KR100411553B1 - 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상 및 단결정의점결함 분포의 시뮬레이션 방법 - Google Patents

단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상 및 단결정의점결함 분포의 시뮬레이션 방법 Download PDF

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Abstract

제1 단계에서는 단결정(14) 인상기(引上機) (11)의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하고, 제2 단계에서는 고온 대역의 각 부재에 통합된 메쉬에 대한 각 부재의 물성치를 컴퓨터에 입력한다. 이어서, 제3 단계에서는 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 기초하여 구하고, 제4 단계에서는 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후, 대류를 고려하여 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구한다. 그 다음, 제5 단계에서는 단결정(14)과 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 단결정 (14)의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 따라 구한다. 또한, 제6 단계에서는 상기 제3 단계 내지 제5 단계를 삼중점(S)이 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복한다. 본 발명의 목적은 서로 잘 일치하는 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 계산 결과 및 실제 측정 결과를 얻는 것이다.

Description

단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상 및 단결정의 점결함 분포의 시뮬레이션 방법 {Method for Simulating the Shape of the Solid-Liquid Interface Between a Single Crystal and a Molten Liquid, and the Distribution of Point Defects of the Single Crystal}
본 발명은 쵸크랄스키(Czochralski, 이하, CZ라고 부름)법으로 인상(引上)되는 규소 등의 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상, 및 단결정 내의 점결함 분포를 컴퓨터 시뮬레이션하는 방법에 관한 것이다.
이러한 종류의 시뮬레이션 방법으로서, 도 7에 도시한 바와 같이, 총합 전열 시뮬레이터를 이용한 CZ법에 의한 규소 단결정(4) 인상시의 인상기(1) 내의 고온 대역 구조 및 그 규소 단결정(4)의 인상 속도에 기초하여, 규소 용융액(2)의 열전도율을 조작함으로써 규소 용융액(2)의 내부 온도 분포를 예측하고, 이 내부 온도 분포로부터 규소 단결정(4)과 규소 용융액(2) 사이의 고체-액체 계면 형상을 컴퓨터를 이용하여 구하는 통상적인 방법이 알려져 있다.
또한 상기 규소 용융액(2)의 내부 온도 분포로부터 규소 단결정(4) 메쉬의 좌표 및 온도를 구한 후에, 규소 단결정(4) 내의 격자간 규소 및 공공(空孔)의 확산 계수 및 경계 조건에 기초하여 확산 방정식을 풀어 상기 격자간 규소 원자 및 공공의 농도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구하는 방법도 알려져 있다.
이러한 시뮬레이션 방법에서는 고온 대역의 각 부재가 메쉬 분할되어 메쉬 구조로 모델화된다. 특히 규소 용융액(2)의 메쉬는 계산 시간을 짧게 하기 위해서 약 1O mm로 비교적 거칠게 설정된다.
그러나, 상기 종래의 시뮬레이션 방법에서는, 실제 인상기에서 발생하는 규소 용융액의 대류를 고려하지 않고, 또한 규소 용융액의 메쉬가 비교적 거칠어, 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 결과가 실측치와 크게 차이가 나고, 격자간 규소 및 공공의 농도 분포의 시뮬레이션 결과(도 6(b))가 실측치(도 6(e))와 크게 차이가 나는 문제점이 있었다.
본 발명의 목적은 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 계산치가 실측치와 매우 양호하게 일치하는, 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법을 제공하는 것이다.
본 발명의 다른 목적은 단결정 내의 점결함 분포의 계산치가 실측치와 매우 양호하게 일치하는 단결정의 점결함 분포의 시뮬레이션 방법을 제공하는 것이다.
도 1은 본 발명 제1 실시 형태에 따른 규소 단결정과 규소 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법을 도시하는 흐름도.
도 2는 본 발명의 제1 및 제2 실시 형태에 따른 규소 용융액을 메쉬 구조로 모델화한 규소 단결정 인상기(引上機)의 주요부 단면도.
도 3은 본 발명의 제2 실시 형태에 따른 규소 단결정과 규소 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법의 전반부를 도시하는 흐름도.
도 4는 본 발명의 제2 실시 형태에 따른 규소 단결정과 규소 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법의 후반부를 도시하는 흐름도.
도 5는 실시예 1, 비교예 1 및 실측한 결과에 따른 규소 단결정과 규소 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상을 도시하는 주요부 정면도.
도 6은 실시예 2, 비교예 2 (종래예), 비교예 3, 비교예 4 및 실측한 결과에 따른, 규소 단결정 내의 격자간 규소 및 공공(空孔)의 분포를 도시하는 종단면도.
도 7은 종래예와 비교예 1 및 2에 따라 규소 용융액을 메쉬 구조로 모델화한규소 단결정 인상기의 주요부 단면도.
