JPH05314268A - 曲線描出方法および装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】３次ベジェ曲線で表現された曲線データを比較
的簡単な演算で補間近似して直線分列を得て、しかも誤
差を的確に管理する。 【構成】標準形変換部１２は、与えられたベジェ曲線デ
ータを標準形として最大距離算出部１３に与える。最大
距離算出部１３はベースラインからの距離の最大値を求
める。トレランス規定部１５は近似誤差のトレランスを
保持する。比較部１４は、最大距離とトレランスとを比
較する。分割点決定／ベースライン出力部１６は、前記
最大距離が前記トレランスを超えているときは、前記最
大距離が得られたベジェ曲線上の点を分割点として分割
処理部１７に与え、前記最大距離が前記トレランス以下
であるときは、そのときのベースラインに相当する直線
分を近似直線分として出力処理部１８に与える。分割処
理部１７はベジェ曲線を２分割して標準形変換部１２に
与える。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、文字、図形のような曲
線を含む情報を、例えばプロッタ、プリンタ、工作機械
またはディスプレイのような出力装置を用いて出力する
コンピュータ応用システムに係り、特に３次ベジェ曲線
で表現されたアウトラインフォントまたはスプライン曲
線のような曲線データを直線分列で補間近似して出力装
置で描画出力させるのに好適な曲線描出方法および装置
に関する。

【０００２】

【従来の技術】ＣＡＤ（computer-aided design）シス
テムは、自由曲線、すなわちスプライン曲線を作成する
ための機能を備えている。ＣＡＤシステムでは、このよ
うなスプライン曲線を含む図形データを、種々の大きさ
でディスプレイに表示するだけでなく、プリンタおよび
プロッタ等により種々の大きさで出力したり、この図形
データに従って工作機械を作動させて材料を種々の大き
さで加工したりする。また、ワードプロセシングシステ
ムおよびＤＴＰ（desktop publishing）システムには、
種々の字体の文字をアウトラインフォントを用いて種々
の大きさで表現する機能を備えているものも少なくな
い。このようなアウトラインフォントにも多くの場合実
質的にＣＡＤシステムにおけるスプライン曲線と同等の
曲線が含まれる。上述のようなスプライン曲線およびそ
れと同等の曲線を表現する場合、近年では、ベジェ曲線
特に３次ベジェ曲線が用いられることが多い。

【０００３】このような３次ベジェ曲線として表現され
た曲線を、プロッタまたは工作機械のような出力装置で
出力する場合は、３次ベジェ曲線を多数の直線分列で補
間近似して描出することになる。また、このような３次
ベジェ曲線として表現された曲線を、ディスプレイ、プ
リンタ、または、ラスタプロッタのような出力装置で出
力する場合は、３次ベジェ曲線を多数の直線分列で補間
近似し、さらにラスタ展開して描出することになる。こ
こで、ベジェ曲線および従来のシステムにおけるベジェ
曲線の補間近似について説明する。ベジェ曲線とは、始
点と終点の座標、および始点の接線ベクトルと終点の接
線ベクトルを指定する曲線表現の一つである。例えば２
次ベジェ曲線は数１のようにパラメータｔについての２
次式で表現される。

【０００４】

【数１】 Ｐ(t) ＝（１−ｔ）² Ｐ₀ ＋２（１−ｔ）ｔＰ₁ ＋ｔ² Ｐ₂

【０００５】ここで、０≦ｔ≦１であり、Ｐ(t) 、Ｐ
₀ 、Ｐ₁ およびＰ₂ は位置ベクトルを表している。数１
の２次ベジェ曲線は、パラメータｔを０から１まで変化
させたときの軌跡として図２３に示されるように、３個
の制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ およびＰ₂ で定義される。また、３
次ベジェ曲線は、数２のようにパラメータｔについての
３次式で表現され、パラメータｔを０から１まで変化さ
せたときの軌跡として図２４に示されるように、４個の
制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ₃ で定義される。

