CN101881954B - 一种设定替代曲线的新数控插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种设定替代曲线的新插补方法，所述插补方法针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量，且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。

Description

一种设定替代曲线的新数控插补方法

【技术领域】

本发明属于计算机数控领域，尤其是涉及一种控制物体运动轨迹的插补方法。

【背景技术】

1、插补的任务

数控系统广泛应用于机械运动轨迹的控制，可以控制机床、机器人、缝纫机、焊接机等的运动轨迹。所需轨迹或说所需路径或轮廓线的“插补”是数控技术的关键。

插补的任务就是在所需轨迹或说所需路径或轮廓线Q的二个已知点间插入若干个中间点，并确定所述中间点的位置坐标值。

插补所得结果将依次送给直线插补器；对应一组相邻二点的位置坐标值，直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列，并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动，产生一个直线段的运动轨迹。或者，插补所得结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控对象运动；对应一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运动轨迹将是一个由上述直线段构成的折线，折线的起点、终点、交点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合。换句话说，在所需路径或轮廓线Q的二个端点间插入若干个中间点，将曲线Q上相邻二点以直线段连接，这些直线段构成的折线就是受控对象的预期运动轨迹。

由此可见，插补中确定中间点及其位置坐标值的目的就是确定受控对象的预期运动轨迹，使之尽可能接近所需路径或轮廓线Q。或者说，插补的目的就是确定所述的折线，也即受控对象的预期运动轨迹；以此拟合所需路径或轮廓线Q，且拟合误差不超过允许值。

2、现状

对于常见的正弦曲线、椭圆、圆弧等所需路径或轮廓线，准确确定所述中间点位置坐标值的运算涉及三角函数等比较复杂的计算。这样的计算，靠单片计算机很难完成，而由PC级计算机采用高级语言不难完成。然而，在运动控制装置中，如果作为整个装置控制核心配置的PC级计算机，直接由之承担插补的实时运算将占用大量资源，从而影响整个装置工作；如果专为插补工作配置PC级计算机，将导致装置成本提高。

当前，运动控制技术已广泛应用于各领域，甚至将进入普通家庭，如家用机器人等。基于现有插补方法的产品难以适应、满足飞速发展的、广阔的市场需求。可是，可以在单片计算机上快速、准确实现的插补方法，至今未见在公开资料上发表或在产品中使用。

【发明内容】

本发明的目的是针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种设定替代曲线的新插补方法，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量，且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。

本发明的目的是按如下技术方案实现的：

1、本发明所述的一种设定替代曲线的新数控插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线Q的位置坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)中包括有一个或若干个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，对应所述一个或若干个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为H_k(k＝1、2、3、……m_Ψ)、初始相位分别为α_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为

Ψ_k(t)＝H_ksin(ωt+α_k)，(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-1)

所述曲线Q对应坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)变化的以参数t为自变量的函数，

所述参数t可以是该曲线Q位置坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)中的一个坐标，也可以是这些坐标之外的另一个参数，

所述的所需路径或轮廓线Q指的是二个已知点间的曲线段，所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值。

当ω取值为1时，所述的正弦函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的周期为2π。

某一t值所对应的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标值，就是同一t值所对应的所述坐标函数的函数值。针对所需路径或轮廓线Q的插补也就是针对其坐标函数Ω_P(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)的插补，即在其各个坐标函数Ω_P(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)的定义域二个端点间插入若干个中间点并确定对应所述中间点的坐标函数值。在对坐标函数插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的坐标函数值相等。整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数；而坐标函数将以分段线性函数拟合。

申请人注意到，对所需路径或轮廓线Q进行插补时，为了提高拟合精度，或减小插补运算量，可以设定相应的替代曲线Q_δ；。在替代曲线Q_δ的二个端点间插入若干个中间点，将替代曲线Q_δ上相邻的二个点以直线段连接，用这些直线段构成的折线拟合二个已知点间的所需路径或轮廓线Q。为此，需通过插补确定所述替代曲线Q_δ的中间点及其位置坐标值。

替代曲线Q_δ的坐标函数Ω_δP(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)称为替代坐标函数，或称为所述曲线Q的坐标函数Ω_P(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)的替代坐标函数，或称为对应所述坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)的替代坐标函数。确定替代曲线Q_δ中间点及其位置坐标值，就是确定相应替代坐标函数Ω_δP(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)定义域的中间点及其函数值。在插补中确定的中间点将所述替代坐标函数定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数。所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的替代坐标函数值相等。整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数；而所需路径或轮廓线Q的坐标函数将以所述分段线性函数拟合。

申请人还注意到，所述曲线Q或Q_δ二个端点间的中间点的位置坐标值，可依据与之相邻的前一个中间点或所述曲线的起点其位置坐标值与位置坐标值增量之和决定，因此，插补中确定了中间点的位置坐标值增量，也就确定了相应中间点的位置坐标值。或者说，插补中确定了定义域中间点坐标函数值增量，也就确定了定义域相应中间点的坐标函数值。

针对坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的插补步骤包括，

(1)设定对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，

(2)确定替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域二个端点间的中间点，包括，

①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值，

②确定所述中间点的个数，

(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值，

(4)存储/输出运算结果。

输出的运算结果将依次送给直线插补器；对应所需路径或轮廓线Q一组相邻二点的位置坐标值，直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列，并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动，产生一个直线段的运动轨迹。或者，输出的运算结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控对象运动；对应所需路径或轮廓线Q一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运动轨迹将是一个由上述首尾相接的直线段构成的折线，折线的起点、终点、中间点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合。

本发明提出的插补方法，其特征在于：

(1)对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的替代坐标函数设定为与相应的坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数，其表达式为

Ψ_δk(t)＝H_δksin(ωt+α_k)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-2)

式中，H_δk＝H_k+δ_k，(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，          (1-3)

其中δ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)为替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的幅值差，或说是对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的幅值差，其数值等于替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)幅值H_δk(k＝1、2、3、……、m_Ψ)相对相应的坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)幅值H_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)之差，

δ_k＝H_δk-H_k，(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-4)

δ_k≥0，(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，          (1-5)

(2)将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域分段，以分段的交点作为定义域的中间点，所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定，

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\ν}}^{\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}},---(1-6)$

${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)-{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}},---(1-7)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数与替代坐标函数分别为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，    (1-8)

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (1-9)

其中，H_δA＝H_A+δ_A，            (1-10)

δ_A为对应坐标Ψ_A的幅值差，

②u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

以，n表示替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，

所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点，

③tu+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t_u+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，

t₁为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_u为替代坐标函数Ψ_δΛ(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量，其数值为相应的所述参数t的增量Δt_u的ω倍，

ΔT_u＝ωΔt_u，     (1-11)

Δt_u＝t_u+1-t_u，    (1-12)

⑤Ψ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，

⑥Ψ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，

⑦Φ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，

⑧Φ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值，

⑨ν′+1为正整数，是展开式(1-6)的项数，

ν′≥0，    (1-13)

⑩ν″+1为正整数，是展开式(1-7)的项数，

ν″≥0，    (1-14)

上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)是为简化公式表述设定的函数，或说是一个与Ψ_δA(t)具有相同幅值H_δA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_δA(t)＝H_δAcos(ωt+α_A)，，，    (1-15)

Φ_δA(t)或说是虚拟坐标函数Φ_A(t)的替代坐标函数，而Φ_A(t)是对应坐标函数Ψ_A(t)设定的虚拟坐标函数，或说是一个与Ψ_A(t)具有相同幅值H_A、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)，    (1-16)

其中，H_δA＝H_A+δ_A。        (1-17)

需要说明的是：

(1)所述方法中替代坐标函数幅值差的取值及替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值，可根据后述第4至7点中所述方法确定。展开式项数的确定等见第2点的相关说明。

(2)展开式(1-6)、(1-7)的依据根据泰勒公式可知，

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+{\left[\frac{d}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}\left(\mathrm{\Δ}{t}_u\right)+\frac{1}{2}{\left[\frac{d^2}{{\mathrm{dt}}^2}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{t}_u\right)}^2+$

$+\frac{1}{3!}{\left[\frac{d^3}{{\mathrm{dt}}^3}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{t}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+\frac{1}{\mathrm{\ν}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{t}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}+R_{\mathrm{\Ψ}}=$

$={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+\mathrm{\ω}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left(\frac{\mathrm{\Δ}{T}_u}{\mathrm{\ω}}\right)-\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{2}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\frac{\mathrm{\Δ}{T}_u}{\mathrm{\ω}}\right)}^2-\frac{{\mathrm{\ω}}^3}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\frac{\mathrm{\Δ}{T}_u}{\mathrm{\ω}}\right)}^3+$

$+\·\·\·\·\·\·+\frac{{\mathrm{\ω}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}{{\mathrm{\ν}}^{\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\frac{\mathrm{\Δ}{T}_u}{\mathrm{\ω}}\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}+R_{\mathrm{\Ψ}},$

$={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\ν}}^{\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}}+R_{\mathrm{\Ψ}},---(1-18)$

${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+{\left[\frac{d}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)+\frac{1}{2}{\left[\frac{d^2}{{\mathrm{dt}}^2}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{t}_u\right)}^2+$

$+\frac{1}{3!}{\left[\frac{d^3}{{\mathrm{dt}}^3}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{t}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+\frac{1}{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\τ}}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}+R_{\mathrm{\Φ}}=$

$-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)-{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\mathrm{\Δ}{T}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}}+R_{\mathrm{\Φ}},---(1-19)$

其中，余项

$R_{\mathrm{\Ψ}}=\frac{1}{({\mathrm{\ν}}^{\′}+1)!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′}+1}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}+1}}\left({\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t={\mathrm{\τ}}^{\′}}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′}+1},---(1-20)$

$R_{\mathrm{\Φ}}=\frac{1}{({\mathrm{\ν}}^{\′\′}+1)!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}+1}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}+1}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t={\mathrm{\τ}}^{\′\′}}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{{\mathrm{\ν}}^{\′\′}+1},---(1-21)$

