KR101633360B1

KR101633360B1 - 구조물 상태 평가를 위한 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법

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Publication number: KR101633360B1
Application number: KR1020150004213A
Authority: KR
Inventors: 정형조; 진승섭; 이정훈
Original assignee: 한국과학기술원
Priority date: 2015-01-12
Filing date: 2015-01-12
Publication date: 2016-06-27

Abstract

본 발명은 구조물 신뢰성 평가, 유한요소모델 기반 최적 설계, 확률론적 해석 및 역해석 문제(유한요소 모델 보정)에 반복적으로 수행되어지는 해석 모델의 계산 효율을 위한을 구조물 상태 평가를 위한 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법에 관한 것으로, 근사 모델 구축에 활용할 초기 샘플과 구축되어지는 근사 모델의 정확도를 독립적으로 판단하기 위한 검증 샘플들을 구성하는 초기샘플구축단계; 구성된 샘플을 기반으로 FE 분석하는 FE분석단계; FE분석으로부터 얻은 출력값과 입력값을 이용하여 크리깅 모델을 구축하는 크리깅모델구축단계; 구축된 크리깅 모델을 이용하여 검증 샘플들에 대한 예측값을 산출하고, 근사모델의 정확도를 평가하는 적용단계; 구축된 크리깅 모델이 충분한 정확도를 가지는지 여부를 판단하여 중단조건에 해당하는 지 여부를 판단하는 중단판단단계; 중단판단단계에서 중단조건에 아닌 경우에 예측향상 지표를 기반으로 근사 모델의 예측 정확도를 향상시킬 수 있는 추가샘플을 탐색하는 예측향상확인단계; 및 예측향상 지표로부터 순차적 샘플링에 근거하여 샘플링을 추가하는 샘플링추가단계를 포함하고, 샘플링추가단계 후에는 상기 FE분석단계로 복귀하는 것을 특징으로 한다.

Description

구조물 상태 평가를 위한 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법{Sequential sampling method based kriging model for structure condition assessment}

본 발명은 구조물 상태 평가를 위한 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 구조물 신뢰성 평가, 유한요소모델 기반 최적 설계, 확률론적 해석 및 역해석 문제(유한요소 모델 보정)에 반복적으로 수행되어지는 해석 모델의 계산 효율을 위한을 해석 모델의 근사 모델 구축 방법론에 관한 것이다.

구조물에 대한 상태 평가가 필요한 이유는 구조물은 시간에 따라 노후화가 진행되어지므로 구조물의 효율적인 유지관리가 요구되어진다. 또한 설계 당시의 하중 조건 (중량, 속도, 교통량 등) 및 주변환경이 시간에 따라 변화하기 때문에 이로 인한 구조물의 성능 저하 및 붕괴에 대한 검토가 요구되어 진다. 따라서, 구조물에 대한 주기적인 평가 및 보수/보강 혹은 교체에 대한 결정을 주어진 예산에서 결정하여야 한다.

구조물 상태 평가에 관한 연구는 구조물의 노후화에 대한 대비책으로 많은 연구가 수행되고 있으며, 그 주요 목적은 사회 구조물의 붕괴를 미연에 방지하고, 적절한 보수/보강에 대한 의사결정 지원을 제공하는 것을 목표로 하다. 기존 구조물에 대한 현장 데이터 해석 방법론은 크게 모델 기반과 비모델 기반으로 구분 지을 수 있다.

비모델 기반의 방법론은 상대적으로 계측 값 기반으로 활용되기 때문에 관리 및 적용이 용이하다는 장점이 있으나, 계측된 데이터의 패턴의 변화를 분석하기 때문에 이를 물리적인 혹은 수치적인 모델에 적용하여 다양한 시뮬레이션이나 해석에 대한 정보를 제공할 수 없다는 단점이 있다.

모델 기반의 방법론은 수치해석 모델을 구성해야 하기 때문에 모델링이라는 과정과 해석에 시간이 많이 소요된다는 단점이 있으나, 아래와 같은 수치해석모델 (유한요소모델)을 통해 다양한 해석 및 평가가 가능하다는 장점이 있다.

그 대표적인 활용 방안으로, 현 구조물의 상태(외부 하중에 대한 저항 능력)을 평가하거나, 교량 상태에 따른 통행차량의 하중 제한 설정에 활용될 수 있다. 또, 예상되어지는 하중 (통행 하중의 변화 혹은 설하중의 크기 및 빈도 등)에 따른 구조물의 성능 예측(일례로, 마우라 리조트와 같이 설계 당시의 설하중이 시간의 변화에 따라 변화된 경우, 변화된 설하중패턴에 따른 구조물의 하중저항 능력 평가)할 수 있다. 그리고, 실제 구조물에서 재정적/기술적으로 시현하기 어려운 시나리오들 (구조물의 특정 부재의 파괴(점진적인 파괴)로 인한 구조계의 변화, 지진에 따른 구조물의 응답 예측, 선박 충돌로 인한 교량의 붕괴 위험도 평가)을 검토하고 이에 따른 보강 및 조치를 하는 의사 결정에 활용 가능하다.