<도면의 주요 부분에 대한 부호의 설명>
11 규소 단결정의 인상기
12 규소 용융액
14 규소 단결정
S 규소의 삼중점
본 발명의 제1 측면은 도 1 및 도 2에 도시한 바와 같이,
계산하려는 단결정(14)의 인상기(11)의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계,
고온 대역의 각 부재의 메쉬를 통합하고, 이 통합된 메쉬에 대한 각 부재의 물성치를 컴퓨터에 입력하는 제2 단계,
각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 기초하여 구하는 제3 단계,
각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 열전도 방정식을 풀어 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후, 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 나비어-스토크스(Nabier-stokes) 방정식을 연립하여 풀어, 대류를 고려한 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계,
단결정(14)과 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 단결정(14)의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 따라 구하는 제5 단계,
제3 단계 내지 제5 단계를 삼중점 (S)이 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하는 제6 단계
를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정 및 용융액의 고체-액체 계면 형상을 시뮬레이션하는 방법을 제공하고, 여기서 용융액(12)의 메쉬 중 용융액(12)의 단결정(14) 바로 아래쪽의 단결정(14) 직경 방향의 메쉬의 일부 또는 전부를 0.01 내지 5.00 mm로 설정하고, 용융액(12)의 메쉬 중 단결정(14)의 길이 방향인 용융액(12)의 메쉬의 일부 또는 전부를 0.01 내지 5.00 mm로 설정하는 것을 특징으로 한다.
본 발명의 제1 측면에 따른 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법에서는 용융액(12)의 대류를 고려하고 있고, 용융액(12)의 메쉬를비교적 미세하게 설정하고 있기 때문에, 계산에 의해 얻어진 단결정(14)과 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상은 실측치와 매우 양호하게 일치한다.
또한 제2 단계에 있어서 각 부재에 주어지는 물성치는 각 부재의 열전도율, 복사율, 점성율, 체적 팽창 계수, 밀도 및 비열인 것이 바람직하다.
또한 난류 모델식이 하기 수학식 1로 표시되는 kl-모델식이고, 이 모델식의 난류 파라미터 C로서 0.4 내지 0.6 범위 내의 임의의 값을 사용하는 것이 바람직하다.
식 중,
κt는 용융액의 난류 열전도율이고,
c은 용융액의 비열이고,
Prt는 프란틀 수(Prandtl number)이고,
ρ는 용융액의 밀도이고,
d는 용융액을 저장하는 도가니 벽으로부터의 거리이고,
k는 용융액의 평균 유속에 대한 변동 성분의 제곱합이다.
본 발명의 제2 측면은 도 2 내지 도 4에 도시한 바와 같이,
단결정(14)을 인상기(11)에 의해 소정 길이까지 인상한 상태에서 단결정(14)의 인상기(11) 내의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계,
고온 대역의 각 부재의 메쉬를 통합하고, 이 통합된 메쉬에 대한 각 부재의 물성치, 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 상응하는 단결정(14)의 인상 속도를 컴퓨터에 입력하는 제2 단계,
각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 기초하여 구하는 제3 단계,
각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 열전도 방정식을 풀어 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후, 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 나비어-스토크스 방정식을 연립하여 풀어, 대류를 고려한 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계,
단결정(14)과 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 단결정의 삼중점(S)를 포함하는 등온선에 따라 구하는 제5 단계,
제3 단계 내지 제5 단계를 삼중점(S)이 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하여 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하고, 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하여 각각의 데이터를 컴퓨터에 입력하는 제6 단계,
단결정(14)의 인상 길이를 단계적으로 바꿔 제1 단계 내지 제6 단계를 반복하여 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하고, 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하여 각각의 데이터를 컴퓨터에 입력하는 제7 단계,
단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터와 단결정(14) 내의 공공 및 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건을 컴퓨터에 입력하는 제8 단계, 및
단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도와 공공 및 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건에 기초하여 확산 방정식을 풀어 단결정(14)의 냉각 후의 공공 및 격자간 원자의 농도 분포를 구하는 제9 단계를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정의 점결함 분포를 시뮬레이션하는 방법을 제공한다.
본 발명의 제2 측면에 따른 단결정의 점결함 분포의 시뮬레이션 방법에서는 용융액(12)의 대류를 고려하여 단결정(14)의 내부 온도 분포를 구하고, 이 단결정(14)의 내부 온도 분포에 기초하고 또한 단결정(14) 내의 점결함의 확산을 고려하여 단결정(14) 내의 점결함 분포를 구하기 때문에, 단결정(14) 내의 점결함 분포의 계산치는 실측치와 매우 양호하게 일치한다.