【０００６】

【数２】

【０００７】ここで、０≦ｔ≦１であり、Ｐ(t) 、Ｐ
₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ₃ は位置ベクトルを表してい
る。図２３からもわかるように２次ベジェ曲線では、始
点の接線ベクトルと終点の接線ベクトルの大きさが一意
的に決定されてしまうので、曲線表現の自由度がなく、
上述のようなスプライン曲線等の表現に使用されること
は少ない。これに対して、３次ベジェ曲線では、始終点
ベクトルの大きさについてある程度の自由度があり、上
述のようなスプライン曲線等の表現に広く使用されてい
る。一般にｎ次ベジェ曲線は数３で表される。

【０００８】

【数３】

【０００９】ベジェ曲線は始点と終点の座標値および始
点の接線と終点の接線を与えて多項式で定義しているの
で、直線との結合やベジェ曲線同士を連続的に結合する
ことができるので多く利用されている。数３より数４が
得られる。

【００１０】

【数４】 ｄＰ(t) ／ｄｔ＝−ｎ（１−ｔ）Ｐ₀ ＋Σ _nＣ_i （１−ｔ）^n-i ｔⁱ Ｐ_i

【００１１】また、数３および数４より数５が得られ
る。

【００１２】

【数５】Ｐ(0) ＝Ｐ₀ Ｐ(1) ＝Ｐ_n Ｐ′(0) ＝ｎ（Ｐ₁ −Ｐ₀ ） Ｐ′(1) ＝ｎ（Ｐ_n −Ｐ_n-1 ）

【００１３】数５により、始点がＰ₀ 、終点がＰ_n 、始
点の接線方向がＰ₁ −Ｐ₀ 、終点の接線方向がＰ_n −Ｐ
_n-1 となることを確認することができる。ベジェ曲線
は、アフィン変換に対して不変であるという特徴を持っ
ている。このことは係数の和が１になることによって確
認することができる。この結果、曲線を回転させ、ある
いは平行移動するにはベジェ曲線を定義している制御点
について回転、あるいは平行移動をすればよい。この他
にもベジェ曲線には様々な特徴がある。

【００１４】上述したように、３次ベジェ曲線はスプラ
イン曲線等の表現に多用されるが、数２のような３次ベ
ジェ曲線を多数の直線分列で補間近似するためには、従
来次の(a) または(b) のような操作を行っていた。 (a) パラメータｔの値を予め固定的に、例えばｔ＝ 0，
0.01，0.02，…，0.99，1として、定めておき、これら
のｔの値を数２に逐次代入して、それぞれのｔの値に対
応する３次ベジェ曲線Ｐ(t) 上の点を求め、これら各点
を直線で結ぶ。 (b) ベジェ多角形の周長、すなわち図２４に示される、
４個の制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ₃ を結ぶＰ₀ −
Ｐ₁ −Ｐ₂ −Ｐ₃ の長さＬを求め、それに基づいてｔの
値を固定的に、ｔ＝ 0，1/L ，2/L ，…，(L-1)/L ，1
として、定めて、これらのｔの値を数２に逐次代入し
て、それぞれのｔの値に対応する３次ベジェ曲線Ｐ(t)
上の点を求め、これら各点を直線で結ぶ。

【００１５】

【発明が解決しようとする課題】上述したように従来の
システムにおいては、３次ベジェ曲線の補間近似による
直線分列への展開に際して、パラメータｔの値に固定値
または単にＰ₀ −Ｐ₁ −Ｐ₂ −Ｐ₃ の長さＬに基づいて
固定的に求めた値を代入していた。すなわち、３次ベジ
ェ曲線の補間近似による直線分列への変換に際し、(a)
の方法では、ｔの値が固定されてしまい且つこのｔの値
は求められる直線分とベジェ曲線との誤差に直接的には
対応していないため、直線分とベジェ曲線との誤差を少
なくするにはｔの値をむやみに細かくとらねばならず、
簡単な（例えば直線に近いあるいは全長が非常に短い
等）曲線に対しても必要以上に多数の点を求めることに
なり、非常に効率の悪い演算を行うことになる。もちろ
ん、ｔの値を粗くとれば演算は簡単になるが複雑な（す
なわち曲率が大きくまたは全長が長い等）曲線に対して
誤差が大きくなる。また、(b) の方法では、ｔの値をＰ
₀ −Ｐ₁ −Ｐ₂ −Ｐ₃ の長さＬに応じた数とすることが
できるが、このｔの値も求められる直線分とベジェ曲線
との誤差に直接的には対応していないため、例えば直線
に近い曲線に対しても長さＬが長いと、必要以上に多数
の点を求めることになり、非常に効率の悪い演算を行う
ことになる。もちろん、長さＬが短い場合には、演算は
簡単になるが、曲率が大きな曲線に対しては誤差が大き
くなる。