특히, 대형 구조물(교량, 빌딩 및 댐 등)에서는, 유한요소 모델을 활용하여 구조적 안정성 평가가 실무에서 주로 활용되어 지고 있다. 이에 관한 구체적인 활용 방안은 크게 해석 모델 예측 정확성 향상을 위한 역해석 문제(유한요소 모델 개선)와 확률론적 성능 평가를 위한 정해석 문제에 적용할 수 있다.

먼저, 유한요소 모델 개선(Finite Element model updating)의 경우, 실제 계측데이터를 이용하여 수치해석 모델을 보정해서 구조물의 실거동을 반영한 신뢰성 높은 해석 모델을 구축하는 역해석 문제이다. 이러한 역해석 문제는 공용 연수가 높은 교량의 실제 계측데이터를 이용하여 노후화에 따른 성능을 평가하는 문제에 적용가능하다. 일반적으로 역해석 문제는, 반복적인 수치해석(최적화 혹은 확률론적시뮬레이션)이 많이 요구된다.

개선된 모델의 변수 예측값을 통해 구조물의 전체적인 상태를 예측하고, 개선된 모델을 통해 다양한 하중 조건(차량 하중 등)의 해석 수행을 통해 안전성을 평가하게 된다. 구조물 신뢰성 평가는 다양한 불확실성 인자를 확률 분포형으로 가정한다. 이러한 불확실성 인자들로는 유한요소 모델의 구조 변수 (재료 물성치, 연결부 구속 조건 등), 취약부의 손상 (균열 혹은 부식 등) 및 주변환경인자 (구조물에 가해지는 하중 및 하중 변화 추이 적용)등이 있으며, 이들을 확률 분포로 표현하여, 몬테 카를로 시뮬레이션과 같은 확률론적 해석 기법을 통해 피로 수명에 대한 예측 및 특정 조건에서 구조물의 붕괴 및 심각한 손상이 발생할 수 있는 확률을 산출하는 방법이다. 산출된 확률을 통해 구조물의 보수/보강 등의 의사결정에 활용할 수 있다.

즉, 반복적인 수치해석 모델이 필요하게 되어지며, 수치해석 모델의 정확도를 위해 일반적으로 간략화된 모델보다는 고정밀 (high-fidelity) 모델의 사용이 요구된다.

물리적 시스템을 수치해석 모델로 표현하면, 크게 간략화 모델과 고정밀 모델로 구성이 가능하다. 간략화 및 생략이 최소화된 고정밀 모델을 사용한다면, 간략화 모델보다 시스템오류를 최소화할 수 있으나, 해석 시간의 증대라는 문제가 존재한다.

따라서 고정밀 모델의 반복적인 해석이 필요한 모델 개선 및 확률론적 신뢰성 해석의 경우, 소요되어지는 시간이 기하급수적으로 증가한다는 큰 문제가 존재한다. 컴퓨터 하드웨어의 발전에도 불구하고 대형 구조물의 수치해석 모델로 고정밀 모델을 이용할 경우, 해석 시간이 가장 큰 문제이며, 이러한 대안책으로 연구되어지는 것이 근사 모델(서로게이트 모델(surrogate model), 반응표면모델 혹은 메타 모델이라고도 함)을 활용하는 방법론이 많이 제안되고 있다.

수치해석 모델은 실제 시스템 혹은 현상을 이를 표현하는 지배 방정식을 기반으로 표현하는 수치적 모델이라면, 근사 모델은 해석 모델의 입력과 출력의 관계를 나타내는 수학적 표현을 이용한 근사 모델을 말한다.

즉, 해석 모델에서의 특정 입력 변수들의 공간에서 특정 샘플들을 추출하고, 이를 기준으로 모델의 출력들을 나타내는 응답면을 근사하는 모델이다.

도 1a 내지 도 1d를 참조하여 근사 모델(크리깅)에 대하여 좀 더 자세히 설명한다.

도 1a는 최소값들 -4와 최소값들 4를 가지는 함수(수학식 1 참조)의 실제값을 도시한 것이다.

