JPS62131384A - 曲面生成方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔発明の利用分野〕 本発明は三次元曲面の生成方式に係り、特に数値制御加
工や、曲面のグラフィック表示に好適な曲面生成方式に
関する。

〔発明の背景〕

本発明に近い第１の公知例として、ｅＯＱｎｓの補間法
（形状処理工学［工］、第３章３節、山ロ富士夫著、日
刊工業新聞社）、第２の公知例として昭和５２年度電子
通信学会全国大会の発表（予稿集第５分冊ｐ２９４）、
第３の公知例として情報処理学会第２９回（昭和５９年
後期）全国大会の発表（予稿集第３分冊、　ｐ１７４９
）などがあるが、いずれも制御曲線の数は最大二本まで
なので、形状表現能力に制限があるという問題があった
。

〔発明の目的〕

本発明の目的は、曲面の境界曲線となる二本の制御曲線
の他に、曲面の内部形状を制御する制御曲線を一本与え
ることにより、より高い形状表現能力をもった曲面生成
方式を実現することにある。

〔発明の概要〕

従来、制御曲線が二本与えられた場合の曲面生成法につ
いては前記の公知例に示したように、様様な方法が考案
されている。しかしこれらの方法では曲面の内部形状は
ブレンディング関数で自動的に決められるため、曲面内
部形状を自由に制御できないという問題があった。第１
図にこの例を示す。第１図（ａ）は制御曲線、特性曲線
の形。

第１図（ｂ）、（ｃ）は前記の公知例による方法で生成
した曲面を平面ＰＬで切ったときの断面図である。ここ
で（ｂ）は−次式、（Ｃ）は三次式のブレンディング関
数を使った場合に相当する（前記の三つの公知例による
方法で生成される曲面形状はそれぞれ少しずつ異なるが
、おおよその形は（ｂ）、（Ｑ）のようになる）。した
がってもし、第１図（ｄ）のような断面をもつ曲面を生
成しようする場合には困難を伴う６本発明は、この欠点
を解消することを目的とした曲面生成方式である。すな
わち二本の制御曲線の間にもう一本の制御曲線を与えら
れるようにし、該制御曲線を通過する曲面を生成できる
ようにした曲面生成方式である。

以下本発明の概要について述べる。説明を簡単にするた
め特性曲線は一本で、三本の制御曲線の始点を結んでい
るとし、さらに特性曲線は平面曲線（三次元空間内のあ
る平面に乗った曲線）であると仮定する。第２図は曲面
生成方式の概要を示す図である。Ｃ工ｖ　Ｃｚ　＋　Ｃ
ａは制御曲線、Ｃ４は特性曲線、ＰＬｚはＣ４の乗る平
面、ＰＬｚは曲面パラメータＶに対応するＣ　１１　Ｃ
ｚ　ＨＣｓ上の点；Ｃ１（ｖ）、Ｃｚ　（ｖ）、Ｃｓ　
（ｖ）の三点を通る平面である。まずＣ４に回転移動、
平行移動、相似変換（拡大又は縮小）からなるアフィン
変換を加えて、ＣＩ　（Ｖ）、Ｃｓ　（ｖ）を端点とし
、平面ＰＬｚに乗る曲線Ｃ４１（ｔ）を生成する。第３
図は、該Ｃ４ｔ（１）とＣ２（Ｖ）との位置関係を平面
ＰＬｚ上で描いたものである。一般的にはＣ４ｔ（ｔ）
はＣ２（ｖ）を通過するとは限らない。そこで、ＣＩ（
ｖ）。

Ｃａ　（ｖ）を結ぶ直線を中心線にしてＣａｔ（ｔ）を
中心線の垂直方向に拡大又は縮小しくこの操作はアフィ
ン変換である）　、Ｃ２（ｖ）を通過する曲線Ｃ４ｗ（
ｔ　）を生成する。該生成された曲１＠Ｃ４ｔ（ｔ）が
、曲面生成曲線Ｃｍ（ｔ）である。このとき曲面パラメ
ータｕ、ｖに対応する点としてＣｍ（ｕ）を出力すれば
よい０以上が本発明の概要である。なお上記の説明では
、特性曲線が一本でかつ、平面曲線であると仮定したが
、この仮定はさほど困難なく除去可能である。この点に
ついては、次の実施例の説明において詳細に述べる。