式中，①τ′的取值范围为

t_u≤τ′≤t_u+1，    (1-22)

②τ″的取值范围为

t_u≤τ″≤t_u+1，    (1-23)

略去余项，或说将余项取值为0，即得式(1-6)、(1-7)。

2、如第1点所述的插补方法，其特点为：

(1)将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，

(2)所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值增量ΔΨ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定：

${\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+2}\right)-{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)=$

$={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)+{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·-$

$-[{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·]=$

$={\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+{\mathrm{\Δ\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\κ}}^{\′}}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\κ}}^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\κ}}^{\′}}}\left({\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^{{\mathrm{\κ}}^{\′}},---(2-1)$

同理，

${\mathrm{\Δ\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+2}\right)-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_{u+1}\right)=$

$={\mathrm{\Δ\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)-{\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Δ\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}},---(2-2)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数与替代坐标函数分别为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，        (2-3)

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (2-4)

其中，H_δA＝H_A+δ_A，            (2-5)

δ_A为对应坐标Ψ_A的幅值差，

②u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域的起点的序号，

以，n表示替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，

所述定义域起点指的是与所述替代曲线Q_δ起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述替代曲线Q_δ终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t_u+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，

t₁为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，    (2-6)

⑤ΔΨ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值增量，

ΔΨ_δA(t_u+1)＝Ψ_δA(t_u+2)-Ψ_δA(t_u+1)，    (2-7)

其中，Ψ_δA(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，

⑥ΔΨ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量，

ΔΨ_δA(t_u)＝Ψ_δA(t_u+1)-Ψ_δA(t_u)，    (2-8)

其中，Ψ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，

⑦ΔΦ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值增量，

ΔΦ_δA(t_u+1)＝Φ_δA(t_u+2)-Φ_δA(t_u+1)，    (2-9)

其中，Φ_δA(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟替代坐标函数值，

Φ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，

⑧ΔΦ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值增量，

ΔΨ_δA(t_u)＝Φ_δA(t_u+1)-Φ_δA(t_u)，    (2-10)

其中，Φ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，

Φ_δA(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值，

⑨κ′+1为正整数，是展开式(3-1)的项数，

κ′≥0，    (2-11)

⑩κ″+1为正整数，是展开式(3-2)的项数，

κ″≥0，    (2-12)

上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)是为简化公式(3-1)、(3-2)的表述设定的函数，或说是一个与Ψ_δA(t)具有相同幅值H_δA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_δA(t)＝H_δAcos(ωt+α_A)，，，    (2-13)

Φ_δA(t)或说是虚拟坐标函数Φ_A(t)的替代坐标函数，而Φ_A(t)是对应坐标函数Ψ_A(t)设定的虚拟坐标函数，或说是一个与Ψ_A(t)具有相同幅值H_A、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)，    (2-14)

其中，H_δA＝H_A+δ_A。        (2-15)

对于上述第1或第2点所述的插补方法，需要说明的是：

(1)所述方法中替代坐标函数幅值差的取值及替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值或分段段数的取值可根据后述第4至7点所述方法确定。

(2)展开式项数的确定

在按展开式(1-6)、(1-7)或(2-1)、(2-2)确定Ψ_δA(t_u+1)或ΔΨ_δA(t_u+1)时略去了泰勒公式中的余项以简化计算。略去余项将导致插补结果误差。误差包括：

(i)略去余项将引起相应的Ψ_δA(t_u+1)、Φ_δA(t_u+1)或ΔΨ_δA(t_u+1)、ΔΦ_δA(t_u+1)插补结果误差；

(ii)某个中间点的插补结果误差还将导致后续中间点的插补结果误差，因为后续中间点的位置坐标值或其增量是由前一个中间点的位置坐标值或其增量递推而得的。

由式(1-20)、(1-21)可知，所述展开式项数愈多，相应的余项绝对值愈小。换句话说，所述展开式项数愈多，略去余项导致的插补结果误差绝对值愈小。所述余项的数值大小还与Ψ_δA(t)的幅值及中间点所对应的参数t的等效增量等有关。

①查表法确定展开式应有的项数

例如，针对定义域是等分的替代坐标函数，将拟合误差允许值、Ψ_δA(t)幅值、中间点所对应的参数t的等效增量、函数值插补结果误差、展开式的项数之间的关系预先制成对应关系表。根据拟合误差允许值、Ψ_δA(t)幅值、参数t的等效增量、函数值插补结果误差允许值，即可查表确定展开式应有的项数。

②以第2点所述的插补方法为例，替代坐标函数Ψ_δA(t)表达式为

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (2-16)

式中，H_δA＝H_A+δ_A，            (2-17)

其定义域为[-(α_A/ω)、(2π/ω)-(α_A/ω)]。

所述的Ψ_δA(t)的定义域[-(α_A/ω)、(2π/ω)-(α_A/ω)]对应着Ψ_δA(t)的一个周期(2π/ω)。将定义域分为4段，每段对应1/4周期；各段的定义域分别为[-(α_A/ω)，(π/2ω)-(α_A/ω)]、[(π/2ω)-(α_A/ω)、(π/ω)-(α_A/ω)]、[(π/ω)-(α_A/ω)、(3π/2ω)-(α_A/ω)]、[(3π/2ω)-(α_A/ω)、(2π/ω)-(α_A/ω)]。4段定义域按相同方法等分，等分分段的交点即为插补中设置的中间点。第1段定义域中间点的Ψ_δA(t)函数值增量可按照式(2-1)、(2-2)确定。根据第2、3、4段定义域相对第1段定义域[-(α_A/ω)，(π/2ω)-(α_A/ω)]函数Ψ_δA(t)的对称性，第2、3、4段定义域中间点的Ψ_δA(t)函数值增量等于第1段定义域相应中间点的Ψ_δA(t)函数值增量(或者等于第1段相应中间点函数值增量的负值)，无需再作计算。此时，第1段定义域中间点Ψ_δA(t)函数值插补结果误差绝对值的最大值，就是整个定义域中间点Ψ_δA(t)函数值插补结果误差绝对值的最大值。因此，分析所述展开式项数的取值，只需针对1/4周期所对应的一段定义域[-(α_A/ω)，(π/2ω)-(α_A/ω)]进行即可。

分析表明，如果

(i)式(2-17)中的δ_A按后述式(7-1)取值，即将δ_A取值为拟合误差的允许值ε_A，

δ_A＝ε_A，    (2-18)

(ii)根据后述式(7-4)确定ΔT_A，取

$\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|={\left|\mathrm{\Δ}{T}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\×\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}},---(2-19)$

(iii)展开式(2-1)、(2-2)项数取为4，或者说，取

κ＝κ′＝κ″＝3；                 (2-20)

那么，当ε_A＝0.125、0.5、1或2，    (2-21)

且1000000≥H_A≥100，                (2-22)

定义域中间点Ψ_δA(t)插补结果误差绝对值的最大值ζ的数值将比拟合误差允许值ε_A小一个数量级。换句话说，如果展开式(2-1)、(2-2)项数取为4，那么，略去余项引起的误差可以忽略不计。

经分析还可以知道，如果取

κ＝κ′＝κ″＝2，    (2-23)

所述的ζ将大致与ε_A在同一个数量级。

③所述展开式项数也可以用其他方法确定；例如，通过插补器之外的计算机预先计算确定，然后作为已知条件提供给插补器。

(3)原理上第1点所述方法或第2点所述方法都可用于确定中间点的位置坐标值。但是：

①第1点中参与递推运算的位置坐标值，要比第2点中参与递推运算的位置坐标值增量数值上大得多，或者说，前者的字长要比后者的字长大得多；因而，前者比后者对插补器资源的要求也就高得多。

②参与运算的数的小数部分的位数有限，将导致插补结果出现误差。位置坐标值的数值比其增量数值上大得多，因而，第1点所述方法比第2点所述方法由于小数部分位数有限所导致的误差的绝对值也大得多。为减小误差，前一种方法比后一种方法需相应增多小数部分的位数，从而对插补器资源提出更高的要求。

因此，第1点所述方法比第2点所述方法，对插补器资源的要求要高得多。

(4)参见图2。以序号为A的坐标函数Ψ_A(t)为例。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和Ψ_A，且坐标轴t和Ψ_A构成了直角坐标系tOΨ_A；则所需路径或轮廓线就是平面tOΨ_A上幅值为H_A、初始相位为α_A、周期为(2π/ω)的的正弦曲线段Z_A。其替代曲线就是平面tOΨ_A上幅值为H_δA、初始相位为α_A、周期为(2π/ω)的替代正弦曲线段Z_δA。

(5)参见图5。以序号为A的坐标函数Ψ_A(t)为例，虚拟坐标轴Φ_A和坐标轴Ψ_A构成了虚拟直角坐标系Φ_AOΨ_A。坐标函数Ψ_A(t)与虚拟坐标函数Φ_A(t)在Φ_AOΨ_A虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为H_A的圆弧段C_A。圆弧段C_A上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。替代坐标函数Ψ_δA(t)与虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)在Φ_AOΨ_A虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为H_δA的替代圆弧段C_δA。替代圆弧段C_δA上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域的端点与中间点对应着替代圆弧段C_δA相应的端点与中间点。图中C_A、C_δA分别是第一象限的圆弧段。

(6)如果所述坐标Ψ_k(k＝1、……、m_Ψ)共有二个坐标Ψ_k(k＝1、2)或说Ψ₁、Ψ₂，对应Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)可以表示为一组幅值分别为H₁与H₂、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α₀的余弦函数与正弦函数，

${\mathrm{\Ψ}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_1)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2})=H_1\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0),---(2-24)$

Ψ₂(t)＝H₂sin(ωt+α₂)＝H₂sin(ωt+α₀)，    (2-25)

式中， ${\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2},---(2-26)$

α₂＝α₀；    (2-27)