이어서, 본 발명의 제1 실시 형태를 도면을 참고로 설명한다.
도 2에 도시한 바와 같이, 규소 단결정 인상기(11)의 챔버 안에는 규소 용융액(12)을 저장하는 석영 도가니(13)가 설치된다. 이 도가니(13)는 흑연 서셉터(susceptor) 및 지지축을 통해 도가니 구동 수단에 접속되고(도시되지 않음), 도가니 구동 수단은 석영 도가니(13)를 회전시켜 승강시키도록 구성된다. 또한 석영 도가니(13)의 외주면은 석영 도가니(13)로부터 소정의 간격으로 히터(도시하지 않음)에 의해 포위되고, 이 히터는 보온통(도시되지 않음)에 의해 포위된다. 히터는 석영 도가니(13)에 투입된 고순도의 규소 다결정체를 가열 및 용융하여 규소 용융액(12)을 제조한다. 또한 챔버의 상단에는, 도시되어 있지 않지만 원통형의 케이싱(casing)이 접속되고, 이 케이싱에는 인상 수단이 설치된다. 인상 수단은 규소 단결정(14)을 회전시키면서 인상하도록 구성된다.
이와 같이 구성된 규소 단결정 인상기(11)에서 규소 단결정(14)과 규소 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법을 도 1 및 도 2를 참고로 설명한다.
우선 제1 단계로 규소 단결정 인상기(11)의 고온 대역의 각 부재, 즉 챔버, 석영 도가니(13), 규소 용융액(12), 규소 단결정(14), 흑연 서셉터, 보온통 등을 메쉬 분할하여 모델화한다. 구체적으로는 상기 고온 대역의 각 부재의 메쉬점의 좌표 데이터를 컴퓨터에 입력한다. 이 때 규소 용융액(12)의 메쉬 중 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14) 바로 아래쪽의 규소 단결정(14) 직경 방향의 메쉬(이하, 직경 방향 메쉬라고 부름)의 일부 또는 전부를 0.01 내지 5.00 mm, 바람직하게는 0.25 내지 1.00 mm로 설정한다. 또한 규소 용융액(12)의 메쉬 중 규소 단결정(14)의 길이 방향인 규소 용융액(12)의 메쉬 (이하, 길이 방향 메쉬라고 부름)의 일부 또는 전부를 0.01 내지 5.00 mm, 바람직하게는 0.1 내지 0.5 mm로 설정한다.
직경 방향 메쉬를 0.01 내지 5.00 mm의 범위로 한정한 것은, 0.01 mm 미만이면 계산 시간이 매우 길어지고, 5.00 mm를 초과하면 계산이 불안정하게 되어, 반복하여 계산을 하여도 고체-액체 계면 형상이 일정하게 정해지지 않게 되기 때문이다. 또한 길이 방향 메쉬를 0.01 내지 5.00 mm의 범위로 한정한 것은, 0.01 mm 미만이면 계산 시간이 매우 길어지고, 5.00 mm를 초과하면 고체-액체 계면 형상의 계산치가 실측치와 일치하지 않게 되기 때문이다. 또한, 직경 방향 메쉬의 일부를 0.01 내지 5.00의 범위로 한정하는 경우에는, 규소 단결정(14)의 바로 아래쪽의 규소 용융액(12) 중 규소 단결정(14) 외주 근방의 규소 용융액(12)을 상기 범위로 한정하는 것이 바람직하고, 길이 방향 메쉬의 일부를 0.01 내지 5.00의 범위로 한정하는 경우에는, 규소 용융액(12)의 표면 근방 및 바닥 근방을 상기 범위로 한정하는 것이 바람직하다.
이어서, 제2 단계로서 상기 고온 대역의 각 부재의 메쉬를 통합하고, 이 통합된 메쉬에 대한 각 부재의 물성치를 컴퓨터에 입력한다. 예를 들면, 챔버가 스테인레스강으로 형성된 경우에는, 그 스테인레스강의 열전도율, 복사율, 점성율, 체적 팽창 계수, 밀도 및 비열을 컴퓨터에 입력한다. 또한 후술하는 난류 모델식(수학식 1)의 난류 파라미터 C를 컴퓨터에 입력한다.
제3 단계로서, 고온 대역의 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 기초하여 컴퓨터를 이용하여 구한다. 즉, 히터의 발열량을 임의로 설정하여 컴퓨터에 입력하고, 각 부재의 복사율로부터 각 부재의 표면 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한다. 이어서, 제4 단계로서 고온 대역의 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 열전도 방정식(수학식 2)을 컴퓨터를 이용하여 풀어 각 부재의 내부 온도 분포를 구한다. 여기서는, 기술을 간단히 하기 위해서 xyz 직교 좌표계를 이용하였지만, 실제 계산에서는 원통 좌표계를 이용한다.
