KR100719207B1 - 단결정 내 보이드 결함과 단결정 내 산소 석출핵의 밀도분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법 - Google Patents

단결정 내 보이드 결함과 단결정 내 산소 석출핵의 밀도분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법 Download PDF

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Abstract

단결정 내의 보이드 및 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측한다. 제1∼제7 단계에서 용융액(12)의 대류를 고려하여 용융액으로부터 성장하는 단결정(14) 내의 온도 분포를, 단결정의 인상 시부터 냉각 완료시까지의 컴퓨터를 이용하여 구한다. 제8∼제15 단계에서, 용융액으로부터 절리된 단결정의 냉각 과정, 즉 단결정이 용융액으로부터 절리된 후의 단결정의 인상 속도를 고려하여 단결정의 서냉 및 급냉의 효과를 결과에 반영하고, 보이드의 밀도를 컴퓨터를 이용하여 구한 후에, 보이드의 반경과, 이들의 보이드의 주위에 성장하는 내벽 산화막의 두께를 서로 관련시켜 컴퓨터를 이용하여 구한다.

Description

단결정 내 보이드 결함과 단결정 내 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법{METHOD OF SIMULATION WITH RESPECT TO DENSITY DISTRIBUTION AND SIZE DISTRIBUTION OF VOID DEFECT WITHIN SINGLE CRYSTAL AND OXYGEN PRECIPITATION NUCLEUS WITHIN SINGLE CRYSTAL}
본 발명은 쵸크랄스키(이하, CZ라고 함)법으로 인상되는 실리콘 등의 단결정 내의 글로우 인 결함이나 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 컴퓨터 시뮬레이션하는 방법에 관한 것이다. 여기서 말하는 글로우 인 결함이란, 보이드와 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함으로서, 예컨대 웨이퍼 표면에 관찰되는 결정 기인의 파티클(Crystal Originated Particle, 이하, COP라고 함)이나, 결정 내부에 관찰되는 LSTD(Laser Scattering Tomograph Defects)에 대응한다. 또한 산소 석출핵이란 단결정 내의 에어 홀과 산소를 소비하여 형성된 산소 석출핵으로서, 이것을 저온(700~800℃)의 열처리로 안정화하고 다시 고온(1000~1100℃)의 열처리로 성장시키면, 광학 현미경 등으로 BMD(Bulk Micro-Defect)로서 관찰된다.
종래, 이 종류의 시뮬레이션 방법으로서, 도 11에 도시하는 바와 같이 종합 열전도 시뮬레이터를 이용하여 CZ법에 의한 실리콘 단결정(4) 인상 시의 인상기(1) 내의 핫존 구조 및 그 실리콘 단결정(4)의 인상 속도에 의거하여, 실리콘 용융액 (2)의 열전도율을 조작함으로써 실리콘 용융액(2)의 내부 온도 분포를 예측하고, 이 내부 온도 분포로부터 실리콘 단결정(4)의 메쉬의 좌표 및 온도를 각각 구하며, 다시 실리콘 단결정(4) 내의 격자간 실리콘 및 에어 홀의 확산 계수 및 경계 조건에 의거하여 확산 방정식을 푸는 것에 의해 상기 격자간 실리콘 및 에어 홀의 밀도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구하는 방법이 알려져 있다. 이 시뮬레이션 방법으로는, 핫존의 각 부재가 메쉬 분할되어 모델화된다. 특히 실리콘 용융액(2)의 메쉬는 계산 시간을 짧게 하기 위해서 10㎜ 정도로 비교적 성글게 설정된다.
한편, CZ법에 의한 실리콘 단결정 육성 시의 조업 조건 및 로 내의 온도 조건을 컴퓨터에 데이터로서 입력하고, 단결정 내부에 도입되는 에어 홀 기인의 글로우 인 결함의 사이즈 및 밀도와 단결정의 성장 속도와의 관계를 컴퓨터를 이용한 시뮬레이션에 의해 구하며, 이 시뮬레이션 결과에 의거하여 단결정 내부에 도입되는 에어 홀 기인의 글로우 인 결함의 사이즈 및 밀도가 소정값이 되도록 성장 속도를 선택하여 단결정을 육성하는 실리콘 단결정의 제조 방법이 알려져 있다(예컨대, 특허문헌 1 참조). 이 실리콘 단결정의 제조 방법으로는, 종합 열전도 해석 프로그램을 이용하여 로 내의 열분포의 시뮬레이션을 행하고, 단결정의 육성 시의 단결정 중심의 연직 방향에서의 온도 구배를 구한다.
특허문헌 1 : 일본 특허 공개 공보 제2002-145696호
[발명이 해결하고자 하는 과제]
그러나, 상기 종래의 격자간 실리콘 및 에어 홀의 밀도 분포의 시뮬레이션 방법으로는, 실제의 인상기에 있어서는 발생하는 실리콘 용융액의 대류를 고려하고 있지 않고, 또한 실리콘 용융액의 메쉬가 비교적 성글기 때문에, 고액 계면 형상의 재현성이 나쁘고, 정밀도가 좋은 단결정 내 온도 분포를 제공할 수 없다. 그 때문에, 실리콘 단결정 내의 격자간 실리콘 및 에어 홀의 밀도 분포가 실측값과 큰 폭으로 상이한 문제점이 있었다. 또한, 상기 종래의 시뮬레이션 방법으로는 결정 냉각 과정 중 비교적 고온에서 생성되는 실리콘 단결정 내의 결함, 예컨대 보이드나 산소 석출물의 종류나, 밀도 분포 및 사이즈 분포는 알 수 없었다. 또한, 상기 종래의 시뮬레이션 방법으로는, 결정 냉각 과정 중 비교적 저온에서 생성되는 실리콘 단결정 내의 결함인 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포는 알 수 없었다.
한편, 상기 종래의 특허문헌 1에 기재된 실리콘 단결정의 제조 방법으로는, 실리콘 단결정의 연직 방향의 글로우 인 결함의 사이즈 분포 및 밀도 분포를 예측할 수 있지만, 실리콘 단결정의 반경 방향의 글로우 인 결함의 사이즈 분포 및 밀도 분포를 예측할 수 없고, 웨이퍼 내면의 글로우 인 결함을 검토할 수 없는 문제점이 있었다.
본 발명의 제1 목적은, 용융액의 대류를 고려하여 성장 중인 단결정 내의 온도 분포를 해석한 후에, 용융액으로부터 절리된 단결정의 냉각 과정을 고려하여 해석함으로써, 단결정 내의 보이드 및 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있고, 단결정 내 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법을 제공하는 것에 있다.
본 발명의 제2 목적은, 용융액의 대류를 고려하여 성장 중인 단결정 내의 온도 분포를 해석한 후에, 용융액으로부터 절리된 단결정의 냉각 과정을 고려하여 해석함으로써, 단결정 내의 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있고, 단결정 내 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법을 제공하는 것에 있다.
[과제를 해결하기 위한 수단]
청구항 1에 따른 발명은, 도 1 내지 도 6에 도시하는 바와 같이, 인상기(11)에 의한 단결정(14)의 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 인상기(11)의 핫존을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계와, 핫존의 각 부재마다 메쉬를 모으고 또한 이 모아진 메쉬에 대한 각 부재의 물성값과 함께 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 대응하는 단결정(14)의 인상 속도를 각각 컴퓨터에 입력하는 제2 단계와, 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 의거하여 구하는 제3 단계와, 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 의거하여 열전도 방정식을 푸는 것에 의해 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후에 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 내비어·스토크 방정식을 연결하여 푸는 것에 의해 대류를 고려한 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계와, 단결정(14) 및 용융액(12)의 고액 계면 형상을 단결정의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 맞추어 구하는 제5 단계와, 제3 단계로부터 제5 단계를 삼중점(S)이 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하여 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고 이들의 데이터를 각각 컴퓨터에 입력하는 제6 단계와, 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이를 단계적으로 바꾸어 제1 단계로부터 제6 단계까지를 반복하여 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고 이들의 데이터를 각각 컴퓨터에 입력하는 제7 단계와, 단결정(14)의 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 시간을 소정의 간격마다 구획하고, 이 구획된 시간 간격마다 제7 단계에서 구한 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이와 단결정(14) 내의 온도 분포를 구하는 제8 단계와, 단결정(14) 내의 에어 홀 및 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건에 의거하여 확산 방정식을 푸는 것에 의해 소정의 시간 간격이 경과한 후의 에어 홀 및 격자간 원자의 밀도 분포를 구하는 제9 단계와, 에어 홀의 밀도 분포에 의거하여 보이드(21)의 형성 개시 온도를 구하는 제10 단계와, 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 보이드(21)의 형성 개시 온도가 되었을 때의 보이드(21)의 밀도를 구하는 제11 단계와, 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 보이드(21)의 형성 개시 온도보다 낮을 때의 보이드(21)의 반경을 구하는 제12 단계와, 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도를 구하는 제13 단계와, 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도보다 낮아졌을 때의 보이드(21)의 반경과 내벽 산화막(22)의 두께를 서로 관련시켜 구하는 제14 단계와, 제8 단계로부터 제14 단계를 단결정(14)의 냉각이 완료할 때까지 반복하는 제15 단계를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정 내 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션을 행하는 방법이다.
