CN102353915A - 多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置及方法 - Google Patents

Abstract

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置及方法，属于微位移检测技术领域。它解决了现有磁致伸缩系数的测量方法的测量精度不能够满足超精密测量要求的问题。本发明使平面反射镜和不计厚度薄玻璃板相互平行、等高，并使不计厚度薄玻璃板与平面反射镜的反射面之间的距离d为mm，打开振镜的驱动电源使振镜开始做简谐振动；通过信号处理系统采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间的距离变化量，根据该距离变化量获得待测铁镍合金样品的磁致伸缩系数。本发明适用于测量铁磁体的磁致伸缩系数。

Description

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置及方法

技术领域

本发明涉及一种多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置及方法，属于微位移检测技术领域。

背景技术

铁磁体的磁畴在外磁场作用下定向排列，引起介质中晶格间距的改变，致使铁磁体发生长度的变化的现象被称为磁致伸缩效应。由于这一现象由英国的物理学家焦耳于1842年首先发现，因而也被称为焦耳效应。磁致伸缩效应不但对材料的磁性，特别是对材料的起始磁导率和矫顽力等有重要的影响，而且其效应本身在实际中的应用也很广泛，如：磁致伸缩技术可以用于机械振动和超声波换能器上，在激光雷达等方面有重要的应用。

利用铁磁体材料在交变磁场作用下长度的变化，可制成超声波发生器和接收器，通过一些特别的转换装置，可以制成力、速度和加速度等传感器以及延迟线、滤波器等。在相同外磁场的条件下，不同的磁性物质磁致伸缩的长度变化是不同的，通常用磁致伸缩系数α(α＝Δl/l)表征它形变的大小，其中Δl为磁性物质的长度变化量，l为磁性物质的原始长度。因此，准确测量磁性物材料的磁致伸缩系数α是非常重要的。由于磁致伸缩效应引起的材料长度相对变化很微小，一般铁磁材料的磁致伸缩系数只有10^-5～10^-6数量级，因此需采用一些高精度的方法加以测量。

磁致伸缩系数的测定可以归结为微长度即微位移变化的测量。目前测量磁致伸缩系数的方法主要有非平衡电桥测量法、差动变电容测法、光杠杆、应变电阻片测量法和光学干涉法等。这些方法均由于各自存在的缺陷，而无法进一步提高测量的精度。

在光学测量法中，激光外差测量技术由于具有高的空间和时间分辨率、测量速度快、精度高、线性度好、抗干扰能力强、动态响应快、重复性好和测量范围大等优点而备受国内外学者关注，激光外差测量技术继承了激光外差技术和多普勒技术的诸多优点，是目前超高精度测量方法之一。该方法已成为现代超精密检测及测量仪器的标志性技术之一，广泛应用于超精密测量、检测、加工设备及激光雷达系统等。

传统的外差干涉均为双光束干涉，外差信号频谱只含单一频率信息，解调后得到单一的待测参数值。

发明内容

本发明的目的是解决现有磁致伸缩系数的测量方法的测量精度不能够满足超精密测量要求的问题，提供一种多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置及方法。

本发明所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，该装置由第一固定棒、第二固定棒、激励线圈、待测铁镍合金样品、直流稳压电源、平面反射镜、不计厚度薄玻璃板、偏振分束镜PBS、H₀固体激光器、四分之一波片、振镜、会聚透镜、光电探测器和信号处理系统组成，

直流稳压电源用于给激励线圈提供工作电源，待测铁镍合金样品居中放置在激励线圈内，待测铁镍合金样品的一端固定连接第一固定棒的一端，该第一固定棒的另一端固定设置，待测铁镍合金样品的另一端固定连接第二固定棒的一端，该第二固定棒的另一端粘接平面反射镜的非反射面，平面反射镜的反射面与待测铁镍合金样品的轴线垂直；第一固定棒和第二固定棒大小相同，并且两根固定棒、待测铁镍合金样品和激励线圈同轴设置；在平面反射镜的反射面一侧距离d处，与该平面反射镜平行设置有不计厚度薄玻璃板；

