CN102735185A - 球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法。首先利用干涉仪测得同时包含待测球面调整误差及其实际面形误差的原始波面数据，利用待测球面的数值孔径以及原始波面数据拟合多项式的离焦项，将离焦调整误差所引入的高阶像差从原始波面数据中分离出来，并通过消除原始波面数据拟合多项式的常数项、倾斜项、离焦项以及所分离出对应的高阶像差项，即可实现对球面干涉检测中待测球面倾斜和离焦调整误差的高精度校正，进而获得高精度的待测球面面形数据。本发明为精密球面、特别是大数值孔径球面的干涉检测中待测球面的调整误差提供了一种高精度的校正方法，在光学球面元件的精密加工、检测中具有重要应用价值。

Description

球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法

技术领域

本发明涉及光学干涉精密检测技术领域，特别涉及在光学球面面形干涉检测中待测球面倾斜和离焦调整误差的高精度校正方法。

背景技术

光学球面干涉检测技术的不断发展以及所能实现检测精度的不断提高，极大的促进了光学加工精度的提高。在高精度球面面形干涉检测中，除了需要考虑参考波前像差等系统误差以及环境扰动等误差因素外，待测球面的调整误差也是不可忽视的影响因素。在球面干涉检测中，传统的待测球面调整误差校正方法是通过对测得的原始波面数据进行37项泽尼克多项式拟合（参见DanielMalacara,Optical Shop Testing,3rd ed.New York:Wiley,2007:498-546.），并消除对应的常数项、倾斜项和离焦项得以实现。这种传统的待测球面调整误差校正方法虽然算法简单，但其忽略了调整误差所引入的高阶像差对于面形检测结果的影响，因而只能用于待测球面数值孔径较小或者对于面形检测精度要求不高的场合。随着待测球面数值孔径的不断增大和对于面形检测精度要求的不断提高，传统的待测球面调整误差校正方法由于忽略了离焦误差所引入的高阶像差项，已无法满足高精度球面检测的应用要求。

发明内容

本发明的目的是针对现有传统的待测球面调整误差校正方法难以满足高精度球面干涉检测的应用要求，提供一种球面面形干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法。

球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法的步骤如下：

1)利用干涉仪测量得到数值孔径大小为NA的待测球面的一组原始波面数据W_m(ρ,θ)，其中(ρ,θ)为待测面上的归一化极坐标；

2)对步骤1)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)进行37项泽尼克多项式拟合，得到对应各项拟合系数c_i，其中i＝1，...,37，并且c₁为常数项系数、c₂和c₃分别为x和y方向倾斜项系数、c₄为离焦项系数；

3)由待测球面的数值孔径NA，计算得到对应待测球面的由离焦调整误差所引入的一阶、二阶和三阶球差与离焦项系数c₄的常数比r₁₁、r₂₂和r₃₇为

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{11}=(5{\mathrm{NA}}^6/112+{\mathrm{NA}}^4/16+{\mathrm{NA}}^2/12)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{22}=({\mathrm{NA}}^6/64+{\mathrm{NA}}^4/80)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{37}=({\mathrm{NA}}^6/448)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1).\end{array}\right.$

4)由步骤2)所得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)中的离焦项系数c4和步骤3)所得到对应待测球面的常数比r_k，计算得到原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于离焦误差所引入的一阶球差项系数c′₁₁、二阶球差项系数c′₂₂和三阶球差项系数c′₃₇分别为c′_k=r_kc₄，其中k＝11、22、37；

5)根据步骤2)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)拟合多项式常数项系数c₁、x和y方向倾斜项系数c₂和c₃、离焦项系数c₄，以及步骤4)得到的离焦误差所引入的一阶、二阶和三阶球差项系数c′₁₁、c′₂₂和c′₃₇，得到由于待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)为

$W_D(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1；

6)根据步骤5)中待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)，可消除步骤1)中所得的原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于待测球面倾斜和离焦调整误差而引入的波前像差，进而得到经过待测球面调整误差校正后的实际待测波面数据W₀(ρ,θ)为：

$W_0(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37；

对于待测球面倾斜调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j,$

其中Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，W′₀(ρ,θ)为经过待测球面倾斜调整误差校正后的波面数据；

对于待测球面离焦调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-c_1{Z}_1-c_4{Z}_4-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1，W″₀(ρ,θ)为经过待测球面离焦调整误差校正后的波面数据。

