CN102779233A - 基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法 - Google Patents

Abstract

基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，属于故障预测领域，本发明为解决多变量灰色模型GM(1，N)在用最小二乘法计算灰色系数的过程中可能出现病态，但目前没有解决方案的问题。本发明在不改变原有多变量灰色模型计算框架的前提下，在求灰色系数前，先判断是否会出现病态问题，如果是，则用正则化方法来求解该系数，否则，仍用最小二乘法求解。这样，有利于得到更加准确的灰色系数，提高灰色模型的故障预测精度。

Description

基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法

技术领域

本发明涉及基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，属于故障预测领域。

背景技术

依据系统与信息之间的关系，可将系统分为三类：白色系统(信息完全明确)、黑色系统(信息完全不明确)和灰色系统(信息部分明确，部分不明确)。鉴于很多实际设备系统呈现灰性，华中理工大学的邓聚龙教授于1982年提出了解决此类问题的灰色系统理论，现今已经成为故障预测等众多领域的主要方法之一。作为灰色理论的重要分支，灰色模型通过建立特殊的微分方程来揭示系统内部事物连续发展变化的规律，对时间序列短、统计数据少、信息不完全的设备系统的建模与分析，具有独特的优势，得到了广泛的应用。事实上，灰色模型可以统称为GM(P，Q)，其中G代表Grey，M代表Model，P代表灰色模型是P阶方程，Q代表灰色模型有Q个变量。最常用的灰色模型是一维情形的GM(1，1)(P＝1，Q＝1)，多变量灰色模型可以表示为GM(1，N)(P＝1，Q＝N)。

作为一种重要的故障预测技术，灰色模型一方面得到了日益广泛的应用，另一方面仍存在很多亟待解决的问题，如，病态问题。然而，从目前的研究成果来看，已有的病态问题解决办法并不多：对于GM(1，1)，主要是通过对原始数据进行简单的数乘变换，以期抑制在最小二乘法求解灰色系数时可能出现的病态问题；对于GM(1，N)，即使是迄今最为突出的基于卷积积分的多变量模型(Convolution Integral based GM(1，N)，以下简称GMC(1，N))，也没有涉及对病态问题的处理算法，这直接导致了GM(1，N)在存在病态问题时会失效，使得其模型模拟能力和故障预测能力大大下降，阻碍了GM(1，N)的进一步应用。综上所述，寻求一套切实可行的GM(1，N)病态问题解决办法，不但能提高其故障预测精度，而且有助于其在社会、经济等其他领域的深入应用，扩大灰色系统理论的影响力。

发明内容

本发明目的是为了解决多变量灰色模型GM(1，N)(Regularization Tools based)在用最小二乘法计算灰色系数的过程中可能出现病态，但目前没有解决方案的问题，提供了一种基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法。

本发明所述基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、输入的待测设备的故障原始特征数据序列为

$X_1^{\left(0\right)}=\{x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),x_1^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(k\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\},$ k＝1，2，...，n    (1)

且 $x_1^{\left(0\right)}\left(k\right)\≥0;$

输入的待测设备的故障相关数据序列为

$X_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(t\right),...,x_i^{\left(0\right)}(n+m)\},$ i＝2，3，...，N，t＝1，2，...，n+m    (2)

且 $x_i^{\left(0\right)}\left(t\right)\≥0,$

其中，m为待预测数据个数，

由i＝2，3，...，N决定，

通过公式 $x_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{l=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}_1^{\left(0\right)}\left(l\right)---\left(3\right)$

和

公式 $x_i^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{\left(0\right)}\left(l\right)---\left(4\right)$

计算

i＝1，2，...，N的一阶累加生成数

步骤二、以

为初值，建立如下多变量灰色模型R-GMC(1，N)

$\frac{{\mathrm{dx}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_N---\left(5\right)$

令灰色系数为κ＝[a b₁ b₂...b_N]^T，计算R-GMC(1，N)的灰色系数κ，根据公式(5)梯形公式化简为

Bκ＝Y    (6)

其中

$Y={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)& x_1^{\left(0\right)}\left(2\right)& \·\·\·& x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]}^T---\left(7\right)$

