CN101881954A - 一种设定替代曲线的新插补方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开一种设定替代曲线的新插补方法,所述插补方法针对正弦函数类所需路径或轮廓线,包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线,通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量,且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单,对于同样的分段段数,完成运算所需时间少,相当于提高了插补运算速度;或者,在同等的运算时间内,允许增加曲线分段段数,从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单,这种方法可在单片计算机上实现,从而降低了插补器的成本。因此,这种插补方法速度快,精度高,装置成本低,具有极其广阔的市场前景。

Description

一种设定替代曲线的新插补方法
【技术领域】
本发明属于计算机数控领域,尤其是涉及一种控制物体运动轨迹的插补方法。
【背景技术】
1、插补的任务
数控系统广泛应用于机械运动轨迹的控制,可以控制机床、机器人、缝纫机、焊接机等的运动轨迹。所需轨迹或说所需路径或轮廓线的“插补”是数控技术的关键。
插补的任务就是在所需轨迹或说所需路径或轮廓线Q的二个已知点间插入若干个中间点,并确定所述中间点的位置坐标值。
插补所得结果将依次送给直线插补器;对应一组相邻二点的位置坐标值,直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列,并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动,产生一个直线段的运动轨迹。或者,插补所得结果直接以数值方式依次送给伺服系统,控制受控对象运动;对应一组相邻二点的位置坐标值,产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运动轨迹将是一个由上述直线段构成的折线,折线的起点、终点、交点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合。换句话说,在所需路径或轮廓线Q的二个端点间插入若干个中间点,将曲线Q上相邻二点以直线段连接,这些直线段构成的折线就是受控对象的预期运动轨迹。
由此可见,插补中确定中间点及其位置坐标值的目的就是确定受控对象的预期运动轨迹,使之尽可能接近所需路径或轮廓线Q。或者说,插补的目的就是确定所述的折线,也即受控对象的预期运动轨迹;以此拟合所需路径或轮廓线Q,且拟合误差不超过允许值。
2、现状
对于常见的正弦曲线、椭圆、圆弧等所需路径或轮廓线,准确确定所述中间点位置坐标值的运算涉及三角函数等比较复杂的计算。这样的计算,靠单片计算机很难完成,而由PC级计算机采用高级语言不难完成。然而,在运动控制装置中,如果作为整个装置控制核心配置的PC级计算机,直接由之承担插补的实时运算将占用大量资源,从而影响整个装置工作;如果专为插补工作配置PC级计算机,将导致装置成本提高。
当前,运动控制技术已广泛应用于各领域,甚至将进入普通家庭,如家用机器人等。基于现有插补方法的产品难以适应、满足飞速发展的、广阔的市场需求。可是,可以在单片计算机上快速、准确实现的插补方法,至今未见在公开资料上发表或在产品中使用。
【发明内容】
本发明的目的是针对正弦函数类所需路径或轮廓线,包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线,提出一种设定替代曲线的新插补方法,通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量,且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单,对于同样的分段段数,完成运算所需时间少,相当于提高了插补运算速度;或者,在同等的运算时间内,允许增加曲线分段段数,从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单,这种方法可在单片计算机上实现,从而降低了插补器的成本。因此,这种插补方法速度快,精度高,装置成本低,具有极其广阔的市场前景。
本发明的目的是按如下技术方案实现的:
1、本发明所述的一种设定替代曲线的新插补方法,其所针对的所需路径或轮廓线Q的位置坐标ΩP(p=1、2、3、……、mΩ)中包括有一个或若干个坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ),对应所述一个或若干个坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为Hk(k=1、2、3、……mΨ)、初始相位分别为αk(k=1、2、3、……、mΨ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数,其表达式为
Ψk(t)=Hksin(ωtk),            (k=1、2、3、……、mΨ),(1-1)
所述曲线Q对应坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)变化的以参数t为自变量的函数,
所述参数t可以是该曲线Q位置坐标ΩP(p=1、2、3、……、mΩ)中的一个坐标,也可以是这些坐标之外的另一个参数,
所述的所需路径或轮廓线Q指的是二个已知点间的曲线段,所述曲线Q各坐标函数的定义域相同,定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值。
当ω取值为1时,所述的正弦函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)的周期为2π。
某一t值所对应的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标值,就是同一t值所对应的所述坐标函数的函数值。针对所需路径或轮廓线Q的插补也就是针对其坐标函数ΩP(t)(p=1、2、3、……、mΩ)的插补,即在其各个坐标函数ΩP(t)(p=1、2、3、……、mΩ)的定义域二个端点间插入若干个中间点并确定对应所述中间点的坐标函数值。在对坐标函数插补中确定的中间点将所述定义域分成分段,每个分段定义域将对应一个线性函数,所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的坐标函数值相等。整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数;而坐标函数将以分段线性函数拟合。
申请人注意到,对所需路径或轮廓线Q进行插补时,为了提高拟合精度,或减小插补运算量,可以设定相应的替代曲线Qδ。在替代曲线Qδ的二个端点间插入若干个中间点,将替代曲线Qδ上相邻的二个点以直线段连接,用这些直线段构成的折线拟合二个已知点间的所需路径或轮廓线Q。为此,需通过插补确定所述替代曲线Qδ的中间点及其位置坐标值。
替代曲线Qδ的坐标函数ΩδP(t)(p=1、2、3、……、mΩ)称为替代坐标函数,或称为所述曲线Q的坐标函数ΩP(t)(p=1、2、3、……、mΩ)的替代坐标函数,或称为对应所述坐标ΩP(p=1、2、3、……、mΩ)的替代坐标函数。确定替代曲线Qδ中间点及其位置坐标值,就是确定相应替代坐标函数ΩδP(t)(p=1、2、3、……、mΩ)定义域的中间点及其函数值。在插补中确定的中间点将所述替代坐标函数定义域分成分段,每个分段定义域将对应一个线性函数。所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的替代坐标函数值相等。整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数;而所需路径或轮廓线Q的坐标函数将以所述分段线性函数拟合。
申请人还注意到,所述曲线Q或Qδ二个端点间的中间点的位置坐标值,可依据与之相邻的前一个中间点或所述曲线的起点其位置坐标值与位置坐标值增量之和决定,因此,插补中确定了中间点的位置坐标值增量,也就确定了相应中间点的位置坐标值。或者说,插补中确定了定义域中间点坐标函数值增量,也就确定了定义域相应中间点的坐标函数值。
针对坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)的插补步骤包括,
(1)设定对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ),
(2)确定替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域二个端点间的中间点,包括,
①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值,
②确定所述中间点的个数,
(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值,
(4)存储/输出运算结果。
本发明提出的插补方法,其特征在于:
(1)对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数设定为与相应的坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位αk(k=1、2、3、……、mΨ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数,其表达式为
Ψδk(t)=Hδksin(ωt+αk)    (k=1、2、3、……、mΨ),(1-2)
式中,Hδk=Hkk,          (k=1、2、3、……、mΨ),(1-3)
其中δk(k=1、2、3、……、mΨ)为替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)的幅值差,或说是对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的幅值差,其数值等于替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)幅值Hδk(k=1、2、3、……、mΨ)相对相应的坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)幅值Hk(k=1、2、3、……、mΨ)之差,
δk=Hδk-Hk,  (k=1、2、3、……、mΨ),(1-4)
δk≥0,        (k=1、2、3、……、mΨ),(1-5)
(2)将对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域分段,以分段的交点作为定义域的中间点,所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ),基于泰勒公式按下述展开式确定,
Ψ δA ( t u + 1 ) = Ψ δA ( t u ) + Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) - 1 2 Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ) 2 - 1 3 ! Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) 3 + . . . . . . +
+ 1 v ′ ! [ d v ′ dt v ′ ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T u ) v ′ ,
Φ δA ( t u + 1 ) = Φ δA ( t u ) - Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ) - 1 2 Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) 2 + 1 3 ! Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ) 3 + . . . . . . +
+ 1 v ′ ′ ! [ d v ′ ′ dt v ′ ′ ( Φ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T u ) v ′ ′ , - - - ( 1 - 7 ) 式中,①ΨA表示所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个坐标,A为序号k(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个序号,对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数分别为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),        (1-8)
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),    (1-9)
其中,δA=HAA,             (1-10)
δA为对应坐标ΨA的幅值差,
②u+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号,u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号,
以,n表示替代坐标函数ΨδA(t)定义域分段的段数,
以i(i=1、2、3、……、n)作为分段的序号,
以i(i=1、2、3、……、n,n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
u+1对应着序号i(i=2、3、……、n)中的某一个序号,
u对应着序号i(i=1,2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号,u+2对应着序号i(i=1,2、3、……、n,n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号,
所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点,
所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点,
③tu+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值,
tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值,
tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值,
t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
④ΔTu为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量,其数值为相应的所述参数t的增量Δtu的ω倍,
ΔTu=ωΔtu,   (1-11)
Δtu=tu+1-tu,  (1-12)
⑤ΨδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值,
⑥ΨδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值,
⑦ФδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑧ФδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑨v′+1为正整数,是展开式(1-6)的项数,
v′≥0,                (1-13)
⑩v″+1为正整数,是展开式(1-7)的项数,
v″≥0,                (1-14)
上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数ФδA(t)是为简化公式表述设定的函数,或说是一个与ΨδA(t)具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数,其表达式为
