CN102929151B - 一种基于指数时变二阶滑模的再入飞行姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于指数时变二阶滑模的飞行器再入段姿态控制方法，属于飞行器控制技术领域。本发明以面对称无动力飞行器模型为对象，对飞行器仿射非线性系统进行反馈线性化，研究其再入大气层时的姿态控制问题。该飞行器仅靠气动舵面来提供操纵力和操纵力矩，通过设计控制律给出舵面偏转角信号[δ_eδ_aδ_r]^T，实现对制导环给出的姿态指令Ω_c=[α_cβ_cμ_c]^T的有效跟踪，能够保证姿态角跟踪误差的渐进收敛，且对于再入过程中的环境剧烈变化、气动参数不确定及外部扰动等具有强鲁棒性。同时，本方法中的控制律仅存在切换函数的积分消了滑模面的到达阶段，使控制量为连续的信号，有效减弱了抖振，并具有更好的控制精度。

Description

一种基于指数时变二阶滑模的再入飞行姿态控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于指数时变二阶滑模的飞行器再入段姿态控制方法，属于飞行器控制技术领域。

背景技术

飞行器无动力高速再入飞行过程中，马赫数、高度变化剧烈，飞行环境复杂多变，高低空气动力特性的巨大差异，通道间的耦合作用非常严重，表现出强烈的多变量耦合和非线性，而且飞行过程中往往又会受到各种事先无法完全预知的扰动和不确定。因此，通道非线性解耦方法和非线性鲁棒控制方法是再入飞行器姿态控制系统设计的关键。

滑模控制是实现系统鲁棒控制的一种有效方法，对参数不确定性和外部扰动具有良好的鲁棒性，且具有快速的动态响应能力，然而，滑模控制的鲁棒性能是当系统状态到达滑模面（滑动段）之后才能保证的，在系统状态的趋近运动阶段（到达段），控制律不具有鲁棒性，系统状态对外部扰动及参数不确定性较敏感。Bartoszewicz提出了一种时变滑模控制律，通过引入时变的滑模面，使系统状态从一开始就在滑模面上，避免了常规滑模控制的趋近运动，保证了系统的全局鲁棒特性。

抖振现象是滑模控制滑动段存在的固有缺陷，时变滑模面虽然取消了到达段，但是抖振现象依然存在，并且由于不存在到达段，引入了全局抖振问题。抖振现象可能造成系统硬件部分的损坏或导致系统的不稳定，严重限制了它在实际中的发展与应用，针对滑模控制的抖振问题，目前比较典型的是边界层法，即采用连续的函数(饱和函数或sigmoid函数等)来替代产生切换控制动作的符号函数或者不连续的控制量，但边界层的引入使得滑模面无法收敛至0，而是被保持在一个较小的范围内，降低了控制精度。降低抖振的另一种方法是使用扰动观测器,通过在控制量中引入对扰动的准确估计，降低切换增益的值，进而减小抖振。然而，由于需要额外设计观测器，这种方法实施较为繁琐。高阶滑模能够有效地降低抖振现象，且能够保证更高的控制精度和良好的鲁棒性，二阶滑模方法设计控制器保证滑模面及其导数收敛，它不仅能保证系统的鲁棒性，而且使得控制量在滑模面趋近于零时收敛于一个连续的信号，能够有效减弱抖振。且这种方法无需额外的观测器，实现简单。然而，与普通滑模类似的，现有的二阶滑模方法也无法保证在滑模到达段系统的鲁棒性。

发明内容

本发明的目的是为解决存在参数不确定性和外部干扰的再入飞行器抖振问题，提出一种基于指数时变二阶滑模的再入飞行器姿态控制方法。

本发明以面对称无动力飞行器模型为对象，研究其再入大气层时的姿态控制问题。该飞行器仅靠气动舵面来提供操纵力和操纵力矩，姿态控制系统的设计目标是：通过设计舵面偏转角[δ_eδ_aδ_r]^T，实现对制导环给出的姿态指令Ω_c=[α_cβ_cμ_c]^T的有效跟踪，并且对于再入过程中的环境剧烈变化、气动参数不确定以及外部扰动等具有强鲁棒性。

本发明方法具体包括以下步骤：

步骤1：建立再入飞行器的仿射非线性模型。

由于飞行器的旋转运动比位移运动快得多，忽略飞行器的位移运动在旋转运动方程中的作用；忽略地球自转角速度；再入过程采用BTT控制，侧滑角维持在零值附近，则sinβ≈0,tanβ≈0,cosβ≈1。

再入飞行器姿态运动方程描述为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}={\mathrm{\ω}}_z$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}={\mathrm{\ω}}_x\sin \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\cos \mathrm{\α}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}={\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\sin \mathrm{\α}$

${\mathrm{\ω}}_x=\frac{I_{\mathrm{yy}}}{I^{*}}{M}_x+\frac{I_{\mathrm{xy}}}{I^{*}}{M}_y-\frac{I_{\mathrm{yy}}(I_{\mathrm{zz}}-I_{\mathrm{yy}})-I_{\mathrm{xy}}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z-\frac{I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{yy}}+I_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{zz}})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z---\left(1\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_y=\frac{I_{\mathrm{xy}}}{I^{*}}{M}_x+\frac{I_{\mathrm{xx}}}{I^{*}}{M}_y-\frac{I_{\mathrm{xx}}(I_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{zz}})+I_{\mathrm{xy}}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z+\frac{I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{xx}}+I_{\mathrm{yy}}-I_{\mathrm{zz}})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z=\frac{1}{I_{\mathrm{zz}}}{M}_z-\frac{I_{\mathrm{yy}}-I_{\mathrm{xx}}}{I_{\mathrm{zz}}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y-\frac{I_{\mathrm{xy}}}{I_{\mathrm{zz}}}({\mathrm{\ω}}_y^2-{\mathrm{\ω}}_x^2)$

