CN102331234A - 多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法 - Google Patents

Abstract

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法，它涉及多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法。它为解决现有基于多光束激光外差检测的动态测角算法采集的激光差频信号质量和信号处理的运算速度均不理想的问题而提出。所述方法为：调节平面反射镜和待测厚度玻璃板的位置；振镜做简谐振动的同时打开激光器；信号处理系统连续采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得待测厚度玻璃板的厚度。它具有采集的激光差频信号质量高和信号处理的运算速度快的突出优点。它可以广泛的应用于激光雷达、机械、仪器仪表和电子产品制造业中。

Description

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法

技术领域

本发明涉及多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法，属于微位移检测技术领域。

背景技术

精密玻璃厚度测量是工程领域一直需要面对和解决的问题。随着科学技术的发展，厚度测量方法不断的推陈出新，包括光学测量法、干涉测量法和衍射法等。利用这些方法一般都不能达到高准确度角度测量的要求。

由于光学测角由于具有非接触性、精度高和结构简单等特点而备受人们的重视，因此使用光学测角的方法得到了越来越广泛的应用。正是基于此种情况，我们提出了一种基于多光束激光外差检测的动态测角算法，其特点是不需要动镜的方向信息，可以在满足精度的同时实现大范围倾角检测。

但是上述基于多光束激光外差检测的动态测角算法采集的激光差频信号质量和信号处理的运算速度均不理想。

发明内容

本发明为了解决现有基于多光束激光外差检测的动态测角算法采集的激光差频信号质量和信号处理的运算速度均不理想的问题，而提出的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法。

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法，所述装置由激光器、偏振分束镜PBS、四分之一波片、振镜、平面反射镜、待测厚度玻璃板、会聚透镜、光电探测器和信号处理系统组成，

激光器发出的线偏振光经偏振分束镜PBS反射后入射至四分之一波片，经该四分之一波片透射后的光束入射至振镜的光接收面，经该振镜反射的光束再次经四分之一波片透射后发送至偏振分束镜PBS，经该偏振分束镜PBS透射后的光束入射至平面反射镜的反射面，经该平面反射镜反射后的光束入射至待测厚度玻璃板，经该待测厚度玻璃板前表面透射的光束在该待测厚度玻璃板内、经该待测厚度玻璃板后表面多次反射后获得多束反射光，该多束反射光经该待测厚度玻璃板的前表面透射之后与经该待测厚度玻璃板前表面反射后的光束均通过会聚透镜汇聚至光电探测器的光敏面上，所述光电探测器输出电信号给信号处理系统。

采用上述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置及方法实现玻璃厚度测量的方法，该方法的过程为：

首先，利用二维调整架调节平面反射镜和待测厚度玻璃板的位置，使平面反射镜的反射光入射到待测厚度玻璃板的中心位置；

然后，打开振镜的驱动电源使振镜开始做简谐振动；同时，打开激光器；开始测量，在测量过程中，通过信号处理系统连续采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得待测厚度玻璃板的厚度d，

d＝f/K，

式中f为干涉信号的频率，K为比例系数。

本申请所述测量装置及方法不但具有传统光学测角技术具有非接触性、精度高和结构简单等优点，还具有采集的激光差频信号质量高和信号处理的运算速度快的突出优点。本申请通过在光路中加入振镜4，振镜4在正弦驱动信号作用下作简谐振动，可以对不同时刻入射到其前表面的光进行频率调制，把待测厚度玻璃6的信息加载到外差信号二次谐波的频率差中，通过傅里叶变化就可以解调出待测厚度玻璃6信息，且测量精度极高。将激光外差技术和激光多普勒技术结合使用，将两种技术的优势很好的应用到了玻璃厚度的检测上，使得调制、检测、处理简单易行。