H₀固体激光器发出的线偏振光经偏振分束镜PBS反射后入射至四分之一波片，经该四分之一波片透射后的光束入射至振镜的光接收面，经该振镜反射的光束再次经四分之一波片透射后发送至偏振分束镜PBS，经该偏振分束镜PBS透射后的光束入射至不计厚度薄玻璃板，经该不计厚度薄玻璃板透射之后的光束入射至平面反射镜的反射面，经该平面反射镜反射后的光束再次经不计厚度薄玻璃板透射获得透射光，该透射光与经不计厚度薄玻璃板的光入射面反射后的光束均通过会聚透镜汇聚至光电探测器的光敏面上，所述光电探测器输出电信号给信号处理系统。

本发明所述基于上述装置的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的方法，该方法的过程为：

首先，将待测铁镍合金样品进行交流退磁；利用二维调整架调节平面反射镜和不计厚度薄玻璃板的位置，使平面反射镜和不计厚度薄玻璃板相互平行、等高，并使不计厚度薄玻璃板与平面反射镜的反射面之间的距离d为mm；

然后，调整直流稳压电源，使其输出电流最小，并打开振镜的驱动电源使振镜开始做简谐振动；同时，打开H₀固体激光器，

最后，调整直流稳压电源的输出电流，使其输出电流I单调上升，在此过程中，信号处理系统连续采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间的距离变化量，根据该距离变化量获得待测铁镍合金样品的磁致伸缩系数：

α＝Δl/l，

式中，Δl/为待测铁镍合金样品在磁场中的长度变化量，即为平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间的距离变化量，l为待测铁镍合金样品的原始长度。

对所述信号处理系统连续采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间的距离变化量的过程为：

经偏振分束镜PBS透射后的光束入射至不计厚度薄玻璃板的入射角为θ₀，此时的入射光场为：

E(t)＝E_lexp(iω₀t)，

式中E_l为常数，i表示虚数，ω₀为激光角频率；

不计厚度薄玻璃板的反射光的频率为：

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)；

则在tL/c时刻到达不计厚度薄玻璃板表面并被该表面反射的反射光的光场为：

E₀(t)＝αE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-L/c))/c)

(t-L/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-L/c))/c]}

式中α为不计厚度薄玻璃板和平面反射镜的反射系数，L为振镜到不计厚度薄玻璃板之间的距离；

经不计厚度薄玻璃板透射的光在不同时刻被平面反射镜连续反射m次，获得透过不计厚度薄玻璃板的m束透射光的光场分别为：

$E_1\left(t\right)={\mathrm{\α\α}}_1^2{E}_1\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$E_2\left(t\right)={\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$E_3\left(t\right)={\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$\begin{array}{c}(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\end{array}$

$E_m\left(t\right){\mathrm{\α}}^{2m-1}{\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

其中，α₁为不计厚度薄玻璃板的透射系数，d为直流稳压电源在供电过程中，平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间的距离，θ为光束透过不计厚度薄玻璃板时的折射角，m为正整数，n为平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间介质的折射率；

光电探测器接收到的总光场为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+E₂(t)+…+E_m(t)，

则光电探测器输出的光电流为：

$I=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\frac{1}{2}[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+E_2\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)]{[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+E_2\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)]}^{*}\mathrm{ds}$

$=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}[\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{E_j}^2\left(t\right)+\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))]\mathrm{ds},$

其中，e为电子电量，η为量子效率，h为普朗克常数，v为激光频率，Z为光电探测器表面介质的本征阻抗，S为光电探测器光敏面的面积；

对上式进行整理获得中频电流为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))\mathrm{ds},$

将所有光场的公式代入上式，获得计算结果为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))\mathrm{ds},$

忽略1/c³的小项之后上式简化为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos [\frac{4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0}{c}-\frac{2\mathrm{pnd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c}],$

式中p和j为正整数；

根据上式，将干涉信号的频率记为：

$f_p=4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=2\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=K_{p}d,$

式中 $K_p=2\mathrm{pn}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right),$

