CN104165755B - 光栅剪切波像差检测干涉仪及其检测方法 - Google Patents

Abstract

一种光栅剪切波像差检测干涉仪，包括光源、聚焦镜、滤波小孔、二维光栅、光栅位移台、光阑板、光阑对准位移台和二维光电传感器。本发明检测待测光学系统的波像差，当待测光学系统经过光源照射，其波前经过光栅分离和剪切产生干涉图，将多个衍射级次在不同方向上剪切干涉产生的差分信息进行波前重建，得到系统误差相关量，进而得到影响光栅剪切干涉仪波像差检测精度的主要系统误差项的相关参数：不同级次衍射光的汇聚点间距和探测器倾斜角度，从而消除波像差检测中的几何光程误差和探测器倾斜误差，提高波前重建的精度和波像差检测的准确度。本发明进行待测光学系统的波像差检测，消除检测中的系统误差，提高检测准确度。

Description

光栅剪切波像差检测干涉仪及其检测方法

技术领域

本发明涉及光栅剪切干涉仪，特别是一种光栅剪切波像差检测干涉仪及其检测方法。

背景技术

光栅剪切干涉仪是一种重要的波前传感器形式，具有结构简单、不需要单独的参考波面、易实现共光路干涉、抗环境干扰等优点。光栅剪切干涉仪中存在几何光程误差、光栅衍射误差、光栅位置偏移以及探测器倾斜等系统误差，影响波像差检测精度；特别是对于高精度光学系统波像差检测的应用，待测光学系统具有一定数值孔径(NA)，系统的准直难度和系统误差随数值孔径增大，待测光学系统的波像差本身只有几个nm RMS，有可能远小于上述的系统误差，消除系统误差是光栅剪切干涉仪应用于高精度光学系统波像差检测的前提。

在光栅剪切干涉仪波像差检测中，不同级次衍射光的汇聚点间距产生额外的几何光程误差以及探测器的倾斜误差影响差分波前中的像散、离焦等，进而影响重建波前的慧差、球差、三波差等像差的检测精度。目前，采用点衍射干涉技术(参见在先技术1,SeimaKato,Chidane Ouchi,Masanobu Hasegawa,et al,“Comparison of EUV interferometrymethods in EUVA Project”,Proc.of SPIE Vol.5751@2005)和追迹条纹密度进行探测器准直的方法(参见在先技术2,Ryan Miyakawa,Patrick Naulleau,and Ken Goldberg,“Analysis of systematic errors in lateral shearing interferometry for EUVoptical testing”.Proc.of SPIE Vol.7272@2009SPIE)，消除光栅剪切干涉波像差检测中的几何光程误差及探测器倾斜误差。通过设定光栅周期以及光栅-探测器二者间距，使用公式预先计算等方法消除几何光程误差(参见在先技术3,Ryan Miyakawa,PatrickNaulleau,“Lateral Shearing Interferometry for High-resolution EUV OpticalTesting”,Proc.of SPIE Vol.7969@2011SPIE)。在关于焦平面共轭的Talbot距离处进行两次测量，将两次测量的差分波前进行相应的处理，从而消除波像差检测中的系统误差(参见在先技术4,Katsura Otaki,Naoki Kohara,Katsumi Sugisaki,et al,“Ultra high-precision wavefront metrology using EUV low brightness source”,@2013Fringe)。上述方法虽然在一定程度上可以提高波像差检测精度，但需要采用辅助手段消除探测器倾斜误差，或根据预先测量相应数据进行理论计算的方法，从实验得到的数据中减去理论上的系统误差，仍未根据实际实验条件消除系统误差，残余的几何光程误差和探测器倾斜误差较大，或需要多次测量，增加了人为误差等。

发明内容

本发明的目的在于克服上述在先技术的不足，提供一种光栅剪切波像差检测干涉仪及其检测方法。本发明根据实际的实验情况消除光栅剪切干涉仪中的几何光程误差和探测器倾斜误差，实现光学系统波像差高精度检测。

本发明的技术解决方案如下，

一种光栅剪切波像差检测干涉仪，包括光源，沿该光源光束传播方向依次是聚焦镜、滤波小孔、二维光栅、光栅位移台、光阑板、光阑对准位移台和二维光电传感器；所述的二维光栅置于光栅位移台上，所述的光阑板置于光阑对准位移台上；所述的滤波小孔置于聚焦镜的后焦点上，并置于待测光学系统的物方待测视场点上，待测光学系统置于所述的滤波小孔和二维光栅之间，所述的光阑板置于待测光学系统的后焦面上，所述的二维光电传感器置于所述的待测光学系统的像平面上；

所述的滤波小孔是直径小于待测光学系统物方分辨率的通光圆孔，其直径小于0.5λ/NAo，其中NAo是待测光学系统的物方数值孔径；

所述的二维光栅是X、Y方向光栅周期相同的二维光栅，周期T由剪切率s、光源的输出光的波长λ、待测光学系统像方数值孔径NA、二维光电传感器的直径D和干涉条纹数目m按下式确定，

