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System von Formsteinen für sphärische Gewölbe
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sungen und Formen, welche sich normal bei Verwendung von Keilen ergeben, deren Grundflächen in der Form von annähernden sphärischen Vierecken ausgeführt werden, welche durch Bögen von Meridianen und Parallelen begrenzt sind. b) Diese kleine Anzahl von Varianten in Abmessungen und Formen ermöglicht es, für eine gegebene
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konstruieren,einstimmende Wiederholung in geometrisch richtiger Weise die Möglichkeit gibt, die Kugelfläche im Ausmasse des notwendigen Teiles der Kugelfläche zusammenzusetzen, wie z. B. Kugelquadrant bzw.
- oktant. Halbkugel oder häufig ein Kugelabschnitt. c) Die kleine Anzahl von Varianten der Keilabmessungen und Formen ermöglicht es, diese Gewölbebauweise mit der der Technologie der Ausmauerung entsprechenden Genauigkeit auszuführen, welche gleichzeitig auch den auf die Qualität des Gewölbes gestellten Ansprüchen gewachsen ist.
Der technisch-wirtschaftliche Zweck dieses Formsteinsystems für die sphärischen Gewölbe besteht darin, die grösstmögliche Herabsetzung der Anzahl der zur Herstellung von sphlirischen Gewölben notwendigen Formsteintypen zu erreichen und dadurch die Ausgaben abzubauen, welche mit der hohen Anzahl
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Die angeführten geometrischen Folgerungen im Gewölbebau und dadurch auch der technisch-wirtschaftliche Zweck werden in der weiter beschriebenen Weise erreicht.
Die Formen der inneren und äusseren Grundflächen der Formsteine gemäss der Erfindung werden durch zentrale Projektion der geometrischen Stellen der Punkte hochgradiger Symmetrie auf die Kugelfläche abgeleitet. Solche geometrische Stellen von Punkten sind z. B. Ecken, Kanten und Mitten der Wände eines regelmässigen Fünfeck-Zwölfflächners und eines regelmässigen Zwanzigflächners, Ecken, Kanten und Mitten der Flächen der kristallographischen Gebilde, z. B. des Achtundvierzigflächners (Hexakisok- taeder), Fünfeckzwölfflächners (Pentagondodekaeder), Pentagontriolttaeder usw., sowie alle übrigen geometrischen Stellen der Punkte hochgradiger Symmetrie.
Die so gebildeten sphärischen Gebilde sind in weiterer Folge der Beschreibung Grundgebilde ge- nannt. Durch weitere Wahl von Teilungspunkten und Teilungslinien. estweder an diesen sphärischen Grundge- bilden oder in Plangebilden unter den Punkten der ursprünglichen geometrischen Stellen der Punkte, welche projiziert wurden und durch ihre wiederholte Zentralprojektion auf die Kugelfläche, kommt es zur Aufteilung der sphärischen Grundgebilde, auf eine bestimmte Anzahl von sphärischen Hauptgebilden.
Nach Erreichung dieser Bedingungen kann man ein jedes Hauptgebilde in eine Meine oder grössere Anzahl von Teilgebilden aufteilen, welche die Abmessungen der Grundfläche von sphärischen Radialsteinen darstellen. Die Anzahl sphärischer Radialsteine für sphärische Gewölbe eines gegebenen Krilmmungshalb- messers ist gegeben durch die Anzahl und Grösse der Hauptgebilde, In welche die sphärischen Grundgebilde aufgeteilt sind.
Nachdem das Kugelgewölbe durch zwei konzentrische Kugelflächen gegeben ist, deren gegenseitige Entfernung die Gewölbestärke bestimmt, wird die geometrische Konstruktion auf einer von diesen Kugelflächen durchgeführt und dadurch erfolgt die Bestimmung der Form und Grösse einer der Grundfläche des Formsteines für das sphärische Gewölbe, d. h. entweder innere oder äussere Grundfläche. Die zweite Grundfläche des benötigten Formsteins wird durch Zentralprojektion einer Grundfläche auf die zweite Kugelfläche abgeleitet.