【００１６】このように、従来の３次ベジェ曲線の補間
近似による直線分列への展開の方法は、誤差を所定の許
容値以下に抑えることができないか、非常に効率の悪い
演算を行うことになるか、あるいはこれら両方の欠点を
持っている。本発明は、このような事情に鑑みてなされ
たもので、３次ベジェ曲線で表現された曲線データを補
間近似して直線分列を得るのに、比較的簡単な演算で済
み、しかも誤差を的確に管理することを可能とする曲線
描出方法および装置を提供することを目的としている。

【００１７】

【課題を解決するための手段】本発明に係る曲線描出方
法は、ベジェ関数で表された曲線情報を一連の直線分群
で補間近似して出力するにあたり、ベジェ関数で表され
たベジェ曲線データを格納する曲線格納ステップと、ベ
ジェ関数で表されたベジェ曲線データを読み出す曲線読
み出しステップと、読み出されたベジェ曲線データに基
づいてベジェ曲線を定義するベジェ多角形の底辺から曲
線までの距離の最大値を求める最遠点算出ステップと、
前記最遠点算出ステップで求められた距離の最大値が所
定の許容値以下か否かを判定する判定ステップと、前記
判定ステップで前記許容値以下でないと判定された場合
に前記ベジェ曲線を２分割する分割ステップと、前記分
割ステップで２分割された結果得られる各曲線部分の各
々について前記最遠点算出ステップからの処理を繰り返
し実行させる繰り返しステップと、前記判定ステップで
前記許容値以下であると判定された場合に、その曲線部
分を、そのときのベジェ多角形の底辺に相当する直線分
に置き換える直線置換ステップと、前記曲線読み出しス
テップで読み出されたベジェ曲線の全ての部分が前記直
線置換ステップにより直線分に置換された後に、置換さ
れた一連の直線分群のデータを前記ベジェ曲線を補間近
似する直線分群として出力する出力ステップとを有する
ことを特徴としている。

【００１８】本発明に係る曲線描出装置は、ベジェ関数
で表された曲線情報を一連の直線分群で補間近似して出
力する曲線描出装置において、ベジェ関数で表されたベ
ジェ曲線データを格納するための曲線格納手段と、前記
曲線格納手段から読み出されたベジェ曲線データおよび
与えられたベジェ曲線データに基づいてベジェ曲線を定
義するベジェ多角形の底辺から曲線までの距離の最大値
を求めるための最遠点算出手段と、前記最遠点算出手段
で求められた距離の最大値が所定の許容値以下か否かを
判定するための判定手段と、前記判定手段で前記許容値
以下でないと判定された場合にそのベジェ曲線を２分割
するとともに分割の結果得られる各曲線部分の各々のベ
ジェ曲線データを前記最遠点算出手段に与えるための分
割手段と、前記判定ステップで前記許容値以下であると
判定された曲線部分を、そのときのベジェ多角形の底辺
に相当する直線分に置き換えるための直線置換手段と、
前記曲線格納手段に格納されたベジェ曲線の全ての部分
が前記直線置換手段により直線分に置換された一連の直
線分群のデータを前記ベジェ曲線を補間近似する直線分
群として出力するための出力手段とを有することを特徴
としている。

