JPS62251974A - 曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第１図〜第１１図） Ｆ作用（第１図〜第１１図） Ｇ実施例 （Ｇ１）基本的構成（第７図〜第９図）（Ｇ２）特徴部
分の構成（第１図〜第６図、第１０図、第１１図） （Ｇ３）曲面作成装置の実施例（第１２図、第１３図Ｈ
発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は曲面作成方法に関し、特にコンピュータグラフ
ィ・ンクスにおいて、加面を構成する曲面を局所的に新
たな曲面に変形して行くようにしたものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、コンピュータグラフィックスにおける曲面作
成方法において、位置変換関数を介して得た変形位置情
報に基づいて曲面の一部を局所的に変形させて自由曲面
を作成できるようにすることにより、比較的大きな自由
度で得たい曲面をステップ的に形成させて行けるように
したものである。

Ｃ従来の技術 従来コンピュータグラフィックスにおいて、３次元の曲
面を生成する方法として、円筒、球などの基本的な曲面
（これをプリミティブ曲面と呼ぶ）のデータを予め用意
しておき、これらのプリミティブ曲面を必要に応じて組
み合わせることによって新しい曲面を作成するよ・うな
方法や、新たに作成すべき曲面上の点をコントロールポ
イントとして１旨定し、これらのコントロールポイント
を通る曲面をスプライン関数を用いて内挿して行く方法
などが用いられている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 これらの従来の方法は、実際上プリミティブ曲面の外形
形状を基本的な形状として、当該基本的な形状に基づい
て曲面を変形処理することによって所望の曲面を得よう
としており、実用上機械的な物体の外観形状を表現する
場合などに適用する限りにおいては、満足し得る曲面を
作成できると考えられている。

因にスプライン関数を用いて曲面を作成する場合におい
ても、実際には、数多くのコントロールポイントを設定
しなければならないので、当該多数のコントロールポイ
ントを形成するために、プリミティブ曲面を用いたり、
断面図を組み合わせたりすることによって、実用上許容
できる範囲でコントロールポイントの設定をするように
なされており、従ってこの場合も実用上はプリミティブ
曲面を組み合わせた場合と同様の特徴をもっている。

ところが例えば人の顔面を表す曲面のように、柔らかな
印象を与え、かつプリミティブ曲面とは異なる曲面（こ
れを自由曲面と呼ぶ）によって表現しなければ不自然に
なるような曲面を作成しようとする場合には、原理上プ
リミティブ曲面の特徴の影響が強く出る従来の曲面作成
方法を用いることは、実用上不十分である。

また新たな曲面を作成する際には、コンピュータによっ
て処理される画像データによって表示画面上に表示され
た画像と、オペレータがコントロール設定すべきデータ
との相関関係が、直感的に把握し易いものであれば、オ
ペレータが得たいと考えている曲面にほどよく適合した
曲面を容易に得ることができる点から考えて、オペレー
タが設定入力するパラメータと、その結果表示画面上の
曲面に現れる変化とが、直感的に把握し易いような対応
関係をもつようにすることが望ましい。

かかる問題点を解決する方法として、特願昭６０−１６
６３１２号に開示されているように、変形処理前の面Ｓ
ＯＲに対して作用点ＣＰ　＋　”を含む所定の変形領域
ＶＣＦを１旨定し、　この変形領域ＶＣＦ内の各点にお
ける相対的な変形率を表すベクトル場関数Ｆｌを決め、
　変形ｅＪｆＪ１１１ｉＶｃＦの作用点ＣＰｉ９におけ
る変形量及び方向を表す変形ベクトルＶ１′を指定し、
　変形ベクトル■Ｉ９及びヘクトル場関数１？ｉを乗算
することによって変形領域Ｖ　ＣＦ内の曲面の変形量を
表す位置ベクトルＶＩ′″＊Ｆｉを得、この曲面の変形
量を表す位置ベクトルＶ、”　ＩＦｉ及び変形処理前の
而ＳＯＲを表す位置ベクトルＰ（−１′に基づいて変形
後の曲面を表す（装置ベクトルｐ　％を得るようにする
曲面作成方法が提案されている。

この曲面作成方法において、　ベクトル場関数Ｆｉは、
変形領域ＶＣＦ内の各点における相対的な変化率を表す
スカラ量として与えられており、従って変形領域ＶＣＦ
に含まれている各点について、　曲面の変形量を表す位
置ベクトルＶ、′＊Ｆｉは、変形の方向として変形ベク
トル■１”の方向をもち、かつ変形の大きさとしてベク
トル場関数Ｆｉによって表される相対的な変形率に対応
する大きさをもつ。

ここで、この曲面の変形量を表す位置ベクトルＶ１”Ｉ
Ｆｉは、変形領域ＶＣＦの内部に限って値をもっている
ので、ベクトル場関数Ｆｉと変形ベクトル■１°との演
算は当該変形領域ＶＣＦ内の点についてだけ演算すれば
良いことになるので、この演算時間は実用上リアルタイ
ムになる。

また変形後の曲面を表す位置ベクトルｐ　％は、変形処
理前の曲面を表す位置ベクトルＰｌ−１”と、曲面の変
形量を表す位置ベクトルＶＨ”　＊Ｆｔ　とでなる漸化
式を演算することによって求めることができるようにな
されているので、曲面を作成して行く際に、試行錯誤的
に曲面を局所的に１ステツプずつ変形して行（ことによ
って変形曲面を作ることができるので、実用上オペレー
クが得たいと考えている曲面に良く近似した自由曲面を
インターラクテイブに作成できることになる。

ところが特願昭６０−１６６３１２号に開示されている
曲面作成方法によると、その制御手段として、ベクトル
場関数Ｆｉのパラメータを指定することにより変形領域
ＶＣＦ及びその変形量を直接に制御するようになされて
いるので、制御手段としては自由度が小さく、実際上、
所望の曲面を作成しようとすれば数多（の変形操作を繰
り返す必要があり、従って自由曲面を作成する手段とし
ては未だ不十分であった。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、自由曲面
を作成するにつき、オペレータの変形操作上の自由度を
一段と拡大し得るようにした自由曲面作成方法を提案し
ようとするものである。