Die so abgeleiteten geometrischen Abmessungen der für sphärisches Gewölbe bestimmten Formsteine werden auf passende physikalische Abmessungen zugerichtet unter Berücksichti- gung der Grösse der technisch notwendigen Mörteldehnungsfugen, u. zw. in der Weise, wie es bei Einmauerungen üblich ist.
Die Formsteine für sphärisches Gewölbe weisen daher die Form einer abgestumpften Pyramide auf, deren Grundflächen auf die oben beschriebene Weise konstruiert sind und deren Schwerpunktverbindungslinie zu beiden Grundflächen senkrecht steht. Von der Durchführung der Kugelflächenkrümmung der beiden Grundflächen wird in der Regel Abstand genommen.
Zur Erklärung des Wesens des Formsteinsystems für sphärische Gewölbe gemäss der Erfindung und zur Erklärung der Konstruktion der Formsteine dienen die beigeschlossenen Zeichnungen. In Fig. 1 zeigt das Beispiel ein gleichseitiges sphärisches Dreieck als ein Grundgebilde, dessen Teilung auf Hauptgebilde und weitere Teilung der Hauptgebilde auf Teilgebilde. Fig. 2 und 3 zeigen Beispiele aus kristallographischenFormen deren Zentralprojektion zur Konstruktion von Formsteinen verwendet werden kann ; Fig. 2 ist eine axonometrische Ansicht eines Achtundvierzigflächners (Hexakisoktaeder) und Fig. 3 eines Pentagontrioktaeders.
Fig. 4 ist eine Ansicht und Fig. 5 ein Grundriss der Hälfte eines für ein Halbkugelge-
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wölbe verwendbaren Körpers, welches ein Analogon des kristallographischen Hexakisoktaeders mit dem Unterschied darstellt, dass ihm eine Kugelfläche umgeschrieben ist und derselbe demzufolge durch kristallographische Gesetze betreffend die Rationalität der Parameter nicht eingeschränkt ist. Fig. 6, 7, 8 und 9 zeigen Beispiele regelmässiger Mehrflächner, deren Zentralprojektion in der Methode verwendet werden kann. Es handelt sich um höchst symmetrische aus den regelmässigen Mehrflächnern, u. zw. Fig. 6 und 7 ein regelmässiger Zwölfflächner und Fig. 8 und 9 ein regelmässiger Zwanzigflächner.
Fig. 10 zeigt ein Planschema der Konstruktion einer aus der möglichen Typen der Formsteinsysteme für sphärische Gewölbe entwickelt auf Grund eines sphärischen Rhombus, welcher aus einem gleichkantigec sphärischen Dreieck abgeleitet wurde, das durch Projektion einer Wand eines regelmässigen Zwanzigflächners entstanden ist (Fig. 8,9). Die Fig. 11 - 19 zeigen schematisch die Konstruktion dreikantiger Formsteine auf Grund einer andern Verwendung der Fläche eines Zwanzigflächners.
Fig. 1 bringt das Wesen der Erfindung auf einem konkreten Beispiel der Teilung eines sphärischen gleichseitigen Dreieckes, welches in axonometrischer Projektion dargestellt ist. Sphärisches gleichseiti- ges Dreieck ist z. B. durch Zentralprojektion einer Fläche eines regelmässigen Zwanzigflächners (Fig. 8, 9) auf eine Kugelfläche abgeleitet, so dass sein übereinstimmendes Wiederholen auf der Kugelfläche die Möglichkeit gibt, ein Kugelgewölbe im Ausmasse der benötigten Kugelfläche zusammenzustellen und zwanzigfache Wiederholung dieses sphärischen gleichseitigen Dreieckes als Grundgebilde 1 bedeckt restlos eine ganze Kugelfläche.