本申请所述方法是一种良好的非接触测量玻璃厚度的方法，可以应用在恶劣测量环境上。应用此方法测量玻璃厚度时具有精度高，线形度好，测量速度快等优势。仿真结果表明，该方法在测量不同玻璃厚度时，测量误差小于0.08％，说明该方法应用是可行、可靠的，能够满足微小玻璃厚度测量的要求，为许多工程领域提供了很好的测量手段，可以广泛的应用于激光雷达、机械、仪器仪表和电子产品制造业中。

附图说明

图1为本发明所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置的结构示意图；

图2为待测厚度玻璃板的多光束激光干涉原理图；

图3为多光束激光外差二次谐波信号的傅里叶变换频谱图；

图4为测量不同玻璃厚度测量对应的傅里叶变换频谱；图中最左边谱线表示待测玻璃厚度为1mm依次按照步长2mm增加到最后边谱线为待测玻璃厚度为15mm

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置，该装置由激光器1、偏振分束镜PBS2、四分之一波片3、振镜4、平面反射镜5、待测厚度玻璃板6、会聚透镜7、光电探测器8和信号处理系统9组成，激光器1发出的线偏振光经偏振分束镜PBS2反射后入射至四分之一波片3，经该四分之一波片3透射后的光束入射至振镜4的光接收面，经该振镜4反射的光束再次经四分之一波片3透射后发送至偏振分束镜PBS2，经该偏振分束镜PBS2透射后的光束入射至平面反射镜5的反射面，经该平面反射镜5反射后的光束入射至待测厚度玻璃板6，经该待测厚度玻璃板6前表面透射的光束再被该待测厚度玻璃板6后表面反射获得反射光，该反射光与经该待测厚度玻璃板6前表面反射后的光束均通过会聚透镜7汇聚至光电探测器8的光敏面上，所述光电探测器8输出电信号给信号处理系统9。

本实施方式中的振镜4可以对不同时刻入射到其表面的激光频率进行正弦调制。

本实施方式所述装置在使用时，首先，打开激光器1，使线偏振光依次经过偏振分束镜PBS2和四分之一波片3后照射到振镜4前表面上，而不同时刻被振镜4调制的反射光又经过四分之一波片3后透过偏振分束镜PBS2斜入射到粘贴在标准梁上的平面反射镜5表面上，反射光经待测厚度玻璃板6前表面透射的光被待测厚度玻璃板6的后表面反射后与经过待测厚度玻璃板6前表面反射的光一起被会聚透镜7会聚到光电探测器8的光敏面上，最后经光电探测器8光电转换后的电信号经过信号处理系统9后得到不同时刻待测的参数信息。这样，就可以通过多普勒振镜正弦调制调制多光束激光外差二次谐波法测得玻璃厚度。

具体实施方式二：本实施方式为对实施方式一的进一步说明，所述激光器1为H₀固体激光器。

具体实施方式三：本实施方式为对实施方式一、二或三的进一步说明，所述信号处理系统9由滤波器9-1、前置放大器9-2、模数转换器A/D9-3和数字信号处理器DSP9-4组成，

所述滤波器9-1对接收到的光电探测器8输出的电信号进行滤波之后发送给前置放大器9-2，经前置放大器9-2放大之后的信号输出给模数转换器A/D9-3，所述模数转换器A/D9-3将转换后的信号发送给数字信号处理器DSP9-4。

具体实施方式四：本实施方式为对实施方式一至三的进一步说明，所述振镜4为多普勒振镜，其简谐振动方程为：

x(t)＝x₀cos(ω_ct)，

式中x₀为多普勒振镜振动的振幅，ω_c为多普勒振镜的角频率，c为光速，t为时间，

其速度方程为：

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)。

具体实施方式五：结合图1说明本实施方式，本实施方式为多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置实现玻璃厚度测量的方法，所述方法的过程为：

