CN101738984A - 一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，涉及数控系统，为了解决CAD/CAM系统和CNC之间的传递误差和段段之间的不连续破坏了曲目的精度，以及移动速度变得不均匀、不连续的问题，其实现过程为：一、由CAM软件读取零件设计图的曲线上的轨迹数据，建立CAM刀具路径；二、将CAM刀具路径转换为五坐标样条插补数控代码格式；其中五坐标样条插补数控代码格式分为三种形式：线性平移五坐标样条插补数控代码格式、线性旋转五坐标样条插补数控代码格式和通用五坐标样条插补数控代码格式；三、通过逆向动力学变换公式将三种五坐标样条插补数控代码格式转换成关节运动程序，四、完成零件的加工。本发明广泛应用于数控系统领域。

Description

一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法

技术领域

本发明涉及数控系统，具体涉及一种五坐标数控系统的插补控制方法。

背景技术

在当代的CAD/CAM系统中，诸如叶轮、飞机模具和汽车模具这类零件的轮廓通常是用参数曲线形式表示的。因为大部分的计算机数字控制(Computer Numerical Control，CNC)系统仅提供直线和圆弧插补器，CAD/CAM系统不得不将曲线离散成大量的小直线段再传给计算机数字控制(CNC)系统。但是这种处理方式有一些缺点：(1)会造成CAD/CAM系统和CNC之间的传递误差；(2)段段之间的不连续破坏了曲目的精度；(3)移动速度变得不均匀、不连续。

使用恰当的样条曲线可以解决上面提到的问题。因此，当今的计算机数字控制(CNC)系统正在向着样条插补的方向发展，但在发展的过程中样条插补方法的开发面临着两大问题。

第一个问题是应该选用哪种样条？并不是所有种类的样条都适合进行运动控制和插补。所选择的样条应该能够简单准确的描述五坐标运动。在现有众多插补方法中能够很好解决上述问题的插补控制方法为五坐标样条插补的控制方法，而且恰当的样条可以保证更快速的插补算法和更简单的样条构建方法，最重要的是这种样条应该能够恰当的描述旋转运动。

其次怎样生成这种样条插补的NC代码？在确定样条的种类以后，剩下的问题是如何构建这种样条。当前大部分的样条构建方法是将离散的刀具路径转化成样条。但是五坐标的运动是由平移和旋转构成的。平移样条的构建方法是成熟的，旋转样条的拟合方法却不成熟。因此，如何生成五坐标样条格式的NC代码也是一个重要的问题。如果离散的刀具路径不能转变成样条格式，五坐标样条插补器的存在就是无意义的。

发明内容

本发明为了解决CAD/CAM系统和CNC之间的传递误差和段段之间的不连续破坏了曲目的精度，以及移动速度变得不均匀、不连续的问题，而提出了一种五坐标数控系统的插补控制方法。

步骤一、由CAM软件读取零件设计图的曲线上的轨迹数据，建立CAM刀具路径；

步骤二、将CAM刀具路径转换为五坐标样条插补数控代码格式；其中五坐标样条插补数控代码格式分为三种形式：线性平移五坐标样条插补数控代码格式、线性旋转五坐标样条插补数控代码格式和通用五坐标样条插补数控代码格式；

步骤三、通过逆向动力学变换公式将三种五坐标样条插补数控代码格式转换成关节运动程序，其公式为：

$\left\{\begin{array}{c}X=(X_W+g)\cos B-(Z_W+k)\sin B\\ Y=(Y_W+h)\cos A+[(X_W+g)\sin B+(Z_W+k)\cos B]\sin A\\ Z=-(Y_W+h)\sin A+[(X_W+g)\sin B+(Z_W+k)\cos B]\cos A\end{array}\right.$

步骤四、完成零件的加工。

本发明具有以下有益效果：本发明提出了一整套的实时双均匀B样条插补器的解决方案。本发明解决了五坐标加工中的旋转插补和五坐标样条的拟合问题。除此以外，该五坐标样条插补策略也被用来加工整体叶轮。

