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Rechenvorrichtung zur gleichzeitigen Einstellung bzw. Ablesung von vier Unbekannten.
Nomogramme, bei denen durch Anlegen eines geeigneten Massstabes an ein Kurvenschaubild Werte einer Gleichung graphisch bestimmt werden, sind vielfach bekannt. Auch die zwangläufige Führung solcher Massstäbe ist an sich nicht neu.
Bei der vorliegenden Erfindung ist der zwangläufig geführte Massstab wie ein Rechenschieber ausgebildet, der beispielsweise über einer Kurvenplatte uhrzeigerartig drehbar angeordnet ist. Die jeweilige Stellung zur Kurvenplatte ist von der ersten Unbekannten abhängig und durch eine Skala auf der Kurvenplatte gegeben.
In jeder Stellung des Rechenschiebers liefert seine Kante einen Schnitt durch die Kurvenschar der Kurvenplatte. Dieser Schnitt wird als Skala für die zweite Unbekannte aufgefasst und benutzt, so wie das bei Nomogrammen üblich ist. Die Berechtigung dieser Auffassung wird sich aus den späteren Darlegungen über die Entstehung der Kurvenschar ergeben. Die Bewertung eines beliebigen Punktes der Schnittlinie hängt ab von seinem Abstand zu den beiden nächstliegenden Kurven, gemessen in der Richtung des Schnittes.
Auf der verschiebbaren Zunge des Rechenschiebers ist die Skala für die dritte Unbekannte angebracht. Der geschilderten Anordnung zufolge liegt die Skala immer dem Schnitt der Kante durch die Kurvenschar, also der vorerwähnten Skala, parallel gegenüber, so dass jedem Punkt der einen Skala eine Ablesung auf der andern entspricht und umgekehrt.
Die Verschiebung der Zunge ist von der vierten Unbekannten abhängig. Das Ausmass der Verschiebung wird durch eine Skala bestimmt, die entweder an der Zunge oder am nichtverschieblichen Teil des Rechenschiebers angebracht sein kann.
Die geschilderte Anordnung erlaubt nach Einstellung von drei unabhängig Veränderlichen an den im Einzelfall dafür vorgesehenen Skalen die Bestimmung einer vierten abhängig Veränderlichen durch Ablesung. Dabei ist die Einstellung immer möglich, gleichgültig, welcher der vier Kategorien die abhängig Veränderliche angehört oder, anders ausgedrückt, an welchen Skalen die Einstellung erfolgt und an welcher die schliessliche Ablesung des Ergebnisses. Die Vorrichtung erweist ihre Nützlichkeit besonders dann, wenn eine Unbekannte der Gleichung im Exponenten oder in sonst schwierig zu behandelnder Form auftritt.
Bereits bekanntgewordene Vorrichtungen, bei denen ein Rechenschieber etwa über ein Kurvenblatt geführt wird, fussen nicht auf der Theorie der Nomogramme (Maurice d'Oeagne) ; der Entwurf geht von Einzelkurven aus, denen der Rechenstab irgendwie folgen muss, statt von Kurvenscharen ; daher sind solche Vorrichtungen u. a. daran kenntlich, dass zwischen der Stellung des Rechenschiebers zum Kurvenblatt einerseits und der Stellung der Zunge innerhalb des Rechenschiebers anderseits neben eventuellen sekundären Verschiebungsmöglichkeiten eine primäre, konstruktiv mehr oder weniger komplizierte Abhängigkeit (Schnurzüge, Verzahnungen od. dgl. ) besteht, die bei der vorliegenden Erfindung vollständig entfällt.
Ein praktisches Anwendungsgebiet ist beispielsweise die Zinseszinsrechnung. Es sei k der Kurs einer Anleihe, die in n gleichen und regelmässigen Annuitäten a getilgt wird. Der Nominalzins sei j%,
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Diskontiert man B auf den Beginn der Laufzeit zurück, dann erhält man den Betrag der Anleihe, also die Leistung des Gläubigers, d. i. der Barwert B.