那么，参见图7，在直角坐标系Ψ₁OΨ₂下，所需路径或轮廓线即为Ψ₁OΨ₂平面上中心在坐标轴原点O的椭圆弧段Z_E。式中H₁和H₂为椭圆的半轴。椭圆弧段Z_E上对应参数t的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ₁轴的夹角即为(ωt+α₀)。图中Z_E是一个第一象限的椭圆弧段。

当H₁＝H₂＝R₀，    (2-28)

所述的椭圆弧段Z_E即成为半径为R₀的圆弧段Z_C。

3、如第1或2点所述的插补方法，其特点为：

(1)所述坐标Ψ_k(k＝1、……、m_Ψ)共有二个坐标Ψ_k(k＝1、2)或说Ψ₁、Ψ₂，对应Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)可以表示为一组幅值相同为R₀、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α₀的余弦函数与正弦函数，其表达式为

${\mathrm{\Ψ}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_1)=R_0\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2})=R_0\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0),---(3-1)$

Ψ₂(t)＝H₂sin(ωt+α₂)＝R₀sin(ωt+α₀)，    (3-2)

式中，H₁＝H₂＝R₀，    (3-3)

${\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2},---(3-4)$

α₂＝α₀，    (3-5)

(2)对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂的替代坐标函数为Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)具有相同的幅值R_δ0，函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)的表达式为

Ψ_δ1(t)＝H_δ1cos(ωt+α₀)＝R_δ0cos(ωt+α₀)，    (3-6)

Ψ_δ2(t)＝H_δ2sin(ωt+α₀)＝R_δ0sin(ωt+α₀)，    (3-7)

式中，H_δ1＝H_δ2＝R_δ0，                          (3-8)

H_δ1＝H₁+δ₁＝H_δ2＝H₂+δ₂＝R₀+δ_R，              (3-9)

其中，δ₁＝δ₂＝δ_R，                             (3-10)

(3)对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂的替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)定义域等分为相同的n_C个分段，或者说，替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量Δτ_C或等效增量ΔT_C，

n₁＝n₂＝n_C，             (3-11)

Δτ₁＝Δτ₂＝Δτ_C，    (3-12)

ΔT₁＝ΔT₂＝ΔT_C。       (3-13)

由所述特点可知：

①在按第1或第2点所述的插补方法确定替代坐标函数值或其增量时，对应于坐标函数Ψ₂(t)的虚拟坐标函数Φ₂(t)就是坐标函数Ψ₁(t)，

Φ₂(t)＝R₀cos(ωt+α₀)＝Ψ₁(t)，    (3-14)

对应于替代坐标函数Ψ_δ2(t)的虚拟替代坐标函数Φ_δ2(t)就是替代坐标函数Ψ_δ1(t)，

Φ_δ2(t)＝Ψ_δ1(t)；                (3-15)

因此，在在插补计算过程中，无需为Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)另设虚拟替代坐标函数。

②如果坐标轴Ψ₁和Ψ₂构成了直角坐标系Ψ₁OΨ₂，则所需路径或轮廓线即为Ψ₁OΨ₂平面上圆心在坐标轴原点O、半径为R₀的圆弧段Z_C。圆弧段Z_C上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴Ψ₁的夹角即为(ωt+α₀)。每个等分圆弧段所对应的圆心角为

ΔT_C＝ωΔτ_C。    (3-16)

替代曲线或说替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)在Ψ₁OΨ₂平面上的图形就是半径为R_δ0的与Z_C同心的替代圆弧段Z_δC。

所述图形可参见图5，所述的Ψ₁、Ψ₂、R₀、R_δ0、α₀、t、Z_C、Z_δC分别对应图中的Φ_A、Ψ_A、H_A、H_δA、α_A、t、C_A、C_δA。图中C_A、C_δA分别是第一象限的圆弧段。

4、如上述第2点所述的插补方法，其特点为：对应所述坐标其幅值差的取值、其替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式，

0≤δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX≤ε_A，    (4-1)

$\left|\mathrm{\Δ}{T}_A\right|\≤\sqrt{8\×\frac{{\mathrm{\ϵ}}_A+{\mathrm{\δ}}_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-2)$

与公式(4-2)相应，其替代坐标函数定义域等分分段段数的取值满足下述公式，

$n\≥\mathrm{\ω}|t_{n+1}-t_1|\×\sqrt{\frac{1}{8}\×\frac{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{{\mathrm{\ϵ}}_A+{\mathrm{\δ}}_A\×{\left|\sin \right|(\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\left|\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-3)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某一个坐标，A是序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数与替代坐标函数分别为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，        (4-4)

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (4-5)

②δ_A为对应坐标Ψ_A的幅值差，

δ_A＝H_δA-H_A，                  (4-6)

③ΔT_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，                 (4-7)

④n为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分分段的段数，

⑤t₁为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，t_n+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

⑥|sin(ωt+α_A)|_MAX为在替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域范围内|sin(ωt+α_A)|的最大值，

⑦ε_A为以分段线性函数Ψ_δLA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_δL-A(t)|的允许值，

δΨ_δL＝A(t)＝Ψ_δLA(t)-Ψ_A(t)，    (4-8)

对应替代坐标函数Ψ_δA(t)的第i(i＝1、2、3、……、n)个分段定义域，所述的分段线性函数Ψ_δLA(t)为

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δLA}}\left(t\right)={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_i\right)+\frac{{\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_i\right)}{{\mathrm{\Δ\τ}}_A}(t-t_i),(i=\mathrm{1,2,3},\·\·\·\·\·\·,n),---(4-9)$

式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

(b)t_i(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的参数t的值，

t_i+1为与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值，

(c)ΔΨ_δA(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，

ΔΨ_δA(t_i)＝Ψ_δA(t_i+1)-Ψ_δA(t_i)，(i＝1、2、3、……、n)，    (4-10)

其中，Ψ_δA(t_i+1)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。

δ_A、|ΔT_A|的取值满足公式(4-1)、(4-2)，将使得所述的拟合误差|δΨ_δL-A(t)|不超过允许值ε_A。

对第1点所述的插补方法，如果对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域是等分的，且以等分分段的交点作为定义域的中间点；那么，同样只要δ_A、|ΔT_A|的取值满足公式(4-1)、(4-2)，就可以使得所述的拟合误差|δΨ_δL-A(t)|不超过允许值ε_A。

参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和Ψ_A，且坐标轴t和Ψ_A构成了直角坐标系tOΨ_A；则所需路径或轮廓线即为平面tOΨ_A上幅值为H_A、初始相位为α_A的正弦曲线段Z_A。其替代曲线段即为幅值为H_δA、初始相位为α_A的正弦曲线段Z_δA。

参见图3，分段线形函数Ψ_δLA(t)的图形就是由替代正弦曲线段Z_δA的n个等长内接弦构成的折线Z_δLA。以Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)，即相当于以折线Z_δLA拟合Z_A。替代正弦曲线段Z_δA分段的交点即为需要设定的替代正弦曲线段Z_δA的中间点，i(i＝1、2、3、……、n、n+1)就是包括替代正弦曲线段Z_δA的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。

根据公式(4-1)、(4-2)、(4-3)确定δ_A、|ΔT_A|、n取值的依据是：

(1)以替代圆弧段C_δA的内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差

①坐标函数Ψ_A(t)与对应的虚拟坐标函数Φ_A(t)是一组具有相同幅值H_A、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的正弦函数与余弦函数，

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，    (4-11)

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)。    (4-12)

替代坐标函数Ψ_δA(t)与对应的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)是一组具有相同幅值H_δA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的正弦函数与余弦函数，

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (4-13)

Φ_δA(t)＝H_δAcos(ωt+α_A)，     (4-14)

其中，H_δA＝H_A+δ_A，             (4-15)

δ_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)的幅值差。

②参见图5。虚拟坐标轴Φ_A和坐标轴Ψ_A构成了虚拟直角坐标系Φ_AOΨ_A。坐标函数Ψ_A(t)与虚拟坐标函数Φ_A(t)在Φ_AOΨ_A虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为H_A的圆弧段C_A。圆弧段C_A上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。替代坐标函数Ψ_δA(t)与虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)在Φ_AOΨ_A虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为H_δA的替代圆弧段C_δA。圆弧段C_δA上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域的端点与中间点对应着圆弧段C_δA的端点与中间点。图中C_A、C_δA分别是第一象限的圆弧段。

③以C_δA的内接弦拟合C_δA的径向误差

将替代圆弧段C_δA分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)的n个等分分段。每个分段对应的参数t的等效增量为ΔT_A，ΔT_A也是每个等分圆弧段对应的圆心角，

ΔT_A＝ωΔτ_A，    (4-16)

式中，Δτ_A为每个分段对应的参数t的增量。

以圆弧段C_δA的n个等分分段的内接弦构成的折线拟合C_δA，拟合产生的最大径向误差绝对值|δH_δA|发生在内接弦的中点处，且

$\left|{\mathrm{\δH}}_{\mathrm{\δA}}\right|\≈\left|{\mathrm{\δH}}_A\right|=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\Δ}{T}_A\right)}^2,---(4-17)$

式中，|δH_A|为以圆弧段C_A的n个等分圆弧段的内接弦构成的折线拟合圆弧段C_A的最大径向误差的绝对值。

④以C_δA的内接弦拟合C_A的径向误差

以圆弧段C_δA的内接弦构成的折线拟合圆弧段C_A，其最大径向误差绝对值|δH_δ-A|发生在内接弦的中点或内接弦的二个端点处。如果以|δH_δ-A，M|表示在中点处圆弧段C_δA内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差绝对值，以|δH_δ-A，D|表示在端点处圆弧段C_δA内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差绝对值，则所述|δH_δ-A|将等于|δH_δ-A，M|与|δH_δ-A，D|中数值较大者。

(a)在中点处圆弧段C_δA内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差绝对值|δH_δ-A，M|

(i)当C_δA内接弦与圆弧段C_A相交，C_δA内接弦就是C_A的割线，

$\left|\mathrm{\δ}{H}_{\mathrm{\δ}-A,M}\right|=\left|{\mathrm{\δH}}_{\mathrm{\δA}}\right|-{\mathrm{\δ}}_A\≈\left|{\mathrm{\δH}}_A\right|-{\mathrm{\δ}}_A=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\Δ}{T}_A\right)}^2-{\mathrm{\δ}}_A.---(4-18)$