Die Seitenmitte des sphärischen Dreieckes als Grundgebilde 1 sind untereinander durch sphärische Verbindungslinien 6 verbunden, bilden somit Bogenabschnitt von Hauptkreisen und verteilen das spnärische Grundgebilde 1, gleichseitiges sphärisches Dreieck, in drei sphärische Dreiecke in den Ecken und ein sphärisches Dreieck inmitten des zergliederten sphärischen Hauptgebildes 1.
Diese vier sphärischen Dreiecke sind sphärische Hauptgebilde 2 und 3. Im erwähnten Beispiel ist nur das mittlere Dreieck als Hauptgebilde 2 gleichzeitig auch ein gleichseitiges sphärisches Dreieck, wogegen die drei übrigen in den Ecken befindlichen im erwähnten Beispiel nur gleichschenkelige sphärische Dreiecke sind. Jedes aus diesen sphärischen Hauptgebilden 2 und 3 bildet schon praktisch einen unbedeutenden Teil der Kugelfläche, so dass in diesem Ausmass die Eigenschaften der sphärischen Gebilde von entspre - chenden planimetrischen Gebilden nur unwesentlich unterschiedlich sind. Deshalb ist es möglich, durch Wahl einer weiteren Teilung der Bogengangen der Seiten der sphärischen Hauptgebilde 2,3, z.
B. mit Sechstel, die sphärischen Teilgebilde 4,5 zu bestimmen und diese sind im erwähnten Beispiel einerseits gleichseitige sphärischeDreiecke, welche in der Anzahl von sechsunddreissig das eine (mittlere) sphärische Hauptgebilde 2 bedecken und sind anderseits gleichschenkelige sphärische Dreiecke, welche in der Anzahl dreimal sechsunddreissig die drei in den Ecken befindlichen sphärischen Hauptgebilde bedecken. Die Notwendigkeit der richtigen Orientierung der zu bedeckenden Gebilde geht aus der Zeichnung klar hervor.
Die genau restlos das sphärische Hauptgebilde bedeckenden Teilgebilde existieren in einer Formen- zahl, welche mit der Anzahl der Teilgebilde wächst, auf welche das Hauptgebilde zerteilt ist. Die Abweichung der Formen von Teilgebilden ist aber derart unbedeutend, dass man für das gegebene Hauptgebilde einen einzigen Formstein konstruieren kann, dessen Grundfläche einem einzigen Ersatzteilgebilde entspricht. Dieses Ersatzteilgebilde wird durch entsprechende Teilung des Hauptgebildes nach seiner Rektifikation im üblichen geometrischen Sinn konstruiert. Diese Rektifikation des sphärischen Gebildes wird so ausgeführt, dass die Bögen der entsprechenden sphärischen Linien des Gebildes auf Geradenabschnitten abgebildet werden, welche mit dem zugehörigen sphärischen Linien gleich lang sind.
Wenn die Teilgebilde 4, 5 so konstruiert werden, können sie natürlich die zugehörigen Hauptgebilde 2, 3 geometrisch nicht ganz restlos bedecken, aber die relative Grösse dieses Restes ist im Einklang mit der technologisch notwendigen Fugengrösse des Gewölbes. Die Art der Berechnungskontrolle der Erfüllung dieser Bedingung ist im weiteren angeführt.
Eine Gruppe der möglichen Ausführungen des Formsteinsystems, gemäss der Erfindung konstruiert, schliesst an die Zentralprojektion der Ecken und Kanten eines regelmässigen Zwanzigflächners auf die Kugelfläche (Fig. 8 und 9) an. Diese Lösungen stützen sich immer auf die Beziehung zwischen der Kante a des Zwanzigflächners und dem Halbmesser R der dem Zwanzigflächner umschriebenen Kugel, deren Fläche die Projektionsfläche darstellt, wobei die Länge der Kante a = 1, 051446 R.
