WO2004106594A1

WO2004106594A1 - 単結晶内ボイド欠陥と単結晶内酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法

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Publication number: WO2004106594A1
Application number: PCT/JP2004/006822
Authority: WO
Inventors: Kounosuke Kitamura; Jun Furukawa; Naoki Ono
Original assignee: Sumitomo Mitsubishi Silicon Corporation
Priority date: 2003-05-28
Filing date: 2004-05-20
Publication date: 2004-12-09
Also published as: DE04734077T1; US20060243192A1; KR20060015319A; US7282094B2; KR100719207B1; EP1650331A1; EP1650331A4

Abstract

　単結晶内のボイド及び内壁酸化膜からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を正確に予測する。　第１～第７ステップで、融液１２の対流を考慮して融液から成長する単結晶１４内の温度分布を、単結晶の引上げ時から冷却完了時までのコンピュータを用いて求める。第８～第１５ステップで、融液から切離された単結晶の冷却過程、即ち単結晶が融液から切離された後の単結晶の引上げ速度を考慮し、単結晶の徐冷及び急冷の効果を結果に反映して、ボイドの密度をコンピュータを用いて求めた後に、ボイドの半径と、これらのボイドの周囲に成長する内壁酸化膜の厚さとを互いに関連させてコンピュータを用いて求める。

Description

明細書

単結晶内ボイド欠陥と単結晶内酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法

技術分野

[0001] 本発明は、チヨクラルスキー（以下、 CZとレ、う。）法にて引上げられるシリコン等の単結晶内のグロ一イン欠陥や酸素析出核の密度分布及びサイズ分布をコンピュータシミュレーシヨンする方法に関するものである。ここで言うグロ一イン欠陥とは、ボイドと内壁酸化膜からなるボイド欠陥のことであり、例えばゥエーハ表面に観察される結晶起因のパーティクル（Crystal Originated Particle,以下、 COPという。）や、結晶内部に観察される LSTD (Laser Scattering Tomograph Defects)に対応する。また酸素析出核とは、単結晶内の空孔と酸素を消費して形成された酸素析出核であり、これを低温 (700— 800°C)の熱処理で安定化し、更に高温（1000— 1100°C)の熱処理で成長させると、光学顕微鏡などで BMD (Bulk Micro-Defect)として観察される。

背景技術

[0002] 従来、この種のシミュレーション方法として、図 11に示すように、総合伝熱シミュレ一タを用いて CZ法によるシリコン単結晶 4引上げ時の引上げ機 1内のホットゾーン構造及びそのシリコン単結晶 4の引上げ速度に基づいて、シリコン融液 2の熱伝導率を操作することによりシリコン融液 2の内部温度分布を予測し、この内部温度分布からシリコン単結晶 4のメッシュの座標及び温度をそれぞれ求め、更にシリコン単結晶 4内の格子間シリコン及び空孔の拡散係数及び境界条件に基づいて拡散方程式を解くことにより、上記格子間シリコン及び空孔の密度分布をコンピュータを用いて求める方法が知られている。このシミュレーション方法では、ホットゾーンの各部材がメッシュ分割されてモデル化される。特にシリコン融液 2のメッシュは計算時間を短くするために 10 mm程度と比較的粗く設定される。

[0003] 一方、 CZ法によるシリコン単結晶育成時の操業条件及び炉内の温度条件をコンビユータにデータとして入力し、単結晶内部に導入される空孔起因のグローンイン欠陥のサイズ及び密度と単結晶の成長速度との関係をコンピュータを用いたシミュレーシヨンにより求め、このシミュレーション結果に基づいて単結晶内部に導入される空孔起因のグローンイン欠陥のサイズ及び密度が所定値になるように成長速度を選択して単結晶を育成するシリコン単結晶の製造方法が知られている（例えば、特許文献 1参照。）。このシリコン単結晶の製造方法では、総合伝熱解析プログラムを用いて炉内の熱分布のシミュレーションを行レ、、単結晶の育成時の単結晶中心の鉛直方向における温度勾配を求める。

特許文献 1：特開 2002 - 145696号公報

発明の開示

発明が解決しょうとする課題

しかし、上記従来の格子間シリコン及び空孔の密度分布のシミュレーション方法では、実際の引上げ機においては発生するシリコン融液の対流を考慮しておらず、またシリコン融液のメッシュが比較的粗いため、固液界面形状の再現性が悪ぐ精度の良い単結晶内温度分布を提供できない。そのため、シリコン単結晶内の格子間シリコン及び空孔の密度分布が実測値と大幅に相違する問題点があった。また、上記従来のシミュレーション方法では、結晶冷却過程のうち比較的高温で生成されるシリコン単結晶内の欠陥、例えばボイドゃ酸素析出物の種類や、密度分布及びサイズ分布は判らなかった。更に、上記従来のシミュレーション方法では、結晶冷却過程のうち比較的低温で生成されるシリコン単結晶内の欠陥である酸素析出核の密度分布及びサイズ分布は判らなかった。

一方、上記従来の特許文献 1に記載されたシリコン単結晶の製造方法では、シリコン単結晶の鉛直方向のグローンイン欠陥のサイズ分布及び密度分布を予測できるけれども、シリコン単結晶の半径方向のグローイン欠陥のサイズ分布及び密度分布を予測できず、ゥエーハ内面のグローイン欠陥を検討できない問題点があった。

本発明の第 1の目的は、融液の対流を考慮して成長中の単結晶内の温度分布を解析した後に、融液から切離された単結晶の冷却過程を考慮して解析することにより、単結晶内のボイド及び内壁酸化膜からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる、単結晶内ボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレ一シヨン方法を提供することにある。本発明の第 2の目的は、融液の対流を考慮して成長中の単結晶内の温度分布を解析した後に、融液から切離された単結晶の冷却過程を考慮して解析することにより、単結晶内の酸素析出核の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる、単結晶内酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法を提供することにある。

課題を解決するための手段

請求項 1に係る発明は、図 1一図 6に示すように、引上げ機 11による単結晶 14の融液 12からの弓 1上げ開始時から単結晶 14の冷却完了時までの引上げ機 11のホットゾーンをメッシュ構造でモデル化する第 1ステップと、ホットゾーンの各部材毎にメッシュをまとめかっこのまとめられたメッシュに対する各部材の物性値とともに単結晶 14の弓 1上げ長及びこの弓 1上げ長に対応する単結晶 14の引上げ速度をそれぞれコンビュータに入力する第 2ステップと、各部材の表面温度分布をヒータの発熱量及び各部材の輻射率に基づいて求める第 3ステップと、各部材の表面温度分布及び熱伝導率に基づいて熱伝導方程式を解くことにより各部材の内部温度分布を求めた後に融液 12が乱流であると仮定して得られた乱流モデル式及びナビエ'スト一タスの方程式を連結して解くことにより対流を考慮した融液 12の内部温度分布を更に求める第 4ステップと、単結晶 14及び融液 12の固液界面形状を単結晶の三重点 Sを含む等温線に合せて求める第 5ステップと、第 3ステップから第 5ステップを三重点 Sが単結晶 14の融点になるまで繰返し引上げ機 11内の温度分布を計算して単結晶 14のメッシュの座標及び温度を求めこれらのデータをそれぞれコンピュータに入力する第 6ステップと、単結晶 14の引上げ長及び引上げ高さを段階的に変えて第 1ステップ力第 6ステップまでを繰返し引上げ機 11内の温度分布を計算して単結晶 14のメッシュの座標及び温度を求めこれらのデータをそれぞれコンピュータに入力する第 7ステップと、単結晶 14の融液 12からの引上げ開始時から単結晶 14の冷却完了時までの時間を所定の間隔毎に区切りこの区切られた時間間隔毎に第 7ステップで求めた単結晶 14のメッシュの座標及び温度のデータから単結晶 14の弓 1上げ長及び弓 1上げ高さと単結晶 14内の温度分布とを求める第 8ステップと、単結晶 14内の空孔及び格子間原子の拡散係数及び境界条件に基づいて拡散方程式を解くことにより所定の時間間隔の経過した後の空孔及び格子間原子の密度分布を求める第 9ステップと、空孔の密度分布に基づいてボイド 21の形成開始温度を求める第 10ステップと、単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下してボイド 21の形成開始温度になったときのボイド 21の密度を求める第 11ステップと、単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度がボイド 21の形成開始温度より低いときのボイド 21の半径を求める第 12ステップと、ボイド 21の周囲に成長する内壁酸化膜 22の形成開始温度を求める第 13ステップと、単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して内壁酸化膜 22の形成開始温度より低くなつたときのボイド 21の半径と内壁酸化膜 22の厚さとを互いに関連させて求める第 14ステップと、第 8ステップから第 14ステップを単結晶 14の冷却が完了するまで繰返す第 15ステツプとを含む、コンピュータを用いて単結晶内ボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレーションを行う方法である。