首先，利用二维调整架调节平面反射镜5和待测厚度玻璃板6的位置，使平面反射镜5的反射光入射到待测厚度玻璃板6的中心位置；

然后，打开振镜4的驱动电源使振镜4开始做简谐振动；同时，打开激光器1；开始测量，在测量过程中，通过信号处理系统9连续采集光电探测器8输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得待测厚度玻璃板6的厚度d，

d＝f/K，

式中f为二次谐波信号的频率，K为比例系数。

具体实施方式六：结合图1至图4说明本实施方式，本实施方式与具体实施方式五不同点在于

对所述通过信号处理系统9连续采集光电探测器8输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得待测厚度玻璃板6的厚度d的过程中，所述频率f和比例系数K是采用下述方法获得：由于光束在待测厚度玻璃板6的前后表面之间会不断地反射和折射，光混频由激光在待测厚度玻璃板6前表面的反射光与待测厚度玻璃板6后表面反射k次和k+1次后的透射出待测厚度玻璃板6前表面产生的幅度相差2～3个数量级的两个差频信号，经过傅里叶变换后，为了能够采集到较好的激光差频信号和提高信号处理的运算速度，

所述测量方法中的二次谐频差为检测待测厚度玻璃板6后表面k次反射的E_k与待测厚度玻璃板6后表面k+2次反射后的E_k+2光混频所形成；

当激光以入射角θ₀斜入射待测厚度玻璃板6前表面时的入射光场为

E(t)＝E_lexp(iω₀t)                  公式1

振镜4的简谐振动方程为

x(t)＝x₀cos(ω_ct)                   公式2

振镜4的速度方程为

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)               公式3

由于振镜4的运动，反射光的频率变为

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)        公式4

上述公式中参数ω₀为激光角频率，参数x₀为振镜4振动的振幅，参数ω_c为振镜4的角频率，参数c为光速；

则t-l/c时刻到达待测厚度玻璃板6前表面的反射光场为：

E₀(t)＝α₀E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-L/c))/c)

                                                        公式5

(t-L/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-L/c))/c]}

式中，参数α₀＝r，r为待测厚度玻璃板6的反射系数。l为振镜4到待测厚度玻璃板6前表面的光程，E_l为振幅常数；

经待测厚度玻璃板6透射的光在不同时刻被待测厚度玻璃板6后表面反射m次而透射出待测厚度玻璃板6后，获得m束反射光的表达式分别写成如下形式：

E₁(t)＝α₁E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c]}

E₂(t)＝α₂E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+4ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c]}

E₃(t)＝α₃E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+6ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c]}    公式6

.

.

.

E_m(t)＝α_mE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2mndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c]}

其中，参数α₁＝ββ’r’，...，α_m＝ββ’r’^(2m-1)，β为待测厚度玻璃板6前表面的透射系数，β′为光透射出待测厚度玻璃板6时的透射系数，r′为待测厚度玻璃板6内部前后表面反射光的反射系数，θ为光束光从周围介质入射待测厚度玻璃板6前表面时的折射角，下标m取值为0，1，2......，n为待测厚度玻璃板6的折射率，d为待测厚度玻璃板6的厚度；

光电探测器8接收到的总光场表示为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+…+E_m(t)              公式7

则光电探测器8输出的光电流表示为：

$I=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\frac{1}{2}[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+\·\·\·+E_m\left(t\right)+\·\·\·]{[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+\·\·\·+E_m\left(t\right)+\·\·\·]}^{*}\mathrm{ds}$ 公式8

其中，参数e为电子电量，参数Z为光电探测器8表面介质的本征阻抗，参数η为量子效率，参数S为光电探测器8光敏面的面积，参数h为普朗克常数，参数v为激光频率，*号表示复数共轭；

由于原理部分我们指出只考虑E_k和E_k+2光混频所产生的二次谐波差频信号，直流项经过低通滤波器后可以滤除，因此，这里只考虑交流项，此交流项通常称为中频电流，所述整理得到二次谐波中频电流为：