则平面反射镜和不计厚度薄玻璃板之间的距离d为：

d＝f_p/K_p，

当d改变时，根据d＝f_p/K_p计算获得对应d的待测铁镍合金样品的长度变化量Δd，然后对Δd加权平均，获得最终的距离变化量Δd，该Δd即为Δl。

本发明的优点是：本发明在激光外差测量技术和多普勒效应的基础上，提出了在光路中利用正弦调制多普勒振镜对不同时刻的入射光频率进行正弦调制，得到了正弦调制多光束激光外差信号，其信号频谱中同时包含多个频率值，每个频率值都包含待测参数信息，经过解调后可同时得到多个待测参数值，对得到的多个参数值加权平均，提高了待测参数的精度。

本发明基于激光外差技术和多普勒效应，把待测参数信息加载到外差信号的频率差中，经信号解调后同时得到多个待测参数值，经加权平均处理提高了待测参数的测量精度。

本发明经采用铁镍合金样品进行仿真实验验证，仿真了不同电流下待测样品的磁致伸缩系数，结果表明：最终获取仿真结果的相对误差仅为0.3％。

本发明所述技术方案与其他测量方法相比，具有高的空间和时间分辨率、测量速度快、线性度好、抗干扰能力强、动态响应快、重复性好和测量范围大等优点；装置结构简单、功耗小、操作方便；实验结果误差小、精度高等。同时，由于本发明所述方法的实验现象明显，实验数据可靠，可以在相干激光测风雷达等工程设计领域中广泛使用。

附图说明

图1为本发明所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置的结构示意图；

图2为平面反射镜和薄玻璃板之间的多光束激光干涉原理图；

图3为多光束激光外差信号的傅里叶变换频谱图。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，该装置由第一固定棒1-1、第二固定棒1-2、激励线圈2、待测铁镍合金样品3、直流稳压电源4、平面反射镜5、不计厚度薄玻璃板6、偏振分束镜PBS7、H₀固体激光器8、四分之一波片9、振镜10、会聚透镜11、光电探测器12和信号处理系统13组成，

直流稳压电源4用于给激励线圈2提供工作电源，待测铁镍合金样品3居中放置在激励线圈2内，待测铁镍合金样品3的一端固定连接第一固定棒1-1的一端，该第一固定棒1-1的另一端固定设置，待测铁镍合金样品3的另一端固定连接第二固定棒1-2的一端，该第二固定棒1-2的另一端粘接平面反射镜5的非反射面，平面反射镜5的反射面与待测铁镍合金样品3的轴线垂直；第一固定棒1-1和第二固定棒1-2大小相同，并且两根固定棒、待测铁镍合金样品3和激励线圈2同轴设置；在平面反射镜5的反射面一侧距离d处，与该平面反射镜5平行设置有不计厚度薄玻璃板6；

H₀固体激光器8发出的线偏振光经偏振分束镜PBS7反射后入射至四分之一波片9，经该四分之一波片9透射后的光束入射至振镜10的光接收面，经该振镜10反射的光束再次经四分之一波片9透射后发送至偏振分束镜PBS7，经该偏振分束镜PBS7透射后的光束入射至不计厚度薄玻璃板6，经该不计厚度薄玻璃板6透射之后的光束入射至平面反射镜5的反射面，经该平面反射镜5反射后的光束再次经不计厚度薄玻璃板6透射获得透射光，该透射光与经不计厚度薄玻璃板6的光入射面反射后的光束均通过会聚透镜11汇聚至光电探测器12的光敏面上，所述光电探测器12输出电信号给信号处理系统13。

本实施方式中待测铁镍合金样品3在激励线圈2的磁场作用下产生轴向形变。

本实施方式中的振镜10在驱动电源的作用下做简谐振动，采用振镜10可以对不同时刻入射到振镜10表面的激光频率进行正弦调制。

第二固定棒1-2的一端与平面反射镜5的非反射面粘接，可保证第二固定棒1-2的自由移动，平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6可采用二维调整架进行位置调节。

