CN101881953A - 一种新插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种新插补方法，所述插补方法针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。

Description

一种新插补方法

【技术领域】

本发明属于计算机数控领域，尤其是涉及一种控制物体运动轨迹的插补方法。

【背景技术】

1、插补的任务

数控系统广泛应用于机械运动轨迹的控制，可以控制机床、机器人、缝纫机、焊接机等的运动轨迹。所需轨迹或说所需路径或轮廓线的“插补”是数控技术的关键。

插补的任务就是在所需轨迹或说所需路径或轮廓线Q的二个已知点间插入若干个中间点，并确定所述中间点的位置坐标值。

插补所得结果将依次送给直线插补器；对应一组相邻二点的位置坐标值，直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列，并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动，产生一个直线段的运动轨迹。或者，插补所得结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控对象运动；对应一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运动轨迹将是一个由上述直线段构成的折线，折线的起点、终点、交点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合。换句话说，在所需路径或轮廓线Q的二个端点间插入若干个中间点，将曲线Q上相邻二点以直线段连接，这些直线段构成的折线就是受控对象的预期运动轨迹。

由此可见，插补中确定中间点及其位置坐标值的目的就是确定受控对象的预期运动轨迹，使之尽可能接近所需路径或轮廓线Q。或者说，插补的目的就是确定所述的折线，也即受控对象的预期运动轨迹；以此拟合所需路径或轮廓线Q，且拟合误差不超过允许值。

2、现状

对于常见的正弦曲线、椭圆、圆弧等所需路径或轮廓线，准确确定所述中间点位置坐标值的运算涉及三角函数等比较复杂的计算。这样的计算，靠单片计算机很难完成，而由PC级计算机采用高级语言不难完成。然而，在运动控制装置中，如果作为整个装置控制核心配置的PC级计算机，直接由之承担插补的实时运算将占用大量资源，从而影响整个装置工作；如果专为插补工作配置PC级计算机，将导致装置成本提高。

当前，运动控制技术已广泛应用于各领域，甚至将进入普通家庭，如家用机器人等。基于现有插补方法的产品难以适应、满足飞速发展的、广阔的市场需求。可是，可以在单片计算机上快速、准确实现的插补方法，至今未见在公开资料上发表或在产品中使用。

【发明内容】

本发明的目的是针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种新插补方法，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。

本发明的目的是按如下技术方案实现的：

1、本发明所述的一种新插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线Q的位置坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)中包括有一个或若干个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，对应所述一个或若干个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为H_k(k＝1、2、3、……m_Ψ)、初始相位分别为α_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为

Ψ_k(t)＝H_k sin(ωt+α_k)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，(1-1)所述曲线Q对应坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)变化的以参数t为自变量的函数，所述参数t可以是该曲线Q位置坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)中的一个坐标，也可以是这些坐标之外的另一个参数，所述的所需路径或轮廓线Q指的是二个已知点间的曲线段，所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值。当ω取值为1时，所述的正弦函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的周期为2π。

某一t值所对应的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标值，就是同一t值所对应的所述坐标函数的函数值。针对所需路径或轮廓线Q的插补也就是针对其坐标函数Ω_P(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)的插补，即在其各个坐标函数Ω_P(t)(p＝1、2、3、……、m_Ω)的定义域二个端点间插入若干个中间点并确定对应所述中间点的坐标函数值。在对坐标函数插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的坐标函数值相等，整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数；而坐标函数将以分段线性函数拟合。

申请人还注意到，所述曲线Q二个端点间的中间点的位置坐标值，可依据与之相邻的前一个中间点或所述曲线的起点其位置坐标值与位置坐标值增量之和决定，因此，插补中确定了中间点的位置坐标值增量，也就确定了相应中间点的位置坐标值。或者说，插补中确定了定义域中间点坐标函数值增量，也就确定了定义域相应中间点的坐标函数值。

针对坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的插补步骤包括，

(1)确定坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域二个端点间的中间点，包括，

①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值，

②确定所述中间点的个数，

(2)确定所述中间点的坐标函数值或其增量值，

(3)存储/输出运算结果。

本发明提出的插补方法，其特征在于：将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域分段，以分段的交点作为定义域的中间点，所述定义域中间点所对应的坐标函数值Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定，

${\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right)+{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{v^{\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{v^{\′}},---(1-2)$

${\mathrm{\Φ}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)-{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{v^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′\′}}}{d{t}^{v^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Φ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{v^{\′\′}},---(1-3)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，              (1-4)

②u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

以，n表示坐标函数Ψ_A(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

所述定义域起点指的是与所述曲线Q起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述曲线Q终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_u为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量，其数值为相应的所述参数t的增量Δt_u的ω倍，

ΔT_u＝ωΔt_u，           (1-5)

Δt_u＝t_u+1-t_u，          (1-6)

⑤Ψ_A(t_u+1))为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，

⑥Ψ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值，

⑦Φ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，

⑧Φ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值，

⑨ν′+1为正整数，是展开式(1-2)的项数，

  ν′≥0，              (1-7)

⑩ν″+1为正整数，是展开式(1-3)的项数，

  ν″≥0，，            (1-8)

上述⑦、⑧中所述的虚拟坐标函数Φ_A(t)是为简化公式表述设定的函数，Φ_A(t)是一个与Ψ_A(t)具有相同幅值H_A、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_A(t)＝H_A cos(ωt+α_A )。               (1-9)

需要说明的是：

(1)所述方法中坐标函数定义域分段或中间点的设定及展开式项数的确定等见第3点的相关说明。

(2)展开式(1-2)、(1-3)的依据

根据泰勒公式可知，

${\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right)+{\left[\frac{d}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)+\frac{1}{2}{\left[\frac{d^2}{{\mathrm{dt}}^2}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)}^2+$

$+\frac{1}{3!}{\left[\frac{d^3}{{\mathrm{dt}}^3}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+\frac{1}{v^{\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)}^{v^{\′}}+R_{\mathrm{\Ψ}}=$

$={\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right)+\mathrm{\ω}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)\left(\frac{{\mathrm{\ΔT}}_u}{\mathrm{\ω}}\right)-\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{2}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\frac{{\mathrm{\ΔT}}_u}{\mathrm{\ω}}\right)}^2-\frac{{\mathrm{\ω}}^3}{3!}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t_u\right){\left(\frac{{\mathrm{\ΔT}}_u}{\mathrm{\ω}}\right)}^3+$

$+\·\·\·\·\·\·+\frac{{\mathrm{\ω}}^{v^{\′}}}{v^{\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left(\frac{{\mathrm{\ΔT}}_u}{\mathrm{\ω}}\right)}^{v^{\′}}+R_{\mathrm{\Ψ}},$

$={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right){+\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{v^{\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′}}}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{v^{\′}}+R_{\mathrm{\Ψ}},---(1-10)$