步骤三、判断步骤二中的矩阵方程(6)是否病态，如果是，则执行步骤五；否则，执行步骤四；

矩阵方程(6)中矩阵B的大小为(n-1)×(N+1)，而B^TB为(N+1)×(N+1)的对称矩阵，

则判断矩阵方程(6)是否为病态的条件为：

判断BTB的条件数cond(B^TB)＝||B^TB||₂||(B^TB)^-1||₂是否大于1000，其中||·||₂为二范数，

如果判断结果为是，则确定矩阵方程(6)是病态的；如果判断结果为否，则确定矩阵方程(6)是良态的。

步骤四、由最小二乘法计算得到灰色系数κ：κ＝[a b₁ b₂...b_N]^T＝(B^TB)^-1B^TY，然后执行步骤六；

步骤五、由正则化方法求解κ，然后执行步骤六；

步骤六、利用步骤四或五求得的灰色系数κ对

进行预测：

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right)e^{-a(t-1)}+\frac{1}{2}{e}^{-a(t-1)}f\left(1\right)+\underset{\mathrm{\τ}=2}{\overset{t-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[e^{-a(t-\mathrm{\τ})}f\left(\mathrm{\τ}\right)\right]+\frac{1}{2}f\left(t\right)---\left(9\right)$

其中， $f\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_N,$

为

的预测值，bi，i＝1，2，...，N为相关系数，a为发展系数；

步骤七、由步骤六的可求得

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(t-1)---\left(10\right)$

其中， ${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),$ 为

的预测值。

步骤八、由步骤一至七得到了

就可以通过下式计算R-GMC(1，N)的预测精度

$\mathrm{RMSPEPR}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%---\left(11\right)$

$\mathrm{RMSPEPO}=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{t=n+1}{\overset{n+m}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%---\left(12\right)$

其中，RMSPEPR为由前部分样本，即t＝1，2，...，n组成的根平均平方误差百分比，而RMSPEPO为由后部分样本，即t＝n+1，n+2，...，n+m组成的根平均平方误差百分比；

步骤九、判断条件

是否满足，其中ε₁为故障阈值上界，ε₂为故障阈值下界，

若满足，则说明待测设备无故障；否则，判定待测设备有故障。

本发明的优点：

1)在计算灰色系数的过程中，本发明方法先判断矩阵方程Bκ＝Y是否病态，如果是，则用正则化方法来求取灰色系数，否则，仍用最小二乘法求解该系数。这样能有效处理病态问题，得到较准确的灰色系数，有助于提高故障预测精度；

2)本发明方法不改变原有多变量灰色模型故障预测的框架，计算过程简单，易于实现与扩展，有利于该模型的推广应用。

附图说明

图1是本发明所述一种基于正则化方法多变量灰色模型的故障预测方法流程图；

图2是本发明方法选用正则化方法LC-TSVD来求解灰色系数过程中的正则化参数图；

图3是本发明方法与GMC(1，N)求得的

t＝1，2，...，12的故障预测值及原始值对比图；

图4是本发明方法与GMC(1，N)求得的

t＝1，2，...，12的故障预测值及原始值对比图；

图5是本发明方法与GMC(1，N)的故障预测精度(包括RMSPEPR和RMSPEPO)对比图。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式所述基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、输入的待测设备的故障原始特征数据序列为

$X_1^{\left(0\right)}=\{x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),x_1^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(k\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\},$ k＝1，2，...，n    (1)

且 $x_1^{\left(0\right)}\left(k\right)\≥0;$

输入的待测设备的故障相关数据序列为

$X_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(t\right),...,x_i^{\left(0\right)}(n+m)\},$ i＝2，3，...，N，t＝1，2，...，n+m    (2)

且 $x_i^{\left(0\right)}\left(t\right)\≥0,$

其中，m为待预测数据个数，

由

i＝2，3，...，N决定，

通过公式 $x_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{l=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}_1^{\left(0\right)}\left(l\right)---\left(3\right)$

和

公式 $x_i^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{\left(0\right)}\left(l\right)---\left(4\right)$

计算

i＝1，2，...，N的一阶累加生成数

步骤二、以

为初值，建立如下多变量灰色模型R-GMC(1，N)

$\frac{{\mathrm{dx}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_N---\left(5\right)$

令灰色系数为κ＝[a b₁ b₂...b_N]^T，计算R-GMC(1，N)的灰色系数κ，根据公式(5)梯形公式化简为

Bκ＝Y    (6)

其中

$Y={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)& x_1^{\left(0\right)}\left(2\right)& \·\·\·& x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]}^T---\left(7\right)$

步骤三、判断步骤二中的矩阵方程(6)是否病态，如果是，则执行步骤五；否则，执行步骤四。

步骤四、由最小二乘法计算得到灰色系数κ：κ＝[a b₁ b₂...b_N]^T＝(B^TB)^-1B^TY，然后执行步骤六；

步骤五、由正则化方法求解κ，然后执行步骤六；

步骤六、利用步骤四或五求得的灰色系数κ对

进行预测：

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right)e^{-a(t-1)}+\frac{1}{2}{e}^{-a(t-1)}f\left(1\right)+\underset{\mathrm{\τ}=2}{\overset{t-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[e^{-a(t-\mathrm{\τ})}f\left(\mathrm{\τ}\right)\right]+\frac{1}{2}f\left(t\right)---\left(9\right)$