式中，α,β,μ分别为攻角，侧滑角和倾侧角，ω_x，ω_y,ω_z分别为滚转、偏航和俯仰角速度；I_xx,I_yy，I_zz,I_xy分别为机体坐标系下关于x,y,z轴的转动惯量和惯量积，令飞行器关于x-o-y平面对称，则I_xz=I_yz=0；M_x,M_y，M_z分别为机体坐标系下的气动力矩：

$M_x=\hat{q}b{S}_{\mathrm{ref}}{C}_{\mathrm{Mx}},$ $M_y=\hat{q}b{S}_{\mathrm{ref}}{C}_{\mathrm{My}},$ $M_z=\hat{q}b{S}_{\mathrm{ref}}{C}_{\mathrm{Mz}}$

式中：为动压，S_ref,b分别为飞行器的参考面积和参考长度；C_Mx,C_My,C_Mz分别为滚转、偏航和俯仰力矩系数，为关于α,β,Ma,δ_e,δ_a,δ_r的函数：

C_Mx＝C_Mx,(Ma,α)+C_Mx,β+C_Mx,δeδ_e+C_Mx,δaδ_a+C_Mx,δrδ_r

C_My＝C_My,(Ma,α)+C_My,β+C_My,δeδ_e+C_My,δaδ_a+C_My,δrδ_r（2）

C_Mx＝C_Mz,(Ma,α)+C_Mz,β+C_Mz,δeδ_e+C_Mz,δaδ_a+C_Mz,δrδ_r

δ_e,δ_a,_δr分别为升降舵、副翼和方向舵；Ma为马赫数；C_Mx，(Ma,α),C_My，(Ma,α),C_Mz，(Ma,α)是不同的马赫数、攻角下的零舵偏基本力矩系数，C_Mx,β,C_My,β,C_Mz,β为零舵偏情况下侧滑角引起的气力矩系数增量，C_Mx,δe，C_My，δe,C_Mz,δe为升降舵引起的相对基本状态的力矩系数增量，C_Mx,δa，C_My,δa,C_Mz,δa为副翼引起的相对基本状态的力矩系数增量，C_Mx,δr,C_My,δr,C_Mz,δr为方向舵引起的相对基本状态的力矩系数增量。

将再入飞行器姿态运动学和动力学非线性方程（1）写成多输入多输出仿射非线性系统形式：

$\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u$

Ω=h(x)

式中，x=[αβμω_xω_yω_z]^T是状态向量，Ω=[αβμ]^T是系统输出变量，u=[M_xM_yM_z]^T是气动力矩。h(x)=[h₁(x)h₂(x)h₃(x)]^T=[αβμ]^T，f(x)＝[f₁(x)…f₆(x)]^T，g(x)=[g₁(x)...g₃(x)]^T，f₁(x)...f₆(x)，g₁(x)...g₃(x)的表达式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_z\\ f_2\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_x\sin \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\cos \mathrm{\α}\\ f_3\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}-{\mathrm{\ω}}_y\sin \mathrm{\α}\\ f_4\left(x\right)=-\frac{I_{\mathrm{yy}}(I_{\mathrm{zz}}-I_{\mathrm{yy}})-I_{\mathrm{xy}}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z-\frac{I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{yy}}+I_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{zz}})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z\\ f_5\left(x\right)=-\frac{I_{\mathrm{xx}}(I_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{zz}})+I_{\mathrm{xy}}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z+\frac{I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{xx}}+I_{\mathrm{yy}}-I_{\mathrm{zz}})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z\\ f_6\left(x\right)=-\frac{I_{\mathrm{yy}}-I_{\mathrm{zz}}}{I_{\mathrm{zz}}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y-\frac{I_{\mathrm{xy}}}{I_{\mathrm{zz}}}({\mathrm{\ω}}_y^2-{\mathrm{\ω}}_x^2)\end{array}\right.,$

$\left\{\begin{array}{c}{g}_1\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \frac{I_{\mathrm{yy}}}{I^{*}}& \frac{I_{\mathrm{xy}}}{I^{*}}& 0\end{array}\right]}^T\\ g_2\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \frac{I_{\mathrm{xy}}}{I^{*}}& \frac{I_{\mathrm{xx}}}{I^{*}}& 0\end{array}\right]}^T\\ g_3\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{I_{\mathrm{zz}}}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.$

步骤2：对步骤1得到的飞行器仿射非线性系统进行反馈线性化。

将反馈线性化理论应用到飞行器的仿射非线性模型中，并考虑飞行器再入过程中存在参数不确定性及外部扰动等，将系统转化为如下形式:

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\Ω}}=(F_{\mathrm{nom}}+\mathrm{\ΔF})+(E_{\mathrm{nom}}+\mathrm{\ΔE})U$

$=F_{\mathrm{nom}}+E_{\mathrm{nom}}U+(\mathrm{\ΔF}+\mathrm{\ΔEU})---\left(3\right)$