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Für einen Schilling der Anleihe gilt B = 1. Daher ist bei gegebenen n und i die Annuität a-in Bruchteilen der Einheit-
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Ist nunmehr a bekannt, dann liefert Gleichung (1) die Beziehung zwischen Zinsfuss und Kurs : Für k = B = 1 ist der Nominalzins gleich der Rendite, i = p, i = r.
Andernfalls wird
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oder mit B = 1 aus der Division der beiden Gleichungen (3) : (1)
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Der erste Ausdruck auf der rechten Seite von (4) ist gleich log a, wie aus Gleichung (3) ersichtlich ist. Der zweite Ausdruck ist genau gleich gebaut, kann also aufgefasst werden als diejenige Annuität, mit der der Barwert k bei p (statt 1) % Verzinsung getilgt wird. An einer Skala für log a, deren Teil- striche nach dem jeweiligen Zinsfuss benannt sind, bietet demnach die Differenz zwischen den Teil- strichen r und i bzw. i und p ein Mass für log k. Legt man an die Skala für log a eine logarithmische Skala gleicher Einheitslänge so an, dass der Wert i dem Wert 1 gegenübersteht, dann kann man k aus r oder r aus k durch Ablesung bestimmen.
Bildet man mehrere Skalen log k für aufeinanderfolgende
Werte von n, ordnet man diese Skalen in einer geeigneten Gesetzmässigkeit einander zu und verbindet man die Teilstriche gleichen Zinses durch passende Kurven, dann erhält man das Schaubild einer
Kurvenschar, die von einer einzigen Kursskala bedient wird. Die hier gezeigte Entstehung der Kurven- schar aus überlagerten Skalen rechtfertigt die im dritten Abschnitt dargelegte Auffassung, nach der man den Schnitt durch die Kurvenschar in Richtung der Überlagerung wiederum als Skala benutzen kann. Die Vorrichtung genügt nunmehr zur Kurs-und Rentabilitätsbestimmung bei Annuitäts- anleihen, wenn Laufzeit und Nominalzins gegeben sind.
Benutzt man jetzt an Stelle der freihändig anzulegenden Kursskala den eingangs beschriebenen, zwangläufig geführten, rechenschieberartigen Zeiger mit verschiebbarer Zunge, dann gewinnt man neben der daraus selbstverständlich folgenden Verringerung des Anlegefehlers ein Mass für die Annuität.
Der Zeiger erhält eine Annuitätenskala (log a) ; der Kurs (log k) an der Kursskala der Zunge, nach
Rechensehieberart abgezogen von der Annuität, am Zeiger ergibt einen Punkt, der der Rendite r im
Schaubild gegenübersteht.
Hier liegt der Grundgedanke der Vorrichtung, der in allgemeiner Form gefasst so lautet : Die
Verbindung des Nomogramms mit einem Rechenschieber gestattet die gleichzeitige und gleichzeitig übersehbare Einstellung von drei unabhängig Veränderlichen (z. B. n, a, k) und die Ablesung einer vierten abhängigen (z. B. p).
Die Zeichnung zeigt schematisch eine Ausführung des bisher behandelten Anwendungsbeispiels.
Es bedeuten darin P eine Platte, genannt"Kurvenplatte", darauf die Kurvenschar X und die Terminskala N. Um M als Drehpunkt ist der Zeiger Z schwenkbar, der die Kursskala K trägt. In Nuten von Z verschiebbar liegt die Zunge S ; auf dieser befinden sich die Annuitätenskala. A und eine Einstell-
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ein Läufer, der auf S verschiebbar ist und beim Verschieben von S mitwandert. Der Kennstrich von L zeigt gleichzeitig auf A und X. G ist gleichfalls ein Läufer, der auf S verschiebbar ist und beim Verschieben von S mitwandert. Sein Kennstrich zeigt auf K, ausserdem ist er auf F einstellbar
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n = 20 Jahre (Einstellung von Z an N). Gesucht : r = 0'0575 (p = 5-75%, Ablesung bei L an X).