[0006] この請求項 1に記載されたシミュレーション方法では、融液 12の対流を考慮して融液 12から成長する単結晶 14内の温度分布を求めるだけでなぐ更に冷却過程における単結晶 14内の温度分布までも求めることによって、即ち融液 12から切離された単結晶 14の冷却過程における単結晶 14の徐冷及び急冷の効果を考慮して解析することによって、単結晶 14内のボイド 21及び内壁酸化膜 22からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる。

[0007] 請求項 2に係る発明は、図 5—図 10に示すように、引上げ機 11による単結晶 14の融液 12からの弓 1上げ開始時から単結晶 14の冷却完了時までの引上げ機 11のホットゾーンをメッシュ構造でモデル化する第 1ステップと、ホットゾーンの各部材毎にメッシュをまとめかっこのまとめられたメッシュに対する各部材の物性値とともに単結晶 14 の引上げ長及びこの引上げ長に対応する単結晶 14の弓 I上げ速度をそれぞれコンビユータに入力する第 2ステップと、各部材の表面温度分布をヒータの発熱量及び各部材の輻射率に基づいて求める第 3ステップと、各部材の表面温度分布及び熱伝導率に基づいて熱伝導方程式を解くことにより各部材の内部温度分布を求めた後に融液 12が乱流であると仮定して得られた乱流モデル式及びナビエ'スト一タスの方程式を連結して解くことにより対流を考慮した融液 12の内部温度分布を更に求める第 4ステップと、単結晶 14及び融液 12の固液界面形状を単結晶の三重点 Sを含む等温線に合せて求める第 5ステップと、第 3ステップから第 5ステップを三重点 Sが単結晶 14の融点になるまで繰返し弓 1上げ機 11内の温度分布を計算して単結晶 14のメッシュの座標及び温度を求めこれらのデータをそれぞれコンピュータに入力する第 6ステップと、単結晶 14の引上げ長及び引上げ高さを段階的に変えて第 1ステップ力第 6ステップまでを繰返し引上げ機 11内の温度分布を計算して単結晶 14のメッシュの座標及び温度を求めこれらのデータをそれぞれコンピュータに入力する第 7ステップと、単結晶 14の融液 12からの引上げ開始時から単結晶 14の冷却完了時までの時間を所定の間隔毎に区切りこの区切られた時間間隔毎に第 7ステップで求めた単結晶 14のメッシュの座標及び温度のデータから単結晶 14の弓 I上げ長及び弓 I上げ高さと単結晶 14内の温度分布とを求める第 8ステップと、単結晶 14内の空孔及び格子間原子の拡散係数及び境界条件に基づいて拡散方程式を解くことにより所定の時間間隔の経過した後の空孔及び格子間原子の密度分布を求める第 9ステップと、空孔の密度分布に基づいてボイド 21の形成開始温度を求める第 10ステップと、単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下してボイド 21の形成開始温度になったときのボイド 21の密度を求める第 11ステップと、単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度がボイド 21の形成開始温度より低いときのボイド 21の半径を求める第 12ステップと、ボイド 21の周囲に成長する内壁酸化膜 22の形成開始温度を求める第 13ステップと、単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して内壁酸化膜 22の形成開始温度より低くなつたときのボイド 21の半径と内壁酸化膜 22の厚さとを互いに関連させて求める第 14ステップと、単結晶 14内の酸素の密度分布と空孔の密度分布と温度分布に基づいて酸素析出核の単位時間当りの発生量と臨界半径とを求める第 15ステップと、酸素析出核の単位時間当りの発生量がゼロを越えたときにボイド 21の半径及び内壁酸化膜 22の厚さを求める計算を停止しかつ酸素析出核の半径を求める第 16ステップと、第 8ステップから第 16ステップを単結晶 14の冷却が完了するまで繰返す第 17ステップとを含む、コンピュータを用いて単結晶内酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレ一シヨンを行う方法である。 [0008] この請求項 2に記載されたシミュレーション方法では、融液 12の対流を考慮して融液 12から成長する単結晶 14内の温度分布を求めるだけでなぐ更に冷却過程における単結晶 14内の温度分布までも求めることによって、単結晶 14内の酸素析出核の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる。即ち、融液 12から切離された単結晶 14の冷却過程における単結晶 14の徐冷及び急冷の効果を考慮して解析することによって、ボイド 21及び内壁酸化膜 22からなるボイド欠陥の密度分布とサイズ分布を求め、酸素析出核の単位時間当りの発生量とこの臨界半径を求め、更に酸素析出核の単位時間当りの発生量がゼロを越えたときに、ボイド半径及び内壁酸化膜厚さを求める計算を停止し、かつ酸素析出核の半径を求める。これにより単結晶 14内の酸素析出核の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる。

ここで、酸素析出核の臨界半径とは、結晶成長中に発生した核の最小半径をいい、この半径は空孔密度の過飽和度及び酸素密度の過飽和度に依存する。

発明の効果

[0009] 以上述べたように、本発明によれば、融液の対流を考慮して融液から成長する単結晶内の温度分布をコンピュータを用いて求めるだけでなぐ更に冷却過程における単結晶内の温度分布までも求めることによって、即ち融液から切離された単結晶の冷却過程における単結晶の徐冷及び急冷の効果を考慮することによって、ボイドの密度分布をコンピュータを用いて求めた後に、ボイドの半径と、ボイドの周囲に成長する内壁酸化膜の厚さとを互いに関連させてコンピュータを用いて求める。この結果、単結晶内のボイド及び内壁酸化膜からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる。

また融液の対流を考慮して融液から成長する単結晶内の温度分布をコンピュータを用いて求めるだけでなぐ更に冷却過程における単結晶内の温度分布までも求めることによって、単結晶内の酸素析出核の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる。即ち、ボイド及び内壁酸化膜力なるボイド欠陥の密度分布とサイズ分布を求め、酸素析出核の単位時間当りの発生量とこの臨界半径とを求め、更に酸素析出核の単位時間当りの発生量がゼロを越えたときに、ボイド半径及び内壁酸化膜厚さを求める計算を停止し、かつ酸素析出核の半径をコンピュータを用いて求める。この結果、酸素析出核の単位時間当りの発生量を求めることにより単結晶内の酸素析出核の密度分布を正確に予測でき、酸素析出核の半径を求めることにより結晶内の酸素析出核のサイズ分布を正確に予測できる。

発明を実施するための最良の形態

[0010] 次に本発明の第 1の実施の形態を図面に基づいて説明する。

図 5に示すように、シリコン単結晶引上げ機 11のチャンバ内には、シリコン融液 12 を貯留する石英るつぼ 13が設けられる。この石英るつぼ 13は図示しないが黒鉛サセプタ及び支軸を介してるつぼ駆動手段に接続され、るつぼ駆動手段は石英るつぼ 1 3を回転させるとともに昇降させるように構成される。また石英るつぼ 13の外周面は石英るつぼ 13から所定の間隔をあけてヒータ（図示せず）により包囲され、このヒータは保温筒（図示せず）により包囲される。ヒータは石英るつぼ 13に投入された高純度のシリコン多結晶体を加熱.溶融してシリコン融液 12にする。またチャンバの上端には図示しないが円筒状のケーシングが接続され、このケーシングには引上げ手段が設けられる。引上げ手段はシリコン単結晶 14を回転させながら引上げるように構成される。

[0011] このように構成されたシリコン単結晶引上げ機 11におけるシリコン単結晶 14内のボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法を図 1一図 6に基づいて説明する。