ＥｒｆＪＩ題点を解決するだめの手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、変形処
理前の面ＳＯＲに対して作用点ｃｐ、”を含む所定の変
形領域ＶＣＦを指定し、　この変形領域ＶＣＦ内の各変
形点Ｐ　１−１０の位置を所定の位置変換関数を用いて
変換して変換位置情報Ｐ０（ｉ−１ビを生成し、　この
変換位置情報Ｆｏｒｔ−ｎ”に基づいて曲面の各位置の
相対的な変形率を表すベクトル場関数Ｆえを求め、変形
領域ＶＣＦの作用点ｃｐ、’″における変形量及び方向
を表す変形ベクトルＶ　％を指定し、変形ベクトル■、
′及びベクトル場関数Ｆｉを乗算することによって変形
領域ＶＣＦ内の曲面の変形量を表す位置ベクトル■、”
ＩＦ轟を得、この曲面の変形量を表す位置ベクトルＶ、
“＊ＦＩ及び変形処理前の而ＳＯＲを表す位置ベクトル
ｐ　＋−＋　＊に基づいて変形後の曲面を表す位置ベク
トルｐ　％を得るようにする。

Ｆ作用 曲面の変形量は、　位置ベクトルＶ、”　ＩＦ。

によって求めることができ、　この位置ベクトルｖ、”
　ＩＦｉは、変形領域ＶＣＦの内部に限って値をもって
いるので、ベクトル場関数Ｆｉ　と変形ベクトルＶ、１
１との演算は当該変形領域ＶＣＦ内の点についてだけ演
算すればよいことになるので、その演算時間は実用上リ
アルタイムになる。

かくするにつき特に本発明によれば、ベクトル場関数Ｆ
＋を求める際に必要な変形点に対応する位置情報として
、変形領域ＶＣＦ内の各変形点の位置を所定の位置変換
関数Ｐ。（ｉ−１ビを用いて変換して生成するようにし
たことにより、当該位置変換関数Ｐ。Ｃｌ−１１”を演
算する際に、オペレータが必要に応じて任意に制御し得
るパラメータを挿入することができ、この分オペレータ
が作成したいと考えている形状に実用上はぼ一致し得る
ような変形量を容易に生成することができる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）基本的構成 本発明による曲面作成方法は、第７図に示すように、ｘ
ｙ平面上にある原画ＳＯＲ上に作用点ＣＰ１”　（＝　
（Ｘ！　、Ｙり）を表す位置ベクトルを７１定し、当該
作用点ＣＰ、”を含む変形領域■ＣＦの範囲に限って曲
面の変形演算をコンピュータによって実行する。その演
算結果は、表示装置ＣＲＴ　（第８図）上の表示画面Ｄ
ＳＰ上に、任意に決めた視点位置から変形後の曲面を見
たと同様の変換画面ＳＣＨとして表示することができる
。

かかる変形領域ＶＣＦにおける曲面の変形は、次の漸化
式 ％式％ で表される変換式を用いて漸化的に演算される。

（１）式において、Ｐｌ′″は３次元空間に形成される
変形後の曲面の各点を表す位置ベクトルで、この位置ベ
クトルＰＬ０は、変形前の原画ＳＯＲ上にある対応する
点の位置ベクトルＰｉ−１′と、当該変形前の位置ベク
トルｐｉ−＋　”がらの変形量Ｖ、”　＊Ｆｔ　　（Ｐ
ｉ−＋　”　、ＣＰｉ　”　）との和で表される。

この変形量は、ベクトル場関数Ｆｌ　（Ｐｔ−＋　”、
ｃｐ、”）に対して変形ベクトルｖ、＊を乗算して得ら
れる位置ベクトルで表される。

ここで、変形ベクトルＶ、Ｉは、変形処理前の層面ＳＯ
Ｒにおいて、作用点ＣＰ＋”が指定されたとき、当該作
用点ＣＰ、”において層面ＳＯＲに対して与えるべき変
形の方向及び大きさをベクトル量で表したもので、これ
により原画ＳＯＲの作用点ｃｒｔ”は変形ベクトルＶｉ
１だけ持ち上げられるような変形を受けることになる。

またベクトル場間数Ｆ！　　（Ｐｔ−＋　”　、ＣＰｉ
　”″）は、作用点ｃｐ、”を含んで決められる変形領
域ＶＣＦ　（その大きさはパラメータを設定入力するこ
とにより指定できる）の各点ＰＩ−１”に対して、相対
的にどの程度の変形を与えるかを決める相対的な変形率
の分布を表している。この相対的な変形率の分布は、変
形領域ＶＣＦの内部にのみ値をもち、かつ周辺部に行く
と「０になる」、又は「Ｏに収束する」ようなスカラ量
の分布をもつ。

従ッテ、変形Ｉ　　Ｖｉ　”　＊Ｆｉ　　（Ｐｔ−＋　
”　、ＣＰｉ”）は、変形領域ＶＣＦの各点における変
形量を表す位置ベクトルでなり、その方向は変形ベクト
ル■ｉ。と平行な方向をもち、かつ大きさは、変形ベク
トルｖ、＊の大きさと、ベクトル場関数Ｆｉによって表
される相対的な変形率の分布との乗算値（スカシりをも
つ。かくして変形領域ＶＣＦの曲面の変形は、作用点ｃ
ｐ、”において変形ベクトルＶ１１の方向及び大きさで
生じ、この作用点ＣＰＩＩから周辺部に行くに従って変
形ベクトル■Ｌ８の方向に、かつベクトル場関数Ｆｔの
変形率の変化に対応して変化する大きさで生じる。