$I_{\mathrm{if}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{s}{\∫\∫}\underset{p=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(E_p\left(t\right){E_j}^{*}\left(t\right)+{E_p}^{*}\left(t\right)E_j\left(t\right))\mathrm{ds}$ 公式9

将公式5和公式6代入公式9，最终结果为：

$\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos [\frac{8\mathrm{nd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_0{x}_0}{c}-\frac{4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c}\\ -\frac{8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0(l+2\mathrm{pnd}\cos \mathrm{\θ})}{c^3}]\end{array}$ 公式10

忽略1/c³的小项之后简化为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos (\frac{8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_0{x}_0-4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c})$ 公式11

其中，参数p和j均为非负整数；

根据公式9，把激光外差二次谐波信号的频率f记为：

$f=8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=4n{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0\cos \mathrm{\θ}/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=\mathrm{Kd}$ 公式12

根据公式11和公式12得知，激光外差二次谐波信号的频率f与待测厚度玻璃板6厚度d成正比，所述比例系数K为：

$K=4{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0\cos \mathrm{\θ}/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)$ 公式13

求得激光外差二次谐波信号的频率f和激光外差二次谐波信号的频率f与待测厚度玻璃板6厚度d之间的比例系数K后，根据d＝f/K，获得待测厚度玻璃板6的厚度。

仿真实验：

利用MATLAB来模拟仿真本申请所述方法，以采用H_o固体激光器的激光器1为例，其波长λ＝2050nm，此激光对人眼安全；通常情况下待测厚度玻璃的折射率n＝1.493983；光电探测器8的光敏面孔径为R＝1mm。探测器8灵敏度为1A/W，取多普勒振镜4的振幅x₀为0.0001m。

通过仿真可以看到，经信号处理得到的多光束激光外差二次谐波信号的傅里叶变换频谱如图3所示，其中实线为激光斜入射情况下，待测厚度玻璃板6的厚度d对应多光束激光外差二次谐波信号的傅里叶变换频谱；虚线为激光正入射情况下，待测厚度玻璃板6厚度d对应多光束激光外差二次谐波信号的傅里叶变换频谱。

从图3中可以看到，仿真实验中给出了正入射的情况下的理论曲线，目的是：在多光束激光外差二次谐波信号频谱图中，可以同时得到斜入射时多光束激光外差二次谐波信号频谱的中心频率和正入射时理论曲线的中心频率的数值，得到两个中心频率的比值：

ζ＝cosθ                  公式12

在得到中心频率的情况下，通过公式12可算出激光经待测厚度玻璃板6后折射角θ的大小，进而根据折射定律可以获得入射角θ₀的大小，最后通过公式11求得K的数值，最终获得待测厚度玻璃板6的厚度d。

同时，利用MATLAB仿真得到了在不同入射角θ₀的情况下，多光束激光外差测量待测厚度玻璃板6的厚度对应的多光束激光外差信号傅里叶变换频谱如图4所示，从图4中可以看出，随着厚度的增加，频谱的相对位置向高频方向移动即随着厚度的增加频率增加。原因在于：在玻璃入射角不变的情况下，比例系数K是一个常数，当厚度增加时，由于频率f与玻璃厚度d关系为f＝Kd，K不变的情况下，频率f和玻璃厚度d呈线性关系。因此，厚度增加时频率也随之增加即随着厚度的增加，频谱的相对位置向高频方向移动，图4很好地验证了前面理论分析的正确性。需要说明的是，由于外差探测是一种近衍射极限的探测方式，探测灵敏度极高，因此图4中外差信号的信噪比非常高。

利用上述正弦调制多光束激光外差二次谐波测量法，连续模拟了八组数据，得到了不同玻璃厚度的仿真结果，如表1所示。

表1不同玻璃厚度的实际值d和仿真值d_i

需要说明的是：利用表1的仿真实验数据，最终可以得到模拟结果的最大相对误差小于0.08％，可以看出该方法的测量精度是非常高的。同时，分析数据还可以看出，环境带来的系统误差和读数误差在仿真中是可以忽略的，仿真实验中的误差主要来自于快速傅里叶变换(FFT)后的精度误差和计算过程中的舍入误差。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (6)