이 청구항 1에 기재된 시뮬레이션 방법으로는, 용융액(12)의 대류를 고려하여 용융액(12)으로부터 성장하는 단결정(14) 내의 온도 분포를 구할 뿐만 아니라, 다시 냉각 과정에서의 단결정(14) 내의 온도 분포까지도 구함으로써, 즉 용융액(12)으로부터 절리된 단결정(14)의 냉각 과정에서의 단결정(14)의 서냉 및 급냉의 효과를 고려하여 해석함으로써, 단결정(14) 내의 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다.
청구항 2에 따른 발명은, 도 5 내지 도 10에 도시하는 바와 같이, 인상기(11)에 의한 단결정(14)의 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 인상기(11)의 핫존을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계와, 핫존의 각 부재마다 메쉬를 모으고 또한 이 모아진 메쉬에 대한 각 부재의 물성값과 함께 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 대응하는 단결정(14)의 인상 속도를 각각 컴퓨터에 입력하는 제2 단계와, 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 의거하여 구하는 제3 단계와, 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 의거하여 열전도 방정식을 푸는 것에 의해 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후에 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 내비어·스토크 방정식을 연결하여 푸는 것에 의해 대류를 고려한 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계와, 단결정(14) 및 용융액(12)의 고액 계면 형상을 단결정의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 맞추어 구하는 제5 단계와, 제3 단계로부터 제5 단계를 삼중점(S)이 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하여 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하며 이들의 데이터를 각각 컴퓨터에 입력하는 제6 단계와, 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이를 단계적으로 바꾸어 제1 단계로부터 제6 단계까지를 반복하여 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고 이들의 데이터를 각각 컴퓨터에 입력하는 제7 단계와, 단결정(14)의 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 시간을 소정의 간격마다 구획하고, 이 구획된 시간 간격마다 제7 단계에서 구한 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이와 단결정(14) 내의 온도 분포를 구하는 제8 단계와, 단결정(14) 내의 에어 홀 및 격자 간 원자의 확산 계수 및 경계 조건에 의거하여 확산 방정식을 푸는 것에 의해 소정의 시간 간격이 경과한 후의 에어 홀 및 격자간 원자의 밀도 분포를 구하는 제9 단계와, 에어 홀의 밀도 분포에 의거하여 보이드(21)의 형성 개시 온도를 구하는 제10 단계와, 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 보이드(21)의 형성 개시 온도가 되었을 때의 보이드(21)의 밀도를 구하는 제11 단계와, 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 보이드(21)의 형성 개시 온도보다 낮을 때의 보이드(21)의 반경을 구하는 제12 단계와, 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도를 구하는 제13 단계와, 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도보다 낮아졌을 때의 보이드(21)의 반경과 내벽 산화막(22)의 두께를 서로 관련시켜 구하는 제14 단계와, 단결정(14) 내의 산소의 밀도 분포와 에어 홀의 밀도 분포와 온도 분포에 의거하여 산소 석출핵의 단위시간당 발생량과 임계 반경을 구하는 제15 단계와, 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이 제로를 넘을 때에 보이드(21)의 반경 및 내벽 산화막(22)의 두께를 구하는 계산을 정지하고 또한 산소 석출핵의 반경을 구하는 제16 단계와, 제8 단계로부터 제16 단계를 단결정(14)의 냉각이 완료할 때까지 반복하는 제17 단계를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정 내 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션을 행하는 방법이다.
이 청구항 2에 기재된 시뮬레이션 방법으로는, 용융액(12)의 대류를 고려하여 용융액(12)으로부터 성장하는 단결정(14) 내의 온도 분포를 구할 뿐만 아니라, 다시 냉각 과정에서의 단결정(14) 내의 온도 분포까지도 구함으로써 단결정(14) 내의 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다. 즉, 용융액(12)으로부터 절리된 단결정(14)의 냉각 과정에서의 단결정(14)의 서냉 및 급냉의 효과를 고려하여 해석함으로써, 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포와 사이즈 분포를 구하고, 산소 석출핵의 단위시간당 발생량과 이 임계 반경을 구하며, 다시 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이 제로를 넘을 때에, 보이드 반경 및 내벽 산화막 두께를 구하는 계산을 정지하고, 또한 산소 석출핵의 반경을 구한다. 이에 따라 단결정(14) 내의 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다.
여기서, 산소 석출핵의 임계 반경이란 결정 성장 중에 발생한 핵의 최소 반경을 말하고, 이 반경은 에어 홀 밀도의 과포화도 및 산소 밀도의 과포화도에 의존한다.
[발명의 효과]
이상 설명한 바와 같이, 본 발명에 따르면 용융액의 대류를 고려하여 용융액으로부터 성장하는 단결정 내의 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구할 뿐만 아니라, 다시 냉각 과정에서의 단결정 내의 온도 분포까지도 구함으로써, 즉 용융액으로부터 절리된 단결정의 냉각 과정에서의 단결정의 서냉 및 급냉의 효과를 고려함으로써, 보이드의 밀도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한 후에, 보이드의 반경과, 보이드의 주위에 성장하는 내벽 산화막의 두께를 서로 관련시켜 컴퓨터를 이용하여 구한다. 이 결과, 단결정 내의 보이드 및 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다.
또한 용융액의 대류를 고려하여 용융액으로부터 성장하는 단결정 내의 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구할 뿐만 아니라, 다시 냉각 과정에서의 단결정 내의 온도 분포까지도 구함으로써, 단결정 내의 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다. 즉, 보이드 및 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포와 사이즈 분포를 구하고, 산소 석출핵의 단위시간당 발생량과 이 임계 반경을 구하며, 다시 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이 제로를 넘을 때에, 보이드 반경 및 내벽 산화막 두께를 구하는 계산을 정지하고, 또한 산소 석출핵의 반경을 컴퓨터를 이용하여 구한다. 이 결과, 산소 석출핵의 단위 시간당 발생량을 구함으로써 단결정 내의 산소 석출핵의 밀도 분포를 정확히 예측할 수 있고, 산소 석출핵의 반경을 구함으로써 결정 내의 산소 석출핵의 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다.
도 1은 본 발명 제1 실시형태 실리콘 단결정 내의 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제1단을 도시하는 흐름도이다.
도 2는 그 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제2단을 도시하는 흐름도이다.
도 3은 그 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제3단을 도시하는 흐름도이다.
도 4는 그 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제4단을 도시하는 흐름도이다.
도 5는 본 발명의 실리콘 용융액을 메쉬 구조로 한 실리콘 단결정의 인상기의 요부 단면도이다.
도 6은 그 실리콘 단결정 내의 보이드 및 내벽 산화막의 모식도이다.
도 7은 본 발명 제2 실시형태 실리콘 단결정 내의 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제1단을 도시하는 흐름도이다.
도 8은 그 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제2단을 도시하는 흐름도이다.
도 9는 그 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제3단을 도시하는 흐름도이다.
도 10은 그 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법의 제4단을 도시하는 흐름도이다.
도 11은 종래예의 실리콘 용융액을 메쉬 구조로 한 실리콘 단결정의 인상기 의 요부 단면도이다.
도 12는 실시예 1의 보이드 결함의 실리콘 단결정의 반경 방향으로의 사이즈 분포를, 인상 속도를 바꾸어 컴퓨터에 의해 구한 값과, 비교예 1의 LSTD의 실리콘 단결정의 반경 방향으로의 사이즈 분포를, 인상 속도를 바꾸어 실제로 측정한 값을 도시하는 도면이다.
도 13은 실시예 1의 보이드 결함의 실리콘 단결정의 반경 방향으로의 밀도 분포를, 인상 속도를 바꾸어 컴퓨터에 의해 구한 값과, 비교예 1의 LSTD의 실리콘 단결정의 반경 방향으로의 밀도 분포를, 인상 속도를 바꾸어 실제로 측정한 값을 도시하는 도면이다.
도 14는 실리콘 단결정의 반경 방향의 위치를 바꾼 경우와, 실리콘 단결정의 인상 속도를 바꾼 경우에, 컴퓨터를 이용하여 구한 산소 석출핵의 사이즈 분포 및 밀도 분포를 도시한 도면이다.
<도면의 주요부분에 대한 부호의 설명>
11 : 실리콘 단결정 인상기
12 : 실리콘 용융액
14 : 실리콘 단결정
21 : 보이드
22 : 내벽 산화막
S : 실리콘의 삼중점
다음에 본 발명의 제1 실시형태를 도면에 의거하여 설명한다.