$T=\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sD}\tan \left(\arcsin \left(\mathrm{NA}\right)\right)-\mathrm{m\λ}}\≈\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sDNA}-\mathrm{m\λ}}.$

所述的光栅位移台是将二维光栅移入待测光学系统像方光路的二维位移台；

所述的光阑板由完全相同的四个光阑组成，沿Y方向分别为间距相等的第一方形光阑、第二方形光阑、第三方形光阑，沿X方向第二方形光阑的右边为间距相等的第四方形光阑；

所述的光阑对准位移台是将二维光栅Y方向的-1级、0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板上的第一方形光阑、第二方形光阑对准、第三方形光阑，X方向的0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板上的第二方形光阑、第四方形光阑的XYZ三维位移台。

所述的二维光电传感器是CCD、CMOS，或二维光电探测器阵列。

一种利用上述光栅剪切波像差检测干涉仪进行波像差检测的方法，其特征在于该方法包含下列步骤，

(1)根据待测光学系统的物方数值孔径NAo，选择滤波小孔，其直径小于0.5λ/NAo；

(2)根据待测光学系统的像方数值孔径NA，选择二维光栅，光栅周期T根据剪切率s、光源的输出光的波长λ、待测光学系统的像方数值孔径NA、二维光电传感器的直径D和干涉条纹数目m按下式确定，

$T=\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sD}\tan \left(\arcsin \left(\mathrm{NA}\right)\right)-\mathrm{m\λ}}\≈\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sDNA}-\mathrm{m\λ}};$

(3)将待测光学系统置于所述的滤波小孔和二维光栅之间，所述的滤波小孔置于聚焦镜的后焦点上，并置于待测光学系统的物方待测视场点上；所述的光阑板置于待测光学系统的后焦面上，所述的二维光电传感器置于所述的待测光学系统的像平面上，移动所述的光栅位移台，将二维光栅移入待测光学系统的像方光路；然后移动光阑对准位移台，使二维光栅Y方向的-1级、0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板上的第一方形光阑、第二方形光阑、第三方形光阑，X方向的0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板上的第二方形光阑、第四方形光阑；

(4)所述的二维光电传感器记录干涉图I；将干涉图I进行傅里叶变换提取相位，滤波解包裹，分别得到X方向的差分波前ΔW₀，Y方向的差分波前ΔW₉₀，45°方向的差分波前ΔW₄₅，135°方向的差分波前ΔW₁₃₅。

(5)按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₀、ΔW₉₀采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₁，

$a_1=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_1,$

其中，a₁＝[a₁₁,a₁₂,…,a_1n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数， ${\mathrm{\ΔW}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_0\\ {\mathrm{\ΔW}}_{90}\end{array}\right],$ ΔW₀、ΔW₉₀分别为X、Y方向各自的+1级与0级衍射光剪切干涉的差分波前， ${\mathrm{\ΔZ}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔZ}}_0\\ {\mathrm{\ΔZ}}_{90}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_1(x-s,y)-Z_1(x,y),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y)\\ Z_1(x,y-s)-Z_1(x,y),Z_2(x,y-s)-Z_2(x,y),\·\·\·,Z_n(x,y-s)-Z_n(x,y)\end{array}\right],$ Z_n(x,y)为归一化Zernike多项式，(x,y)为归一化坐标，s为剪切率。

(6)按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₄₅、ΔW₁₃₅采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₂，

$a_2=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_2,$

其中，a₂＝[a₂₁,a₂₂,…,a_2n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数，ΔW₁₃₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的+1级衍射光剪切干涉的差分波前，ΔW₄₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的-1级衍射光剪切干涉的差分波前， ${\mathrm{\ΔW}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_{135}\\ {\mathrm{\ΔW}}_{45}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ΔZ}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔZ}}_{135}\\ {\mathrm{\ΔZ}}_{45}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_1(x-s,y)-Z_1(x,y-s),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y-s),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y-s)\\ Z_1(x-s,y)-Z_1(x,y+s),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y+s),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y+s)\end{array}\right].$

(7)将步骤(5)、(6)得到的Zernike系数a₁、a₂进行如下运算，得到系统误差相关的Zernike系数a_e，

a_e＝a₂-a₁，

其中，a_e＝[a_e1,a_e2,…,a_en]^T，a_e与不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的关系可以表示为，

$a_{e4}=\frac{t^{2}d(-4360s^{2}t-27t^3+4383s^2{t}^3+1860s{\mathrm{\φ}}_x-720s{\mathrm{\φ}}_y)}{5760s}$

$a_{e5}=\frac{t^{2}d(\mathrm{st}(8-{9t}^2)+{8\mathrm{\φ}}_x+336{\mathrm{\φ}}_y)}{768},$