$=v+\mathrm{\Δd}$

式中，U=[M_xM_yM_z]^T，v=F_nom+E_nomU为引入的间接控制量。

F_nom,E_nom是不考虑参数不确定性及外部扰动时，对系统进行反馈线性化得到的标称系统矩阵：

$F_{\mathrm{nom}}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{L}_f^2{h}_1\left(x\right)\\ L_f^2{h}_2\left(x\right)\\ L_f^2{h}_3\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_3\left(x\right)\\ \sin \mathrm{\α}\·f_1\left(x\right)+\cos \mathrm{\α}\·f_2\left(x\right)+({\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}-{\mathrm{\ω}}_y\sin \mathrm{\α})\·{\mathrm{\ω}}_z\\ \cos \mathrm{\α}\·f_1\left(x\right)-\sin \mathrm{\α}\·f_2\left(x\right)-({\mathrm{\ω}}_x\sin \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\cos \mathrm{\α})\·{\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right],$

$E_{\mathrm{nom}}\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{g_1}{L}_f{h}_1\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_1\left(x\right)& L_{g_3}{L}_f{h}_1\left(x\right)\\ L_{g_1}{L}_f{h}_2\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_2\left(x\right)& L_{g_3}{L}_f{h}_2\left(x\right)\\ L_{g_1}{L}_f{h}_3\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_3\left(x\right)& L_{g_3}{L}_f{h}_3\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& \frac{1}{I_{\mathrm{zz}}}\\ \frac{I_{\mathrm{yy}}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}+\frac{I_{\mathrm{xy}}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}& \frac{I_{\mathrm{xy}}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}+\frac{I_{\mathrm{xx}}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}& 0\\ \frac{I_{\mathrm{yy}}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}-\frac{I_{\mathrm{xy}}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}& \frac{I_{\mathrm{xy}}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}-\frac{I_{\mathrm{xx}}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}& 0\end{array}\right]$

式中L为李导数的符号。

系统的综合扰动为：

Δd＝ΔF+ΔEU=[Δd₁Δd₂Δd₃]^T(4)

假设综合扰动的导数有界：

经过反馈线性化，实现输入/输出解耦，飞行器姿态控制系统被解耦为三个子系统，由式(3)，α、β、μ三个子系统分别表示为：

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}\left(t\right)=v_1+\mathrm{\Δ}{d}_1$

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)=v_2+\mathrm{\Δ}{d}_2---\left(5\right)$

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\μ}}\left(t\right)=v_3+\mathrm{\Δ}{d}_3$

步骤3：对α、β、μ子系统分别设计指数时变二阶滑模控制器。

对α子系统，设计姿态控制器的目标为设计v₁，使得输出攻角α跟踪制导系统给出的α_c值，对β、μ子系统，设计姿态控制器的目标分别为设计v₂,v₃，使得β、μ分别跟踪β_c、μ_c。具体步骤如下：

步骤3.1，设计α子系统滑模面。

设计α子系统的指数时变二阶滑模面J(t)为:

J(t)=σ(t)+χ(t)(6)

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)+\mathrm{\λ}\widetilde{\mathrm{\α}}\left(t\right)+c_1{e}^{-\mathrm{\λt}}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}\left(t\right)=-k_1{\left|J\left(t\right)\right|}^{0.5}\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right]+k_3\mathrm{\σ}\left(t\right)$

其中，λ为正常数，为误差变量，与传统滑模面相比，时变滑模面增加了指数时变函数：c₁e^-λt，k₁,k₃>0，χ的积分初值为χ(0)=0，使初始时刻滑模面为0：J(0)=0。

步骤3.2，设计α子系统的控制器。

在α子系统的指数时变二阶滑模面基础上，设计α子系统控制律：

v₁＝u_eq1+u_sw1

$u_{\mathrm{eq}1}={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)+\mathrm{\λ}{c}_1{e}^{-\mathrm{\λt}}---\left(7\right)$

u_sw1=-k₂∫sign[J(t)]

其中sign()为符号函数：

$\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right]=\left\{\begin{array}{cc}1& J\left(t\right)>0\\ -1& J\left(t\right)\≤0\end{array}\right.$

参数 $k_2>k_3\left|\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)\right|+{\mathrm{\Γ}}_1---\left(8\right)$

步骤3.3，采用步骤3.1，步骤3.2的方法对β,μ子系统设计滑模面及控制律，得到控制量v₂,v₃：

v₂＝u_eq2+u_sw2

$u_{\mathrm{eq}2}={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\β}}\left(t\right)+\mathrm{\λ}{c}_2{e}^{-\mathrm{\λt}}$

u_sw2=-k₂∫sign[J₂(t)]

其中J₂(t)对应的误差变量为其求取方法与步骤3.1相同。

v₃＝u_eq3+u_sw3

$u_{\mathrm{eq}3}={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\μ}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\μ}}\left(t\right)\mathrm{\λ}{c}_3{e}^{-\mathrm{\λt}}$

u_sw3=-k₂∫sign[J₃(t)]