식 중,
Q는 각 부재의 밀도이고,
c는 각 부재의 비열이고,
T은 각 부재의 각 메쉬점에서의 절대 온도이고,
t는 시간이고,
λx, λy및 λz는 각각, 각 부재의 열전도율의 x, y 및 z 방향 성분이고,
q는 히터의 발열량이다.
한편, 규소 용융액(12)에 관해서는, 상기 열전도 방정식(수학식 2)으로 규소 용융액(12)의 내부 온도 분포를 구한 후에, 이 규소 용융액(12)의 내부 온도 분포에 기초하고, 규소 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식(수학식 1) 및 나비어-스토크스 방정식(수학식 3 내지 5)을 연립하여, 규소 용융액(12)의 내부 유속 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한다.
<수학식 1>
식 중,
κt는 규소 용융액(12)의 난류 열전도율이고,
c은 규소 용융액(12)의 비열이고,
Prt는 프란틀 수이고,
ρ는 규소 용융액(12)의 밀도이고,
C는 난류 파라미터이고,
d는 규소 용융액(12)을 저장하는 석영 도가니(13) 벽으로부터의 거리이고,
k는 규소 용융액(12)의 평균 유속에 대한 변동 성분의 제곱합이다.
식 중,
u, v 및 w는 각각 규소 용융액(12)의 각 메쉬점에서의 유속의 x, y 및 z 방향 성분이고,
ν1은 규소 용융액(12)의 분자 동점성 계수(molecular kinematic viscosity) (물성치)이고,
νt는 규소 용융액(12)의 난류의 효과에 의한 분자 동점성 계수이고,
Fx, Fy및 Fz는 각각 규소 용융액(12)에 작용하는 체적력의 x, y 및 z 방향 성분이다.
상기 난류 모델식(수학식 1)은 kl(케이엘)-모델식이라고 부르며, 이 모델식의 난류 파라미터 C는 0.4 내지 0.6 범위 내의 임의의 값을 이용하는 것이 바람직하다. 난류 파라미터 C를 0.4 내지 0.6의 범위로 한정한 것은 0.4 미만 또는 0.6 초과시에는 계산으로 구한 계면 형상이 실측치와 일치하지 않는 문제가 있기 때문이다. 또한 상기 나비어-스토크스 방정식(수학식 3 내지 5)은 규소 용융액(12)이 비압축성이고 점도가 일정한 유체라고 가정하였을 때의 운동 방정식이다.
상기에서 구한 규소 용융액(12)의 내부 유속 분포에 기초하여 열에너지 방정식(수학식 6)을 풀어, 규소 용융액(12)의 대류를 고려한 규소 용융액(12)의 내부 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한다.
식 중,
u, v 및 W는 각각 규소 용융액(12)의 각 메쉬점에서의 유속의 x, y 및 z 방향 성분이고,
T는 규소 용융액(12)의 각 메쉬점에서의 절대 온도이고,
ρ는 규소 용융액(12)의 밀도이고,
c는 규소 용융액(12)의 비열이고,
κ1은 분자 열전도율(물성치)이고,
κt는 상기 수학식 1을 이용하여 계산되는 난류 열전도율이다.
이어서, 제5 단계로서, 규소 단결정(14)과 규소 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 도 2의 점 S로 도시하는 규소의 삼중점(S)(고체와 액체와 기체의 삼중점(tri-junction))을 포함하는 등온선에 따라 컴퓨터를 이용하여 구한다. 또한 컴퓨터에 입력하는 히터의 발열량을 변경하여 (점차로 증대시켜), 상기 제3 단계 내지 제5 단계를 삼중점이 규소 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복한다. 이와 같이 하여 얻어진 규소 단결정(14)과 규소 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상은 실측치와 거의 일치한다. 이 결과, 본 발명에서 구한 고체-액체 계면 형상은 규소 단결정(14) 인상시의 점결함의 확산을 고려한 결정내 점결합 분포를 예측하는 계산의 기초로 사용될 수 있다.
도 2 내지 도 4는 본 발명의 제2 실시 형태를 도시한다.
이 실시 형태에서는 상기 제1 실시 형태와 같이, 도 2에 도시하는 용융액(2)의 인상기(11)가 이용된다.
이 규소 단결정 인상기(11)에 있어서의 규소 단결정(14)내 점결함 분포의 시뮬레이션 방법을 도 2 내지 도 4에 기초하여 설명한다.