此时， $\left|{\mathrm{\δH}}_{\mathrm{\δ}-A,M}\right|=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\Δ}{T}_A\right)}^2-{\mathrm{\δ}}_A>0,---(4-19)$

$\left|\mathrm{\Δ}{T}_A\right|>\sqrt{\frac{8{\mathrm{\δ}}_A}{H_A}}.---(4-20)$

(ii)当C_δA内接弦与圆弧段C_A相切，

$\left|\mathrm{\δ}{H}_{\mathrm{\δ}-A,M}\right|=\left|{\mathrm{\δH}}_A\right|-{\mathrm{\δ}}_A=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\Δ}{T}_A\right)}^2-{\mathrm{\δ}}_A=0,---(4-21)$

$\left|\mathrm{\Δ}{T}_A\right|=\sqrt{\frac{8{\mathrm{\δ}}_A}{H_A}}.---(4-22)$

(iii)当内接弦不与圆弧段C_A相交，在圆弧C_A段外侧，

$\left|\mathrm{\δ}{H}_{\mathrm{\δ}-A,M}\right|={\mathrm{\δ}}_A-\left|\mathrm{\δ}{H}_{\mathrm{\δA}}\right|\≈{\mathrm{\δ}}_A-\left|{\mathrm{\δH}}_A\right|-{\mathrm{\δ}}_A=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\Δ}{T}_A\right)}^2>0.---(4-23)$

此时|δH_δ-A，M|＜δ_A，    (4-24)

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|<\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}}.---(4-25)$

(b)在内接弦的端点处圆弧段C_δA各内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差绝对值|δH_δ-A，D|恒为δ_A，

|δH_δ-A，D|＝δ_A。        (4-26)

(2)δ_A、|ΔT_A|、n的取值

δ_A、|ΔT_A|、n的取值应保证|δH_δ-A|不超过允许值ε_Φ。

由于|δH_δ-A|等于|δH_δ-A，M|、|δH_δ-A，D|中数值较大者；因而，

(i)为满足|δH_δ-A|不超过允许值ε_Φ，必须有|δH_δ-A，M|、|δH_δ-A，D|都不超过允许值ε_Φ，

(ii)反之，当|δH_δ-A，M|、|δH_δ-A，D|都不超过允许值ε_Φ，一定有|δH_δ-A|不超过允许值ε_Φ。

因此，δ_A、|ΔT_A|、n的取值应保证|δH_δ-A，M|、|δH_δ-A，D|都不超过允许值ε_Φ。

①δ_A的取值

由于C_δA内接弦端点处径向误差绝对值|δH_δ-A，D|恒为δ_A，为使所述|δH_δ-A，D|不超过允许值ε_Φ，δ_A取值应满足下述公式，

0≤δ_A≤ε_Φ。    (4-27)

②|ΔT_A|的取值

(a)在端点处，以C_δA内接弦拟合C_A的径向误差绝对值|δH_δ-A，D|恒为δ_A，只要δ_A取值满足式(4-27)，|δH_δ-A，D|就不会超过允许值ε_Φ；|ΔT_A|的取值对|δH_δ-A，D|没有影响。

(b)在中点处，以C_δA内接弦拟合C_A的径向误差绝对值|δH_δ-A，M|应不超过允许值ε_Φ，

|δH_δ-A，M|≤ε_Φ。    (4-28)

(i)当圆弧段C_δA内接弦与圆弧段C_A相交，C_δA内接弦就是C_A的割线，

$\left|\mathrm{\&delta;}{H}_{\mathrm{\&delta;}-A,M}\right|=\left|{\mathrm{\&delta;H}}_{\mathrm{\&delta;A}}\right|-{\mathrm{\&delta;}}_A\&ap;\left|{\mathrm{\&delta;H}}_A\right|-{\mathrm{\&delta;}}_A=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^2-{\mathrm{\&delta;}}_A>0,---(4-18)$

此时， $\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|>\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}}.---(4-20)$

由式(4-18)可知，为使所述的拟合误差|δH_δ-A，M|不超过允许ε_Φ，|ΔT_A|的取值应满足下述公式，

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;\sqrt{\frac{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_A)}{H_A}}.---(4-29)$

(ii)当圆弧段C_δA内接弦与圆弧段C_A相切，拟合误差|δH_δ-A，M|为0，肯定不会超过允许值ε_Φ，

$\left|\mathrm{\&delta;}{H}_{\mathrm{\&delta;}-A,M}\right|=\left|{\mathrm{\&delta;H}}_A\right|-{\mathrm{\&delta;}}_A=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^2-{\mathrm{\&delta;}}_A=0<{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}},---(4-21)$

此时， $\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|=\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}}.---(4-22)$

(iii)当内接弦不与圆弧段C_A相交，在圆弧段外侧，

此时|δH_δ-A，M|＜δ_A，    (4-24)

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|<\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}}.---(4-25)$

由于

0≤δ_A≤ε_Φ    (4-27)

的限定，拟合误差|δH_δ-A，M|肯定不超过允许值ε_Φ，

|δH_δ-A，M|＜δ_A≤ε_Φ。    (4-30)

(iv)综合(i)、(ii)、(iii)所述可知，只要ΔT_A的取值满足公式(4-27)、(4-29)，就可使所述的拟合误差|δH_δ-A，M|不超过允许值ε_Φ，

|δH_δ-A，M|≤ε_Φ。    (4-28)

③综合①、②所述可知，为使以C_δA内接弦拟合C_A的径向误差绝对值|δH_δ-A|不超过允许值ε_Φ，δ_A的取值应满足下述公式，

0≤δ_A≤ε_Φ，    (4-31)

ΔT_A的取值应满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|\&le;\sqrt{\frac{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_A)}{H_A}},---(4-32)$

或|Δτ_A|的取值应满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_A\right|\&le;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;\sqrt{\frac{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_A)}{H_A}}.---(4-33)$

相应地，由于

$n=\frac{|t_{n+1}-t_1|}{\left|{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_A\right|},---(4-34)$

因此，圆弧段C_δA的分段段数其取值应满足

$n\&GreaterEqual;\mathrm{\&omega;}|t_{n+1}-t_1|\&times;\sqrt{\frac{H_A}{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_A)}}.---(4-35)$

④|ΔT_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX

(a)为加大|ΔT_A|取值以减少分段数，δ_A的取值应尽量大，但根据式(4-27)，δ_A不能超过ε_Φ；取

δ_A＝ε_Φ。    (4-36)

相应地，依据式(4-32)ΔT_A的取值应满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|\&le;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}}{H_A}},---(4-37)$

或 $\left|{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_A\right|\&le;4\&times;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}}{H_A}}.---(4-38)$

(b)|ΔT_A|或|Δτ_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX或|Δτ|_MAX为

${\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}}{H_A}},---(4-39)$

或 ${\left|\mathrm{\&Delta;\&tau;}\right|}_{\mathrm{MAX}}\&le;4\&times;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}}{H_A}}.---(4-40)$

而且，|ΔT_A|_MAX、|Δτ|_MAX对应着|δH_δA|或|δH_A|的最大允许值|δH_δA|_MZX或|δH_A|_MAX，

${\left|{\mathrm{\&delta;H}}_{\mathrm{\&delta;A}}\right|}_{\mathrm{MZX}}\&ap;{\left|{\mathrm{\&delta;H}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\frac{1}{8}{{\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}}^2{H}_A=\frac{1}{8}\&times;16\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}}{H_A}\&times;H_A={2\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Phi;}}={2\mathrm{\&delta;}}_A.---(4-41)$

此时，C_δA内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等，

|δH_δ-A，M|＝|δH_A|_MAX-δ_A＝2δ_A-δ_A＝δ_A＝|δH_δ-A，D|。    (4-42)

(3)以分段线形函数Ψ_δLA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差δΨ_δL＝A(t)

①以Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)的误差记以δΨ_δL＝A(t)，

δΨ_δL＝A(t)＝Ψ_δLA(t)-Ψ_A(t)。    (4-43)

②参见图2至图6。在tOΨ_A平面上，将Ψ_δA(t)所对应的正弦曲线段Z_δA分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)的n个等分分段；在虚拟Φ_AOΨ_A平面上，将Ψ_δA(t)与Φ_δA(t)所对应的圆弧段C_δA分成相同的n个等分分段。序号相同的Z_δA分段端点与C_δA相应分段端点所对应的t值相同，都是t_i(i＝1、2、3、……、n、n+1)。Z_δA分段与C_δA分段对应的参数t的增量或等效增量相同。以Z_δA的内接弦构成的折线拟合Z_A，其拟合误差为δΨ_δL＝A(t)；以C_δA的内接弦构成的折线拟合C_A，所述内接弦径向误差在坐标轴Ψ_A上的投影值记以δH_δ＝A，Ψ(t)。图6中，以t_M，u表示一个分段中点处的参数t的值，|δH_δ-A，Ψ(t_M，u)|即为对应t_M，u的所述径向误差绝对值在坐标轴上的投影值。

③以C_δA的内接弦构成的折线拟合C_A，其径向误差绝对值的最大值|δH_δ-A|发生在C_δA内接弦的中点或端点t_M/D处，且|δH_δ-A|在坐标轴Ψ_A上的投影为

|δH_δ-A，Ψ(t_M/D)|＝|δH_δ-A，M/D|×|sin(ωt_M/D+α_A)|。    (4-44)