本实施方式中的距离d可以根据实际需要任意设置。

具体实施方式二：本实施方式为对实施方式一的进一步说明，所述距离d为20mm。

具体实施方式三：本实施方式为对实施方式一或二的进一步说明，所述第一固定棒1-1和第二固定棒1-2的两个端面均粘固有非磁性材料。

具体实施方式四：本实施方式为对实施方式一、二或三的进一步说明，所述第一固定棒1-1的另一端固定设置为：第一固定棒1-1的另一端固定在工作台上或固定件上。

具体实施方式五：本实施方式为对实施方式一至四的进一步说明，所述振镜10为多普勒振镜，其振动方程和速度方程分别是x(t)＝x₀cos(ω_ct)和v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)，式中x₀为多普勒振镜振动的振幅，ω_c为多普勒振镜的角频率，c为光速，t为时间。

具体实施方式六：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式为对实施方式一至五的进一步说明，所述信号处理系统13由带通滤波器13-1、前置放大器13-2、模数转换器A/D13-3和数字信号处理器DSP13-4组成，

所述带通滤波器13-1对接收到的光电探测器12输出的电信号进行滤波之后发送给前置放大器13-2，经前置放大器13-2放大之后的信号输出给模数转换器A/D13-3，所述模数转换器A/D13-3将转换后的信号发送给数字信号处理器DSP13-4。

具体实施方式七：下面结合图1和图2说明本实施方式，本实施方式为基于实施方式一至六所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的方法，该方法的过程为：

首先，将待测铁镍合金样品3进行交流退磁；利用二维调整架调节平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6的位置，使平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6相互平行、等高，并使不计厚度薄玻璃板6与平面反射镜5的反射面之间的距离d为20mm；

然后，调整直流稳压电源4，使其输出电流最小，并打开振镜10的驱动电源使振镜10开始做简谐振动；同时，打开H₀固体激光器8，

最后，调整直流稳压电源4的输出电流，使其输出电流I单调上升，在此过程中，信号处理系统13连续采集光电探测器12输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间的距离变化量，根据该距离变化量获得待测铁镍合金样品3的磁致伸缩系数：

α＝Δl/l，

式中，Δl/为待测铁镍合金样品3在磁场中的长度变化量，即为平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间的距离变化量，l为待测铁镍合金样品3的原始长度。

本实施方式中，待测铁镍合金样品3在进行测试之前需要先进行交流退磁，在进行测试的过程中，需要缓慢调节滑线变阻器，使直流稳压电源4输出的电流单调上升。

打开H₀固体激光器8后，线偏振光依次经过偏振分束镜PBS7和四分之一波片9后照射到振镜10的前表面上，而不同时刻被振镜10调制的反射光又经过四分之一波片9后透过偏振分束镜PBS7斜入射到不计厚度薄玻璃板6上，经不计厚度薄玻璃板6透射的光被平面反射镜5反射后与经过不计厚度薄玻璃板6前表面反射的光一起被会聚透镜11会聚到光电探测器12的光敏面上，最后经光电探测器12光电转换后的电信号经过前置放大器13-2、模数转换器A/D13-3和数字信号处理器DSP13-4处理后得到不同时刻待测的参数信息。

直流稳压电源4的输出电流值可利用高精度数字电流表进行监测，并进行读取和记录。

具体实施方式八：下面结合图2和图3说明本实施方式，本实施方式为对实施方式七的进一步说明，对所述信号处理系统13连续采集光电探测器12输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间的距离变化量的过程为：

经偏振分束镜PBS7透射后的光束入射至不计厚度薄玻璃板6的入射角为θ₀，此时的入射光场为：

E(t)＝E_lexp(iω₀t)，

式中E_l为常数，i表示虚数，ω₀为激光角频率；

不计厚度薄玻璃板6的反射光的频率为：

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)；

则在t-L/c时刻到达不计厚度薄玻璃板6表面并被该表面反射的反射光的光场为：

E₀(t)＝αE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-L/c))/c)

(t-L/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-L/c))/c]}

式中α为不计厚度薄玻璃板6和平面反射镜5的反射系数，L为振镜10到不计厚度薄玻璃板6之间的距离；

经不计厚度薄玻璃板6透射的光在不同时刻被平面反射镜5连续反射m次，获得透过不计厚度薄玻璃板6的m束透射光的光场分别为：

$E_1\left(t\right)={\mathrm{\α\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$E_2\left(t\right)={{\mathrm{\α}}^3\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$E_3\left(t\right)={{\mathrm{\α}}^5\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$\begin{array}{c}(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\end{array}$