우선 제1 단계로서, 규소 단결정(14)을 소정 길이 Ll(예를 들면 100 mm)까지 인상한 상태에서 규소 단결정 인상기(11)의 고온 대역의 각 부재, 즉 챔버, 석영 도가니(13), 규소 용융액(12), 규소 단결정(14), 흑연 서셉터, 보온통 등을 메쉬 분할하여 각 부재를 메쉬 구조로 모델화한다. 구체적으로는 제1 실시 형태와 같이, 상기 고온 대역의 각 부재의 메쉬점의 좌표 데이터를 컴퓨터에 입력한다. 이 때 규소 용융액(12)의 직경 방향 메쉬 및 길이 방향 메쉬는 제1 실시 형태와 동일하게 설정된다.
제2 단계로서 상기 고온 대역의 각 부재의 메쉬를 통합하고, 이 통합된 메쉬에 대한 각 부재의 물성치를 컴퓨터에 입력한다. 예를 들면, 챔버가 스테인레스강으로 형성되어 있으면, 그 스테인레스강의 열전도율, 복사율, 점성율, 체적 팽창 계수, 밀도 및 비열이 컴퓨터에 입력된다. 또한 규소 단결정(14)의 인상 길이, 이 인상 길이에 상응하는 규소 단결정(14)의 인상 속도, 및 제1 실시 형태에서 기재한 난류 모델식(1)의 난류 파라미터 C를 컴퓨터에 입력한다.
제3 단계로서, 제1 실시 형태의 제3 단계와 같이, 고온 대역의 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 기초하여 컴퓨터를 이용하여 구하고, 제4 단계로서, 제1 실시 형태의 제4 단계와 같이, 고온 대역의 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 열전도 방정식(2)을 컴퓨터를 이용하여 풀어 각 부재의 내부 온도 분포를 구한다.
<수학식 2>
한편, 규소 용융액(12)에 관해서는, 제1 실시 형태와 같이, 상기 열전도 방정식(수학식 2)으로 규소 용융액(12)의 내부 온도 분포를 구한 후에, 이 규소 용융액(12)의 내부 온도 분포에 기초하고, 규소 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식(수학식 1) 및 나비어-스토크스 방정식(수학식 3 내지 5)을 연립하여 풀어, 규소 용융액(12)의 내부 유속 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한다.
<수학식 1>
<수학식 3>
<수학식 4>
<수학식 5>
상기에서 구한 규소 용융액(12)의 내부 유속 분포에 기초하여 열에너지 방정식(수학식 6)을 풀어, 규소 용융액(12)의 대류를 고려한 규소 용융액(12)의 내부 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 다시 구한다.
<수학식 6>
이어서, 제5 단계로서, 제1 실시 형태의 제5 단계와 같이, 규소 단결정(14)과 규소 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 도 2의 점 S로 도시하는 규소의 삼중점(S)(고체와 액체와 기체의 삼중점(tri-junction))을 포함하는 등온선에 따라컴퓨터를 이용하여 구한다. 제6 단계로서, 컴퓨터에 입력하는 히터의 발열량을 변경, 즉, 피크의 발열량이 점차로 증대시키고, 상기 제3 단계 내지 제5 단계를 삼중점이 규소 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복한 후, 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 규소 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고, 이들 데이터를 컴퓨터에 기억시킨다.
이어서 제7 단계로서, 규소 단결정(14)의 인상 길이 L1에 δ(예를 들면 50 mm)를 더하여 상기 제1 단계 내지 제6 단계를 반복한 후에, 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하고 규소 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고, 이것들의 데이터를 컴퓨터에 기억시킨다. 이 제7 단계는 규소 단결정(14)의 인상 길이 L1이 길이 L2(L2L1)에 도달할 때까지 행한다. 규소 단결정(14)의 인상 길이 L1이 길이 L2에 달하면, 제8 단계로 이행하여, 규소 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터를 규소 단결정(14) 내의 격자간 규소 및 공공의 확산계수 및 경계 조건과 함께 컴퓨터에 입력한다. 또한 이러한 격자간 규소 및 공공의 확산 계수 및 경계 조건에 기초하여 확산 방정식을 풀어 규소 단결정(14)의 냉각 후의 격자간 규소 및 공공의 농도 분포를 구한다.
구체적으로는, 격자간 규소의 농도 Ci의 계산식은 하기 수학식 7로 표시되고, 공공의 농도 Cv의 계산식은 하기 수학식 8로 표시된다. 수학식 7 및 8에 있어서, 농도 Ci및 농도 Cv가 시간에 따라 변화하는 상황을 계산하기 위해서, 격자간규소와 공공의 열평형이 결정의 측면, 상면 및 고체-액체 계면에서는 유지되는 것으로 가정한다.
식 중,
K1및 K2은 상수이고,
Ei및 Ev는 각각 격자간 규소 및 공공의 형성 에너지이고,
윗첨자 e는 평형량이고,
k은 볼쯔만 상수이고,
T는 절대 온도를 의미한다.