$a_{e6}=\frac{t^{2}d(12\mathrm{st}(10-{9t}^2)-370s^2{\mathrm{\φ}}_x+5(45+2366s^2){\mathrm{\φ}}_y)}{5400s}$

$a_{e7}=\frac{t^{2}d(-5(45+2362s^2){\mathrm{\φ}}_x+6s(30t-27t^3+125s{\mathrm{\φ}}_y))}{5400s}$

其中，利用上述公式近似求解d与φ_x、φ_y的初始值d₀、φ_x0、φ_y0。

(8)将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的初始值代入下列公式描述0°、90°方向的剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

${\mathrm{OPD}}_0(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+X{\mathrm{\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+X{\mathrm{\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2},$

${\mathrm{OPD}}_{90}(X,Y)=\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}$

其中，(X,Y)为探测器平面上的坐标，z₂为探测器与像面距离，则几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e1，

$a_{e1}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1},$

其中，a_e1＝[a_e11,a_e12,…,a_e1n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e1}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_0\\ {\mathrm{OPD}}_{90}\end{array}\right].$

(9)将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的初始值代入下列公式描述135°、45°方向的剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

${\mathrm{OPD}}_{135}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2},$

${\mathrm{OPD}}_{45}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y+d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}$

则几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e2，

$a_{e2}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_{e2},$

其中，a_e2＝[a_e21,a_e22,…,a_e2n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e2}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_{135}\\ {\mathrm{OPD}}_{45}\end{array}\right].$

(10)将步骤(9)得到的a_e2与步骤(8)得到的a_e1相减，得到系统误差相关的Zernike系数a_ee，

a_ee＝a_e2-a_e1，

其中，a_ee＝[a_ee1,a_ee2,…,a_een]^T。

(11)比较a_e与a_ee，采用直接搜索法在初始值d₀、φ_x0、φ_y0附近搜索使a_e与a_ee的差值小于0.001的d、φ_x、φ_y，即为实验条件下的d、φ_x、φ_y。

(12)利用步骤(11)得到的d、φ_x、φ_y，将其带入(8)中OPD₀、OPD₉₀，得到准确的几何光程误差、探测器倾斜误差，进行波前重建得到系统误差重建波前的Zernike系数a_e0，

$a_{e0}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1},$

其中，a_e0＝[a_e01,a_e02,…,a_e0n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e1}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_0\\ {\mathrm{OPD}}_{90}\end{array}\right];$

则待测光学系统的波像差W_t(x,y)表示为，

W_t(x,y)＝Z(x,y)(a₁-a_e0)，

其中，Z(x,y)＝[Z₁(x,y),Z₂(x,y),…,Z_n(x,y)]。

本发明的工作原理如下，

根据光栅剪切干涉原理，使用±1级与0级衍射光剪切干涉波像差检测待测光学系统波像差。其中，0°方向与90°方向+1级和0级衍射光剪切干涉产生的差分波前、几何光程误差和探测器倾斜误差公式表示，

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_0(x,y)=W(x-s,y)-W(x,y)+{\mathrm{OPD}}_0(x,y)\\ {\mathrm{OPD}}_0(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}\end{array}---\left(1\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_{90}(x,y)=W(x,y-s)-W(x,y)+{\mathrm{OPD}}_{90}(x,y)\\ {\mathrm{OPD}}_{90}(X,Y)=\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+Y_{\mathrm{\φy}})}^2}\end{array}---\left(2\right)$

其中，W(x,y)为待测波前，W(x-s,y)、W(x,y-s)分别为X、Y方向的+1级衍射光透过方形光阑的待测波前，s为剪切率；OPD₀、OPD₉₀分别为X、Y方向的+1级与0级剪切干涉时的几何光程误差和探测器倾斜误差，(X,Y)为探测器平面上坐标，z₂为探测器与像面距离，d为+1级与0级衍射光汇聚点的间距，φ_x、φ_y分别为探测器在X、Y方向的倾斜角度。

135°方向与45°方向剪切干涉产生的差分波前、几何光程误差和探测器倾斜误差公式表示，

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_{135}(x,y)=W(x-s,y)-W(x,y-s)+{\mathrm{OPD}}_{135}(x,y)\\ {\mathrm{OPD}}_{135}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+{Y^2+(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+Y_{\mathrm{\φy}})}^2}\end{array}---\left(3\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_{45}(x,y)=W(x-s,y)-W(x,y+s)+{\mathrm{OPD}}_{45}(x,y)\\ {\mathrm{OPD}}_{45}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+{Y^2+(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y+d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+Y_{\mathrm{\φy}})}^2}\end{array}---\left(4\right)$