${\mathrm{\Φ}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)+{\left[\frac{d}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)+\frac{1}{2}{\left[\frac{d^2}{{\mathrm{dt}}^2}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)}^2+$

$+\frac{1}{3!}{\left[\frac{d^3}{{\mathrm{dt}}^3}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\Δt}}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+\frac{1}{v^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Φ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\Δ\τ}}_u\right)}^{v^{\′\′}}+R_{\mathrm{\Φ}}=$

$={\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)-{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{v^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{v^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Φ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{v^{\′\′}}+R_{\mathrm{\Φ}},---(1-11)$

其中，余项

$R_{\mathrm{\Ψ}}=\frac{1}{(v^{\′}+1)!}{\left[\frac{d^{v^{\′}+1}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′}+1}}\left({\mathrm{\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t={\mathrm{\τ}}^{\′}}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{v^{\′}+1},---(1-12)$

$R_{\mathrm{\Φ}}=\frac{1}{(v^{\′\′}+1)!}{\left[\frac{d^{v^{\′\′}+1}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\′\′}+1}}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\δA}}\left(t\right)\right)\right]}_{t={\mathrm{\τ}}^{\′\′}}{\left({\mathrm{\ΔT}}_u\right)}^{v^{\′\′}+1},---(1-13)$

式中，①τ′的取值范围为

         t_u≤τ′≤t_u+1，            (1-14)

      ②τ″的取值范围为

        t_u≤τ″≤t_u+1，             (1-15)略去余项，或说将余项取值为0，即得式(1-2)、(1-3)。

2、如第1点所述的插补方法，其特点为：将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点。

相应地，坐标函数定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量或说是坐标函数定义域各等分分段所对应的参数t的等效增量是常数，其数值为所述参数t的增量的ω倍，

       ΔT_A＝ωΔτ_A＝常数，            (2-1)

(i＝1、2、3、……、n)，(2-2)

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，               (2-3)

②ΔT_A为坐标函数Ψ_A(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量、或说是坐标函数定义域各等分分段所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

③Δt_i为序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点对应的参数t的增量的值，

④t₁(i＝1、2、3、……、n)为序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点对应的参数t的值，

⑤t_i+1(i＝1、2、3、……、n)为序号为i+1(i＝1、2、3、……、n)的点对应的参数t的值，或说是与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点的参数t的值。

所述方法中坐标函数定义域分段或中间点的设定见第3点的相关说明。

3、如第2点所述的插补方法，其特点为：所述定义域中间点所对应的坐标函数值增量ΔΨ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定，

${\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_{u+2}\right)-{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_{u+1}\right)=$

$={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_{u+1}\right)+{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_{u+1}\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_{u+1}\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_{u+1}\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·-$

$-[{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right)+{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·]=$

$={\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_u\right)+{\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\κ}}^{\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\κ}}^{\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\κ}}^{\′}}}\left({\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^{{\mathrm{\κ}}^{\′}},---(3-1)$

同理，

${\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\Φ}}_A\left(t_{u+2}\right)-{\mathrm{\Φ}}_A\left(t_{u+1}\right)=$

$={\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t_u\right)-{\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^3+\·\·\·\·\·\·+$

$+\frac{1}{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}}}\left({\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^{{\mathrm{\κ}}^{\′\′}},---(3-2)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

       Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，       (3-3)

②u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

以，n表示坐标函数Ψ_A(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，

所述定义域起点指的是与所述曲线Q起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述曲线Q终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t_u+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，

t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_A为坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，          (3-4)

⑤ΔΨ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值增量，

ΔΨ_A(t_u+1)＝Ψ_A(t_u+2)-Ψ_A(t_u+1)，            (3-5)

其中，Ψ_A(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，

⑥ΔΨ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值增量，

ΔΨ_A(t_u)＝Ψ_A(t_u+1)-Ψ_A(t_u)，                (3-6)

其中，Ψ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值，

⑦ΔΦ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值增量，

ΔΦ_A(t_u+1)＝Φ_A(t_u+2)-Φ_A(t_u+1)，            (3-7)

其中，Φ_A(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟坐标函数值，

Φ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，

⑧ΔΦ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值增量，

ΔΦ_A(t_u)＝Φ_A(t_u+1)-Φ_A(t_u)，            (3-8)

其中，Φ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，

Φ_A(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值，

⑨κ′+1为正整数，是展开式(3-1)的项数，

  κ′≥0，(3-9)

⑩κ″+1为正整数，是展开式(3-2)的项数，

  κ″≥0，(3-10)

上述⑦、⑧中所述的虚拟坐标函数Φ_A(t)是为简化公式(3-1)、(3-2)的表述设定的函数，Φ_A(t)是一个与Ψ_A(t)具有相同幅值H_A、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的正弦函数与余弦函数，其表达式为

Φ_A(t)＝H_A cos(ωt+α_A)。           (3-11)

对于上述第1、第2或第3点所述的插补方法，需要说明的是，

(1)所述方法中坐标函数定义域分段或中间点的设定可根据后述第5、6点所述的方法确定。

(2)展开式项数的确定

在按展开式(1-2)、(1-3)或(3-1)、(3-2)确定Ψ_A(t_u+1)或ΔΨ_A(t_u+1)时，略去了泰勒公式中的余项以简化计算。略去余项将导致插补结果误差，误差包括：

(i)略去余项将引起相应的Ψ_A(t_u+1)、Φ_A(t_u+1)或ΔΨ_A(t_u+1)、ΔΦ_A(t_u+1)插补结果误差；

(ii)某个中间点的插补结果误差还将影响后续中间点的插补结果误差，因为后续中间点的位置坐标值或其增量是由前一个中间点的位置坐标值或其增量递推而得的。

由式(1-12)、(1-13)可知，所述展开式项数愈多，相应的余项绝对值愈小。换句话说，所述展开式项数愈多，略去余项导致的插补结果误差绝对值愈小。所述余项的数值还与Ψ_A(t)的幅值及中间点所对应的参数t的等效增量等有关。

①查表法确定展开式应有的项数

例如，针对定义域是等分的坐标函数，将拟合误差允许值、Ψ_A(t)幅值、中间点所对应的参数t的等效增量、函数值插补结果误差、展开式的项数之间的关系预先制成对应关系表。根据拟合误差允许值、Ψ_A(t)幅值、参数t的等效增量、函数值插补结果误差允许值，即可查表确定展开式应有的项数。

②以第3点所述的插补方法为例，坐标函数Ψ_A(t)表达式为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)，            (3-12)