$E_m\left(t\right)={{\mathrm{\α}}^{2m-1}\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

其中，α₁为不计厚度薄玻璃板6的透射系数，d为直流稳压电源4在供电过程中，平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间的距离，θ为光束透过不计厚度薄玻璃板6时的折射角，m为正整数，n为平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间介质的折射率；

光电探测器12接收到的总光场为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+E₂(t)+…+E_m(t)，

则光电探测器12输出的光电流为：

$I=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\frac{1}{2}[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+E_2\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)]{[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+E_2\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)]}^{*}\mathrm{ds}$

$=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}[\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{E_j}^2\left(t\right)+\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))]\mathrm{ds},$

其中，e为电子电量，η为量子效率，h为普朗克常数，v为激光频率，Z为光电探测器12表面介质的本征阻抗，S为光电探测器12光敏面的面积；

对上式进行整理获得中频电流为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))\mathrm{ds},$

将所有光场的公式代入上式，获得计算结果为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))\mathrm{ds},$

忽略1/c³的小项之后上式简化为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos [\frac{4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0}{c}-\frac{2\mathrm{pnd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c}],$

式中p和j为正整数；

根据上式，将干涉信号的频率记为：

$f_p=4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=2\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=K_{p}d,$

式中 $K_p=2\mathrm{pn}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right),$

则平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间的距离d为：

d＝f_p/K_p，

当d改变时，根据d＝f_p/K_p计算获得对应d的待测铁镍合金样品3的长度变化量Δd，然后对Δd加权平均，获得最终的距离变化量Δd，该Δd即为Δl。

本实施方式中平面反射镜5通过镀膜使其反射率与不计厚度薄玻璃板6的反射系数也为α。上述公式中带*的变量表示复共轭。

由于忽略了不计厚度薄玻璃板6的厚度，不考虑由于厚度带来的影响，光束在透过不计厚度薄玻璃板6后，会在平面反射镜5与不计厚度薄玻璃板6之间不断的透射和反射。

由于振镜10做简谐振动，其振动方程和速度方程分别是x(t)＝x₀cos(ω_ct)和v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)，式中x₀为多普勒振镜振动的振幅，ω_c为多普勒振镜的角频率，c为光速，t为时间。因此，基于多普勒效应，经不计厚度薄玻璃板6的反射光的频率为：

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)。

图2所示，由于平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间会不断地反射和透射，而这种反射和透射对于反射光和透射光在无穷远处或透镜焦平面上的干涉都有贡献，所以在讨论干涉现象时，必须考虑多次反射和透射效应，即应讨论多光束激光干涉。

本实施方式的实施是在不考虑不计厚度薄玻璃板6自身厚度的情况下实施的，获得的不计厚度薄玻璃板6的m束透射光的光场为经不计厚度薄玻璃板6透射的光在不同时刻被平面反射镜5的反射面多次反射后的表达形式。

对中频电流的获得方法只考虑了交流项，此交流项通常称为中频电流，其直流项在经过带通滤波器13-1后被滤除，此带通滤波器13-1选为带低通滤波器。

由忽略1/c³的小项之后的简化公式可以看到，多光束外差测量法获得的中频项频率差以及相位差中都有不计厚度薄玻璃板6的厚度的信息。本实施方式主要针对中频项中频率差进行分析，因为采用傅里叶变换很容易实现频率测量。此时，可以把干涉信号的频率记为：

$f_p=4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=2\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=K_{p}d.$

由于光电探测器12输出的光电流是由不同谐波组成的，每一项分别对应着频率的自然倍数，也就是说相邻频率差为固定值，经傅里叶变换之后在频谱上可以看到不同谐波频率波峰，通过测量不同谐波频率，就可以测出不计厚度薄玻璃板6和平面反射镜5之间的距离d，当d改变时，测出对应d的变化量Δd，然后对Δd加权平均，这样处理之后就可以提高Δd的测量精度，知道了Δd就可以根据式α＝Δl/l计算得到待测样品磁致伸缩系数。