도 1b 및 도 1c와 같이 30개의 초기 샘플(해당 그림에서 검은 점)에 해당하는 입력값들 (X=[x1, x2]) 을 구성한다. 그리고 이들 30개의 샘플을 이용하여 실제 출력값 (Y_exact) 을 계산한다. 30개의 샘플의 입/출력 값 (X, Y_exact)을 이용하여 도 1d와 같이 크리깅 모델(근사 모델)을 구축한다. 구축된 크리깅 모델은 샘플들을 통해 샘플링되지 않은 나머지 입력에 대한 예측값 (Y_kriging)을 예측하는데 활용된다. 도 1d와 같이 실제 출력값(Y_exact) 과 예측값(Y_kriging)은 거의 동일하다는 것을 알 수 있다.

예들 들어, 실제 출력 값을 얻는데 소요되는 해석 시간 (약 1일 이상)이 상당히 큰 경우, 위와 같이 근사 모델을 이용하여 최소한의 샘플 (해당 샘플들에 대한 수치 해석 수행)들을 이용하여, 수치해석 대신 근사모델을 구축하고 이를 이용하여 계산적 효율 (시간 및 컴퓨터 리소스)을 극대화하는데 활용되는 방법론이다.

추후 이렇게 근사화된 근사 모델들을 이용하여 추후 모델 개선 및 확률론적 해석에 필요한 해석 출력값을 예측하는 것에 활용할 수 있다. 따라서, 대리 모델을 구성하기 위해, 변수공간의 샘플들을 이용하고, 이를 통해 구축된 근사모델을 유한요소모델 해석을 대신하는데 사용할 수 있다.

이러한 근사모델에는 크리깅 모델(Kriging model) 뿐 아니라 다항 모델(polynomial model), 방사 기저 함수(radial basis function) 등이 있다. 이러한 근사모델을 구성하기 위해서는 근사모델을 추인을 위한 초기샘플이 필요하다. 이러한 초기 샘플의 구성은, 실험계획법(Design of Experiment, DOE)에 의해 수행되어진다. 이러한 초기 샘플 구성 방법에는, 완전요인배치법(Full factorial design), 중심 합성 계획법(central composite design , CCD) 및 라틴 하이퍼 큐브 샘플링 (Latin Hypercube sampling, LHS)과 같은 공간 충진 실험계획 등등 다양한 방법론에 의해 이루어진다. 이 때, 방법론의 선택 및 샘플의 수 및 위치 등은 사용자의 주관적인 경험 및 개입을 통해 만족할 수 있는 결과(정확도)를 얻을 때까지 반복적으로 시행착오를 수행하게 된다.

다음은 실험계획법에 대하여 도 2a 내지 도 2d를 이용하여 설명한다. 수학식 1에 대하여, 실험계획법에 의해 샘플을 4개(도 2a), 10개(도 2b), 20개(도 2c), 40개(도 2d)로 각각 구성하여 근사모델을 구성한 것을 보여주고 있다. 이로부터, 40개의 샘플을 균등하게 구성해야 정확한 근사모델을 구성할 수 있는 것을 알 수 있다. 이로부터 구성되어지는 초기 샘플의 수와 그 위치에 따라 근사모델의 정확도가 크게 좌우되어진다는 사실을 확인할 수 있다. 즉, 근사모델을 구성하는데 사용되어지는 샘플의 수와 위치가 중요하다는 것을 의미한다.

더 많은 샘플을 사용하면 할수록 정확해지는 것은 당연하지만, 문제는 근사하고자하는 함수(해석모델의 입/출력 관계)는 일반적으로 미리 알 수 없기 때문에 어느 정도의 샘플 수와 위치가 충분한지에 대한 것을 알 수 없다. 따라서, 샘플의 수 및 위치 등에 대한 여러 실험계획법을 구성하고 이를 바꿔가면서 만족스러운 값을 찾아야 하는 시행착오가 요구된다.

이러한 시행착오법은 매번 사용자의 주관적인 경험 및 주관이 요구되어지며, 때때로는 만족할만한 정확성을 가지는 근사모델을 구성하는게 어렵다는 문제점이 존재한다.

특허 제10-1420304호

상술한 문제점을 해결하기 위해 안출된 본 발명의 목적은, 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 구조물 신뢰성 평가, 유한요소모델 기반 최적 설계, 확률론적 해석 및 역해석 문제 (유한요소 모델 보정)을 위한 해석 모델의 근사 모델 구축 방법론을 제공하는 데에 있다.