Ein weiteres konkretes Beispiel der Konstruktion der Formsteine gemäss der Erfindung ist aus dem sphärischen Rhombus abgeleitet, welcher wie folgt entstand :
Auf die Kugelfläche wurden zentral alle Ecken und alle Schwerpunkte der Flächen eines regelmässigen Zwanzigflächners projiziert, sowie die Verbindungslinien der Ecken und Schwerpunkte. Dadurch entstanden längs der Projektion jeder Kante des Zwanzigflächners an beiden Seiten gleiche Teile eines
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sphärischen Rhombus (Fig. 10). Durch Teilung der Seiten des sphärischen Rhombus als Hauptgebilde 2, z.
B. auf Viertel, entstehen am Umfang des Rhombus 16 sphärische, annähernd rechtwinkelige Dreiecke und durch Teilung ihrer längeren Kathete auf Drittel und Führung entsprechender Verbindungsbögen der sphärischen Linien (Hauptkreise) entstehen insgesamt 72 annähernd sphärische Rechtecke. Sphärische annähernd rechtwinkelige Dreiecke und annähernd sphärische Rechtecke sind dann Teilgebilde, deren Abmessungen zur direkten Konstruktion der Formsteine führen, die in diesem Falle drei-und vierkantig sind. Annähernd sphärische Rechtecke und annähernd sphärische rechtwinkelige Dreiecke sind Spezialfälle annähernd sphärischer Polygone. Annähernd sphärische Polygone unterscheiden sich von genauen sphärischen Polygonen in gewöhnlichem Sinne der sphärischen Geometrie.
Die Abmessungen des erwähnten in vier gleiche rechtwinkelige sphärische Dreiecke geteilten Rhombus ergeben sich zwangsläufig aus der Beziehung zwischen dem Halbmesser R und der Kante a eines regelmässigen Zwanzigflächners (Fig. 8, 9) und können am übersichtlichsten mit folgenden drei Angaben beschrieben werden :
Die Bogenlänge der Hälfte der langen Diagonale des Rhombus bzw. der langen Kathete des rechtwinkeligen Dreieckes beträgt 0,55358 R, die Bogenlänge der halben kurzen Diagonale des Rhombus bzw. der kurzen Kathete des rechtwinkeligen Dreieckes beträgt 0, 36811 R und die Bogenlänge der Rhombusseite bzw. der Hypothenuse des rechtwinkeligen Dreieckes beträgt 0, 65233 R.
Aus diesen Daten leiten sich durch Auswertung des Halbmessers R und durch zweckmässige Teilung
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che den grösseren Teil des entsprechenden Gewölbefeldes ausfüllen.
In Fig. 11 - 19 ist ein weiteres Beispiel eines Satzes von 8 dreikantigen Formsteinen gezeichnet, welche ein Kugelgewölbe entsprechenden Halbmessers auf Grund einer andern Wahl der teilenden Punkte und Linien auf der Oberfläche des regelmässigen Ausgangszwanzigflächners zusammenstellen (Fig. 8, 9). Die Wand eines Zwanzigflächners (Fig. 11) ist ein gleichzeitiges Dreieck, welches das Grundgebilde 1 bildet. Die Mitten, dessen Seiten und deren Verbindungslinien teilen das Plandreieck als Grundgebilde 1 auf vier gleichseitige Dreiecke auf. Die Projizierung dieser vier Dreiecke auf die dem Zwanzigflächner umgeschriebene Kugelfläche bestimmt aber Ecken eines Achtzigflächners, welcher durch 20 gleichseitige Dreiecke begrenzt wird, die abwechselnd durch dreifache Anzahl von gleichschenkeligen Dreiecken durchsetzt sind.
In allen diesen Dreiecken werden Schwerpunkte und Schwerpunktachsen festgestellt, wodurch ein jedes von denselben nach zentraler Projizierung der Teilpunkte auf die Kugelfläche in weitere 6 Dreiecke zerfällt. Die gesetzmässigen Symmetriebeziehungen führen dazu, dass der ursprünglich regelmässige Zwanzigflächner in einen Vierhundertachtzigflächner umgestaltet wird, dessen Wände durch Abwechslung von vier Dreieck-Formen und -Grössen nach Seitenlänge und insgesamt durch 8 Formen einschliesslich Differenzierung des Reihenfolgesinnes der Seiten der spiegelbildlich symmetrischen Zwillingsdreiecke gebildet sind. Entsprechende sphärische Dreiecke in 8 Varianten sind demnach Hauptgebilde 2.