상기 평형식은 시간으로 미분되어, 격자간 규소 및 공공에 대하여 각각 하기 수학식 9 및 10이 된다.
식 중, 수학식 9 및 10의 우측의 제1항의 Di및 Dv는 하기 수학식 11 및 12로 도시한 바와 같이 확산 계수를 갖는 피키안(Fickian) 확산을 나타내고,
또한 수학식 9 및 10의 우측의 제2항의는 각각 열 확산에 의한 격자간 규소 및 공공의 활성화 에너지이고,
수학식 9 및 10의 우측의 제3항의 kiv는 격자간 규소 및 공공쌍의 재결합 상수이다.
식 중,
ΔEi및 ΔEv는 각각 격자간 규소 및 공공의 활성화 에너지이고,
di및 dv는 각각 상수이다.
이와 같이 계산하여 얻어진 규소 단결정(14)의 점결함 분포는 실측치와 거의일치한다. 이 결과, 인상기(11)의 설계 단계에서 이 인상기(11)로 인상되는 규소 단결정(14) 내의 점결함 분포를 예측할 수 있고, 반대로 인상되는 규소 단결정(14) 내의 점결함을 원하는 분포로 하기 위해서, 인상기(11)의 설계 단계에서 구조를 검토할 수 있다.
상기 제1 및 제2 실시 형태에서는 규소 단결정을 사용하였으나, GaAs 단결정, InP 단결정, ZnS 단결정 또는 ZnSe 단결정도 사용할 수 있다.
다음에 본 발명의 실시예를 비교예와 함께 자세히 설명한다.
<실시예1>
도 2에 도시한 바와 같이, 석영 도가니(13)에 저장된 규소 용융액(12)으로부터 직경 15.24 cm(6 인치)의 규소 단결정(14)을 인상하는 경우, 규소 단결정(14)과 규소 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을, 도 1의 흐름도에 기초하는 시뮬레이션 방법으로 구하였다. 즉, 규소 단결정 인상기(11)의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하였다. 여기에서, 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14)의 바로 아래쪽의 규소 단결정(14) 직경 방향의 메쉬를 0.75 mm로 설정하고, 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14)의 바로 아래쪽 이외의 규소 단결정(14) 직경 방향의 메쉬를 1 내지 5 mm로 설정하였다. 또한 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14)의 길이 방향의 메쉬를 0.25 내지 5 mm로 설정하였다. 또한 난류 모델식의 난류 파라미터 C로서 0.45를 이용하였다.
<비교예 1>
도 7에 도시한 바와 같이, 석영 도가니(3)에 저장된 규소 용융액(2)으로부터직경 15.24 cm(6 인치)의 규소 단결정(4)을 인상하는 경우에서 규소 단결정(4)과 규소 용융액(2) 사이의 고체-액체 계면 형상을 종래의 시뮬레이션 방법으로 구하였다. 즉, 규소 단결정 인상기 (1)의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하였다. 여기에서, 규소 용융액(2)의 규소 단결정(4)의 직경 방향의 메쉬를 10 mm로 설정하고, 규소 용융액(2)의 규소 단결정(4)의 길이 방향의 메쉬를 10 mm로 설정하였다. 또한 규소 용융액(2)의 대류를 고려하지 않았다(난류 모델식 및 나비어-스토크스 방정식을 연결한 식은 이용하지 않음). 상기 이외는 실시예 1과 마찬가지로 컴퓨터를 이용하여 시뮬레이션하였다.
<비교시험 1 및 평가>
실시예 1 및 비교예 1의 시뮬레이션 방법에 의해 규소 단결정과 규소 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상을 구하였다. 그 결과를 도 5에 도시한다.
도 5로부터 분명한 바와 같이, 비교예 1의 시뮬레이션 방법에서 얻어진 고체-액체 계면 형상(일점쇄선으로 도시)은 실측치(실선으로 도시)와 대폭 차이가 있는 것에 비해, 실시예 1의 시뮬레이션 방법에서 얻어진 고체-액체 계면 형상(점선으로 도시)는 실측치와 거의 일치하고 있음을 알았다.
<실시예 2>
도 2에 도시한 바와 같이, 석영 도가니(13)에 저장된 규소 용융액(12)으로부터 직경 15.24 cm(6 인치)의 규소 단결정(14)을 인상하는 경우에서 규소 단결정(14)내의 점결함 분포를 도 3 및 도 4의 흐름도에 기초하는 시뮬레이션 방법으로 구하였다.