본 발명은 이러한 기존 방법론들의 대안으로 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법론을 제시하고자 한다. 우선 본 방법론에 사용되어지는 크리깅 모델은 지질통계학 및 전산실험계획법에 사용되어지는 보간 방법론이다. 크리깅 모델은 예측값에 대한 불확실성을 정규 분포 형태로 가정하여 표현이 가능하다. 이러한 확률적 접근을 통해 구축된 근사 모델을 통해 구하고자 하는 샘플의 예측값을 정규 확률 분포 모형으로 추정할 수 있다. 이를 통해, 상대적으로 예측값에 대한 불확실성을 정량화하여 현재 샘플들로 구성된 근사 모델의 정확도를 향상하기 위해 채울 수 있는 샘플(sample for infill)을 평가하여 이를 최종적으로 선택할 수 있다. 이렇게 추정된 샘플에 대한 추가적인 유한요소 모델 해석을 수행하고 추가된 샘플을 기존의 근사모델에 포함하여 근사 모델에 사용되어지는 샘플 집합을 갱신한다.

이를 위한 본 발명은, 근사 모델 구축에 활용할 초기 샘플과 구축되어지는 근사 모델의 정확도를 독립적으로 판단하기 위한 검증 샘플들을 구성하는 초기샘플구축단계; 구성된 샘플을 기반으로 FE(Finite Element) 분석하는 FE분석단계; FE분석으로부터 얻은 출력값과 입력값을 이용하여 크리깅 모델을 구축하는 크리깅모델구축단계; 구축된 크리깅 모델을 이용하여 검증 샘플들에 대한 예측값을 산출하고, 근사모델의 정확도를 평가하는 적용단계; 구축된 크리깅 모델이 충분한 정확도를 가지는지 여부를 판단하여 중단조건에 해당하는 지 여부를 판단하는 중단판단단계; 중단판단단계에서 중단조건에 아닌 경우에 예측향상 지표를 기반으로 근사 모델의 예측 정확도를 향상시킬 수 있는 추가샘플을 탐색하는 예측향상확인단계; 및 예측향상 지표로부터 순차적 샘플링에 근거하여 샘플링을 추가하는 샘플링추가단계를 포함하고, 샘플링추가단계 후에는 상기 FE분석단계로 복귀하는 것을 특징으로 한다.

또, 크리깅 모델의 기저함수(상관함수)는 아래의 식으로 정의되는 것을 특징으로 한다.

또, 최우도 함수는 앞서 표현된 크리깅 기저함수 (상관행렬)로부터 얻어지는 공분산 행렬을 통해 정규 분포로 표현하는 크리깅 모델의 가정을 통해 유도할 수 있다. 초기 샘플을 통해 최우도 함수를 극대화하는 크리깅 변수 (θ_p)를 추정한다. 추정된 크리깅 변수와 초기 샘플들을 통해 사용되지 않은 미지의 샘플의 예측값을 정규 분포의 형태로 추정할 수 있다. 이러한 예측값에 대한 정규 분포 형태의 표현 가능함은 예측하고자 하는 값에 대한 불확실성을 추정할 수 있고, 이를 통해 해당 값을 취득함으로써 예측의 향상정도를 확률적으로 모사할 수 있다.

또, 예측향상확인단계는, 예측향상지표(E(I))를 아래의 식과 같이 추정하고자 하는 샘플의 예측값을 취함으로써 현재 구해진 최적값의 향상 정도와 예측값에 대한 불확실성 정도를 확률적으로 계산하는 것을 특징으로 한다.

또. 중단판단단계는, 모델 구성과는 독립적으로 구축한 검증 샘플들의 실제값이 현 구축 모델이 추정한 해당 예측값에 대한 정확한 정도를 나타내는 R²(검증 샘플의 추정값 및 실제값 사이의 적합도를 재는 척도)과 RMSE (검증 샘플들의 추정값 및 실제값의 평균 제곱근 편차, Root Mean Squared error)으로부터, R²과 RMSE의 허용조건의 이내인지를 확인하는 것을 특징으로 한다.

또, R²과 RMSE의 허용조건은 아래의 식을 만족하는 것을 특징으로 한다.

본 발명은, 대형 구조물(교량, 빌딩 및 댐 등)의 유한요소 모델을 활용한 구조적 안정성 평가 분야에 활용 가능하다. 특히, 확률론적 성능 평가를 위한 정해석 문제와 해석 모델 정확성 향상을 위한 역해석 문제에 적용할 수 있으며, 정확한 해석(모델링 오류 최소화)을 위해 정밀한 해석 모델을 사용할 경우, 반복적인 모델 해석에 소요되는 시간은 기하급수적으로 늘어나는 경우에 매우 효율적으로 적용 가능하다.

도 1a 내지 도 1d는 근사 모델을 설명하기 위한 도면이다.
도 2a 내지 도 2d는 실험계획법을 설명하기 위한 도면이다.
도 3은 실제값에 따른 RMSE의 변화모습을 나타내는 그래프이다.
도 4a 및 도 4b는 예측향상과 RMSE값에 따른 최적 샘플값을 결정하는 모습의 그래프이다.
도 5a 및 도 5b는 본 발명에서 샘플을 추가하는 과정을 도해적으로 나타낸 개략도이다.
도 6은 본 발명에 다른 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법의 순서도이다.
도 7a 내지 도 7e는 도 6의 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법에 따라 샘플링하는 과정을 나타낸 도면이다.