其定义域为[-(α_A/ω)、(2π/ω)-(α_A/ω)]。

所述的Ψ_A(t)的定义域[-(α_A/ω)、(2π/ω)-(α_A/ω)]对应着Ψ_A(t)的一个周期(2π/ω)。

将定义域分为4段，每段对应1/4周期，各段的定义域分别为[-(α_A/ω)，(π/2ω)-(α_A/ω)]、[(π/2ω)-(α_A/ω)、(π/ω)-(α_A/ω)]、[(π/ω)-(α_A/ω)、(3π/2ω)-(α_A/ω)]、[(3π/2ω)-(α_A/ω)、(2π/ω)-(α_A/ω)]。4段定义域按相同方法等分，等分分段的交点即为插补中设置的中间点。第1段定义域中间点的Ψ_A(t)函数值增量可按照式(3-1)、(3-2)确定。根据第2、3、4段定义域相对第1段定义域[-(α_A/ω)，(π/2ω)-(α_A/ω)]函数Ψ_A(t)的对称性，第2、3、4段定义域中间点的Ψ_A(t)函数值增量等于第1段定义域相应中间点的Ψ_A(t)函数值增量(或者等于第1段相应中间点函数值增量的负值)，无需再作计算。此时，第1段定义域中间点Ψ_A(t)函数值插补结果误差绝对值的最大值，就是整个定义域中间点Ψ_A(t)函数值插补结果误差绝对值的最大值。因此，分析所述展开式项数的取值，只需针对1/4周期所对应的一段定义域[-(α_A/ω)，(π/2ω)-(α_A/ω)]进行即可。

分析表明，如果

(i)根据后述的公式(6-3)由拟合误差允许值ε_A确定ΔT_A，取

$\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|={\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}},---(3-13)$

(ii)展开式(3-1)、(3-2)项数取为4，或者说，取

κ＝κ′＝κ″＝3；            (3-14)

那么，当ε_A＝0.125、0.5、1或2，(3-15)

且      1000000≥H_A≥100，     (3-16)

定义域中间点Ψ_A(t)插补结果误差绝对值的最大值ζ的数值将比拟合误差允许值ε_A小一个数量级。换句话说，如果展开式项数取为4，那么，略去余项引起的误差可以忽略不计。

经分析还可以知道，如果取

κ＝κ′＝κ″＝2，            (3-17)

所述的ζ将大致与ε_A在同一个数量级。

③所述展开式项数也可以用其他方法确定；例如，通过插补器之外的计算机预先计算确定，然后作为已知条件提供给插补器。

(3)原理上第1、2点所述方法或第3点所述方法都可用于确定中间点的位置坐标值。但是，

①第1、2点中参与递推运算的位置坐标值，要比第3点中参与递推运算的位置坐标值增量数值上大得多，或者说，前者的字长要比后者的字长大得多；因而，前者比后者对插补器资源的要求也就高得多。

②参与运算的数的小数部分的位数有限，将导致插补结果出现误差。位置坐标值的数值比其增量数值上大得多，因而，第1或2点所述方法比第3点所述方法由于小数部分位数有限所导致的所述误差的绝对值也大得多。为减小误差，前一种方法比后一种方法需相应增多小数部分的位数，从而对插补器资源提出更高的要求。

因此，第1、2点所述方法比第3点所述方法，对插补器资源的要求要高得多。

(4)参见图2。以序号为A的坐标函数Ψ_A(t)为例。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和Ψ_A，且坐标轴t和Ψ_A构成了直角坐标系tOΨ_A；则所需路径或轮廓线就是平面tOΨ_A上幅值为H_A、初始相位为α_A、周期为(2π/ω)的的正弦曲线段Z_A。(5)参见图5。以序号为A的坐标函数Ψ_A(t)为例，虚拟坐标轴Φ_A和坐标轴Ψ_A构成了虚拟直角坐标系Φ_AOΨ_A，坐标函数Ψ_A(t)与虚拟坐标函数Φ_A(t)在Φ_AOΨ_A虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为H_A的圆弧段C_A。圆弧段C_A上对应参数t的点与圆心O的连线其相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。坐标函数Ψ_A(t)定义域的端点与中间点对应着圆弧段C_A相应的端点与中间点。图中C_A是第一象限的圆弧段。

(6)如果所述坐标Ψ_k(k＝1、……、m_Ψ)共有二个坐标Ψ_k(k＝1、2)或说Ψ₁、Ψ₂，对应Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)可以表示为一组幅值分别为H₁与H₂、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α₀的余弦函数与正弦函数，

${\mathrm{\Ψ}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_1)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2})=H_1\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0),---(3-18)$

Ψ₂(t)＝H₂sin(ωt+α₂)＝H₂sin(ωt+α₀)，          (3-19)式中， ${\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2},---(3-20)$

α₂＝α₀；                                        (3-21)

那么，参见图7，坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)在直角坐标系Ψ₁OΨ₂下即为Ψ₁OΨ₂平面上中心在坐标轴原点O的椭圆弧段Z_E。式中H₁和H₂为椭圆的半轴。椭圆弧段Z_E上对应参数t的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ₁轴的夹角即为(ωt+α₀)。图中Z_E是一个第一象限的椭圆弧段。

当         H₁＝H₂＝R₀，                           (3-22)

所述的椭圆弧段Z_E即成为半径为R₀的圆弧段Z_C。

4、如第1、2或3点所述的插补方法，其特点为：

(1)所述坐标Ψ_k(k＝1、……、m_Ψ)共有二个坐标Ψ_k(k＝1、2)或说Ψ₁、Ψ₂，对应Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)可以表示为一组幅值相同为R₀、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α₀的余弦函数与正弦函数，其表达式为

${\mathrm{\Ψ}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_1)=R_0\sin \left(\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)=R_0\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0),---(4-1)$

Ψ₂(t)＝H₂ sin(ωt+α₂)＝R₀ sin(ωt+α₀)，        (4-2)

式中，H₁＝H₂＝R₀，                                (4-3)

${\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2},---(4-4)$

      α₂＝α₀，                                  (4-5)

(2)对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域等分为相同的n_C个分段，或者说，坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量Δτ_C或等效增量ΔT_C，

n₁＝n₂＝n_C，                                      (4-6)

Δτ₁＝Δτ₂＝Δτ_C，                             (4-7)

ΔT₁＝ΔT₂＝ΔT_C。                                (4-8)

由所述特点可知：

①在按第1、2或3点所述的插补方法确定坐标函数值或其增量时，对应于坐标函数Ψ₂(t)的虚拟坐标函数Φ₂(t)就是坐标函数Ψ₁(t)，

Φ₂(t)＝R₀cos(ωt+α₀)＝Ψ₁(t)，              (4-9)

Φ_δ2(t)＝Ψ_δ1(t)。                          (4-10)

因此，在插补计算过程中，无需为Ψ₁(t)、Ψ₂(t)另设虚拟坐标函数。

②如果所需路径或轮廓线只包括了二个个坐标Ψ₁和Ψ₂，且坐标轴Ψ₁和Ψ₂构成了直角坐标系Ψ₁OΨ₂；则所需路径或轮廓线即为Ψ₁OΨ₂平面上圆心在坐标轴原点O、半径为R₀的圆弧段Z_C。圆弧段Z_C上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴Ψ₁的夹角即为(ωt+α₀)。每个等分圆弧段所对应的圆心角为