즉, 규소 단결정 인상기(11)의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하였다. 여기에서, 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14)의 바로 아래쪽의 규소 단결정(14) 직경 방향의 메쉬를 0.75 mm로 설정하고, 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14)의 바로 아래쪽 이외의 규소 단결정(14) 직경 방향의 메쉬를 1 내지 5 mm로 설정하였다. 또한 규소 용융액(12)의 규소 단결정(14)의 길이 방향의 메쉬를 0.25 내지 5 mm로 설정하고, 난류 모델식의 난류 파라미터 C로서 0.45를 이용하였다. 이러한 조건하에, 규소 용융액(12)의 대류를 고려하여 규소 단결정(14)의 내부 온도 분포를 구하고, 이 규소 단결정(14)의 내부 온도 분포를 기초로, 규소 단결정(14) 내의 점결함의 확산을 고려하여 규소 단결정(14) 내의 점결함 분포를 구하였다.
<비교예 2>
도 7에 도시한 바와 같이, 석영 도가니(3)에 저장된 규소 용융액(2)으로부터 직경 15.24 cm(6 인치)의 규소 단결정(4)을 인상하는 경우, 규소 단결정(4)내의 점결함 분포를 종래의 시뮬레이션 방법에 의해 구하였다. 즉, 규소 단결정 인상기(1)의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하였다. 여기에서, 규소 용융액(2)의 규소 단결정(4)의 직경 방향의 메쉬를 10 mm로 설정하고, 규소 용융액(2)의 규소 단결정(4)의 길이 방향의 메쉬를 10 mm로 설정하였다. 또한 규소 용융액(2)의 대류를 고려하지 않았다(난류 모델식 및 나비어-스토크스 방정식을 연립한 식은 이용하지 않음). 상기 이외는 실시예 1과 마찬가지로 컴퓨터를 이용하여 시뮬레이션을 행하였다.
<비교예 3>
규소 용융액의 대류를 고려하지만, 규소 단결정 내의 점결함의 확산을 고려하지 않은 것을 제외하고, 실시예 1과 마찬가지로 하여 컴퓨터를 이용하여 시뮬레이션을 행하였다.
<비교예 4>
규소 용융액의 대류 및 규소 단결정 내의 점결함의 확산 중 어느 것도 고려하지 않은 것을 제외하고, 실시예 1과 마찬가지로 하여 컴퓨터를 이용하고 시뮬레이션을 행하였다.
<비교시험 2 및 평가>
실시예 2 및 비교예 2 내지 4의 시뮬레이션 방법에 의해 규소 단결정의 점결함 분포를 구하였다. 그 결과를 도 6(a) 내지 6(d)에 규소 단결정의 점결함 분포의 실측치(도 6(e))와 함께 도시한다.
도 6으로부터 분명한 바와 같이, 비교예 1 내지 3의 시뮬레이션 방법에서 얻어진 규소 단결정의 점결함 분포(도 6(b) 내지 (d))는 실측치(도 6(e))와 크게 차이가 있는 데 비해, 실시예 1의 시뮬레이션 방법에서 얻어진 규소 단결정의 점결함 분포(도 6(a))는 실측치와 거의 일치하고 있다.
상술한 바와 같이, 본 발명에 따르면, 메쉬 구조로 모델화한 고온 대역의 각 부재에 통합된 메쉬에 대한 각 부재의 물성치를 컴퓨터에 입력하고, 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각부재의 복사율에 기초하여 구하고, 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후에 대류를 고려한 용융액의 내부 온도 분포를 다시 구하고, 단결정 및 용융액의 고체-액체 계면 형상을 단결정의 삼중점을 포함하는 등온선에 따라 요구하여, 상기 단계를 삼중점이 단결정의 융점이 될 때까지 반복함과 동시에, 용융액의 메쉬를 소정의 범위로 한정하였기 때문에, 계산에 의해 얻어진 단결정 및 용융액의 고체-액체 계면 형상은 실측치와 매우 양호하게 일치한다. 이 결과, 본 발명의 시뮬레이션 방법에서 구해진 고체-액체 계면 형상은 규소 단결정의 인상시의 점결함의 확산을 고려한 결정내 분포를 예측하는 계산의 기초로 사용될 수 있다.
또한 용융액의 대류를 고려한 단결정의 내부 온도 분포를 구하여, 이 단결정의 내부 온도 분포에 기초하고 단결정 내의 점결함의 확산을 고려하여 단결정 내의 점결함 분포를 구하면, 단결정 내의 점결함 분포의 계산치가 실측치와 매우 양호하게 일치한다. 이 결과, 단결정 인상기의 설계 단계에서 이 인상기로 인상되는 단결정 내의 점결함 분포를 예측할 수 있고, 반대로 인상되는 단결정 내의 점결함을 원하는 분포로 하기 위해서 인상기의 설계 단계에서 구조를 검토할 수 있다.

