CN107807612B - 基于四元数螺旋线球面插补法的数控机床球面加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于四元数螺旋线球面插补法的数控机床球面加工方法，包括如下步骤：S1、数控机床给定参数信息：加工球心坐标、加工球半径r、取球加工范围t以及螺纹生成圈数n；S2、将生成的球面螺旋线四元数化；S3、基于四元数法进行空间圆弧插补的原理对螺旋线从开始点每相邻两点间进行插补，直止结束点，完成整球面的螺旋线插补计算。S4、数控机床刀具移动到加工起点，基于S3的插值结果数控机床实现球面加工。本发明应用于球面插补场合，能够有效避免欧拉角存在的万向锁问题和旋转矩阵计算量过大的问题，从而提高五轴数控机床的加工效率和加工质量。

Description

基于四元数螺旋线球面插补法的数控机床球面加工方法

技术领域

本发明涉及一种五轴数控机床的球面加工，更具体地说，涉及球面的获取与加工。

背景技术

目前数控系统中，对于空间球面的加工，一般采用小线段逼近空间曲线的方法，但这种方法精度较差，并且计算量大、效率较低。本文，采用空间圆弧的插补方式，用空间圆弧逼近待加工的曲线。对于空间圆弧的和螺旋线的计算中，需要利用欧拉角进行旋转运动计算，但是欧拉角不利于插补运算，并且存在万向节锁定等问题。

此外，为了说明本发明的技术内容，如下背景需要描述：

一、整球面螺旋线

1、球面坐标

在空间中建立直角坐标系(笛卡尔坐标系)后，以

点为中心，|MN|＝r为半径的球面上，θ为有向线段MN与z轴正向的夹角，

为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到MN所转过的角，如图1所示。

则在笛卡尔坐标系中球面点的坐标可以表示为：

2、球面螺旋线

螺旋线参数方程如下所示：

由公式2.1和2.2整理可以得到整球面螺旋线方程为：

二、对偶四元数

1、对偶数

对偶数如公式2.4定义所示，a为实数部分，b为对偶部分。

对偶向量是特殊的对偶数，其实数和对偶部分都为向量。单位对偶向量可以用来表示空间直线。

2、四元数

四元数由公式2.5定义所示，其中s是一个标量，v是一个三维向量。

q＝[s，v]——式2.5

图2为，刀具绕旋转轴l，旋转角度为θ的示意图，可用四元数表示如公式2.6所示。旋转轴l[l_x l_y l_z]为单位轴，则模长

为1。

q＝[cos(θ/2)，sin(θ/2)l]——式2.6

3、对偶四元数

对偶四元数可以有两种表现形式，如公式2.7所示为元素为四元数的对偶数，也可以如公式2.8所示为元素是对偶数的四元数。

对偶四元数的使用可以同时表示出刀具的平移和旋转，本文采取公式 2.8的表示形式。

发明内容

本发明应用于球面插补场合，能够有效避免欧拉角存在的万向锁问题和旋转矩阵计算量过大的问题，从而提高五轴数控机床的加工效率和加工质量。本发明采用球面螺旋线法生成所有加工球面的密集螺旋线，然后利用四元数插补法进行插补，本技术方案主要解决的问题在于以下几个方面：

1、球面螺旋线生成；

2、采用四元数法进行空间圆弧的插补。

为了达到上述目的，本发明提供了一种基于四元数螺旋线球面插补法的数控机床球面加工方法，包括如下步骤：

S1、数控机床给定参数信息：加工球心坐标M[M_x M_y M_z]、加工球半径 r、取球加工范围t以及螺纹生成圈数n，其中，当t＝1时，加工整球面；

根据公式2.3生成球面螺旋线

S2、螺旋线四元数化

设q为四元数，绕Z轴旋转φ角度，绕Y轴旋转

角度，绕X轴旋转θ角度，

利用公式3.2，将生成的球面螺旋线四元数化

S3、基于四元数法进行空间圆弧插补的原理对螺旋线从开始点每相邻两点间进行插补，直止结束点，完成整球面的螺旋线插补计算，所述四元数法进行空间圆弧插补的原理为：

假设两个单位四元数p1和p2，参数u∈[0，1]，则p1和p2旋转角度为uω，

可以推导出P(u)在p1和p2方向上的分量长度C₁(u)和C₂(u)：

此时插值如下：

S4、数控机床刀具移动到加工起点，基于S3的插值结果数控机床实现球面加工。

对偶数可以表示刀具平移运动，四元数可以表示刀具的旋转运动。对偶四元数代替平移向量和旋转矩阵直观的表示出刀具的空间运动。空间球面的插补可以先利用螺旋线公式生成整球面的坐标值，然后将坐标值转换成四元数形式。本发明应用于球面插补场合，能够有效避免欧拉角存在的万向锁问题和旋转矩阵计算量过大的问题，从而提高五轴数控机床的加工效率和加工质量。