ФδA(t)=HδAcos(ωt+αA),,,(1-15)
ФδA(t)或说是虚拟坐标函数ФA(t)的替代坐标函数,而ФA(t)是对应坐标函数ΨA(t)设定的虚拟坐标函数,或说是一个与ΨA(t)具有相同幅值HA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数,其表达式为
ФA(t)=HAcos(ωt+αA), (1-16)
其中,HδA=HAA。     (1-17)
需要说明的是:
(1)所述方法中替代坐标函数幅值差的取值及替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值,可根据后述第4至7点中所述方法确定。展开式项数的确定等见第2点的相关说明。
(2)展开式(1-6)、(1-7)的依据
根据泰勒公式可知,
Ψ δA ( t u + 1 ) = Ψ δA ( t u ) + [ d dt ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ t u ) + 1 2 [ d 2 dt 2 ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ t u ) 2 +
+ 1 3 ! [ d 3 dt 3 ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ t u ) 3 + . . . . . . + 1 v ′ ! [ d v ′ dt v ′ ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t = ( u ) ( Δ t u ) v ′ + R Ψ =
= Ψ δA ( t u ) + ω Φ δA ( t u ) ( Δ T u ω ) - ω 2 ω Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ω ) 2 - ω 3 3 ! Φ δA ( t u ) ( Δ T u ω ) 3 +
+ . . . . . . + ω v ′ v ′ ! [ d v ′ dt v ′ ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T u ω ) v ′ + R Ψ ,
= Ψ δA ( t u ) + Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) - 1 2 Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ) 2 - 1 3 ! Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) 3 + . . . . . . +
+ 1 v ′ ! [ d v ′ dt v ′ ( Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T u ) v ′ + R Ψ , - - - ( 1 - 18 )
Φ δA ( t u + 1 ) = Φ δA ( t u ) + [ d dt ( Φ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ t u ) + 1 2 [ d 2 d t 2 ( Φ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ t u ) 2 +
+ 1 3 ! [ d 3 dt 3 ( Φ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ t u ) 3 + . . . . . + 1 v ′ ′ ! [ d v ′ ′ dt v ′ ′ ( Φ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ τ u ) v ′ ′ + R Φ =
= Φ δA ( t u ) - Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ) - 1 2 Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) 2 + 1 3 ! Ψ δA ( t u ) ( Δ T u ) 3 + . . . . . . +
+ 1 v ′ ′ ! [ d v ′ ′ dt v ′ ′ ( Φ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T u ) v ′ ′ + R Φ , - - - ( 1 - 19 )
其中,余项
R Ψ = 1 ( v ′ + 1 ) ! [ d v ′ + 1 dt v ′ + 1 ( Ψ δA ( t ) ) ] t = τ ′ ( Δ T u ) v ′ + 1 , - - - ( 1 - 20 )
R Φ = 1 ( v ′ ′ + 1 ) ! [ d v ′ ′ + 1 dt v ′ ′ + 1 ( Φ δA ( t ) ) ] t = τ ′ ′ ( Δ T u ) v ′ ′ + 1 , - - - ( 1 - 21 )
式中,①τ′的取值范围为
tu≤τ′≤tu+1,         (1-22)
②τ″的取值范围为
tu≤τ″≤tu+1,(1-23)
略去余项,或说将余项取值为0,即得式(1-6)、(1-7)。
2、如第1点所述的插补方法,其特点为:
(1)将对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数ΨδA(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域等分,以等分分段的交点作为定义域的中间点,
(2)所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值增量ΔΨδA(t)(k=1、2、3、……、mΨ),基于泰勒公式按下述展开式确定:
Δ Ψ δA ( t u + 1 ) = Ψ δA ( t u + 2 ) - Ψ δA ( t u + 1 ) =
= Ψ δA ( t u + 1 ) + Φ δA ( t u + 1 ) ( Δ T A ) - 1 2 Ψ δA ( t u + 1 ) ( Δ T A ) 2 - 1 3 ! Φ δA ( t u + 1 ) ( Δ T A ) 3 + . . . . . . -
- [ Ψ δA ( t u ) + Φ δA ( t u ) ( Δ T A ) - 1 2 Ψ δA ( Δ T A ) 2 - 1 3 ! Φ δA ( t u ) ( Δ T A ) 3 + . . . . . . ] =
= Δ Ψ δA ( t u ) + Δ Φ δA ( t u ) ( Δ T u ) - 1 2 Δ Ψ δA ( t U ) ( Δ T A ) 2 - 1 3 ! Δ Φ δA ( t u ) ( Δ T A ) 3 + . . . . . . +
+ 1 κ ′ ! [ d κ ′ dt κ ′ ( Δ Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T A ) κ ′ - - - ( 2 - 1 )
同理,
Δ Φ δA ( t u + 1 ) = Φ δA ( t u + 2 ) - Φ δA ( t u + 1 ) =
= Δ Φ δA ( t ) u - Δ Ψ δA ( t u ) ( Δ T A ) - 1 2 Δ Φ δA ( t u ) ( Δ T A ) 2 + 1 3 ! Δ Ψ δA ( t u ) ( Δ T A ) 3 + . . . . . . +
+ 1 κ ′ ′ ! [ d κ ′ ′ dt κ ′ ′ ( Δ Ψ δA ( t ) ) ] t = t ( u ) ( Δ T A ) κ ′ ′ , - - - ( 2 - 2 )
式中,①ΨA表示所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个坐标,A为序号k(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个序号,对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数分别为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),            (2-3)
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),        (2-4)
其中,HδA=HAA,                (2-5)
δA为对应坐标ΨA的幅值差,
②u+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号,u就是与之相邻的前一个中间点或定义域的起点的序号,
以,n表示替代坐标函数ΨδA(t)定义域分段的段数,
以i(i=1、2、3、……、n)作为分段的序号,
以i(i=1、2、3、……、n,n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
u+1对应着序号i(i=2、3、……、n)中的某一个序号,
u对应着序号i(i=1,2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号,
u+2对应着序号i(i=1,2、3、……、n,n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号,
所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点,
所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点,
③tu+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值,
tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值,
tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值,
t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
④ΔTA为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量,其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍,
ΔTA=ωΔτA,           (2-6)
⑤ΔΨδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值增量,
ΔΨδA(tu+1)=ΨδA(tu+2)-ΨδA(tu+1),(2-7)
其中,ΨδA(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值,
⑥ΔΨδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量,
ΔΨδA(tu)=ΨδA(tu+1)-ΨδA(tu),(2-8)
其中,ΨδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值,
⑦ΔФδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值增量,
ΔФδA(tu+1)=ФδA(tu+2)-ФδA(tu+1),           (2-9)
其中,ФδA(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟替代坐标函数值,
ФδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑧ΔФδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值增量,
ΔΨδA(tu)=ФδA(tu+1)-ФδA(tu),      (2-10)
其中,ФδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值,
ФδA(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑨κ′+1为正整数,是展开式(3-1)的项数,
κ′≥0,                 (2-11)
⑩κ″+1为正整数,是展开式(3-2)的项数,
κ″≥0,                 (2-12)
上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数ФδA(t)是为简化公式(3-1)、(3-2)的表述设定的函数,或说是一个与ΨδA(t)具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数,其表达式为
ФδA(t)=HδAcos(ωt+αA),                               (2-13)
ФδA(t)或说是虚拟坐标函数ФA(t)的替代坐标函数,而ФA(t)是对应坐标函数ΨA(t)设定的虚拟坐标函数,或说是一个与ΨA(t)具有相同幅值HA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数,其表达式为
ФA(t)=HAcos(ωt+αA),                                  (2-14)
其中,HδA=HAA。                                      (2-15)
对于上述第1或第2点所述的插补方法,需要说明的是:
(1)所述方法中替代坐标函数幅值差的取值及替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值或分段段数的取值可根据后述第4至7点所述方法确定。
(2)展开式项数的确定
在按展开式(1-6)、(1-7)或(2-1)、(2-2)确定ΨδA(tu+1)或ΔΨδA(tu+1)时略去了泰勒公式中的余项以简化计算。略去余项将导致插补结果误差。误差包括:
(i)略去余项将引起相应的ΨδA(tu+1)、ФδA(tu+1)或ΔΨδA(tu+1)、ΔФδA(tu+1)插补结果误差;
(ii)某个中间点的插补结果误差还将导致后续中间点的插补结果误差,因为后续中间点的位置坐标值或其增量是由前一个中间点的位置坐标值或其增量递推而得的。
由式(1-20)、(1-21)可知,所述展开式项数愈多,相应的余项绝对值愈小。换句话说,所述展开式项数愈多,略去余项导致的插补结果误差绝对值愈小。所述余项的数值大小还与ΨδA(t)的幅值及中间点所对应的参数t的等效增量等有关。
①查表法确定展开式应有的项数
例如,针对定义域是等分的替代坐标函数,将拟合误差允许值、ΨδA(t)幅值、中间点所对应的参数t的等效增量、函数值插补结果误差、展开式的项数之间的关系预先制成对应关系表。根据拟合误差允许值、ΨδA(t)幅值、参数t的等效增量、函数值插补结果误差允许值,即可查表确定展开式应有的项数。
②以第2点所述的插补方法为例,替代坐标函数ΨδA(t)表达式为
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),             (2-16)
式中,Hx=HAA,                     (2-17)
其定义域为[-(αA/ω)、(2π/ω)-(αA/ω)]。
所述的ΨδA(t)的定义域[-(αA/ω)、(2π/ω)-(αA/ω)]对应着ΨδA(t)的一个周期(2π/ω)。将定义域分为4段,每段对应1/4周期;各段的定义域分别为[-(αA/ω),(π/2ω)-(αA/ω)]、[(π/2ω)-(αA/ω)、(π/ω)-(αA/ω)]、[(π/ω)-(αA/ω)、(3π/2ω)-(αA/ω)]、[(3π/2ω)-(αA/ω)、(2π/ω)-(αA/ω)]。4段定义域按相同方法等分,等分分段的交点即为插补中设置的中间点。第1段定义域中间点的ΨδA(t)函数值增量可按照式(2-1)、(2-2)确定。根据第2、3、4段定义域相对第1段定义域[-(αA/ω),(π/2ω)-(αA/ω)]函数ΨδA(t)的对称性,第2、3、4段定义域中间点的ΨδA(t)函数值增量等于第1段定义域相应中间点的ΨδA(t)函数值增量(或者等于第1段相应中间点函数值增量的负值),无需再作计算。此时,第1段定义域中间点ΨδA(t)函数值插补结果误差绝对值的最大值,就是整个定义域中间点ΨδA(t)函数值插补结果误差绝对值的最大值。因此,分析所述展开式项数的取值,只需针对1/4周期所对应的一段定义域[-(αA/ω),(π/2ω)-(αA/ω)]进行即可。
