，用(8)式描述，

${\mathrm{\σ}}_{I_h}^2={\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1{I}_h+{\mathrm{\ϵ}}_2{I}_h^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{I}_h^3,---\left(8\right)$

式中，(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)为系统随机噪声模型中各阶随机噪声系数，表示第h个Hadamard积分分量I_h的随机噪声均方差，反应了I_h的随机误差。

(4)标定双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声模型各阶系数。

在这一步，我们要在第(1)步实际搭建的双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统中标定第(3)步建立的随机噪声模型的各阶系数(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)，具体方法和步骤如下：

第一步：遮蔽探测器7，测量暗电流噪声和热噪声，进行散点图回归拟合确定与光强信号无关的噪声常数项ε₀；

第二步：打开探测器7接收口，保证起偏臂旋转补偿器3和检偏臂旋转补偿器5静止不动，测量散粒噪声和光源噪声，然后利用散点图拟合确定(ε₀，ε₁)，这里得到的ε₀与第一步得到的ε₀相差应该不大；

第三步：让起偏臂旋转补偿器3和检偏臂旋转补偿器5按照一定的比例连续旋转起来(这里取5∶3的角速率比)，测量电机调制噪声，然后利用散点图拟合确定(ε₀，ε₁，ε₂)，这里得到的(ε₀，ε₁)与第二步得到的(ε₀，ε₁)应该相差不大；

第四步：将整个双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统调整到正常运行状态，测量整个测量系统的随机噪声，然后利用散点图拟合确定噪声模型的所有系数(ε₀，ε₁，ε₂，ε₃)，这里得到的(ε₀，ε₁，ε₂)与第三步得到的(ε₀，ε₁，ε₂)应该相差不大。

(5)建立双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声传递模型。

根据第(1)步得到双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统传递函数和第(3)-(4)步建立的双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声模型，即式(11)-(13)和式(8)，可以将Hadamard积分分量I_h的随机噪声均方差传递到各阶傅里叶系数，然后再传递到待测样品4的穆勒矩阵，建立双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机噪声传递模型，如式(14)-(15)所示，

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\α}}_{2n}}^2=\underset{h=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\∂{\mathrm{\α}}_{2n}}{\∂I_h}\right)}^2{\mathrm{\σ}}_{I_h}^2,---\left(14a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\β}}_{2n}}^2=\underset{h=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\∂{\mathrm{\β}}_{2n}}{\∂I_h}\right)}^2{\mathrm{\σ}}_{I_h}^2,---\left(14b\right)$

${\mathrm{\σ}}_{m_{\mathrm{ij}}}^2=\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}[{\left(\frac{\∂m_{\mathrm{ij}}}{\∂{\mathrm{\α}}_{2n}}\right)}^2{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\α}}_{2n}}^2+{\left(\frac{\∂m_{\mathrm{ij}}}{\∂{\mathrm{\β}}_{2n}}\right)}^2{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\β}}_{2n}}^2],---\left(15\right)$

其中，和分别为傅里叶系数α_2n和β_2n的均方差，为待测样品穆勒矩阵元素m_ij的均方差，这些均方差分别反映了相应参数的随机误差。

(6)计算评估双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机误差。

利用第(1)步搭建的双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统对待测样品4进行测量，根据以上步骤建立的随机噪声模型及随机噪声传递模型，便可以计算得到待测样品4的穆勒矩阵的噪声均方差，即双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机误差。

这样在一次测量中便可评估双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机误差。其他配置类型的椭偏仪测量系统的随机误差评估实施过程与双旋转补偿器型穆勒矩阵椭偏仪测量系统的随机误差评估实施过程类似，只需将具体的系统模型及系统传递函数换为适应具体配置类型的椭偏仪测量系统的系统模型及系统传递函数即可。

以上所述为本发明的一个实施例而已，但本发明不应该局限于该实施例和附图所公开的内容。所以凡是不脱离本发明所公开的精神下完成的等效或修改，都落入本发明保护的范围。

Claims (3)

1.一种评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，包括下述步骤：

第1步建立待评估的椭偏仪测量系统的系统模型和系统传递函数；

系统模型为式I所示的线性方程：

$I_h=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{hl}}{x}_l,$         式I

其中，I_h为探测器获得的信号，x_l为待测参数，L为总的待测参数个数，下标h和l分别表示第h个测量分量和第l个待测参数，a_hl表示第h个测量分量I_h关于第l个待测参数x_l的系数，即椭偏仪测量系统传递特性；