先ず第 1ステップとして、シリコン単結晶 14を所定長さ L (例えば 100mm)まで引上げた状態におけるシリコン単結晶引上げ機 11のホットゾーンの各部材、即ちチャンバ，石英るつぼ 13，シリコン融液 12,シリコン単結晶 14，黒鉛サセプタ，保温筒等をメッシュ分割してモデル化する。具体的には上記ホットゾーンの各部材のメッシュ点の座標データをコンピュータに入力する。このときシリコン融液 12のメッシュのうちシリコン単結晶 14の径方向のメッシュであつてかつシリコン融液 12のシリコン単結晶 14直下の一部又は全部のメッシュ（以下、径方向メッシュという。）を 0· 01-5. 00mm, 好ましくは 0. 25-1. 00mmに設定する。またシリコン融液 12のメッシュのうちシリコン単結晶 14の長手方向のメッシュであってかつシリコン融液 12の一部又は全部のメッシュ（以下、長手方向メッシュとレヽう。）を 0. 01^5. 00mm,好ましくは 0· 1— 0. 5 mmに設定する。

[0012] 径方向メッシュを 0· 01 -5. 00mmの範囲に限定したのは、 0. 01mm未満では計算時間が極めて長くなり、 5. 00mmを越えると計算が不安定になり、繰返し計算を行つても固液界面形状が一定に定まらなくなるからである。また長手方向メッシュを 0. 0 1 -5. 00mmの範囲に限定したのは、 0. 01mm未満では計算時間が極めて長くなり、 5. 00mmを越えると固液界面形状の計算値が実測値と一致しなくなるからである。なお、径方向メッシュの一部を 0. 01 -5. 00の範囲に限定する場合には、シリコン単結晶 14直下のシリコン融液 12のうちシリコン単結晶 14外周縁近傍のシリコン融液 12を上記範囲に限定することが好ましぐ長手方向メッシュの一部を 0. 01 -5. 00 の範囲に限定する場合には、シリコン融液 12の液面近傍及び底近傍を上記範囲に限定することが好ましい。

[0013] 第 2ステップとして上記ホットゾーンの各部材毎にメッシュをまとめ、かっこのまとめられたメッシュに対して各部材の物性値をそれぞれコンピュータに入力する。例えば、チャンバがステンレス鋼にて形成されていれば、そのステンレス鋼の熱伝導率，輻射率，粘性率，体積膨張係数，密度及び比熱がコンピュータに入力される。またシリコン単結晶 14の弓 I上げ長及びこの弓 I上げ長に対応するシリコン単結晶 14の弓 I上げ速度と、後述する乱流モデル式（1)の乱流パラメータ Cとをコンピュータに入力する。第 3ステップとして、ホットゾーンの各部材の表面温度分布をヒータの発熱量及び各部材の輻射率に基づいてコンピュータを用いて求める。即ち、ヒータの発熱量を任意に設定してコンピュータに入力するとともに、各部材の輻射率から各部材の表面温度分布をコンピュータを用いて求める。次に第 4ステップとしてホットゾーンの各部材の表面温度分布及び熱伝導率に基づレ、て熱伝導方程式（1)をコンピュータを用いて解くことにより各部材の内部温度分布を求める。ここでは、記述を簡単にするため xyz 直交座標系を用いたが、実際の計算では円筒座標系を用いる。

[0014] [数 1]

[0015] 上記式（1)において、 pは各部材の密度、 cは各部材の比熱、 Tは各部材の各メッシュ点での絶対温度、 tは時間である。また λ , λ 及びえは各部材の熱伝導率の X

, y及び z方向成分であり、 qはヒータの発熱量である。

一方、シリコン融液 12に関しては、上記熱伝導方程式（1)でシリコン融液 12の内部温度分布を求めた後に、このシリコン融液 12の内部温度分布に基づき、シリコン融液 12が乱流であると仮定して得られた乱流モデル式（2)及びナビエ'スト一タスの方程式（3)—（5)を連結して、シリコン融液 12の内部流速分布をコンピュータを用いて求める。

[数 2]

X XCXd^k (2)

Pr

[0017] 上記式（2)において、 κ はシリコン融液 12の乱流熱伝導率であり、 cはシリコン融液 12の比熱であり、 Prはプラントル数であり、 pはシリコン融液 12の密度であり、 C は乱流パラメータであり、 dはシリコン融液 12を貯留する石英るつぼ 13壁からの距離であり、 kはシリコン融液 12の平均流速に対する変動成分の二乗和である。

[0018] [数 3]

du o d du

■十 u― ~十 V― ~ +W ·

dt ay d:

1 3D d u d u d u F;

+ (v₁+v_i) (3) β 3x 3x² dy² d

3 v 9 v

•十 u― ~十 v― ~十 w

dt •'X dy

dw dw dw dw

■十 u― ~十 v― ~十 w― ~

dt •'X dy

1 dp d w d w d w F_z

(5) d z [0019] 上記式（3)—式（5)において、 u, V及び wはシリコン融液 12の各メッシュ点での流速の X, y及び z方向成分であり、 Vはシリコン融液 12の分子動粘性係数 (物性値）で

1

あり、はシリコン融液 12の乱流の効果による動粘性係数であり、 F , F及び Fはシリコン融液 12に作用する体積力の x， y及び z方向成分である。

上記乱流モデル式（2)は kl (ケィエル)一モデル式と呼ばれ、このモデル式の乱流パラメータ Cは 0. 4-0. 6の範囲内の任意の値が用いられることが好ましい。乱流パラメータ Cを 0. 4— 0. 6の範囲に限定したのは、 0. 4未満又は 0. 6を越えると計算により求めた界面形状が実測値と一致しないという不具合があるからである。また上記ナビエ'スト一タスの方程式（3) (5)はシリコン融液 12が非圧縮性であって粘度が一定である流体としたときの運動方程式である。

上記求められたシリコン融液 12の内部流速分布に基づいて熱エネルギ方程式（6) を解くことにより、シリコン融液 12の対流を考慮したシリコン融液 12の内部温度分布をコンピュータを用いて更に求める。

[0020] [数 4] dT 3T 3T 1 3²T 3²Τ 3²Τ

u― V― ~ +W (κ κ _t) (6) a X V a z ρ c α χ 9 ν d z

[0021] 上記式（6)において、 u, v及び wはシリコン融液 12の各メッシュ点での流速の x， y 及び z方向成分であり、 Tはシリコン融液 12の各メッシュ点での絶対温度であり、 pはシリコン融液 12の密度であり、 cはシリコン融液 12の比熱であり、 κは分子熱伝導率

1

(物性値)であり、 κ は式（1 )を用いて計算される乱流熱伝導率である。

次いで第 5ステップとして、シリコン単結晶 14及びシリコン融液 12の固液界面形状を図 5の点 Sで示すシリコンの三重点 S (固体と液体と気体の三重点 (tri-junction))を含む等温線に合せてコンピュータを用いて求める。第 6ステップとして、コンピュータに入力するヒータの発熱量を変更し (次第に増大し)、上記第 3ステップ力第 5ステップを三重点がシリコン単結晶 14の融点になるまで繰返した後に、引上げ機 1 1内の温度分布を計算してシリコン単結晶のメッシュの座標及び温度を求め、これらのデータをコンピュータに記憶させる。 [0022] 次に第 7ステップとして、シリコン単結晶 14の引上げ長 Lに δ (例えば 50mm)だけ

1

加えて上記第 1ステップから第 6ステップまでを繰返した後に、引上げ機 11内の温度分布を計算してシリコン単結晶 14のメッシュの座標及び温度を求め、これらのデータをコンピュータに記憶させる。この第 7ステップは、シリコン単結晶 14の引上げ長 Lが

1 長さし (Lはシリコン融液 12から切離されたときのシリコン単結晶 14の長さ（成長完

2 2

了時の結晶長）である。 )に達してシリコン単結晶 14がシリコン融液 12から切離された後、更にシリコン単結晶 14が引上げられてその高さ H (Hはシリコン単結晶 14の

1 1

直胴開始部からシリコン融液 12の液面までの距離である（図 5)。）が11 (Hは冷却

2 2 完了時のシリコン単結晶 14の直胴開始部からシリコン融液 12の液面までの距離である。 )に達するまで、即ちシリコン単結晶 14の冷却が完了するまで行われる。なお、シリコン単結晶 14がシリコン融液 12から切離された後は、シリコン単結晶 14の引上げ高さ Hに δ (例えば 50mm)だけ加え、上記と同様に上記第 1ステップから第 6ステツ