分析表明,如果
(i)式(2-17)中的δA按后述式(7-1)取值,即将δA取值为拟合误差的允许值εA
δA=εA,                           (2-18)
(ii)根据后述式(7-4)确定ΔTA,取
T A | Δ T A | MAX = 4 × ϵ A H A - - - ( 2 - 19 )
(iii)展开式(2-1)、(2-2)项数取为4,或者说,取
κ=κ′=κ″=3;                  (2-20)
那么,当εA=0.125、0.5、1或2,      (2-21)
且1000000≥HA≥100,                 (2-22)
定义域中间点ΨδA(t)插补结果误差绝对值的最大值ζ的数值将比拟合误差允许值εA小一个数量级。换句话说,如果展开式(2-1)、(2-2)项数取为4,那么,略去余项引起的误差可以忽略不计。
经分析还可以知道,如果取
κ=κ′=κ″=2,                  (2-23)
所述的ζ将大致与εA在同一个数量级。
③所述展开式项数也可以用其他方法确定;例如,通过插补器之外的计算机预先计算确定,然后作为已知条件提供给插补器。
(3)原理上第1点所述方法或第2点所述方法都可用于确定中间点的位置坐标值。但是:
①第1点中参与递推运算的位置坐标值,要比第2点中参与递推运算的位置坐标值增量数值上大得多,或者说,前者的字长要比后者的字长大得多;因而,前者比后者对插补器资源的要求也就高得多。
②参与运算的数的小数部分的位数有限,将导致插补结果出现误差。位置坐标值的数值比其增量数值上大得多,因而,第1点所述方法比第2点所述方法由于小数部分位数有限所导致的误差的绝对值也大得多。为减小误差,前一种方法比后一种方法需相应增多小数部分的位数,从而对插补器资源提出更高的要求。
因此,第1点所述方法比第2点所述方法,对插补器资源的要求要高得多。
(4)参见图2。以序号为A的坐标函数ΨA(t)为例。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ΨA,且坐标轴t和ΨA构成了直角坐标系tOΨA;则所需路径或轮廓线就是平面tOΨA上幅值为HA、初始相位为αA、周期为(2π/ω)的的正弦曲线段ZA。其替代曲线就是平面tOΨA上幅值为HδA、初始相位为αA、周期为(2π/ω)的替代正弦曲线段ZδA
(5)参见图5。以序号为A的坐标函数ΨA(t)为例,虚拟坐标轴ФA和坐标轴ΨA构成了虚拟直角坐标系ФAA。坐标函数ΨA(t)与虚拟坐标函数ФA(t)在ФAA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧段CA。圆弧段CA上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴ФA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)与虚拟替代坐标函数ФδA(t)在ФAA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HδA的替代圆弧段CδA。替代圆弧段CδA上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴ФA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)定义域的端点与中间点对应着替代圆弧段CδA相应的端点与中间点。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
(6)如果所述坐标Ψk(k=1、……、mΨ)共有二个坐标Ψk(k=1、2)或说Ψ1、Ψ2,对应Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示为一组幅值分别为H1与H2、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α0的余弦函数与正弦函数,
Ψ 1 ( t ) = H 1 sin ( ωt + α 1 ) = H 1 sin ( ωt + α 0 + π 2 ) = H 1 cos ( ωt + α 0 ) , - - - ( 2 - 24 )
Ψ2(t)=H2sin(ωt+α2)=H2sin(ωt+α0),                 (2-25)
式中, α 1 = α 0 + π 2 , - - - ( 2 - 26 )
α2=α0;                                               (2-27)
那么,参见图7,在直角坐标系Ψ12下,所需路径或轮廓线即为Ψ12平面上中心在坐标轴原点O的椭圆弧段ZE。式中H1和H2为椭圆的半轴。椭圆弧段ZE上对应参数t的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ1轴的夹角即为(ωt+α0)。图中ZE是一个第一象限的椭圆弧段。
当H1=H2=R0,                                           (2-28)
所述的椭圆弧段ZE即成为半径为R0的圆弧段ZC
3、如第1或2点所述的插补方法,其特点为:
(1)所述坐标Ψk(k=1、……、mΨ)共有二个坐标Ψk(k=1、2)或说Ψ1、Ψ2,对应Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示为一组幅值相同为R0、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α0的余弦函数与正弦函数,其表达式为
Ψ 1 ( t ) = H 1 sin ( ωt + α 1 ) = R 0 sin ( ωt + α 0 + π 2 ) = R 0 cos ( ωt + α 0 ) - - - ( 3 - 1 )
Ψ2(t)=H2sin(ωt+α2)=R0sin(ωt+α0),                 (3-2)
式中,H1=H2=R0,                                       (3-3)
α 1 = α 0 + π 2 , - - - ( 3 - 4 )
α2=α0,                                               (3-5)
(2)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的替代坐标函数为Ψδ1(t)、Ψδ1(t)具有相同的幅值Rδ0,函数Ψδ1(t)、Ψε2(t)的表达式为
Ψδ1(t)=Hδ1cos(ωt+α0)=Rδ0cos(ωt+α0),             (3-6)
Ψδ2(t)=Hδ2sin(ωt+α0)=Rδ0sin(ωt+α0),             (3-7)
式中,Hδ1=Hδ2=Rδ0,                                   (3-8)
Hδ1=H11=Hδ2=H22=R0R,                       (3-9)
其中,δ1=δ2=δR,                      (3-10)
(3)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分为相同的nC个分段,或者说,替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量ΔτC或等效增量ΔTC
n1=n2=nC,                               (3-11)
Δτ1=Δτ2=ΔτC,                      (3-12)
ΔT1=ΔT2=ΔTC。                         (3-13)
由所述特点可知:
①在按第1或第2点所述的插补方法确定替代坐标函数值或其增量时,对应于坐标函数Ψ2(t)的虚拟坐标函数Ф2(t)就是坐标函数Ψ1(t),
Ф2(t)=R0cos(ωt+α0)=Ψ1(t),           (3-14)
对应于替代坐标函数Ψδ2(t)的虚拟替代坐标函数Фδ2(t)就是替代坐标函数Ψδ1(t),
Фδ2(t)=Ψδ1(t);                       (3-15)
因此,在在插补计算过程中,无需为Ψδ1(t)、Ψδ2(t)另设虚拟替代坐标函数。
②如果坐标轴Ψ1和Ψ2构成了直角坐标系Ψ12,则所需路径或轮廓线即为Ψ12平面上圆心在坐标轴原点O、半径为R0的圆弧段ZC。圆弧段ZC上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴Ψ1的夹角即为(ωt+α0)。每个等分圆弧段所对应的圆心角为
ΔTC=ωΔτC。                            (3-16)
替代曲线或说替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)在Ψ12平面上的图形就是半径为Rδ0的与ZC同心的替代圆弧段ZδC
所述图形可参见图5,所述的Ψ1、Ψ2、R0、Rδ0、α0、t、ZC、ZδC分别对应图中的ФA、ΨA、HA、Hδa、αA、t、CA、CδA。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
4、如上述第2点所述的插补方法,其特点为:对应所述坐标其幅值差的取值、其替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式,
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA,            (4-1)
| Δ T A | ≤ 8 × ϵ A + δ A × | sin ( ωt + α A ) | MAX H A × | sin ( ωt + α A ) | MAX , - - - ( 4 - 2 )
与公式(4-2)相应,其替代坐标函数定义域等分分段段数的取值满足下述公式,
n ≥ ω | t n + 1 - t 1 | × 1 8 × H A × | sin ( ωt + α A ) | MAX ϵ A + δ A × | sin | ( ωt + α A ) | | MAX , - - - ( 4 - 3 )
式中,①ΨA表示所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)中的某一个坐标,A是序号k(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个序号,对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数分别为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),                  (4-4)
ΨδA(t)=HδA sin(ωt+αA),             (4-5)
②δA为对应坐标ΨA的幅值差,
δA=HδA-HA,             (4-6)
③ΔTA为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量,其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍,
ΔTA=ωΔτA,            (4-7)
④n为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段的段数,
⑤t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
⑥|sin(ωt+αA)|MAX为在替代坐标函数ΨδA(t)定义域范围内|sin(ωt+αA)|的最大值,
⑦εA为以分段线性函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差绝对值|δΨδL-A(t)的允许值,
δΨδL=A(t)=ΨδLA(t)-ΨA(t),            (4-8)
对应替代坐标函数ΨδA(t)的第i(i=1、2、3、……、n)个分段定义域,所述的分段线性函数ΨδLA(t)为
Ψ δLA ( t ) = Ψ δA ( t i ) + Δ Ψ δA ( t i ) Δ τ A ( t - t i ) , (i=1、2、3、……、n),(4-9)
式中,(a)i(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域n个等分分段的序号,等分分段的交点就是定义域的中间点,以i(i=1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
(b)ti(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的参数t的值,
ti+1为与序号为i(i=1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值,
(c)ΔΨδA(ti)(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量,
ΔΨδA(ti)=ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti),(i=1、2、3、……、n),       (4-10)
其中,ΨδA(ti+1)(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为i(i=1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(ti)(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。
δA、|ΔTA|的取值满足公式(4-1)、(4-2),将使得所述的拟合误差|δΨδA-A(t)|不超过允许值εA
对第1点所述的插补方法,如果对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域是等分的,且以等分分段的交点作为定义域的中间点;那么,同样只要δA、|ΔTA|的取值满足公式(4-1)、(4-2),就可以使得所述的拟合误差|δΨδA-A(t)|不超过允许值εA
参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ΨA,且坐标轴t和ΨA构成了直角坐标系tOΨA;则所需路径或轮廓线即为平面tOΨA上幅值为HA、初始相位为αA的正弦曲线段ZA。其替代曲线段即为幅值为HδA、初始相位为αA的正弦曲线段ZδA
参见图3,分段线形函数ΨδKA(t)的图形就是由替代正弦曲线段ZδA的n个等长内接弦构成的折线ZδLA。以ΨδLA(t)拟合ΨA(t),即相当于以折线ZδLA拟合ZA。替代正弦曲线段ZδA分段的交点即为需要设定的替代正弦曲线段ZδA的中间点,i(i=1、2、3、……、n、n+1)就是包括替代正弦曲线段ZδA的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。
根据公式(4-1)、(4-2)、(4-3)确定δA、|ΔTA|、n取值的依据是:
(1)以替代圆弧段CδA的内接弦拟合圆弧段CA的径向误差
①坐标函数ΨA(t)与对应的虚拟坐标函数ФA(t)是一组具有相同幅值HA、相同周期(2π/ω)、
相同初始相位αA及相同定义域的正弦函数与余弦函数,
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),               (4-11)
ФA(t)=HAcos(ωt+αA)。               (4-12)