1.多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置，其特征在于所述装置由激光器(1)、偏振分束镜PBS(2)、四分之一波片(3)、振镜(4)、平面反射镜(5)、待测厚度玻璃板(6)、会聚透镜(7)、光电探测器(8)和信号处理系统(9)组成，

激光器(1)发出的线偏振光经偏振分束镜PBS(2)反射后入射至四分之一波片(3)，经该四分之一波片(3)透射后的光束入射至振镜(4)的光接收面，经该振镜(4)反射的光束再次经四分之一波片(3)透射后发送至偏振分束镜PBS(2)，经该偏振分束镜PBS(2)透射后的光束入射至平面反射镜(5)的反射面，经该平面反射镜(5)反射后的光束入射至待测厚度玻璃板(6)，经该待测厚度玻璃板(6)前表面透射的光束在该待测厚度玻璃板(6)内、经该待测厚度玻璃板(6)的后表面和前表面多次反射后获得多束反射光，该多束反射光经该待测厚度玻璃板(6)的前表面透射之后与经该待测厚度玻璃板(6)前表面反射后的光束均通过会聚透镜(7)汇聚至光电探测器(8)的光敏面上，所述光电探测器(8)输出电信号给信号处理系统(9)。

2.根据权利要求1所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置，其特征在于：所述激光器(1)为H₀固体激光器。

3.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置，其特征在于：所述信号处理系统(9)由滤波器(9-1)、前置放大器(9-2)、模数转换器A/D(9-3)和数字信号处理器DSP(9-4)组成，

所述滤波器(9-1)对接收到的光电探测器(8)输出的电信号进行滤波之后发送给前置放大器(9-2)，经前置放大器(9-2)放大之后的信号输出给模数转换器A/D(9-3)，所述模数转换器A/D(9-3)将转换后的信号发送给数字信号处理器DSP(9-4)。

4.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置，其特征在于：所述振镜(4)为多普勒振镜，其简谐振动方程为：

x(t)＝x₀cos(ω_ct)，

式中x₀为振镜(4)振动的振幅，ω_c为振镜(4)的角频率，c为光速，t为时间，

其速度方程为：

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)。

5.采用权利要求1所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置实现玻璃厚度测量的方法，其特征在于该方法的过程为：

首先，利用二维调整架调节平面反射镜(5)和待测厚度玻璃板(6)的位置，使平面反射镜(5)反射光入射到待测厚度玻璃板(6)中心位置；

然后，打开振镜(4)的驱动电源使振镜(4)开始做简谐振动；同时，打开激光器(1)；开始测量，在测量过程中，通过信号处理系统(9)连续采集光电探测器(8)输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得待测厚度玻璃板(6)的厚度d，

d＝f/K，

式中f为二次谐波信号的频率，K为比例系数。

6.根据权利要求5所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量玻璃厚度的装置实现玻璃厚度测量的方法，其特征在于对所述通过信号处理系统(9)连续采集光电探测器(8)输出的电信号，并对采集到的信号进行处理，获得待测厚度玻璃板(6)的厚度d的过程中，所述频率f和比例系数K是采用下述方法获得：

由于光束在待测厚度玻璃板(6)的前后表面之间会不断地反射和折射，光混频由激光在待测厚度玻璃板(6)前表面的反射光与待测厚度玻璃板(6)后表面反射k次和k+1次后的透射出待测厚度玻璃板(6)前表面产生的幅度相差2～3个数量级的两个差频信号，所述测量方法中的二次谐频差为检测待测厚度玻璃板(6)后表面k次反射的E_k与待测厚度玻璃板(6)后表面k+2次反射后的E_k+2光混频所形成；