이하, 본 발명을 바람직한 실시예를 첨부한 도면을 참조하여 설명하기로 한다. 하기의 각 도면의 구성 요소들에 참조 부호를 부가함에 있어서, 동일한 구성 요소들에 한해서는 비록 다른 도면상에 표시되더라도 가능한 한 동일한 부호를 가지도록 하며, 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있다고 판단되는 공지 기능 및 구성에 대한 상세한 설명은 생략한다.

먼저, 크리깅 모델에 대하여 설명한다. 크리깅 모델은 지질 통계학에서 개발된 보간법이다. 기저 함수에 필요한 변수(θ_p)들은 최대 우도 함수(MLE function, Maximum likelihood Estimate Function)를 최대화하는 식을 통해 구할 수 있다. 그 기저함수(

)의 형태는 수학식 2와 같다.

여기서, p는 샘플 x의 차원(총 k개)을 나타내고, i와 j는 각각 샘플 x의 순번을 나타낸다. 샘플 x의 차원 (해석 모델의 입력 변수)에 따른 상대적인 출력값에 대한 기여도를 나타내며, 이는 크리깅 모델에서 추정하고자하는 변수이다.

크리깅 모델의 기본적인 개념은 각 샘플 간의 함수값은 상대 거리에 상관(corelation)되어 있다는 점이다. 이를 기점으로 각 함수 값들은 추계론적 공간(정규분포)에 의해 나오는 랜덤 변수라는 방법으로 함수를 모델링하게 된다. 기저함수로 사용된 상관 행렬을 기초로 상관행렬과 공분산 사이의 관계 (수학식 5)를 이용하여 공분산을 추정할 수 있으며, 이렇게 추정된 공분산은 정규분포를 모델링하는데 필요한 공분산으로 활용된다.

각 샘플들간의 상관관계가 정의되고, 해당 상관관계를 통해 분산값을 아래 수학식 3 내지 6과 같이 표현할 수 있다.

여기서, Y는 초기 샘플 x (n개의 샘플)이 각자 가지는 예측값들의 정규 분포를 나타낸 랜덤 변수들을 나타낸다. 여기서 μ는 크리깅 모델을 표현하는데 사용된 정규 분포의 평균값을 나타낸다.

이를 통해 샘플의 함수는 예측값들은 평균값(mean value)과 분산값을 가지는 추계론적 랜덤 변수(정규분포)로 표현된다. 예측값이 정규분포를 따른다는 가정을 이용하여 정규분포의 최대 우도 함수를 산출할 수 있다. 수식의 유도의 편의를 위해 최대 우도 함수에 자연 로그를 취하게 된다.

이에 대한 로그 최우도 함수는 수학식 7와 같이 구현되어지며, 최우도 함수가 최대값을 가질 수 있게 평균과 분산에 대해 수학식 7을 각각 미분을 취하여 구하여 평균값(μ)과 분산(σ)에 대해서 풀면 수학식 8과 같다.

여기서, μ과 σ의 위에 표시된 '^'기호는 예측값을 의미한다. 수학식 8을 보면, 평균 추정값은 상관행렬 (수학식 2)를 제외하고 알 수 있는 값이며, 분산에 대한 추정값은 상관행렬과 평균 추정값을 구하면 추정할 수 있다. 따라서, 크리깅 변수(θ_p)를 가정하고 수학식 8을 계산을 하면 가정된 크리깅 변수에 따른 평균 및 분산에 대한 추정값을 얻을 수 있으며, 이를 통해 최종적으로 최우도 값(수학식 7)을 산출할 수 있다. 따라서, 수치 최적화 기법 (유전자 알고리즘 등)을 이용하여 상수항을 무시한 최우도 함수식 (수학식 9)이 최대값을 가지는 크리깅 변수(θ_p)를 찾을 수 있다.

추정하고자 하는 위치의 예측값은 근사 모델 구성에 활용된 샘플과 추정된 크리깅 변수(θ_p)로부터 추정할 수 있다.

수학식 10,11과 같이 예측하고자 하는 샘플에 대한 근사 모델 구성에 활용된 샘플들과 같이 구성한다. 증가된 샘플(augmented sample) 및 공분산을 정의하고 이를 앞서 보인 바와 같이 최우도 함수(LME)를 수학식 12 및 13과 같이 계산한다(수학식 13은 수학식 12의 미분한 것이다). 이때 주 변수는 예측 값뿐이며, 앞서 예측된 다른 변수들(크리깅 변수, 평균, 분산)은 그대로 사용한다.