附图说明

图1是球面坐标示意图。

图2是刀具绕单位轴旋转示意图。

图3是球面螺旋线示意图。

图4是插补的相邻两点示意图。

图5是绕轴旋转角度示意图。

图6是两单位四元数插补示意图。

图7是本发明数控系统球面加工中进行球面插补的流程示意图。

具体实施方式

数控系统进行球面加工时，刀具移动到加工起点后，给定加工所需数值，根据公式2.3即可生成球面螺旋线。需要给定的默认值为，加工球心坐标，加工球半径，取球加工范围t(当t＝1时，则加工整球面)，螺纹生成圈数n。生成球面螺旋线示例，如图3。

实际上，图3所示的螺旋线是由间隔距离很短的点所形成的，因而在对螺旋线插补时，实际上是对相邻的两点进行插补。从开始点，每相邻两点间进行插补，一直到结束点为止，完成整球面的螺旋线插补。而插补点数量由t控制，每相邻两点用q(t1)和q(t2)表示，如图4所示。下文中，将用t1和t2做为参数来表示要进行插补的相邻两点。

一、螺旋线四元数化

设q为四元数，设

按照绕Z轴旋转φ角度，绕Y 轴旋转

角度，绕X轴旋转θ角度，如图5所示。

旋转轴均为单位矢量，Z轴为

Y轴为

X轴为

具体转换过程如下所示：

根据公式2.2，可知螺旋线旋转参数方程

θ是绕X轴旋转角度，

是绕Z轴旋转的角度。结合公式2.3和公式3.1，可以得到四元数化的螺旋线公式如下：

本技术中，利用公式3.2，将生成的球面螺旋线四元数化。

二、四元数法进行空间圆弧的插补

给定两个单位四元数p1和p2，参数u∈[0，1]，则p1和p2旋转角度为uω，由图6所示相似三角形可以推导出P(u)在p1和p2方向上的分量长度C₁(u)和 C₂(u)：

此时插值如下：

本技术中，将四元数化的螺旋线利用公式3.3进行插补计算。此处的p1和 p2可以用q(t1)和q(t2)来表示

实施例1：球面螺旋线四元数插补法

利用前述公式，结合实例来进行本文技术说明，具体如图7所示过程。

功能要求：给定一个空间球，球心

球半径r，进行球面插补。

首先，利用公式2.3生成球面螺旋线。

为程序控制变量取值，螺旋线旋转100圈。t＝0时，为螺旋线起点；t＝1时，为螺旋线终点。

然后，利用公式3.2转换成四元数q(t)表示方式。

最后，按照公式3.3进行插补，插补后四元数值用V(u)表示。u∈[0，1]为变量由程序控制。

和

为螺旋线生成的相邻两个点的四元数表示，两点之间角度为α＝cos^-1(q2_λ)-cos^-1(q1_λ)。

则插补值为公式3.5所示。

在GNC1.5数控系统中本技术通过G218来激活功能。启动功能后，先根据 NC程序段输入的球面默认值来生成螺旋线。然后将螺旋线四元数化，再在相邻两个四元数矢量中进行四元数插补。

功能输入：生成球心坐标，球半径。生成螺旋线前后两点q(t1)和q(t2)中的控制变量t1，t2。插补控制变量u。

功能输出：球面插补值Q(u)。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于四元数螺旋线球面插补法的数控机床球面加工方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、数控机床给定参数信息：加工球心坐标M[M_x M_y M_z]、加工球半径r、取球加工范围t以及螺纹生成圈数n，其中，当t＝1时，加工整球面；

根据公式2.3生成球面螺旋线

S2、螺旋线四元数化

设q为四元数，绕Z轴旋转φ角度，绕Y轴旋转

角度，绕X轴旋转θ角度，

利用公式3.2，将生成的球面螺旋线四元数化；

S3、基于四元数法进行空间圆弧插补的原理对螺旋线从开始点每相邻两点间进行插补，直至结束点，完成整球面的螺旋线插补计算，所述四元数法进行空间圆弧插补的原理为：

假设两个单位四元数p1和p2，参数u∈[0，1]，则p1和p2旋转角度为uω；

从而确定在p1和p2方向上的分量长度C₁(u)和C₂(u)：

此时插值如下：

S4、数控机床刀具移动到加工起点，基于S3的插值结果数控机床实现球面加工；

此外，螺旋线的生成包括：

1、球面坐标

在空间中建立直角坐标系(笛卡尔坐标系)后，以M[M_x M_y M_z]点为中心，|MN|＝r为半径的球面上，θ为有向线段MN与z轴正向的夹角，

为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到MN所转过的角；

则在笛卡尔坐标系中球面点的坐标可以表示为：

2、球面螺旋线

螺旋线参数方程如下所示：

其中参数t∈[0，1]，n为螺旋线圈数——式2.2

由公式2.1和2.2整理可以得到整球面螺旋线方程为：

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