Schiebt man S zurück, bis F an K auf k = 1 (100%) zeigt, dann weist der Kennstrich von L an X auf den Nominalzins j = 44%. Dieser Stellung sind die gegenseitigen Beziehungen zwischen j, n, a zu entnehmen. War statt p oder i eine der Grössen n, a oder k gesucht, dann ergeben sich wiederum aus der Einstellung der gegebenen Grössen an den entsprechenden Skalen entweder die letztbeschriebene Stellung (mit i auf 4'50%) oder die gezeichnete Stellung (mit p auf 5-75%). Damit sind alle Möglich- keiten, die Grössen j,-n, a, k und p als gesucht oder gegeben miteinander zu kombinieren, erschöpft, d. h.
es kann bei gewöhnlichen Tilgungsanleihen jede Aufgabe, deren Voraussetzungen zur Lösung ausreichen, eingestellt und jedes Resultat durch Ablesung gefunden werden.
Für endrückzahlbare Anleihen gilt
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Ist die Rendite gesucht, dann stellt man Z auf n (an N), F auf die Kursdifferenz d = 100 - k (an K) und verschiebt L so weit, bis i zuzüglich der Anzeige von L auf N (= p-y) ebenso gross ist wie die Anzeige von L auf X. Die in der Abbildung gezeichnete Stellung ergibt sich, wenn folgendes
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- 91 = 9% wird wegen mangelnder Reichweite bei 90% eingestellt. Demzufolge bleibt zu beachten, dass die Ablesung L an S ebenfalls um eine Dezimalstelle verschoben sein muss. Also p - i = 0'77% (statt 7-7%) und p = i + (p-i) = 5 + 0-77 = 5-77%.
Die Differenzbildung p - i wirkt wie eine Vergrösserung der Skalen, u. zw. um so stärker, je näher p an i liegt. Die Bestimmung der Rendite kann daher auch bei kleiner Ausführung genau erfolgen.
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(bzw. 7-7) gestellt und S verschoben, bis L auf p (5-77) zeigt. Aus der Ablesung F an K von 90% bzw. wegen Dezimalenverschiebung d = 9% ergibt sich k = 100-d = 91%.
Für Tilgungsanleihen, die mit Aufgeld h zurückgezahlt werden, braucht man einen weiteren Läufer G über F und Z. Zur Durchführung ersetzt man den Nominalzins i durch den leicht bestimm-
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strich wieder auf k = 100% steht. Bewegt man nun S, dann entspricht in jeder Stellung der von G angezeigte Kurs der von L an X angezeigten Rendite. Genau entsprechend verfährt man bei endrück- zahlbaren Anleihen mit Aufgeld.
Der Arbeitsbereich der Vorrichtung umgreift in dem gewählten Beispiel der Zinseszinsrechnung noch so vielerlei Aufgaben-Anleihen mit aufgeschobener Tilgung, Restkapitalbestimmung, Barwertermittlung von Kapital und Renten, antizipativen Zinsendienst, abweichende Zins-und Tilgungsperioden usw.-, dass es zwecklos wäre, alle denkbaren Kombinationen hier zu erörtern. Es mag
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unmittelbar auf die Kapitalbeträge selbst eingestellt werden kann.
Oft ergibt sieh beim Entwurf eine ungünstige Raumverteilung, wenn verhältnismässig grosse Teile der Platte nahe dem Drehpunkt unausgenutzt bleiben, während einzelne Teile der Kurvenschar weit vom Drehpunkt entfernt liegen, so dass grosse Platten nötig werden. Eine Aufteilung der Kurvenschar auf zwei (oder mehr) Platten bei gleichzeitiger Anbringung einer radial verschobenen zweiten
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Die Instrumentkonstante 0, die in dem Ausdruck für log k herausfällt, ist ein Mass für die Verschiebung der Annuitätenskala. In der Abbildung wurde C = 3 gewählt, so dass in der Ausgangsstellung der Wert 3 dem Drehpunkt M gegenüberliegt. Wie die Abbildung zeigt, erfasst man so auf P bequem die
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nutzen.
Für noch grössere Terminzahlen, etwa bis n = 300, könnte man wieder die Vorderseite verwenden, wobei C"== O'l C* = 0'3 unmittelbare Wiederbenutzung von A ergibt.