ここで、ベクトル場関数１ｉ’ｔ　として例えばガウス
分布関数のように中心点から外側に行くに従って対称的
に徐々に収束するような関数が割り当てられた場合には
、変形１ｔＶｌ　”　＊Ｆ’は作用点ＣＰ、。位置にお
いて変形ベクトルＶ１１の方向の最大値をもち、作用点
ｃｐ、”から外周部に行くに従って変形ベクトルｖ、＊
の方向をもち、かつ大きさが次第にＯに収束して行くよ
うな変形面が得られることになる。

このようにして１回の変形操作によって変形量Ｖ、”　
＊Ｆｉが求められ、これが変形前の位置ベクトルｐ　＋
−＋　＊と加算されて変形後の位置ベクトルＰ直０が求
められる。以下同様にして変形操作が行われるたびに、
（１）式によって表される漸化式を演算することによっ
て、変形前の位置ベクトルに基づいて変形面を表す位置
ベクトルが繰り返し漸化的に演算されて行く。

かかる漸化的な演算が繰り返された結果、最終的な変形
点ＰＨ１を表す位置ベクトルは次式ｐ　Ｎ＄−ｐ　０＊ ＋Σ■ビ＊Ｆｉ（Ｐ、−ビ、ＣＰｉ”）・・・・・・　
（２） によって表されるように、変形開始前の原画ＳＯＲの点
Ｐ、′を表す位置ベクトルに対して、Ｎ回の変形演算（
ｉ＝１〜Ｎ）によって順次得られた変形量の総和（すな
わちトータル変形量）を加算した位置ベクトルとして求
められる。

かくして（２）式によれば、オペレータは原画ＳＯＲの
点Ｐ０９からＮ回の変形操作を順次行う際に、その都度
、変形前の曲面について作用点ＣＰ長０を指定すること
によって、　変形前の曲面ｐ　＋−＋　＊から変形させ
たい位置をオペレータの判断に基づいて任意に指定でき
る。またベクトル場関数Ｆｉ及び変形ベクトル■ｉ。を
決めるパラメータを指定し直すことによって、変形領域
ＶＣＦの大きさ、変形曲面の変形率分布、変形の方向を
、同様にオペレータの判断に基づいて任意に設定し直す
ことができる。

かくしてオペレータは、１回の変形操作を実行するごと
に、変形前の曲面に対して所望の位置に、所望の方向に
、所望の大きさをもつ変形を加えるような操作を漸化的
に積み重ねることができる。

かくするにつき、（１）弐から明らかなように、変形前
の位置ベクトルｐ　＋−＋　＊から変換後の位置ベクト
ルＩ）、°を得る際に、変形前の位置ベクトルＰ　ｉ−
１″に対して変形量■１°ＩＩＩＦｉを単に加算するだ
けで済むので、その演算速度は実用上十分に短くできる
（実験によれば１秒以下にし得た）。そして、変形ＩＶ
＋”＊Ｆ＋を得るための演算については、ベクトル場関
数Ｆｉが周辺部に行くに従って０に収束し、又は０にな
るような関数に選定されていることにより、　変形ベク
トルｖＬ″との乗算演算を実用上リアルタイム処理と言
い得る程度に十分に短い時間に短縮し得る（実験によれ
ば１／３０秒以内にし得た）。

従って本発明による曲面作成方法によれば、オペレータ
が変形操作をするごとに、実用上リアルタイムで変換画
像を表示画面上に表示できることになり、従って画像の
変形操作をコンピュータに対し゛ζインタラクティブに
実行し得る。

そこで（２）式について上述したように、原画ＳＯＲの
位置ベクトルＰ０゜から最終変形位置ベクトルト、°を
得るまでの間に、Ｎ回の変形操作を積み重ねる間に、オ
ペレータは試行錯誤的に変形パラメータを入力し直すこ
とによって、前回の変形操作によって得られた曲面につ
いて、その変形の効果を評価しながら変形操作を続けて
行くことができ、かくして１回の操作が終わるごとに、
次に変形すべき操作として、曲面の「どの位置について
」、「どのような広さにおいて」、「どのような方向に
」、「どのような大きさ」の変形をすれば良いかを考え
ながら、パラメータの設定をすることができ、かくして
最終的に得たいと考えている曲面に最も近い曲面を容易
に得ることができる。

上述の曲面作成方法において、例えば人の顔面について
の曲面を作成する実施例として、上述の（１）弐及び（
２）式のベクトル場関数［ｉ’ｔ　としてガウス分布関
数を用いると共に、変形領域ＶＣＦとして円又は楕円形
状を選定し得る。このとき、座！１！（Ｘ、ｙ）の点に
ついての変形位置ベクトルＰＬ　”　　（Ｘ、ｙ）及び
Ｐ、４”　　（Ｘ、ｙ）は、（１）式及び（２）式にそ
れぞれ対応させて（３）式及び（４）式に示すようにな
る。

Ｐｔ”（ｘ、　’／　）　−Ｐｉ−＋”″（ｘ、　ｙ）
ＰＭ”（Ｘ％　ｙ）＝ｐｏ”（ｘ、ｙ）蚤・−α１ ７／直 このようにした場合、ベクトル場関数Ｆｚは次式 ％式％（５） で表されるように、ｘｙ平面上の作用点（Ｘｉ、Ｙりを
中心として、　Ｘ方向及びＸ方向の径がα１及びβ１の
楕円について、第９図に示すように、Ｘ方向及びＸ方向
にガウス分布関数を呈することになる。

このようにするとき、オペレータは、ベクトル場関数Ｆ
Ａについて、作用点ＣＰ、”のパラメータを座標（ｘｔ
　、ｙｔ　）に設定し、また変形領域ＶＣＦのパラメー
タとしてＸ方向及びＸ方向の径α五及びβｌを設定する
と共に、変形ベクトルＶ１９のパラメータを設定する。