여기서, y는 측정하고자 하는 미지의 값을 의미한다.

이를 통해, 최종적으로 수학식 14와 같은 선형 결합형태로 예측 값을 구할 수 있다.

크리깅 근사모델의 예측값에 대한 최우도 함수(수학식 13)는 2차 다항식의 형태를 가지며, 다항식의 2차항 계수, 즉 곡률을 이용하여 예측값의 불확실성을 분산값으로 표현한다. 즉, 큰 곡률을 가질수록 그 값이 가질 수 있는 변수가 평균값 근처로 모여있음을 의미하고, 이에 예측에 대한 불확실성이 작음을 의미한다. 이러한 특성은 추정하고자 하는 샘플(미지의 위치)에 대한 예측값을 정규분포의 형태로 확률론적으로 표현할 수 있다. 정규분포로 표현하기 위한 분산값을 구하기 위해 수학식 13을 한번 더 미분하면, 좌항만 남게 되고, 수학식 15와 같다.

따라서, 크리깅 예측값이 정규분포를 가진다는 전제 조건을 이용하여, 상대적으로 불확실성이 큰 위치를 계산할 수 있다. 즉, 이는, 크리깅 예측에서 오차예측이 수학식 15의 분모로부터 가능하다.

즉, 도 3에 도시된 바와 같이, 실제 함수값(실선으로 표시)에 대하여 각 샘플 (빨간색 원) 사이에서 추정하는 값들이 가지는 RMSE(S(x))의 값들을 점선으로 나타내었다. 즉, 샘플에 가까워질수록 RMSE의 값이 0에 가까워지는 것을 알 수 있다. RMSE이 값이 큰 위치일수록 구해지는 예측값의 변동이 크다는 것을 의미한다.

는 앞서 추정하고자 하는 샘플의 예측값 (Y(x))이 가지는 정규분포의 확률 밀도 함수를 나타낸다. 여기서

은 수학식 14로 추정되며, s(x)는 수학식 16으로 구해진다.

앞에서 언급한 바와 같이, 크리깅 모델의 예측값은 정규 분포 형태의 표현 가능함은 예측하고자 하는 값에 대한 불확실성을 추정할 수 있고, 이를 통해 해당 값을 취득함으로써 예측의 향상정도를 확률적으로 모사 할 수 있다. 이러한 특성을 이용하여 예측향상(Expected improvement)라는 지표(E(I))를 수학식 18과 같이 추정하고자 하는 샘플의 예측값을 취함으로써 더 4a와 같이 현재 구해진 최적값의 향상 정도와 도 4b와 같이 예측값에 대한 불확실성 정도(변동 정도)를 확률적으로 계산하여, 그 정도가 큰 값을 선택할 수 있다.

따라서, 본 발명에서는 도 5a 및 도 5b에 도시한 바와 같이, 초기 샘플을 통해 최초 근사모델을 구축하고, 근사모델의 정확도를 점차적으로 향상할 수 있도록 샘플을 순차적으로 추가하는 방법을 제시한다. 즉, 크리깅 모델의 예측값에 대한 확률론적 추정으로 순차적으로 추가할 샘플을 선정하는 지표로 활용한다. 샘플을 탐색하는 방법은 예측향상(Expected improvement)의 값이 큰 샘플을 기존의 샘플들에 추가하고 추가된 샘플들을 통해 근사 모델을 재구성하는 방식이다.

본 발명을 도 6을 참조하여 설명하면, 먼저 근사모델 구축에 활용할 초기샘플과 구축되어지는 근사 모델의 정확도를 독립적으로 판단하기 위한 검증샘플들을 구성한다(S10). 그리고, 이를 기반으로 FE 분석을 하고(S12), 모델 구축에 활용할 초기 샘플 (정확도 판정을 위한 검증 샘플들은 활용하지 않음)을 이용하여크리깅 모델을 구축한다(S14). 구축된 크리깅 모델로부터 구축된 크리깅 모델을 이용하여 검증 샘플들에 대한 예측값을 산출하고 근사 모델의 정확도를 평가한다(S16). 이후 구축된 크리깅 모델이 중단조건에 해당하는 지 여부를 판단한다(S18). 중단판단단계에서 이후 구축된 크리깅 모델이 중단조건이 중단조건에 부합하지 않는다고 판단되면, 수치적 탐색 기법 (유전자 알고리즘 등)을 이용하여 예측향상 지표가 가장 큰 후보점을 산출하고(S20), 상기 순차적 샘플링에 근거하여 샘플링을 추가한다(S22). 그리고, 샘플링을 추가한 이후 FE 분석단계로 복귀한다. 만일, 중단판단단계에서 중단조건에 해당된다면 이 때 구축된 크리깅 모델이 최종 크리깅 모델에 해당된다.