Statt das Schaubild aus Skalen gleicher Periode und wechselnden Zinses zusammenzusetzen, kann man eine Zeigerstellung einem bestimmten Zins entsprechen lassen und die Kurvenschar durch
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Verbinden aller Punkte gleicher Periode herstellen. Bei niedrigen Terminzahlen würde diese Anordnung genaueres Arbeiten gestatten. Gleichzeitige Verwendung beider Anordnungen auf dem gleichen Instrument ist möglich. Die Anbringung weiterer Skalen an Z oder S, z. B. Skalen reziproker Werte zur unmittelbaren Ablesung von Rentenbarwerten, ist vielfach nützlich.
Ein anderes Anwendungsbeispiel für die Vorrichtung bietet die bekannte Formel für die Leistung bei polytropischer Verdichtung echter Gase :
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aus der bei M = 1 die Leistung bei isothermischer Verdichtung, bei n = k = 1'41 die Leistung bei adiabatische Verdichtung entsteht. Auch eine Anordnung für die allgemeine Formel F (s bringt offenbar eine nützliche Vorrichtung, die dem Rechenschieber überlegen ist.
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gebrauchsfähigen Vorrichtungen auch halbfertige im voraus vorzubereiten, bei denen die Kurvenplatte für künftigen Bedarf blanko bereitgestellt wird, um durch Bekleben mit Zeichnungen, durch unmittelbares Daraufzeichnen, durch Auswechseln oder ähnliche Mittel erst gebrauchsfähig gemacht zu werden.
Eine entsprechende Blankovorbereitung der Skalenräume auf 8 und Z ist möglich, aber von geringerer Wichtigkeit, da die dort vorgesehenen logarithmischen Teilungen insbesondere bei gleichzeitigem Vorhandensein reziproker Skalen meist Verwendung finden können. Konstruktiv wirkt sich dieser Gedanke
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Rechenschieber als solchen für sich benutzen und im Bedarfsfall durch Herstellung der Verbindung mit einer vorbereiteten Kurvenplatte oder mit einer anzufertigenden Zeichnung dem vorliegenden
Bedürfnis gerecht werden. Die Lösbarkeit kann erreicht werden beispielsweise durch eine Sehraub- verbindung mit Distanzröhrehen oder durch einfaches Aufsetzen einer Bohrung im Rechenschieber auf einen entsprechenden Stift der Kurvenplatte ohne weitergehende Befestigung.
Für den Erfindungsgedanken ist es wesentlich, dass der Zeiger mit der Zunge zwangläufig über die Kurvenschar geführt wird. Dagegen ist es gleichgültig, ob es sich dabei um die geschilderte Verschwenkung um einen Drehpunkt handelt oder um eine andere Führung, mag sie geradlinig oder zusammengesetzt sein. Ebenso ist es für den Erfindungsgedanken belanglos, ob der Kurvenscharträger, wie bisher angenommen, als Platte ausgebildet ist, oder irgendwie räumlich gekrümmt, etwa als Zylinder, ob der Zeiger geradlinig ist oder in der Ebene oder räumlich gekrümmt.
Die Genauigkeit von Ablesung und Einstellung kann durch Lupen, Mikrometerschrauben,
Nonius od. dgl. erhöht werden.
PATENT-ANSPRÜCHE :
1. Rechenvorrichtung zur Bestimmung der gegenseitigen Abhängigkeit von vier Veränderlichen einer Gleichung, dadurch gekennzeichnet, dass in einem über einem Kurvenscharträger einstellbaren
Zeiger eine von der Einstellung des Zeigers unabhängige Zunge nach Art eines Rechenschiebers ver- schiebbar angeordnet ist, wobei die Einstellung bzw. Ablesung der Veränderlichen mit Hilfe entsprechen- der Skalen erstens durch die Einstellung des Zeigers zum Kurvenseharträger, zweitens durch die Stellung der Zunge zum Zeiger, drittens durch die Gegenüberstellung einer Skala der Zunge mit derjenigen Skala erreicht wird, die sich als Schnitt des Zeigers durch die Kurvenschar ergibt.