其中， $f\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_N,$

为

的预测值，bi，i＝1，2，...，N为相关系数，a为发展系数；

步骤七、由步骤六的

可求得

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(t-1)---\left(10\right)$

其中， ${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),$

为

的预测值。

步骤八、由步骤一至七得到了

就可以通过下式计算R-GMC(1，N)的预测精度

$\mathrm{RMSPEPR}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%---\left(11\right)$

$\mathrm{RMSPEPO}=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{t=n+1}{\overset{n+m}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%---\left(12\right)$

其中，RMSPEPR为由前部分样本，即t＝1，2，...，n组成的根平均平方误差百分比，而RMSPEPO为由后部分样本，即t＝n+1，n+2，...，n+m组成的根平均平方误差百分比；

步骤九、判断条件

是否满足，其中ε₁为故障阈值上界，ε₂为故障阈值下界，

若满足，则说明待测设备无故障；否则，判定待测设备有故障。

具体实施方式二：本实施方式对实施方式一作进一步说明，步骤三中矩阵方程(6)中矩阵B的大小为(n-1)×(N+1)，而B^TB为(N+1)×(N+1)的对称矩阵，

则判断矩阵方程(6)是否为病态的条件为：

判断BTB的条件数cond(B^TB)＝||B^TB||₂||(B^TB)^-1||₂是否大于1000，其中||·||₂为二范数，

如果判断结果为是，则确定矩阵方程(6)是病态的；如果判断结果为否，则确定矩阵方程(6)是良态的。

具体实施方式三：本实施方式对实施方式一作进一步说明，步骤五中求解κ的正则化方法选用LC-TSVD或GCV-TSVD。

步骤五中常见的正则化方法有：最小二乘正交分解法(Least Squares QuadratureResolution，以下简称LSQR)、Tikhonov正则化方法(Tikhonov Regularization，以下简称TR)、截断奇异值法(Truncated singular Value Decomposition，以下简称TSVD)。其中，与TR和TSVD有关的参数求取方法又包括：L-曲线法(L-Curve，以下简称LC)和广义交叉检验法(Generalized Cross-Validation，GCV)。如此一来，能得到5种典型的正则化方法：LSQR、LC-TR、GCV-TR、LC-TSVD及GCV-TSVD。不同的正则化方法对病态问题的处理效果不同，本发明推荐选用LC-TSVD或GCV-TSVD来求解κ。

具体实施方式四：下面结合图1至图5给出一个具体的实施例，建立基于正则化方法改进多变量灰色模型(Regularization Tools based GMC(1，N)，以下简称R-GMC(1，N)，本实施例中取R-GMC(1，3)，N＝3)的实施例，来阐述本发明的具体实施方式。

执行步骤一、假设输入的故障原始特征数据序列和相关数据序列分别为 $X_1^{\left(0\right)}=\{x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),x_1^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(6\right)\}$ 及 $X_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(n\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(12\right)\},$ i＝2，3，具体数值如下所示

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\left(0\right)}\left(k\right)={\mathrm{\αc}}^k\\ x_2^{\left(0\right)}\left(k\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(k\right)+(\mathrm{\α}+0.1){\mathrm{\β}}^k\\ x_3^0\left(k\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(k\right)+(\mathrm{\α}-0.2){(\mathrm{\β}+0.1)}^{(k+0.5)}\end{array}\right.$

其中α＝0.8，β＝0.9，k＝1，2，...，12，

可由

i＝2，3反映，待预测数据个数为6，

k＝1，2， ...，6且

t＝1，2，...，12，i＝2，3，

为

的原始值，用于计算预测精度。通过

k＝1，2，...，6和

t＝1，2，...，12，i＝2，3计算i＝1，2，3的一阶累加生成数(the First-orderAccumulated Generating Operation，以下简称1-AGO)。

执行步骤二、以

为初值，建立如下R-GMC(1，3)

$\frac{{\mathrm{dx}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{3-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_3,$ t＝1，2，...，12

令灰色系数为κ＝[a b₁ b₂ b₃]^T，则上式可由梯形公式化简为

Bκ＝Y

其中

$Y={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)& x_1^{\left(0\right)}\left(2\right)& \·\·\·& x_1^{\left(0\right)}\left(6\right)\end{array}\right]}^T$