ΔT_C＝ωΔτ_C。                               (4-11)

曲线在直角坐标系Ψ₁OΨ₂下的方程为

Ψ₁ ²+Ψ₂ ²＝R₀ ²。                              (4-12)

所述图形可参见图5，所述的Ψ₁、Ψ₂、R₀、α₀、t、Z_C分别对应图中的Φ_A、Ψ_A、H_A、α_A、t、C_A。图中C_A是第一象限的圆弧段。

5、如上述第2或3点所述的插补方法，其特点为：对应所述坐标其坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|\≤\sqrt{\frac{8{\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(5-1)$

与公式(5-1)相应，其坐标函数定义域等分分段段数的取值满足下述公式，

$n\≥\mathrm{\ω}|t_{n+1}-t_1|\×\sqrt{\frac{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{8{\mathrm{\ϵ}}_A}},---(5-2)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标中的某一个坐标，A是序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，                      (5-3)

②ΔT_A为坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，                               (5-4)

③n为坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段的段数，

④t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

⑤|sin(ωt+α_A)|_MAX为在坐标函数Ψ_A(t)定义域范围内|sin(ωt+α_A)|的最大值，

⑥ε_A为以分段线性函数Ψ_LA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_L-A(t)|的允许值，

δΨ_L＝A(t)＝Ψ_LA(t)-Ψ_A(t)，                 (5-5)

对应坐标函数Ψ_A(t)第i(i＝1、2、3、……、n)个分段定义域，所述的分段线性函数Ψ_LA(t)表达式为

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{LA}}\left(t\right)={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_i\right)+\frac{{\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_i\right)}{{\mathrm{\Δ\τ}}_A}(t-t_i),(i=\mathrm{1,2,3},\·\·\·\·\·\·n),---(5-6)$ 式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

(b)t_i(i＝1、2、3、……、n、n+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，

t_i+1为与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值，

t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

(c)Δτ_A是坐标函数Ψ_A(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量值，是常数，

(i＝1、2、3、……、n)，(5-7)

(d)ΔΨ_A(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值的增量，

ΔΨ_A(t_i)＝Ψ_A(t_i+1)-Ψ_A(t_i)，(i＝1、2、3、……、n)，(5-8)

其中，Ψ_A(t_i+1)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值。

|ΔT_A|或n的取值满足公式(5-1)或5-2)，将使得所述的拟合误差|δΨ_L-A(t)|不超过允许值ε_A。

参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和Ψ_A，且坐标轴t和Ψ_A构成了直角坐标系tOΨ_A；则所需路径或轮廓线即为平面tOΨ_A上幅值为H_A、初始相位为α_A的正弦曲线段Z_A。参见图3，分段线形函数Ψ_LA(t)的图形就是由正弦曲线段Z_A的n个等长内接弦构成的折线Z_LA。以Ψ_LA(t)拟合Ψ_A(t)，即相当于以折线Z_LA拟合Z_A。正弦曲线段Z_A分段的交点即为需要设定的正弦曲线段Z_A的中间点，i(i＝1、2、3、……、n、n+1)就是包括正弦曲线段Z_A的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。

根据公式(5-1)、(5-2)确定|ΔT_A|、n的取值的依据是：

(A)以Ψ_LA(t)拟合Ψ_A(t)的误差

①以Ψ_LA(t)拟合Ψ_A(t)，其拟合误差记以δΨ_L＝A(t)，

δΨ_L＝A(t)＝Ψ_LA(t)-Ψ_A(t)，           (5-9)

②参见图2至图6。在tOΨ_A平面上，将Ψ_A(t)所对应的正弦曲线段Z_A分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)的n个等分分段；在虚拟Φ_AOΨ_A平面上，将Ψ_A(t)与Φ_A(t)所对应的圆弧段C_A分成相同的n个等分分段。序号相同的Z_A分段端点与C_A相应分段端点对应相同的t值，都是t_i(i＝1、2、3、……、n、n+1)；Z_A分段与C_A分段对应相同的参数t的增量Δτ_A或等效增量ΔT_A。以Z_A的内接弦构成的折线拟合Z_A，其拟合误差为δΨ_L＝A(t)；以C_A的内接弦构成的折线拟合C_A，在中点处其对应坐标轴Ψ_A拟合误差等于内接弦径向误差在坐标轴Ψ_A上的投影值，记以δH_A，Ψ(t_M)。图6中，以t_M，u表示一个分段中点处的参数t的值，对应t_M，u的所述径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δH_A，Ψ(t_M，u)|。

③以C_A的内接弦构成的折线拟合C_A，其径向误差绝对值的最大值|δH_A|发生在内接弦的中点t_M处，且

$\left|{\mathrm{\δH}}_A\right|=\frac{1}{8}{H}_A{\left({\mathrm{\ΔT}}_A\right)}^2,---(5-10)$

其在坐标轴Ψ_A上的投影为

|δH_A，Ψ(t_M)|＝|δH_A|×|sin(ωt_M+α_A)|。(5-11)

④相应地认为，一个分段内，在中点t_M处以正弦曲线段Z_A的内接弦拟合正弦曲线段Z_A的误差绝对值也是最大，为|δΨ_L-A(t_M.)|；且|δΨ_L-A(t_M.)|的值等于对应t_M处|δH_A|在坐标轴Ψ_A上的投影，

|δΨ_L-A(t_M.)|＝|δH_A，Ψ(t_M)|＝|δH_A|×|sin(ωt_M+α_A)|。 (5-12)

⑤在坐标函数定义域范围内，|δΨ_L-A(t_M.)|的最大值|δΨ_L-A(t_M.)|_MAX为

|δΨ_L-A(t_M.)|_MAX＝|δΨ_A|×|sin(ωt_M+α_A)|_MAX，          (5-13)式中，|sin(ωt_M+α_A)|_MAX为在坐标函数Ψ_A(t)定义域范围内|sin(ωt_M+α_A)|的最大值。由于|ΔT_A|或说|Δτ_A|很小，可以认为

|sin(ωt_M+α_A)|_MAX＝|sin(ωt+α_A)|_MAX，                   (5-14)

式中，|sin(ωt+α_A)|_MAX为在坐标函数Ψ_A(t)定义域范围内|sin(ωt+α_A)|的最大值。因此，式(5-13)可以改写为

|δΨ_L-A(t_M.)|_MAX＝|δH_A|×|sin(ωt+α_A)|_MAX。 (5-15)(B)ΔT_A、n的取值

ΔT_A、n的取值应使得Ψ_LA(t)拟合Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_L-A(t)|的最大值|δΨ_L-A(t_M.)|_MAX不超过允许值ε_A，

|δΨ_L-A(t_M.)|_MAX≤ε_A。                        (5-16)