1

プまでを繰返す。

[0023] シリコン単結晶 14の引上げ高さ Hが Hに達すると、第 8ステップに移行する。第 8

1 2

ステップでは、シリコン単結晶 14をシリコン融液 12から成長させて引上げ始めたとき t から、シリコン単結晶 14をシリコン融液 12から切離して更にシリコン単結晶 14を引

0

上げ、その冷却が完了したとき tまでの時間を、所定の間隔 A t秒 (微小時間間隔）毎に区切る。このときシリコン単結晶 14内の格子間シリコン及び空孔の拡散係数及び境界条件のみならず、後述するボイド 21及び内壁酸化膜 22 (図 6)の密度分布及びサイズ分布を求めるための式に用いられる定数をそれぞれコンピュータに入力する。上記区切られた時間間隔 A t秒毎に、第 7ステップで求めたシリコン単結晶 14のメッシュの座標及び温度のデータから、シリコン単結晶 14の引上げ長 L及び引上げ

1

高さ Hと、シリコン単結晶 14内の温度分布とを求める。

1

[0024] 即ち、第 1一第 7ステップでシリコン単結晶のメッシュの座標及び温度を引上げ長 δ 毎に求め、シリコン単結晶を例えば 50mm引上げるのに数十分要するため、この数十分間でのシリコン単結晶のメッシュの温度変化を時間の関数として微分することにより、時刻 t力も A t秒後におけるシリコン単結晶 14の引上げ長 L及び引上げ高さ H

0 1 とシリコン単結晶 14内の温度分布を算出する。次にシリコン単結晶 14内の空孔及び格子間シリコンの拡散係数及び境界条件に基づいて拡散方程式を解くことにより、

Δ t秒経過後の空孔及び格子間シリコンの密度分布を求める（第 9ステップ)。

具体的には、空孔の密度 Cの計算式が次の式（7)で示され、格子間シリコンの密度 Cの計算式が次の式（8)で示される。式（7)及び式 (8)におレ、て、密度 C及び密度 Cの経時的進展を計算するために、空孔と格子間シリコンの熱平衡がシリコン単結晶の全表面で維持されると仮定する。

[数 5]

[0026] 上記式（7)及び式（8)において、 K及び Kは定数であり、 E及び Eはそれぞれ格

1 2

子間シリコン及び空孔の形成エネルギーであり、 C 及び C は空孔の平衡密度及び

ve ie

格子間シリコンの平衡密度である。また kはボルツマン定数、 Tは絶対温度を意味す

B

る。

上記平衡式は時間で微分され、空孔及び格子間シリコンに対してそれぞれ次の式 (9)及び式（10)になる。

[0027] [数 6]

Θ ( Τ, Τ)Θ( T- T_p) ( C_v- C_ve)N，_r X 4 π r _VD_V ( C_v- C_VJ

D_v(C_v-C_ve)

■0(T-T)0(C-C v₇Je^/N p X ½R_P X (9)

i+- e R

dC

^L=V(D_iVC_i)-V CVT k_iv(T){CiC_v- C_ie(T)C_ve(T)} dt kT丄²

- Θ ( T_v— Τ)Θ( T- T )Θ( C _e)N_v X 4兀 Γ_νΌ_; ( C C_{; e}) (10)

[0028] 上記式（9)及び式（10)において、 θ(χ)はヘビサイド関数（Heaviside ftmction)である。即ち、 x<0のとき θ(χ) = 0であり、かつ χ>0のとき θ(χ) = 1である。また Τは内

Ρ

壁酸化膜 22 (ボイド 21表面に形成されたシリコンの酸化膜 (Si〇x膜)）の形成開始温度であり、 Tはボイド 21の形成開始温度である（図 6)。更に式（9)及び（10)のそれぞれ右側の第 1項はフィックの拡散式であり、右側の第 1項中の D及び Dは、次の式

(11)及び（12)で表される空孔及び格子間シリコンの拡散係数である。

[0029] [数 7]

[0030] 上記式（11)及び式（12)において、 ΔΕ及び ΔΕはそれぞれ空孔及び格子間シリコンの活性化エネルギーであり、 d及び dはそれぞれ定数である。また式（9)及び式

(10)のそれぞれ右側の第 2項中の E ¹及びは熱拡散による空孔及び格子間シリコンの活性化エネルギーであり、 kはボルツマン定数である。式（9)及び式（10)のそ

B

れぞれ右側の第 3項の k は空孔及び格子間シリコンペアの再結合定数である。式（9 )及び式（10)のそれぞれ右側の第 4項の Nはボイド 21の密度であり、 rはボイド 21 の半径であり、更に式（9)の右側の第 5項の Nは内壁酸化膜 22の密度であり、 Rは

P P

内壁酸化膜 22の外半径である。

[0031] 上記式（9)が成立つのは、空孔が析出するための空孔の流束が十分に大きぐシリコン単結晶 14を構成する Siマトリックスと内壁酸化膜を構成する SiOxとの単位質量当りの体積差を坦められる場合、即ち C ≤D (C-C )の場合である。上記以

O O ve

外の場合、即ち T D C >D (C-C )の場合には、次式（13)が成立つ。ここで、 γ

Ο Ο

とは酸素 1原子に対する空孔の消費割合であり、 D は酸素の拡散係数であり、 C は

o o 酸素密度である。

[0032] [数 8]

D C,VT k_iv(T CiC_v- C_ie(T)C_v

■ Θ ( T_v- T) Θ( T- T_p ) Θ ( C_v- C_ve ) N _v X4 π r _v D_v ( C_v- C_ve)

D_v(C-C_ve)

-0(C_v-C_ve)0(T_p-T) X 4 R_pN_p X (13)

[0033] 上記式（13)において、 θ(χ)はヘビサイド関数（Heaviside ilmction)である。即ち、 x く 0のとき Θ(χ) = 0であり、かつ χ>0のとき Θ(χ) = 1である。また Τは内壁酸化膜 22

Ρ

の形成開始温度であり、 Τはボイド 21の形成開始温度である。更に式（13)の右側の第 1項はフィックの拡散式であり、右側の第 1項中の Dは、式（11)で表される空孔の拡散係数である。

次に第 10ステップとして、上記拡散方程式を解くことにより求めた空孔の密度 C分布に基づいて、ボイド 21の形成開始温度 Τを次の式（14)から求める。

[0034] [数 9]

3/2 Τ 1/2 1/2 _ 3/2

Τ, k_B ln(C_v/C_v0)-k_B E_v/T_r + T_V k_B n_v=0.68 σ_ν /p (14)

[0035] 上記式（14)において、 Cはシリコン単結晶 14中の空孔密度であり、 C はシリコン単結晶 14の融点 T での空孔平衡密度であり、 Εは空孔形成エネルギーである。ま

m V

たびはシリコン単結晶 14の結晶面 (111)における界面エネルギーであり、 pはシリコン単結晶 14の密度であり、 kはボルツマン定数である。

B

第 11ステップとして、シリコン単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下してボイド 21の形成開始温度 Tになったときに、次の近似式（15 )を用いてボイド 21の密度 Nを求める。

[数 10]

H_r≥≤n ( dT / dt)^3/2(D,₇ k o T²)"^3/2( CJ^_1^ --- (15)

[0037] 上記式（15)において、 nはボイド 21の密度であり、 (dT/dt)はシリコン単結晶 14の冷却速度である。上記ボイド 21の密度は空孔過飽和度に依存するけれども、計算するシリコン単結晶 14での核形成温度のような狭い温度領域では一定とみなしてよい。また Dはボイド 21の拡散係数であり、 kはボルツマン定数であり、 Cはシリコン単結

B

晶 14中の空孔密度である。

第 12ステップとして、シリコン単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度がボイド 21の形成開始温度 Tより低いときのボイドの半径 rを、次の式（16)から求める。ここでボイド 21の成長速度は空孔の拡散速度に依存する拡散律速である。またボイド 21の形状は実際には八面体であるけれども、ここでは計算の効率化から球状として扱う。

[0038] [数 11]