其中，W(x,y+s)为Y方向的-1级衍射光透过方形光阑的待测波前；OPD₁₃₅、OPD₄₅分别为135°方向与45°方向的衍射波前剪切干涉的几何光程误差和探测器倾斜误差。

下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₀、ΔW₉₀采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₁，

$a_1=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_1---\left(5\right)$

其中，a₁＝[a₁₁,a₁₂,…,a_1n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数， ${\mathrm{\ΔW}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_0\\ {\mathrm{\ΔW}}_{90}\end{array}\right],$ ΔW₀、ΔW₉₀分别为X、Y方向各自的+1级与0级衍射光剪切干涉的差分波前， ${\mathrm{\ΔZ}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔZ}}_0\\ {\mathrm{\ΔZ}}_{90}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_1(x-s,y)-Z_1(x,y),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y)\\ Z_1(x,y-s)-Z_1(x,y),Z_2(x,y-s)-Z_2(x,y),\·\·\·,Z_n(x,y-s)-Z_n(x,y)\end{array}\right],$ Z_n(x,y)为归一化Zernike多项式，(x,y)为归一化坐标，s为剪切率。

按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₄₅、ΔW₁₃₅采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₂，

$a_2=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_2---\left(6\right)$

其中，a₂＝[a₂₁,a₂₂,…,a_2n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数，ΔW₁₃₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的+1级衍射光剪切干涉的差分波前，ΔW₄₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的-1级衍射光剪切干涉的差分波前， ${\mathrm{\ΔW}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_{135}\\ {\mathrm{\ΔW}}_{45}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ΔZ}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔZ}}_{135}\\ {\mathrm{\ΔZ}}_{45}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_1(x-s,y)-Z_1(x,y-s),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y-s),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y-s)\\ Z_1(x-s,y)-Z_1(x,y+s),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y+s),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y+s)\end{array}\right].$

将Zernike系数a₁、a₂进行如下运算，得到系统误差相关的Zernike系数a_e，

a_e＝a₂-a₁ (7)

其中，a_e＝[a_e1,a_e2,…,a_en]^T，a_e与不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的关系可以表示为，

$a_{e4}=\frac{t^{2}d(-4360s^{2}t-27t^3+4383s^2{t}^3+1860s{\mathrm{\φ}}_x-720s{\mathrm{\φ}}_y)}{5760s}$

$a_{e5}=\frac{t^{2}d(\mathrm{st}(8-{9t}^2)+{8\mathrm{\φ}}_x+336{\mathrm{\φ}}_y)}{768}---\left(8\right)$

$a_{e6}=\frac{t^{2}d(12\mathrm{st}(10-{9t}^2)-370s^2{\mathrm{\φ}}_x+5(45+2366s^2){\mathrm{\φ}}_y)}{5400s}$

$a_{e7}=\frac{t^{2}d(-5(45+2362s^2){\mathrm{\φ}}_x+6s(30t-27t^3+125s{\mathrm{\φ}}_y))}{5400s}$

其中，利用上述公式近似求解d与φ_x、φ_y的初始值d₀、φ_x0、φ_y0。

将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的初始值代入下列公式描述0°、90°方向的剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

${\mathrm{OPD}}_0(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+X{\mathrm{\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+X{\mathrm{\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}---\left(9\right)$

${\mathrm{OPD}}_{90}(X,Y)=\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}$

则几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e1，

$a_{e1}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1}---\left(10\right)$

其中，a_e1＝[a_e11,a_e12,…,a_e1n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e1}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_0\\ {\mathrm{OPD}}_{90}\end{array}\right].$

将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的初始值代入下列公式描述135°、45°方向的剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

${\mathrm{OPD}}_{135}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}---\left(11\right)$

${\mathrm{OPD}}_{45}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y+d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}$

则几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e2，

$a_{e2}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_{e2}---\left(12\right)$

其中，a_e2＝[a_e21,a_e22,…,a_e2n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e2}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_{135}\\ {\mathrm{OPD}}_{45}\end{array}\right].$

将a_e2与a_e1相减，得到系统误差相关的Zernike系数a_ee，

a_ee＝a_e2-a_e1 (13)

其中，a_ee＝[a_ee1,a_ee2,…,a_een]^T。

比较a_e与a_ee，采用直接搜索法在初始值d₀、φ_x0、φ_y0附近搜索使a_e与a_ee的差值小于0.001的d、φ_x、φ_y，即为实验条件下的d、φ_x、φ_y。