①由公式(5-10)、(5-15)、(5-16)，坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段对应的参数t的等效增量|ΔT_A|的取值应满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|\≤\sqrt{\frac{8{\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(5-17)$ 或，所述参数t的增量Δτ_A应满足

$\left|{\mathrm{\Δ\τ}}_A\right|\≤\frac{1}{\mathrm{\ω}}\×\sqrt{\frac{8{\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(5-18)$ |ΔT_A|或|Δτ_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX或|Δτ_A|_MAX为

${\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\sqrt{\frac{8{\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(5-19)$

或 ${\left|{\mathrm{\Δ\τ}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\×\sqrt{\frac{8{\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}}.---(5-20)$

②坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段段数n应满足下述公式，

$n\≥\mathrm{\ω}|t_{n+1}-t_1|\×\sqrt{\frac{H_A\×{\left|\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}{8{\mathrm{\ϵ}}_A}}.---(5-21)$

③如果上述公式中的|sin(ωt+α_A)|_MAX都以1替换，

则 $\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|\≤\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}},---(5-22)$

或 $\left|{\mathrm{\Δ\τ}}_A\right|\≤\frac{1}{\mathrm{\ω}}\×\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}}.---(5-23)$

满足式(5-22)或(5-23)的|ΔT_A|或|Δτ_A|的取值，对任何可能的定义域，都可做到Ψ_LA(t)拟合Ψ_A(t)的误差的绝对值|δΨ_L-A(t)|不超过允许值ε_A。|ΔT_A|或|Δτ_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX或|Δτ_A|_MAX为

${\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}},---(5-24)$

或 ${\left|{\mathrm{\Δ\τ}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\×\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}}.---(5-25)$

6、如第5点所述的一种插补方法，其特点为：所述|sin(ωt+α_A)|_MAX以1替换。相应地，所述ΔT_A或n的取值满足下述公式，

或

满足公式(6-1)或(6-2)的|ΔT_A|或n的取值，可以使得对任何可能的定义域，都可做到以分段线性函数Ψ_LA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_L-A(t)|不超过允许值ε_A。

|ΔT_A|的最大允许取值|ΔT_A|_MAX为

${\left|{\mathrm{\ΔT}}_A\right|}_{\mathrm{MAX}}=\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_A}{H_A}}.---(6-3)$

7、如第4点所述的插补方法，其特点为：对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂其坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量ΔT_C的取值满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\ΔT}}_C\right|\≤\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_C}{R_0}},---(7-1)$

与公式(7-1)相应，其替代坐标函数定义域等分分段段数n_C的取值满足下述公式，

$n_C\≥\mathrm{\ω}|t(n_C+1)-t_1|\×\sqrt{\frac{R_0}{{8\mathrm{\ϵ}}_C}},---(7-2)$

式中，①t₁为坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域起点对应的参数t的值，

t(n_C+1)为坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域终点对应的参数t的值，

②ε_C为以圆弧段Z_C等分分段的内接弦拟合圆弧段Z_C的径向误差的绝对值的允许值，圆弧段Z_C为坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)在坐标轴Ψ₁和Ψ₂构成的直角坐标系Ψ₁OΨ₂的坐标平面上的图形。所述圆弧段Z_C可参见图5，所述的Ψ₁、Ψ₂、R₀、t、Z_C分别对应图中的Φ_A、Ψ_A、H_A、t、C_A。

满足公式(7-1)或(7-2)的|ΔT_C|或n_C取值，将使得以圆弧段Z_C的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Z_C的径向误差的绝对值不超过允许值ε_C。

|ΔT_C|的最大允许取值|ΔT_C|_MAX为

$\left|{\mathrm{\ΔT}}_C\right|={\left|{\mathrm{\ΔT}}_C\right|}_{\mathrm{MAX}}=\sqrt{\frac{{8\mathrm{\ϵ}}_C}{R_0}}.---(7-3)$

8、如第1、2、3、6或7点中任何一点所述的插补方法，其特点为：所述ω取值为1，

     ω＝1。                   (8-1)

也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的坐标函数定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。

9、如第4点所述的插补方法，其特点为：所述ω取值为1，

     ω＝1。                   (9-1)

也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的坐标函数定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。

10、如第5点所述的插补方法，其特点为：所述ω取值为1，

     ω＝1。                  (10-1)

也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的坐标函数定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。

值得注意的是，如果一个坐标函数是由若干个函数之和构成，则该坐标函数的插补结果等于构成该坐标函数的各个函数各自的插补结果之和。特别是构成该坐标函数的某个函数如果是常量，则该常量不会影响该函数的增量值。此外，所需路径或轮廓线其所在的直角坐标系坐标轴平移时，也不影响其位置坐标值增量的数值。

本发明的有益效果为：本发明针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种新插补方法，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量。由于运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。

【附图说明】

图1是本发明的坐标函数Ψ_A(t)插补的程序流程图，

图2是本发明的正弦曲线示意图，

图3是本发明的分段线性函数示意图，

图4是本发明的正弦曲线段局部示意图，

图5是本发明的圆弧曲线示意图，

图6是本发明的圆弧曲线局部示意图，

图7是本发明的椭圆曲线示意图。

【具体实施方式】

一、参见图1，这是针对坐标函数Ψ_A(t)插补的程序流程图。所述的坐标函数为

          Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_A)。                  (J1-1)

程序由步骤(1)至步骤(8)组成：

(1)将坐标函数Ψ_A(t)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，确定坐标函数Ψ_A(t)定义域起点及中间点所对应的参数t的等效增量ΔT_A，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，是常数，

          ΔT_A＝ωΔτ_A＝常数；                (J1-2)

(2)确定坐标函数Ψ_A(t)定义域中间点的个数n-1，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)表示包括定义域端点与中间点在内的点的序号，中间点的序号为i(i＝2、3、……、n)；(3)初始化i值，即将i设置为2，

           2→i；                              (J1-3)

(4)确定序号为i的中间点所对应的坐标函数值增量ΔΨ_A(t)的值；

(5)存储/输出运算结果；

(6)判定

         i＝n？                                (J1-4)

若i≠n，表明插补尚未完成，则转至步骤(7)，

若i＝n，则转至步骤(8)；

(7)将i加1，并保存，

      i+1→i，                  (J1-5)

再转至步骤(4)，继续进行插补；

(8)插补完成。

二、参见图2，这是正弦曲线示意图。在直角坐标系tOΨ_A下的一个幅值为H_A、初始相位为α_A的正弦曲线Q_A，其坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_k)。       (J2-1)

对应于所需路径或轮廓线，坐标函数Ψ_A(t)定义域为[t₁，t_n+1]。该定义域对应的正弦曲线段记以Z_A。

三、参见图3，这是等分分段线性函数示意图。在直角坐标系tOΨ_A下的正弦曲线段Z_A，其坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_A sin(ωt+α_k)，       (J3-1)n是坐标函数Ψ_A(t)定义域的等分分段数。正弦曲线段Z_A的n个等分分段的内接弦构成折线Z_LA。相应的分段线性函数Ψ_LA(t)为