〔発明の実施例〕

以下本発明の詳細な説明する。

〔１〕特性曲線が一本の場合の曲面生成方式第４図は曲
面パラメータｕ、ｖに対応する曲面上の点を生成する手
順を説明する図である。

Ｃ１＋　Ｃ２１Ｃａは制御曲線、Ｃ４はＣａｉ　Ｃａｉ
　Ｃａの始点を結ぶ特性曲線である。またＰｉ、Ｐ２．
ＰδはＣｒ　＋　Ｃ２１Ｃｓの始点、Ｐｔ’　、Ｐ２’
　、Ｐｓ’はＣＩ（Ｖ）、Ｃ２（Ｖ）、Ｃｓ　（ｖ）で
決まる点、ＰＬｔはＰＩ、Ｐ２．Ｐ８を通る平面、ＰＩ
２はｐ１’、ｐ２／。

Ｐ３′　を通る平面である。

ステップ１　特性曲線Ｃ４をＰＩがＰ１′　　へ移るよ
うに平行移動して、曲線Ｃａ　ｒを生成する。

ステップｇ　　Ｃ４１の端点ＰＩ’　からＣ４１のもう
一方の端点Ｑ１へ向うベクトル；　Ｑｓ　　Ｐ　％　　
の方向が、ベクトル：Ｐｓ’−ＰＩ’の方向に重なるよ
うＣ４１を回転し、曲線Ｃ（２を生成する。回ｆＡａ［
ｌｌは、ベクトル；ＱＩ　　Ｐｌ’　とベクトル；Ｐｓ
’　　　Ｐ’＋’の張る平面に直交し、ｐ　ＩＬ　を通
る直線である。

ステップ３　Ｃ４２の端点Ｑ２がＰａ’　に重なるよう
にＰｉ’　を中心としてＣ４２を拡大又は縮小して曲線
Ｃ４３を生成する。

ステップ４　ステップ１〜３の一連の変換によりＣ４上
の点Ｐ２は、Ｃ４ｓ上の点Ｐ２′へ移される。もしＰ２
′がＰＬｚ上になければ、Ｐ２′がＰＬｚ上に乗るよう
に、直線ｐ　１　’　、　ｐ　ｓ　’　を軸としてＣ４
ｇを回転し、曲線Ｃ４４を生成する。

ステップ５　曲線Ｃ４４は制御曲線ｃ２を通過するとは
限らないので、直線Ｐ　ｓ　’　、　ｐ　８’　を中心
軸としてＣ４４を中心軸の垂直方向に拡大又は縮小し、
Ｃ２を通過する曲線Ｃ４５を生成する。このＣ４δが曲
面生成曲線Ｃ１である。

旦スヱ炙　曲面パラメータ１１．■に対応する曲面上の
点をＣｍ（ｕ）として出力する。

以上が曲面上の点の生成方式である。

ステップ１〜ステツプ４は、合同変換（回転及び平行移
動）と相似変換（拡大、縮小）の組み合わせであるから
アフィン変換の範囲にある処理方法は明確であろう。ま
たステップ６は、ｃ、の曲線データから、パラメータＵ
に対応する曲線上の点を計算する処理であるから、同様
に処理方法は明確であろう。そこで残るステップ５につ
いて詳しく説明する。

第５図はステップ５の処理方法を説明する図である。記
号は第４図と同様とする。ベクトル；Ｐａ’　−Ｐｓ’
　を単位化したベクトルをｅと記す。

このときＣａｉ（ｔ）は、 ０番番　（ｔ）　　＝　　（Ｃ４４（ｔ）　　　　ＰＩ
’　　）　　＋Ｐ１’　　＝λ（ｔ）ｅ＋（Ｃ４ａｔ（
ｔｌ　　Ｐｌ’　　　Ｌ（ｔ）ｅ）＋Ｐｚ’、！ｌ：　
責＋ｔ　ル。但シλ（ｔ）＝　＜Ｃａｔ（ｔ）−Ｐ４’
　、ｅ　）で、＜、〉は内積を意味する。