替代坐标函数ΨδA(t)与对应的虚拟替代坐标函数ФδA(t)是一组具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的正弦函数与余弦函数,
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),           (4-13)
ФδA(t)=HδAcos(ωt+αA),           (4-14)
其中,HδA=HAA,                   (4-15)
δA为替代坐标函数ΨδA(t)的幅值差。
②参见图5。虚拟坐标轴ФA和坐标轴ΨA构成了虚拟直角坐标系ФAA。坐标函数ΨA(t)与虚拟坐标函数ФA(t)在ФAA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧段CA。圆弧段CA上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴ФA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)与虚拟替代坐标函数ФδA(t)在ФAA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HδA的替代圆弧段CδA。圆弧段CδA上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴ФA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)定义域的端点与中间点对应着圆弧段CδA的端点与中间点。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
③以CδA的内接弦拟合CδA的径向误差
将替代圆弧段CδA分成序号为i(i=1、2、3、……、n)的n个等分分段。每个分段对应的参数t的等效增量为ΔTA,ΔTA也是每个等分圆弧段对应的圆心角,
ΔTA=ωΔτA,              (4-16)
式中,ΔτA为每个分段对应的参数t的增量。
以圆弧段CδA的n个等分分段的内接弦构成的折线拟合CδA,拟合产生的最大径向误差绝对值|δδA|发生在内接弦的中点处,且
| δ H δA | ≈ | δ H A | = 1 8 H A ( Δ T A ) 2 , - - - ( 4 - 17 )
式中,|δHA|为以圆弧段CA的n个等分圆弧段的内接弦构成的折线拟合圆弧段CA的最大径向误差的绝对值。
④以CδA的内接弦拟合CA的径向误差
以圆弧段CδA的内接弦构成的折线拟合圆弧段CA,其最大径向误差绝对值|δHX-A|发生在内接弦的中点或内接弦的二个端点处。如果以|δHδ-A,M|表示在中点处圆弧段CδA内接弦拟合圆弧段CA的径向误差绝对值,以|δHδ-A,D|表示在端点处圆弧段CδA内接弦拟合圆弧段CA的径向误差绝对值,则所述|δHδ-A|将等于|δHδ-A,M|与|δHδ-A,D|中数值较大者。
(a)在中点处圆弧段CδA内接弦拟合圆弧段CA的径向误差绝对值|δHδ-A,M|
(i)当CδA内接弦与圆弧段CA相交,CδA内接弦就是CA的割线,
此时, | δ H δ - A , M | = 1 8 H A ( Δ T A ) 2 - δ A > 0 , - - - ( 4 - 19 )
| Δ T A | > 8 δ A H A . - - - ( 4 - 20 )
(ii)当CδA内接弦与圆弧段CA相切,
| δ H δ - A , M | = | δ H A | - δ A = 1 8 H A ( Δ T A ) 2 - δ A = 0 , - - - ( 4 - 21 )
| Δ T A | = 8 δ A H A . - - - ( 4 - 22 )
(iii)当内接弦不与圆弧段CA相交,在圆弧CA段外侧,
| δH δ - A , M | = δ A - | δ H δA | ≈ δ A - | δ H A | = δ A - 1 8 H A ( Δ T A ) 2 > 0 . - - - ( 4 - 23 )
此时|δHδ-A,M|<δA,                    (4-24)
| &Delta; T A | < 8 &delta; A H A . - - - ( 4 - 25 )
(b)在内接弦的端点处圆弧段CδA各内接弦拟合圆弧段CA的径向误差绝对值|δHδ-A,D|恒为δA
|δHδ-A,D|=δA。                        (4-26)
(2)δA、|ΔTA|、n的取值
δA、|ΔTA|、n的取值应保证|δHδ-A|不超过允许值εΦ
由于|δHδ-A|等于|δHδ-A,M|、|δHδ-A,D|中数值较大者;因而,
(i)为满足|δHδ-A|不超过允许值εΦ,必须有|δHδ-A,M|、|δHδ-A,D|都不超过允许值εΦ
(ii)反之,当|δHδ-A,M|、|δHδ-A,D|都不超过允许值εΦ,一定有|δHδ-A|不超过允许值εΦ
因此,δA、|ΔTA|、n的取值应保证|δHδ-A,M|、|δHδ-A,D|都不超过允许值εΦ
①δA的取值
由于CδA内接弦端点处径向误差绝对值|δHδ-A,D|恒为δA,为使所述|δHδ-A,D|不超过允许值εΦ,δA取值应满足下述公式,
0≤δA≤εΦ。                             (4-27)
②|ΔTA|的取值
(a)在端点处,以CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值|δHδ-A,D|恒为δA,只要δA取值满足式(4-27),|δHδ-A,D|就不会超过允许值εΦ;|ΔTA|的取值对|δHδ-A,D|没有影响。
(b)在中点处,以CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值|δHδ-A,M|应不超过允许值εΦ
|δHδ-A,M|≤εΦ。                 (4-28)
(i)当圆弧段CδA内接弦与圆弧段CA相交,CδA内接弦就是CA的割线,
| &delta;H &delta; - A , M | = | &delta; H &delta;A | - &delta; A &ap; | &delta; H A | - &delta; A = 1 8 H A ( &Delta; T A ) 2 - &delta; A > 0 , - - - ( 4 - 18 )
此时, | &Delta; T A | = 8 &delta; A H A . - - - ( 4 - 20 )
由式(4-18)可知,为使所述的拟合误差|δHδ-A,M|不超过允许εΦ,|ΔTA|值应满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 8 &times; ( &epsiv; &Phi; + &delta; A ) H A . - - - ( 4 - 29 )
(ii)当圆弧段CδA内接弦与圆弧段CA相切,拟合误差|δHδ-A,M |为0,肯定不会超过允许值εΦ
| &delta; H &delta; - A , M | = | &delta; H A | - &delta; A = 1 8 H A ( &Delta; T A ) 2 - &delta; A = 0 < &epsiv; &Phi; , - - - ( 4 - 21 )
此时, | &Delta; T A | = 8 &delta; A H A . - - - ( 4 - 22 )
(iii)当内接弦不与圆弧段CA相交,在圆弧段外侧,
此时|δHδ-A,M|<δA,             (4-24)
| &Delta; T A | = 8 &delta; A H A . - - - ( 4 - 25 )
由于
0≤δA≤εΦ                         (4-27)
的限定,拟合误差|δHδ-A,M|肯定不超过允许值εΦ
|δHδ-A,M|<δA≤εΦ。            (4-30)
(iv)综合(i)、(ii)、(iii)所述可知,只要ΔTA的取值满足公式(4-27)、(4-29),就可使所述的拟合误差|δHδ-A,M |不超过允许值εΦ
|δHδ-A,M|≤εΦ。                  (4-28)
③综合①、②所述可知,为使以CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值|δHδ-A|不超过允许值εΦ,δA的取值应满足下述公式,
0≤δA≤εΦ,               (4-31)
ΔTA的取值应满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 8 &times; ( &epsiv; &Phi; + &epsiv; A ) H A , - - - ( 4 - 32 )
或|ΔτA|的取值应满足下述公式,
| &Delta; &tau; A | &le; 1 &omega; &times; 8 &times; ( &epsiv; &Phi; + &delta; A ) H A . - - - ( 4 - 33 )
相应地,由于
n = | t n + 1 - t 1 | | &Delta; &tau; A | , - - - ( 4 - 34 )
因此,圆弧段CδA的分段段数其取值应满足
n &GreaterEqual; &omega; | t n + 1 - t 1 | &times; H A 8 &times; ( &epsiv; &Phi; + &delta; A ) . - - - ( 4 - 35 )
④|ΔTA|的最大允许取值|ΔTA|MAX
(a)为加大|ΔTA|取值以减少分段数,δA的取值应尽量大,但根据式(4-27),δA不能超过εΦ;取
δA=εΦ。                  (4-36)
相应地,依据式(4-32)ΔTA的取值应满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 4 &times; &epsiv; &Phi; H A , - - - ( 4 - 37 )
| &Delta; &tau; A | &le; 4 &times; 1 &omega; &times; &epsiv; A H A . - - - ( 4 - 38 )
(b)|ΔTA|或|ΔτA|的最大允许取值|ΔTA|MAX或|Δτ|MAX
| &Delta; T A | MAX = 4 &times; &epsiv; &Phi; H A , - - - ( 4 - 39 )
| &Delta; T A | MAX = 4 &times; 1 &omega; &times; &epsiv; &Phi; H A . - - - ( 4 - 40 )
而且,|ΔTA|MAX、|Δt|MAX对应着|δHδA|或|δHA|的最大允许值|δHδA|MZX或|δHA|MAX
| &delta;H &delta;A | MZX &ap; | &delta;H A | MAX = 1 8 | &Delta; T A | MAX 2 H A = 1 8 &times; 16 &times; &epsiv; &Phi; H A &times; H A = 2 &epsiv; &Phi; = 2 &delta; A . - - - ( 4 - 41 )
此时,CδA内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等,
|δHδ-A,M|=|δHA|MAXA=2δAA=δA=|δHδ-A,D|。  (4-42)
(3)以分段线形函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差δΨδL=A(t)①以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差记以δΨδL=A(t),
δΨSL=A(t)=ΨδLA(t)-ΨA(t)。                            (4-43)
②参见图2至图6。在tOΨA平面上,将ΨδA(t)所对应的正弦曲线段ZδA分成序号为i(i=1、2、3、……、n)的n个等分分段;在虚拟ФAA平面上,将ΨδA(t)与ФδA(t)所对应的圆弧段CδA分成相同的n个等分分段。序号相同的ZδA分段端点与CδA相应分段端点所对应的t值相同,都是ti(i=1、2、3、……、n、n+1)。ZδA分段与CδA分段对应的参数t的增量或等效增量相同。以ZδA的内接弦构成的折线拟合ZA,其拟合误差为δΨδL=A(t);以CδA的内接弦构成的折线拟合CA,所述内接弦径向误差在坐标轴ΨA上的投影值记以δHδ=A,Ψ(t)。图6中,以tM,u表示一个分段中点处的参数t的值,|δHδ-A,Ψ(tM,u)|即为对应tM,u的所述径向误差绝对值在坐标轴上的投影值。
③以CδA的内接弦构成的折线拟合CA,其径向误差绝对值的最大值|δHδ-A|发生在CδA内接弦的中点或端点tM/D处,且|δHδ-A|在坐标轴ΨA上的投影为
|δHδ-A,Ψ(tM/D)|=|δHδ-A,M/D|×|sin(ωtM/DA)|。     (4-44)
式中δHδ-A,M/D表示在tM/D处以CδA的内接弦构成的折线拟合CA的径向误差。
④相应地认为,一个分段内,在中点或端点tM/D处以正弦曲线段ZδA的内接弦拟合正弦曲线段ZA的误差绝对值也是最大,为|δΨδL-A(tM./D)|。
在tM/D处,正弦曲线段ZA的函数值等于圆弧段对应坐标ΨA的坐标函数值ΨA(tM/D),也就是等于圆弧CA半径在ΨA轴上的投影,
ΨA(tM/D)=HAsin(ωtM/DA)。
在tM/D处,替代正弦曲线段ZδA的内接弦ZδLA的函数值ΨδLA(tM/D)等于替代圆弧段CδA内接弦对应坐标ΨA的坐标函数值,也就是等于替代圆弧段内接弦的相应点与圆心的连线在ΨA上的投影。因此,在tM/D处,以替代正弦曲线段ZδA的内接弦ZδLA拟合正弦曲线段ZA的误差,等于以替代圆弧段CδA内接弦拟合圆弧段CA的径向误差δHδ-A,M/D在ΨA轴上的投影。或者说,在tM/D处以分段线性函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差δΨδL=A(tM/D)等于以替代圆弧段CδA内接弦拟合圆弧段CA的径向误差δHδ-A,M/D在ΨA轴上的投影,
|δΨδL-A(tM./D)|=|δHδ-A,Ψ(tM/D)|=|δHδ-A,M/D|×|sin(ωtM/DA)|。(4-45)
⑤在定义域范围内,|δΨδL-A(tM./D)|的最大值|δΨδL-A(tM./D)|MAX
|δΨδL-A(tM./D)|MAX=|δHδ-A,M/D|MAx×|sin(ωtM/DA)|MAX,       (4-46)
式中,|sin(ωtM/DA)|MAX为在替代坐标函数ΨδA(t)定义域范围内|sin(ωtM/ DA)|的最大值,|δHδ-A,M/D|MAX为在所述定义域范围内|δHδ-A,M/D|的最大值。
由于|ΔTA|或说|ΔτA|很小,可以认为
|sin(ωtM/DA)|MAX=|sin(ωt+αA)|MAX,                  (4-47)
式中,|sin(ωt-αA)|MAX为在替代坐标函数ΨδA(t)定义域范围内|sin(ωt+αA)|的最大值。
因而,式(4-46)可以改写为
|δΨδL-A(tM./D)|MAX=|δHδ-A,M/D|MAX×|sin(ωt+αA)|MAX。    (4-48)
由于所述的最大值|δΨδL-A(tM./D)|MAX也就是所述的拟合误差δΨδL=A(t)绝对值的最大值|δΨδL-A(t)|MAX,所述的最大值|δHδ-A,M/D|MAX也就是|δHδ-A,M|、|δHδ-A,D|中数值较大者即|δHδ-A|;因此,式(4-48)可以改写为
|δΨδL-A(t)|MAX=|δHδ-A|×|sin(ωt+αA)|MAX。        (4-49)
(4)δA、|ΔTA|、n的取值
①δA的取值
CδA内接弦端点处径向误差绝对值|δHδ-A,D|恒为δA,相应地,端点处以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值的最大值|δΨδL-A(t)|MAX为δA|sin(t+αA)|MAX,其值不能超过允许值εA;因此,δA取值应满足
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA,     (4-50)
或0≤δa≤εA/|sin(ωt+αA)|MAX。  (4-51)