【００１９】

【作用】本発明の曲線描出方法および装置は、ベジェ関
数で表された曲線情報を一連の直線分群で補間近似して
出力するにあたり、ベジェ関数で表されたベジェ曲線デ
ータに基づいてベジェ曲線を定義するベジェ多角形の底
辺から曲線までの距離の最大値を求め、前記距離の最大
値が所定の許容値以下か否かを判定し、前記許容値以下
でないと判定された場合に前記ベジェ曲線を２分割し
て、分割された結果得られる各曲線部分の各々につい
て、前記ベジェ多角形の底辺から曲線までの距離の最大
値を求めその距離の最大値が許容値以下でないかぎりそ
のベジェ曲線の２分割を繰り返すとともに、前記許容値
以下であると判定された曲線部分を、そのときのベジェ
多角形の底辺に相当する直線分に置き換えて、前記ベジ
ェ曲線の全ての部分が置換された一連の直線分群のデー
タを前記ベジェ曲線を補間近似する直線分群として出力
するので、３次ベジェ曲線で表現された曲線データを補
間近似して直線分列を得るのに、比較的簡単な演算で済
みしかも誤差を的確に管理することが可能となる。

【００２０】

【実施例】本発明の実施例の説明に先立ち、まず、本発
明において３次ベジェ曲線で表現された曲線データを補
間近似して直線分列を得るために用いる基本的な原理を
説明する。

【００２１】《補間アルゴリズム》本発明における補間
アルゴリズムは、主として、ベースラインとベジェ曲線
との間の距離を求めるアルゴリズムと、ベジェ曲線を２
つのベジェ曲線へ分割するアルゴリズムとから構成され
ている。すなわち、この補間アルゴリズムでは、図２４
に示されたような３次ベジェ曲線が与えられたとする
と、図８に示すように、ベースラインＰ₀ −Ｐ₃ からベ
ジェ曲線Ｐ(t) の頂点までの距離、すなわちベースライ
ンＰ₀ −Ｐ₃ からベジェ曲線Ｐ(t) までの最大距離ｄを
求める。この距離ｄが与えられたトレランス（許容値）
δ以下であれば、ベースラインＰ₀ −Ｐ₃ はベジェ曲線
Ｐ(t) を補間近似する直線分そのものである。もしも、
距離ｄがトレランスδを超えていれば、図９のようにベ
ジェ曲線Ｐ(t) を２分割する点とベジェ曲線Ｐ(t) の始
点Ｐ₀ および終点Ｐ₃ とをそれぞれ結ぶ２本の直線分で
近似する。こうすれば、ベースライン１本よりもよい近
似が行える。次に、図１０のように、これら２本の直線
分とベジェ曲線Ｐ(t) との間の最大距離ｄ１およびｄ２
をそれぞれ求め、これらがトレランスδ以下であれば補
間近似処理を終了とする。最大距離ｄ１およびｄ２がト
レランスδを超えていれば、図１１に示すようにさらに
２本の直線分で補間する。このような処理を近似直線分
とベジェ曲線Ｐ(t) との間の最大距離がすべてトレラン
スδ以下になるまで繰り返し行う。このようにして、補
間近似処理が完了すると、例えば図１２に示すようにな
る。

【００２２】次に、上述におけるベースライン（直線
分）とベジェ曲線との間の最大距離の求め方およびド・
カステリョ（de Casteljau）のアルゴリズムを用いたベ
ジェ曲線の分割について述べる。

【００２３】《ベースラインとの距離（２次ベジェ曲線
の場合）》ここでは、３次ベジェ曲線について検討する
前に、２次ベジェ曲線におけるベースラインからの距離
について考察する。２次ベジェ曲線は、先に述べた数１
であらわされ、一般的には例えば図１３に示されるよう
な形となる。ここで、３個の制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ およびＰ
₂ のうちの制御点Ｐ₀ を原点（０，０）とし、制御点Ｐ
₂ をＸ軸上の点（Ｘ₂ ，０）として、２次ベジェ曲線の
ベースラインがＸ軸に一致するようにする。この条件で
は、数１は数６のようにあらわすことができる。なお、
制御点Ｐ₁ は（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ）であらわされる。