ここでＣ４４（ｔ）を直線Ｐｔ’　Ｐ８’　を中心軸と
して直線ＰＬ’　Ｐ８’の直交方向にＷ倍拡大又は縮小
した曲線Ｃ４ａ（ｔ）を考える。

Ｃ４４’　　（ｔ）　　＝　　λ（ｔ）ｅ＋ｗ　　（Ｃ
ａｉ（ｔ）　　　Ｐｓ’−λ（ｔ）ｅ）＋Ｐｔ’　ｗを
適当に定めればＣ口′は制御曲線Ｃ２を通過するはずで
ある。このときのＷを求めるためには、 λ（ｔ）’＋ｗ　　（”ａａ（ｔ）−Ｐｓ’　　−λ（
ｔ）ｅ）　　＋Ｐ１＝Ｃｚ（１１）とおきｔ、Ｗ、Ｌｘ
を未知数として解けばよい。

この方程式は非線型の三次連立方程式なのでＮｅｗｔｏ
ｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ法を適用して解く。このようにして
求めたＷを使ったＣ４４′がステップ５で生成される曲
面生成曲線Ｃｓである。以上が特性曲線が一本の場合の
曲面生成方式である。

〔２〕特性曲線が二本の場合の曲面生成方式第６図は特
性曲線が二本与えられた場合の曲面生成方式を説明する
図である。記号の意味は第４図と同じで、Ｃ１，Ｃｚ、
Ｃａは制御曲線、Ｃ４は第１の特性曲線、Ｃａは第２の
特性曲線である。なお、ＣＩ５は制御曲線の終点を結ぶ
曲線である。

またＣ４４はＣ４に対して、前記ステップ１〜ステツプ
４の処理を施して生成される曲線、Ｃ５４はＣ６に対し
て前記ステップ１〜ステツプ４の処理を施して生成され
る曲線である。この二本の曲線Ｃ４４とＣ３４に対して
ブレンディングと呼ばれる次の操作を施し、曲線ＣＢを
生成する。

Ｃａ（ｔ）＝（１’Ｓ’ｖ））Ｃ４ａ（ｔ）＋　＜Ｐ（
ｖｌｃ３ａ（ｔ）ここでψ（ｖ）は、Ｏ＜？（ｖｌ＜１
、’ｆ”ｏ’＝ｏ、’ｆ”！’＝１を満す関数で、具体
的には ψｆｖｌ＝ｙ （ｐ（ｖ）＝−２ｖ’＋３ｖ” ’Ｐ’ｖ’＝６ｖ′′−１５ｖ番＋１０ｖ３等の関数が
使われる。

このようにして生成した曲線ＣＢに対して、前記ステッ
プ５を適用すれば、端点をｐ、’、Ｐ８＃としＣ２を通
過する曲面生成曲線Ｃｍ（ｔ、）が生成できる。曲面パ
ラメータｕ、ｖに対応する点はＣｍ（ｖ）を出力すれば
よい。

以上が特性曲線が二本与えられた場合の曲面生成方式で
ある。

〔３〕装置構成および動作 第７図は本発明を実現するための装置構成およびその動
作を説明する図である。１は制御曲線と特性曲線のデー
タと、曲面パラメータＵ、Ｖからｕ、ｖに対応する曲面
上の点を生成する曲面生成装置全体の制御を行う装置、
２は曲線データに合同変換及び相似変換などのアフィン
変換を施す装置、３は二本の曲線を指定のブレンディン
グ関数によりブレンドする装置、４は曲面生成曲線を生
成する装置、５は与えられた曲線パラメータに対応する
曲線上の点の置棚を生成する装置、６はＸ。