도 5에 도시하는 바와 같이, 실리콘 단결정 인상기(11)의 챔버 내에는 실리콘 용융액(12)을 저류하는 석영 도가니(13)가 설치된다. 이 석영 도가니(13)는 도시하지 않지만 흑연 서셉터 및 지지축을 통하여 도가니 구동 수단에 접속되고, 도가니 구동 수단은 석영 도가니(13)를 회전시키는 동시에 승강시키도록 구성된다. 또한 석영 도가니(13)의 외주면은 석영 도가니(13)로부터 소정의 간격을 두어 히터(도시하지 않음)에 의해 포위되고, 이 히터는 보온통(도시하지 않음)에 의해 포위된다. 히터는 석영 도가니(13)에 투입된 고순도의 실리콘 다결정체를 가열·용융하여 실리콘 용융액(12)으로 한다. 또한 챔버의 상단에는 도시하지 않지만 원통형의 케이싱이 접속되고, 이 케이싱에는 인상 수단이 설치된다. 인상 수단은 실리콘 단결정(14)을 회전시키면서 인상하도록 구성된다.
이렇게 구성된 실리콘 단결정 인상기(11)에서의 실리콘 단결정(14) 내의 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법을 도 1 내지 도 6에 의거하여 설명한다.
우선 제1 단계로서, 실리콘 단결정(14)을 소정 길이(L1)(예컨대 100㎜)까지 인상한 상태에서의 실리콘 단결정 인상기(11)의 핫존의 각 부재, 즉 챔버, 석영 도가니(13), 실리콘 용융액(12), 실리콘 단결정(14), 흑연 서셉터, 보온통 등을 메쉬 분할하여 모델화한다. 구체적으로는 상기 핫존의 각 부재의 메쉬점의 좌표 데이터를 컴퓨터에 입력한다. 이 때 실리콘 용융액(12)의 메쉬 중 실리콘 단결정(14)의 직경 방향의 메쉬이고 또한 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14) 직하의 일부 또는 전부의 메쉬(이하, 직경 방향 메쉬라고 함)를 0.01~5.00㎜, 바람직하게는 0.25~1.00㎜로 설정한다. 또한 실리콘 용융액(12)의 메쉬 중 실리콘 단결정(14)의 길이 방향의 메쉬이고 또한 실리콘 용융액(12)의 일부 또는 전부의 메쉬(이하, 길이 방향 메쉬라고 함)를 0.01~5.00㎜, 바람직하게는 0.1~0.5㎜로 설정한다.
직경 방향 메쉬를 0.01~5.00㎜의 범위로 한정한 것은 0.01㎜ 미만으로는 계산 시간이 매우 길어지고, 5.00㎜를 넘으면 계산이 불안정해지며, 반복하여 계산을 행해도 고액 계면 형상이 일정하게 정해지지 않게 되기 때문이다. 또한 길이 방향 메쉬를 O.01~5.00㎜의 범위로 한정한 것은, 0.01㎜ 미만으로는 계산 시간이 매우 길어지고 5.00㎜를 넘으면 고액 계면 형상의 계산값이 실측값과 일치하지 않게 되기 때문이다. 한편, 직경 방향 메쉬의 일부를 0.01~5.00의 범위로 한정하는 경우에는, 실리콘 단결정(14) 직하의 실리콘 용융액(12) 중 실리콘 단결정(14) 외주 가장자리 근방의 실리콘 용융액(12)을 상기 범위로 한정하는 것이 바람직하고, 길이 방향 메쉬의 일부를 0.01~5.00의 범위로 한정하는 경우에는, 실리콘 용융액(12)의 액면 근방 및 바닥 근방을 상기 범위로 한정하는 것이 바람직하다.
제2 단계로서 상기 핫존의 각 부재마다 메쉬를 모으고, 또한 이 모아진 메쉬에 대하여 각 부재의 물성값을 각각 컴퓨터에 입력한다. 예컨대, 챔버가 스테인리스강으로 형성되어 있으면, 그 스테인리스강의 열전도율, 복사율, 점성율, 체적 팽창 계수, 밀도 및 비열이 컴퓨터에 입력된다. 또한 실리콘 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 대응하는 실리콘 단결정(14)의 인상 속도와, 후술하는 난류 모델식(1)의 난류 파라미터(C)를 컴퓨터에 입력한다.
제3 단계로서, 핫존의 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 각 부재의 복사율에 의거하여 컴퓨터를 이용하여 구한다. 즉, 히터의 발열량을 임의로 설정하여 컴퓨터에 입력하는 동시에, 각 부재의 복사율로부터 각 부재의 표면 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한다. 다음에 제4 단계로서 핫존의 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 의거하여 열전도 방정식(l)을 컴퓨터를 이용하여 푸는 것에 의해 각 부재의 내부 온도 분포를 구한다. 여기에서는, 기술을 간단하게 하기 위해서 xyz 직교 좌표계를 이용했지만, 실제의 계산에서는 원통 좌표계를 이용한다.
[수학식 1]
Figure 112005069095974-pct00001
상기 식(1)에 있어서, ρ는 각 부재의 밀도, c는 각 부재의 비열, T는 각 부재의 각 메쉬점에서의 절대 온도, t는 시간이다. 또한 λx, λy 및 λz는 각 부재의 열전도율의 x, y 및 z 방향 성분이고, q는 히터의 발열량이다.
한편, 실리콘 용융액(12)에 관해서는, 상기 열전도 방정식(1)으로 실리콘 용융액(12)의 내부 온도 분포를 구한 후에, 이 실리콘 용융액(12)의 내부 온도 분포에 의거하여, 실리콘 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식(2) 및 내비어·스토크 방정식 (3)~(5)을 연결하여 실리콘 용융액(12)의 내부 유속 분포를 컴퓨터를 이용하여 구한다.
[수학식 2]
Figure 112005069095974-pct00002
상기 식(2)에 있어서, κt는 실리콘 용융액(12)의 난류 열전도율이고, c는 실리콘 용융액(12)의 비열이며, Prt는 프란틀수이고, ρ는 실리콘 용융액(12)의 밀도이며, C는 난류 파라미터이고, d는 실리콘 용융액(12)을 저류하는 석영 도가니(13)벽으로부터의 거리이며, k는 실리콘 용융액(12)의 평균 유속에 대한 변동 성분의 제곱평균이다.
[수학식 3]
Figure 112005069095974-pct00003
상기 식 (3) 내지 식 (5)에 있어서, u, v 및 w는 실리콘 용융액(12)의 각 메쉬점에서의 유속의 x, y 및 z 방향 성분이고, υl는 실리콘 용융액(12)의 분자 동점성 계수(물성값)이고, υt는 실리콘 용융액(12)의 난류의 효과에 의한 동점성 계수이며, Fx, Fy 및 Fz 는 실리콘 용융액(12)에 작용하는 체적력의 x, y 및 z 방향 성분이다.
상기 난류 모델식 (2)는 kl(케이엘)-모델식이라고 불리고, 이 모델식의 난류 파라미터(C)는 0.4~0.6의 범위 내의 임의의 값이 이용되는 것이 바람직하다. 난류 파라미터(C)를 0.4~0.6의 범위로 한정한 것은, 0.4 미만 또는 0.6을 넘으면 계산에 의해 구한 계면 형상이 실측값과 일치하지 않다는 불량이 있기 때문이다. 또한 상기 내비어·스토크의 방정식 (3)~(5)는 실리콘 용융액(12)이 비압축성이고 점도가 일정한 유체로 했을 때의 운동 방정식이다.
상기 구해진 실리콘 용융액(12)의 내부 유속 분포에 의거하여 열에너지 방정식(6)을 푸는 것에 의해, 실리콘 용융액(12)의 대류를 고려한 실리콘 용융액(12)의 내부 온도 분포를 컴퓨터를 이용하여 다시 구한다.
[수학식 4]
Figure 112005069095974-pct00004
상기 식 (6)에 있어서, u, v 및 w는 실리콘 용융액(12)의 각 메쉬점에서의 유속의 x, y 및 z 방향 성분이고, T는 실리콘 용융액(12)의 각 메쉬점에서의 절대 온도이며, ρ는 실리콘 용융액(12)의 밀도이고, c는 실리콘 용융액(12)의 비열이며, κ1은 분자열 전도율(물성값)이고, κt는 식 (1)을 이용하여 계산되는 난류 열전도율이다.
이어서 제5 단계로서, 실리콘 단결정(14) 및 실리콘 용융액(12)의 고액 계면 형상을 도 5의 점 S에서 도시하는 실리콘의 삼중점(S)(고체와 액체와 기체의 삼중점(tri-junction))을 포함하는 등온선에 맞추어 컴퓨터를 이용하여 구한다. 제6 단계로서, 컴퓨터에 입력하는 히터의 발열량을 변경하고(점차로 증대하고), 상기 제3 단계로부터 제5 단계를 삼중점이 실리콘 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복 한 후에, 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 실리콘 단결정의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고, 이들의 데이터를 컴퓨터에 기억시킨다.