执行步骤三、判断步骤二中的矩阵方程Bκ＝Y是否病态。如果是，则执行步骤五，否则，执行步骤四。

考虑到Bκ＝Y中矩阵B的大小为11×4，而B^TB为5×5的对称矩阵，本实施例由判断B^TB的条件数cond(B^TB)＝||B^TB||₂||(B^TB)^-1||₂是否大于1000来决定Bκ＝Y是否病态，其中||·||₂为二范数。如果cond(B^TB)＞1000则认为(2)是病态的，否则，则认为Bκ＝Y是良态的。本实施例中，cond(B^TB)＝||B^TB||₂||(B^TB)^-1||₂≈1.1527×10¹⁶＞＞1000，属于严重病态，则执行步骤五。

执行步骤四、当矩阵方程Bκ＝Y不是病态的，则由最小二乘法计算得到灰色系数κ：κ＝[a b₁ b₂ b₃]^T＝(B^TB)^-1B^TY，并执行步骤六。

本实施例严重病态，则跳过步骤四，由步骤五计算灰色系数κ。

执行步骤五、当矩阵方程Bκ＝Y存在病态问题，则由正则化方法求解κ，并执行步骤六。

常见的正则化方法有：最小二乘正交分解法(Least Squares Quadrature Resolution，以下简称LSQR)、Tikhonov正则化方法(Tikhonov Regularization，以下简称TR)、截断奇异值法(Truncated singular Value Decomposition，以下简称TSVD)。其中，与TR和TSVD有关的参数求取方法又包括：L-曲线法(L-Curve，以下简称LC)和广义交叉检验法(GeneralizedCross-Validation，GCV)。如此一来，能得到5种典型的正则化方法：LSQR、LC-TR、GCV-TR、LC-TSVD及GCV-TSVD。不同的正则化方法对病态问题的处理效果不同，本实施例选用LC-TSVD来求解灰色系数κ，图2为R-GMC(1，3)求解κ过程中的正则化参数图。从图2知，本实施例中LC-TSVD选定前3个奇异值来计算灰色系数，于是，得κ＝[0.0191 -0.0406 0.0000 0.7579]^T。

执行步骤六、利用步骤五求得的灰色系数κ，就可以由下式对

t＝1，2，...，12进行预测

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right)e^{-a(t-1)}+\frac{1}{2}{e}^{-a(t-1)}f\left(1\right)+\underset{\mathrm{\τ}=2}{\overset{t-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[e^{-a(t-\mathrm{\τ})}f\left(\mathrm{\τ}\right)\right]+\frac{1}{2}f\left(t\right),$ t＝2，3，...，12

其中， $f\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{3-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_3,$

t＝1，2，...，12为

t＝1，2，...，12的预测值。图3所示为本发明方法R-GMC(1，3)与基于卷积积分的多变量模型(Convolution Integralbased GM(1，N)，以下简称GMC(1，N)，本实施例中取GMC(1，3)，N＝3)求得

t＝1，2，...，12的预测值及原始值对比图。可以看出，本发明得到的

t＝1，2，...，12与原始值较为贴近，预测结果比较理想。

执行步骤七、由步骤六的

t＝1，2，...，12，可求得

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(t-1),$ t＝2，3，...，12

其中， t＝1，2，...，12为

t＝1，2，...，12的预测值。图4显示了本发明方法R-GMC(1，3)与GMC(1，3)求得的

t＝1，2，...，12预测值与原始值对比图。与图3类似，可以发现本发明方法得到的

t＝1，2，...，12与原始值较为贴近，预测结果较为理想。

执行步骤八、由步骤一至七得到了

t＝1，2，...，12，就可以通过下式计算R-GMC(1，3)的预测精度

$\mathrm{RMSPEPR}=\sqrt{\frac{1}{6}\underset{t=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%$

$\mathrm{RMSPEPO}=\sqrt{\frac{1}{6}\underset{t=7}{\overset{12}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%$

其中，RMSPEPR为由前部分样本(即t＝1，2，...，6)组成的根平均平方误差百分比(RootMean Squared Percentage Error of PRiori-sample period)，而RMSPEPO为由后部分样本(即t＝7，8，...，12)组成的根平均平方误差百分比(Root Mean Squared Percentage Error ofPOst-sample period)。图5所示为本发明方法R-GMC(1，3)与GMC(1，3)的预测精度(包括RMSPEPR和RMSPEPO)对比图。从图5可以看出，本发明方法得到的RMSPEPR和RMSPEPO比GMC(1，3)分别降低了14.8791％和29.7121％，预测精度大大提高。