②|ΔTA|的取值
(a)在端点处,以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值|δΨδL-A(t)|最大值恒为δA|sin(ωt+αA)|MAX,只要取值满足式(4-50),|δΨδL-A(t)|最大值|δΨδL-A(t)|MAX就不会超过允许值εA;|ΔTA|取值对之没有影响。
(b)在中点处,以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值的最大值|δΨδL-A(r)|MAX应不超过允许值εA
|δΨδL-A(t)|MAX=|δHδ-A,M||sin(ωt+αA)|MAX≤εA。    (4-52)
(i)当 | &Delta; T A | > 8 &delta; A H A , - - - ( 4 - 20 )
CδA内接弦与圆弧段CA相交,CδA内接弦就是CA的割线;此时,为满足式(4-52)的要求,
由式(4-18)、(4-52)可知,应有
| &Delta; T A | &le; 8 &times; &epsiv; A + &epsiv; A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 53 )
| &Delta; &tau; A | &le; 1 &omega; &times; 8 &times; &epsiv; A + &epsiv; A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 54 )
(ii)当 | &Delta; T A | = 8 &delta; A H A , - - - ( 4 - 22 )
CδA内接弦与圆弧段CA相切,中点处|δHδ-A,M|将为0,
| &delta; H &delta; - A , M | = &delta; | &delta; H A | - &delta; A = 1 8 H A ( &Delta; T A ) 2 - &delta; A = 0 . - - - ( 4 - 21 )
因而,相应的ΨδLA(T)拟合ΨA(t)的误差|δΨδL-A(t)|为0,
|δΨδL-A(t)=|δHδ-A,M||sin(ωt+αA)|MAX=0<εCA。   (4-55)
(iii)当 | &Delta; T A | = 8 &delta; A H A , - - - ( 4 - 24 )
CδA内接弦不与圆弧段CA相交,在圆弧段CA外侧,此时总有
|δHδ-A,M |<δA。                                      (4-25)
只要δA取值满足式(4-50),|δΨδL-A(t)|MAX都不会超过允许值εA
|δΨδL-A(t)|MAX=|δHδ-A,M||sin(ωt+αA)|MAX<δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA。(4-56)
(iv)综合(i)、(ii)、(iii)所述可知,在中点处,只要ΔTA的取值满足公式(4-53),就可满足公式(4-52)的要求,使所述的拟合误差|δΨδL-A(t)|MAX不超过允许值εA
③综合①、②所述可知,为使所述的拟合误差|δΨδL-A(t)|不超过允许值εA;δA的取值应满足下述公式,
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA,                            (4-57)
或0≤δA≤εA/|sin(ωt+αA)|MAX,                         (4-58)
ΔTA的取值应满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 8 &times; &epsiv; A + &epsiv; A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 59 )
或|ΔτA|的取值应满足下述公式
| &Delta; &tau; A | &le; 1 &omega; &times; 8 &times; &epsiv; A + &epsiv; A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 60 )
相应地,替代坐标函数定义域的等分分段段数n的取值应满足
n &GreaterEqual; &omega; | t n + 1 - t 1 | &times; 1 8 &times; &times; H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX &epsiv; A + &delta; A &times; | sin | ( &omega;t + &alpha; A ) | | MAX . - - - ( 4 - 61 )
④|ΔTA|的最大允许取值
(a)为加大|ΔTA|取值,以减少分段数;δA的取值尽量大,但根据式(4-50)δA|sin(ωt+αA)|MAX不能超过εA;取
δA|sin(ωt+αA)|MAX=εA。                      (4-62)
相应地,根据式(4-59),ΔTA的取值应满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 4 &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 63 )
| &Delta; &tau; A | &le; 1 &omega; &times; 4 &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX . - - - ( 4 - 64 )
(b)|ΔTA|或|ΔτA|的最大允许取值|ΔTA|MAX或|Δτ|MAX
| T A | MAX = 4 &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 65 )
| &Delta;&tau; A | MAX = 4 &times; 1 &omega; &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX . - - - ( 4 - 66 )
而且,|ΔTA|MAX对应着|δHδA|或|δHA|的最大允许值|δHδA|MZX或|δHA|MAX
| &delta;H &delta;A | MZX &ap; | &delta;H A | MAX = 1 8 | &Delta; T A | MAX 2 H A = 1 8 &times; 16 &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | &times; H A =
= 2 &epsiv; A / | sin ( t + &alpha; A ) | MAX = 2 &delta; A . - - - ( 4 - 67 )
此时,以CδA内接弦拟合CA,内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等,
|δHδ-A,M |=|δHA|MAXA=2δAA=δA=|δHδ-A,D|。  (4-68)
5、如第4点所述的一种插补方法,其特点为:所述|sin(ωt+αA)|MAX以1替换。
相应地,所述δA、ΔTA或n的取值满足下述公式,
0≤δA≤εA,                         (5-1)
| &Delta; T A | &le; 8 &times; &epsiv; A + &epsiv; A H , - - - ( 5 - 2 )
n &GreaterEqual; &omega; | t n + 1 - t 1 | &times; 1 8 &times; H A &epsiv; A + &epsiv; A . - - - ( 5 - 3 )
满足公式(5-1)、(5-2)或(5-3)的δA、|ΔTA|或n的取值,可以使得对任何可能的定义域,都可做到以分段线性函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差绝对值|δΨδL-A(t)不超过允许值εA
6、如第4点所述的插补方法,其特点为:对应坐标ΨA其幅值差δA取值为
δA=εA/|sin(ωt+αA)|MAX。           (6-1)
相应地,所述ΔTA或n的取值满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 4 &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 6 - 2 )
n &GreaterEqual; &omega; | t n + 1 - t 1 | 4 &times; H A &times; | sin ( &omega;t + &epsiv; t ) | MAX &epsiv; A , - - - ( 6 - 3 )
|ΔTA|的最大允许取值|ΔTA|MAX
| &Delta; T A | MAX = 4 &times; &epsiv; A H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX . - - - ( 6 - 4 )
依据式(6-4)确定的|ΔTA|MAX是对应ΨδA(t)定义域所述拟合误差|δΨδL-A(t)|不超过允许值εA的|ΔTA|的最大允许取值。
7、如第5点所述的插补方法,其特点为:对应坐标ΨA其幅值差δA取值为εA
δA=εA。                             (7-1)
相应地,所述ΔTA或n的取值满足下述公式,
| &Delta; T A | &le; 4 &times; &epsiv; A H A , - - - ( 7 - 2 )
n &GreaterEqual; &omega; | t n + 1 - t 1 | 4 &times; H A &epsiv; A , - - - ( 7 - 3 )
|ΔTA|的最大允许取值|ΔTA|MAX
| &Delta; T A | MAX = 4 &times; &epsiv; A H A . - - - ( 7 - 4 )
依据式(7-4)确定的|ΔTA|MAX是对应任何可能的的定义域所述拟合误差|δΨδL-A(t)|都不超过允许值εA的|ΔTA|的最大允许取值。
8、如第3点所述的插补方法,其特点为:对应所述坐标Ψ1、Ψ2其幅值差δR的取值、其替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量|ΔTC|的取值满足下述公式,
0≤δR≤εC,                                 (8-1)
| &Delta; T C | &le; 8 &times; ( &epsiv; C + &epsiv; R ) R 0 , - - - ( 8 - 2 )
与公式(8-2)相应,其替代坐标函数定义域等分分段段数nC的取值满足下述公式,
n C &GreaterEqual; &omega; | t ( n C +1 ) - t 1 | 4 &times; R 0 8 &times; ( &epsiv; C + &delta; R ) , - - - ( 8 - 3 )
式中,①t1为替代坐标函数Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定义域起点对应的参数t的值,
t(nC+1)为替代坐标函数Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定义域终点对应的参数t的值,
②εC为以圆弧段ZδC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段ZC的径向误差的绝对值的允许值,圆弧段ZδC为替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)在坐标轴Ψ1和Ψ2构成的直角坐标系Ψ12的坐标平面上的图形,圆弧段ZC为坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)在坐标平面Ψ12上的图形。所述圆弧段ZC、ZδC可参见图5,所述的Ψ1、Ψ2、R0、Rδ0、α0、t、ZC、ZδC分别对应图中的ФA、ΨA、HA、HδA、αA、t、CA、CδA
满足公式(8-1)、(8-2)或(8-3)的δR、|ΔTC|或nC取值,将使得以圆弧段ZδC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段ZC的径向误差的绝对值不超过允许值εC
其依据见第4点中对于确定δA、|ΔTA|、n取值的依据的相关分析。
9、如第8点所述的插补方法,其特点为:所述δR取值为εC
δR=εC。                     (9-1)
相应地,所述|ΔTC|或nC的取值满足下述公式,
| &Delta; T C | &le; 4 &times; &epsiv; C R 0 , - - - ( 9 - 2 )
n C &GreaterEqual; &omega; | t ( n C + 1 ) - t 1 | 4 &times; R 0 &epsiv; C , - - - ( 9 - 3 )
|ΔTC|的最大允许取值|ΔTC|MAX
| &Delta; T C | MAX = 4 &times; &epsiv; C R 0 . - - - ( 9 - 4 )
10、如第1、2或4至9点中任何一点所述的插补方法,其特点在于:所述ω取值为1,
ω=1。                                   (10-1)
也就是说,所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时,所述坐标对应的替代坐标函数定义域各分段起点所对应的参数t的等效增量,等于所述参数t的增量。
11、如第3点所述的插补方法,其特征在于:所述ω取值为1,
ω=1。                                   (11-1)
也就是说,所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时,所述坐标对应的替代坐标函数定义域各分段起点所对应的参数t的等效增量,等于所述参数t的增量。
值得注意的是,如果一个坐标函数是由若干个函数之和构成,则该坐标函数的插补结果等于构成该坐标函数的各个函数各自的插补结果之和。特别是,构成该坐标函数的某个函数如果是常量,则该常量不会影响该函数的增量值。此外,所需路径或轮廓线其所在的直角坐标系坐标轴平移时,也不影响其位置坐标值增量的数值。
本发明的有益效果为:本发明针对正弦函数类所需路径或轮廓线,包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线,提出一种设定替代曲线的新插补方法,通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量,且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单,对于同样的分段段数,完成运算所需时间少,相当于提高了插补运算速度;或者,在同等的运算时间内,允许增加曲线分段段数,从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单,这种方法可在单片计算机上实现,从而降低了插补器的成本。因此,这种插补方法速度快,精度高,装置成本低,具有极其广阔的市场前景。
【附图说明】
图1是本发明的坐标函数ΨA(t)插补的程序流程图,
图2是本发明的正弦曲线示意图,
图3是本发明的分段线性函数示意图,
图4是本发明的正弦曲线段局部示意图,
图5是本发明的圆弧曲线示意图,
图6是本发明的圆弧曲线局部示意图,
图7是本发明的椭圆曲线示意图。
【具体实施方式】
一、参见图1,这是坐标函数ΨA(t)插补的程序流程图。所述的坐标函数为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),                (J1-1)
程序由步骤(1)至步骤(9)组成:
(1)设定ΨA(t)的替代坐标函数ΨδA(t),