仿真实验：

利用MATLAB软件模拟测量了长200mm的待测铁镍合金样品3的磁致伸缩系数，并验证多光束激光外差测量方法的可行性。所使用的H₀固体激光器8波长λ＝2050nm，此激光对人眼安全；激励线圈2为200匝/cm；通常情况下平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间介质的折射率取n＝1；光电探测器12的光敏面孔径为R＝1mm。灵敏度1A/W。取多普勒振镜振幅为0.0001m。在实验过程中，要求加在激磁线圈的电流不会发生磁饱和。

通过仿真可以看到，经信号处理得到的多光束激光外差信号的傅里叶变换频谱如图3所示，其中实线为激光斜入射情况下，测量待测铁镍合金样品3长度变化量Δl时对应多光束激光外差信号的傅里叶变换频谱；虚线为激光正入射情况下，测量待测铁镍合金样品3长度变化量Δl时对应多光束激光外差信号的傅里叶变换频谱。

从图3中实线可以看出，多光束激光外差信号的频谱分布，其频谱是等间隔分布的，与前面理论分析是相符的。同时，从图3中还可以看到，实验中给出了正入射的情况下的理论曲线，目的是：在多光束激光外差信号频谱图中，可以同时得到斜入射时多光束激光外差信号频谱第一个主峰的中心频率和正入射时理论曲线的中心频率的数值，这样，很容易得到的两个中心频率的比值：

ζ＝cosθ，

在得到中心频率的情况下，通过上式可以算出激光经不计厚度薄玻璃板6后折射角θ的大小，由于不计厚度薄玻璃板6的厚度可以忽略，因此入射角θ₀近似等于折射角θ的大小为：

${\mathrm{\θ}}_0\stackrel{\·}{=}\mathrm{\θ}=\arccos \mathrm{\ζ},$

求解比例系数K的数值，最终获得平面反射镜5和不计厚度薄玻璃板6之间距离变化量Δd的值，由于Δd＝Δl，从而根据式α＝Δl/l可以计算出任意入射角情况下铁镍合金样品的磁致伸缩系数。

需要说明的是：在理论推导过程中，忽略了不计厚度薄玻璃板6的厚度，即不考虑器不计厚度薄玻璃板6后表面的反射光对外差信号的影响，但实际上薄玻璃板的厚度是存在的，一般小于1mm，为克服这种影响，由于不计厚度薄玻璃板6后表面的反射光产生的多光束外差信号的频率分布在频谱的零频附近，在实验光路中加入带通滤波器就可以滤除低频外差信号的干扰。利用上述多光束激光外差测量法，连续模拟了八组数据，得到了不同电流情况下待测样品磁致伸缩系数的仿真结果，如表1所示。

表1不同电流情况下，磁致伸缩系数的实际值和仿真值

测量次数	1	2	3	4	5	6	7	8
									I(mA)	10.00	20.00	30.00	40.00	50.00	60.00	70.00	80.00
ΔlActual(μm)	0.25	0.50	0.75	1.00	1.25	1.50	1.75	2.00
									αActual(×10-6)	1.25	2.50	3.75	5.00	6.25	7.50	8.75	10.00
Δli(μm)	0.249197	0499012	0.751032	1.000847	1.250661	1.500476	1.750291	2.000106
									α(×10-6)	1.245987	2.495060	3.755158	5.004233	6.253306	7.502381	8.751454	10.000528

说明：利用表1的仿真实验数据，根据式α＝Δl/l可以计算出不同电流情况下磁致伸缩系数的仿真值，最终得到仿真结果的最大相对误差为0.3％，由此看出该方法的精度是非常高的。同时，分析数据还显示，在电流稳定的情况下，环境带来的系统误差和读数误差在仿真中是可以忽略的，仿真实验中的误差主要来自于快速傅里叶变换(FFT)后的精度误差和计算过程中的舍入误差。

本发明通过在光路中引入振镜10，使不同时刻入射的光信号附加了一个光频，这样经过不计厚度薄玻璃板6的反射光和平面反射镜5多次反射的光在满足干涉的条件下，产生多光束外差干涉信号，从而将待测信息成功地调制在中频外差信号的频率差中。在模拟样品磁致伸缩系数过程中，此方法在频域同时得到了包含金属长度变化量的信息的多个频率值，信号解调后得到多个长度变化量，通过加权平均可以得到精确的样品长度随电流的变化量。以铁镍合金为例进行模拟，磁致伸缩系数测量的相对误差小于0.3％，显著提高了磁致伸缩系数的精度。