Zweckmässige Aufteilung der Bogenlängen der Seiten ergibt die Ausmasse der Formsteingrundflächen, die auf Fig. 11 - 19 schematisch dargestellt sind.
Die auf Fig. 11 dargestellten Hauptgebilde 2 sind praktisch sehr kleine Teile der Kugelfläche, so dass die Aufteilung des sphärischen gleichseitigen Dreieckes als Gruildgebi1de 1 im Ausmass von einem Zwanzigstel der ganzen Kugelfläche auf Hauptgebilden 2 in 8 Varianten von Ausmassen und Formen wenn es auch eine bedeutende Verminderung der Anzahl von Formsteinen des sphärischen Gewölbes im Vergleich mit bisher üblicher Bauweise bringt-zu einer praktisch übertriebene Genauigkeit führt, weil der Unterschied zwischen den sphärischen und planimetrischen Grössen in diesen Teilen der Kugelfläche ein unbedeutender ist.
Wenn im bestimmten Falle die Abmessungen der Hauptgebilde 2 (Fig. ll) für die Formsteinerzeugung und Ausführung des Gewölbes technologisch geeignet sind, können schon diese Hauptgebilde 2 die Aus-
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Beispiel stellt daher eine Lösung dar, in welcher die Reserve der zulässigen Abweichung zwischen den sphärischen und planimetrischen Grössen, welche die Breite, der technisch notwendigen Fugen zwischen den Formsteinen ermöglicht, bei weitem nicht erschöpft.
Zur Beurteilung dessen, wie bei bestimmter Lösung gemäss der Erfindung die entsprechende Genauigkeit bei kleinster Anzahl von Formsteintypen erfüllt ist, aus welchen ein Gewölbe einer beliebigen Kugelteilfläche gemauert werden kann, können verschiedene mathematische Kriterien festgestellt werden.
Alle aber sind durch die bekannten Beziehungen zwischen der sphärischen und planimetrischen Geometrie begründet, namentlich durch die Regel der Winkel und der Flächen.
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So kann man bei Berechnung der Abmessungen von Grundflächen der Formsteine für sphärische Gewölbe folgende Kontrollgrössen ermitteln: a) Längenunterschied zwischen Sehne und Bogen auf der Kugelfläche für eine bestimmte Abmessung der sphärischen Gebilde in Prozenten ; b) Unterschied in Summe der Teilflächen der rechtwinkeligen Dreiecke, ermittelt durch halbes Produkt der beiden Kathetenlängen und der entsprechenden durch diese gedeckten sphärischen Gebilde in Prozenten ; c) Unterschied in Summe der Flächen von Teildreiecken, ermittelt aus den Seitenlängen durch Heron-Formel und der entsprechenden durch dieselben gedeckten sphärischen Gebilde in Prozenten ;
d) Abweichung der Hypothenuse des rechtwinkeligen sphärischen Dreieckes von der Hypothenusen- länge. ermittelt durch Pythagoräischen Lehrsatz aus den Kathetenlängen in Prozenten ; e) Abweichung des rechten Winkels des rechtwinkeligen sphärischen Dreieckes vom durch CosinusSatz ermittelten Winkel aus den Seitenlängen usw.
Das wichtigste Kriterium für die Beurteilung der Richtigkeit der Ausmauerung eines Kugelgewölbes mit dem Formsteinsystem gemäss der Erfindung ist die Beziehung zwischen dem Unterschied der durch geometrische Abmessungen gegebenen Fläche der Formsteingrundfläche und der zuständigen sphärischen Fläche zur Länge der auf diese Flächen entfallenden Fugen. Diese Beziehung hat eine Längenabmessung, wird in Millimeter ausgedrückt und bestimmt die durchschnittliche sphärischeFuge des gegebenensphärischen Gewölbes, welches gemäss der Erfindung gebaut wird.