利用求解的d、φ_x、φ_y，得到系统误差的重建波前Zernike系数a_e0，则待测光学系统的波像差W_t(x,y)表示为，

W_t(x,y)＝Z(x,y)(a₁-a_e0)，

其中，Z(x,y)＝[Z₁(x,y),Z₂(x,y),…,Z_n(x,y)]。

与在先技术相比，本发明具有以下优点，

1.与在先技术[1]、[2]相比，本发明中不需要采用其他测量技术消除系统误差。

2.与在先技术[3]相比，本发明根据实际的实验参数消除波像差检测中的几何光程误差、探测器倾斜误差，数值计算降低实验操作过程中的误差，提高波像差检测精度和准确度。

3.与在先技术[4]相比，本发明利用单次测量的实验数据采用数值计算消除系统误差，降低实验操作过程中人为误差，提高波像差检测精度和准确度。

附图说明

图1是本发明光栅剪切波像差检测干涉仪光路图；

图2是本发明滤波小孔的示意图；

图3是本发明二维光栅的结构示意图；

图4是本发明光阑板的结构示意图。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明作进一步说明，但不应以此实施例限制本发明的保护范围。

先请参阅图1，图1是本发明光栅剪切波像差检测干涉仪光路图，由图可见，本发明光栅剪切波像差检测干涉仪，包括光源1，沿该光源1光束传播方向依次是聚焦镜2、滤波小孔3、二维光栅5、光栅位移台6、光阑板7、光阑对准位移台8和二维光电传感器9；所述的二维光栅5置于光栅位移台6上，所述的光阑板7置于光阑对准位移台8上；待测光学系统4置于所述的滤波小孔3和二维光栅5之间，所述的滤波小孔3置于聚焦镜2的后焦点上，并置于待测光学系统4的物方待测视场点上；所述的光阑板7置于待测光学系统4的后焦面上，所述的二维光电传感器9置于所述的待测光学系统4的像平面上；

所述的滤波小孔(参见图2)3是直径小于待测光学系统4物方分辨率的通光圆孔，其直径小于0.5λ/NAo，其中NAo是待测光学系统4的物方数值孔径；

所述的二维光栅(参见图3)5是X、Y方向光栅周期相同的二维光栅，周期T由剪切率s、光源的输出光的波长λ、待测光学系统像方数值孔径NA、二维光电传感器的直径D和干涉条纹数目m按下式确定，

$T=\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sD}\tan \left(\arcsin \left(\mathrm{NA}\right)\right)-\mathrm{m\λ}}\≈\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sDNA}-\mathrm{m\λ}}.$

所述的光栅位移台6是将二维光栅5移入待测光学系统4像方光路的二维位移台；

所述的光阑板(参见图4)7由完全相同的四个光阑组成，沿Y方向分别为间距相等的第一方形光阑701、第二方形光阑702、第三方形光阑703，沿X方向第二方形光阑的右边为间距相等的第四方形光阑704；

所述的光阑对准位移台8是将二维光栅5在Y方向的-1级、0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板上的第一方形光阑701、第二方形光阑702、第三方形光阑703，X方向的0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板上的第二方形光阑702、第四方形光阑704的XYZ三维位移台。

所述的二维光电传感器9是CCD、CMOS，或二维光电探测器阵列。

一种利用上述光栅剪切波像差检测干涉仪进行波像差检测的方法，其特征在于该方法包含下列步骤，

(1)根据待测光学系统4的物方数值孔径NAo，选择滤波小孔3，其直径小于0.5λ/NAo；

(2)根据待测光学系统4的像方数值孔径NA，选择二维光栅5，光栅周期T根据剪切率s、光源1的输出光的波长λ、待测光学系统4像方数值孔径NA、二维光电传感器9的直径D和干涉条纹数目m按下式确定，

$T=\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sD}\tan \left(\arcsin \left(\mathrm{NA}\right)\right)-\mathrm{m\λ}}\≈\frac{\mathrm{\λD}}{2\mathrm{sDNA}-\mathrm{m\λ}};$

(3)将待测光学系统4置于所述的滤波小孔3和二维光栅5之间，所述的滤波小孔3置于聚焦镜2的后焦点上，并置于待测光学系统4的物方待测视场点上；所述的光阑板7置于待测光学系统4的后焦面上，所述的二维光电传感器9置于所述的待测光学系统4的像平面上，移动所述的光栅位移台6，将二维光栅5移入待测光学系统4的像方光路；然后移动光阑对准位移台8，使二维光栅5的Y方向的-1级、0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板7上的第一方形光阑701、第二方形光阑对准702、第三方形光阑703，X方向的0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板7上的第二方形光阑702、第四方形光阑704；

(4)所述的二维光电传感器9记录干涉图I；将干涉图I进行傅里叶变换提取相位，滤波解包裹，分别得到X方向的差分波前ΔW₀，Y方向的差分波前ΔW₉₀，45°方向的差分波前ΔW₄₅，135°方向的差分波前ΔW₁₃₅。

(5)按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₀、ΔW₉₀采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₁，