1/2

ί t®( C_v- C_ve)D_v( C_v- C_ve) _Θ( C「 Ci _e)Di( C「 C, _e)}dV + r² _{vc r} (16) 上記式（16)において、 tlはシリコン単結晶 14のメッシュの格子点における温度がボイド 21の形成開始温度 Tまで低下したときの時刻である。また r はボイド 21の臨

V vcr

界径であり、この臨界径 r は上記時刻 tlでの値とする。更に C 及び C はそれぞれ

vcr ve ie

の状態での空孔及び格子間シリコンの平衡密度である。

次に第 13ステップとして、ボイド 21の周囲に成長する内壁酸化膜 22の形成開始温度 Tを求める。内壁酸化膜 22の形成開始温度 Τがボイド 21の形成開始温度 Τより小さい場合には、酸素と空孔が結合し、ボイド 21表面に内壁酸化膜 22が成長する（図 6)。本発明のモデルでは、上記内壁酸化膜 22はボイド 21が発生するとすぐに成長するものとして扱った。ここで、「すぐに」とは、「ボイドが発生した次の繰返し計算から』という意味である。従って、内壁酸化膜 22の形成開始温度 Τはボイド 21の形成

Ρ

開始温度 Τと同一となる。

更に第 14ステップとして、シリコン単結晶 14内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して内壁酸化膜 22の形成開始温度 Τより低くなつたときのボ

Ρ

イド 21の半径 rと内壁酸化膜 22の厚さ dとを互いに関連させて求める。一般的に、酸素はその拡散とシリコンとの反応によって内壁酸化膜 22が形成される。酸素が内壁酸化膜 22外からこの酸化膜の外周面に流入する流は、ボイド 21の中心を原点 o

とする内壁酸化膜 22の外半径を Rとするとき、次の式（17)から求められる。

P

[0040] [数 12]

J₀=4兀 R _pD₀( C₀- C。_{e i f})/{l ₊ D。バ g。R _p )} ------ (17)

[0041] 上記式（17)において、 D は酸素の拡散係数であり、 C は酸素密度であり、 C

O O Oeif は球状のボイド 21の中心を原点とする半径 Rにおける酸素平衡密度であり、 g は Si

P o

Ox及び Siの界面、即ち内壁酸化膜 22の外周面における酸素原子の反応割合である。

また空孔が内壁酸化膜 22外からこの酸化膜の外周面（半径 Rの球面）に流入する

P

流 ¾Jは次の式（18)力求められる。

[0042] [数 13]

J_v =4 R _PD_V ( C_V— C_{ve i f})/ 1 + Dノ（g_VR _P )} (18)

[0043] 上記式（18)において、 gは内壁酸化膜 22の外周面での空孔の反応割合であり、 C は内壁酸化膜 22の外周面での空孔の平衡密度である。シリコンの内壁酸化膜 2 veif

2が成長すると同時に空孔が消費され、空孔の消費割合は酸素 1原子に対して γである。このため内壁酸化膜 22が歪みなく成長するための条件は、酸素の流に対 o して空孔の流束はであるので、空孔の流束 γ】は次の式（19)力求められる。

ο ο

[数 14] yJ。=47TYR _PD。( C。- C。_{e i f} ) {l+D。A g。R _P )} ( 19) 従って、（Ι _ γ】）は内壁酸化膜 22に吸収される空孔の流束となる。ここで空孔の

Ο

内壁酸化膜 22外からこの酸化膜への流束が増大する場合 ( 一 γ J ) >0)、或いは空

O

孔のボイド 21内から酸化膜への流束が時間の経過に対して増大する場合 ( _ γ J )

O

< 0)の上記流束の時間に対する変化の割合をひとすると、このひは内壁酸化膜 22 の厚さに依存すると考えられる。このため内壁酸化膜 22の厚さ d、即ち (R -r )が d未

P 0 満であるならば、内壁酸化膜 22は空孔を酸化膜外及びボイド 21内の双方向から部分浸透させると考えられる。換言すれば、 d< dであってひ≠0である場合には、空孔

0

はある割合で内壁酸化膜 22を貫通してボイド 21の成長に使われる。但し、格子間シリコンは酸素析出層が核形成されると同時にボイド 21の成長に使われなくなる。また空孔の内壁酸化膜 22外からこの酸化膜への流束量が少ない場合、即ち (T - yj )< 0である場合には、歪みの無い内壁酸化膜 22を成長させることができないの

O

で、空孔はボイド 21内から酸化膜に流入し、ボイド 21の外径は小さくなる。この結果 d≥dであって α =0の場合には、内壁酸化膜 22は空孔を全く通過させなくなる。

0

そして、 ηをボイド 21中の空孔の数とすると、 dn /dtは空孔の流入量となり、 dn /dt = (J - y ] )であるならば、次の式（20)が成り立つ。なお、式（20)において、 rは式（ O

16)で求めたボイド 21の半径であり、 Rは内壁酸化膜 22の外半径である。また D は o 酸素の拡散係数であり、 C は酸素密度である。更に C は球状のボイド 21の中心を

O Oeif

原点とする半径 Rにおける酸素平衡密度であり、 g は内壁酸化膜 22の外周面にお

P o

ける酸素原子の反応割合である。

[数 15]

[0047] 同時に内壁酸化膜 22を構成する SiOx分子の数は式（20)の酸素が内壁酸化膜 2

2外からこの酸化膜の外周面に流入する流 ¾J の消費に依存して変化するため、次

o

の式（21)が成り立つ。なお、式（21)において、 p =x/(QSiOx)と定義する。この

P

p の定義式において、 Ω は Si〇xの分子容量（molecular volume)であり、その単 p SiOx

位は分子量 Z密度である。また Xは Si〇xの Xに対応し、 Ωは定数である。

[0048] [数 16]

[0049] 上記式（21)を上記式（20)に代入すると次の式（22)が得られる。なお、式（22)において、は Ω /Ω である。この？ 7の定義式において、 Ω は 1/ pであり、 p

SiOx Si S―i.

はシリコン単結晶 14の密度である。

[0050] [数 17]

[0051] 上記式（20)及び式（22)から次のことが分かる。先ず dが dになった時刻を tとする

0 3 と、この時刻 tにおいてひがゼロとなるため、内壁酸化膜 22は非浸透となる。またボイ

3

ド 21の外径力 (t )で固定されている間は、内壁酸化膜 22の成長はシリコン単結晶 1

3

4のマトリックスから流入する空孔或いは酸素の消費量によって決まる。即ち、 α_γ】 ) >0である場合には式（22)は次の式（23)となり、 Q -yJ ) <0である場合には式

O O

(22)は次の式（24)となる。

[0052] [数 18]

[0053] 上記式（23)及び式（24)におレ、て、 Ω は SiOxの分子容量（molecular volume)

SiOx

である。また式（23)及び式（24)において、内壁酸化膜の外周面での空孔平衡密度は Rと無関係であり、 C =C かつ C =C であると想定している。式（23)又は p veif ve Oeif Oe

式（24)から内壁酸化膜 22の外半径 Rを求め、内壁酸化膜 22の外半径 Rからボイ

P P

ド 21の半径 rを引くことにより、内壁酸化膜 22の厚さ dを求める。上記第 8ステップから第 14ステップをシリコン単結晶 14の冷却が完了するまで繰返す（第 15ステップ)。なお、式（9)一式（24)は互いに関連させてコンピュータにより解く。

上述のように、シリコン融液 12の対流を考慮してシリコン融液 12から成長するシリコン単結晶 14内の温度分布を求めた後に、シリコン融液 12から切離されたシリコン単結晶 14の冷却過程、即ちシリコン単結晶 14がシリコン融液 12から切離された後のシリコン単結晶 14の引上げ速度を考慮し、シリコン単結晶 14の徐冷及び急冷の効果を結果に反映して解析することにより、シリコン単結晶 14内のボイド 21及び内壁酸化膜 22からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる。この結果、シリコン融液 12から引上げられるシリコン単結晶 14内の欠陥の密度分布及びサイズ分布を所望の分布にするために、引上げ機 11の設計段階で引上げ機 11の構造を検討すること力 Sできる。

[0054] 図 7—図 10は本発明の第 2の実施の形態を示す。

この実施の形態では、第 1ステップから第 14ステップまでは第 1の実施の形態とほぼ同一である。但し、第 1の実施の形態の式（9)は次の式（9) 'となる。この式（9) 'において、 D は酸素拡散係数であり、 C は酸素析出核形成温度での酸素密度である

o o

。更に Jは臨界半径を有する酸素析出核の単位時間当りの発生量であり、 rは酸素析出核の半径である。

[0055] [数 19]