Ｙ、Ｚ座標値を格納するレジスタ、７は曲線データを格
納するメモリである。また図中の記号は次のような意味
をもつ。

０１〜Ｃ３：制御曲線データ Ｃ４，Ｃｓ：特性曲線データ Ｃ４４，Ｃ５４：　２により中間的に生成される曲線Ｃ
ｎ　　　　：３により中間的に生成される曲線Ｃ１：曲
面生成曲線 Ｉ　Ｃｓ−Ｉ　Ｃｒｌ：メモリ７でのＣエルＣ６データ
の先頭アドレス（Ｃ［、が存在しないときはＩＣａ＝０
である） ＩＣ４番、ＩＣ５番！　　Ｉ　ＣＲｇ　　Ｉ　Ｃｍ　：
メモリ７での０番４．Ｃ３４Ｃｎ、Ｃ１ｌデータノ先頭
アドレスｕ、ｖ：曲面パラメータ ＩＢＦ：ブレンディング関数の種類 （１，２，３で示す、１は〔２〕で述べた一次式のブレ
ンディング関数、２は三次式、；３は三次式のブレンデ
ィング関数を表わす）以下第６図に従い動作の説明を行
う。本装置が動作する初期状態においては、曲線データ
Ｃ裏〜Ｃ３はすでにメモリ７に格納されているものとす
る。そしてＩＣｚ〜ＩＣｓ、ｕ、Ｖ、ＩＢＦの信号が、
本装置を利用する装置又はシステムから転送され終った
段階で本装置は動作を開始する。まず２へ１よりＩＣ１
〜ＩＣ＋５及びＶの信号が転送されると、２はメモリ７
の曲線データＣ１〜Ｃ６を読み出し、前記〔１〕のステ
ップ１〜４の一連の処理を実行し、Ｃ１（ｖ）とＣ２１
（Ｖ）を端点とする曲線Ｃ４３，Ｃ８δを生成し、メモ
リ７へ書き出す（但し、ＩＣ５＝Ｏのときは０番番のみ
メモリ７へ書き出す）。

また同時にＣ４番、Ｃ１１番の先頭アドレスＩＣ番番。

ＩＣ５４を出力し、３へ戻す（但しＩＣａ＝ＯのときＩ
Ｃ３ａ＝Ｏ”ｔ’ある）。つぎに３では、ＩＣｓ＋＃０
のとき、〔２〕で説明したブレンディング操作を行い、
ＣＢをメモリ７へ書き出し、その先頭アドレスＩＣａを
出力する。ＩＣ：１１４＝Ｏのときは、ＩＣａにＩＣ口
をセットする処理のみを行う。つぎに４において〔１〕
ステツプ５に対応する処理を行い、ＣＢからＣ２を通過
する曲面生成曲線Ｃ１を生成し、メモリ７に書き込むと
ともにその先頭アドレスＩＣｍを出力する。最後に５に
おいて、１から送られてくる曲面パラメータＵに対応す
るＣ１上の点のＸ、Ｙ、Ｚ座標値を生成し、６のレジス
タへ出力する。以上が本発明の動作説明である。

なお、以上においては三本の制御曲線を用いたがこれを
更に適当数に増大することも本発明に含まれることはい
うまでもない。

〔発明の効果〕

二本の制御曲線に沿って特性曲線を変形移動し、その軌
跡で曲面を定義する曲面生成方式では、従来、曲面の内
部形状はブレンディング関数の形で決定されていた。こ
のため曲面の内部形状を制御することは、必ずしも容易
ではなかった。本発明の第１の効果は、この欠点を解消
した点にある。

すなわち、二本の制御曲線間にもう一本の制御曲線を与
えられるようにし、なつ該制御曲線を通過する曲面を生
成する機能を設けたことにより、曲面の内部形状は自由
に制御することが可能となった。また本発明の第２の効
果は、特性曲線から曲面生成曲線を生成する手段はアフ
ィン変換が主体となっているため、曲面形状は特性曲線
の形が良く保存され、滑らかな曲率変化をもった曲面を
生成できるという点である。

【図面の簡単な説明】

第１図は従来方式の問題点を示す図、第２図と第３図は
曲面生成方式の概要説明図、第４図と第５図は、特性曲
線が一本の場合の曲面生成方式を説明する図、第６図は
特性曲線が二本の場合の曲面生成方式を説明する図、第
７図は装置構成を示す図である。 ■　１　図 ′″′　ｔ′ ｔｌ’＋ｚｖ！！］、？、１ 藁　４−２ 第　テ　図 Ｃ４４ｔｖ−１’ｒ′−人ｆｔ）６ ’＄ｔｉ Ｆ、　　　　　Ｃ４Ｓ ％７Ｏ