かくしてオペレータは、作用点（Ｘｔ　、　Ｙｉ　）を
中心として、径α（及びβ、の円又は楕円の変形領域Ｖ
Ｃ，Ｆについて、作用点（Ｘｉ　、Ｙｉ　）に立てられ
た変形ベクトルｙ　％の方向に、変形ベクトルｙ　％を
中心にして周辺部に行くに従ってガウス分布曲線を描く
ように変形率が０に滑らかに収束して行くような変形曲
面を得ることができる。

従って変形後の位置ベクトルＰｒ”（ｘ、ｙ）又はＰＭ
”（Ｘ、ｙ）で表される曲面は、変形前の原器ＳＯＲの
うち作用点ｃｐ、”を中心とした局所的な領域について
、変形ベクトルＶ％の方向にガウス分布関数で示される
ような滑らかな自由曲面を呈するような曲面になる。

かくして人の顔面などのように柔らかさをもった自由曲
面について、これに適応して不自然さを生じさせないよ
うな曲面を作成することができる。

（Ｇ２）特徴部分の構成 上述のように本発明は基本的構成として、例えば（１）
式によって表される漸化式において、例えば作用点ＣＰ
、”を基準にしてこの作用点ＣＰ１°に対する変形前の
位置ベクトルｐ　＋−＋　＊を指定すれば、ベクトル場
関数ＦＬが表される座標系（これをベクトル場関数座標
系と呼ぶ）において規定される変形率分布に応じて、変
形ベクトルＶｉ−と平行な位置ベクトルを形成し、これ
を変形前の位置ベクトルＰｉ−１′に加算することによ
って変形後の位置ベクトルＰ、′を求めることができ、
この変形後の位置ベクトルＰｉ０によって変形後の自由
曲面を特定することができる。

本発明においては、かかる基本的構成に加えて、変形前
の位置ベクトルＰｉ−１″を以下に述べる位置変換関数
ＰＯ１ｉ−１ビを介して位置変換することによって、　
　（１）式のベクトル場関数Ｆｔ（Ｐ＋−＋　”　、Ｃ
Ｐ！”　）に対する位置情報を生成するようにすること
によって、自由曲面Ｐ１０の形状を制御するにつき、新
たなパラメータを介在させ、かくしてオペレータによる
変形操作の自由度を一段と向上させるものである。

すなわち（１）式においては、　ベクトル場関数Ｆｉの
位置情報として変形前の位置ベクトルＰ　ｉ−１′を直
接用いたが、これに代え、次式Ｐど−Ｐ蔽−げ 十■ど＊Ｆ＝（Ｐａｎ−＋ば、ＣＰど）・・・・・・（
６） で表されるように、位置変換関数Ｐ＋＋＋＋−ｎ”を用
いる。この位置変換関数ｐＨ＋！−１１”は次式％式％ のように第１項の変形前の位置ベクトルＰト、′に対し
て、第２項の変換式によって表される変換ペクトクルＭ
１、すなわち Ｍ”　＝に＊　（Ｐｉ−１”−ＣＰＩ”）＊Ｆｏ（Ｐ＋
−一、ＣＰ！”） ・・・・・・　（８） を加算する構成を有する。

この変換式Ｍ”はベクトル場関数Ｆｌｌ（Ｐ＋−１”、
ＣＰ、′’）　　と差ベクトルＰ　ｉ−＋　”　−ＣＰ
　ｔ　”　とのベクトル積を得、その演算結果にスカラ
量でなる位置変換係数Ｋを乗算した内容をもつ。

ここでベクトル場関数Ｆｏ（Ｐｔ−＋　”　、ＣＰｔ　
”）は、（６）式のベクトル場関数Ｆｉと同じ変形領域
ＶＣＦについて、作用点ＣＰ　ｔに基づいて変形前の位
置ベクトルＰ直−１′を指定したとき、当該指定された
位置に応じて変化するスカラ量をもつ。かくして変形領
域ＶＣＦ内の位置ｐｔ−＋　”を指定したとき、これを
位置変換関数Ｐ＠（！−＋げによって変換された位置を
、ベクトル場関数Ｆ！の位置情報として用いるようにす
る。

また（８）式の変換式Ｍ９において、差ベクトルＰＩ−
□　　ＣＰ□は、変形前の曲面上に存在する限定された
局所的な変形領域ＶＣＦに含まれる作用点ＣＰＵ’″を
基準として、変形領域ＶＣＦ内の各点Ｐ　ｉ−１′まで
のベクトルを表している。

この差ベクトルｐｔ−＋　”　−ＣＰｉ　′″はベクト
ル場関数Ｆｏ（Ｐ＋−＋　”　、ＣＰ＋　”　）と乗算
され、かくしてその乗算結果は、位置Ｐ　ｉ−１′を、
作用点ＣＰ、′から位ｚＰｉ−１”に向かうベクトルと
同じ方向をもうかつベクトル場関数Ｆｏ（１’＋−＋　
”　、ＣＰ、′）で表される変換率によって決まる量だ
け移動させたことを表している。

かくして、　　（７）式に示すように、　変換ベクトル
Ｍ”（（８）式）を変形前の位置ベクトルＰｉ−１”と
加算して得られる位置変換関数Ｐ＠（！−１）”で表さ
れる位置ベクトルは、第１０図に示すように、ｌ（の値
が正のとき（Ｋ＞Ｏ）、変換前の位置ベクトルＰム−１
１から作用点ｃｐ、’とは離れる方向に移動した位置を
示し、またＫの値が負のとき（Ｋ＜Ｏ）、変形前の位置
ベクトルｐ　＝−＋　＊から作用点ＣＰｊ”の方向に近
づく位置を示し、さらにＫの値がＯのとき（Ｋ＝Ｏ）、
変形前の位置ベクトルＰ　Ｌ−１″から移動しない位置
を示す。