其中J₃(t)对应的误差变量为其求取方法与步骤3.1相同。

步骤4：根据步骤3的子系统控制量v₁,v₂,v₃进行控制分配，得到舵偏角指令δ=[δ_e,δ_a,δ_r]。

求取控制力矩：U=E_nom ^-1(v-F_nom)；其中v=[v₁，v₂，v₃]^T。

计算舵偏角指令：

$\mathrm{\δ}=G^{-1}(\frac{U}{\hat{q}b{S}_{\mathrm{ref}}}-C_{\mathrm{\α},\mathrm{\β}})$

其中 $C_{\mathrm{\α},\mathrm{\β}}=\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{Mx},(\mathrm{Ma},\mathrm{\α})}+C_{\mathrm{Mx},\mathrm{\β}}\\ C_{\mathrm{My},(\mathrm{Ma},\mathrm{\α})}+C_{\mathrm{My},\mathrm{\β}}\\ C_{\mathrm{Mz},(\mathrm{Ma},\mathrm{\α})}+C_{\mathrm{Mz},\mathrm{\β}}\end{array}\right],$ $G=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{Mx},\mathrm{\δe}}& C_{\mathrm{Mx},\mathrm{\δa}}& C_{\mathrm{Mx},\mathrm{\δr}}\\ C_{\mathrm{My},\mathrm{\δe}}& C_{\mathrm{My},\mathrm{\δa}}& C_{\mathrm{My},\mathrm{\δr}}\\ C_{\mathrm{Mz},\mathrm{\δe}}& C_{\mathrm{Mz},\mathrm{\δa}}& C_{\mathrm{Mz},\mathrm{\δr}}\end{array}\right]$

步骤5：将步骤4得到的舵偏角指令[δ_e,δ_a,δ_r]输入再入飞行器的舵机伺服系统，使再入飞行器的舵面按照步骤4给出的指令[δ_e,δ_a,δ_r]偏转。

在飞行器飞行过程中，重复步骤2-5，从而完成对飞行器姿态的实时控制。

有益效果

本发明结合再入飞行器的特点，对飞行器模型进行线性化处理，分析了模型不确定性。在对再入飞行器动态方程进行反馈线性化解耦的基础上，提出了一种指数时变二阶滑模姿态控制方法，能够保证姿态角跟踪误差的渐进收敛；取消了滑模面的到达阶段，有效地解决了常规滑模控制到达段不具鲁棒性的问题，实现了系统的全局鲁棒。同时，本方法中的控制律仅存在切换函数的积分信号，使控制量为连续的信号，有效减弱了抖振，并具有更好的控制精度。

附图说明

图1为本发明的指数时变二阶滑模姿态控制方法的流程图；

图2为本发明的飞行器姿态控制系统结构图；

图3为具体实施方式中标称情况下攻角跟踪误差；

图4为具体实施方式中标称情况下侧滑角跟踪误差；

图5为具体实施方式中标称情况下倾侧角跟踪误差；

图6为具体实施方式中标称情况下舵面响应曲线；其中（a）为采用指数时变二阶滑模控制器时的舵面偏角曲线，（b）为采用普通滑模控制器时的舵面偏角曲线；

图7为具体实施方式中存在不确定性时的攻角跟踪误差；

图8为具体实施方式中存在不确定性时的侧滑角跟踪误差；

图9为具体实施方式中存在不确定性时的倾侧角跟踪误差；

图10为具体实施方式中存在不确定性时的舵面响应曲线；其中（a）为采用指数时变二阶滑模控制器时的舵面偏角曲线，（b）为采用普通滑模控制器时的舵面偏角曲线。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实施例加以进一步说明。

对再入飞行器姿态控制系统进行反馈线性化后，系统被解耦为3个独立的子系统，如式(5)所示。针对α、β、μ子系统分别设计控制器。下面以α子系统为例，分析本发明的姿态控制方法的全局鲁棒性以及误差的收敛特性。

设计滑模面如式(6)所示，如果控制律为：

v₁＝u_eq1+u_sw1

$u_{\mathrm{eq}1}={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)+\mathrm{\λ}{c}_1{e}^{-\mathrm{\λt}}$

u_sw1=-k₂∫sign[J(t)]

其中参数k₂满足： $k_2>k_3\left|\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)\right|+{\mathrm{\Γ}}_1.$

则对于任意时间t∈[0,∞)，存在全局滑模面系统具有全局鲁棒性，且系统跟踪误差渐进收敛。上述结论可以通过以下分析证明：

首先，证明系统的全局鲁棒性。

由式(6)得到

$\stackrel{\·}{J}\left(t\right)=\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}\left(t\right)=\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)-k_1{\left|J\left(t\right)\right|}^{0.5}\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right]+k_3\mathrm{\σ}\left(t\right)---\left(9\right)$

由于 $v_1=u_{\mathrm{eq}1}+u_{\mathrm{sw}1}={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)\mathrm{\λ}{c}_1{e}^{-\mathrm{\λt}}-k_2\∫\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right],$ 因此

$\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)=\stackrel{\stackrel{\·\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)+\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)-\mathrm{\λ}{c}_1{e}^{-\mathrm{\λt}}$

$=v_1-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_c\left(t\right)+\mathrm{\λ}\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)-\mathrm{\λ}{c}_1{e}^{-\mathrm{\λt}}+\mathrm{\Δ}{d}_1---\left(10\right)$

$=-k_2\∫\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right]+\mathrm{\Δ}{d}_1$

代入(9)可得

$\stackrel{\·}{J}\left(t\right)+k_1{\left|J\left(t\right)\right|}^{0.5}\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right]+k_2\∫\mathrm{sign}\left[J\left(t\right)\right]$