式中δH_δ-A，M/D表示在t_M/D处以C_δA的内接弦构成的折线拟合C_A的径向误差。

④相应地认为，一个分段内，在中点或端点t_M/D处以正弦曲线段Z_δA的内接弦拟合正弦曲线段Z_A的误差绝对值也是最大，为|δΨ_δL-A(t_M./D)|。

在t_M/D处，正弦曲线段Z_A的函数值等于圆弧段对应坐标Ψ_A的坐标函数值Ψ_A(t_M/D)，也就是等于圆弧C_A半径在Ψ_A轴上的投影，

Ψ_A(t_M/D)＝H_Asin(ωt_M/D+α_A)。

在t_M/D处，替代正弦曲线段Z_δA的内接弦Z_δLA的函数值Ψ_δLA(t_M/D)等于替代圆弧段C_δA内接弦对应坐标Ψ_A的坐标函数值，也就是等于替代圆弧段内接弦的相应点与圆心的连线在Ψ_A上的投影。因此，在t_M/D处，以替代正弦曲线段Z_δA的内接弦Z_δLA拟合正弦曲线段Z_A的误差，等于以替代圆弧段C_δA内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差δH_δ-A，M/D在Ψ_A轴上的投影。或者说，在t_M/D处以分段线性函数Ψ_δLA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差δΨ_δL＝A(t_M/D)等于以替代圆弧段C_δA内接弦拟合圆弧段C_A的径向误差δH_δ-A，M/D在Ψ_A轴上的投影，

|δΨ_δL-A(t_M./D)|＝|δH_δ-A，Ψ(t_M/D)|＝|δH_δ-A，M/D|×|sin(ωt_M/D+α_A)|。    (4-45)

⑤在定义域范围内，|δΨ_δL-A(t_M./D)|的最大值|δΨ_δL-A(t_M./D)|_MAX为

|δΨ_δL-A(t_M./D)|_MAX＝|δH_δ-A，M/D|_MAX×|sin(ωt_M/D+α_A)|_MAX，    (4-46)

式中，|sin(ωt_M/D+α_A)|_MAX为在替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域范围内|sin(ωt_M/D+α_A)|的最大值，|δH_δ-A，M/D|_MAX为在所述定义域范围内|δH_δ-A，M/D|的最大值。

由于|ΔT_A|或说|Δτ_A|很小，可以认为

|sin(ωt_M/D+α_A)|_MAX＝|sin(ωt+α_A)|_MAX，    (4-47)

式中，|sin(ωt+α_A)|_MAX为在替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域范围内|sin(ωt+α_A)|的最大值。

因而，式(4-46)可以改写为

|δΨ_δL-A(t_M./D)|_MAX＝|δH_δ-A，M/D|_MAX×|sin(ωt+α_A)|_MAX。    (4-48)

由于所述的最大值|δΨ_δL-A(t_M./D)|_MAX也就是所述的拟合误差δΨ_δL＝A(t)绝对值的最大值|δΨ_δL-A(t)|_MAX，所述的最大值|δH_δ-A，M/D|_MAX也就是|δH_δ-A，M|、|δH_δ-A，D|中数值较大者即|δH_δ-A|；因此，式(4-48)可以改写为

|δΨ_δL-A(t)|_MAX＝|δH_δ-A|×|sin(ωt+α_A)|_MAX。    (4-49)

(4)δ_A、|ΔT_A|、n的取值

①δ_A的取值

C_δA内接弦端点处径向误差绝对值|δH_δ-A，D|恒为δ_A，相应地，端点处以Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)的误差绝对值的最大值|δΨ_δL-A(t)|_MAX为δ_A|sin(t+α_A)|_MAX，其值不能超过允许值ε_A；因此，δ_A取值应满足

0≤δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX≤ε_A，       (4-50)

或0≤δ_A≤ε_A/|sin(ωt+α_A)|_MAX。    (4-51)

②|ΔT_A|的取值

(a)在端点处，以Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_δL-A(t)|最大值恒为δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX，只要取值满足式(4-50)，|δΨ_δL-A(t)|最大值|δΨ_δL-A(t)|_MAX就不会超过允许值ε_A；|ΔT_A|取值对之没有影响。

(b)在中点处，以Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)的误差绝对值的最大值|δΨ_δL-A(t)|_MAX应不超过允许值ε_A，

|δΨ_δL-A(t)|_MAX＝|δH_δ-A，M||sin(ωt+α_A)|_MAX≤ε_A。    (4-52)

(i)当 $\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|>\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}},---(4-20)$

C_δA内接弦与圆弧段C_A相交，C_δA内接弦就是C_A的割线；此时，为满足式(4-52)的要求，由式(4-18)、(4-52)可知，应有

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;\sqrt{8\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-53)$

或 $\left|\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A\right|\&le;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;\sqrt{8\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(4-54)$

(ii)当 $\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|=\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}},---(4-22)$

C_δA内接弦与圆弧段C_A相切，中点处|δH_δ-A，M|将为0，

$\left|\mathrm{\&delta;}{H}_{\mathrm{\&delta;}-A,M}\right|=\left|\mathrm{\&delta;}{H}_A\right|-{\mathrm{\&delta;}}_A=\frac{1}{8}{H}_A{\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^2-{\mathrm{\&delta;}}_A=0.---(4-21)$

因而，相应的Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)的误差|δΨ_δL-A(t)|为0，

|δΨ_δL-A(t)|＝|δH_δ-A，M||sin(ωt+α_A)|_MAX＝0＜ε_A。    (4-55)

(iii)当 $\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|<\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}},---(4-24)$

C_δA内接弦不与圆弧段C_A相交，在圆弧段C_A外侧，此时总有

|δH_δ-A，M|＜δ_A。    (4-25)

只要δ_A取值满足式(4-50)，|δΨ_δL-A(t)|_MAX都不会超过允许值ε_A，

|δΨ_δL-A(t)|_MAX＝|δH_δ-A，M||sin(ωt+α_A)|_MAX＜δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX≤ε_A。    (4-56)

(iv)综合(i)、(ii)、(iii)所述可知，在中点处，只要ΔT_A的取值满足公式(4-53)，就可满足公式(4-52)的要求，使所述的拟合误差|δΨ_δL-A(t)|_MAX不超过允许值ε_A。

③综合①、②所述可知，为使所述的拟合误差|δΨ_δL-A(t)|不超过允许值ε_A；δ_A的取值应满足下述公式，

0≤δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX≤ε_A，       (4-57)

或0≤δ_A≤ε_A/|sin(ωt+α_A)|_MAX，    (4-58)

ΔT_A的取值应满足下述公式，

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;\sqrt{8\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-59)$

或|Δτ_A|的取值应满足下述公式

$\left|\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A\right|\&le;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;\sqrt{8\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-60)$

相应地，替代坐标函数定义域的等分分段段数n的取值应满足

$n\&GreaterEqual;\mathrm{\&omega;}|t_{n+1}-t_1|\&times;\sqrt{\frac{1}{8}\&times;\frac{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A\&times;{\left|\sin \right|(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\left|\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(4-61)$

④|ΔT_A|的最大允许取值

(a)为加大|ΔT_A|取值，以减少分段数；δ_A的取值尽量大，但根据式(4-50)δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX不能超过ε_A；取

δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX＝ε_A。    (4-62)

相应地，根据式(4-59)，ΔT_A的取值应满足下述公式，

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-63)$

或 $\left|\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A\right|\&le;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(4-64)$

(b)|ΔT_A|或|Δτ_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX或|Δτ|_MAX为

${\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-65)$

或 ${\left|\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\&times;\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(4-66)$

而且，|ΔT_A|_MAX对应着|δH_δA|或|δH_A|的最大允许值|δH_δA|_MZX或|δH_A|_MAX，

${\left|\mathrm{\&delta;}{H}_{\mathrm{\&delta;A}}\right|}_{\mathrm{MZX}}\&ap;{\left|\mathrm{\&delta;}{H}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\frac{1}{8}{{\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}}^2{H}_A=\frac{1}{8}\&times;16\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}\&times;H_A=$

$=2{\mathrm{\&epsiv;}}_A/{\left|\sin (t+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}=2{\mathrm{\&delta;}}_A.---(4-67)$

此时，以C_δA内接弦拟合C_A，内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等，

|δH_δ-A，M|＝|δH_A|_MAX-δ_A＝2δ_A-δ_A＝δ_A＝|δH_δ-A，D|。    (4-68)

5、如第4点所述的一种插补方法，其特点为：所述|sin(ωt+α_A)|_MAX以1替换。

相应地，所述δ_A、ΔT_A或n的取值满足下述公式，

0≤δ_A≤ε_A，    (5-1)

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;\sqrt{8\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A}{H_A}},---(5-2)$

或 $n\&GreaterEqual;\mathrm{\&omega;}|t_{n+1}-t_1|\&times;\sqrt{\frac{1}{8}\&times;\frac{H_A}{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A}}.---(5-3)$

满足公式(5-1)、(5-2)或(5-3)的δ_A、|ΔT_A|或n的取值，可以使得对任何可能的定义域，都可做到以分段线性函数Ψ_δLA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_δL-A(t)|不超过允许值ε_A。

6、如第4点所述的插补方法，其特点为：对应坐标Ψ_A其幅值差δ_A取值为

δ_A＝ε_A/|sin(ωt+α_A)|_MAX。    (6-1)

相应地，所述ΔT_A或n的取值满足下述公式，

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(6-2)$

或 $n\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&omega;}|t_{n+1}-t_1|}{4}\&times;\sqrt{\frac{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&epsiv;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}},---(6-3)$

|ΔT_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX为

${\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(6-4)$

依据式(6-4)确定的|ΔT_A|_MAX是对应Ψ_δA(t)定义域所述拟合误差|δΨ_δL-A(t)|不超过允许值ε_A的|ΔT_A|的最大允许取值。

7、如第5点所述的插补方法，其特点为：对应坐标Ψ_A其幅值差δ_A取值为ε_A，

δ_A＝ε_A。    (7-1)

相应地，所述ΔT_A或n的取值满足下述公式，

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right|\&le;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A}},---(7-2)$