この結果位置変換関数ＰＯ（ｉ−１１’″は、Ｋの値が
正の場合には、　第１１図に示すように、位置ベクトル
ｐ＝−＋”によって表される変形前の曲面上の点Ｐ＋　
、Ｐｚ　、Ｐ３　、Ｐａ・・・・・・を、変換ベクトル
Ｍ９によってベクトル場関数Ｆｏ（ＰＬ−＋　”　、Ｃ
ｐ＋”）に対応する大きさだけ作用点ＣＰｉ”から離れ
た位置（すなわち拡散した位置）に変換することになる
。またＫの値が負の場合には、変換前の位置ベクトルＰ
！−１″を、作用点ＣＰ！　”に近づく方向の位置（す
なわち収束する位ｉＦ）に変換することになる。これに
対してＫの値がＯの値の場合は、位置の変換をしないこ
とになる。

そこで変換ベクトルＭ”について、ベクトル場関数Ｆｏ
（Ｐ＋−＋　”　、ＣＰ＋　”　）を、得ようとする自
由曲面の種類に応じて所定の関数に選定すると共に、位
置変換係数にの値及び符号を選定することによって、位
置ベクトルＰト、。によって表される変換前の曲面上の
局所的な変形領域ＶＣＦの部分の位置を指定したとき、
当該指定した位置を、位置変換関数ＰＯ（ｉ−１ビを用
いて変換し直すことができ、かくするにつき変換し直す
位置を、ベクトル場関数Ｆｏ（Ｐ＋−＋　”　、ＣＰｉ
　”　）及び又は係数Ｋを制御することによって必要に
応じて制御することができる。

この結果、（１）式について上述した基本的構成による
手法によって変換前の自由曲面を局所的な変形領域ＶＣ
Ｆについて変形した場合と同じ変形点を措定しても、変
換ベクトルＭ１のパラメータの選定の仕方によって、異
なる自由曲面に変形することができ、かくしてオペレー
タが所望の自由曲面を形成しようとする場合に、自由度
が大きい曲面作成装置を実現し得る。

ここで（３）式及び（４）式について上述したように、
変形位置ベクトルＰ、。を求める際に、ｘｙ座標上の変
形領域ＶＣＦについて指定した変形点Ｐｉ−＋　”　　
（ｘ、ｙ）を用いるようにする場合は、　　（７）式の
位置変換関数Ｆｏｒ＋−＋ば　（Ｘ６（１−口・’ｊｏ
＜ム−１））として、Ｘ及びｙ方向の位置変換式を次式 Ｘｏ（１−１１＝Ｘ＋に＊（Ｘ　　Ｘ＋）’ｋＥＸＰ・
・・・・・　（９） ｙｏｕ−Ｉ）−Ｙｔに＊＜’Ｉ　　　Ｙｔ）＊ＨＸＰ・
・・・・・　（１０） で表すような変換関数を適用し得る。

この位置変換関数は、（７）式のベクトル場関数Ｆｉと
じて、作用点ＣＰ１°　（ｘｉ　、Ｙｔ　）を中心とし
、かつＸ及びＸ方向の径がα。Ｌ及びβ。最の楕円の変
ｍＳＭ域ＶＣＦにおいて、ガウス分布曲線を描く。

またこの場合、（８）式の差ベクトルＰ　１−１ｌ−ｃ
ｐ、”として、作用点ＣＰｉ　”　　（Ｘ！　、Ｙｔ）
から変形点Ｐｉ−＋　”　　（Ｘ、：／）までの距離を
とる。

このようにすれば、位置変換関数ＸＯ（え−１．及び）
’０（ｉ−１＋として、位置変換係数にの値及び符号を
必要に応じて０．ｒ＋Ｊ、「−」に選定することにより
、変形点（ｘ、ｙ）の入力位ａＸ及びｙを、それぞれ変
化しない位置、拡散する位置、収束する位置に変換して
なる変形位置関数を得ることができる。

このような位置変換方法を用いれば、変形領域ＶＣＦの
同じ変形点について、　パラメータの選定の仕方によっ
て異なる曲面に変形することができる。　この点につい
て次に、　位置変換関数ＰＯ（ｉ−１１のうち、Ｘ方向
の成分Ｘ。、ム−１，の変換機能を検討してみる。

なおこの実施例の場合位置変換関数Ｐ０□１．′の径α
。直、β。１を、　変形領域ＶＣＦの径α１、β逼と等
しい値に選定するものとする。

先ず（９）式においてに＝Ｏとおいたとき、位置変換関
数Ｘｌ＋＋１−１１は Ｘ（１（ト１１’　−！　　　　　　　　　　−−（１
１）のようにＸと等しくなり、このことは変形領域ＶＣ
Ｆにおいて、Ｘ座標上に指定された変形点のパターンが
そのままＸｅＴ！−１１の座標上に写像されることを意
味している。

従って位置変換係数Ｋかに＝Ｏのときには、（３）式の
位置ベクトルＰ、′によって表される自由曲面を形成す
るために、変形領域ＶＣＦ上の変形点を指定すれば、当
該指定された変形位置について直接に（３）式の演算が
実行される。その結果第１図に示すように、（５）式の
ベクトル場関数Ｆｉによって決まるガウス分布曲線を描
くように変形領域ＶＣＦにおいて変換前の曲面ｐｉ−＋
。

を変形できることになる。

ところが（９）式において位置変換係数Ｋを負の値に設
定すると、（９）式の第２項の変換ベクトルＭ＊は第１
項Ｘとは逆符号になることにより、位置変換関数１＋１
＋１−１１の値は、変形点として指定されたＸの値を０
に収束する方向にシフトするような演算をすることにな
り、その結果第２図に示すように、Ｘ座標上に指定され
た変形点のパターンは、Ｘ１１（１−１１の値として作
用点の方向に縮小するパターンとして写像することにな
る。

この結果、（５）式のベクトル場関数Ｆ！に対する位置
情報として、第１図の場合と比較して縮小された値が入
れられることになり、かくしてＸ座標上において（６）
式と同じような変形位置パターンを与えたとき、第１図
のようにガウス分布曲線を描くような変形位置ベクトル
Ｐ、”（ｘ、ｙ）にはならず、第２図に示すように、ガ
ウス分布曲線を、作用点（ｘ−（１）を中心としてＸ方
向に押し拡げたと同様の変化をする変形位置ベクトルＰ
！　”　　（ｘｌｙ）を形成することになる。