다음에 제7 단계로서, 실리콘 단결정(14)의 인상 길이(L1)에 δ(예컨대 50㎜)만큼 더하여 상기 제1 단계로부터 제6 단계까지를 반복한 후에, 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 실리콘 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고, 이들의 데이터를 컴퓨터에 기억시킨다. 이 제7 단계는 실리콘 단결정(14)의 인상 길이(L1)가 길이(L2)(L2는 실리콘 용융액(12)으로부터 절리했을 때의 실리콘 단결정(14)의 길이(성장 완료시의 결정 길이)임.)에 도달하여 실리콘 단결정(14)이 실리콘 용융액(12)으로부터 절리된 후, 다시 실리콘 단결정(14)이 인상되어 그 높이(H1)(H1는 실리콘 단결정(14)의 직동(直胴) 개시부로부터 실리콘 용융액(12)의 액면까지의 거리임(도 5).)가 H2(H2는 냉각 완료시의 실리콘 단결정(14)의 직동 개시부로부터 실리콘 용융액(12)의 액면까지의 거리임.)에 도달할 때까지, 즉 실리콘 단결정(14)의 냉각이 완료할 때까지 행해진다. 한편, 실리콘 단결정(14)이 실리콘 용융액(12)으로부터 절리된 후에는 실리콘 단결정(14)의 인상 높이(H1)에 δ(예컨대 50㎜)만큼 더하여 상기와 마찬가지로 상기 제1 단계로부터 제6 단계까지를 반복한다.
실리콘 단결정(14)의 인상 높이(H1)가 H2에 도달하면, 제8 단계로 이행한다. 제 8 단계에서는, 실리콘 단결정(14)을 실리콘 용융액(12)으로부터 성장시켜 인상 하기 시작했을 때(t0)로부터, 실리콘 단결정(14)을 실리콘 용융액(12)으로부터 절리하여 다시 실리콘 단결정(14)을 인상하고, 그 냉각이 완료했을 때(t1)까지의 시간을, 소정의 간격(△t초)(미소 시간 간격)마다 구획한다. 이 때 실리콘 단결정(14) 내의 격자간 실리콘 및 에어 홀의 확산 계수 및 경계 조건뿐만 아니라, 후술하는 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)(도 6)의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 구하기 위한 식에 이용하는 상수를 각각 컴퓨터에 입력한다. 상기 구획된 시간 간격(△t초)마다, 제7 단계에서 구한 실리콘 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터, 실리콘 단결정(14)의 인상 길이(L1) 및 인상 높이(H1)와, 실리콘 단결정(14) 내의 온도 분포를 구한다.
즉, 제1 내지 제7 단계에서 실리콘 단결정의 메쉬의 좌표 및 온도를 인상 길이(δ)마다 구하고, 실리콘 단결정을 예컨대 50㎜ 인상하기에 수십분 요하기 때문에, 이 수십분간에서의 실리콘 단결정의 메쉬의 온도 변화를 시간의 함수로 하여 미분함으로써, 시각(t0)으로부터 △t초 후에서의 실리콘 단결정(14)의 인상 길이(L1) 및 인상 높이(H1)와 실리콘 단결정(14) 내의 온도 분포를 산출한다. 다음에 실리콘 단결정(14) 내의 에어 홀 및 격자간 실리콘의 확산 계수 및 경계 조건에 의거하여 확산 방정식을 푸는 것에 의해, △t초 경과 후의 에어 홀 및 격자간 실리콘의 밀도 분포를 구한다(제9 단계).
구체적으로는, 에어 홀의 밀도(Cv)의 계산식이 다음 식 (7)로 표시되고, 격 자간 실리콘의 밀도(Ci)의 계산식이 다음 식 (8)로 표시된다. 식 (7) 및 식 (8)에 있어서 밀도(Cv) 및 밀도(Ci)의 시간 경과적 진전을 계산하기 위해서, 에어 홀과 격자간 실리콘의 열평형이 실리콘 단결정의 전체 표면에서 유지된다고 가정한다.
[수학식 5]
Figure 112005069095974-pct00005
상기 식 (7) 및 식 (8)에 있어서, K1 및 K2는 상수이고, Ei 및 Ev는 각각 격자간 실리콘 및 에어 홀의 형성 에너지이며, Cve 및 Cie는 에어 홀의 평형 밀도 및 격자간 실리콘의 평형 밀도이다. 또한 kB는 볼츠만 상수, T는 절대 온도를 의미한다.
상기 평형식은 시간으로 미분되고, 에어 홀 및 격자간 실리콘에 대하여 각각 다음 식 (9) 및 식 (10)이 된다.
[수학식 6]
Figure 112005069095974-pct00006
상기 식 (9) 및 식 (10)에 있어서, Θ(x)는 헤비사이드 함수(Heaviside function)이다. 즉, x<0일 때 Θ(x)=0이고, 또한 x>0일 때 Θ(x)=1이다. 또한 TP는 내벽 산화막(22)(보이드(21) 표면에 형성된 실리콘의 산화막(SiOx막))의 형성 개시 온도이고, Tv는 보이드(21)의 형성 개시 온도이다(도 6). 또한 식 (9) 및 (10)의 각각 우측의 제1항은 픽의(Fick's) 확산식이고, 우측의 제1항 중의 Dv 및 Di는, 다음의 식 (11) 및 (12)로 나타내는 에어 홀 및 격자간 실리콘의 확산 계수이다.
[수학식 7]
Figure 112005069095974-pct00007
상기 식 (11) 및 식 (12)에 있어서, △Ev 및 △Ei는 각각 에어 홀 및 격자간 실리콘의 활성화 에너지이고, dv 및 di 는 각각 상수이다. 또한 식 (9) 및 식 (10)의 각각 우측의 제2항 중의 Ev t 및 Ei t는 열확산에 의한 에어 홀 및 격자간 실리콘의 활성화 에너지이고, kB는 볼츠만 상수이다. 식 (9) 및 식 (10)의 각각 우측의 제3항의 kiv는 에어 홀 및 격자간 실리콘 페어의 재결합 상수이다. 식 (9) 및 식 (10)의 각각 우측의 제4항의 Nv는 보이드(21)의 밀도이고, rv는 보이드(21)의 반경이며, 또한 식 (9)의 우측의 제5항의 Np는 내벽 산화막(22)의 밀도이고, Rp는 내벽 산화막(22)의 외반경이다.
상기 식 (9)가 성립하는 것은, 에어 홀이 석출하기 위한 에어 홀의 유속이 충분히 크고, 실리콘 단결정(14)을 구성하는 Si 매트릭스와 내벽 산화막을 구성하는 SiOx와의 단위질량당 부피차를 메울 수 있는 경우, 즉 γDoCo≤Dv(Cv-Cve)인 경우 이다. 상기 이외의 경우, 즉 γDoCo>Dv(Cv-Cve)인 경우에는, 다음 식 (13)이 성립한다. 여기서, γ란 산소 1원자에 대한 에어 홀의 소비 비율이고, Do은 산소의 확산 계수이며, Co는 산소 밀도이다.
[수학식 8]
Figure 112005069095974-pct00008
상기 식 (13)에 있어서, Θ(x)는 헤비사이드 함수(Heaviside function)이다. 즉, x<0일 때 Θ(x)=0이고, 또한 x>0일 때 Θ(x)=1이다. 또한 Tp는 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도이고, Tv는 보이드(21)의 형성 개시 온도이다. 또한 식 (13)의 우측의 제1항은 픽의 확산식이고, 우측의 제1항 중의 Dv는 식 (11)로 나타내는 에어 홀의 확산 계수이다.
다음에 제10 단계로서, 상기 확산 방정식을 푸는 것에 의해 구한 에어 홀의 밀도(Cv) 분포에 의거하여, 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)를 다음 식 (14)에서 구한다.
[수학식 9]
Figure 112005069095974-pct00009
상기 식 (14)에 있어서, Cv는 실리콘 단결정(14) 중의 에어 홀 밀도이고, Cv0은 실리콘 단결정(14)의 융점(Tm)에서의 에어 홀 평형 밀도이며, Ev는 에어 홀 형성 에너지이다. 또한, σv는 실리콘 단결정(14)의 결정면(111)에서의 계면 에너지이고, ρ는 실리콘 단결정(14)의 밀도이며, kB는 볼츠만 상수이다.
제11 단계로서, 실리콘 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하되어 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)가 되었을 때에, 다음의 근사식 (15)을 이용하여 보이드(21)의 밀도(Nv)를 구한다.
[수학식 10]
Figure 112005069095974-pct00010
상기 식 (15)에 있어서, nv은 보이드(21)의 밀도이고, (dT/dt)는 실리콘 단 결정(14)의 냉각 속도이다. 상기 보이드(21)의 밀도는 에어 홀 과포화도에 의존하지만, 계산하는 실리콘 단결정(14)에서의 핵 형성 온도와 같은 좁은 온도 영역에서는 일정하다고 간주해도 좋다. 또한 Dv는 보이드(21)의 확산 계수이고, kB는 볼츠만 상수이며, Cv는 실리콘 단결정(14) 중의 에어 홀 밀도이다.