仿真结果显示该样条插补器的进给速度是平滑的，加速度的波动保持在可以接受的范围内。实际的加工结果显示提出的五轴样条插补器可以有效的提高加工精度和表面质量。

附图说明

图1是平移三次均匀B样条控制顶点的示意图；图2是旋转三次均匀四次元数B样条控制点的示意图；图3是双三次均匀B样条控制点的示意图；图4是叶轮开槽加工的五轴线性插补和样条插补之间的比较效果图，其中1表示采用五轴线性插补开槽后的效果，2表示采用样条插补开槽的效果。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式步骤如下：

步骤一、由CAM软件读取零件设计图的曲线上的轨迹数据，建立CAM刀具路径；

步骤二、将CAM刀具路径转换为五坐标样条插补数控代码格式；其中五坐标样条插补数控代码格式分为三种形式：线性平移五坐标样条插补数控代码格式、线性旋转五坐标样条插补数控代码格式和通用五坐标样条插补数控代码格式；

步骤三、通过逆向动力学变换公式将三种五坐标样条插补数控代码格式转换成关节运动程序，其公式为：

$\left\{\begin{array}{c}X=(X_W+g)\cos B-(Z_W+k)\sin B\\ Y=(Y_W+h)\cos A+[(X_W+g)\sin B+(Z_W+k)\cos B]\sin A\\ Z=-(Y_W+h)\sin A+[(X_W+g)\sin B+(Z_W+k)\cos B]\cos A\end{array}\right.$

步骤四、完成零件的加工。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同点在于将CAM刀具路径分为平移路径和纯旋转路径，以及平移和旋转的复合路径。其它组成和连接方式与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式二不同点在于平移路径和纯旋转路径，以及平移和旋转的复合路径分别由平移三次均匀B样条、旋转三次均匀四次元数B样条和双三次均匀B样条来描述。其它组成和连接方式与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：结合图1说明本实施方式，本实施方式与具体实施方式三不同点在于平移路径是刀尖位置矢量改变，刀具方向矢量不变的一种运动，也就是平移路径只考虑位置样条，不需要考虑方向样条；位置样条是采用平移三次均匀B样条来描述，因此平移路径也是由平移三次均匀B样条来描述的。

根据CAD/CAM理论，平移三次均匀B样条曲线被定义为：

公式一： $P_i\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{i+j}{B}_{j,3}\left(t\right)---\left(22\right)$

公式一中的p是控制点，也就是刀尖位置点，B_j，3(t)是三次B样条基函数；将公式一进行简化：

$P_i\left(t\right)=\frac{1}{6}{(1-t)}^3{p}_i+(\frac{2}{3}-t^2+\frac{1}{2}{t}^3)p_{i+1}$

公式二： $+(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}{t}^3)p_{i+2}+\frac{1}{6}{t}^3{p}_{i+3}---\left(23\right)$

公式二的一阶导数为：

$P_i^{\′}\left(t\right)=(-\frac{1}{2}+t-\frac{1}{2}{t}^2)p_i+(-2t+\frac{3}{2}{t}^2)p_{i+1}+$

公式三： $(\frac{1}{2}+t-\frac{3}{2}{t}^2)p_{i+2}+\frac{1}{2}{t}^2{p}_{i+3}---\left(24\right)$

公式二的二阶导数为

                       P_i″(t)＝(1-t)p_i+(-2+3t)p_i+1+

公式四：                                                  (25)

                       (1-3t)p_i+2+tp_i+3

再根据B样条曲线的凸包性，得到平移路径起点为p_i+1终点为p_i+2之间的关系式：

公式五：   ||p_i+1-p_i||＝||p_i+2-p_i+1||＝||p_i+3-p_i+2||         (26)

因此在CNC系统中，位置样条曲线的插补计算如下：

公式六：t_i+1＝t_i+Δ(t_i)                    (27)

公式六中的t_i为当前的参数，t_i+1是下一个参数，Δt_i是增量值；

通过使用Taylor’s展开式，一阶近似插补算法为：

公式七： $t_{i+1}=t_i+\frac{V\left(t_i\right)T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{t=t_i}}---\left(28\right)$

二阶近似插补算法为：

$t_{i+1}=t_i+\frac{V\left(t_i\right)T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{t=t_i}}$