これに対して（９）式の右辺第２項の位置変換係数Ｋを
、正の値に選定すれば、当該右辺第２項の符号が第１項
のＸの符号と一致するので、変形位置関数Ｘ＠（１−１
１の値として、変形位置Ｘが指定されたとき、作用点（
Ｘ＝Ｏ）から外側に遠くなるように変１負される。その
結果ＸＪ！Ｅ標上に変形点の位置パターンが指定された
とき、当該位置パターンは、第３図に示すように作用点
（ｘ＝Ｏ）を中心として外側に拡大するようなパターン
としてＸＯ（！−１１座標上に写像されることになる。

この結果、（５）式のベクトル場関数Ｆｉに指定入力さ
れる位置情報として、（６）式の場合と同じ位置情報が
与えられた場合に得られる変形位置ベクトルＰ１“　（
ｘ、ｙ）は、第１図の場合のようにガウス分布曲線を描
く結果にならず、このガウス分布曲線を作用点（ｘ−０
）を中心として作用点の方向に押しつぶしたような変形
曲線を描く結果になる。

このようにして変形前の曲面上にある変形点についての
位置悄１１ｘを、（９）式によって一旦位置変攬関数Ｘ
＠（ｉ−１１によって変換した後（５）式のベクトル場
関数Ｆｉに変形点位置情報として用いるようにしたこと
により、位置変換係数にの値をＧ１負の値、正の値に選
定することによって、同じ変形位置情報を与えても、与
えられた位置情報に対応して得られる基準の変形曲面以
外に、この基準の変形曲面を作用点を中心として外側に
押し拡げたり、内側に押し縮めたりしたような変形曲面
を自由に作成することができる。

そしてこの拡大、縮小の程度は位置変換係数にの値を必
要に応じて変更することによって任意に選定し、かくし
て変形曲面として、比較的先端部が尖った曲面から、台
形状に拡がった形状に至るまで、種々の形状の自由曲面
を作成することができる。

なお上述においては、位置変換関数Ｐｏ＋ｉ−ｕ”のう
ち、（９）式で表されるＸ方向成分ｘ（１（ｉ−１１に
ついての位置変換機能を述べたが、（１０）式によって
表されるｙ方向成分Ｖｏ＋ｉ−＋＋についても全く同じ
ようにして、位置変換係数にの値を任意に選定すること
によって、ｙ軸方向について種々の変形曲線を得ること
ができる。

かくして変形前の曲面上にあるｘｙ座標上の２次元的な
変形領域ＶＣＦについて、種々の変形曲面を形成するこ
とができる。

実験によれば、上述の実施例の構成によって、それぞれ
第４図、　第５図、　第６図に示すように、変形前の曲
面を局所的に変形してなる変形曲面ＰＬ”　　（ｘ、ｙ
）を作成できることが確認された。　第４図は、（９）
式及び（１０）式における位置変換係数Ｋをに−０に設
定した場合の変形曲易牽変形位置ベクトルＰ！　”　　
（１％　Ｆ）はガウス分布曲面をもっている。

また第５図は位置変換係数にとして負の値を設定した場
合で、この場合の変形曲面を表す位置ベクトルｐｔ　”
　　（１％　ｙ）は、第４図の変形曲面と比較して、作
用点（ｘ−０、ｙ−０）を中心として先端部を押しつぶ
したような曲面を得ることができた。

これに対して第６図は、位置変換係数にとして正の値を
設定した場合の変形曲面Ｐ五〇　　（ｘ　、　ｙ）で、
第４図の標準の変形曲面と比較して、作用点（ｘ＝０、
ｙ−０）の周囲の尖鋭度が大きい変形曲面を得ることが
できた。

（Ｇ３）曲面作成装置の実施例 上述した曲面作成方法は、第１２図に示すような構成の
曲面作成装置によって実現し得る。

この場合ベクトル場関数Ｆ！は、（３）式及び（４）式
について上述したように、楕円の変形領域ＶＣＦについ
て、ガウス分布関数で表される変形率分布をもつように
設定され、また位置変換関数Ｐ　１１　（ｔ−１１”は
、（９）式及び（１０）式について上述したように、同
様に、楕円の変形領域ＶＣＦについて、ガウス分布関数
を用いて表される拡大、縮小変換をなし得るように設定
されている。

第１２図において、１はコンピュータ構成の曲面演算装
置で、（９）式及び（１０）式、並びに（３）式及び（
４）式に基づく演算の結果得られる位置情報を、曲面表
示コントロール装置２によって映像信号に変換した後、
陰極線管構成の表示装置３に表示する。

曲面演算装置ｌには、（９）式及び（１０）式、並びに
（３）式及び（４）式の演算に必要なパラメータを入力
するための入力操作子として、マウス４、レバー５．６
．７、トラックボール８が設けられている。

マウス４はｘｙ平面−ヒの作用点ｃｒｔ”を設定するた
めのパラメータＸ（、Ｙ（を入力し、これにより、（９
）式及び（１０）式、並びに（３）式及び（４）式にお
いて、作用点ＣＰｉ”（Ｘｉ、Ｙｉ）を指定する。

またレバー５及び６は、変形領域ＶＣＦの大きさを決め
るためのパラメータを入力するもので、（３）式及び（
４）式におけるＸ方向及びＸ方向の径α１及びβ１を設
定し得る。

さらにレバー７は、変形ベクトルｖ、′を設定するもの
で、作用点ＣＰＬ１　（Ｘえ、Ｙ、）に立てられた変形
ベクトル■ゑ０の方向及び高さについてのパラメータ、
位置変換関数ｐＨ（！−１１”の位置変換関数にの値を
設定し得る。