执行步骤九、判断条件t＝7，8，...，12是否满足，其中ε₁＝0.2，ε₂＝0.4分别为故障上界和下界，若满足，则设备有故障，否则，无故障。从图4知，GMC(1，3)在序列2之后开始严重偏离原始值，并在序列10至序列12预测出设备无故障，与实际情形不符，而R-GMC(1，3)与原始值吻合较好，能准确地对设备故障进行预测。

总之，图2至图5充分说明了本发明R-GMC(1，N)方法能有效解决灰色系数求解过程中可能遇到的病态问题，准确反映原始数据变化趋势，提高故障预测精度，是对原有方法的巧妙改进。

Claims (3)

1.基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、输入的待测设备的故障原始特征数据序列为

$X_1^{\left(0\right)}=\{x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),x_1^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(k\right),...,x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\},$ k＝1，2，...，n    (1)

且 $x_1^{\left(0\right)}\left(k\right)\≥0;$

输入的待测设备的故障相关数据序列为

$X_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(t\right),...,x_i^{\left(0\right)}(n+m)\},$ i＝2，3，...，N，t＝1，2，...，n+m    (2)

且 $x_i^{\left(0\right)}\left(t\right)\≥0,$

其中，m为待预测数据个数，

由

i＝2，3，...，N决定，

通过公式 $x_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{l=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}_1^{\left(0\right)}\left(l\right)---\left(3\right)$

和

公式 $x_i^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{\left(0\right)}\left(l\right)---\left(4\right)$

计算

i＝1，2，...，N的一阶累加生成数

步骤二、以

为初值，建立如下多变量灰色模型R-GMC(1，N)

$\frac{{\mathrm{dx}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_N---\left(5\right)$

令灰色系数为κ＝[a b₁ b₂...b_N]^T，计算R-GMC(1，N)的灰色系数κ，根据公式(5)梯形公式化简为

Bκ＝Y    (6)

其中

$Y={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)& x_1^{\left(0\right)}\left(2\right)& \·\·\·& x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]}^T---\left(7\right)$

步骤三、判断步骤二中的矩阵方程(6)是否病态，如果是，则执行步骤五；否则，执行步骤四；

步骤四、由最小二乘法计算得到灰色系数κ：κ＝[a b₁ b₂...b_N]^T＝(B^TB)^-1B^TY，然后执行步骤六；

步骤五、由正则化方法求解κ，然后执行步骤六；

步骤六、利用步骤四或五求得的灰色系数κ对

进行预测：

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right)e^{-a(t-1)}+\frac{1}{2}{e}^{-a(t-1)}f\left(1\right)+\underset{\mathrm{\τ}=2}{\overset{t-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[e^{-a(t-\mathrm{\τ})}f\left(\mathrm{\τ}\right)\right]+\frac{1}{2}f\left(t\right)---\left(9\right)$

其中， $f\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_{i+1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_N,$

为

的预测值，bi，i＝1，2，...，N为相关系数，a为发展系数；

步骤七、由步骤六的

可求得

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(t\right)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(t-1)---\left(10\right)$

其中， ${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(1\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right),$ 为

的预测值。

步骤八、由步骤一至七得到了

就可以通过下式计算R-GMC(1，N)的预测精度

$\mathrm{RMSPEPR}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%---\left(11\right)$

$\mathrm{RMSPEPO}=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{t=n+1}{\overset{n+m}{\mathrm{\Σ}}}{[{\hat{x}}_1^{\left(0\right)}\left(t\right)-x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)]}^2/{\left[x_1^{\left(0\right)}\left(t\right)\right]}^2}\×100\%---\left(12\right)$

其中，RMSPEPR为由前部分样本，即t＝1，2，...，n组成的根平均平方误差百分比，而RMSPEPO为由后部分样本，即t＝n+1，n+2，...，n+m组成的根平均平方误差百分比；

步骤九、判断条件

是否满足，其中ε₁为故障阈值上界，ε₂为故障阈值下界，

若满足，则说明待测设备无故障；否则，判定待测设备有故障。

2.根据权利要求1所述基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，其特征在于，步骤三中矩阵方程(6)中矩阵B的大小为(n-1)×(N+1)，而B^TB为(N+1)×(N+1)的对称矩阵，

则判断矩阵方程(6)是否为病态的条件为：

判断BTB的条件数cond(B^TB)＝||B^TB||₂||(B^TB)^-1||₂是否大于1000，其中||·||₂为二范数，

如果判断结果为是，则确定矩阵方程(6)是病态的；如果判断结果为否，则确定矩阵方程(6)是良态的。

3.根据权利要求1所述基于正则化方法改进多变量灰色模型的故障预测方法，其特征在于，步骤五中求解κ的正则化方法选用LC-TSVD或GCV-TSVD。

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