本发明利用待测球面的数值孔径得到对应于该待测球面的离焦误差引入各阶球差项系数与离焦项系数的常数比，再结合原始波面数据拟合多项式的离焦项系数，从原始波面数据中分离出对应于离焦误差所引入的高阶球差，进而可实现对待测球面离焦误差的高精度校正。本发明所提出的一种球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度方法，可同时实现对调整误差所引入低阶、高阶像差的有效校正。本发明不但可实现对倾斜和离焦调整误差的高精度校正，而且具有简单易操作、校正过程中无需了解实际调整误差量等优点。该方法是对传统的待测球面调整误差校正方法的极大改进，同时也降低了检测装置中对于待测面调节机构的精度要求，因而在高精度球面、尤其是大数值孔径球面检测中具有重要应用价值。

附图说明

图1是离焦误差与其引入光程差OPD的示意图；

图2是不同数值孔径NA的待测球面在1μm离焦量情况下所引入的离焦项以及各阶球差PV值对应关系；

图3是本发明实施例中所用的干涉仪示意图；

图4是本发明实施例针对口径为37mm、数值孔径NA为0.7353的待测球面镜在干涉仪中检测所得对应干涉图；

图5是本发明实施例中测得原始波面数据经消除拟合多项式的常数项、倾斜项以及离焦项后所得波面数据；

图6是本发明实施例中经待测球面调整误差的高精度校正方法处理后最终所得的波面数据。

具体实施方式

图1为离焦误差与其引入光程差OPD对应关系的示意图，对于待测球面数值孔径为NA、离焦量为s的调整误差所对应引入的光程差OPD为

$\mathrm{OPD}=c_4^{\′}{Z}_4+\underset{4}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₅=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1；c′₄=2sA₄，A₄=NA⁸/64+9NA⁶/320+NA⁴/16+NA²/4；c′_k=2sA_k，A₁₁=5NA⁸/448+NA⁶/64+NA⁴/48，A₂₂=NA⁸/256+NA⁶/320，A₃₇=NA⁸/1792。由此可得离焦误差引入的高阶像差主要包括一阶、二阶和三阶像差，并且各阶球差项系数c′_k与离焦项系数c′₄的比值r_k=c′_k/c′₄=A_k/A₄只与待测球面的数值孔径NA。因而，在球面干涉检测过程中，对应于某一待测球面的由离焦误差所引入的各阶球差项系数与离焦项系数的比值r_k是保持不变的，并且该比值可直接通过待测球面的数值孔径NA计算得到。利用所求得的常数比值r_k，即可根据离焦误差所引入的离焦项，推得相应引入的高阶像差项，进而实现待测球面调整误差的高精度校正。

球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法的步骤如下：

1)利用干涉仪测量得到数值孔径大小为NA的待测球面的一组原始波面数据W_m(ρ,θ)，其中(ρ,θ)为待测面上的归一化极坐标；

2)对步骤1)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)进行37项泽尼克多项式拟合，得到对应各项拟合系数c_i，其中i＝1，...,37，并且c₁为常数项系数、c₂和c₃分别为x和y方向倾斜项系数、c₄为离焦项系数；

3)由待测球面的数值孔径NA，计算得到对应待测球面的由离焦调整误差所引入的一阶、二阶和三阶球差与离焦项系数c₄的常数比r₁₁、r₂₂和r₃₇为

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{11}=(5{\mathrm{NA}}^6/112+{\mathrm{NA}}^4/16+{\mathrm{NA}}^2/12)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{22}=({\mathrm{NA}}^6/64+{\mathrm{NA}}^4/80)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{37}=({\mathrm{NA}}^6/448)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1).\end{array}\right.$

4)由步骤2)所得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)中的离焦项系数c₄和步骤3)所得到对应待测球面的常数比r_k，计算得到原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于离焦误差所引入的一阶球差项系数c′₁₁、二阶球差项系数c′₂₂和三阶球差项系数c′₃₇分别为c′_k=r_kc₄，其中k＝11、22、37；

5)根据步骤2)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)拟合多项式常数项系数c₁、x和y方向倾斜项系数c₂和c₃、离焦项系数c₄，以及步骤4)得到的离焦误差所引入的一阶、二阶和三阶球差项系数c′₁₁、c′₂₂和c′₃₇，得到由于待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)为