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{LA}}\left(t\right)={\mathrm{\Ψ}}_A\left(t_i\right)+\frac{{\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_i\right)}{{\mathrm{\Δ\τ}}_A}(t-t_i),(t_i\≤t\≤t_{i+1}),$

 (i＝1、2、3、……、n)，        (J3-2)

式中，①i(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数Ψ_A(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

②t_i(i＝1、2、3、……、n、n+1)是坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，

t₁是坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1是坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

[t₁、t_u+1]是坐标函数Ψ_A(t)的定义域，

③Δτ_A是坐标函数Ψ_δA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量值，是常数，

(i＝1、2、3、……、n)，            (J3-3)

④ΔΨ_A(t_i)(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值增量，

ΔΨ_A(t_i)＝Ψ_A(t_i+1)-Ψ_A(t_i)，(i＝1、2、3、……、n)，(J3-4)

其中，Ψ_A(t_i+1)(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_i)(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值。

图中，n＝4。                   (J3-5)

四、参见图4，这是正弦曲线段局部示意图。示意图表示相应于定义域[t₁，t_n+1]的一个分段，正弦曲线段Z_A与由Z_A内接弦构成的折线Z_LA之间的关系。图中以u表示所示分段的序号。该分段对应的参数t的区间为[t_u，t_u+1]。[t_u，t_u+1]的中点以t_M，u表示。Ψ_A(t_M，u)、Ψ_LA(t_M，u)分别是对应于t_M，u函数Ψ_A(t)、Ψ_LA(t)的值。δΨ_L-A(t_M，u)是对应于点t_M，u以Ψ_LA(t)拟合Ψ_A(t)的误差δΨ_L＝A(t)，

δΨ_L-A(t_M，u)＝Ψ_LA(t_M，u)-Ψ_A(t_M，u)。  (J4-1)

五、参见图5，这是圆弧曲线示意图。在直角坐标系Φ_AOΨ_A下的一个圆心在坐标轴原点O、半径为H_A的圆弧曲线Q_C，其曲线方程为

${{\mathrm{\Φ}}_A}^2+{{\mathrm{\Ψ}}_A}^2={H_A}^2.---(J5-1)$

曲线的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，(J5-2)

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)。(J5-3)

圆弧Q_C上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴Φ_A的夹角即为(ωt+α_A)。坐标函数Ψ_A(t)、Φ_A(t)定义域为[t₁，t_n+1]。该定义域对应的圆弧曲线段记以C_A，圆弧段C_A上的一个分段所对应的参数t的等效增量记以ΔT_A。图中C_A是一个第一象限的圆弧段。

六、参见图6，这是圆弧曲线局部示意图。

①示意图表示圆弧段C_A在第一象限的一个分段与其内接弦之间的关系。

②以t_M，u表示一个分段中点处的参数t的值；对应t_M，u，所述C_A内接弦拟合C_A的径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δH_A，Ψ(t_M，u)|。

③圆弧段C_A的等分分段对应的圆心角为ΔT_A。以λ_A表示圆弧段C_A一个分段的内接弦的长度。对应于t_u有

${\mathrm{\Δ\Ψ}}_A\left(t_u\right)={\mathrm{\λ}}_A\cos [\mathrm{\ω}(t_u+\frac{{\mathrm{\Δ\τ}}_A}{2})+{\mathrm{\α}}_A]={\mathrm{\λ}}_A\cos ({\mathrm{\ωt}}_u+\frac{{\mathrm{\ΔT}}_A}{2}+{\mathrm{\α}}_A),---(J6-1)$

${\mathrm{\Δ\Φ}}_A\left(t_u\right)=-{\mathrm{\λ}}_A\sin [\mathrm{\ω}(t_u+\frac{{\mathrm{\Δ\τ}}_A}{2})+{\mathrm{\α}}_A]=-{\mathrm{\λ}}_A\sin ({\mathrm{\ωt}}_u+\frac{{\mathrm{\ΔT}}_A}{2}+{\mathrm{\α}}_A),---(J6-2)$

式中，ΔT_A＝ωΔτ_A。      (J6-3)

七、参见图7，这是椭圆曲线示意图。在直角坐标系Ψ₁OΨ₂下的中心在坐标轴原点O的椭圆曲线Q_E，其曲线方程为

$\frac{{{\mathrm{\Ψ}}_1}^2}{{H_1}^2}+\frac{{{\mathrm{\Ψ}}_2}^2}{{H_2}^2}=1,---(J7-1)$

式中，H₁和H₂为椭圆的半轴。

曲线的坐标函数为

${\mathrm{\Ψ}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_1)=H_1\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2})=H_1\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\α}}_0),---(J7-2)$

 Ψ₂(t)＝H₂sin(ωt+α₂)＝H₂sin(ωt+α₀)，

 (J7-3)

 式中， ${\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_0+\frac{\mathrm{\π}}{2},---(J7-4)$

 α₂＝α₀。              (J7-5)椭圆曲线Q_E上对应参数t的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ_X轴的夹角即为(ωt+α₀)。坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域所对应的椭圆曲线段记以Z_E。图中Z_E是一个第一象限椭圆弧段。

八、实施例

所需路径或轮廓线是在直角坐标平面Ψ_XOΨ_Y上的圆心在坐标轴原点O、半径为R₀的第一象限圆弧段Z_C，其曲线方程为

${{\mathrm{\Ψ}}_X}^2+{{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{\γ}}}^2={R_0}^2.---(L-1)$

曲线的坐标函数为

Ψ_X(t)＝R₀cost，(L-2)

Ψ_Y(t)＝R₀sint，(L-3)

R₀＝50000。     (L-4)

圆弧段Z_C上对应参数t的点与圆心O的连线相对轴Ψ_X的夹角即为参数t。

要求以折线拟合圆弧段Z_C的最大径向误差绝对值不超过ε_C，

    ε_C＝0.5。  (L-5)

参见图5，所述的Ψ_X、Ψ_Y、R₀、t、Z_C分别是图中的Φ_A、Ψ_A、H_A、t、C_A。对于本例，图中α_A等于0。

以圆弧段Z_C等分分段的内接弦拟合圆弧段Z_C。其插补过程如下：

1、确定内接弦对应的圆心角ΔT_C与圆弧段Z_C的分段

(1)确定ΔT_C

将圆弧段Z_C等分。以ΔT_C表示圆弧段Z_C各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，ΔT_C也就是圆弧段Z_C内接弦对应的圆心角。对于本例，ΔT_C等于所述参数t的增量Δτ_C，

ΔT_C＝Δτ_C。         (L-6)

如果要求Z_C内接弦拟合Z_C的径向误差绝对值的最大值|δR₀|不超过0.5，则根据式(5-10)，

$\left|\mathrm{\δ}{R}_0\right|=\frac{1}{8}{R}_0{\left({\mathrm{\ΔT}}_C\right)}^2\≤{\mathrm{\ϵ}}_C=0.5.---(L-7)$