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、制御曲線と呼ぶ少なくとも三本の三次元空間の曲線 Ｃ＿１（ｔ＿１）＝（Ｃ＿１＿１（ｔ＿１）、Ｃ＿１＿
   ２（ｔ＿１）、Ｃ＿１＿３（ｔ＿１））（０≦ｔ＿１≦
   １）Ｃ＿２（ｔ＿２）＝（Ｃ＿２＿１（ｔ＿２）、Ｃ＿
   ２＿２（ｔ＿２）、Ｃ＿２＿３（ｔ＿２））（０≦ｔ＿
   ２≦１）Ｃ＿３（ｔ＿３）＝（Ｃ＿３＿１（ｔ＿３）、
   Ｃ＿３＿２（ｔ＿３）、Ｃ＿３＿３（ｔ＿３））（０＜
   ｔ＿３≦１）と、第１、第３の制御曲線の始点Ｃ＿１（
   ０）、Ｃ＿３（０）を端点とし、かつ第２の制御曲線の
   始点Ｃ＿２（０）を通過する特性曲線と呼ぶ一本の三次
   元空間の曲線 Ｃ＿４（ｔ＿４）＝（Ｃ＿４＿１（ｔ＿４）、Ｃ＿４＿
   ２（ｔ＿４）、Ｃ＿４＿３（ｔ＿４））（０≦ｔ＿４≦
   １）から曲面パラメータｕ、ｖ（０≦ｕ、ｖ≦−１）に
   対応する曲面上の点を生成する方式において、ｔ＿１＝
   ｔ＿２＝ｔ＿３＝ｖとおいて得られる、前記第１、第２
   、第３の制御曲線上の点Ｃ＿１（ｖ）、Ｃ＿２（ｖ）、
   Ｃ＿３（ｖ）に対し、Ｃ＿１（ｖ）、Ｃ＿３（ｖ）を端
   点とし、Ｃ＿２（ｖ）を通過する曲面生成曲線Ｃ＿ｍ（
   ｔ＿ｍ）を、Ｃ＿４（ｔ＿４）にアフィン変換を施して
   生成し、該生成した曲面生成曲線Ｃ＿ｍ（ｔ＿ｍ）のデ
   ータからｔ＿ｍ＝ｕにおける該曲面生成曲線上の点Ｃ＿
   ｍ（ｕ）を生成し、該生成された点を前記曲面パラメー
   タｕ、ｖに対応する点として出力する曲面生成方式。 ２、前記三本の制御曲線とそれらの始点を結ぶ前記第１
   の特性曲線に加えて、前記第１、第３の制御曲線の終点
   を端点とし、前記第２の制御曲線を通過する第２の特性
   曲線 Ｃ＿５（ｔ＿５）＝（Ｃ＿５＿１（ｔ＿５）、Ｃ＿５＿
   ２（ｔ＿５）、Ｃ＿５＿５（ｔ＿５））（０≦ｔ＿５≦
   １）から曲面パラメータｕ、ｖ（０≦ｕ、ｖ≦１）に対
   応する曲面上の点を生成する方式において、ｔ＿１＝ｔ
   ＿２＝ｔ＿３＝ｖにおける前記第１、第２、第３の制御
   曲線上の点Ｃ＿１（ｕ）、Ｃ＿２（ｖ）、Ｃ＿３（ｕ）
   に対し、Ｃ＿１（ｕ）、Ｃ＿３（ｕ）を端点とし、Ｃ＿
   ２（ｖ）を通過する曲面生成曲線Ｃ＿ｍ（ｔ＿ｍ）を、
   Ｃ＿４（ｔ＿４）にアフィン変換を施して生成される曲
   線Ｃ＿４＿ｍ（ｔ＿４＿ｍ）と、Ｃ＿５（ｔ＿ｓ）にア
   フィン変換を施して生成される曲線Ｃ＿５＿ｍ（ｔ＿５
   ＿ｍ）に対して、０≦ψ（ｖ）≦１、ψ（０）＝０、ψ
   （１）＝１なる性質をもつ関数ψ（ｖ）を用いて ｃ＿ｍ（ｔ）＝（１−ψ（ｖ））Ｃ＿４＿ｍ（ｔ）＋ψ
   （ｖ）Ｃ＿５＿ｍ（ｔ）なる形にブレンドして生成し、
   該生成した曲面生成曲面Ｃ＿ｍ（ｔ）のデータからｔ＝
   ｕにおける点Ｃ＿ｍ（ｕ）を生成し、該生成された点を
   前記曲面パラメータｕ、ｖに対応する点として出力する
   第１項記載の曲面生成方式。