Claims (4)

  1. 계산하려는 단결정(14)의 인상기(引上機)(11) 중의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계,
    상기 고온 대역의 각 부재의 메쉬를 통합하고, 이 통합된 메쉬에 대한 상기 각 부재의 물성치를 컴퓨터에 입력하는 제2 단계,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 상기 각 부재의 복사율에 기초하여 구하는 제3 단계,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 열전도 방정식을 풀어 상기 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후, 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 나비어-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)을 연립하여 풀어, 대류를 고려한 상기 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계,
    상기 단결정(14)과 상기 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 상기 단결정의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 따라 구하는 제5 단계,
    상기 제3 단계 내지 상기 제5 단계를 상기 삼중점(S)이 상기 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하는 제6 단계
    를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상을 시뮬레이션하는 방법에 있어서,
    상기 용융액(12)의 메쉬 중 상기 용융액(12)의 상기 단결정(14) 바로 아래쪽의 상기 단결정(14) 직경 방향의 메쉬의 일부 또는 전부를 0.01 내지 5.OO mm로 설정하고, 상기 용융액(12)의 메쉬 중 상기 단결정(14)의 길이 방향인 상기 용융액(12)의 메쉬의 일부 또는 전부를 0.01 내지 5.00 mm로 설정하는 것을 특징으로 하는 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법.
  2. 제1항에 있어서, 제2 단계에서의 각 부재에 주어지는 물성치가 상기 각 부재의 열전도율, 복사율, 점성율, 체적 팽창 계수, 밀도 및 비열인 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법.
  3. 제1항 또는 제2항에 있어서, 난류 모델식이 하기 수학식 1로 표시되는 kl-모델식이고, 상기 모델식의 난류 파라미터 C로서 0.4 내지 0.6 범위내의 임의의 값을 사용하는 단결정과 용융액 사이의 고체-액체 계면 형상의 시뮬레이션 방법.
    <수학식 1>
    식 중,
    κt는 용융액의 난류 열전도율이고,
    c는 용융액의 비열이고,
    Prt는 프란틀 수(Prandtl number)이고,
    ρ는 용융액의 밀도이고,
    d는 용융액을 저장하는 도가니 벽으로부터의 거리이고,
    k는 용융액의 평균 유속에 대한 변동 성분의 제곱합이다.
  4. 단결정(14)을 인상기(11)에 의해 소정 길이까지 인상한 상태에서 상기 단결정(14)의 인상기(11) 내의 고온 대역을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계,
    상기 고온 대역의 각 부재의 메쉬를 통합하고, 이 통합된 메쉬에 대한 상기 각 부재의 물성치, 상기 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 상응하는 상기 단결정(14)의 인상 속도를 컴퓨터에 입력하는 제2 단계,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 상기 각 부재의 복사율에 기초하여 구하는 제3 단계,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 기초하여 열전도 방정식을 풀어 상기 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후, 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 나비어-스토크 방정식을 연립하여 풀어, 대류를 고려한 상기 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계,
    상기 단결정(14)과 상기 용융액(12) 사이의 고체-액체 계면 형상을 상기 단결정의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 따라 구하는 제5 단계,
    상기 제3 단계 내지 상기 제5 단계를 상기 삼중점(S)이 상기 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하여 상기 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하고, 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하여 각각의 데이터를 상기 컴퓨터에 입력하는 제6 단계,
    상기 단결정(14)의 인상 길이를 단계적으로 바꿔 상기 제1 단계 내지 상기 제6 단계를 반복하여 상기 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하고, 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하여 각각의 데이터를 상기 컴퓨터에 입력하는 제7 단계,
    상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터와 상기 단결정(14) 내의 공공(空孔) 및 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건을 상기 컴퓨터에 입력하는 제8 단계, 및
    상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도와 상기 공공 및 상기 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건에 기초하여 하기 수학식 9 및 10의 확산 방정식을 풀어 상기 단결정 (14)의 냉각 후의 상기 공공 및 상기 격자간 원자의 농도 분포를 구하는 제9단계
    를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정의 점결함 분포를 시뮬레이션하는 방법.
    <수학식 9>
    <수학식 10>
    식 중,
    Ci는 격자간 규소의 농도이고,
    Cv는 공공의 농도이고,
    Di는 격자간 규소의 확산 계수를 갖는 피키안 (Fickian) 확산이고,
    Dv는 공공의 확산 계수를 갖는 피키안 확산이고,
    Ei는 격자간 규소의 형성 에너지이고,
    Ev는 공공의 형성 에너지이고,
    k는 볼쯔만 상수이고,
    T는 절대 온도를 의미한다.
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