相应地，

${\mathrm{\ΔT}}_C\≤\sqrt{\frac{8\×{\mathrm{\ϵ}}_C}{R_0}}=\sqrt{\frac{8\×0.5}{50000}}=0.00894.---(L-8)$

取ΔT_C＝0.00894。     (L-9)

(2)确定圆弧段Z_C分段

依据式(L-9)确定的ΔT_C值对圆弧段Z_C进行分段，其分段段数理论值应为

$n_{\mathrm{CL}}=\frac{\mathrm{\π}}{2\×{\mathrm{\ΔT}}_C}=175.62.---(L-10)$

分段段数只能是整数，取分段段数的实际值为

n_C＝176。                    (L-11)

相应的ΔT_C取值为

${\mathrm{\ΔT}}_C=\frac{\mathrm{\π}}{2\×n_C}=0.00892.---(L-12)$

此时，拟合的径向误差误差绝对值的最大值

$\left|{\mathrm{\&delta;R}}_0\right|=\frac{1}{8}{R}_0{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_C\right)}^2=0.498<{\mathrm{\&epsiv;}}_C.---(L-13)$

2、确定坐标函数定义域中间点的位置坐标值

以i_C(i_C＝1、2、3、……、176、177)表示构成拟合圆弧Z_C的折线的176个内接弦的起点及最后一个内接弦的终点在内的各点的序号，也就是坐标函数Ψ_X(t)、Ψ_Y(t)定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。二个端点分别对应着序号1及177，二个端点间的中间点分别对应着序号

i_C＝2、3、……、176。         (L-14)

(1)当i_C＝1，即圆弧段Z_C起点，其位置坐标值为已知

Ψ_X，1＝R₀＝50000，           (L-15)

Ψ_Y，1＝0。                   (L-16)

(2)当i_C＝2～175，以u+1表示i_C(i_C＝2、3、……、125)中的某个中间点的序号，u代表与之相邻的前一个点的序号，

①根据第4点的说明可知，Ψ_X(t)可视为Ψ_Y(t)的虚拟坐标函数，可根据展开式(3-1)、(3-2)确定圆弧段各中间点的坐标函数值增量。根据第3点对于展开式项数的分析，展开式的项数取为4。因此，

${\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_X\left(t_{u+1}\right)=={\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_X\left(t_u\right)-{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_Y\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_X\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_Y\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^3,---(L-17)$

${\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_Y\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_Y\left(t_u\right)+{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_X\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_Y\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_X\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^3.---(L-18)$

对应圆弧段起点的位置坐标值增量ΔΨ_X(t₁)、ΔΨ_Y(t₁)，可由其它计算机确定并将之作为后续插补运算的已知条件。

②相应的各中间点的位置坐标值Ψ_X(t_u+1)、Ψ_Y(t_u+1)由下式确定，

Ψ_X(t_u+1)＝Ψ_X(t_u)+ΔΨ_X(t_u)，        (L-19)

Ψ_Y(t_u+1)＝Ψ_Y(t_u)+ΔΨ_Y(t_u)。        (L-20)

(3)当i_C＝176，即对应最后一个中间点。其相应的位置坐标值增量ΔΨ_X，176、ΔΨ_Y，176无需计算，因为最后一个内接弦的终点即所需圆弧段Z_C的终点，其位置坐标值已给定，

Ψ_X，177＝0，                         (L-21)

Ψ_Y，177＝50000。                     (L-22)

由于第一象限的1/4圆弧相对角Ψ_XOΨ_Y的平分线是对称的；因此，插补可以只针对圆心角为0～π/4部分的圆弧进行。圆心角为π/4～π/2部分的圆弧的位置坐标值或其增量可利用所述的对称性获得，计算量可以节省约50％。

Claims (10)

1.一种新插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)中包括有一个或若干个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，对应所述一个或若干个坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为H_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、初始相位分别为α_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为

Ψ_k(t)＝H_ksin(ωt+α_k)，(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，  (1-1)

所述曲线Q对应坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)变化的以参数t为自变量的函数，

所述参数t可以是该曲线Q上的点的位置坐标Ω_P(p＝1、2、3、……、m_Ω)中的一个坐标，也可以是这些坐标之外的另一个参数，

所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值，

针对所需路径或轮廓线的插补就是针对其坐标函数的插补，

针对坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的插补步骤包括，

(1)确定坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域二个端点间的中间点，包括，

①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量的值，

②确定所述中间点的个数，

插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的坐标函数值相等，整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数Ψ_Lk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，而坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)将以分段线性函数Ψ_Lk(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)拟合，

(2)确定所述中间点的坐标函数值或其增量值，

(3)存储/输出运算结果，

其特征在于：将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各坐标函数Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域分段，以分段的交点作为定义域的中间点，所述定义域中间点所对应的坐标函数值Ψ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定，

${\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_u\right)+{\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^3+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+$

$+\frac{1}{v^{\&prime;}!}{\left[\frac{d^{v^{\&prime;}}}{{\mathrm{dt}}^{v^{\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^{v^{\&prime;}},---(1-2)$

${\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_u\right)-{\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^3+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+$

$+\frac{1}{v^{\&prime;\&prime;}!}{\left[\frac{d^{v^{\&prime;\&prime;}}}{d{t}^{v^{\&prime;\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_u\right)}^{v^{\&prime;\&prime;}},---(1-3)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，                                  (1-4)

②u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

以，n表示坐标函数Ψ_A(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

所述定义域起点指的是与所述曲线Q起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述曲线Q终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_u为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量，其数值为相应的所述参数t的增量Δt_u的ω倍，

ΔT_u＝ωΔt_u，                                               (1-5)

Δt_u＝t_u+1-t_u，                                              (1-6)

⑤Ψ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，

⑥Ψ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值，

⑦Φ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，

⑧Φ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值，

⑨v′+1为正整数，是展开式(1-2)的项数，

v′≥0，                                       (1-7)

⑩v″+1为正整数，是展开式(1-3)的项数，

v″≥0，                                       (1-8)

上述⑦、⑧中所述的虚拟坐标函数Φ_A(t)是一个与坐标函数Ψ_A(t)对应的函数，或说是一个与Ψ_A(t)具有相同幅值H_A、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)。                       (1-9)

2.如权利要求1所述的插补方法，其特征为：将对应所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)的各坐标函数Ψ_A(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点。

3.如权利要求2所述的插补方法，其特征为：所述定义域中间点所对应的坐标函数值增量ΔΨ_k(t)(k＝1、2、3、……、m_Ψ)，基于泰勒公式按下述展开式确定，

${\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_A\left(t_u\right)+{\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^2-\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^3+$

$+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}}}{{\mathrm{dt}}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;}},---(3-1)$