$W_D(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1；

6)根据步骤5)中待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)，可消除步骤1)中所得的原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于待测球面倾斜和离焦调整误差而引入的波前像差，进而得到经过待测球面调整误差校正后的实际待测波面数据W₀(ρ,θ)为：

$W_0(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37；

对于待测球面倾斜调整误差的校正方法为：不论待测球面为大数值孔径还是小数值孔径，其倾斜误差引入波前像差的泽尼克拟合多项式主要为倾斜项，由此可得经待测球面倾斜调整误差校正后的波面数据为

$W_0^{\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j,$

其中Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，W′₀(ρ,θ)为经过待测球面倾斜调整误差校正后的波面数据；

对于待测球面离焦调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-c_1{Z}_1-c_4{Z}_4-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1，W″₀(ρ,θ)为经过待测球面离焦调整误差校正后的波面数据。

本发明所提出的待测球面调整误差的高精度校正方法是基于球面调整误差所引入光程差OPD的高阶近似模型分析得到，并且其中引入的高阶像差主要是来自于离焦误差。对于不同待测球面数值孔径NA在1μm离焦量情况下所对应泽尼克离焦项、一阶、二阶和三阶球差的峰谷(PV)值对应关系如图2所示。根据图2可知，对于数值孔径为0.9的待测球面，1μm离焦量所引入的一阶、二阶和三阶球差峰谷(PV)值分别达到了6.6×10^-3λ、3.0×10^-4λ和1.1×10^-5λ。而当利用传统的待测球面调整校正方法进行处理时，这些高阶像差量都不能加以消除，显然此时很难满足优于1/1000λ的高精度球面检测要求，其中光波长λ一般取为632.8nm。为此，本发明所提出的待测球面调整误差的高精度校正方法在对低阶像差进行处理的同时，也同时对相应引入的高阶像差分量进行了有效消除。

实施例

实施例中利用本发明的方法来检测一个口径为37mm、数值孔径NA为0.7353的待测球面，待测球面调整误差的高精度校正过程为：

1)利用美国进口的Zygo GPI干涉仪对待测球面进行检测，干涉仪的示意图如图3所示，其光波长λ为632.8nm，面形检测精度峰谷(PV)值优于λ/10。当待测球面存在调整误差时，会导致所得到的干涉图存在如图4中所示的一定数量的弯曲干涉条纹，通过干涉仪中基于移相算法检测得到对应的原始波面数据W_m(ρ,θ)，其中(ρ,θ)为待测面上的归一化极坐标。

2)对步骤1)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)进行37项泽尼克多项式拟合，得到对应各项拟合系数c_i，其中i＝1，...,37，并且c₁为常数项系数、c₂和c₃分别为x和y方向倾斜项系数、c₄为离焦项系数。为了便于比较传统的待测球面调整误差校正方法与本发明所提出的调整误差高精度校正方法的处理效果，首先根据传统的待测球面调整误差校正方法，消去原始波面数据W_m(ρ,θ)拟合多项式中的常数项、倾斜项以及离焦项系数，最后得到的波面数据如图5所示，其对应峰谷(PV)值和均方根(RMS)值分别为0.125λ、0.024λ。从图5中可以看出，利用传统的待测球面调整误差校正方法处理后的波面数据仍存在着较明显的球差，这主要是来自离焦误差。

3)由待测球面的数值孔径NA，计算得到对应待测球面的由离焦调整误差所引入的一阶、二阶和三阶球差与离焦项系数的常数比r₁₁、r₂₂和r₃₇

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{11}=(5{\mathrm{NA}}^6/112+{\mathrm{NA}}^4/16+{\mathrm{NA}}^2/12)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{22}=({\mathrm{NA}}^6/64+{\mathrm{NA}}^4/80)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{37}=({\mathrm{NA}}^6/448)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1).\end{array}\right.$

得到对应于待测球面的常数比值r₁₁、r₂₂和r₃₇分别为0.0597、0.0052和0.0003。

4)由步骤2)所得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)中的离焦项系数c₄和步骤3)所得到对应待测球面的常数比r_k，计算得到原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于离焦误差所引入的一阶球差项系数c′₁₁、二阶球差项系数c′₂₂和三阶球差项系数c′₃₇分别为c′_k=r_kc₄，其中k＝11、22、37。