椭偏仪测量系统的系统传递函数如式II所示，其中，I₀为傅里叶系数直流分量，(α_2n,β_2n)为被直流分量I₀归一化的各阶傅里叶系数，下标n为傅里叶系数阶数，ω为旋转椭偏仪测量系统中旋转部件的旋转基频，N为椭偏仪测量系统的傅里叶系数总阶数；矩阵A中第l行第h列的元素a_hl如式III所示，B_L×H＝A⁺是矩阵A的广义逆矩阵，矩阵B_L×H中第l行第h列的元素用b_lh表示，I_Hx1是由H个测量分量I_h组成的向量；

${\left[\begin{array}{c}{I}_0\\ {\mathrm{\α}}_{2n}\\ {\mathrm{\β}}_{2n}\end{array}\right]}_{L\×1}=B_{L\×H}{I}_{H\×1},n=\mathrm{1,2},...,N;L=2N+1,$       式II

$a_{\mathrm{hl}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{I}_0}{\mathrm{H\ω}},h=1\\ \sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\cos \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right),h=\mathrm{2,3},...,N+1\\ \sin \left(\frac{\mathrm{n\π}}{H}\right)\sin \left(\frac{(2h-1)\mathrm{n\π}}{H}\right),h=N+2,N+3,...,2N+1\end{array}\right.,$       式III

第2步根据椭偏仪测量系统的系统特性，建立椭偏仪测量系统的随机噪声模型；

椭偏仪测量系统的系统特性主要包括类型、光源种类和系统所处的环境特点，椭偏仪测量系统的随机噪声模型为式IV：

${\mathrm{\σ}}_{I_h}^2={\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1{I}_h+{\mathrm{\ϵ}}_2{I}_h^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{I}_h^3,$        式IV

式中，(ε₀,ε₁,ε₂,ε₃)为系统随机噪声模型中各阶随机噪声系数，ε₀为暗电流噪声和热噪声系数，ε₁为散粒噪声系数，ε₂为光源噪声和光调制噪声系数，ε₃为低频噪声系数，表示第h个探测信号I_h的随机噪声均方差，反映I_h的随机误差；

第3步测量标定椭偏仪测量系统的随机噪声模型各阶系数(ε₀,ε₁,ε₂,ε₃)；

第4步根据第1步建立的系统模型及第2步建立的系统随机噪声模型，将探测器探测信号的随机误差传递到待测样品待测参数上，建立椭偏仪测量系统的随机噪声传递模型，如式V所示，

${\mathrm{\σ}}_{x_l}^2=\underset{h=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{b_{\mathrm{lh}}}^2{\mathrm{\σ}}_{I_h}^2,$        式V

其中，表示待测参数x_l的噪声均方根，根据式V建立的随机噪声传递模型，结合式II所示的具体的椭偏仪测量系统的系统传递函数，求得待测傅里叶系数的随机噪声均方差，如式VI所示，

${\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{I_0}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\α}}_{2n}}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\β}}_{2n}}^2\end{array}\right]}_{L\×1}=C_{L\×H}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{I_1}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{I_2}^2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\σ}}_{I_H}^2\end{array}\right]}_{H\×1},n=\mathrm{1,2},...,N;L=2N+1,$     VI

其中，分别是傅里叶系数I₀，α_2n和β_2n的随机噪声均方根，C_LxH是随机噪声传递系数矩阵，其第l行第h列的元素c_lh＝b_lh ²；

第5步根据第4步建立的随机噪声传递模型及第3步标定的随机噪声模型的各阶系数，计算评估椭偏仪测量系统的随机误差。

2.根据权利要求1所述的评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，其特征在于，所述椭偏仪测量系统为旋转起偏器型、旋转检偏器型、单旋转补偿器型或双旋转补偿器型。

3.根据权利要求1所述的评估椭偏仪测量系统的随机误差的方法，其特征在于，第3步具体过程为：

第3.1步测量暗电流噪声和热噪声，对多次测量数据进行平均，得到噪声模型的常数项系数ε₀；

第3.2步测量散粒噪声和光源噪声，进行多次数据采集，将采集的数据画成散点图，进行回归分析得到噪声模型的系数，得到(ε₀,ε₁)；

第3.3步测量电机调制噪声，将采集的数据画成散点图，进行回归分析得到噪声模型的系数，得到(ε₀,ε₁,ε₂)；

第3.4步测量整个椭偏仪测量系统的随机噪声：整个椭偏仪测量系统调整到正常运行状态，按照正常模式进行数据采集，将测量的数据画成散点图，进行回归分析确定噪声模型的所有系数(ε₀,ε₁,ε₂,ε₃)。