- Θ ( Τ_Ν- Τ) Θ( Τ- Τ_Ρ) ( C_V- C_VE)N_V X 4 π r _VD_V ( C_Y- C_{V E})

-0(T_P-T)0(C_V-C_VE)N_P X 4兀 R_P X ^{DV( CV}"^CVE

- y X4 D₀C。J" J_c(t')r_c(t，t，) dt (9)'

[0056] 上記式（9) 'が成立つのは、空孔が析出するための空孔の流束が十分に大きぐシリコン単結晶 14を構成する Siマトリックスと内壁酸化膜を構成する SiOxとの単位質量当りの体積差を坦められる場合、即ち C ≤D (C -C )の場合である。上記以

O O ve

外の場合、即ち T D C >D (C -C )の場合には、次式（13)が成立つ。ここで、 γ

Ο Ο ve

は酸化物が歪みなく成長するのに必要な酸素 1原子当たりの空孔量であり、酸素析出核の相に依存する数である。酸素析出核が Si〇からなる場合には γ 0.5であり

2

、酸素析出核が Si〇からなる場合には γ =0.65である。また D は酸素の拡散係数 ο

であり、 C は酸素析出核形成温度での酸素密度である。

ο

また第 1の実施の形態の式（13)は次の式（13)'となる。この式（13) 'において、】は臨界半径を有する酸素析出核の単位時間当りの発生量であり、 rは酸素析出核の半径である。

[0057] [数 20] E,

=V (D_VVC_V)-V D C VT -k_iv(T){CiC_v-C_1e(T)C_ve(T)

- Θ(Τ_ν-Τ)Θ(Τ-Τ_ρ) e(C_v-C_ve ) N_v X4 π r _v D_v( C_v- C_ve)

0(C_V ■C_ve)©(T_p-T) X 4πΙ¾_ρΝ_ρ X

■ Θ ( C_v— C_ve) X 4 π D _v ( C_v_ C_ve) J J_c(t') r_c (t,t') dt (13V

[0058] 第 15ステップとして、シリコン単結晶 14内の酸素の密度分布と空孔の密度分布と温度分布に基づいて酸素析出核の単位時間当りの発生と上記臨界半径 r とを

c cr 求める。具体的には、酸素析出核成長（Si〇x相）は、酸素密度 C と空孔密度 Cと温

O

度 τに依存するため、古典論では定常状態での酸素析出核の単位時間当りの発生量 Tを次の式（25)から求める。

[0059] [数 21]

3F*k_BT -1/2

F- exp

】_c ^{= tJ}c^Doし o (25)

16π k_BT

[0060] 上記式（25)において、 σ は酸素析出核形成温度での SiOxと Siとの界面エネルギーであり、 D は酸素拡散係数である。また C は酸素析出核形成温度での酸素密 o o

度であり、 kはボルツマン定数である。更に F*は酸素析出核の成長バリアであり、酸

B

素析出核を球体と仮定すれば、 F*は次の式（26)により求めることができる。

[0061] [数 22]

3

16 πσ

F* 2 r2

3 ρί ί (26)

[0062] 上記式（26)において、 ρ は SiOxからなる酸素析出核の酸素数密度であり、 f は酸素析出核形成のために必要な駆動力（酸素原子 1個当りの力）であり、この f を次の式（27)力求める。

[0063] [数 23] f_c = k_BTXln(C₀/C_0e) + yk_BTXln(C_v/C_ve) ------ (27)

[0064] 上記式（27)において、 C は酸素析出核形成温度での酸素密度であり、 C は酸

O Oe 素平衡密度である。また γは酸化物が歪みなく成長するのに必要な酸素 1原子当たりの空孔量であり、酸素析出核の相に依存する数である。酸素析出核が Si〇力な

2 る場合には γ 0. 5であり、酸素析出核が Si〇からなる場合には γ =0. 65である。更に Cは空孔の密度であり、 C は空孔の平衡密度である。なお、式（25)及び式（2 ve

6)における σ (酸素析出核形成温度での Si〇xと Siとの界面エネルギー）は核形成を支配する重要なパラメータであり、このパラメータ σ は核形成に依存しており、一般的には温度と酸素析出核の半径によって値が変化する。一方、酸素析出核の臨界半径 r を次の式（28)により求める。

cr

[0065] [数 24]

： _r=2 a_c/[p_c k_BT X ln{( C₀/C_0e) X ( C_v /C_vf] (28)

[0066] 次に第 16ステップとして、酸素析出核の単位時間当りの発生量がゼロを越えると、ボイド 21の半径及び内壁酸化膜 22の厚さを求める計算を停止し、かつ酸素析出核の半径を求める。酸素析出核は酸素と空孔を消費しながら成長し、空孔は Siとその酸化物（SiOx)との間の歪みを調整する。また本発明のモデルでは、酸素析出核の成長速度は酸素の拡散と空孔の拡散に限定すると仮定している。 yO C <D (C

O O v v

-C )であるならば、酸素析出核の成長速度は酸素の拡散に限定され、次の式（29) ve

により求められる。

[0067] [数 25] dr_c/dt-D₀C₀/(r_nPc ) (29)

[0068] また T D C >D (C-C )であるならば、クラスターの成長時に、 Siとその酸化物（ o o

SiOx)との間の歪みを無くすために空孔が消費されるので、クラスターの成長速度は次の式（30)で表される。

[0069] [数 26] d r_c /dt -D_v( C_v-C_ve ) / ( y r_c p _c ) ------- (30)

[0070] 上記第 8ステップから第 16ステップをシリコン単結晶 14の冷却が完了するまで繰返す（第 17ステップ)。なお、式（9)一式（30)は互いに関連させてコンピュータにより解

<。

上述のように、シリコン融液 12の対流を考慮してシリコン融液 12から成長するシリコン単結晶 14内の温度分布を求めた後に、シリコン融液 12から切離されたシリコン単結晶 14の冷却過程を考慮し、シリコン単結晶 14の徐冷及び急冷の効果を結果に反映して解析することにより、シリコン単結晶 14内の酸素析出核の密度分布及びサイズ分布を正確に予測できる（図 5)。即ち、シリコン単結晶 14がシリコン融液 12から切離された後のシリコン単結晶 14の引上げ速度を考慮して、ボイド 21及び内壁酸化膜 2 2 (図 6)からなるボイド欠陥の密度分布とサイズ分布をコンピュータを用いて求め、酸素析出核の単位時間当りの発生 SJとこの臨界半径 r とをコンピュータを用いて求め c cr

、更に臨界半径 r 以上の半径 rを有する酸素析出核の単位時間当りの発生 Siが cr c c ゼロを越えたときに、ボイド半径 r及び内壁酸化膜厚さ dを求める計算を停止し、かつ臨界半径 r 以上の半径 rを有する酸素析出核の半径 rをコンピュータを用いて求め cr c c

る。この結果、臨界半径!：以上の半径 rを有する酸素析出核の単位時間当りの発生 cr c

を求めることにより、シリコン単結晶 14内の酸素析出核の密度分布を正確に予測できる。また臨界半径 r 以上の半径 rを有する酸素析出核の半径 rを求めることによ cr c c

り、シリコン結晶 14内の酸素析出核のサイズ分布を正確に予測できる。

なお、上記第 1及び第 2の実施の形態では、単結晶としてシリコン単結晶を挙げた力 GaAs単結晶， InP単結晶， ZnS単結晶若しくは ZnSe単結晶でもよい。

実施例

[0071] 次に本発明の実施例を比較例とともに詳しく説明する。

<実施例 1 > 図 5及び図 6に示すように、石英るつぼ 13に貯留されたシリコン融液 12から直径 6 インチのシリコン単結晶 14を引上げる場合の、シリコン単結晶 14内のボイド 21及び内壁酸化膜 22からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を、図 1一図 4のフロ一チャートに基づくシミュレーション方法により求めた。