이 때, 중단조건의 기준을 정하는 방법을 아래에서 설명한다.

먼저, 검증샘플(x_i,val)들은 변수 공간에서 임의로 생성하고 출력값(y((x_i,val))을 얻는다. 구축된 크리깅 모델을 통해 수학식 14와 같이 예측값을 산출한다.

구축된 근사 모델의 정확도를 평가하는 지표인 R²과 RMSE 값을 수학식 19 및 20과 같이 산출한다. 두 지표는 초기에 근사 모델 구성과는 독립적으로 추가적으로 구축한 검증 샘플들의 실제 계산된 예측값과 각 구축된 근사모델에서의 예측값들의 비교를 통해 근사 모델의 정확도를 추정한다. 여기서, R²은 초기에 근사 모델의 구성과는 독립적으로 구축한 검증 샘플들의 예측값과 실제값 사이의 적합도를 재는 척도이다. 1의 경우, 완벽한 적합성을 나타내는 것이며, 0의 경우, 둘의 적합도는 존재하지 않음을 의미한다. 그리고 RMSE는 검증 샘플들의 추정값 및 실제값의 평균 제곱근 편차를 나타내며 작을수록 검증 샘플에서의 두 값의 실질적인 차이가 작아지는 것을 의미한다.

여기서, (x_i,val)는 검증샘플이고,

는 y((x_i,val)의 평균값을 나타낸다.

R²과 RMSE의 허용조건은 수학식 21 및 22와 같다.

따라서, 중단판단단계(S18)에서 수학식 21, 22의 만족여부를 확인하게 된다.

본 발명에 따른 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법을 수학식 1을 이용하여 수행하는 과정을 설명한다. 이 때, 수학식 1에서 범위는 -30<x<25이다.

먼저, 도 7a에 표시된 바와 같이, 초기샘플(파란원으로 표시)을 구축하고, 해당 샘플(4개)들에 대한 실제 함수값을 산출(FE 분석에 해당)을 한다. 또한 이와 독립적으로 12개의 검증 샘플을 구축하고 해석을 수행하였다. 4개의 샘플로 크리깅 모델을 구축한다. 현 근사모델을 도시적으로 보여주기 위해 각 x값에 따라 구해진 예측값(붉은 선으로 표시)을 도시하였다. 이 때, 최초샘플은 4개이며, 독립적으로 중단조건 평가를 위한 검증 샘플은 12개를 사용하였다. 검증 샘플은 가능한 변수 공간 (x)에 균등하게 구성될 수 있는 공간 충진 계획법 (라틴 하이퍼큐브 샘플링 등)을 이용하여 구성하였다.

도 7b~d는 크게 좌측 그림과 우측 그림으로 표현하였다. 좌측 그림들은 근사 모델 (빨간색 점선), 사용된 샘플 (파란색 원), 실제 함수 (검은색 점선) 및 해당 단계에서의 추가되어지는 샘플 (초록색 사각형)으로 나타내었으며, 이는 각 단계 별로 근사모델이 실제 함수를 정확하게 모사해가는 것을 보여주는 것을 나타낸다. 반면, 우측 그림들은 각 단계에서 구성된 근사모델들이 가지는 향상 지표 (E(I), 빨간색 점선)과 유전자 알고리즘을 통해 최종적으로 선택된 추가 샘플(초록색 실선, 이는 우측 그림의 초록색 사각형을 나타냄)을 나타낸다.

그리고, 도 7b 내지 도 7d는 중단판단을 하여 수학식 21, 22을 만족하지 않으면, 향상지표(E(I))를 계산하여, 샘플을 추가하는 과정을 나타내고 있다(도 7b에서 초록색 사각형). 도 7b는 5개의 샘플로 로 구성된 근사모델과 독립적인 검증 샘플들을 이용하여 중단조건을 평가하고, 중단 조건 만족 (근사모델 정확도 확보)을 위해 근사 모델 향상을 위한 추가 샘플을 구하는 것을 나타내고 있다.

이와 같은 과정을 반복한다. 즉, 도 7c에서 추가샘플의 총수가 10개, 도 7d에서 추가샘플의 총수가 15개와 같이 반복하게 된다.

이와 같은 과정을 거쳐서 수학식 21,22을 만족하면 도 7e에 도시된 바와 같이, 추가샘플의 총수가 25개, 즉 샘플의 총수가 29개가 될 때 실제값을 허용범위 이내에서 따르게 된다. 이 때의 크리깅 모델이 최종 근사 모델(크리깅 모델)이다. 이렇게 구성된 최종 근사 모델 (크리깅 모델)을 추후 반복적으로 수행되어지는 수치해석을 대신하여 활용하게 되어진다.