$=k_3\mathrm{\σ}\left(t\right)+\mathrm{\Δ}{d}_1$

进行状态转换，令z₁=J(t)，z₂=-k₂∫sign[J(t)]+k₃σ(t)+Δd₁，则系统可转化为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{\left|z_1\right|}^{\frac{1}{2}}\mathrm{sign}\left(z_1\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=k_2\mathrm{sign}\left(z_1\right)+k_3\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1\end{array}\right.---\left(11\right)$

令 $A=\left[\begin{array}{cc}-k_1/2& 1/2\\ -k_2& 0\end{array}\right],$ 由于k₂>0,k₁>0，A为Hurwitz矩阵。

选择二次型lyapunov函数

V=ζ^TPζ(12)

其中P为待定的对称正定矩阵， $\mathrm{\ζ}=\left[\begin{array}{c}{\left|z_1\right|}^{\frac{1}{2}}\mathrm{sign}\left(z_1\right)\\ z_2\end{array}\right],$ V是连续正定函数，除了{z=0}，V处处可微，当z∈R²\{0}，可求得ζ的导数：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}[z_2-k_1{\left|z_1\right|}^{\frac{1}{2}}\mathrm{sign}\left(z_1\right)]\\ -k_2\mathrm{sign}\left(z_1\right)+k_3\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1\end{array}\right]$

$={\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{A\ζ}+\left[\begin{array}{c}0\\ {\left|z_1\right|}^{\frac{1}{2}}(k_3\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1)\end{array}\right])$

对V求导可得

$\stackrel{\·}{V}={\mathrm{\ζ}}^T\mathrm{P\ζ}+{\mathrm{\ζ}}^{T}P\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}$

$={\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}\{({\mathrm{\ζ}}^T{A}^T+{\left[\begin{array}{c}0\\ {\left|z_1\right|}^{\frac{1}{2}}(k_3\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1)\end{array}\right]}^T)\mathrm{P\ζ}+{\mathrm{\ζ}}^{T}P(A_{\mathrm{\ζ}}+\left[\begin{array}{c}0\\ {\left|z_1\right|}^{\frac{1}{2}}(k_3\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1)\end{array}\right])\}---\left(13\right)$

令 $N=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ (k_1\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1)\mathrm{sign}\left(z_1\right)& 0\end{array}\right],$ C=A+N

则

$\stackrel{\·}{V}{=\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}\{({\mathrm{\ζ}}^T{A}^T+\mathrm{\ζ}{N}^T)\mathrm{P\ζ}+{\mathrm{\ζ}}^{T}P(\mathrm{A\ζ}+\mathrm{N\ζ})\}$

$={\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}{\mathrm{\ζ}}^T(C^{T}P+\mathrm{PC})\mathrm{\ζ}$

当 $k_2>k_3\left|\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\right|+{\mathrm{\Γ}}_1\≥(k_3\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{d}}_1)\mathrm{sign}\left(z_1\right),$ C是Hurwitz的，所以，对于任意正定对称矩阵Q，一定存在正定对称矩阵P满足lyapunov方程：

C^TP+PC=-Q(14)

因为P,Q为正定矩阵，所以有

${\mathrm{\λ}}_{\min }\left(P\right){\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2^2\≤{\mathrm{\ζ}}^T\mathrm{P\ζ}\≤{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(P\right){\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2^2,$ ${\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2^2\≤{\mathrm{\ζ}}^T\mathrm{Q\ζ}\≤{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2^2---\left(15\right)$

其中λ_min(P),λ_max(P)分别为P的最小和最大特征值，λ_min(Q),λ_max(Q)分别为Q的最小和最大特征值。

$\stackrel{\·}{V}=-{\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}{\mathrm{\ζ}}^T\mathrm{Q\ζ}\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|z_1\left|\right|}^{-\frac{1}{2}}{\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2^2$

$=-\frac{{\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2}{{\left|z_1\right|}^{-\frac{1}{2}}}{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|\mathrm{\ζ}\left|\right|}_2\≤-\frac{{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right)}{{\mathrm{\λ}}_{\min \left(P\right)}^{\frac{1}{2}}}{V}^{\frac{1}{2}}---\left(16\right)$

当t满足状态ζ在有限时间内收敛到原点，所以有z₁=0,z₂=0，由式(15)，

因为χ(0)=0，σ(0)=0，因此J(0)=0，V(0)=0，所以，当t≥0时，J(t)=0,滑模面从一开始就位于0，没有到达段，因此系统具有全局鲁棒性。

下面证明系统误差的渐进收敛特性。

当 $\stackrel{\·}{J}\left(t\right)=0,$ $\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}\left(t\right)=\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right)+k_3\mathrm{\σ}\left(t\right)=0$

选择Lyapunov函数则又由于σ(0)=0，因此σ(t)=0。

当σ(t)=0，由(6)，解该微分方程可直接得到攻角跟踪误差的轨迹如下：

$\widetilde{\mathrm{\α}}\left(t\right)=\widetilde{\mathrm{\α}}\left(0\right)e^{-\mathrm{\λt}}(\mathrm{\λt}+1)$

$\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)=-\widetilde{\mathrm{\α}}\left(0\right){\mathrm{\λ}}^{2}t{e}^{-\mathrm{\λt}}$