5)根据步骤2)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)拟合多项式常数项系数c₁、x和y方向倾斜项系数c₂和c₃、离焦项系数c₄，以及步骤4)得到的离焦误差所引入的一阶、二阶和三阶球差项系数c′₁₁、c′₂₂和c′₃₇，得到由于待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)为

$W_D(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1。

6)根据步骤5)中待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)，可消除步骤1)中所得的原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于待测球面倾斜和离焦调整误差而引入的波前像差，进而得到经过待测球面调整误差校正后的实际待测波面数据W₀(ρ,θ)为：

$W_0(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37。按上述步骤处理后最终所得到的波面数据如图6所示，并且该波面数据和图4所示由传统的待测球面调整误差校正方法所得波面数据相比，已很好地消除了倾斜和离焦调整误差的影响，图6中最后所得的波面数据对应的峰谷(PV)值和均方根(RMS)值分别为0.051λ、0.007λ。

对于待测球面倾斜调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j,$

其中Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，W′₀(ρ,θ)为经过待测球面倾斜调整误差校正后的波面数据；

对于待测球面离焦调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-c_1{Z}_1-c_4{Z}_4-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1，W″₀(ρ,θ)为经过待测球面离焦调整误差校正后的波面数据。

Claims (1)

1.一种球面干涉检测中待测球面调整误差的高精度校正方法，其特征在于它的步骤如下：

1)利用干涉仪测量得到数值孔径大小为NA的待测球面的一组原始波面数据W_m(ρ,θ)，其中(ρ,θ)为待测面上的归一化极坐标；

2)对步骤1)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)进行37项泽尼克多项式拟合，得到对应各项拟合系数c_i，其中i＝1，...,37，并且c₁为常数项系数、c₂和c₃分别为x和y方向倾斜项系数、c₄为离焦项系数；

3)由待测球面的数值孔径NA，计算得到对应待测球面的由离焦调整误差所引入的一阶、二阶和三阶球差与离焦项系数c₄的常数比r₁₁、r₂₂和r₃₇为

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{11}=(5{\mathrm{NA}}^6/112+{\mathrm{NA}}^4/16+{\mathrm{NA}}^2/12)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{22}=({\mathrm{NA}}^6/64+{\mathrm{NA}}^4/80)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1),\\ r_{37}=({\mathrm{NA}}^6/448)/({\mathrm{NA}}^{6}16+9{\mathrm{NA}}^4/80+{\mathrm{NA}}^2/4+1).\end{array}\right.$

4)由步骤2)所得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)中的离焦项系数c₄和步骤3)所得到对应待测球面的常数比r_k，计算得到原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于离焦误差所引入的一阶球差项系数c′₁₁、二阶球差项系数c′₂₂和三阶球差项系数c′₃₇分别为c′_k=r_kc₄，其中k＝11、22、37；

5)根据步骤2)得到的原始波面数据W_m(ρ,θ)拟合多项式常数项系数c₁、x和y方向倾斜项系数c₂和c₃、离焦项系数c₄，以及步骤4)得到的离焦误差所引入的一阶、二阶和三阶球差项系数c′₁₁、c′₂₂和c′₃₇，得到由于待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)为

$W_D(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1；

6)根据步骤5)中待测球面倾斜和离焦调整误差所引入的波前像差W_D(ρ,θ)，可消除步骤1)中所得的原始波面数据W_m(ρ,θ)中由于待测球面倾斜和离焦调整误差而引入的波前像差，进而得到经过待测球面调整误差校正后的实际待测波面数据W₀(ρ,θ)为：

$W_0(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37；

对于待测球面倾斜调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{c}_j{Z}_j,$

其中Z₁=1，Z₂=ρcosθ，Z₃=ρsinθ，W′₀(ρ,θ)为经过待测球面倾斜调整误差校正后的波面数据；

对于待测球面离焦调整误差的校正方法为：

$W_0^{\′\′}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=W_m(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})-c_1{Z}_1-c_4{Z}_4-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{\′}{Z}_k,$

其中k＝11、22、37，Z₁=1，Z₄=2ρ²-1，Z₁₁=6ρ⁴-6ρ²+1，Z₂₂=20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1，Z₃₇=70ρ⁸-140ρ⁶+90ρ⁴-20ρ²+1，W″₀(ρ,θ)为经过待测球面离焦调整误差校正后的波面数据。

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