제12 단계로서, 실리콘 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)보다 낮을 때의 보이드의 반경(rv)을, 다음 식 (16)으로부터 구한다. 여기에서 보이드(21)의 성장 속도는 에어 홀의 확산 속도에 의존하는 확산율속이다. 또한 보이드(21)의 형상은 실제로는 팔면체이지만, 여기서는 계산의 효율화로부터 구형으로서 취급한다.
[수학식 11]
Figure 112005069095974-pct00011
상기 식(16)에 있어서, t1은 실리콘 단결정(14)의 메쉬의 격자점에서의 온도가 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)까지 저하했을 때의 시각이다. 또한 rver은 보이드(21)의 임계 직경이고, 이 임계 직경(rver)은 상기 시각(t1)에서의 값으로 한다. 또한, Cve 및 Cie는 각각의 상태에서의 에어 홀 및 격자간 실리콘의 평형 밀도이다.
다음에 제13 단계로서, 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도(Tp)를 구한다. 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도(Tp)가 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)보다 작은 경우에는, 산소와 에어 홀이 결합하고 보이드(21) 표면에 내벽 산화막(22)이 성장한다(도 6). 본 발명의 모델로는, 상기 내벽 산화막(22)은 보이드(21)가 발생하면 바로 성장하는 것으로서 취급하였다. 여기서,「바로」란, 「보이드가 발생한 다음의 반복 계산으로부터」라는 의미이다. 따라서, 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도(Tp)는 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)와 동일해진다.
또한, 제14 단계로서, 실리콘 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도(Tp)보다 낮아졌을 때의 보이드(21)의 반경(rv)과 내벽 산화막(22)의 두께(d)를 서로 관련시켜 구한다. 일반적으로, 산소는 그 확산과 실리콘과의 반응에 의해서 내벽 산화막(22)이 형성된다. 산소가 내벽 산화막(22) 밖으로부터 이 산화막의 외주면에 유입하는 유속(Jo)은, 보이드(21)의 중심을 원점으로 하는 내벽 산화막(22)의 외반경을 Rp로 할 때, 다음 식 (17)로부터 구해진다.
[수학식 12]
Figure 112005069095974-pct00012
상기 식 (17)에 있어서, Do는 산소의 확산 계수이고, Co는 산소 밀도이며, COeif는 구형의 보이드(21)의 중심을 원점으로 하는 반경(Rp)에서의 산소 평형 밀도이고, go는 SiOx 및 Si의 계면, 즉 내벽 산화막(22)의 외주면에서의 산소 원자의 반응 비율이다.
또한 에어 홀이 내벽 산화막(22) 밖으로부터 이 산화막의 외주면(반경(Rp)의 구면)에 유입하는 유속(Jv)은 다음 식 (18)로부터 구해진다.
[수학식 13]
Figure 112005069095974-pct00013
상기 식 (18)에 있어서, gv는 내벽 산화막(22)의 외주면에서의 에어 홀의 반응 비율이고, Cveif는 내벽 산화막(22)의 외주면에서의 에어 홀의 평형 밀도이다. 실리콘의 내벽 산화막(22)이 성장하는 동시에 에어 홀이 소비되고, 에어 홀의 소비 비율은 산소 1원자에 대하여 γ이다. 이 때문에 내벽 산화막(22)이 변형 없이 성장하기 위한 조건은, 산소의 유속(Jo)에 대하여 에어 홀의 유속은 γJo이기 때문에, 에어 홀의 유속(γJo)은 다음 식 (19)에서 구해진다.
[수학식 14]
Figure 112005069095974-pct00014
따라서, (Jv-γJO)는 내벽 산화막(22)에 흡수되는 에어 홀의 유속이 된다. 여기서 에어 홀의 내벽 산화막(22) 밖으로부터 이 산화막으로의 유속이 증대하는 경우((Jv-γJO)> 0) 혹은 에어 홀의 보이드(21) 내로부터 산화막으로의 유속이 시간의 경과에 대하여 증대하는 경우((Jv-γJO)<0)의 상기 유속의 시간에 대한 변화의 비율을 α로 하면, 이 α는 내벽 산화막(22)의 두께에 의존한다고 생각된다. 이 때문에 내벽 산화막(22)의 두께(d), 즉 (RP-rV)가 dO 미만이라면, 내벽 산화막(22)은 에어 홀을 산화막 외 및 보이드(21) 내의 쌍방향으로부터 부분 침투시킨다고 생각된다. 바꾸어 말하면, d<dO이고 α≠0인 경우에는, 에어 홀은 일정 비율로 내벽 산화막(22)을 관통하여 보이드(21)의 성장에 사용된다. 단, 격자간 실리콘은 산소 석출층이 핵형성되는 동시에 보이드(21)의 성장에 사용되지 않게 된다.
또한 에어 홀의 내벽 산화막(22) 밖으로부터 이 산화막으로의 유속량이 적은 경우, 즉(Jv-γJo)<0인 경우에는, 변형이 없는 내벽 산화막(22)을 성장시킬 수 없기 때문에, 에어 홀은 보이드(21) 내로부터 산화막에 유입하고, 보이드(21)의 외경은 작아진다. 이 결과, d≥do이고 α=0인 경우에는, 내벽 산화막(22)은 에어 홀을 전혀 통과시키지 않게 된다. 그리고, nv을 보이드(21) 중의 에어 홀의 수로 하면, dnv/dt는 에어 홀의 유입량이 되고, dnv/dt=α(Jv-γJo)이라면, 다음 식 (20)이 성립한다． 한편, 식 (20)에 있어서, rv는 식 (16)에서 구한 보이드(21)의 반경이고, Rp는 내벽 산화막(22)의 외반경이다. 또한 DO은 산소의 확산 계수이고, CO는 산소 밀도이다. 또한, COeif는 구형의 보이드(21)의 중심을 원점으로 하는 반경 Rp에서의 산소 평형 밀도이고, go는 내벽 산화막(22)의 외주면에서의 산소 원자의 반응 비율이다.
[수학식 15]
Figure 112005069095974-pct00015
동시에 내벽 산화막(22)을 구성하는 SiOx 분자의 수는 식 (20)의 산소가 내벽 산화막(22) 밖으로부터 이 산화막의 외주면에 유입하는 유속(Jo)의 소비에 의존 하여 변화하기 때문에, 다음 식 (21)이 성립한다. 한편, 식 (21)에 있어서, ρp=x/(ΩSiOx)로 정의한다. 이 ρp의 정의식에 있어서 ΩSiOx는 SiOx의 분자 용량(molecular volume)이고, 그 단위는 분자량/밀도이다. 또한 x는 SiOx의 x에 대응하고, Ω는 상수이다.
[수학식 16]
Figure 112005069095974-pct00016
상기 식 (21)을 상기 식 (20)에 대입하면 다음 식 (22)가 얻어진다. 한편, 식 (22)에 있어서, η는 ΩSiOx/ΩSi이다. 이 η의 정의식에 있어서, ΩSi는 1/ρ이고, ρ는 실리콘 단결정(14)의 밀도이다.
[수학식 17]
Figure 112005069095974-pct00017
상기 식 (20) 및 식 (22)으부터 다음을 알 수 있다. 우선 d가 do이 된 시각을 t3로 하면, 이 시각(t3)에 있어서 α가 제로가 되기 때문에, 내벽 산화막(22) 은 비침투가 된다. 또한 보이드(21)의 외경이 rv(t3)로 고정되어 있는 동안에는, 내벽 산화막(22)의 성장은 실리콘 단결정(14)의 매트릭스로부터 유입하는 에어 홀 혹은 산소의 소비량에 의해서 결정된다. 즉, (Jv-γJo)>0인 경우에는 식 (22)는 다음 식 (23)으로 되고, (Jv-γJo)<0인 경우에는 식 (22)는 다음 식 (24)가 된다.
[수학식 18]
Figure 112005069095974-pct00018
상기 식 (23) 및 식 (24)에 있어서, ΩSiOx는 SiOx의 분자 용량(molecular volume)이다. 또한 식 (23) 및 식 (24)에 있어서, 내벽 산화막의 외주면에서의 에어 홀 평형 밀도는 Rp와 무관하고, Cveif=Cve 또한 COeif=COe라고 상정하고 있다. 식 (23) 또는 식 (24)로부터 내벽 산화막(22)의 외반경(Rp)을 구하고, 내벽 산화막(22)의 외반경(Rp)으로부터 보이드(21)의 반경(rv)을 뺌으로써 내벽 산화막(22)의 두께(d)를 구한다. 상기 제8 단계로부터 제14 단계를 실리콘 단결정(14)의 냉각이 완 료할 때까지 반복한다(제15 단계). 한편, 식 (9) 내지 식 (24)는 서로 관련시켜 컴퓨터에 의해 푼다.