Claims (8)

1.一种多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，其特征在于：该装置由第一固定棒(1-1)、第二固定棒(1-2)、激励线圈(2)、待测铁镍合金样品(3)、直流稳压电源(4)、平面反射镜(5)、不计厚度薄玻璃板(6)、偏振分束镜PBS(7)、H₀固体激光器(8)、四分之一波片(9)、振镜(10)、会聚透镜(11)、光电探测器(12)和信号处理系统(13)组成，

直流稳压电源(4)用于给激励线圈(2)提供工作电源，待测铁镍合金样品(3)居中放置在激励线圈(2)内，待测铁镍合金样品(3)的一端固定连接第一固定棒(1-1)的一端，该第一固定棒(1-1)的另一端固定设置，待测铁镍合金样品(3)的另一端固定连接第二固定棒(1-2)的一端，该第二固定棒(1-2)的另一端粘接平面反射镜(5)的非反射面，平面反射镜(5)的反射面与待测铁镍合金样品(3)的轴线垂直；第一固定棒(1-1)和第二固定棒(1-2)大小相同，并且两根固定棒、待测铁镍合金样品(3)和激励线圈(2)同轴设置；在平面反射镜(5)的反射面一侧距离d处，与该平面反射镜(5)平行设置有不计厚度薄玻璃板(6)；

H₀固体激光器(8)发出的线偏振光经偏振分束镜PBS(7)反射后入射至四分之一波片(9)，经该四分之一波片(9)透射后的光束入射至振镜(10)的光接收面，经该振镜(10)反射的光束再次经四分之一波片(9)透射后发送至偏振分束镜PBS(7)，经该偏振分束镜PBS(7)透射后的光束入射至不计厚度薄玻璃板(6)，经该不计厚度薄玻璃板(6)透射之后的光束入射至平面反射镜(5)的反射面，经该平面反射镜(5)反射后的光束再次经不计厚度薄玻璃板(6)透射获得透射光，该透射光与经不计厚度薄玻璃板(6)的光入射面反射后的光束均通过会聚透镜(11)汇聚至光电探测器(12)的光敏面上，所述光电探测器(12)输出电信号给信号处理系统(13)。

2.根据权利要求1所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，其特征在于：所述距离d为20mm。

3.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，其特征在于：所述第一固定棒(1-1)和第二固定棒(1-2)的两个端面均粘固有非磁性材料。

4.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，其特征在于：所述第一固定棒(1-1)的另一端固定设置为：第一固定棒(1-1)的另一端固定在工作台上或固定件上。

5.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，其特征在于：所述振镜(10)为多普勒振镜，其振动方程和速度方程分别是x(t)＝x₀cos(ω_ct)和v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)，式中x₀为多普勒振镜振动的振幅，ω_c为多普勒振镜的角频率，c为光速，t为时间。

6.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置，其特征在于：所述信号处理系统(13)由带通滤波器(13-1)、前置放大器(13-2)、模数转换器A/D(13-3)和数字信号处理器DSP(13-4)组成，

所述带通滤波器(13-1)对接收到的光电探测器(12)输出的电信号进行滤波之后发送给前置放大器(13-2)，经前置放大器(13-2)放大之后的信号输出给模数转换器A/D(13-3)，所述模数转换器A/D(13-3)将转换后的信号发送给数字信号处理器DSP(13-4)。

7.采用权利要求1所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的装置实现多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的方法，其特征在于该方法的过程为：

首先，将待测铁镍合金样品(3)进行交流退磁；利用二维调整架调节平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)的位置，使平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)相互平行、等高，并使不计厚度薄玻璃板(6)与平面反射镜(5)的反射面之间的距离d为20mm；