或 $n\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&omega;}|t_{n+1}-t_1|}{4}\&times;\sqrt{\frac{H_A}{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}}---(7-3)$

|ΔT_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX为

${\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A}}.---(7-4)$

依据式(7-4)确定的|ΔT_A|_MAX是对应任何可能的的定义域所述拟合误差|δΨ_δL-A(t)|都不超过允许值ε_A的|ΔT_A|的最大允许取值。

8、如第3点所述的插补方法，其特点为：对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂其幅值差δ_R的取值、其替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量|ΔT_C|的取值满足下述公式，

0≤δ_R≤ε_C，    (8-1)

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_C\right|\&le;\sqrt{\frac{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_C+{\mathrm{\&delta;}}_R)}{R_0}},---(8-2)$

与公式(8-2)相应，其替代坐标函数定义域等分分段段数n_C的取值满足下述公式，

$n_C\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&omega;}|t(n_C+1)-t_1|}{4}\&times;\sqrt{\frac{R_0}{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_C+{\mathrm{\&delta;}}_R)}},---(8-3)$

式中，①t₁为替代坐标函数Ψ_δ1(t)或Ψ_δ2(t)定义域起点对应的参数t的值，

t(n_C+1)为替代坐标函数Ψ_δ1(t)或Ψ_δ2(t)定义域终点对应的参数t的值，

②ε_C为以圆弧段Z_δC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Z_C的径向误差的绝对值的允许值，圆弧段Z_δC为替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)在坐标轴Ψ1和Ψ2构成的直角坐标系Ψ₁OΨ₂的坐标平面上的图形，圆弧段Z_C为坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)在坐标平面Ψ₁OΨ₂上的图形。所述圆弧段Z_C、Z_δC可参见图5，所述的Ψ₁、Ψ₂、R₀、R_δ0、α₀、t、Z_C、Z_δC分别对应图中的Φ_A、Ψ_A、H_A、H_δA、α_A、t、C_A、C_δA。

满足公式(8-1)、(8-2)或(8-3)的δ_R、|ΔT_C|或n_C取值，将使得以圆弧段Z_δC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Z_C的径向误差的绝对值不超过允许值ε_C。

其依据见第4点中对于确定δ_A、|ΔT_A|、n取值的依据的相关分析。

9、如第8点所述的插补方法，其特点为：所述δ_R取值为ε_C，

δ_R＝ε_C。    (9-1)

相应地，所述|ΔT_C|或n_C的取值满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_C\right|\&le;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_C}{R_0}},---(9-2)$

或 $n_C\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&omega;}|t(n_C+1)-t_1|}{4}\&times;\sqrt{\frac{R_0}{{\mathrm{\&epsiv;}}_C}},---(9-3)$

|ΔT_C|的最大允许取值|ΔT_C|_MAX为

${\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_C\right|}_{\mathrm{MAX}}=4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_C}{R_0}}.---(9-4)$

10、如第1、2或4至9点中任何一点所述的插补方法，其特点在于：所述ω取值为1，

ω＝1。    (10-1)

也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的替代坐标函数定义域各分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。

11、如第3点所述的插补方法，其特征在于：所述ω取值为1，

ω＝1。    (11-1)

也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的替代坐标函数定义域各分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。

值得注意的是，如果一个坐标函数是由若干个函数之和构成，则该坐标函数的插补结果等于构成该坐标函数的各个函数各自的插补结果之和。特别是，构成该坐标函数的某个函数如果是常量，则该常量不会影响该函数的增量值。此外，所需路径或轮廓线其所在的直角坐标系坐标轴平移时，也不影响其位置坐标值增量的数值。

本发明的有益效果为：本发明针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种设定替代曲线的新插补方法，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量，且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。

【附图说明】

图1是本发明的坐标函数Ψ_A(t)插补的程序流程图，

图2是本发明的正弦曲线示意图，

图3是本发明的分段线性函数示意图，

图4是本发明的正弦曲线段局部示意图，

图5是本发明的圆弧曲线示意图，

图6是本发明的圆弧曲线局部示意图，

图7是本发明的椭圆曲线示意图。

【具体实施方式】

一、参见图1，这是坐标函数Ψ_A(t)插补的程序流程图。所述的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，    (J1-1)

程序由步骤(1)至步骤(9)组成：

(1)设定Ψ_A(t)的替代坐标函数Ψ_δA(t)，

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (J1-2)

H_δA＝H_A+δ_A；    (J1-3)

确定替代坐标函数Ψ_δA(t)的幅值差δ_A的数值。

(2)将替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点；确定替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点及中间点所对应的参数t的等效增量ΔT_A，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，是常数，

ΔT_A＝ωΔτ_A＝常数。    (J1-4)

(3)确定替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中间点的个数n-1；以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)表示包括定义域端点与中间点在内的点的序号，中间点的序号为i(i＝2、3、……、n)。

(4)初始化i值，即将i设置为2，

2→i。    (J1-5)

(5)确定序号为i的中间点所对应的替代坐标函数函数值增量ΔΨ_δA(t)的值。

(6)存储/输出运算结果。

(7)判定

i＝n？    (J1-6)

若i≠n，表明插补尚未完成，则转至步骤(8)，

若i＝n，则转至步骤(9)。

(8)将i加1，并保存，

i+1→i；    (J1-7)

再转至步骤(5)，继续进行插补。

(9)插补完成。

二、参见图2，这是正弦曲线示意图。在直角坐标系tOΨ_A下的一个幅值为H_A、初始相位为α_A的正弦曲线Q_A，其坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)。    (J2-1)

曲线Q_A的替代曲线为幅值为H_δA、初始相位为α_A的正弦曲线Q_δA；相应地，替代坐标函数为

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，    (J2-2)

式中，H_δA＝H_A+δ_A，            (J2-3)

δ_A是替代坐标函数Ψ_δΛ(t)的幅值差。

对应于所需路径或轮廓线，坐标函数Ψ_A(t)、Ψ_δA(t)定义域为[t₁，t_n+1]。该定义域对应的正弦曲线段记以Z_A，对应的替代正弦曲线段记以Z_δA。

三、参见图3，这是等分分段线性函数示意图。在直角坐标系tOΨ_A下的替代正弦曲线段Z_δA，其替代坐标函数为

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)。    (J3-1)

n是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域的等分分段数。正弦曲线段Z_δA的n个等分分段的内接弦构成折线Z_δLA，其相应的分段线性函数Ψ_δLA(t)为

${\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;LA}}\left(t\right)={\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_i\right)+\frac{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_i\right)}{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A}(t-t_i),(t_i\&le;t\&le;t_{i+1}),$

(i＝1、2、3、……、n)，    (J3-2)

式中，①i(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

②t_i(i＝1、2、3、……、n、n+1)是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，

t₁是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

[t₁、t_u+1]是替代坐标函数Ψ_δA(t)的定义域，

③Δτ_A是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量值，是常数，

④ΔΨ_δA(t_i)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，

ΔΨ_δA(t_i)＝Ψ_δA(t_i+1)-Ψ_δA(t_i)，(i＝1、2、3、……、n)，    (J3-4)

其中，Ψ_δA(t_i+1)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_i)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。

图中，n＝4。    (J3-5)

四、参见图4，这是正弦曲线段局部示意图。示意图表示相应于定义域[t₁，t_n+1]的一个分段，正弦曲线段Z_A、替代正弦曲线段Z_δA及由替代正弦曲线段Z_δA内接弦构成的折线Z_δLA之间的关系。图中以u表示所示分段的序号。该分段对应的参数t的区间为[t_u，t_u+1]。[t_u，t_u+1]的中点以t_M，u表示。Ψ_A(t_M，u)、Ψ_δA(t_M，u)、Ψ_δLA(t_M，u)分别是对应于t_M，u函数Ψ_A(t)、Ψ_δA(t)、Ψ_δLA(t)的值。δΨ_δ-LA(t_M，u)是对应于点t_M，u以Ψ_δLA(t)拟合Ψ_A(t)的误差δΨ_δ-LA(t)，

δΨ_δ-LA(t_M，u)＝Ψ_δLA(t_M，u)-Ψ_A(t_M，u)。    (J4-1)

五、参见图5，这是圆弧曲线示意图。在直角坐标系Φ_AOΨ_A下的一个圆心在坐标轴原点O、半径为H_A的圆弧曲线Q_C，其坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，    (J5-1)

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)。    (J5-2)

圆弧Q_C上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。

替代圆弧曲线Q_Cδ为圆心在坐标轴原点O、半径为H_δA的圆弧，其坐标函数为

Ψ_δA(t)＝H_δAsin(ωt+α_A)，   (J5-3)

Φ_δA(t)＝H_δAcos(ωt+α_A)，    (J5-4)

式中H_δA＝H_A+δ_A，              (J5-5)

δ_A是Ψ_δA(t)、Φ_δA(t)的幅值差。

圆弧Q_Cδ上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。

坐标函数Ψ_A(t)、Φ_A(t)、Ψ_δA(t)、Φ_δA(t)定义域为[t₁，t_n+1]。该定义域对应的圆弧曲线段记以C_A，对应的替代圆弧曲线段记以C_δA；替代圆弧段C_δA上的一个分段所对应的参数t的等效增量记以ΔT_A。图中C_A、C_δA分别是第一象限的圆弧段。

六、参见图6，这是圆弧曲线局部示意图。示意图表示相应于第一象限圆弧段C_A的一个分段，其圆弧段C_A、替代圆弧段C_δA及由替代圆弧曲线段C_δA内接弦之间的关系。

①图中圆弧段C_δA的内接弦是圆弧段C_A的割线。以圆弧段C_δA内接弦构成的折线拟合圆弧段C_A，实际上就是由圆弧段C_A的割线构成的折线拟合圆弧段C_A；从而减小拟合的误差。

②以t_M，u表示一个分段中点处的参数t的值。对应t_M，u，所述C_δA内接弦拟合C_A的径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δH_δ-A，Ψ(t_M，u)|。