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),             (J1-2)
HδA=HAA;                          (J1-3)
确定替代坐标函数ΨδA(t)的幅值差δA的数值。
(2)将替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分,以等分分段的交点作为定义域的中间点;确定替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点及中间点所对应的参数t的等效增量ΔTA,其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍,是常数,
ΔTA=ωΔτA=常数。                   (J1-4)
(3)确定替代坐标函数ΨδA(t)定义域中间点的个数n-1;以i(i=1、2、3、……、n、n+1)表示包括定义域端点与中间点在内的点的序号,中间点的序号为i(i=2、3、……、n)。
(4)初始化i值,即将i设置为2,
2→i。                                  (J1-5)
(5)确定序号为i的中间点所对应的替代坐标函数函数值增量ΔΨδA(t)的值。
(6)存储/输出运算结果。
(7)判定
i=n?                                  (J1-6)
若i≠n,表明插补尚未完成,则转至步骤(8),
若i=n,则转至步骤(9)。
(8)将i加1,并保存,
i+1→i;                                (J1-7)
再转至步骤(5),继续进行插补。
(9)插补完成。
二、参见图2,这是正弦曲线示意图。在直角坐标系tOΨA下的一个幅值为HA、初始相位为αA的正弦曲线QA,其坐标函数为
ΨA(t=HAsin(ωt+αA)。                 (J2-1)
曲线QA的替代曲线为幅值为HδA、初始相位为αA的正弦曲线QδA;相应地,替代坐标函数为
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),            (J2-2)
式中,HδA=HAA,                    (J2-3)
δA是替代坐标函数ΨδA(t)的幅值差。
对应于所需路径或轮廓线,坐标函数ΨA(t)、ΨδA(t)定义域为[t1,tn+1]。该定义域对应的正弦曲线段记以ZA,对应的替代正弦曲线段记以ZδA
三、参见图3,这是等分分段线性函数示意图。在直角坐标系tOΨA下的替代正弦曲线段ZδA,其替代坐标函数为
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA)。            (J3-1)
n是替代坐标函数ΨδA(t)定义域的等分分段数。正弦曲线段ZδA的n个等分分段的内接弦构成折线ZδLA,其相应的分段线性函数ΨδLA(t)为
&Psi; &delta;LA ( t ) = &Psi; &delta;A ( t i ) + &Delta; &Psi; &delta;A ( t i ) &Delta; &tau; A ( t - t i ) , (ti≤t≤ti+1),
(i=1、2、3、……、n),                 (J3-2)
式中,①i(i=1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域n个等分分段的序号,等分分段的交点就是定义域的中间点,以i(i=1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
②ti(i=1、2、3、……、n、n+1)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值,
t1是替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tN+1是替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
[t1、tu+1]是替代坐标函数ΨδA(t)的定义域,
③ΔτA是替代坐标函数ΨδA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量值,是常数,
Figure GSA00000105196800251
(i=1、2、3、……、n),                                        (J3-3)
④ΔΨδA(ti)(i=1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量,
ΔΨδA(ti)=ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti),(i=1、2、3、……、n),(J3-4)
其中,ΨδA(ti+1)(i=1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为i(i=1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(ti)(i=1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。
图中, n=4。                                              (J3-5)
四、参见图4,这是正弦曲线段局部示意图。示意图表示相应于定义域[t1,tn+1]的一个分段,正弦曲线段ZA、替代正弦曲线段ZδA及由替代正弦曲线段ZδA内接弦构成的折线ZδLA之间的关系。图中以u表示所示分段的序号。该分段对应的参数t的区间为[tu,tu+1]。[tu,tu+1]的中点以tM,u表示。ΨA(tM,u)、ΨδA(tM,u)、ΨδLA(tM,u)分别是对应于tM,u函数ΨA(t)、ΨδA(t)、ΨδLA(t)的值。δΨδ-LA(tM,u)是对应于点tM,u以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差δΨδ-LA(t),
δΨδ-LA(tM,u)=ΨδLA(tM,u)-ΨA(tM,u)。               (J4-1)
五、参见图5,这是圆弧曲线示意图。在直角坐标系ФAA下的一个圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧曲线QC,其坐标函数为
ΨA(t=HAsin(ωt+αA),                                    (J5-1)
ФA(t)=HAcos(ωt+αA)。                                   (J5-2)
圆弧QC上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴ФA的夹角即为(ωt+αA)。
替代圆弧曲线Q为圆心在坐标轴原点O、半径为HδA的圆弧,其坐标函数为
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),                               (J5-3)
ФδA(t)=HδAcos(ωt+αA),                               (J5-4)
式中HδA=HAA,                                         (J5-5)
δA是ΨδA(t)、ФδA(t)的幅值差。
圆弧Q上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴ФA的夹角即为(ωt+αA)。
坐标函数ΨA(t)、ФA(t)、ΨδA(t)、ФδA(t)定义域为[t1,tn+1]。该定义域对应的圆弧曲线段记以CA,对应的替代圆弧曲线段记以CδA;替代圆弧段CδA上的一个分段所对应的参数t的等效增量记以ΔTA。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
六、参见图6,这是圆弧曲线局部示意图。示意图表示相应于第一象限圆弧段CA的一个分段,其圆弧段CA、替代圆弧段CδA及由替代圆弧曲线段CδA内接弦之间的关系。
①图中圆弧段CδA的内接弦是圆弧段CA的割线。以圆弧段CδA内接弦构成的折线拟合圆弧段CA,实际上就是由圆弧段CA的割线构成的折线拟合圆弧段CA;从而减小拟合的误差。
②以tM,u表示一个分段中点处的参数t的值。对应tM,u,所述CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δHδ-AΨ(tM,u)|。
③圆弧段CδA的等分分段对应的圆心角为ΔTA。以λδA表示圆弧段CδA一个分段的内接弦的长度。对应于tu
&Delta; &Psi; &delta;A ( t u ) = &lambda; &delta;A cos [ &omega; ( t u + &Delta; &tau; A 2 ) + &alpha; A ] = &lambda; &delta;A cos ( &omega; t u + &Delta; T A 2 + &alpha; A ) , - - - ( J 6 - 1 )
&Delta; &Phi; &delta;A ( t u ) = - &lambda; &delta;A sin [ &omega; ( t u + &Delta; &tau; A 2 ) + &alpha; A ] = - &lambda; &delta;A sin ( &omega; t u + &Delta; T A 2 + &alpha; A ) , - - - ( J 6 - 2 )
式中,ΔTA=ωΔτA。                                 (J6-3)
七、参见图7,这是椭圆曲线示意图。在直角坐标系Ψ12下的中心在坐标轴原点O的椭圆曲线QE,其坐标函数为
&Psi; 1 ( t ) = H 1 sin ( &omega;t + &alpha; 1 ) = H 1 sin ( &omega;t + &alpha; 0 + &pi; 2 ) = H 1 cos ( &omega;t + &alpha; 0 ) , - - - ( J 7 - 1 )
Ψ2(t)=H2sin(ωt+α2)=H2sin(ωt+α0),              (J7-2)
式中, &alpha; 1 = &alpha; 0 + &pi; 2 , - - - ( J 7 - 3 )
α2=α0,                                            (J7-4)
H1、H2为椭圆的半轴,椭圆曲线QE上对应参数t的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ1轴的夹角即为(ωt+α0)。坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)定义域所对应的椭圆曲线段记以ZE;图中ZE是一个第一象限的椭圆弧段。
八、实施例
所需路径或轮廓线是在直角坐标平面ΨXY上圆心在坐标轴原点O、半径为R0的第1象限圆弧段ZC。其坐标函数为
ΨX(t)=R0cost,                                      (L-1)
ΨY(t)=R0sint。                                      (L-2)
R0=50000。                                           (L-3)
圆弧段ZC上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴ΨX的夹角即为参数t。
要求以折线拟合圆弧段ZC的最大径向误差绝对值不超过εC
εC=0.5。                                            (L-4)
参见图5,所述ΨX、ΨY、R0、t、ZC分别是图中的ФA、ΨA、HA、t、CA。对于本例,图中αA等于0。
以替代圆弧段ZδC的内接弦构成的折线拟合圆弧段ZC。其插补过程如下:
1、设定替代曲线确定幅值差
(1)设定替代曲线
将第1象限圆弧段ZC的替代曲线设定为与之同心的圆弧段ZδC,以替代圆弧段ZδC的内接弦拟合圆弧段ZC。参见图5,ZδC是图中的CδA。ZδC的坐标函数为
ΨδX(t)=Rδ0cost,                      (L-5)
ΨδY(t)=Rδ0sint,                      (L-6)
Rδ0=R0R。                            (L-7)
(2)确定ΨδX(t)、ΨδY(t)的幅值差δR
根据公式(9-1),取
δR=εC=0.5,                           (L-8)
则Rδ0=R0R=50000.5。                 (L-9)
参见图5,ΨX、ΨY、Rδ0、t、ZδC分别是图中的ФA、ΨA、HδA、t、CδA
2、确定内接弦对应的圆心角ΔTC与圆弧段ZδC的分段
(1)确定ΔTC
将圆弧段ZδC等分。以ΔTC表示圆弧段ZδC各等分分段起点所对应的参数t的等效增量,ΔTC也就是圆弧段ZδC内接弦对应的圆心角。对于本例,ΔTC等于所述参数t的增量ΔτC
ΔTC=ΔτC。                             (L-10)
本例要求ZδC内接弦拟合ZC的径向误差绝对值的最大值|δRδ-0,M|不超过0.5,则根据公式(4-37),
| &Delta; T C | &le; 4 &times; &epsiv; C R 0 = 4 &times; 0.5 50000 = 0.012649 , - - - ( L - 11 )
取|ΔTC|=0.012649,                      (L-12)
(2)确定圆弧段ZδC分段段数
依据式(L-12)确定的ΔTC值对圆弧段ZδC进行分段,其分段段数理论值nCL应为
n CL = &pi; 2 &times; 0.0126 = 124.18 , - - - ( L - 13 )
实际分段段数nC只能是整数,取
nC=125。                                 (L-14)
此时,|ΔTC|实际值为
| &Delta; T C | = &pi; 2 &times; n C = &pi; 2 &times; 125 = 0.01257 . - - - ( L - 15 )
根据公式(4-18),此时ZδC内接弦拟合ZC中点处径向误差为
|δRδ-0,M|=|δRδ0|-δR=0.487<εC。  (L-16)
根据公式(4-26),ZδC内接弦拟合ZC端点处的径向误差绝对值为
|δRδ-0,D|=δR=εC=0.5。                             (L-17)
3、确定替代坐标函数定义域中间点的位置坐标值
以iC(iC=1、2、3、……、125、126)表示构成逼近圆弧ZC的折线的125个内接弦的起点及最后一个内接弦的终点在内的各点的序号,也就是坐标函数ΨδX(t)、ΨδY(t)定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。二个端点分别对应着序号1及126。二个端点间的中间点分别对应着序号
iC=2、3、……、125。                                     (L-18)
(1)当iC=1,即圆弧段ZC起点,其位置坐标值为已知
ΨδX(t1)=Rδ0=50000.5,                                (L-19)
ΨδY(t1)=0,                                            (L-20)
式中t1=0。                                               (L-21)
(2)当iC=2~125,以u+1表示iC(iC=2、3、……、125)中的某个中间点的序号,u代表与之相邻的前一个点的序号,
①根据第3点可知,ΨX(t)可视为ΨY(t)的虚拟坐标函数,可根据展开式(2-1)、(2-2)确定圆弧段各中间点的坐标函数值增量。根据第2点对于展开式项数的分析,将展开式(2-1)、(2-2)的项数取为4。因此,