可以看出即系统误差渐进收敛。

由上述分析过程可以看出，对于存在不确定性的再入飞行器姿态控制系统，设计的滑模面J(t)及其导数一直维持在0，是全局二阶滑模面，保证了系统的全局鲁棒性。对于β、μ子系统可以采用同样的方法进行分析。

另外，由控制量的表达式可以看出，控制量中不直接出现滑模面的切换项，而是通过切换项积分的引入，使得控制量为连续信号，有效减弱了抖振。

本实施例通过在再入飞行器姿态控制仿真平台上进行实验，以验证本发明提出的指数时变二阶滑模控制器具有良好的性能。根据实施方案中的设计步骤，在飞行器姿态控制仿真平台上根据设计的指数时变二阶滑模姿态控制方法搭建姿态控制系统如图2所示。在本实施例中，飞行器姿态角初始状态如下：攻角初值α=2°，侧滑角初值β=2°，速度倾侧角μ=0°，给定常值姿态角跟踪目标α_d=4°,β_d=0°,μ_d=20°。

为了进行比较，设计普通滑模面

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)+k_4\widetilde{\mathrm{\α}}\left(t\right)$

以及普通滑模控制律

$v_1={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_c\left(t\right)-k_4\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\α}}\left(t\right)-k_5\mathrm{sat}\left[\mathrm{\σ}\left(t\right)\right]$

其中，sat[σ(t)]为饱和函数

$\mathrm{sat}\left(\mathrm{\σ}\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\σ}\left(t\right)/h,& \left|\mathrm{\σ}\left(t\right)\right|\≤h\\ \mathrm{sign}\left(\mathrm{\σ}\left(t\right)\right),& \left|\mathrm{\σ}\left(t\right)\right|>h\end{array}\right.$

引入饱和函数是为了通过引入边界层的方法减弱抖振。调节控制器参数k₄,k₅使得普通滑模方法的控制性能与本发明提出的控制方法具有相同的响应时间，通过仿真试验选择边界层厚度h为0.1，此时控制量平滑无抖振，若选择边界层更小，虽然跟踪误差会更小，但是控制量会出现抖振现象。

图3-图5给出了标称情况下，指数时变二阶滑模与普通滑模方法的控制结果。图6给出了指数时变滑模与普通滑模控制下的舵面偏角值。由仿真结果可以看出，与引入边界层的普通滑模相比，本发明的指数时变二阶滑模具有更高的控制精度。

考虑飞行器飞行条件大范围变化，存在气动参数摄动等不确定性，因此对于飞行器的姿态控制问题，考虑存在参数摄动和外部扰动的情况，假设气动系数存在20%的不确定性，力矩系数存在40%的不确定性，且p，q,r通道分别受到1.0×10⁵cos(/2)N·m，1.0×10⁵cos(/2)N·m，以及2.0×10cos(/2)N·m的力矩干扰。图7-图9给出了存在上述扰动时的姿态角跟踪曲线，图10给出了存在扰动时舵面偏角曲线。根据本发明方法设计的控制器可以很好地抑制系统模型的参数不确定性以及外部干扰组成的复合干扰，具有更好的鲁棒性，而普通滑模由于引入了边界层，导致了精度和鲁棒性下降。

Claims (1)

1.一种基于指数时变二阶滑模的再入飞行姿态控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立再入飞行器的仿射非线性模型；

再入飞行器姿态运动方程为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}={\mathrm{\ω}}_z$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}={\mathrm{\ω}}_{x}sin\mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_{y}cos\mathrm{\α}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}={\mathrm{\ω}}_{x}cos\mathrm{\α}-{\mathrm{\ω}}_{y}sin\mathrm{\α}$

${\mathrm{\ω}}_x=\frac{I_{yy}}{I^{*}}{M}_x+\frac{I_{xy}}{I^{*}}{M}_y-\frac{I_{yy}\left(I_{zz}-I_{yy}\right)-I_{xy}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z-\frac{I_{xy}\left(I_{yy}+I_{xx}-I_{zz}\right)}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z---\left(1\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_y=\frac{I_{xy}}{I^{*}}{M}_x+\frac{I_{xx}}{I^{*}}{M}_y-\frac{I_{xx}(I_{xx}-I_{zz})+I_{xy}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z+\frac{I_{xy}(I_{xx}+I_{yy}-I_{zz})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z=\frac{1}{I_{zz}}{M}_z-\frac{I_{yy}-I_{xx}}{I_{zz}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y-\frac{I_{xy}}{I_{zz}}({\mathrm{\ω}}_y^2-{\mathrm{\ω}}_x^2)$

式中，α,β,μ分别为攻角，侧滑角和倾侧角，ω_x,ω_y,ω_z分别为滚转、偏航和俯仰角速度；I_xx,I_yy,I_zz,I_xy分别为机体坐标系下关于x,y,z轴的转动惯量和惯量积，令再入飞行器关于x-o-y平面对称，则I_xz＝I_yz＝0；M_x,M_y,M_z分别为机体坐标系下的气动力矩：

$M_x=\hat{q}{\mathrm{bS}}_{ref}{C}_{Mx},M_y=\hat{q}{\mathrm{bS}}_{ref}{C}_{My},M_z=\hat{q}{\mathrm{bS}}_{ref}{C}_{Mz}$