Eine entsprechende Lösung bei Verwendung von Formsteinen gemäss der Erfindung wird dadurch gekennzeichnet, dass die festgestellte sphärische Durchschnittsfuge kleiner als die technisch notwendige ist.
Die Qualität des sphärischen Gewölbes in Abhängigkeit von Fugen ist im entsprechenden Masse unter der Bedingung gewährleistet, dass die sphärische Durchschnittsfuge im Vergleich mit der technisch notwendigen Fuge genügend kleiner ist.
So kann z. B. im Falle einer Winderhitzerkuppel, deren Krümmungshalbmesser 3000 mm beträgt. ausgemauert mit 6000 Stück Formsteinen in 8 Varianten gemäss Fig. 11 - 19 die sphärische Durchschnittsfuge mit 0,242 mm ermittelt werden ; dies ist ein Beweis einer übermässigen Präzision und ein Hinweis auf die Möglichkeit, die Anzahl der Formsteine auf weniger als 8 herabzumindern. Weiter führt z.
B. eine bestimmte Lösung nach Fig. 10 zur Folgerung. dass die sphärischen Durchschnittsfugen 2,9 Ufo der Sphärenfläche bedecken, was jedenfalls annehmbar ist, weil die Schamottenormalziegel des Profils von 65 x 123 mm oder denselben entsprechende Langkeile bei 2 mm breiten Qualitätsfugen einen Koeffizienten von 4, 7 % der Ausmauerungsfläche aufweisen.
Die Wahl von verschiedenen Lösungen richtet sich wohl auch nach Spezialanforderungen. wie z. B. die Unterbrechung der Kugelfläche durch verschiedene Öffnungen, deren Ummauerungsformsteine eine z. B. sechskantige Form zusammenstellen können, welche man bei der Lösung nach Fig. 11 durch Auflassung von entsprechenden dreikantigen Formsteinen in geeigneter Gruppierung ausführen kann.
Die Vorteile des Formsteinsystems für sphärische Gewölbe gemäss der Erfindung bestehen einerseits in der Herabsetzung der Kosten, die in Verbindung mit der Verminderung der Formsteintypen stehen, welche für die Konstruktion von sphärischen Gewölben notwendig sind, namentlich die Formenkosten, Manipulations- und Lagerkosten, anderseits in der Möglichkeit des Maschinenpressens und in der Verwendung von solchen feuerfesten Rohstoffen, welche nur maschinell gepresst werden können.
PATENTANSPRÜCHE :
1. System von Formsteinen für sphärische Gewölbe, namentlich für Gewölbe feuerfester Mauerngen, deren Formsteine die Form von geraden abgestumpften Pyramiden mit parallelen Grundflächen aufweisen, dadurch gekennzeichnet, dass die Grundflächen die Form und Grösse rektifizierter sphärischer Gebilde haben, deren geometrische Form durch Teilung des sphärischen Grundgebildes (1) entstand, abgeleitet durch zentrale Projektion auf Kugelflächen von Punktstellen hochgradiger Symmetrie, auf sphärische Hauptgebilde (2. 3) und durch weitere Teilung dieser sphärischen Hauptgebilde (2, 3) auf sphärische Teilgebilde (4. 5), wobei der Unterschied zwischen der Fläche des sphärischen Grundgebildes (1) bzw.
der Fläche des sphärischen Hauptgebildes (2, 3) und der Summe der Flächen rektifizierter sphärischer Teil- gebilde (4, 5) das sphärische Grundgebilde (1) bzw. sphärische Hauptgebilde (2, 3) bedecken, dividiert durch die Gesamtlänge der Fugen auf dem bedeckten sphärischen Grundgebilde (1) bzw. Hauptgebilde (2,3) kleiner ist als die Breite der technisch notwendigen Gewölbefuge.