전술과 같이, 실리콘 용융액(12)의 대류를 고려하여 실리콘 용융액(12)으로부터 성장하는 실리콘 단결정(14) 내의 온도 분포를 구한 후에, 실리콘 용융액(12)으로부터 절리된 실리콘 단결정(14)의 냉각 과정, 즉 실리콘 단결정(14)이 실리콘 용융액(12)으로부터 절리된 후의 실리콘 단결정(14)의 인상 속도를 고려하여, 실리콘 단결정(14)의 서냉 및 급냉의 효과를 결과에 반영하여 해석함으로써, 실리콘 단결정(14) 내의 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다. 이 결과, 실리콘 용융액(12)으로부터 인상되는 실리콘 단결정(14) 내의 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 원하는 분포로 하기 위해서, 인상기(11)의 설계 단계에서 인상기(11)의 구조를 검토할 수 있다.
도 7 내지 도 10은 본 발명의 제2 실시형태를 도시한다.
이 실시형태에서는, 제1 단계로부터 제14 단계까지는 제1 실시형태와 거의 동일하다. 단, 제1 실시형태의 식 (9)는 다음 식 (9)'가 된다. 이 식(9)'에 있어서, Do는 산소 확산 계수이고, Co는 산소 석출핵 형성 온도에서의 산소 밀도이다. 또한, Jc는 임계 반경을 갖는 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이고, rc는 산소 석출핵의 반경이다.
[수학식 19]
Figure 112005069095974-pct00019
상기 식 (9)'가 성립하는 것은, 에어 홀이 석출하기 위한 에어 홀의 유속이 충분히 크고, 실리콘 단결정(14)을 구성하는 Si 매트릭스와 내벽 산화막을 구성하는 SiOx의 단위질량당 부피차를 메울 수 있는 경우, 즉 γDoCo≤Dv(Cv-Cve)인 경우이다. 상기 이외의 경우, 즉 γDoCo>Dv(Cv-Cve)인 경우에는, 다음 식 (13)이 성립한다. 여기서, γ은 산화물이 변형없이 성장하기에 필요한 산소 1원자당 에어 홀량이고, 산소 석출핵의 상에 의존하는 수이다. 산소 석출핵이 SiO2로 이루어지는 경우에는, γ≒0.5이고 산소 석출핵이 SiO로 이루어지는 경우에는 γ≒0.65이다. 또한 Do은 산소의 확산 계수이고, Co는 산소 석출핵 형성 온도에서의 산소 밀도이다.
또한 제1 실시형태의 식 (13)은 다음 식 (13)'가 된다. 이 식 (13)'에 있어서, Jc는 임계 반경을 갖는 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이고, rc는 산소 석출 핵의 반경이다.
[수학식 20]
Figure 112005069095974-pct00020
제15 단계로서, 실리콘 단결정(14) 내의 산소의 밀도 분포와 에어 홀의 밀도 분포와 온도 분포에 의거하여 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)과 상기 임계 반경(rcr)을 구한다. 구체적으로는, 산소 석출핵 성장(SiOx상)은 산소 밀도(Co)와 에어 홀 밀도(Cv)와 온도(T)에 의존하기 때문에, 고전론으로는 정상 상태에서의 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)을 다음 식 (25)로부터 구한다.
[수학식 21]
Figure 112005069095974-pct00021
상기 식 (25)에 있어서, σc는 산소 석출핵 형성 온도에서의 SiOx와 Si의 계면 에너지이고, Do는 산소 확산 계수이다. 또한 Co는 산소 석출핵 형성 온도에서의 산소 밀도이고, kB는 볼츠만 상수이다. 또한, F*은 산소 석출핵의 성장 배리어이고, 산소 석출핵을 구체로 가정하면, F*는 다음 식 (26)에 의해 구할 수 있다.
[수학식 22]
Figure 112005069095974-pct00022
상기 식 (26)에 있어서, ρc는 SiOx로 이루어지는 산소 석출핵의 산소수 밀도이고, fc는 산소 석출핵 형성을 위해 필요한 구동력(산소 원자 1개당 힘)이며, 이 fc를 다음 식 (27)로부터 구한다.
[수학식 23]
Figure 112005069095974-pct00023
상기 식(27)에 있어서, Co는 산소 석출핵 형성 온도에서의 산소 밀도이고, COe는 산소 평형 밀도이다. 또한 γ은 산화물이 변형없이 성장하기에 필요한 산소 1원자당 에어 홀량이고, 산소 석출핵의 상에 의존하는 수이다. 산소 석출핵이 Si02로 이루어지는 경우에는 γ≒0.5이고, 산소 석출핵이 SiO로 이루어지는 경우에는 γ≒0.65이다. 또한, Cv는 에어 홀의 밀도이고, Cve는 에어 홀의 평형 밀도이다. 한편, 식 (25) 및 식 (26)에서의 σc(산소 석출핵 형성 온도에서의 SiOx와 Si의 계면 에너지)는 핵형성을 지배하는 중요한 파라미터이고, 이 파라미터(σc)는 핵 형성에 의존하고 있으며, 일반적으로는 온도와 산소 석출핵의 반경에 따라서 값이 변화한다. 한편, 산소 석출핵의 임계 반경(rcr)을 다음 식 (28)에 의해 구한다.
[수학식 24]
Figure 112005069095974-pct00024
다음에 제16 단계로서, 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이 제로를 넘으면, 보이드(21)의 반경 및 내벽 산화막(22)의 두께를 구하는 계산을 정지하고, 또한 산소 석출핵의 반경을 구한다. 산소 석출핵은 산소와 에어 홀을 소비하면서 성장하고, 에어 홀은 Si와 그 산화물(SiOx) 사이의 변형을 조정한다. 또한 본 발명의 모델로는, 산소 석출핵의 성장 속도는 산소의 확산과 에어 홀의 확산에 한정한다고 가정하고 있다. γDoCo<Dv(Cv-Cve)이라면, 산소 석출핵의 성장 속도는 산소의 확산에 한정되고, 다음 식 (29)에 의해 구해진다.
[수학식 25]
Figure 112005069095974-pct00025
또한 γDoCo>Dv(Cv-Cve)이면, 클러스터의 성장시에 Si와 그 산화물(SiOx)의 사이의 변형을 없애기 위해서 에어 홀이 소비되기 때문에, 클러스터의 성장 속도는 다음 식 (30)으로 표시된다.
[수학식 26]
Figure 112005069095974-pct00026
상기 제8 단계로부터 제16 단계를 실리콘 단결정(14)의 냉각이 완료할 때까지 반복한다(제17 단계). 한편, 식 (9) 내지 식 (30)은 서로 관련시켜 컴퓨터에 의해 푼다.
전술과 같이, 실리콘 용융액(12)의 대류를 고려하여 실리콘 용융액(12)으로부터 성장하는 실리콘 단결정(14) 내의 온도 분포를 구한 후에, 실리콘 용융액(12)으로부터 절리된 실리콘 단결정(14)의 냉각 과정을 고려하여, 실리콘 단결정(14)의 서냉 및 급냉의 효과를 결과에 반영하여 해석함으로써, 실리콘 단결정(14) 내의 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다(도 5). 즉, 실리 콘 단결정(14)이 실리콘 용융액(12)으로부터 절리된 후의 실리콘 단결정(14)의 인상 속도를 고려하여, 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)(도 6)으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포와 사이즈 분포를 컴퓨터를 이용하여 구하며, 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)과 이 임계 반경(rcr)을 컴퓨터를 이용하여 구하고, 또한 임계 반경(rcr) 이상의 반경(rc)을 갖는 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)이 제로를 넘을 때에, 보이드 반경(rc) 및 내벽 산화막 두께(d)를 구하는 계산을 정지하고, 또한 임계 반경(rcr) 이상의 반경(rc)을 갖는 산소 석출핵의 반경(rc)을 컴퓨터를 이용하여 구한다. 이 결과, 임계 반경(rcr) 이상의 반경(rc)을 갖는 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)을 구함으로써 실리콘 단결정(14) 내의 산소 석출핵의 밀도 분포를 정확히 예측할 수 있다. 또한 임계 반경(rcr) 이상의 반경(rc)을 갖는 산소 석출핵의 반경(rc)을 구함으로써 실리콘 결정(14) 내의 산소 석출핵의 사이즈 분포를 정확히 예측할 수 있다.
한편, 상기 제1 및 제2 실시형태에서는, 단결정으로서 실리콘 단결정을 들었지만, GaAs 단결정, InP 단결정, ZnS 단결정 혹은 ZnSe 단결정이라도 좋다.
실시예
다음에 본 발명의 실시예를 비교예와 함께 자세히 설명한다.