即ち、シリコン単結晶引上げ機 11のホットゾーンをメッシュ構造でモデルィ匕した。ここで、シリコン融液 12のシリコン単結晶 14直下のシリコン単結晶 14の径方向のメッシュを 0. 75mmに設定し、シリコン融液 12のシリコン単結晶 14直下以外のシリコン単結晶 14の径方向のメッシュを 1一 5mmに設定した。またシリコン融液 12のシリコン単結晶 14の長手方向のメッシュを 0. 25— 5mmに設定し、乱流モデル式の乱流パラメータ Cとして 0. 45を用いた。更にシリコン単結晶 14の引上げ開始時 t力冷却完了

0

時 tまでの引上げ長及び引上げ高さの段階的な変更を 50mmずっとした。このような条件下で、シリコン融液 12の対流を考慮してシリコン単結晶 14内の温度分布を求めた。

次にシリコン単結晶 14の引上げ開始時 tから冷却完了時 tまでの時間を所定の間

0 1

隔 Δ t秒 (微小な時間の間隔）毎に区切り、この時間間隔 Δ t秒毎に上記シリコン単結晶 14のメッシュの座標及び温度のデータから、シリコン単結晶 14の引上げ長及び弓 [ 上げ高さとシリコン単結晶内 14の温度分布を求め、更にボイド 21の形成開始温度を求めてボイド 21の密度分布及びサイズ分布を求めた。即ち、シリコン単結晶 14をシリコン融液 12から切離した後のシリコン単結晶 14の徐冷及び急冷を考慮して、シリコン単結晶 14内のボイド 21の密度分布及びサイズ分布をコンピュータを用いてそれぞれ求めた。

一方、ボイド 21の周囲に成長する内壁酸化膜 22は、ボイド 21が発生するとすぐに成長するものとして扱ったので、内壁酸化膜 22の形成開始温度 Tをボイド 21の形成

P

開始温度 Tと同一とした。ここで、「すぐに」とは、「ボイドが発生した次の繰返し計算から』という意味である。次に内壁酸化膜 22の形成開始温度より低くなつたときの内壁酸化膜 22の外半径 Rをコンピュータを用いて求めた。更に内壁酸化膜 22の外半

P

径 Rをボイド 21の半径から引くことにより内壁酸化膜 22の厚さ dを求めた。なお、内

P

壁酸化膜の密度分布は上記ボイドの密度分布と同一とした。上記ボイド及び内壁酸化膜力なるボイド欠陥のサイズ分布、即ち内壁酸化膜 22の外半径 Rのシリコン単

P

結晶の半径方向への分布を、シリコン単結晶の引上げ速度を変えて算出した結果を図 12 (a)及び (b)に実線で示す。また上記ボイド及び内壁酸化膜からなるボイド欠陥の密度分布のシリコン単結晶の半径方向への分布を、シリコン単結晶の引上げ速度を変えて算出した結果を図 13 (a)及び (b)に実線で示す。

[0073] ぐ比較例 1 >

実施例 1と同一形状のシリコン単結晶を同一の条件で引上げたときの LSTD (Laser Scattering Tomograph Defects)を測定した。この LSTDのサイズ分布を、シリコン単結晶の引上げ速度を変えて測定した結果を図 12 (a)及び (b)に黒い点で示す。また LSTDの密度分布を、シリコン単結晶の引上げ速度を変えて測定した結果を図 13 (a )及び (b)に黒い点で示す。なお、上記 LSTDは、空孔型点欠陥の凝集体の一種であり、シリコン単結晶内に赤外線を照射したときにシリコンとは異なる屈折率を有する散乱光を発する源をいう。なお、上記 LSTDのサイズ分布及び密度分布は、上記実施例 1のボイド欠陥のサイズ分布及び密度分布に対応させてもよいと考える。また LS TDは検出限界があるため、所定値より小さいサイズのものは検出できな力た。

[0074] <評価 1 >

図 12 (a)及び (b)から明らかなように、実施例 1のボイド欠陥のサイズ分布と比較例 1の LSTDのサイズ分布とは、サイズの検出限界以上で略一致した。

また図 13 (a)及び (b)から明らかなように、実施例 1のボイド欠陥の密度分布と比較例 1の LSTDの密度分布とは、範囲 (1)において略一致したけれども、範囲 (2)では一致しなかった。範囲 (2)において密度分布が一致しなかったのは、範囲 (2)では検出可能なボイドと検出不能なボイドが入り交じつているため、比較例 1の LSTDの密度分布が実施例 1のボイド欠陥の密度分布より少なくなつてしまったものと考えられる。

[0075] ぐ実施例 2 >

図 5及び図 6に示すように、石英るつぼ 13に貯留されたシリコン融液 12から直径 6 インチのシリコン単結晶 14を引上げる場合の、シリコン単結晶 14内のボイド 21及び内壁酸化膜 22からなるボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布を、図 7 図 10のフロ一チャートに基づくシミュレーション方法により求めた。即ち、シリコン単結晶引上げ機 11のホットゾーンをメッシュ構造でモデルィ匕した。ここで、シリコン融液 12のシリコン単結晶 14直下のシリコン単結晶 14の径方向のメッシュを 0. 75mmに設定し、シリコン融液 12のシリコン単結晶 14直下以外のシリコン単結晶 14の径方向のメッシュを 1一 5mmに設定した。またシリコン融液 12のシリコン単結晶 14の長手方向のメッシュを 0. 25— 5mmに設定し、乱流モデル式の乱流パラメータ Cとして 0. 45を用いた。更にシリコン単結晶 14の引上げ開始時 t力冷却完了

0

[0076] 次にシリコン単結晶 14の引上げ開始時 tから冷却完了時 tまでの時間を所定の間

0 1

隔 Δ t秒 (微小な時間の間隔）毎に区切り、この時間間隔 Δ t秒毎に上記シリコン単結晶 14のメッシュの座標及び温度のデータから、シリコン単結晶 14の引上げ長及び引上げ高さとシリコン単結晶内 14の温度分布を求め、更にボイド 21の形成開始温度を求めてボイド 21の密度分布及びサイズ分布を求めた。即ち、シリコン単結晶 14をシリコン融液 12から切離した後のシリコン単結晶 14の徐冷及び急冷を考慮して、シリコン単結晶 14内のボイド 21の密度分布及びサイズ分布をコンピュータを用いてそれぞれ求めた。

P

開始温度 Tと同一とした。ここで、「すぐに」とは、「ボイドが発生した次の繰返し計算から」という意味である。次に内壁酸化膜 22の形成開始温度より低くなつたときの内壁酸化膜 22の外半径 Rをコンピュータを用いて求めた。次に壁酸化膜 22の外半径

P

Rをボイド 21の半径から引くことにより内壁酸化膜 22の厚さ dを求めた。なお、内壁

P

酸化膜の密度分布は上記ボイドの密度分布と同一とした。

[0077] 次にシリコン単結晶 14内の酸素の密度分布と空孔の密度分布と温度分布に基づいて、酸素析出核の単位時間当りの発生とこの臨界半径 r とをコンピュータを用 c cr

いて求めた。更に臨界半径 r 以上の半径 rを有する酸素析出核の単位時間当りの cr c

発生量 Tがゼロを越えたときに、ボイド半径 r及び内壁酸化膜厚さ dを求める計算を停止し、かつ臨界半径 r 以上の半径 rを有する酸素析出核の半径 rをコンピュータ

cr c c

を用いて求めた。

シリコン単結晶 14の半径方向の位置を変えた場合（図 14 (a)の A部と B部）の、上記酸素析出核のサイズ分布及び密度分布を図 14 (b)の実線 A及び実線 Bで示した。またシリコン単結晶 14の引上げ速度を変えた場合（図 14 (a)の A部と C部）の、上記酸素析出核のサイズ分布及び密度分布を図 14 (b)の実線 A及び実線 Cで示した

[0078] ぐ比較例 2 >

実施例 2と同一形状のシリコン単結晶を同一の条件で引上げた。このシリコン単結晶を比較例 2とした。

<比較試験 1及び評価 2 >

実施例 2の方法で求めた図 14 (a)の A部、 B部及び C部での酸素析出核の密度分布のうち、経験的に求めた熱処理条件に依存したあるサイズ以上の酸素析出核の総数 (A、 B及び C )をコンピュータを用いて求めた。その結果を表 1に示す。一方、比較例 2のシリコン単結晶において、上記図 14 (a)の A部、 B部及び C部に対応する部分の酸素析出核の密度分布を所定の熱処理後に光学顕微鏡にて測定した。その結果を表 1に示す。

