CN103196591B - 一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法，包括以下步骤：1)加速度传感器采集响应点处实际工况的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得实际工况的加速度响应频域信号；2)激励器对各激励点处发出激励作用，同时加速度传感器采集响应点处的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得加速度响应频域信号和激励频域信号，计算激励点和响应点之间的频响函数；3)计算频响函数的法矩阵的条件数；4)判断条件数是否大于设定值，若是，则采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别，若否，则用奇异值分解法对待识别载荷进行识别。与现有技术相比，本发明具有载荷识别精度高、适用性好等优点。

Description

一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法

技术领域

本发明涉及结构振动噪声领域，尤其是涉及一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法。

背景技术

为了有效降低机械设备的振动噪声，往往要预测和分析各个激励和传递路径对最终响应贡献量的情况，传递路径分析方法(Transfer Path Analysis，TPA)是一个行之有效的方法。TPA工程应用中主要涉及两个结构动力学问题：载荷识别和子结构识别。载荷识别的精度直接影响了不同激励和路径对最终目标点噪声贡献量的大小，是TPA后续工作的基础。

载荷识别方法是指通过对结构动响应(位移、速度、加速度或应变等)的测量，根据已知结构动态特性，识别作用在结构上的动载荷。实际工程中一般采用频响函数求逆法进行载荷识别，但是如果在求逆过程中系统的病态性严重，那么即使很小的测量误差也会被放大。所以必须要降低系统病态性对于载荷识别的影响，提高TPA中载荷识别精度。

系统的病态逆问题可以通过奇异值分解法、Tikhonov正则化方法、梯度型方法、牛顿型方法等方法进行改善，其中奇异值分解法(Singular Value Decomposition，SVD)由于计算简便应用最为广泛。Tikhonov正则化方法主要涉及的是正则化参数的选择，目前比较成熟的正则化参数选择方法有：普通交叉验证法(OrdinaryCross Validation，OCV)、广义交叉验证法(Generalized Cross Validation，GCV)和L曲线法(L-curve)等。不同正则化参数选择方法确定的正则化参数不同，当系统病态性不同时，各有优劣。奇异值分解法相较于Tikhonov正则化方法不需要进行正则化参数的搜索选择，计算方便。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种载荷识别精度高、适用性好的基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法，该方法根据响应与激励间频响函数法矩阵的条件数，采用奇异值分解法或Tikhonov正则化法对作用在结构上的待识别载荷进行识别，该方法具体包括以下步骤：

1)加速度传感器采集响应点处实际工况的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得实际工况的加速度响应频域信号；

2)激励器对各激励点处发出激励作用，同时加速度传感器采集响应点处的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得加速度响应频域信号和激励频域信号，计算激励点和响应点之间的频响函数H：

$H=\frac{G_{\mathrm{aF}}}{G_{\mathrm{FF}}}$

式中，G_aF为加速度响应频域信号和激励频域信号的互功率谱，G_FF是激励频域信号的自功率谱；

3)计算频响函数的法矩阵H^*H的条件数K：

$K=\frac{\mathrm{\σ}{\left(H^{*}H\right)}_{\max }}{\mathrm{\σ}{\left(H^{*}H\right)}_{\min }}$