さらにトラックボール８は、曲面に対する視点位置を設
定するもので、トラックボール８によって設定した視点
位置から見た曲面が表示装置３に表示される。

マウス４、及びレバー５〜７による設定が済むと、曲面
演算装置Ｉは（９）式及び（１０）式、並びに（３）式
及び（４）式の演算を実行する。その演算結果は、トラ
ックボール８から入力される視点位置情報によって回転
変換された後、曲面表示コントロール装置２を介して表
示装置３に表示される。かくして表示装置３の表示画面
上には、マウス４によって設定された作用点ＣＰ１″　
（Ｘ、、ｙｉ　）を中心にして、レバー５及び６によっ
て設定された変形領域ＶＣＦについて、レバー７によっ
て設定された変形ベクトル■１０の方向及び高さに応じ
た量だけ中央部分が高く盛り上がり、その周辺部に行（
に従って次第に０に収束して行くような変形を受けた曲
面が表示され、この変形曲面の中央部の尖鋭度がレバー
７によって設定された位置変換係数Ｋによって決まるこ
とになる。

かかる変形操作は、曲面演算装置１がそのＣＰＵによっ
て第１３図の処理手順を実行することにより得られる。

すなわち曲面演算装置ｌのＣＰＵは、ステップＳＰｌに
おいて当該処理手順をスタートした後、ステップＳＰ２
において原器ＳＯＲを表す位置ベクトルＰ。”を、曲面
演算装置ｌに設けられている曲面データメモリに設定す
る。

続いてＣＰＵは、次のステップＳＰ３に移って、オペレ
ータによって設定されたパラメータを取り込む。このと
きオペレータは、マウス４によって作用点データＸ、　
、Ｙ、を入力し、　レバー５及び６によって径データα
表及びβ１を人力し、レバー７によって位置変換係数Ｋ
及び変形ベクトルｖｉ９を人力する。

曲面演算装置１のＣＰ　Ｕは、次のステップＳＰ４にお
いてオペレータによってトラックボール８から入力され
る視点位置データを取り込んだ後、ステップＳＰ５に移
る。

このステップＳＰ５は、（９）式及び（１０）式、並び
に（３）式及び（４）式について上述した演算を実行す
る。　ここで、変形前の位置ベクトルＰＬ−＋　”　　
（ｘ、ｙ）は内部の曲面データメモリに予め格納されて
いるものを用い、また、各パラメータα１、β＋、Ｘ；
、Ｙｉ、Ｖｉｌ、ＫはステップＳＰ３において設定され
たものを用いる。

続いて曲面演算装置ｌは、ステップＳＴ’６において、
ステップＳＰ５で演算された変形後の位置ベクトルＰ直
１によって表される曲面を曲面表示コントロール装置ｆ
２を介して表示装置３に表示させる。

この状態において、曲面演算装置１のＣＰＵは曲面Ｐ１
゜の表示をｍ続させることにより、次のステップＳＰ７
においてオペレータが表示装置３の表示を見ながら変形
の程度がオペレータの要求に適応したものであるか否か
を確認させる。その後ＣＩ’Ｕは、次のステップＳＰ８
に移ってオペレータが確認信号を入力したか否かの判断
をする。

ここで否定結果が得られると、曲面演算装置１のＣＰＵ
は上述のステップＳＰ３に戻って新たなパラメータの設
定を待ち受ける状態に戻る。

このときオペレータは、ステップＳＰ３、ＳＦ３におい
て、新たなパラメータの設定をし直すことによりステッ
プＳＰ５．５Ｐ（３において変形演算式の演算をし直し
た後表示装置３に表示させ、ステップＳＰ８において、
再度オペレータに対して変形が要求通りであるか否かの
判断をさせる。

かくして曲面演算装置１のＣＰＵは、ステップ５Ｐ３−
３Ｐ４−３Ｐ５−３Ｐ６−３Ｐ７−３Ｐ８−３Ｐ３のル
ープＬＯＯＰＩによって、オペレータが自分の要求に合
う変形ができるまで繰り返し作用点ＣＰＩ　”の位置、
変形領域ＶＣＦの大きさ、位置変換係数にの値及び符号
、変形ベクトルＶ（”の方向及び高さを設定し直すこと
ができる。

やがてオペレータが自分の設定操作に満足して設定終了
信号を曲面演算装置１に入力すると、曲面演算装置１の
ＣＰＵは、次のステップＳＰ９に多って設定されたデー
タα１、β１、Ｘｌ、Ｙム、Ｖ、”　、Ｋを曲面演算装
置１内に設けられたコマンドリストメモリの第１回目の
設定操作に対応するパラメータメモリエリアに、α１、
β１、Ｘｌ、Ｙ＋　、Ｖ＋　”　、Ｋ＋　として記憶し
た後、ステップ５ＰＩＯに移って操作回数１に「＋ｌ」
加算して（ｉ＝２）、ステップ５ＰＩＩに移る。

このステップ５ＰＩＩは、オペレータが変形操作を終了
したか否かを確認するステップで、オペレータからの操
作終了重金が入力されていないとき、曲面演算装２１の
ＣＰＵは、ステップＳ　Ｉ）　１１において否定結果を
得ることによりループＬＯＯＰ２を通って上述のステッ
プＳＰ３に戻って、オペレータによる第２回目の変形操
作（Ｎ＝２）４−ミ 擲ち受ける状態になる。

この状態において、オペレータは新たな変形意図の下に
第１回目の曲面の変形操作によって作成した曲面に対し
て、第２回目の曲面の変形操作をし得る。　か（して、
　第１回目の変形操作によって変形した作用点ＣＰ　＋
　”とは異なる作用点Ｃｐ％について、オペレータは再
度、自分の要求に合う変形操作を実行し得る。

すなわち曲面演算装置１は、オペレータがステップＳＰ
３、ＳＦ３においてパラメータの設定をすると、続くス
テップＳＰ５、ＳＦ３において（９）式及び（１０）式
、並びに（３）式及び（４）式について位置ベクトルＰ
！”　　（Ｘ、ｙ）の演算を実行した後当該曲面を表示
装置１３に表示させる。