$a_1=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_1,$

其中，a₁＝[a₁₁,a₁₂,…,a_1n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数， ${\mathrm{\ΔW}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_0\\ {\mathrm{\ΔW}}_{90}\end{array}\right],$ ΔW₀、ΔW₉₀分别为X、Y方向各自的+1级与0级衍射光剪切干涉的差分波前， ${\mathrm{\ΔZ}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔZ}}_0\\ {\mathrm{\ΔZ}}_{90}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_1(x-s,y)-Z_1(x,y),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y)\\ Z_1(x,y-s)-Z_1(x,y),Z_2(x,y-s)-Z_2(x,y),\·\·\·,Z_n(x,y-s)-Z_n(x,y)\end{array}\right],$ Z_n(x,y)为归一化Zernike多项式，(x,y)为归一化坐标，s为剪切率。

(6)按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₄₅、ΔW₁₃₅采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₂，

$a_2=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_2,$

其中，a₂＝[a₂₁,a₂₂,…,a_2n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数，ΔW₁₃₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的+1级衍射光剪切干涉的差分波前，ΔW₄₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的-1级衍射光剪切干涉的差分波前， ${\mathrm{\ΔW}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔW}}_{135}\\ {\mathrm{\ΔW}}_{45}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ΔZ}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔZ}}_{135}\\ {\mathrm{\ΔZ}}_{45}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_1(x-s,y)-Z_1(x,y-s),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y-s),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y-s)\\ Z_1(x-s,y)-Z_1(x,y+s),Z_2(x-s,y)-Z_2(x,y+s),\·\·\·,Z_n(x-s,y)-Z_n(x,y+s)\end{array}\right].$

(7)将步骤(5)、(6)得到的Zernike系数a₁、a₂进行如下运算，得到系统误差相关的Zernike系数a_e，

a_e＝a₂-a₁，

其中，a_e＝[a_e1,a_e2,…,a_en]^T，a_e与不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的关系可以表示为，

$a_{e4}=\frac{t^{2}d(-4360s^{2}t-27t^3+4383s^2{t}^3+1860s{\mathrm{\φ}}_x-720s{\mathrm{\φ}}_y)}{5760s}$

$a_{e5}=\frac{t^{2}d(\mathrm{st}(8-{9t}^2)+{8\mathrm{\φ}}_x+336{\mathrm{\φ}}_y)}{768}$

$a_{e6}=\frac{t^{2}d(12\mathrm{st}(10-{9t}^2)-370s^2{\mathrm{\φ}}_x+5(45+2366s^2){\mathrm{\φ}}_y)}{5400s},$

$a_{e7}=\frac{t^{2}d(-5(45+2362s^2){\mathrm{\φ}}_x+6s(30t-27t^3+125s{\mathrm{\φ}}_y))}{5400s}$

其中，利用上述公式近似求解d与φ_x、φ_y的初始值d₀、φ_x0、φ_y0。

(8)将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的初始值代入下列公式描述0°、90°方向的剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

${\mathrm{OPD}}_0(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+X{\mathrm{\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+X{\mathrm{\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2},$

${\mathrm{OPD}}_{90}(X,Y)=\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}$

其中，(X,Y)为探测器平面上的坐标，z₂为探测器与像面距离，

则几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e1，

$a_{e1}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1},$

其中，a_e1＝[a_e11,a_e12,…,a_e1n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e1}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_0\\ {\mathrm{OPD}}_{90}\end{array}\right].$

(9)将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角φ_x、φ_y的初始值代入下列公式描述135°、45°方向的剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

${\mathrm{OPD}}_{135}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y-d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2},$

${\mathrm{OPD}}_{45}(X,Y)=\sqrt{{(X-d)}^2+Y^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}-\sqrt{X^2+{(Y+d)}^2+{(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y)}^2}$

则几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e2，

$a_{e2}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_{e2},$

其中，a_e2＝[a_e21,a_e22,…,a_e2n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e2}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_{135}\\ {\mathrm{OPD}}_{45}\end{array}\right].$

(10)将步骤(9)得到的a_e2与步骤(8)得到的a_e1相减，得到系统误差相关的Zernike系数a_ee，

a_ee＝a_e2-a_e1，

其中，a_ee＝[a_ee1,a_ee2,…,a_een]^T。

(11)比较a_e与a_ee，采用直接搜索法在初始值d₀、φ_x0、φ_y0附近搜索使a_e与a_ee的差值小于0.001的d、φ_x、φ_y，即为实验条件下的d、φ_x、φ_y。

(12)利用步骤(11)得到的d、φ_x、φ_y，将其带入(8)中OPD₀、OPD₉₀，得到准确的几何光程误差、探测器倾斜误差，进行波前重建得到系统误差重建波前的Zernike系数a_e0，

$a_{e0}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1},$

其中，a_e0＝[a_e01,a_e02,…,a_e0n]^T， ${\mathrm{\ΔW}}_{e1}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_0\\ {\mathrm{OPD}}_{90}\end{array}\right];$