当激光以入射角θ₀斜入射待测厚度玻璃板(6)前表面时的入射光场为

E(t)＝E_lexp(iω₀t)                公式1

振镜(4)的振动方程为

x(t)＝x₀cos(ω_ct)                 公式2

振镜(4)的速度方程为

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)             公式3

由于振镜(4)的运动，反射光的频率变为

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)      公式4

上述公式中参数ω₀为激光角频率，参数x₀为振镜(4)振动的振幅，参数ω_c为振镜(4)的角频率，参数c为光速；

则t-l/c时刻到达待测厚度玻璃板(6)前表面的反射光场为：

E₀(t)＝αE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-l/c))/c)

                                                        公式5

(t-l/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-l/c))/c]}

式中，参数α₀＝r，r为待测厚度玻璃板(6)的反射系数；l为振镜(4)到待测厚度玻璃板(6)前表面的光程，E_l为振幅常数；

经待测厚度玻璃板(6)透射的光在不同时刻被待测厚度玻璃板(6)后表面反射m次而透射出待测厚度玻璃板(6)后，获得m束反射光的表达式分别写成如下形式：

E₁(t)＝α₁E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ωc(t-(l+2ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c]}

E₂(t)＝α₂E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+4ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c]}

E₃(t)＝α₃E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+6ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c]}             公式6

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E_m(t)＝α_mE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2mndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c]}

其中，参数α₁＝ββ’r’，...，α_m＝ββ’r’^(2m-1)，β为待测厚度玻璃板(6)前表面的透射系数，β′为光透射出待测厚度玻璃板(6)时的透射系数，r′为待测厚度玻璃板(6)内部前后表面反射光的反射系数，θ为光束光从周围介质入射待测厚度玻璃板(6)前表面时的折射角，下标m取值为0，1，2......，n为待测厚度玻璃板(6)的折射率，d为待测厚度玻璃板(6)的厚度；

光电探测器(8)接收到的总光场表示为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+…+E_m(t)                      公式7

则光电探测器(8)输出的光电流表示为：

$I=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\frac{1}{2}[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+\·\·\·+E_m\left(t\right)+\·\·\·]{[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+\·\·\·+E_m\left(t\right)+\·\·\·]}^{*}\mathrm{ds}$ 公式8

其中，参数e为电子电量，参数Z为光电探测器(8)表面介质的本征阻抗，参数η为量子效率，参数S为光电探测器(8)光敏面的面积，参数h为普朗克常数，参数v为激光频率，*号表示复数共轭；

整理得到外差信号二次谐波的中频电流为：

$I_{\mathrm{if}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{s}{\∫\∫}\underset{p=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(E_p\left(t\right){E_j}^{*}\left(t\right)+{E_p}^{*}\left(t\right)E_j\left(t\right))\mathrm{ds}$ 公式9

将公式5和公式6代入公式9，最终结果为：

$\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos [\frac{8\mathrm{nd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_0{x}_0}{c}-\frac{4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c}\\ -\frac{8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0(l+2\mathrm{pnd}\cos \mathrm{\θ})}{c^3}]\end{array}$ 公式10

忽略1/c³的小项之后简化为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos (\frac{8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_0{x}_0-4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c})$ 公式11

其中，参数p和j均为非负整数；

根据公式9，把激光外差二次谐波信号的频率f记为：

$f=8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=4n{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0\cos \mathrm{\θ}/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=\mathrm{Kd}$ 公式12

根据公式11和公式12得知，激光外差二次谐波信号的频率f与待测厚度玻璃板(6)厚度d成正比，所述比例系数K为：

$K=4{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0\cos \mathrm{\θ}/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)$ 公式13

求得激光外差二次谐波信号的频率f和激光外差二次谐波信号的频率f与待测厚度玻璃板(6)厚度d之间的比例系数K后，根据d＝f/K，获得待测厚度玻璃板(6)的厚度。

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