公式八： $-\frac{V^2\left(t_i\right)T_s^2\left(\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\frac{d^{2}P\left(t\right)}{d{t}^2}\right)}{2{\left|\right|\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{t=t_i}^4}---\left(29\right)$

通过将公式三和公式四代入公式八中，可以求出t_i+1；再通过将t_i+1代入公式二中计算得到下一个插补点P_i+1，以此类推就可以得到连续的插补点。

线性平移五坐标样条插补数控代码格式

N***G01.1X_Y_Z_A_B_C_F_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

其中：N***代表行号，X_Y_Z_定义了位置样条的控制顶点，A_B_C_定义了方位样条的控制顶点。

其它组成和连接方式与具体实施方式三相同。

具体实施方式五：结合图2说明本实施方式，本实施方式与具体实施方式四不同点在于纯旋转路径是刀具方向矢量改变，刀尖位置矢量不变的一种运动，也就是纯旋转路径只考虑方向样条，不需要考虑位置样条；方向样条是采用旋转三次均匀四次元数B样条来描述，因此纯旋转路径也是由旋转三次均匀四次元数B样条来描述的。

参数增量的计算方法如下式

公式九： $u_{i+1}=u_i+\frac{f{T}_s}{\left|\right|\log \left(q_{i+2}^{-1}{q}_{i+3}\right)}---\left(30\right)$

公式九中的f为进给速度，T_s为采样时间；公式九是旋转运动的进给速度计算公式，

同理直线段插补，当

公式十： $\log \left(q_{i+1}^{-1}{q}_i\right)=\log \left(q_{i+2}^{-1}{q}_{i+1}\right)=\log \left(q_{i+3}^{-1}{q}_{i+2}\right)---\left(31\right)$

插补的起始向量为q_i+1，终止向量为q_i+2。

利用公式十计算旋转三次均匀四次元数B样条曲线。

线性旋转五坐标样条插补数控代码格式

N***G01.2X_Y_Z_A_B_C_F_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

其中：N***代表行号，X_Y_Z_定义了位置样条的控制顶点，A_B_C_定义了方位样条的控制顶点。

其它组成和连接方式与具体实施方式四相同。

具体实施方式六：结合图3说明本实施方式，本实施方式与具体实施方式五不同点在于平移和旋转的复合路径是刀尖位置矢量改变，刀具方向矢量也改变的一种运动，也就是平移和旋转的复合路径既要考虑方向样条，也要考虑位置样条；因此平移和旋转的复合路径由双三次均匀B样条来描述的，样条拟合方法如下：

给定位置坐标p₀，p₁，L，p_n∈R³和单位方向四元数q₀，L，q_n∈S³，平移和旋转的复合路径C²连续的曲线通过双三次均匀B样条曲线P(t)∈R³，Q(t)∈S³来构建；

由n+2个控制顶点p_i(i＝-1，0，L，n＝1)所定义的三次B样条曲线可以写成公式十一： $P\left(t\right)=\underset{i=-1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i{B}_i\left(t\right)---\left(32\right)$

由P(t_i)＝p_i可以生成一个线性方程组：

公式十二：p_i-1+4p_i+p_i+1＝6P_i，for i＝0，1，L，n    (33)

通过定义边界条件p_-1和p_n+1，该方程组为含有n+1个未知数的n+1个线性方程；因为该方程组是一个严格的三对角线方程组，所以存在唯一的一个解。公式十二用来构建双三次均匀B样条中的位置样条；

扩展该方法到四元数B样条曲线，插值一系列给定的单位四元数q_i(i＝0，1，L，n)的样条曲线也就被构建了。

四元数B样条曲线Q(t)被定义为

公式十三： $Q\left(t\right)=q_{-1}^{B_0^{\%}\left(t\right)}\underset{i=0}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{B_i^{\%}\left(t\right)}---\left(34\right)$

其中：

公式十四： $B_i^{\%}\left(t\right)=\underset{j=i}{\overset{n+1}{\mathrm{\Σ}}}{B}_i\left(t\right)---\left(35\right)$