其中，H^*为频响函数H的复共轭转置，σ(H^*H)_max是法矩阵最大特征值，σ(H^*H)_min是法矩阵最小特征值；

4)判断条件数K是否大于设定值，若是，则执行步骤6)，若否，则执行步骤5)；

5)采用奇异值分解法对待识别载荷进行识别，获得待识别的载荷F，识别结束；

6)采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别，获得待识别的载荷F，识别结束。

所述的设定值为1000。

所述的步骤5)具体为：

51)对频响函数H进行奇异值分解：U为m×n阶酉矩阵，s为半正定n×n阶对角矩阵，V为n×n阶酉矩阵，V^*为V的复共轭转置；

52)采用频响函数求逆法对待识别载荷进行识别，计算表达式为：

F＝H⁺a＝VS^-1U^*a

式中，H⁺为H的Moore-Penrose伪逆，a为实际工况的加速度响应频域信号，U^*是U的复共轭转置。

所述的采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别的计算表达式为：

F＝(H^*H+λI)^-1H^*a

式中，λ为Tikhonov正则化参数，a为实际工况的加速度响应频域信号。

所述的Tikhonov正则化参数的求解方法为广义交叉验证法：

计算使下述表达式取最小值的λ，该λ即为Tikhonov正则化参数：

$V_G\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{{(1/m)\left|\right|I-H\left(\mathrm{\λ}\right)a\left|\right|}^2}{{\left[(1/m)\mathrm{Tr}(I-H\left(\mathrm{\λ}\right))\right]}^2}$

式中，m为响应点个数，||·||是Euclidean范数，H(λ)＝H(H^HH+λI)^-1H^H，Tr是矩阵的迹。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1、本发明根据系统病态性情况，综合使用Tikhonov正则化和奇异值分解进行动载荷识别，采用Tikhonov正则化方法可改善频响函数求逆法中的病态逆问题，显著提高载荷识别的精度；

2、本发明适用性好，能够适用于响应、频响函数中含有噪声干扰的情况。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为本发明矩形平板结构示意图；

图3为频响函数中没有噪声以及含有40dB、22dB噪声时，频响函数法矩阵的条件数；

图4为频响函数中含有22dB噪声、响应中含有15dB噪声时，采用奇异值分解法和三种正则化参数选择方法的载荷识别结果：(4a)为采用奇异值分解法的载荷识别结果，(4b)为采用OCV法的载荷识别结果，(4c)为采用GCV法的载荷识别结果，(4d)为采用L曲线法的载荷识别结果；

图5为当条件数大于1000时，采用奇异值分解法和三种正则化参数选择方法进行载荷识别的误差：(5a)为频响函数含有40dB噪声，响应中分别含有40dB、22dB、15dB和10dB噪声；(5b)为频响函数含有22dB噪声，响应中分别含有40dB、22dB、15dB和10dB噪声；

图6为当条件数小于等于1000时，采用奇异值分解法和三种正则化参数选择方法进行载荷识别的误差：(6a)为频响函数含有40dB噪声，响应中分别含有40dB、22dB、15dB和10dB噪声；(6b)为频响函数含有22dB噪声，响应中分别含有40dB、22dB、15dB和10dB噪声；

图7为本发明方法与奇异值分解法进行载荷识别误差的对比：(7a)为频响函数含有40dB噪声，响应中分别含有40dB、22dB、15dB和10dB噪声；(7b)为频响函数含有22dB噪声，响应中分别含有40dB、22dB、15dB和10dB噪声。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法，该方法根据响应与激励间频响函数法矩阵的条件数，采用奇异值分解法或Tikhonov正则化法对作用在结构上的待识别载荷进行识别，该方法具体包括以下步骤：

1)加速度传感器采集响应点处实际工况的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得实际工况的加速度响应频域信号。

2)激励器对各激励点处发出激励作用，同时加速度传感器采集响应点处的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得加速度响应频域信号和激励频域信号，计算激励点和响应点之间的频响函数H：

$H=\frac{G_{\mathrm{aF}}}{G_{\mathrm{FF}}}$

式中，G_aF为加速度响应频域信号和激励频域信号的互功率谱，G_FF是激励频域信号的自功率谱。

3)计算频响函数的法矩阵H^*H的条件数K：

$K=\frac{\mathrm{\σ}{\left(H^{*}H\right)}_{\max }}{\mathrm{\σ}{\left(H^{*}H\right)}_{\min }}$