则待测光学系统的波像差W_t(x,y)表示为，

W_t(x,y)＝Z(x,y)(a₁-a_e0)，

其中，Z(x,y)＝[Z₁(x,y),Z₂(x,y),…,Z_n(x,y)]。

实验表明，本发明在光栅剪切干涉仪检测待测光学系统的波像差，消除了检测中的几何光程误差和探测器倾斜误差，提高了待测光学系统波像差的检测准确度。

Claims (6)

1.一种光栅剪切波像差检测干涉仪，其特征在于，包括光源(1)，沿该光源(1)光束传播方向依次是聚焦镜(2)、滤波小孔(3)、二维光栅(5)、光栅位移台(6)、光阑板(7)、光阑对准位移台(8)和二维光电传感器(9)；所述的二维光栅(5)置于光栅位移台(6)上，所述的光阑板(7)置于光阑对准位移台(8)上；待测光学系统(4)置于所述的滤波小孔(3)和二维光栅(5)之间，所述的滤波小孔(3)的中心与所述的聚焦镜(2)的后焦点及待测光学系统(4)的物方待测视场点重合；所述的光阑板(7)位于待测光学系统(4)的后焦面上，所述的二维光电传感器(9)位于所述的待测光学系统(4)的像平面上，所述的光阑板(7)由完全相同的四个光阑组成，沿Y轴方向间距相等的依次为第一方形光阑(701)、第二方形光阑(702)和第三方形光阑(703)，沿X轴方向在所述的第二方形光阑(702)的右边等间距的第四方形光阑(704)。

2.根据权利要求1所述的光栅剪切波像差检测干涉仪，其特征在于，所述的滤波小孔(3)是直径小于待测光学系统(4)物方分辨率的通光圆孔，该通光圆孔的直径小于0.5λ/NAo，其中NAo是待测光学系统(4)的物方数值孔径。

3.根据权利要求1所述的光栅剪切波像差检测干涉仪，其特征在于，所述的二维光栅(5)是X、Y方向光栅周期相同的二维光栅，光栅周期T的计算公式如下：

$T=\frac{\mathrm{\λ}D}{2sDtan\left(\arcsin \right(NA\left)\right)-m\mathrm{\λ}}\≈\frac{\mathrm{\λ}D}{2sDNA-m\mathrm{\λ}}$

式中，s为剪切率、λ为光源(1)的输出光的波长、NA为待测光学系统(4)的像方数值孔径、D为二维光电传感器(9)的直径，m为干涉条纹数目。

4.根据权利要求1所述的光栅剪切波像差检测干涉仪，其特征在于，所述的光阑对准位移台(8)是XYZ三维位移台。

5.根据权利要求1所述的光栅剪切波像差检测干涉仪，其特征在于，所述的二维光电传感器(9)是CCD、CMOS、或二维光电探测器阵列。

6.一种利用权利要求1所述的光栅剪切波像差检测干涉仪进行波像差检测的方法，其特征在于，该方法包含下列步骤：

①根据待测光学系统(4)的物方数值孔径NAo，选择滤波小孔(3)，其直径小于0.5λ/NAo；

②根据待测光学系统(4)的像方数值孔径NA，选择X、Y方向周期相同的二维光栅(5)，光栅周期T满足下式：

$T=\frac{\mathrm{\λ}D}{2sDtan\left(\arcsin \right(NA\left)\right)-m\mathrm{\λ}}\≈\frac{\mathrm{\λ}D}{2sDNA-m\mathrm{\λ}}$

式中，s为剪切率、λ为光源(1)的输出光的波长、NA为待测光学系统(4)的像方数值孔径、D为二维光电传感器(9)的直径，m为干涉条纹数目；

③将待测光学系统(4)置于所述的滤波小孔(3)和二维光栅(5)之间，使述的滤波小孔(3)的中心与所述的聚焦镜(2)的后焦点及待测光学系统(4)的物方待测视场点重合；

调整所述的光阑对准位移台(8)，使所述的光阑板(7)置于待测光学系统(4)的后焦面上，所述的二维光电传感器(9)置于所述的待测光学系统(4)的像平面上；

移动所述的光栅位移台(6)，将二维光栅(5)移入待测光学系统(4)的像方光路；

再次移动光阑对准位移台(8)，使所述的二维光栅(5)Y方向的-1级、0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板(7)上的第一方形光阑(701)、第二方形光阑(702)、第三方形光阑(703)，X方向的0级和+1级衍射光的聚焦点分别通过光阑板(7)上的第二方形光阑(702)、第四方形光阑(704)；

④所述的二维光电传感器(9)记录干涉图I，并将干涉图I进行傅里叶变换提取相位，滤波解包裹，分别得到X方向的差分波前ΔW₀，Y方向的差分波前ΔW₉₀，45°方向的差分波前ΔW₄₅，135°方向的差分波前ΔW₁₃₅；

⑤按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₀、ΔW₉₀采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₁，