然后，调整直流稳压电源(4)，使其输出电流最小，并打开振镜(10)的驱动电源使振镜(10)开始做简谐振动；同时，打开H₀固体激光器(8)，

最后，调整直流稳压电源(4)的输出电流，使其输出电流I单调上升，在此过程中，信号处理系统(13)连续采集光电探测器(12)输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)之间的距离变化量，根据该距离变化量获得待测铁镍合金样品(3)的磁致伸缩系数：

α＝Δl/l，

式中，Δl/为待测铁镍合金样品(3)在磁场中的长度变化量，即为平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)之间的距离变化量，l为待测铁镍合金样品(3)的原始长度。

8.根据权利要求7所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差测量磁致伸缩系数的方法，其特征在于：对所述信号处理系统(13)连续采集光电探测器(12)输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)之间的距离变化量的过程为：

经偏振分束镜PBS(7)透射后的光束入射至不计厚度薄玻璃板(6)的入射角为θ₀，此时的入射光场为：

E(t)＝E_lexp(iω₀t)，

式中E_l为常数，i表示虚数，ω₀为激光角频率；

不计厚度薄玻璃板(6)的反射光的频率为：

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)；

则在t-L/c时刻到达不计厚度薄玻璃板(6)表面并被该表面反射的反射光的光场为：

E₀(t)＝αE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-L/c))/c)

(t-L/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-L/c))/c]}

式中α为不计厚度薄玻璃板(6)和平面反射镜(5)的反射系数，L为振镜(10)到不计厚度薄玻璃板(6)之间的距离；

经不计厚度薄玻璃板(6)透射的光在不同时刻被平面反射镜(5)连续反射m次，获得透过不计厚度薄玻璃板(6)的m束透射光的光场分别为：

$E_1\left(t\right)={\mathrm{\α\α}}_1^2{E}_1\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$E_2\left(t\right)={\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_c(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+4\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$E_3\left(t\right)={\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)$

$(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+6\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

$\begin{array}{c}.\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ E_m\left(t\right)={\mathrm{\α}}^{2m-1}{\mathrm{\α}}_1^2{E}_l\exp \left\{i\right[{\mathrm{\ω}}_0(1-2{\mathrm{\ω}}_c{x}_c\sin \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c)\end{array}$

$(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)+{\mathrm{\ω}}_0{x}_0\cos \left({\mathrm{\ω}}_c(t-(L+2\mathrm{mnd}\cos \mathrm{\θ})/c)\right)/c\left]\right\},$

其中，α₁为不计厚度薄玻璃板(6)的透射系数，d为直流稳压电源(4)在供电过程中，平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)之间的距离，θ为光束透过不计厚度薄玻璃板(6)时的折射角，m为正整数，n为平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)之间介质的折射率；

光电探测器(12)接收到的总光场为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+E₂(t)+…+E_m(t)，

则光电探测器(12)输出的光电流为：

$I=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\frac{1}{2}[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+E_2\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)]{[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+E_2\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)]}^{*}\mathrm{ds}$

$=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}[\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{E_j}^2\left(t\right)+\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))]\mathrm{ds},$

其中，e为电子电量，η为量子效率，h为普朗克常数，v为激光频率，Z为光电探测器(12)表面介质的本征阻抗，S为光电探测器(12)光敏面的面积；

对上式进行整理获得中频电流为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))\mathrm{ds},$

将所有光场的公式代入上式，获得计算结果为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}(E_j\left(t\right){E_{j+p}}^{*}\left(t\right)+{E_j}^{*}\left(t\right)E_{j+p}\left(t\right))\mathrm{ds},$

忽略1/c³的小项之后上式简化为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos [\frac{4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{{2\mathrm{\ω}}_0{x}_0}{c}-\frac{2\mathrm{pnd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c}],$

式中p和j为正整数；

根据上式，将干涉信号的频率记为：

$f_p=4\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=2\mathrm{pnd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=K_{p}d,$

式中 $K_p=2\mathrm{pn}{\cos \mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right),$

则平面反射镜(5)和不计厚度薄玻璃板(6)之间的距离d为：

d＝f_p/K_p，

当d改变时，根据d＝f_p/K_p计算获得对应d的待测铁镍合金样品(3)的长度变化量Δd，然后对Δd加权平均，获得最终的距离变化量Δd，该Δd即为Δl。

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