利用条件q_i＝Q_i，得到n+1个等式

$q_{i-1}{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{5/6}{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{1/6}=Q_i$

公式十五： $\mathrm{fori}=\mathrm{0,1},L,n---\left(36\right)$

因为有n+1个等式而有n+3个未知数q_-1，q₀，L，q_n+1，所以需要两个边界条件

公式十六： $\left\{\begin{array}{c}{Q}^{\′\′}\left(0\right)=0\\ Q^{\′\′}\left(n\right)=0\end{array}\right.---\left(37\right)$

将这两个边界条件应用于公式十五，得到：

公式十七： $\left\{\begin{array}{c}{q}_{-1}^{-1}{q}_0=q_0^{-1}{q}_1\\ q_n^{-1}{q}_{n+1}=q_{n-1}^{-1}{q}_n\end{array}\right.---\left(38\right)$

或

公式十八： $\left\{\begin{array}{c}{q}_{-1}=q_0{\left(q_0^{-1}{q}_1\right)}^{-1}\\ q_{n+1}=q_n\left(q_{n-1}^{-1}{q}_n\right)\end{array}\right.---\left(39\right)$

因此，公式十五化简为：

公式十九： $\left\{\begin{array}{c}{q}_0=Q_0\\ q_{i-1}{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{5/6}{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{1/6}=Q_i\\ q_n=Q_n\end{array}\right.---\left(40\right)$

for i＝1，2，L，n-1

方程组公式十九是非线性的，采用迭代方法来对该非线性方程组求解；

通过求解公式十九，得到：

公式二十： ${\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{5/6}=q_{i-1}^{-1}{Q}_i{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{-1/6}---\left(41\right)$

然后，通过求解左边的变量q_i，得到等式：

公式二十一： $q_i^{*}=q_{i-1}{\left[q_{i-1}^{-1}{Q}_i{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{-1/6}\right]}^{6/5}---\left(42\right)$

在迭代的初始阶段，令右边的项为q_i＝Q_i。

通用五坐标样条插补数控代码格式

N***G01.5X_Y_Z_A_B_C_F_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

......

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

其中：N***代表行号，X_Y_Z_定义了位置样条的控制顶点，A_B_C_定义了方位样条的控制顶点。

其它组成和连接方式与具体实施方式六相同。

本发明内容不仅限于上述各实施方式的内容，其中一个或几个具体实施方式的组合同样也可以实现发明的目的。

Claims (6)

1.一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，其特征是，它的具体步骤为：

步骤一、由CAM软件读取零件设计图的曲线上的轨迹数据，建立CAM刀具路径；

步骤二、将CAM刀具路径转换为五坐标样条插补数控代码格式；其中五坐标样条插补数控代码格式分为三种形式：线性平移五坐标样条插补数控代码格式、线性旋转五坐标样条插补数控代码格式和通用五坐标样条插补数控代码格式；

步骤三、通过逆向动力学变换公式将三种五坐标样条插补数控代码格式转换成关节运动程序，其公式为：

$\left\{\begin{array}{c}X=(X_W+g)\cos B-(Z_W+k)\sin B\\ Y=(Y_W+h)\cos A+[(X_W+g)\sin B+(Z_W+k)\cos B]\sin A\\ Z=-(Y_W+h)\sin A+[(X_W+g)\sin B+(Z_W+k)\cos B]\cos A\end{array}\right.$

步骤四、完成零件的加工。

2.根据权利要求1所述的一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，其特征在于，将CAM刀具路径分为平移路径和纯旋转路径，以及平移和旋转的复合路径。

3.根据权利要求2所述的一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，其特征在于，平移路径和纯旋转路径，以及平移和旋转的复合路径分别由平移三次均匀B样条、旋转三次均匀四次元数B样条和双三次均匀B样条来描述。

4.根据权利要求3所述的一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，其特征在于，平移路径是刀尖位置矢量改变，刀具方向矢量不变的一种运动，也就是平移路径只考虑位置样条，不需要考虑方向样条；位置样条是采用平移三次均匀B样条来描述，因此平移路径也是由平移三次均匀B样条来描述的；