$a_1=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_1,$

其中，a₁＝[a₁₁,a₁₂,…,a_1n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数，ΔW₀、ΔW₉₀分别为X、Y方向各自的+1级与0级衍射光剪切干涉的差分波前，Z_n(x,y)为归一化Zernike多项式，(x,y)为归一化坐标，s为剪切率；

⑥按下式将剪切干涉得到的差分波前ΔW₄₅、ΔW₁₃₅采用差分Zernike多项式拟合法求解Zernike系数a₂，

$a_2=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_2,$

其中，a₂＝[a₂₁,a₂₂,…,a_2n]^T，符号表示ΔZ₁的转置矩阵，n为正整数，ΔW₁₃₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的+1级衍射光剪切干涉的差分波前，ΔW₄₅为X方向的+1级衍射光和Y方向的-1级衍射光剪切干涉的差分波前，

⑦根据步骤⑤、⑥得到的Zernike系数a₁、a₂计算系统误差相关的Zernike系数a_e，公式如下：

a_e＝a₂-a₁，

其中，a_e＝[a_e1,a_e2,…,a_en]^T，a_e与不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角的关系表示如下：

$\begin{array}{c}{a}_{e4}=\frac{t^{2}d\left(-4360s^{2}t-27t^3+4383s^2{t}^3+1860{\mathrm{s\φ}}_x-720{\mathrm{s\φ}}_y\right)}{5760s}\\ a_{e5}=\frac{t^{2}d\left(st\left(8-9t^2\right)+8{\mathrm{\φ}}_x+336{\mathrm{\φ}}_y\right)}{768}\\ a_{e6}=\frac{t^{2}d\left(12st\left(10-9t^2\right)-370s^2{\mathrm{\φ}}_x+5\left(45+2366s^2\right){\mathrm{\φ}}_y\right)}{5400s}\\ a_{e7}=\frac{t^{2}d\left(-5\left(45+2362s^2\right){\mathrm{\φ}}_x+6s\left(30t-27t^3+125{\mathrm{s\φ}}_y\right)\right)}{5400s}\end{array},$

其中，利用上述公式近似求解d与的初始值d₀、

⑧将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角的初始值代入下列公式描述0°、90°方向剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

$\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_0\left(X,Y\right)=\sqrt{{\left(X-d\right)}^2+Y^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}\\ {\mathrm{OPD}}_{90}\left(X,Y\right)=\sqrt{X^2+{\left(Y-d\right)}^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}-\sqrt{X^2+Y^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}\end{array},$

其中，(X,Y)为探测器平面上的坐标，z₂为探测器与像面距离，计算几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e1，公式如下：

$a_{e1}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1},$

其中，a_e1＝[a_e11,a_e12,…,a_e1n]^T，

⑨将不同级次衍射光间距d与探测器倾斜角的初始值代入下列公式描述135°、45°方向剪切干涉差分波前中存在的几何光程误差、探测器倾斜误差，

$\begin{array}{c}{\mathrm{OPD}}_{135}\left(X,Y\right)=\sqrt{{\left(X-d\right)}^2+Y^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}-\sqrt{X^2+{\left(Y-d\right)}^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}\\ {\mathrm{OPD}}_{45}\left(X,Y\right)=\sqrt{{\left(X-d\right)}^2+Y^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}-\sqrt{X^2+{\left(Y+d\right)}^2+{\left(z_2+{\mathrm{X\φ}}_x+{\mathrm{Y\φ}}_y\right)}^2}\end{array},$

计算几何光程误差和探测器倾斜误差的波前重建Zernike系数a_e2，公式如下：

$a_{e2}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔZ}}_2^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_2^T{\mathrm{\ΔW}}_{e2},$

其中，a_e2＝[a_e21,a_e22,…,a_e2n]^T，

⑩计算系统误差相关的Zernike系数a_ee，公式如下：

a_ee＝a_e2-a_e1，

其中，a_ee＝[a_ee1,a_ee2,…,a_een]^T；

比较a_e与a_ee，采用直接搜索法在初始值d₀、附近搜索使a_e与a_ee的差值小于0.001的d、即为实验条件下的d、

利用步骤得到的d、将其带入⑧中OPD₀、OPD₉₀，得到准确的几何光程误差、探测器倾斜误差，进行波前重建得到系统误差重建波前的Zernike系数a_e0，

$a_{e0}=\left({\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔZ}}_1^T\right)\backslash {\mathrm{\ΔZ}}_1^T{\mathrm{\ΔW}}_{e1},$

其中，a_e0＝[a_e01,a_e02,…,a_e0n]^T，

计算待测光学系统的波像差W_t(x,y)，公式如下：

W_t(x,y)＝Z(x,y)(a₁-a_e0)，

其中，Z(x,y)＝[Z₁(x,y),Z₂(x,y),…,Z_n(x,y)]。