β５−３Ｐ６−３Ｐ？−３Ｐ８−５Ｐ３のループＬ○Ｏ
ＰＩによってオペレータが満足するまで繰り返される。

やがてステップＳＰ８において、オペレータによる変形
操作の終了がｌｉ１！認されると、曲面演算装置１は、
ステップＳＰ９において、新たに入力されたパラメータ
データα２、β３、ｘ□、Ｙ２、Ｖ、”　、Ｋ、をコマ
ンドリストメモリの第２回目の設定操作に対応するパラ
メータメモリエリアに格納した後、ステップ５ＰＩＯに
おいて操作回数１に「＋１」加算して（ｉ＝３）、ステ
ップ５ｐ１１に移る。

以下同様にして曲面演算装置１のＣＰＵは、オペレータ
が新たな変形操作をするごとに上述の変形処理ループＬ
ＯＯＰＩを実行した後、当該設定されたパラメータデー
タをコマンドリストメモリに格納すると共に、変形演算
の結果得られた位置ベクトルＰ！３を曲面データメモリ
に記憶、更新して行く、従って曲面データメモリには、
Ｎ回の変形操作によって生じたトータル変形量の変形を
受けた曲面Ｐ、“　（ｘ、ｙ）（（４）式）が得られる
。

やがてオペレータがすべての変形処理を終了すると、曲
面演算装置１のＣＰＵはステップ５ＰＩ２に移って当該
プログラムを終了する。

従って第９図の曲面作成装置によれば、オペレータは１
回の変形操作をする際に、マウス４、レバー５．６．７
、トラックボール８を操作しながら曲面作成装置ｌに変
換パラメータを入力することにより、曲面の変形処理を
実行させることができる。かくするにつき、（１）弐及
び（２）式について上述したように、変形演算に必要な
演算時間はたかだか１秒程度で済むので、実質上オペレ
ータが変形操作をすると直ちにその変換結果が表示装Ｗ
１．３の表示画面上に表示できることにより、オペレー
タが変形前の曲面のうちの一部を必要に応じて選択して
所望の形に変形させるようなパラメータを設定入力する
ことができ、か（して全体としてインターラクテイブに
所望の曲面を部分的に手直しを加えながら作成して行く
ことができる。

かくするにつき、　ヘクトル場関数Ｆｉに対する位置情
報として、　変形領域ＶＣＦ内の変形点Ｐ、′を位置変
換関数Ｐ　ＯＴ！−１１”によって位置変換して得るよ
うにしたことにより、この分オペレータがパラメータを
設定し得る自由度を大きくし得る。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、変形前の曲面のうちの一
部の領域を指定して変形できるようなベクトル場関数Ｆ
ｉを措定して、このベクトル場関数Ｆｉに対して変形ベ
クトルＶ五〇を乗算することにより変形曲面を形成する
ようにしたことにより、実際上変形曲面をリアルタイム
で発生させることができると共に、パラメータとして曲
面を見ながら設定できるようなものを、すなわち作用点
の位置、変形領域、変形ベクトルの方向、大きさ、位置
変換係数を用いることができるので、パラメータの設定
操作を直感的になし得る。

かくするにつき、特に本発明によれば、ベクトル場関数
Ｆｉを演算する際に必要な変形点の位置情報を、位置変
換関数Ｐ６（１−１１”を用いて変換して得るようにし
たことにより、当該位置変換関数Ｐ（ｌｆｌ−１１を演
算する際にオペレータがパラメータを挿入でき、従って
形成できる曲面の形状を大きい自由度で制御することが
でき、かくしてオペレータが考えている形状をもった自
由曲面をさらに一段と容易に作成することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図〜第３図は本発明による曲面作成方法において用
いられる位置変換関数の一実施例を示す特性曲線図、第
４図〜第６図は本発明による曲面作成方法によって作成
された曲面をワイヤーフレームによって示す斜視図、第
７図及び第８図は本発明による曲面作成方法の基本原理
の説明に供する路線図、第９図は変形曲面発生時に用い
られるベクトル場関数の説明に供する特性曲線図、第１
Ｏ図及び第１１図は位置変換関数の説明に供する路線図
、第１２図は本発明による曲面作成方法を実施する曲面
作成装置を示すブロック図、第１３図はそのデータ処理
手順を示すフローチャートである。 ｌ・・・・・・曲面演算装置、２・・・・・・曲面表示
コントロール装置、３・・・・・・表示装置、４・・・
・・・マウス、５〜７・・・・・・レバー、８・・・・
・・トラックホー／Ｌ／。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. （１）変形処理前の面に対して、作用点を含む所定の変
   形領域を指定し、 上記変形領域内の各変形点の位置を所定の位置変換関数
   を用いて変換して変換位置情報を生成し、上記変換位置
   情報に基づいて曲面の各位置の相対的な変形率を表すベ
   クトル場関数Ｆ＿ｉを求め、上記変形領域の上記作用点
   における変形量及び方向を表す変形ベクトルＶ＿ｉ＾＊
   を指定し、上記変形ベクトルＶ＿ｉ＾＊及び上記ベクト
   ル場関数Ｆ＿ｉを乗算することによつて上記変形領域内
   の曲面の変形量を表す位置ベクトルを得、 上記曲面の変形量を表す位置ベクトル及び上記変形処理
   前の面を表す位置ベクトルに基づいて変形後の曲面を表
   す位置ベクトルを得る ことを特徴とする曲面作成方法。
2. （２）上記位置変換関数は、上記変形点の位置を表すパ
   ラメータでなる第１の項と、０、並びに負符号及び又は
   正符号の値を表すパラメータでなる位置変換係数を乗算
   子として有する第２項とを加算する構成を有し、上記位
   置変換係数を選択することにより上記変形後の曲面の形
   状を変更し得るようにしてなる特許請求の範囲第１項に
   記載の曲面作成方法。