其中，H^*为频响函数H的复共轭转置，σ(H^*H)_max是法矩阵最大特征值，σr(H^*H)_min是法矩阵最小特征值。

4)判断条件数K是否大于设定值，通常设定值为1000，若是，则执行步骤6)，若否，则执行步骤5)。

5)采用奇异值分解法对待识别载荷进行识别，获得待识别的载荷F，识别结束：

51)对频响函数H进行奇异值分解：U为m×n阶酉矩阵，s为半正定n×n阶对角矩阵，V为n×n阶酉矩阵，V^*为V的复共轭转置；

52)采用频响函数求逆法对待识别载荷进行识别，计算表达式为：

F＝H⁺a＝VS^-1U^*a

式中，H⁺为H的Moore-Penrose伪逆，a为实际工况的加速度响应频域信号，U^*是U的复共轭转置。

6)采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别，获得待识别的载荷F，识别结束。采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别的计算表达式为：

F＝(H^*H+λI)^-1H^*a

式中，λ为Tikhonov正则化参数，a为实际工况的加速度响应频域信号。

Tikhonov正则化参数的求解方法包括普通交叉验证法(OCV)、广义交叉验证法(GCV)和L曲线法。

普通交叉验证法为：使普通交叉验证法表达式取最小值获得正则化参数，OCV法的表达式为：

$V_o\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{1}{m}{\left|\right|a-\mathrm{HF}\left|\right|}^2=\frac{1}{m}{\left|\right|B\left(\mathrm{\λ}\right)(I-C\left(\mathrm{\λ}\right))a\left|\right|}^2$

其中，||·||是Euclidean范数，m是响应点的数目，C(λ)＝H(H^HH+λI)^-1H^H，B(λ)是对角阵，对角项由1/(1-C_kk(λ))求得(C_kk(λ)为矩阵C(λ)的对角项)。

广义交叉验证法为：使广义交叉验证法表达式取最小值获得正则化参数λ，GCV法的表达式为：

$V_G\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{(1/m)\left|\right|I-H\left(\mathrm{\λ}\right)a{\left|\right|}^2}{{\left[(1/m)\mathrm{Tr}(I-H\left(\mathrm{\λ}\right))\right]}^2}$

式中，m为响应点个数，||·||是Euclidean范数，H(λ)＝H(H^HH+λI)^-1H^H，Tr是矩阵的迹。

L曲线法为：计算L曲线拐点对应的正则化参数。||HF-a||和||F||都是正则化参数λ的函数，选择不同的λ值，以1g||HF-a||为横坐标、1g||F||为纵坐标作曲线，曲线的大致形状呈“L”状。通常拐点是L曲线上曲率最大的点，通常通过L曲线上曲率最大的点确定最佳的λ。若假设ρ(λ)＝||HF-a||，η(λ)＝||F||，则L曲线的曲率计算公式为：

$L\left(\mathrm{\λ}\right)\frac{|p^{\′}{\mathrm{\η}}^{\′\′}-p^{\′\′}{\mathrm{\η}}^{\′}|}{{(p^{\′2}+{\mathrm{\η}}^{\′2})}^{3/2}}.$

如图2所示，利用Patran建立平板的有限元仿真模型，并通过Nastran进行频率响应分析，获得激励力的频域响应信号以及激励力和响应点之间的频响函数。施加激励力为65N、47N、22N和10N。考虑到实际的结构载荷的频率范围，取计算的频率范围为10Hz-250Hz，计算的步长为0.5Hz。考虑实际测量误差影响，在响应中引入40dB、22dB、15dB和10dB信噪比等级的噪声，在频响函数中引入40dB和22dB信噪比等级的噪声。

计算在频响函数中没有噪声、含有40dB和22dB时频响函数法矩阵的条件数如图3所示。运用奇异值分解法、OCV法、GCV法和L曲线法进行载荷识别结果，以频响函数中含有22dB噪声，响应中含有15dB噪声为例，F1-F4的识别结果如图4所示，可以看出：误差主要体现在条件数较大的区域，特别是条件数＞1000时；OCV、GCV和L曲线这三种正则化参数选择方法在系统病态时可以有效地降低误差。