根据CAD/CAM理论，平移三次均匀B样条曲线被定义为：

公式一： $P_i\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{i+j}{B}_{j,3}\left(t\right)---\left(1\right)$

公式一中的p是控制点，也就是刀尖位置点，B_j，3(t)是三次B样条基函数；将公式一进行简化：

$P_i\left(t\right)=\frac{1}{6}{(1-t)}^3{p}_i+(\frac{2}{3}-t^2+\frac{1}{2}{t}^3)p_{i+1}$

公式二： $+(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}{t}^3)p_{i+2}+\frac{1}{6}{t}^3{p}_{i+3}---\left(2\right)$

公式二的一阶导数为：

$P_i^{\′}\left(t\right)=(-\frac{1}{2}+t-\frac{1}{2}{t}^2)p_i+(-2t+\frac{3}{2}{t}^2)p_{i+1}+$

公式三： $(\frac{1}{2}+t-\frac{3}{2}{t}^2)p_{i+2}+\frac{1}{2}{t}^2{p}_{i+3}---\left(3\right)$

公式二的二阶导数为

        P_i″(t)＝(1-t)p_i+(-2+3t)p_i+1+

公式四：

       (1-3t)p_i+2+tp_i+3                        (4)

再根据B样条曲线的凸包性，得到平移路径起点为p_i+1终点为p_i+2之间的关系式：

公式五：||p_i+1-p_i||＝||p_i+2-p_i+1||＝||p_i+3-p_i+2||        (5)

因此在CNC系统中，位置样条曲线的插补计算如下：

公式六：t_i+1＝t_i+Δ(t_i)                (6)

公式六中的t_i为当前的参数，t_i+1是下一个参数，Δt_i是增量值；

通过使用Taylor’s展开式，一阶近似插补算法为：

公式七： $t_{i+1}=t_i+\frac{V\left(t_i\right)T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{t=t_i}}---\left(7\right)$

二阶近似插补算法为：

$t_{i+1}=t_i+\frac{V\left(t_i\right)T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{t=t_i}}$

公式八： $-\frac{V^2\left(t_i\right)T_s^2{\left(\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\frac{d^{2}P\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^2}\right)|}_{t=t_i}}{2{\left|\right|\frac{\mathrm{dP}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{t=t_i}^4}---\left(8\right)$

通过将公式三和公式四代入公式八中，可以求出t_i+1；再通过将t_i+1代入公式二中计算得到下一个插补点P_i+1，以此类推就可以得到连续的插补点；

线性平移五坐标样条插补数控代码格式

N***G01.1X_Y_Z_A_B_C_F_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

其中：N***代表行号，X_Y_Z_定义了位置样条的控制顶点，A_B_C_定义了方位样条的控制顶点。

5.根据权利要求4所述的一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，其特征在于，纯旋转路径是刀具方向矢量改变，刀尖位置矢量不变的一种运动，也就是纯旋转路径只考虑方向样条，不需要考虑位置样条；方向样条是采用旋转三次均匀四次元数B样条来描述，因此纯旋转路径也是由旋转三次均匀四次元数B样条来描述的；

参数增量的计算方法如下式

公式九： $u_{i+1}=u_i+\frac{{\mathrm{fT}}_s}{\left|\right|\log \left(q_{i+2}^{-1}{q}_{i+3}\right)\left|\right|}---\left(9\right)$

公式九中的f为进给速度，T_s为采样时间；公式九是旋转运动的进给速度计算公式，

同理直线段插补，当

公式十： $\log \left(q_{i+1}^{-1}{q}_i\right)=\log \left(q_{i+2}^{-1}{q}_{i+1}\right)=\log \left(q_{i+3}^{-1}{q}_{i+2}\right)---\left(10\right)$

插补的起始向量为q_i+1，终止向量为q_i+2；

利用公式十计算旋转三次均匀四次元数B样条曲线；

线性旋转五坐标样条插补数控代码格式

N***G01.2X_Y_Z_A_B_C_F_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

其中：N***代表行号，X_Y_Z_定义了位置样条的控制顶点，A_B_C_定义了方位样条的控制顶点。

6.根据权利要求5所述的一种基于四元数的五坐标样条插补控制方法，其特征在于，平移和旋转的复合路径是刀尖位置矢量改变，刀具方向矢量也改变的一种运动，也就是平移和旋转的复合路径既要考虑方向样条，也要考虑位置样条；因此平移和旋转的复合路径由双三次均匀B样条来描述的，样条拟合方法如下：