<실시예 1>
도 5 및 도 6에 도시하는 바와 같이, 석영 도가니(13)에 저류된 실리콘 용융 액(12)으로부터 직경 6인치의 실리콘 단결정(14)을 인상하는 경우의, 실리콘 단결정(14) 내의 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를, 도 1 내지 도 4의 흐름도에 의거한 시뮬레이션 방법에 의해 구했다.
즉, 실리콘 단결정 인상기(11)의 핫존을 메쉬 구조로 모델화하였다. 여기서, 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14) 직하의 실리콘 단결정(14)의 직경 방향의 메쉬를 0.75㎜로 설정하고, 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14) 직하 이외의 실리콘 단결정(14)의 직경 방향의 메쉬를 1~5㎜로 설정하였다. 또한 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14)의 길이 방향의 메쉬를 0.25~5㎜로 설정하고, 난류 모델식의 난류 파라미터(C)로서 0.45를 이용하였다. 또한 실리콘 단결정(14)의 인상 개시시(t0)로부터 냉각 완료시(t1)까지의 인상 길이 및 인상 높이의 단계적인 변경을 50㎜씩으로 하였다. 이러한 조건 하에서 실리콘 용융액(12)의 대류를 고려하여 실리콘 단결정(14) 내의 온도 분포를 구하였다.
다음에 실리콘 단결정(14)의 인상 개시시(t0)로부터 냉각 완료시(t1)까지의 시간을 소정의 간격(△t초)(미소한 시간의 간격)마다 구획하고, 이 시간 간격(△t초)마다 상기 실리콘 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터, 실리콘 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이와 실리콘 단결정 내(14)의 온도 분포를 구하고, 다시 보이드(21)의 형성 개시 온도를 구하여 보이드(21)의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 구하였다. 즉, 실리콘 단결정(14)을 실리콘 용융액(12)으로부터 절리한 후의 실리콘 단결정(14)의 서냉 및 급냉을 고려하여, 실리콘 단결정(14) 내의 보이드(21)의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 컴퓨터를 이용하여 각각 구하였다.
한편, 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)은 보이드(21)가 발생하면 바로 성장하는 것으로서 취급하였기 때문에, 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도(Tp)를 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)와 동일하게 하였다. 여기서,「바로」란 「보이드가 발생한 다음의 반복 계산으로부터』라는 의미이다. 다음에 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도보다 낮아졌을 때의 내벽 산화막(22)의 외반경(Rp)을 컴퓨터를 이용하여 구하였다. 또한, 내벽 산화막(22)의 외반경(Rp)을 보이드(21)의 반경으로부터 뺌으로써 내벽 산화막(22)의 두께(d)를 구하였다. 한편, 내벽 산화막의 밀도 분포는 상기 보이드의 밀도 분포와 동일하게 하였다. 상기 보이드 및 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함의 사이즈 분포, 즉 내벽 산화막(22)의 외반경(Rp)의 실리콘 단결정의 반경 방향으로의 분포를, 실리콘 단결정의 인상 속도를 바꾸어 산출한 결과를 도 12a 및 도 12b에 실선으로 도시한다. 또한 상기 보이드 및 내벽 산화막으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포의 실리콘 단결정의 반경방향으로의 분포를, 실리콘 단결정의 인상 속도를 바꾸어 산출한 결과를 도 13a 및 도 13b에 실선으로 도시한다.
<비교예 1>
실시예 1과 동일 형상의 실리콘 단결정을 동일한 조건으로 인상했을 때의 LSTD(레이져 산란 토모그래피법)를 측정하였다. 이 LSTD의 사이즈 분포를, 실리콘 단결정의 인상 속도를 바꾸어 측정한 결과를 도 12a 및 도 12b에 검은 점으로 도시한다. 또한 LSTD의 밀도 분포를 실리콘 단결정의 인상 속도를 바꾸어 측정한 결과를 도 13a 및 도 13b에 검은 점으로 도시한다. 한편, 상기 LSTD는 에어 홀형 점결함의 응집체의 일종이고, 실리콘 단결정 내에 적외선을 조사했을 때에 실리콘과는 상이한 굴절율을 갖는 산란광을 발하는 근원을 말한다. 한편, 상기 LSTD의 사이즈 분포 및 밀도 분포는 상기 실시예 1의 보이드 결함의 사이즈 분포 및 밀도 분포에 대응시켜도 좋다고 생각한다. 또한 LSTD는 검출 한계가 있기 때문에, 소정값보다 작은 사이즈인 것은 검출할 수 없었다.
<평가 1>
도 12a 및 도 12b로부터 알 수 있듯이, 실시예 1의 보이드 결함의 사이즈 분포와 비교예 1의 LSTD의 사이즈 분포는 사이즈의 검출 한계 이상으로 대략 일치하였다.
또한 도 13a 및 도 13b로부터 알 수 있듯이, 실시예 1의 보이드 결함의 밀도 분포와 비교예 1의 LSTD의 밀도 분포는 범위 (1)에 있어서 대략 일치하였지만, 범위 (2)에서는 일치하지 않았다. 범위 (2)에 있어서 밀도 분포가 일치하지 않았던 것은, 범위 (2)에서는 검출 가능한 보이드와 검출 불가능한 보이드가 섞여 들어가 있기 때문에, 비교예 1의 LSTD의 밀도 분포가 실시예 1의 보이드 결함의 밀도 분포보다 적어진 것으로 생각된다.
<실시예 2>
도 5 및 도 6에 도시하는 바와 같이, 석영 도가니(13)에 저류된 실리콘 용융 액(12)으로부터 직경 6인치의 실리콘 단결정(14)을 인상하는 경우의, 실리콘 단결정(14) 내의 보이드(21) 및 내벽 산화막(22)으로 이루어지는 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포를, 도 7 내지 도 10의 흐름도에 의거한 시뮬레이션 방법에 의해 구하였다.
즉, 실리콘 단결정 인상기(11)의 핫존을 메쉬 구조로 모델화하였다. 여기서, 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14) 직하의 실리콘 단결정(14)의 직경 방향의 메쉬를 0.75㎜로 설정하고, 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14) 직하 이외의 실리콘 단결정(14)의 직경 방향의 메쉬를 1~5㎜로 설정하였다. 또한 실리콘 용융액(12)의 실리콘 단결정(14)의 길이 방향의 메쉬를 0.25~5㎜로 설정하고, 난류 모델식의 난류 파라미터(C)로서 0.45를 이용하였다. 또한, 실리콘 단결정(14)의 인상 개시시(t0)로부터 냉각 완료시(t1)까지의 인상 길이 및 인상 높이의 단계적인 변경을 50㎜씩으로 하였다. 이러한 조건 하에서 실리콘 용융액(12)의 대류를 고려하여 실리콘 단결정(14) 내의 온도 분포를 구하였다.
다음에 실리콘 단결정(14)의 인상 개시시(t0)로부터 냉각 완료시(t1)까지의 시간을 소정의 간격(△t초)(미소한 시간의 간격)마다 구획하고, 이 시간 간격(△t초)마다 상기 실리콘 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터, 실리콘 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이와 실리콘 단결정 내(14)의 온도 분포를 구하고, 다시 보이드(21)의 형성 개시 온도를 구하여 보이드(21)의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 구하였다. 즉, 실리콘 단결정(14)을 실리콘 용융액(12)으로부터 절리한 후의 실리콘 단결정(14)의 서냉 및 급냉을 고려하여, 실리콘 단결정(14) 내의 보이드(21)의 밀도 분포 및 사이즈 분포를 컴퓨터를 이용하여 각각 구하였다.
한편, 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)은, 보이드(21)가 발생하면 바로 성장하는 것으로서 취급했기 때문에, 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도(Tp)를 보이드(21)의 형성 개시 온도(Tv)와 동일하게 하였다. 여기서,「바로」란, 「보이드가 발생한 다음의 반복 계산으로부터」라는 의미이다. 다음에 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도보다 낮아졌을 때의 내벽 산화막(22)의 외반경(Rp)을 컴퓨터를 이용하여 구하였다. 다음에 벽 산화막(22)의 외반경(Rp)을 보이드(21)의 반경으로부터 뺌으로써 내벽 산화막(22)의 두께(d)를 구하였다. 한편, 내벽 산화막의 밀도 분포는 상기 보이드의 밀도 분포와 동일하게 하였다.
다음에 실리콘 단결정(14) 내의 산소의 밀도 분포와 에어 홀의 밀도 분포와 온도 분포에 의거하여, 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)과 이 임계 반경(rcr)을 컴퓨터를 이용하여 구하였다. 또한, 임계 반경(rcr) 이상의 반경(rc)을 갖는 산소 석출핵의 단위시간당 발생량(Jc)이 제로를 넘을 때에 보이드 반경(rc) 및 내벽 산화막 두께(d)를 구하는 계산을 정지하고, 또한 임계 반경(rcr) 이상의 반경(rc)을 갖는 산소 석출핵의 반경(rc)을 컴퓨터를 이용하여 구하였다.