&Delta; &Psi; &delta;X ( t u + 1 ) = &Delta; &Psi; &delta;X ( t u ) - &Delta; &Psi; &delta;Y ( t u ) ( &Delta; T A ) - 1 2 &Delta; &Psi; &delta;X ( t u ) ( &Delta; T A ) 2 + 1 3 ! &Delta; &Psi; &delta;Y ( t u ) ( &Delta; T A ) 3 , - - - ( L - 22 )
&Delta; &Psi; &delta;Y ( t u + 1 ) = &Delta; &Psi; &delta;Y ( t u ) + &Delta; &Psi; &delta;X ( t u ) ( &Delta; T A ) - 1 2 &Delta; &Psi; &delta;Y ( t u ) ( &Delta; T A ) 2 - 1 3 ! &Delta; &Psi; &delta;X ( t u ) ( &Delta; T A ) 3 . - - - ( L - 23 )
对应圆弧段起点的位置坐标值增量ΔΨδX(t1)、ΔΨδY(t1),可由其它计算机确定并将之作为后续插补运算的已知条件。
②相应的各中间点的位置坐标值ΨδX(tu+1)、ΨδY(tu+1)由下式确定
ΨδX(tu+1)=ΨδX((tu)+ΔΨδX(tu),                     (L-24)
ΨδY(tu+1)=ΨδY(tu)+ΔΨδY(tu)。                      (L-25)
(3)当iC=125,即对应最后一个中间点,其相应的位置坐标值增量ΔΨδX((t125)、ΔΨδY(t125)无需计算;因为最后一个内接弦的终点即圆弧段ZδC的终点,其位置坐标值是已知的,
ΨδX(t126)=0,                                          (L-26)
ΨδY(t126)=50000.5。                                    (L-27)
如果不设替代曲线,直接以圆弧段ZC的内接弦拟合圆弧段ZC;为了保证内接弦相对圆弧段ZC的径向误差绝对值不超过εC,则应有
| &Delta; T C | &le; 8 &epsiv; C R 0 . - - - ( L - 28 )
若取 | &Delta; T C | &le; 8 &epsiv; C R 0 , - - - ( L - 29 )
则式(L-29)的|ΔTC|取值是式(L-12)的|ΔTC|取值的
Figure GSA00000105196800291
倍。由此可见,在保证最大径向误差绝对值不超过相同的允许值ε条件下,设定替代曲线将允许减小分段段数,从而减小插补运算量。
由于第一象限的1/4圆弧相对角XOY的平分线是对称的;因此,插补可以只针对圆心角为0~(π/4)部分的圆弧进行。圆心角为(π/4)~(π/2)部分的圆弧的位置坐标值或其增量可利用所述的对称性获得,计算量可以节省约50%。

Claims (11)

1.一种设定替代曲线的新插补方法,其所针对的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标ΩP(p=1、2、3、……、mΩ)中包括有一个或若干个坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ),对应所述一个或若干个坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为Hk(k=1、2、3、……mΨ)、初始相位分别为αk(k=1、2、3、……、mΨ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数,其表达式为
Ψk(t)=Hksin(ωt+αk),(k=1、2、3、……、mΨ),(1-1)
所述曲线Q对应坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)变化的以参数t为自变量的函数,
所述参数t可以是该曲线Q上的点的位置坐标ΩP(p=1、2、3、……、mΩ)中的一个坐标,也可以是这些坐标之外的另一个参数,
所述曲线Q各坐标函数的定义域相同,定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值,
针对所需路径或轮廓线的插补就是针对其坐标函数的插补,
针对坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)的插补步骤包括,
(1)设定对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ),所述的对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)是替代所需路径或轮廓线Q的替代曲线Qδ对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的坐标函数,或说是坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数,
(2)确定替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域二个端点间的中间点,包括,
①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值,
②确定所述中间点的个数,
所述插补中确定的中间点将所述定义域分成分段,每个分段定义域对应一个线性函数,所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的替代坐标函数值相等,整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数ΨδLk(t)(k=1、2、3、……、mΨ),而坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)将以分段线性函数ΨδLk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)拟合,
(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值,
(4)存储/输出运算结果,
其特征在于:
(1)对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数设定为与相应的坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位αk(k=1、2、3、……、mΨ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数,其表达式为
Ψδk(t)=Hδksin(ωt+αk)   (k=1、2、3、……、mΨ),(1-2)
式中,Hδk=Hkk,         (k=1、2、3、……、mΨ),(1-3)
其中δk(k=1、2、3、……、mΨ)为替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)的幅值差,或说是对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的幅值差,其数值等于替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)幅值Hδk(k=1、2、3、……、mΨ)相对相应的坐标函数Ψk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)幅值Hk(k=1、2、3、……、mΨ)之差,
δk=Hδk-Hk,(k=1、2、3、……、mΨ),(1-4)
δk≥0,(k=1、2、3、……、mΨ),(1-5)
(2)将对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域分段,以分段的交点作为定义域的中间点,所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ),基于泰勒公式按下述展开式确定,
&Psi; &delta;A ( t u + 1 ) = &Psi; &delta;A ( t u ) + &Phi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T u ) - 1 2 &Psi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T u ) 2 - 1 3 ! &Phi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T u ) 3 + . . . . . . +
+ 1 v &prime; ! [ d v &prime; dt v &prime; ( &Psi; &delta;A ( t ) ) ] t = t ( u ) ( &Delta; T u ) v &prime; , - - - ( 1 - 6 )
&Phi; &delta;A ( t u + 1 ) = &Phi; &delta;A ( t u ) - &Psi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T u ) - 1 2 &Phi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T u ) 2 + 1 3 ! &Psi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T u ) 3 + . . . . . . +
+ 1 v &prime; &prime; ! [ d v &prime; &prime; dt v &prime; &prime; ( &Phi; &delta;A ( t ) ) ] t = t ( u ) ( &Delta; T u ) v &prime; &prime; , - - - ( 1 - 7 )
式中,①ΨA表示所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个坐标,A为序号k(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个序号,对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数分别为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),          (1-8)
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),      (1-9)
其中,HδA=HAA,              (1-10)
δA为对应坐标ΨA的幅值差,
②u+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号,u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号,
以,n表示替代坐标函数ΨδA(t)定义域分段的段数,
以i(i=1、2、3、……、n)作为分段的序号,
以i(i=1、2、3、……、n,n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,
二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
u+1对应着序号i(i=2、3、……、n)中的某一个序号,
u对应着序号i(i=1,2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号,
u+2对应着序号i(i=1,2、3、……、n,n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号,
所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点,
所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点,
③tu+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值,
tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值,
tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值,
t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
④ΔTu为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量,其数值为相应的所述参数t的增量Δtu的ω倍,
ΔTu=ωΔtu,                            (1-11)
Δtu=tu+1-tu,                (1-12)
⑤ΨδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值,
⑥ΨδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值,
⑦ΦδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑧ΦδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑨v′+1为正整数,是展开式(1-10)的项数,
v′≥0,                                  (1-13)
⑩v″+1为正整数,是展开式(1-11)的项数,
v″≥0,                                  (1-14)
上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数ΦδA(t)是一个与替代坐标函数ΨδA(t)对应的函数,或说是一个与ΨδA(t)具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数,其表达式为
ΦδA(t)=HδAcos(ωt+αA)。,,          (1-15)
2.如权利要求1所述的插补方法,其特征在于:
(1)将对应所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数Ψδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ)定义域等分,以等分分段的交点作为定义域的中间点,
(2)所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值增量ΔΨδk(t)(k=1、2、3、……、mΨ),基于泰勒公式按下述展开式确定:
&Delta;&Psi; &delta;A ( t u + 1 ) = &Delta;&Psi; &delta;A ( t u ) + &Delta;&Phi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T A ) - 1 2 &Delta;&Psi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T A ) 2 - 1 3 ! &Delta;&Phi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T A ) 3 + . . . . . . +
+ 1 &kappa; &prime; ! [ d &kappa; &prime; dt &kappa; &prime; ( &Delta;&Psi; &delta;A ( t ) ) ] t = t ( u ) ( &Delta; T A ) &kappa; &prime; , - - - ( 2 - 1 )