给定位置坐标p₀，p₁，L，p_n∈R³和单位方向四元数q₀，L，q_n∈S³，平移和旋转的复合路径C²连续的曲线通过双三次均匀B样条曲线P(t)∈R³，Q(t)∈S³来构建；

由n+2个控制顶点p_i(i＝-1，0，L，n＝1)所定义的三次B样条曲线可以写成

公式十一： $P\left(t\right)=\underset{i=--1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i{B}_i\left(t\right)---\left(11\right)$

由P(t_i)＝p_i可以生成一个线性方程组：

公式十二：p_i-1+4p_i+p_i+1＝6P_i，for i＝0，1，L，n            (12)

通过定义边界条件p_-1和p_n+1，该方程组为含有n+1个未知数的n+1个线性方程；因为该方程组是一个严格的三对角线方程组，所以存在唯一的一个解；公式十二用来构建双三次均匀B样条中的位置样条；

扩展该方法到四元数B样条曲线，插值一系列给定的单位四元数q_i(i＝0，1，L，n)的样条曲线也就被构建了；

四元数B样条曲线Q(t)被定义为

公式十三： $Q\left(t\right)=q_{-1}^{B_0^{\%}\left(t\right)}\underset{i=0}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{B_i^{\%}\left(t\right)}---\left(13\right)$

其中：

公式十四： $B_i^{\%}\left(t\right)=\underset{j=i}{\overset{n+1}{\mathrm{\Σ}}}{B}_i\left(t\right)---\left(14\right)$

利用条件q_i＝Q_i，得到n+1个等式

$q_{i-1}{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{5/6}{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{1/6}=Q_i$

公式十五：

for i＝0，1，L，n                (15)

因为有n+1个等式而有n+3个未知数q_-1，q₀，L，q_n+1，所以需要两个边界条件

公式十六： $\left\{\begin{array}{c}{Q}^{\′\′}\left(0\right)=0\\ Q^{\′\′}\left(n\right)=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

将这两个边界条件应用于公式十五，得到：

公式十七： $\left\{\begin{array}{c}{q}_{-1}^{-1}{q}_0=q_0^{-1}{q}_1\\ q_n^{-1}{q}_{n+1}=q_{n-1}^{-1}{q}_n\end{array}\right.---\left(17\right)$

或

公式十八： $\left\{\begin{array}{c}{q}_{-1}=q_0{\left(q_0^{-1}{q}_1\right)}^{-1}\\ q_{n+1}=q_n\left(q_{n-1}^{-1}{q}_n\right)\end{array}\right.---\left(18\right)$

因此，公式十五化简为：

公式十九： $\left\{\begin{array}{c}{q}_0=Q_0\\ q_{i-1}{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{5/6}{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{1/6}=Q_i\\ q_n=Q_n\end{array}\right.---\left(19\right)$

for i＝1，2，L，n-1

方程组公式十九是非线性的，采用迭代方法来对该非线性方程组求解；

通过求解公式十九，得到：

公式二十： ${\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{5/6}=q_{i-1}^{-1}{Q}_i{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{-1/6}---\left(20\right)$

然后，通过求解左边的变量q_i，得到等式：

公式二十一： $q_i^{*}=q_{i-1}{\left[q_{i-1}^{-1}{Q}_i{\left(q_i^{-1}{q}_{i+1}\right)}^{-1/6}\right]}^{6/5}---\left(21\right)$

在迭代的初始阶段，令右边的项为q_i＝Q_i；

通用五坐标样条插补数控代码格式

N***G01.5X_Y_Z_A_B_C_F_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

......

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

N***X_Y_Z_A_B_C_

其中：N***代表行号，X_Y_Z_定义了位置样条的控制顶点，A_B_C_定义了方位样条的控制顶点。

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