실리콘 단결정(14)의 반경 방향의 위치를 바꾼 경우(도 14a의 A부와 B부)의, 상기 산소 석출핵의 사이즈 분포 및 밀도 분포를 도 14b의 실선 A 및 실선 B로 도 시하였다. 또한 실리콘 단결정(14)의 인상 속도를 바꾼 경우(도 14a의 A부와 C부)의, 상기 산소 석출핵의 사이즈 분포 및 밀도 분포를 도 14b의 실선 A 및 실선 C로 도시하였다.
<비교예 2>
실시예 2와 동일 형상의 실리콘 단결정을 동일한 조건으로 인상하였다. 이 실리콘 단결정을 비교예 2로 하였다.
<비교 시험 1 및 평가 2>
실시예 2의 방법으로 구한 도 14a의 A부, B부 및 C부에서의 산소 석출핵의 밀도 분포 중, 경험적으로 구한 열처리 조건에 의존한 일정 사이즈 이상의 산소 석출핵의 총수(A1, B1 및 C1)를 컴퓨터를 이용하여 구하였다. 그 결과를 표 1에 나타낸다. 한편, 비교예 2의 실리콘 단결정에 있어서, 상기 도 14a의 A부, B부 및 C부에 대응하는 부분의 산소 석출핵의 밀도 분포를 소정의 열처리 후에 광학 현미경으로 측정하였다. 그 결과를 표 1에 나타낸다.
산소 석출핵의 밀도 분포(/㎤)
A부 B부 C부
실시예 2 1×1010 1×109 5×107
비교예 2 4×1010 7×109 8×107
표 1로부터 알 수 있듯이, 실시예 2의 방법으로 산출한 산소 석출핵의 밀도 분포는 비교예 2의 실제로 측정한 산소 석출핵의 밀도 분포와 오더(order)가 일치하였다. 이 결과, 산소 석출핵의 밀도 분포를 실시예 2의 방법에 의해 오더 레벨로 예상 가능한 것을 알 수 있었다.
본 발명의 단결정 내 보이드 결함과 단결정 내 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션 방법은, CZ법으로 인상되는 실리콘 단결정봉 등의 품질을 향상시키기 위해서 이용할 수 있다.

Claims (2)

  1. 인상기(11)에 의한 단결정(14)의 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 상기 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 상기 인상기(11)의 핫존을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계와,
    상기 핫존의 각 부재마다 메쉬를 모으고 또한 이 모아진 메쉬에 대한 상기 각 부재의 물성값과 함께 상기 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 대응하는 상기 단결정(14)의 인상 속도를 각각 컴퓨터에 입력하는 제2 단계와,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 상기 각 부재의 복사율에 의거하여 구하는 제3 단계와,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 의거하여 열전도 방정식을 푸는 것에 의해 상기 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후에 용융액(12)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 내비어·스토크 방정식을 연결하여 푸는 것에 의해 대류를 고려한 상기 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계와,
    상기 단결정(14) 및 상기 용융액(12)의 고액 계면 형상을 상기 단결정의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 맞추어 구하는 제5 단계와,
    상기 제3 단계로부터 상기 제5 단계를 상기 삼중점(S)이 상기 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하여 상기 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고 이들의 데이터를 각각 상기 컴퓨터에 입력하는 제6 단계와,
    상기 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이를 단계적으로 바꾸어 상기 제1 단계로부터 상기 제6 단계까지를 반복하여 상기 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고 이들의 데이터를 각각 상기 컴퓨터에 입력하는 제7 단계와,
    상기 단결정(14)의 상기 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 상기 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 시간을 구획하고, 상기 구획된 시간 간격마다 제7 단계에서 구한 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터 상기 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이와 상기 단결정(14) 내의 온도 분포를 구하는 제8 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 에어 홀 및 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건에 의거하여 확산 방정식을 푸는 것에 의해 상기 구획된 시간 간격이 경과한 후의 에어 홀 및 격자간 원자의 밀도 분포를 구하는 제9 단계와,
    상기 에어 홀의 밀도 분포에 의거하여 보이드(21)의 형성 개시 온도를 구하는 제10 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하되어 상기 보이드(21)의 형성 개시 온도가 되었을 때의 상기 보이드(21)의 밀도를 구하는 제11 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 상기 보이드(21)의 형성 개시 온도보다 낮을 때의 상기 보이드(21)의 반경을 구하는 제12 단계와,
    상기 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도를 구하는 제13 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 상기 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도보다 낮아졌을 때의 상기 보이드(21)의 반경과 상기 내벽 산화막(22)의 두께를 서로 관련시켜 구하는 제14 단계와,
    제8 단계로부터 제14 단계를 상기 단결정(14)의 냉각이 완료할 때까지 반복하는 제15 단계를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정 내 보이드 결함의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션을 행하는 방법.
  2. 인상기(11)에 의한 단결정(14)의 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 상기 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 상기 인상기(11)의 핫존을 메쉬 구조로 모델화하는 제1 단계와,
    상기 핫존의 각 부재마다 메쉬를 모으고 또한 이 모아진 메쉬에 대한 상기 각 부재의 물성값과 함께 상기 단결정(14)의 인상 길이 및 이 인상 길이에 대응하는 상기 단결정(14)의 인상 속도를 각각 컴퓨터에 입력하는 제2 단계와,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포를 히터의 발열량 및 상기 각 부재의 복사율에 의거하여 구하는 제3 단계와,
    상기 각 부재의 표면 온도 분포 및 열전도율에 의거하여 열전도 방정식을 푸는 것에 의해 상기 각 부재의 내부 온도 분포를 구한 후에 용융액(l2)이 난류라고 가정하여 얻어진 난류 모델식 및 내비어·스토크 방정식을 연결하여 푸는 것에 의해 대류를 고려한 상기 용융액(12)의 내부 온도 분포를 다시 구하는 제4 단계와,
    상기 단결정(14) 및 상기 용융액(l2)의 고액 계면 형상을 상기 단결정의 삼중점(S)을 포함하는 등온선에 맞추어 구하는 제5 단계와,
    상기 제3 단계로부터 상기 제5 단계를 상기 삼중점(S)이 상기 단결정(14)의 융점이 될 때까지 반복하여 상기 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하며 이들의 데이터를 각각 상기 컴퓨터에 입력하는 제6 단계와,
    상기 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이를 단계적으로 바꾸어 상기 제1 단계로부터 상기 제6 단계까지를 반복하여 상기 인상기(11) 내의 온도 분포를 계산하여 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도를 구하고 이들의 데이터를 각각 상기컴퓨터에 입력하는 제7 단계와,
    상기 단결정(14)의 상기 용융액(12)으로부터의 인상 개시시부터 상기 단결정(14)의 냉각 완료시까지의 시간을 구획하고, 상기 구획된 시간 간격마다 제7 단계에서 구한 상기 단결정(14)의 메쉬의 좌표 및 온도의 데이터로부터 상기 단결정(14)의 인상 길이 및 인상 높이와 상기 단결정(14) 내의 온도 분포를 구하는 제8 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 에어 홀 및 격자간 원자의 확산 계수 및 경계 조건에 의거하여 확산 방정식을 푸는 것에 의해 상기 구획된 시간 간격의 경과 후의 에어 홀 및 격자간 원자의 밀도 분포를 구하는 제9 단계와,
    상기 에어 홀의 밀도 분포에 의거하여 보이드의 형성 개시 온도를 구하는 제10 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 상기 보이드(21)의 형성 개시 온도가 되었을 때의 상기 보이드(21)의 밀도를 구하는 제11 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 상기 보이드(21)의 형성 개시 온도보다 낮을 때의 상기 보이드(21)의 반경을 구하는 제12 단계와,
    상기 보이드(21)의 주위에 성장하는 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도를 구하는 제13 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 각각의 메쉬의 격자점에서의 온도가 점차로 저하하여 상기 내벽 산화막(22)의 형성 개시 온도보다 낮아졌을 때의 상기 보이드(21)의 반경과 상기 내벽 산화막(22)의 두께를 서로 관련시켜 구하는 제14 단계와,
    상기 단결정(14) 내의 산소의 밀도 분포와 상기 에어 홀의 밀도 분포와 온도 분포에 의거하여 산소 석출핵의 단위시간당 발생량과 상기 임계 반경을 구하는 제15 단계와,
    상기 산소 석출핵의 단위시간당 발생량이 제로를 넘은 때에 상기 보이드(21)의 반경 및 상기 내벽 산화막(22)의 두께를 구하는 계산을 정지하고 또한 상기 산소 석출핵의 반경을 구하는 제16 단계와,
    제8 단계로부터 제16 단계를 상기 단결정(14)의 냉각이 완료할 때까지 반복하는 제17 단계를 포함하는, 컴퓨터를 이용하여 단결정 내 산소 석출핵의 밀도 분포 및 사이즈 분포의 시뮬레이션을 행하는 방법.
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