式中：为动压，S_ref,b分别为再入飞行器的参考面积和参考长度；C_Mx,C_My,C_Mz分别为滚转、偏航和俯仰力矩系数，为关于α,β,Ma,δ_e,δ_a,δ_r的函数：

C_Mx＝C_Mx,(Ma,α)+C_Mx,β+C_Mx,δeδ_e+C_Mx,δaδ_a+C_Mx,δrδ_r

C_My＝C_My,(Ma,α)+C_My,β+C_My,δeδ_e+C_My,δaδ_a+C_My,δrδ_r(2)

C_Mz＝C_Mz,(Ma,α)+C_Mz,β+C_Mz,δeδ_e+C_Mz,δaδ_a+C_Mz,δrδ_r

δ_e,δ_a,δ_r分别为升降舵、副翼和方向舵的舵偏角指令；Ma为马赫数；C_Mx,(Ma,α),C_My,(Ma,α),C_Mz,(Ma,α)是不同的马赫数、攻角下的零舵偏基本力矩系数，C_Mx,β,C_My,β,为零舵偏情况下侧滑角引起的气力矩系数增量，C_Mx,δe,C_My,δe,C_Mz,δe为升降舵引起的相对基本状态的力矩系数增量，C_Mx,δa,C_My,δa,C_Mz,δa为副翼引起的相对基本状态的力矩系数增量，C_Mx,δr,C_My,δr,C_Mz,δr为方向舵引起的相对基本状态的力矩系数增量；

将再入飞行器姿态运动方程转换为多输入多输出仿射非线性系统形式：

$\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)U$

Ω＝h(x)

式中，x＝[αβμω_xω_yω_z]^T是状态向量，Ω＝[αβμ]^T是系统输出变量，U＝[M_xM_yM_z]^T是气动力矩；h(x)＝[h₁(x)h₂(x)h₃(x)]^T＝[αβμ]^T，f(x)＝[f₁(x)…f₆(x)]^T，g(x)＝[g₁(x)...g₃(x)]^T；

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_z\\ f_2\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_{x}sin\mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_{y}cos\mathrm{\α}\\ f_3\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}-{\mathrm{\ω}}_{y}sin\mathrm{\α}\\ f_4\left(x\right)=-\frac{I_{yy}(I_{zz}-I_{yy})-I_{xy}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z-\frac{I_{xy}(I_{yy}+I_n-I_{zz})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z\\ f_5\left(x\right)=-\frac{I_{xx}(I_{xx}-I_{zz})+I_{xy}^2}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z+\frac{I_{xy}(I_{xx}+I_{yy}-I_{zz})}{I^{*}}{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z\\ f_6\left(x\right)=-\frac{I_{yy}-I_{xx}}{I_{zz}}{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y-\frac{I_{xy}}{I_{zz}}({\mathrm{\ω}}_y^2-{\mathrm{\ω}}_x^2)\end{array}\right.,$

$\left\{\begin{array}{c}{g}_1\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \frac{I_{yy}}{I^{*}}& \frac{I_{xy}}{I^{*}}& 0\end{array}\right]}^T\\ g_2\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \frac{I_{xy}}{I^{*}}& \frac{I_{xx}}{I^{*}}& 0\end{array}\right]}^T\\ g_3\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{I_{zz}}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.$

步骤2：对步骤1得到的再入飞行器仿射非线性系统进行反馈线性化；

将系统转化为包含参数不确定性及外部扰动的形式:

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\Ω}}=\left(F_{nom}+\mathrm{\Δ}F\right)+\left(E_{nom}+\mathrm{\Δ}E\right)U\\ =F_{nom}+E_{nom}U+\left(\mathrm{\Δ}F+\mathrm{\Δ}EU\right)\\ =v+\mathrm{\Δ}d\end{array}---\left(3\right)$

式中，U＝[M_xM_yM_z]^T，v＝F_nom+E_nomU为引入的间接控制量；

$F_{nom}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{L}_f^2{h}_1\left(x\right)\\ L_f^2{h}_2\left(x\right)\\ L_f^2{h}_3\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_3\left(x\right)\\ \sin \mathrm{\α}\·f_1\left(x\right)+\cos \mathrm{\α}\·f_2\left(x\right)+\left({\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}-{\mathrm{\ω}}_y\sin \mathrm{\α}\right)\·{\mathrm{\ω}}_z\\ \cos \mathrm{\α}\·f_1\left(x\right)-\sin \mathrm{\α}\·f_2\left(x\right)-\left({\mathrm{\ω}}_x\sin \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\cos \mathrm{\α}\right)\·{\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right],$

$E_{nom}\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{g_1}{L}_f{h}_1\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_1\left(x\right)& L_{g_3}{L}_f{h}_1\left(x\right)\\ L_{g_1}{L}_f{h}_2\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_2\left(x\right)& L_{g_3}{L}_f{h}_2\left(x\right)\\ L_{g_1}{L}_f{h}_3\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_3\left(x\right)& L_{g_3}{L}_f{h}_3\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& \frac{1}{I_{zz}}\\ \frac{I_{yy}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}+\frac{I_{xy}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}& \frac{I_{xy}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}+\frac{I_{xx}xos\mathrm{\α}}{I^{*}}& 0\\ \frac{I_{yy}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}-\frac{I_{xy}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}& \frac{I_{xy}\cos \mathrm{\α}}{I^{*}}-\frac{I_{xx}\sin \mathrm{\α}}{I^{*}}& 0\end{array}\right]$