[0079] [表 1]

表 1から明ら力なように、実施例 2の方法で算出した酸素析出核の密度分布は比較例 2の実際に測定した酸素析出核の密度分布とオーダーが一致した。この結果、酸素析出核の密度分布を実施例 2の方法によりオーダーレベルで見積もり可能であることが判った。

産業上の利用可能性

[0081] 本発明の単結晶内ボイド欠陥と単結晶内酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法は、 CZ法にて引上げられるシリコン単結晶棒等の品質を向上するために利用できる。

図面の簡単な説明

[0082] [図 1]本発明第 1実施形態シリコン単結晶内のボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 1段を示すフローチャートである。

[図 2]そのボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 2段を示すフローチャートである。

[図 3]そのボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 3段を示すフローチャートである。

[図 4]そのボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 4段を示すフローチャートである。

[図 5]本発明のシリコン融液をメッシュ構造としたシリコン単結晶の弓 I上げ機の要部断面図である。

[図 6]そのシリコン単結晶内のボイド及び内壁酸化膜の模式図である。

[図 7]本発明第 2実施形態シリコン単結晶内の酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 1段を示すフローチャートである。

[図 8]その酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 2段を示すフローチャートである。

[図 9]その酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 3段を示すフローチャートである。

[図 10]その酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーション方法の第 4段を示すフローチャートである。

[図 11]従来例のシリコン融液をメッシュ構造としたシリコン単結晶の引上げ機の要部断面図である。

[図 12]実施例 1のボイド欠陥のシリコン単結晶の半径方向へのサイズ分布を、引上げ速度を変えてコンピュータにより求めた値と、比較例 1の LSTDのシリコン単結晶の半径方向へのサイズ分布を、引上げ速度を変えて実際に測定した値とを示す図である園 13]実施例 1のボイド欠陥のシリコン単結晶の半径方向への密度分布を、引上げ速度を変えてコンピュータにより求めた値と、比較例 1の LSTDのシリコン単結晶の半径方向への密度分布を、引上げ速度を変えて実際に測定した値とを示す図である。園 14]シリコン単結晶の半径方向の位置を変えた場合と、シリコン単結晶の引上げ速度を変えた場合に、コンピュータを用いて求めた酸素析出核のサイズ分布及び密度分布を示す図である。

符号の説明

11 シリコン単結晶引上げ機

12 シリコン融液

14 シリコン単結晶

21 ボイド

22 内壁酸化膜

S シリコンの三重点

Claims

請求の範囲

引上げ機 (11)による単結晶 (14)の融液 (12)からの引上げ開始時力前記単結晶 (14) の冷却完了時までの前記引上げ機 (11)のホットゾーンをメッシュ構造でモデル化する第 1ステップと、

前記ホットゾーンの各部材毎にメッシュをまとめかっこのまとめられたメッシュに対する前記各部材の物性値とともに前記単結晶 (14)の引上げ長及びこの引上げ長に対応する前記単結晶 (14)の引上げ速度をそれぞれコンピュータに入力する第 2ステップと、

前記各部材の表面温度分布をヒータの発熱量及び前記各部材の輻射率に基づいて求める第 3ステップと、

前記各部材の表面温度分布及び熱伝導率に基づいて熱伝導方程式を解くことにより前記各部材の内部温度分布を求めた後に融液 (12)が乱流であると仮定して得られた乱流モデル式及びナビエ'スト一タスの方程式を連結して解くことにより対流を考慮した前記融液 (12)の内部温度分布を更に求める第 4ステップと、

前記単結晶 (14)及び前記融液 (12)の固液界面形状を前記単結晶の三重点 (S)を含む等温線に合せて求める第 5ステップと、

前記第 3ステップ力も前記第 5ステップを前記三重点 (S)が前記単結晶 (14)の融点になるまで繰返し前記引上げ機 (11)内の温度分布を計算して前記単結晶 (14)のメッシュの座標及び温度を求めこれらのデータをそれぞれ前記コンピュータに入力する第 6 ステップと、

前記単結晶 (14)の引上げ長及び引上げ高さを段階的に変えて前記第 1ステップから前記第 6ステップまでを繰返し前記引上げ機 (11)内の温度分布を計算して前記単結晶 (14)のメッシュの座標及び温度を求めこれらのデータをそれぞれ前記コンビユータに入力する第 7ステップと、

前記単結晶 (14)の前記融液 (12)からの引上げ開始時力前記単結晶 (14)の冷却完了時までの時間を所定の間隔毎に区切り前記区切られた時間間隔毎に第 7ステップで求めた前記単結晶 (14)のメッシュの座標及び温度のデータから前記単結晶 (14)の引上げ長及び引上げ高さと前記単結晶 (14)内の温度分布とを求める第 8ステップと、前記単結晶 (14)内の空孔及び格子間原子の拡散係数及び境界条件に基づいて拡散方程式を解くことにより前記所定の時間間隔の経過した後の空孔及び格子間原子の密度分布を求める第 9ステップと、

前記空孔の密度分布に基づいてボイド (21)の形成開始温度を求める第 10ステップと、

前記単結晶 (14)内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して前記ボイド (21)の形成開始温度になったときの前記ボイド (21)の密度を求める第 11ステツプと、

前記単結晶 (14)内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が前記ボイド (21)の形成開始温度より低いときの前記ボイド (21)の半径を求める第 12ステップと、

前記ボイド (21)の周囲に成長する内壁酸化膜 (22)の形成開始温度を求める第 13ステツプと、

前記単結晶 (14)内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して前記内壁酸化膜 (22)の形成開始温度より低くなつたときの前記ボイド (21)の半径と前記内壁酸化膜 (22)の厚さとを互いに関連させて求める第 14ステップと、

第 8ステップから第 14ステップを前記単結晶 (14)の冷却が完了するまで繰返す第 1 5ステップと

を含むコンピュータを用いて単結晶内ボイド欠陥の密度分布及びサイズ分布のシミユレーシヨンを行う方法。

引上げ機 (11)による単結晶 (14)の融液 (12)からの引上げ開始時から前記単結晶 (14) の冷却完了時までの前記引上げ機 (11)のホットゾーンをメッシュ構造でモデル化する第 1ステップと、

前記各部材の表面温度分布をヒータの発熱量及び前記各部材の輻射率に基づいて求める第 3ステップと、前記各部材の表面温度分布及び熱伝導率に基づいて熱伝導方程式を解くことにより前記各部材の内部温度分布を求めた後に融液 (12)が乱流であると仮定して得られた乱流モデル式及びナビエ'スト一タスの方程式を連結して解くことにより対流を考慮した前記融液 (12)の内部温度分布を更に求める第 4ステップと、

前記空孔の密度分布に基づいてボイドの形成開始温度を求める第 10ステップと、前記単結晶 (14)内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して前記ボイド (21)の形成開始温度になったときの前記ボイド (21)の密度を求める第 11ステツプと、

前記単結晶 (14)内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が前記ボイド (21)の形成開始温度より低いときの前記ボイド (21)の半径を求める第 12ステップと、前記ボイド (21)の周囲に成長する内壁酸化膜 (22)の形成開始温度を求める第 13ステツプと、

前記単結晶 (14)内のそれぞれのメッシュの格子点における温度が次第に低下して前記内壁酸化膜 (22)の形成開始温度より低くなつたときに前記ボイド (21)の半径と前記内壁酸化膜 (22)の厚さとを互いに関連させて求める第 14ステップと、

前記単結晶 (14)内の酸素の密度分布と前記空孔の密度分布と温度分布に基づいて酸素析出核の単位時間当りの発生量と前記臨界半径とを求める第 15ステップと、前記酸素析出核の単位時間当りの発生量がゼロを越えたときに前記ボイド (21)の半径及び前記内壁酸化膜 (22)の厚さを求める計算を停止しかつ前記酸素析出核の半径を求める第 16ステップと、

第 8ステップから第 16ステップを前記単結晶 (14)の冷却が完了するまで繰返す第 1 7ステップと

を含むコンピュータを用いて単結晶内酸素析出核の密度分布及びサイズ分布のシミュレーシヨンを行う方法。