为了定量分析误差大小，定义误差表达式为：

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{force}}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\right|20{\log }_{10}(F_{\mathrm{Rf},j}/F_{\mathrm{Tf},j}){|}^2{]}^{\frac{1}{2}}$

其中，F_Rf是识别的载荷，F_Tf是真值，N是采集的数据点数，n是待识别的载荷数目，ε_force单位为dB。以频响函数法矩阵条件数1000为基准，定量分析：当条件数大于1000时，奇异值分解法、OCV法、GCV法和L曲线法的识别误差如图5所示；当条件数小于等于1000时，奇异值分解法、OCV法、GCV法和L曲线法的识别误差如图6所示。从图5和图6中可以明显看出：GCV在条件数大于1000时，识别的误差较小；当条件数小于等于1000时，奇异值分解法的误差较小。为此，当条件数＞1000时采用Tikhonov正则化法进行载荷识别，其中的正则化参数采用GCV法获取；而当条件数1000时采用奇异值分解法进行载荷识别。

图7为采用本实施例方法(Tikhonov+SVD)与奇异值分解法(SVD)进行载荷识别误差的对比，分析发现基于Tikhonov正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法可以提高载荷识别的精度。

Claims (2)

1.一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法，其特征在于，该方法根据响应与激励间频响函数法矩阵的条件数，采用奇异值分解法或Tikhonov正则化法对作用在结构上的待识别载荷进行识别，该方法具体包括以下步骤：

1)加速度传感器采集响应点处实际工况的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得实际工况的加速度响应频域信号；

2)激励器对各激励点处发出激励作用，同时加速度传感器采集响应点处的加速度响应时域信号，通过傅立叶变换获得加速度响应频域信号和激励频域信号，计算激励点和响应点之间的频响函数H：

$H=\frac{G_{\mathrm{aF}}}{G_{\mathrm{FF}}}$

式中，G_aF为加速度响应频域信号和激励频域信号的互功率谱，G_FF是激励频域信号的自功率谱；

3)计算频响函数的法矩阵H^*H的条件数K：

$K=\frac{\mathrm{\σ}{\left(H^{*}H\right)}_{\max }}{\mathrm{\σ}{\left(H^{*}H\right)}_{\min }}$

其中，H^*为频响函数H的复共轭转置，σ(H^*H)_max是法矩阵最大特征值，σ(H^*H)_min是法矩阵最小特征值；

4)判断条件数K是否大于设定值，若是，则执行步骤6)，若否，则执行步骤5)；

5)采用奇异值分解法对待识别载荷进行识别，获得待识别的载荷F，识别结束；

6)采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别，获得待识别的载荷F，识别结束；

所述的设定值为1000；

所述的采用Tikhonov正则化法对待识别载荷进行识别的计算表达式为：

F＝(H^*H+λI)^-1H^*a

式中，λ为Tikhonov正则化参数，a为实际工况的加速度响应频域信号；

所述的Tikhonov正则化参数的求解方法为广义交叉验证法：

计算使下述表达式取最小值的λ，该λ即为Tikhonov正则化参数：

$V_G\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{(1/m){\left|\right|I-H\left(\mathrm{\λ}\right)a\left|\right|}^2}{{\left[(1/m)\mathrm{Tr}(I-H\left(\mathrm{\λ}\right))\right]}^2}$

式中，m为响应点个数，||·||是Euclidean范数，H(λ)＝H(H^HH+λI)^-1H^H，Tr是矩阵的迹。

2.根据权利要求1所述的一种基于正则化和奇异值分解的结构载荷识别方法，其特征在于，所述的步骤5)具体为：

51)对频响函数H进行奇异值分解：U为m×n阶酉矩阵，S为半正定n×n阶对角矩阵，V为n×n阶酉矩阵，V^*为V的复共轭转置；

52)采用频响函数求逆法对待识别载荷进行识别，计算表达式为：

F＝H⁺a＝VS^-1U^*a

式中，H⁺为H的Moore-Penrose伪逆，a为实际工况的加速度响应频域信号，U^*是U的复共轭转置。