③圆弧段C_δA的等分分段对应的圆心角为ΔT_A。以l_δA表示圆弧段C_δA一个分段的内接弦的长度。对应于t_u有

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)=l_{\mathrm{\&delta;A}}\cos [\mathrm{\&omega;}(t_u+\frac{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A}{2})+{\mathrm{\&alpha;}}_A]=l_{\mathrm{\&delta;A}}\cos (\mathrm{\&omega;}{t}_u+\frac{\mathrm{\&Delta;}{T}_A}{2}+{\mathrm{\&alpha;}}_A),---(J6-1)$

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)=-l_{\mathrm{\&delta;A}}\sin [\mathrm{\&omega;}(t_u+\frac{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_A}{2})+{\mathrm{\&alpha;}}_A]={-l}_{\mathrm{\&delta;A}}\sin (\mathrm{\&omega;}{t}_u+\frac{\mathrm{\&Delta;}{T}_A}{2}+{\mathrm{\&alpha;}}_A),---(J6-2)$

式中，ΔT_A＝ωΔτ_A。    (J6-3)

七、参见图7，这是椭圆曲线示意图。在直角坐标系Ψ₁OΨ₂下的中心在坐标轴原点O的椭圆曲线Q_E，其坐标函数为

${\mathrm{\&Psi;}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_1)=H_1\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_0+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})=H_1\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_0),---(J7-1)$

Ψ₂(t)＝H₂sin(ωt+α₂)＝H₂sin(ωt+α₀)，    (J7-2)

式中， ${\mathrm{\&alpha;}}_1={\mathrm{\&alpha;}}_0+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},---(J7-3)$

α₂＝α₀，    (J7-4)

H₁、H₂为椭圆的半轴，椭圆曲线Q_E上对应参数t的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ₁轴的夹角即为(ωt+α₀)。坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域所对应的椭圆曲线段记以Z_E；图中Z_E是一个第一象限的椭圆弧段。

八、实施例

所需路径或轮廓线是在直角坐标平面Ψ_XOΨ_Y上圆心在坐标轴原点O、半径为R₀的第1象限圆弧段Z_C。其坐标函数为

Ψ_X(t)＝R₀cost，    (L-1)

Ψ_Y(t)＝R₀sint。    (L-2)

R₀＝50000。         (L-3)

圆弧段Z_C上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴Ψ_X的夹角即为参数t。

要求以折线拟合圆弧段Z_C的最大径向误差绝对值不超过ε_C，

ε_C＝0.5。          (L-4)

参见图5，所述Ψ_X、Ψ_Y、R₀、t、Z_C分别是图中的Φ_A、Ψ_A、H_A、t、C_A。对于本例，图中α_A等于0。

以替代圆弧段Z_δC的内接弦构成的折线拟合圆弧段Z_C。其插补过程如下：

1、设定替代曲线 确定幅值差

(1)设定替代曲线

将第1象限圆弧段Z_C的替代曲线设定为与之同心的圆弧段Z_δC，以替代圆弧段Z_δC的内接弦拟合圆弧段Z_C。参见图5，Z_δC是图中的C_δA。Z_δC的坐标函数为

Ψ_δX(t)＝R_δ0cost，    (L-5)

Ψ_δY(t)＝R_δ0sint，    (L-6)

R_δ0＝R₀+δ_R。          (L-7)

(2)确定Ψ_δX(t)、Ψ_δY(t)的幅值差δ_R

根据公式(9-1)，取

δ_R＝ε_C＝0.5，              (L-8)

则R_δ0＝R₀+δ_R＝50000.5。    (L-9)

参见图5，Ψ_X、Ψ_Y、R_δ0、t、Z_δC分别是图中的Φ_A、Ψ_A、H_δA、t、C_δA。

2、确定内接弦对应的圆心角ΔT_C与圆弧段Z_δC的分段

(1)确定ΔT_C

将圆弧段Z_δC等分。以ΔT_C表示圆弧段Z_δC各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，ΔT_C也就是圆弧段Z_δC内接弦对应的圆心角。对于本例，ΔT_C等于所述参数t的增量Δτ_C，

ΔT_C＝Δτ_C。    (L-10)

本例要求Z_δC内接弦拟合Z_C的径向误差绝对值的最大值|δR_δ-0，M|不超过0.5，则根据公式(4-37)，

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_C\right|\&le;4\&times;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_C}{R_0}}=4\&times;\sqrt{\frac{0.5}{50000}}=0.012649,---(L-11)$

取|ΔT_C|＝0.012649，    (L-12)

(2)确定圆弧段Z_δC分段段数

依据式(L-12)确定的ΔT_C值对圆弧段Z_δC进行分段，其分段段数理论值n_CL应为

$n_{\mathrm{CL}}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2\&times;0.0126}=124.18,---(L-13)$

实际分段段数n_C只能是整数，取

n_C＝125。    (L-14)

此时，|ΔT_C|实际值为

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_c\right|=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2\&times;n_C}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2\&times;125}=0.01257.---(L-15)$

根据公式(4-18)，此时Z_δC内接弦拟合Z_C中点处径向误差为

|δR_δ-0，M|＝|δR_δ0|-δ_R＝0.487＜ε_C。    (L-16)

根据公式(4-26)，Z_δC内接弦拟合Z_C端点处的径向误差绝对值为

|δR_δ-0，D|＝δ_R＝ε_C＝0.5。    (L-17)

3、确定替代坐标函数定义域中间点的位置坐标值

以i_C(i_C＝1、2、3、……、125、126)表示构成逼近圆弧Z_C的折线的125个内接弦的起点及最后一个内接弦的终点在内的各点的序号，也就是坐标函数Ψ_δX(t)、Ψ_δY(t)定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。二个端点分别对应着序号1及126。二个端点间的中间点分别对应着序号

i_C＝2、3、……、125。    (L-18)

(1)当i_C＝1，即圆弧段Z_C起点，其位置坐标值为已知

Ψ_δX(t₁)＝R_δ0＝50000.5，    (L-19)

Ψ_δY(t₁)＝0，                (L-20)

式中t₁＝0。              (L-21)

(2)当i_C＝2～125，以u+1表示i_C(i_C＝2、3、……、125)中的某个中间点的序号，u代表与之相邻的前一个点的序号.，

①根据第3点可知，Ψ_X(t)可视为Ψ_Y(t)的虚拟坐标函数，可根据展开式(2-1)、(2-2)确定圆弧段各中间点的坐标函数值增量。根据第2点对于展开式项数的分析，将展开式(2-1)、(2-2)的项数取为4。因此，

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;X}}\left(t_{u+1}\right)=\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;X}}\left(t_u\right)-\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;Y}}\left(t_u\right)\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)-\frac{1}{2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;X}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;Y}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^3,---(L-22)$

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;Y}}\left(t_{u+1}\right)=\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;Y}}\left(t_u\right)-\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;X}}\left(t_u\right)\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)-\frac{1}{2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;Y}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;X}}\left(t_u\right){\left(\mathrm{\&Delta;}{T}_A\right)}^3.---(L-23)$

对应圆弧段起点的位置坐标值增量ΔΨ_δX(t₁)、ΔΨ_δY(t₁)，可由其它计算机确定并将之作为后续插补运算的已知条件。

②相应的各中间点的位置坐标值Ψ_δX(t_u+1)、Ψ_δY(t_u+1)由下式确定

Ψ_δX(t_u+1)＝Ψ_δX(t_u)+ΔΨ_δX(t_u)，    (L-24)

Ψ_δY(t_u+1)＝Ψ_δY(t_u)+ΔΨ_δY(t_u)。    (L-25)

(3)当i_C＝125，即对应最后一个中间点，其相应的位置坐标值增量ΔΨ_δX(t₁₂₅)、ΔΨ_δY(t₁₂₅)无需计算；因为最后一个内接弦的终点即圆弧段Z_δC的终点，其位置坐标值是已知的，

Ψ_δX(t₁₂₆)＝0，          (L-26)

Ψ_δY(t₁₂₆)＝50000.5。    (L-27)

如果不设替代曲线，直接以圆弧段Z_C的内接弦拟合圆弧段Z_C；为了保证内接弦相对圆弧段Z_C的径向误差绝对值不超过ε_C，则应有

$\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_C\right|\&le;\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&epsiv;}}_C}{R_0}}.---(L-28)$

若取 $\left|\mathrm{\&Delta;}{T}_C\right|=\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&epsiv;}}_C}{R_0}},---(L-29)$

则式(L-29)的|ΔT_C|取值是式(L-12)的|ΔT_C|取值的

倍。由此可见，在保证最大径向误差绝对值不超过相同的允许值ε_C条件下，设定替代曲线将允许减小分段段数，从而减小插补运算量。

由于第一象限的1/4圆弧相对角XOY的平分线是对称的；因此，插补可以只针对圆心角为0～(π/4)部分的圆弧进行。圆心角为(π/4)～(π/2)部分的圆弧的位置坐标值或其增量可利用所述的对称性获得，计算量可以节省约50％。

Claims (11)

1.一种设定替代曲线的新数控插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线的曲线Q上的点的位置坐标中包括有一个或若干个坐标或说m_Ψ个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数分别为以参数t为自变量、幅值分别为H_k(k＝1、2、3、……m_Ψ)、初始相位分别为α_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为

Ψ_k(t)＝H_k sin(ωt+α_k)，    (k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-1)

所述曲线Q对应坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)变化的以参数t为自变量的函数，

所述参数t或是该曲线Q上的点的位置坐标中的一个坐标，或是这些坐标之外的另一个参数，所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值，

针对所需路径或轮廓线的插补就是针对其坐标函数的插补，

针对坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的插补步骤包括，

(1)设定对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，所述的对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)是替代所需路径或轮廓线Q的替代曲线Q_δ对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数，或说是坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的替代坐标函数，

(2)确定替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域二个端点间的中间点，包括，

①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值，

②确定所述中间点的个数，

所述插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的替代坐标函数值相等，整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数Ψ_δLk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，而坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)将以分段线性函数Ψ_δLk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)拟合，