式中L为李导数的符号；

系统的综合扰动为：

Δd＝ΔF+ΔEU＝[Δd₁Δd₂Δd₃]^T(4)

且 $\left|\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\right|<{\mathrm{\&Gamma;}}_i;$

经过反馈线性化，实现输入/输出解耦，再入飞行器姿态控制系统被解耦为三个子系统，α、β、μ三个子系统分别表示为：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}\left(t\right)=v_1+{\mathrm{\&Delta;d}}_1$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\left(t\right)=v_2+{\mathrm{\&Delta;d}}_2---\left(5\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&mu;}}\left(t\right)=v_3+{\mathrm{\&Delta;d}}_3$

步骤3：对α、β、μ子系统分别设计指数时变二阶滑模控制器；

对α子系统，设计姿态控制器的目标为设计v₁，使得输出攻角α跟踪制导系统给出的α_c值，对β、μ子系统，设计姿态控制器的目标分别为设计v₂,v₃，使得β、μ分别跟踪β_c、μ_c；具体过程为：

步骤3.1，设计α子系统滑模面；

设计α子系统的指数时变二阶滑模面J(t)为:

J(t)＝σ(t)+χ(t)(6)

$\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)=\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}}\left(t\right)+\mathrm{\&lambda;}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}\left(t\right)+c_1{e}^{-\mathrm{\&lambda;}t}$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&chi;}}\left(t\right)=-k_1{\left|J\left(t\right)\right|}^{0.5}sign\&lsqb;J\left(t\right)\&rsqb;+k_3\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)$

其中，λ为正常数，为误差变量， $\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}\left(t\right)=\mathrm{\&alpha;}\left(t\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_c\left(t\right);c_1=-\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}}\left(0\right)-\mathrm{\&lambda;}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}\left(0\right);$ k₁,k₃＞0，χ的积分初值为χ(0)＝0，J(0)＝0；

步骤3.2，设计α子系统的控制器；

在α子系统的指数时变二阶滑模面基础上，设计α子系统控制律：

v₁＝u_eq1+u_sw1

$u_{eq1}={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}}\left(t\right)+{\mathrm{\&lambda;c}}_1{e}^{-\mathrm{\&lambda;}t}---\left(7\right)$

u_sw1＝-k₂∫sign[J(t)]

其中sign()为符号函数：

$sign\&lsqb;J\left(t\right)\&rsqb;=\left\{\begin{array}{cc}1& J\left(t\right)>0\\ -1& J\left(t\right)\&le;0\end{array}\right.$

参数 $k_2>k_3\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}\left(t\right)\right|+{\mathrm{\&Gamma;}}_1---\left(8\right)$

步骤3.3，采用步骤3.1，步骤3.2的方法对β,μ子系统设计滑模面及控制律，得到控制量v₂,v₃：

v₂＝u_eq2+u_sw2

$u_{eq2}={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}\left(t\right)+{\mathrm{\&lambda;c}}_2{e}^{-\mathrm{\&lambda;}t}$

u_sw2＝-k₂∫sign[J₂(t)]

其中J₂(t)对应的误差变量为其求取方法与步骤3.1相同；

v₃＝u_eq3+u_sw3

$u_{eq3}={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&mu;}}}_c\left(t\right)-\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&mu;}}}\left(t\right)+{\mathrm{\&lambda;c}}_3{e}^{-\mathrm{\&lambda;}t}$

u_sw3＝-k₂∫sign[J₃(t)]

其中J₃(t)对应的误差变量为其求取方法与步骤3.1相同；

步骤4：根据步骤3的子系统控制量v₁,v₂,v₃进行控制分配，得到舵偏角指令δ＝[δ_e,δ_a,δ_r]；

求取控制力矩：U＝E_nom ^-1(v-F_nom)；其中v＝[v₁,v₂,v₃]^T；

计算舵偏角指令：

$\mathrm{\&delta;}=G^{-1}(\frac{v}{\hat{q}{\mathrm{bS}}_{ref}}-C_{\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;}})$

其中 $C_{\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;}}=\left[\begin{array}{c}{C}_{Mx,\left(Ma,\mathrm{\&alpha;}\right)}+C_{Mx,\mathrm{\&beta;}}\\ C_{My,(Ma,\mathrm{\&alpha;})}+C_{My,\mathrm{\&beta;}}\\ C_{Mz,(Ma,\mathrm{\&alpha;})}+C_{Mz,\mathrm{\&beta;}}\end{array}\right]G,=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{Mx,\mathrm{\&delta;}e}& C_{Mx,\mathrm{\&delta;}a}& C_{Mx,\mathrm{\&delta;}r}\\ C_{My,\mathrm{\&delta;}e}& C_{My,\mathrm{\&delta;}a}& C_{My,\mathrm{\&delta;}r}\\ C_{Mz,\mathrm{\&delta;}e}& C_{Mz,\mathrm{\&delta;}a}& C_{Mz,\mathrm{\&delta;}r}\end{array}\right]$

步骤5：将步骤4得到的舵偏角指令[δ_e,δ_a,δ_r]输入再入飞行器的舵机伺服系统，使再入飞行器的舵面按照步骤4给出的指令[δ_e,δ_a,δ_r]偏转；

在再入飞行器飞行过程中，重复步骤2-5，从而完成对再入飞行器姿态的实时控制。