&Delta;&Phi; &delta;A ( t u + 1 ) = &Delta;&Phi; &delta;A ( t u ) - &Delta; &Psi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T A ) - 1 2 &Delta;&Phi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T A ) 2 + 1 3 ! &Delta;&Psi; &delta;A ( t u ) ( &Delta; T A ) 3 + . . . . . . +
+ 1 &kappa; &prime; &prime; ! [ d &kappa; &prime; &prime; dt &kappa; &prime; &prime; ( &Delta;&Phi; &delta;A ( t ) ) ] t = t ( u ) ( &Delta; T A ) &kappa; &prime; &prime; , - - - ( 2 - 2 )
式中,①ΨA表示所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个坐标,A为序号k(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个序号,对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数分别为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),        (2-3)
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),    (2-4)
其中,HδA=HAA,            (2-5)
δA为对应坐标ΨA的幅值差,
②u+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号,u就是与之相邻的前一个中间点或定义域的起点的序号,
以,n表示替代坐标函数ΨδA(t)定义域分段的段数,
以i(i=1、2、3、……、n)作为分段的序号,
以i(i=1、2、3、……、n,n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
u+1对应着序号i(i=2、3、……、n)中的某一个序号,
u对应着序号i(i=1,2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号,
u+2对应着序号i(i=1,2、3、……、n,n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号,
所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点,
所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点,
③tu+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值,
tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值,
tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值,
t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
④ΔTA为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量,其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍,
ΔTA=ωΔτA,                                  (2-6)
⑤ΔΨδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值增量,
ΔΨδA(tu+1)=ΨδA(tu+2)-ΨδA(tu+1),         (2-7)
其中,ΨδA(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值,
⑥ΔΨδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量,
ΔΨδA(tu)=ΨδA(tu+1)-ΨδA(tu),             (2-8)
其中,ΨδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值,
⑦ΔΦδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值增量,
ΔΦδA(tu+1)=ΦδA(tu+2)-ΦδA(tu+1),         (2-9)
其中,ΦδA(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟替代坐标函数值,
ΦδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑧ΔΦδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值增量,
ΔΨδA(tu)=ΦδA(tu+1)-ΦδA(tu),             (2-10)
其中,ΦδA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值,
ΦδA(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值,
⑨κ′+1为正整数,是展开式(2-1)的项数,
κ′≥0,                                       (2-11)
⑩κ″+1为正整数,是展开式(2-2)的项数,
κ″≥0,                                       (2-12)
上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数ΦδA(t)是一个与替代坐标函数ΨδA(t)对应的函数,或说是一个与ΨδA(t)具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数,其表达式为
ΦδA(t)=HδAcos(ωt+αA)。,,                (2-13)
3.如权利要求1或2所述的插补方法,其特征在于:
(1)所述坐标Ψk(k=1、……、mΨ)共有二个坐标Ψk(k=1、2)或说Ψ1、Ψ2,对应Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示为一组幅值相同为R0、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α0的余弦函数与正弦函数,其表达式为
&Psi; 1 ( t ) = H 1 sin ( &omega;t + &alpha; 1 ) = R 0 sin ( &omega;t + &alpha; 0 + &pi; 2 ) = R 0 cos ( &omega;t + &alpha; 0 ) , - - - ( 3 - 1 )
Ψ2(t)=H2sin(ωt+α2)=R0sin(ωt+α0),        (3-2)
式中,H1=H2=R0,                              (3-3)
&alpha; 1 = &alpha; 0 + &pi; 2 , - - - ( 3 - 4 )
α2=α0,                                      (3-5)
(2)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的替代坐标函数为Ψδ1(t)、Ψδ2(t)具有相同的幅值Rδ0,函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)的表达式为
Ψδ1(t)=Hδ1cos(ωt+α0)=Rδ0cos(ωt+α0),  (3-6)
Ψδ2(t)=Hδ2sin(ωt+α0)=Rδ0sin(ωt+α0),  (3-7)
式中,Hδ1=Hδ2=Rδ0,                        (3-8)
Hδ1=H11=Hδ2=H22=R0R,            (3-9)
其中,δ1=δ2=δR,                           (3-10)
(3)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分为相同的nC个分段,或者说,替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量ΔτC或等效增量ΔTC
n1=n2=nC,                                    (3-11)
Δτ1=Δτ2=ΔτC,                           (3-12)
ΔT1=ΔT2=ΔTC。                              (3-13)
4.如权利要求2所述的插补方法,其特征在于:对应所述坐标其幅值差的取值、其替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式,
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA,                  (4-1)
| &Delta; T A | &le; 8 &times; &epsiv; A + &delta; A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX H A &times; | sin ( &omega;t + &alpha; A ) | MAX , - - - ( 4 - 2 )
式中,①ΨA表示所述坐标Ψk(k=1、2、3、……、mΨ)中的某一个坐标,A是序号k(k=1、2、3、……、mΨ)中的某个序号,对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数分别为
ΨA(t)=HAsin(ωt+αA),                        (4-4)
ΨδA(t)=HδAsin(ωt+αA),                    (4-5)
②δA为对应坐标ΨA的幅值差,
δA=HδA-HA,                                  (4-6)
③ΔTA为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量,其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍,
ΔTA=ωΔτA,                                 (4-7)
④n为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段的段数,
⑤t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值,
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值,
⑥|sin(ωt+αA)|MAX为在替代坐标函数ΨδA(t)定义域范围内|sin(ωt+αA)|的最大值,
⑦εA为以分段线性函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差绝对值|δΨδL-A(t)|的允许值,
δΨδL=A(t)=ΨδLA(t)-ΨA(t),               (4-8)
对应替代坐标函数ΨδA(t)的第i(i=1、2、3、……、n)个分段定义域,所述的分段线性函数ΨδLA(t)为
&Psi; &delta;LA ( t ) = &Psi; &delta;A ( t i ) + &Delta; &Psi; &delta;A ( t i ) &Delta; &tau; A ( t - t i ) , ( i = 1,2,3 , . . . . . . , n ) , - - - ( 4 - 9 )
式中,(a)i(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域n个分段的序号,分段的交点就是定义域的中间点,以i(i=1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号,二个端点分别对应着序号1及n+1,二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、……、n),
(b)ti(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的参数t的值,
ti+1为与序号为i(i=1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值,
(c)ΔΨδA(ti)(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量,
ΔΨδA(ti)=ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti),(i=1、2、3、……、n),(4-10)
其中,ΨδA(ti+1)(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为i(i=1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值,
ΨδA(ti)(i=1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i=1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。
5.如权利要求4所述的一种插补方法,其特征在于:所述|sin(ωt+αA)|MAX以1替换。
6.如权利要求4所述的插补方法,其特征在于:对应坐标ΨA其幅值差δA取值为
δA=εA/|sin(ωt+αA)|MAX。                       (6-1)
7.如权利要求5所述的插补方法,其征在于:对应坐标ΨA其幅值差δA取值为εA
δA=εA。                                         (7-1)
8.如权利要求4所述的插补方法,其特征在于:对应所述坐标Ψ1、Ψ2其幅值差δR的取值、其替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量|ΔTC|的取值满足下述公式,
0≤δR≤εC,                                      (8-1)
| &Delta; T C | &le; 8 &times; ( &epsiv; C + &delta; R ) R 0 , - - - ( 8 - 2 )
式中,εC为以圆弧段ZδC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段ZC的径向误差的绝对值的允许值,圆弧段ZδC为替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)在坐标轴Ψ1和Ψ2构成的直角坐标系Ψ12的坐标平面上的图形,圆弧段ZC为坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)在坐标平面Ψ12上的图形。
9.如权利要求8所述的插补方法,其特征在于:所述δR取值为εC
δR=εC。                                         (9-1)
10.如权利要求1、2或4至9中任何一项权利要求所述的插补方法,其特征在于:所述ω取值为1,
ω=1。                                            (10-1)
11.如权利要求3所述的插补方法,其特征在于:所述ω取值为1,
ω=1。                                            (11-1)
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