(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值，

(4)存储/输出运算结果，

输出的运算结果将依次送给直线插补器，对应所需路径或轮廓线Q一组相邻二点的位置坐标值，直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列，并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动，产生一个直线段的运动轨迹，或者，输出的运算结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控对象运动，对应所需路径或轮廓线Q一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹，受控对象整个运动轨迹将是一个由上述直线段构成的折线，折线的起点、终点、中间点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合；

其特征在于：

(1)对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的替代坐标函数设定为与相应的坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数，其表达式为

Ψ_δk(t)＝H_δk sin(ωt+α_k)    (k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-2)

式中，H_δk＝H_k+δ_k，           (k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-3)

其中δ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)为替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的幅值差，或说是对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的幅值差，其数值等于替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)幅值H_δk(k＝1、2、3、……、m_Ψ)相对相应的坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)幅值H_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)之差，

δ_k＝H_δk-H_k，    (k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-4)

δ_k≥0，         (k＝1、2、3、……、m_Ψ)，    (1-5)

(2)将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域分段，以分段的交点作为定义域的中间点，所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定，

${\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)+{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^3+......+$

$+\frac{1}{v^{\&prime;}!}{\left[\frac{d^{v^{\&prime;}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^{v^{\&prime;}},---(1-6)$

${\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)-{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^3+......+$

$+\frac{1}{v^{\&prime;\&prime;}!}{\left[\frac{d^{v^{\&prime;\&prime;}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\&prime;\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^{v^{\&prime;\&prime;}},---(1-7)$

式中，①以A表示序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应序号A的坐标函数与替代坐标函数分别为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，                      (1-8)

Ψ_δA(t)＝H_δA sin(ωt+α_A)，                   (1-9)

其中，H_δA＝H_A+δ_A，                            (1-10)

δ_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)的幅值差，

②u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

以，n表示替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，

二个端点分别对应着序号1及n+1，

二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，

所述定义域起点指的是与所述替代曲线Q_δ起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述替代曲线Q_δ终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t_u+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，

t₁为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_u为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量，其数值为相应的所述参数t的增量Δt_u的

倍，

ΔT_u＝ωΔt_u，                                 (1-11)

Δt_u＝t_u+1-t_u，                                (1-12)

⑤Ψ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，

⑥Ψ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，

⑦Φ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)的函数值，

⑧Φ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)的函数值，

⑨v′+1为正整数，是展开式(1-6)的项数，

v′≥0，                                      (1-13)

⑩v″+1为正整数，是展开式(1-7)的项数，

v″≥0，                                      (1-14)

上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)是一个与替代坐标函数Ψ_δA(t)对应的函数，或说是一个与Ψ_δA(t)具有相同幅值H_δA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_δA(t)＝H_δA cos(ωt+α_A)，                  (1-15)。

2.如权利要求1所述的插补方法，其特征在于：

(1)将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各替代坐标函数Ψ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，

(2)所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值增量ΔΨ_δk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定：

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)+{\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_{\text{A}}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^3+......+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}},---(2-1)$

${\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)-{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^3+......+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}},---(2-2)$

式中，①以A表示序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应序号A的坐标函数与替代坐标函数分别为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，                        (2-3)

Ψ_δA(t)＝H_δA sin(ωt+α_A)，                     (2-4)

其中，H_δA＝H_A+δ_A，                              (2-5)

δ_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)的幅值差，

②u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域的起点的序号，

以n表示替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域分段的段数，以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，

二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，

所述定义域起点指的是与所述替代曲线Q_δ起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述替代曲线Q_δ终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t_u+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，

t₁为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，                                 (2-6)

⑤ΔΨ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值增量，

ΔΨ_δA(t_u+1)＝Ψ_δA(t_u+2)-Ψ_δA(t_u+1)，           (2-7)

其中，Ψ_δA(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，

⑥ΔΨ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量，

ΔΨ_δA(t_u)＝Ψ_δA(t_u+1)-Ψ_δA(t_u)，               (2-8)

其中，Ψ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，

⑦ΔΦ_δA(t_u+1)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)的函数值增量，

ΔΦ_δA(t_u+1)＝Φ_δA(t_u+2)-Φ_δA(t_u+1)，            (2-9)

其中，Φ_δA(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟替代坐标函数值，

Φ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，

⑧ΔΦ_δA(t_u)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)的函数值增量，

ΔΨ_δA(t_u)＝Φ_δA(t_u+1)-Φ_δA(t_u)，                (2-10)

其中，Φ_δA(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，

Φ_δA(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值，

⑨κ′+1为正整数，是展开式(2-1)的项数，

κ′≥0，                                         (2-11)

⑩κ″+1为正整数，是展开式(2-2)的项数，

κ″≥0，                                         (2-12)

上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ_δA(t)是一个与替代坐标函数Ψ_δA(t)对应的函数，或说是一个与Ψ_δA(t)具有相同幅值H_δA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_δA(t)＝H_δA cos(ωt+α_A)，                      (2-13)。

3.如权利要求1或2所述的插补方法，其特征在于：

(1)所述坐标Ψ_k(k＝1、……、m_Ψ)共有二个坐标Ψ_k(k＝1、2)或说Ψ₁、Ψ₂，对应Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)可以表示为一组幅值相同为R₀、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α₀的余弦函数与正弦函数，其表达式为

${\mathrm{\&Psi;}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_1)=R_0\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_0+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})=R_0\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_0),---(3-1)$

Ψ₂(t)＝H₂ sin(ωt+α₂)＝R₀ sin(ωt+α₀)，         (3-2)

式中，H₁＝H₂＝R₀，                                 (3-3)

${\mathrm{\&alpha;}}_1={\mathrm{\&alpha;}}_0+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},---(3-4)$

α₂＝α₀，                                         (3-5)

(2)对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂的替代坐标函数为Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)具有相同的幅值R_δ0，函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)的表达式为

Ψ_δ1(t)＝H_δ1 cos(ωt+α₀)＝R_δ0 cos(ωt+α₀)，    (3-6)

Ψ_δ2(t)＝H_δ2 sin(ωt+α₀)＝R_δ0 sin(ωt+α₀)，    (3-7)

式中，H_δ1＝H_δ2＝R_δ0，                            (3-8)

H_δ1＝H₁+δ₁＝H_δ2＝H₂+δ₂＝R₀+δ_R，                (3-9)

其中，δ₁＝δ₂＝δ_R，                              (3-10)

(3)对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂的替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)定义域等分为相同的n_C个分段，或者说，替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量Δτ_C或等效增量ΔT_C，

n₁＝n₂＝n_C，                                       (3-11)

Δτ₁＝Δτ₂＝Δτ_C，                              (3-12)

ΔT₁＝ΔT₂＝ΔT_C，                                 (3-13)。

4.如权利要求2所述的插补方法，其特征在于：所述替代坐标函数的幅值差的取值、所述替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式，

0≤δ_A|sin(ωt+α_A)|_MAX≤ε_A，                     (4-1)

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|\&le;\sqrt{8\&times;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_A+{\mathrm{\&delta;}}_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(4-2)$

式中，①以A表示序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应序号为A的坐标函数与替代坐标函数分别为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，                          (4-4)

Ψ_δA(t)＝H_δA sin(ωt+α_A)，                       (4-5)

②δ_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)的幅值差，

δ_A＝H_δA-H_A，                                      (4-6)

③ΔT_A为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，                                     (4-7)

④n为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域等分分段的段数，

⑤t₁为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域终点所对应的参数t的值，

⑥|sin(ωt+α_A)|_MAX为在替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域范围内|sin(ωt+α_A)|的最大值，

⑦ε_A为以分段线性函数Ψ_δLA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_δL-A(t)|的允许值，

δΨ_δL-A(t)＝Ψ_δLA(t)-Ψ_A(t)，                       (4-8)

对应替代坐标函数Ψ_δA(t)以定义域中序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点作为起点的分段定义域，所述的分段线性函数Ψ_δLA(t)为

${\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;LA}}\left(t\right)={\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_i\right)+\frac{{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{\&delta;A}}\left(t_i\right)}{{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_A}(t-t_i),$ (i＝1、2、3、……、n)，    (4-9)

式中，(a)以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

(b)t_i(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的参数t的值，

t_i+1为与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值，

(c)ΔΨ_δA(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，

ΔΨ_δA(t_i)＝Ψ_δA(t_i+1)-Ψ_δA(t_i)，    (i＝1、2、3、……、n)，    (4-10)

其中，Ψ_δA(t_i+1)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，

Ψ_δA(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ_δA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。

5.如权利要求4所述的插补方法，其特征在于：所述|sin(ωt+α_A)|_MAX以1替换。

6.如权利要求4所述的插补方法，其特征在于：所述幅值差δ_A取值为

δ_A＝ε_A/|sin(ωt+α_A)|_MAX，                 (6-1)。

7.如权利要求5所述的插补方法，其征在于：所述幅值差δ_A取值为ε_A，

δ_A＝ε_A，                                   (7-1)。

8.如权利要求3所述的插补方法，其特征在于：对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂其幅值差δ_R的取值、其替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量|ΔT_C|的取值满足下述公式，

0≤δ_R≤ε_C，                                (8-1)

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_C\right|\&le;\sqrt{\frac{8\&times;({\mathrm{\&epsiv;}}_C+{\mathrm{\&delta;}}_R)}{R_0}},---(8-2)$

式中，ε_C为以圆弧段Z_δC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Z_C的径向误差的绝对值的允许值，圆弧段Z_δC为替代坐标函数Ψ_δ1(t)、Ψ_δ2(t)在坐标轴Ψ₁和Ψ₂构成的直角坐标系Ψ₁OΨ₂的坐标平面上的图形，圆弧段Z_C为坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)在坐标平面Ψ₁OΨ₂上的图形。

9.如权利要求8所述的插补方法，其特征在于：所述δ_R取值为ε_C，

δ_R＝ε_C，                                   (9-1)。

10.如权利要求1、2或4至9中任何一项权利要求所述的插补方法，其特征在于：所述ω取值为1，

ω＝1，                                      (10-1)。

11.如权利要求3所述的插补方法，其特征在于：所述ω取值为1，

ω＝1，                                      (11-1)。

Images