${\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_{u+1}\right)={\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_A\left(t_u\right)-\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_u\right)\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_A\left(t_u\right){\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^3+$

$+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}!}{\left[\frac{d^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}}}{d{t}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}}}\left({\mathrm{\&Delta;\&Phi;}}_A\left(t\right)\right)\right]}_{t=t\left(u\right)}{\left({\mathrm{\&Delta;T}}_A\right)}^{{\mathrm{\&kappa;}}^{\&prime;\&prime;}},---(3-2)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标Ψ_k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，                          (3-3)

②u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

以，n表示坐标函数Ψ_A(t)定义域分段的段数，

以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，

以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，

u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，

u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，

所述定义域起点指的是与所述曲线Q_δ起点对应的定义域的端点，

所述定义域终点指的是与所述曲线Q终点对应的定义域的端点，

③t_u+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，

t_u为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，

t_u+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，

t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

④ΔT_A为坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，                                           (3-4)

⑤ΔΨ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值增量，

ΔΨ_A(t_u+1)＝Ψ_A(t_u+2)-Ψ_A(t_u+1)，                        (3-5)

其中，Ψ_A(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，

⑥ΔΨ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值增量，

ΔΨ_A(t_u)＝Ψ_A(t_u+1)-Ψ_A(t_u)，                            (3-6)

其中，Ψ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值，

⑦ΔΦ_A(t_u+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值增量，

ΔΦ_A(t_u+1)＝Φ_A(t_u+2)-Φ_A(t_u+1)，                     (3-7)

其中，Φ_A(t_u+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟坐标函数值，

Φ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，

⑧ΔΦ_A(t_u)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值增量，

ΔΦ_A(t_u)＝Φ_A(t_u+1)-Φ_A(t_u)，                          (3-8)

其中，Φ_A(t_u+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，

Φ_A(t_u)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值，

⑨κ′+1为正整数，是展开式(3-1)的项数，

κ′≥0，                                               (3-9)

⑩κ″+1为正整数，是展开式(3-2)的项数，

κ″≥0，                                               (3-10)

上述⑦、⑧中所述的虚拟坐标函数Φ_A(t)是一个与坐标函数Ψ_A(t)对应的函数，或说是一个与Ψ_A(t)具有相同幅值H_δA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位α_A及相同定义域的余弦函数，其表达式为

Φ_A(t)＝H_Acos(ωt+α_A)。                                (3-11)

4.如权利要求1、2或3所述的插补方法，其特征为：

(1)所述坐标Ψ_k(k＝1、……、m_Ψ)共有二个坐标Ψ_k(k＝1、2)或说Ψ₁、Ψ₂，对应Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)可以表示为一组幅值相同为R₀、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α₀的余弦函数与正弦函数，其表达式为

${\mathrm{\&Psi;}}_1\left(t\right)=H_1\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_1)=R_0\sin \left(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_0+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=R_0\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_0),---(4-1)$

Ψ₂(t)＝H₂sin(ωt+α₂)＝R₀sin(ωt+α₀)，                 (4-2)

式中，H₁＝H₂＝R₀，                                       (4-3)

${\mathrm{\&alpha;}}_1={\mathrm{\&alpha;}}_0+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},---(4-4)$

α₂＝α₀，                                               (4-5)

(2)对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂的坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域等分为相同的n_C个分段，或者说，坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量Δτ_C或等效增量ΔT_C，

n₁＝n₂＝n_C，                                             (4-6)

Δτ₁＝Δτ₂＝Δτ_C，                                    (4-7)

ΔT₁＝ΔT₂＝ΔT_C。                                       (4-8)

5.如权利要求2或3所述的插补方法，其特征为：对应所述坐标其坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_A\right|\&le;\sqrt{\frac{{8\mathrm{\&epsiv;}}_A}{H_A\&times;{\left|\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_A)\right|}_{\mathrm{MAX}}}},---(5-1)$

式中，①Ψ_A表示所述坐标中的某一个坐标，A是序号k(k＝1、2、3、……、m_Ψ)中的某个序号，对应坐标Ψ_A的坐标函数为

Ψ_A(t)＝H_Asin(ωt+α_A)，                              (5-3)

②ΔT_A为坐标函数Ψ_A(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量Δτ_A的ω倍，

ΔT_A＝ωΔτ_A，                                       (5-4)

③|sin(ωt+α_A)|_MAX为在坐标函数Ψ_A(t)定义域范围内|sin(ωt+α_A)|的最大值，

④ε_A为以分段线性函数Ψ_LA(t)拟合坐标函数Ψ_A(t)的误差绝对值|δΨ_L-A(t)|的允许值，

δΨ_L＝A(t)＝Ψ_LA(t)-Ψ_A(t)，                        (5-5)

对应坐标函数Ψ_A(t)第i个分段定义域，所述的分段线性函数Ψ_LA(t)表达式为

${\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{LA}}\left(t\right)={\mathrm{\&Psi;}}_A\left(t_i\right)+\frac{{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_A\left(t_i\right)}{{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_A}(t-t_i),(i=\mathrm{1,2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n),---(5-6)$

式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，

(b)t_i(i＝1、2、3、……、n、n+1)为坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，

t_i+1为与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值，

t₁为坐标函数Ψ_A(t)定义域起点所对应的参数t的值，

t_n+1为坐标函数Ψ_A(t)定义域终点所对应的参数t的值，

(c)Δτ_A是坐标函数Ψ_A(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量值，是常数，

(d)ΔΨ_A(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值的增量，

ΔΨ_A(t_i)＝Ψ_A(t_i+1)-Ψ_A(t_i)，(i＝1、2、3、……、n)，       (5-8)

其中，Ψ_A(t_i+1)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的坐标函数值，

Ψ_A(t_i)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数Ψ_A(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值。

6.如权利要求5所述的插补方法，其特征为：：所述|sin(ωt+α_A)|_MAX以1替换。

7.如权利要求4所述的插补方法，其特征为：对应所述坐标Ψ₁、Ψ₂其坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量|ΔT_C|的取值满足下述公式，

$\left|{\mathrm{\&Delta;T}}_C\right|\&le;\sqrt{\frac{8{\mathrm{\&epsiv;}}_C}{R_0}},---(7-1)$

式中，ε_C为以圆弧段Z_C等分分段的内接弦拟合圆弧段Z_C的径向误差的绝对值的允许值，圆弧段Z_C为坐标函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)在坐标轴Ψ₁和Ψ₂构成的直角坐标系Ψ₁OΨ₂的坐标平面上的图形。

8.如权利要求1、2、3、6或7中任何一项权利要求所述的插补方法，其特征为：所述ω取值为1，

ω＝1。                               (8-1)

9.如权利要求4所述的插补方法，其特征为：所述ω取值为1，

ω＝1。                               (9-1)

10.如权利要求5所述的插补方法，其特征为：所述ω取值为1，

ω＝1。                               (10-1)

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