따라서, 본 발명은 기존 근사 모델 구축 방법론과 달리 초기 샘플을 구현하고 이후에 필요한 샘플링을 휴리스틱한 방법으로 시행 착오법을 통해 수행하는 것이 아닌 크리깅 모델의 예측값에 대한 확률론적 향상 지표를 통해 근사 모델 정확도 향상의 가능성이 큰 샘플을 순차적으로 추가한다는 점이다. 이를 통해 사용자의 휴리스틱한 점을 최소화하고 자동적으로 근사모델을 구축할 수 있다는 점이 가장 큰 개선 사항이자 차별점이다.

상기와 같이, 본 발명의 바람직한 실시예를 참조하여 설명하였지만 해당 기술 분야의 숙련된 당업자라면 하기의 특허청구범위에 기재된 본 발명의 사상 및 영역으로부터 벗어나지 않는 범위 내에서 본 발명을 다양하게 수정 및 변경시킬 수 있음을 이해할 수 있을 것이다.

Claims

해석 모델 근사를 위한 크리깅 모델 구축에 활용할 초기 샘플과 구축되어지는 크리깅 모델의 정확도를 독립적으로 판단하기 위한 검증 샘플들을 구성하는 초기샘플구축단계;
구성된 샘플을 기반으로 FE(Finite Element) 분석하는 FE분석단계;
FE분석으로부터 얻은 출력값과 입력값을 이용하여 크리깅 모델을 구축하는 크리깅모델구축단계;
구축된 크리깅 모델을 이용하여 검증 샘플들에 대한 예측값을 산출하고, 크리깅 모델의 정확도를 평가하는 적용단계;
구축된 크리깅 모델이 충분한 정확도를 가지는지 여부를 판단하여 중단조건에 해당하는지 여부를 판단하는 중단판단단계;
중단판단단계에서 중단조건이 아닌 경우에 예측향상 지표를 기반으로 크리깅 모델의 예측 정확도를 향상시킬 수 있는 추가샘플을 탐색하는 예측향상확인단계; 및
예측향상 지표로부터 순차적 샘플링에 근거하여 샘플링을 추가하는 샘플링추가단계를 포함하고,
샘플링추가단계 후에는 상기 FE분석단계로 복귀하며,

크리깅 모델의 기저함수(
)는 아래의 식으로 정의되는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.

여기서, p는 샘플 x의 차원(총 k개)을 나타내고, i와 j는 각각 샘플 x의 순번을 나타내며, θ_p는 샘플 x의 차원 따른 상대적인 출력값에 대한 기여도를 나타내크리깅 변수이다.
삭제
제1항에 있어서, 최우도 함수는 앞서 표현된 크리깅 기저함수로부터 얻어지는 공분산 행렬을 통해 정규 분포로 표현하는 크리깅 모델의 가정을 통해 유도되는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.
제3항에 있어서, 크리깅 변수(θ_p)는 초기 샘플을 통해 최우도 함수를 극대화하는 값으로 유도되는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.
제4항에 있어서, 추정된 크리깅 변수와 초기 샘플들을 통해 사용되지 않은 미지의 샘플의 예측값을 정규 분포의 형태로 추정하는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.
제3항에 있어서, 예측향상확인단계는, 예측향상지표(E(I))를 아래의 식과 같이 추정하고자 하는 샘플의 예측값을 취함으로써 현재 구해진 최적값의 향상 정도와 예측값에 대한 불확실성 정도를 확률적으로 계산하는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.

여기서, y_min는 함수 초기 샘플 x (n개의 샘플)이 각자 가지는 예측값들(Y(x))의 정규 분포를 나타낸 랜덤 변수 y의 최소값이고,
는 크리깅 예측값이며,
는 앞서 추정하고자 하는 샘플의 예측값이 가지는 정규분포의 확률 밀도 함수이며, s(x)는 RMSE(검증 샘플들의 추정값 및 실제값의 평균 제곱근 편차, Root Mean Squared error)를 나타낸다.
제6항에 있어서, 중단판단단계는, 모델 구성과는 독립적으로 구축한 검증 샘플들의 실제값이 현 구축 모델이 추정한 해당 예측값에 대한 정확한 정도를 나타내는 R²과 RMSE로부터, R²과 RMSE의 허용조건의 이내인지를 확인하는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.

여기서, (x_i,val)는 검증샘플이고,
는 y((x_i,val)의 평균값을 나타낸다.
제7항에 있어서, R²과 RMSE의 허용조건은 아래의 식을 만족하는 것을 특징으로 하는 크리깅 모델 기반 순차적 샘플링 방법.