【００２４】

【数６】Ｘ(t) ＝２（１−ｔ）ｔＸ₁ ＋ｔ² Ｘ₂ Ｙ(t) ＝２（１−ｔ）ｔＹ₁

【００２５】この数６であらわされる２次ベジェ曲線は
図１４のようになる。図１４においてベースライン（Ｘ
軸）から最も離れている点は、次の数７を満足する。

【００２６】

【数７】ｄＹ／ｄＸ＝０

【００２７】ｄＸ／ｄｔ＝ｄＹ／ｄｔ＝０となることは
ないので、数７より数８が得られる。

【００２８】

【数８】（ｄＹ／ｄｔ）／（ｄＸ／ｄｔ）＝０ すなわち ｄＹ／ｄｔ＝０

【００２９】数６より、数９となる。

【００３０】

【数９】ｄＹ／ｄｔ＝（２−４ｔ）Ｙ₁ ＝０ ｔ＝１／２

【００３１】したがって、ｔ＝０．５のときにベジェ曲
線はベースラインから最も離れる。この場合のベースラ
インからベジェ曲線までの距離は、そのときのＹの値で
あって、ｔ＝０．５を数６に代入することによって求め
ることができ、数１０であらわされる。

【００３２】

【数１０】ｄ＝Ｙ(0.5)＝0.5Ｙ₁

【００３３】すなわち、ベースラインから制御点Ｐ₁ ま
での距離の半分がベースラインからベジェ曲線までの最
大距離となる（この点について図１４は必ずしも正しく
描かれていない）。以上の計算は、数６であらわされる
図１４のような２次ベジェ曲線に対して有効である。数
１のような一般形のベジェ曲線は、ベジェ曲線がアフィ
ン変換に対して不変であるという特徴を利用して、制御
点Ｐ₀ 、Ｐ₁ およびＰ₂ の３点を曲線とベースラインと
の間の距離を変えることなく標準形へ変換すればよい。
ここで、図１４の標準形の条件を示す。制御点Ｐ₀ は原
点であり、制御点Ｐ₂ はＸ軸上の点であり、距離ｄ＝0.
5Ｙ₁ は正であるので、数１１〜数１３が得られる。

【００３４】

【数１１】Ｘ₀ ＝Ｙ₀ ＝０

【００３５】

【数１２】Ｙ₂ ＝０

【００３６】

【数１３】Ｙ₁ ＞０

【００３７】以上の数１１〜数１３の条件を満たすよう
に制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ およびＰ₂ の３点を平行移動、回
転、およびミラー演算する。次に、図１５に示すよう
に、一般形をした２次ベジェ曲線を定義する制御点Ｐ₀
＝（Ｘ₀ ，Ｙ₀ ）、Ｐ₁ ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ）およびＰ₂ ＝
（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ）からそれらを共通に平行移動および回転
した標準形のベジェ曲線の制御点Ｑ₀ ＝（Ｕ₀，Ｖ
₀ ）、Ｑ₁ ＝（Ｕ₁ ，Ｖ₁ ）およびＱ₂ ＝（Ｕ₂ ，Ｖ
₂ ）を求める手順を説明する。数１１から数１４および
数１５が求められる。

【００３８】

【数１４】Ｕ₀ ＝０

【００３９】

【数１５】Ｖ₀ ＝０

【００４０】数１２と図１５から数１６および数１７が
求められる。

【００４１】

【数１６】 Ｕ₂ ＝√｛（Ｘ₂ −Ｘ₀ ）² ＋（Ｙ₂ −Ｙ₀ ）² ｝

【００４２】

【数１７】Ｖ₂ ＝０

【００４３】制御点Ｑ₁ は、制御点Ｐ₁ を、制御点Ｐ₀
から制御点Ｑ₀ （原点）への移動と同様に平行移動し、
さらに原点を中心として、線分Ｐ₀ Ｐ₂ とＸ軸とがなす
角だけ時計回りに回転して得られる。したがって、数１
８が得られる。

【００４４】

【数１８】

【００４５】すなわち、数１９および数２０が得られ
る。

【００４６】

【数１９】

【００４７】

【数２０】

【００４８】結局、２次ベジェ曲線のベースラインから
の最大距離ｄは数２１であらわされる。

【００４９】

【数２１】

【００５０】《ベースラインとの距離（３次ベジェ曲線
・凸閉包の場合）》３次ベジェ曲線についてのベースラ
インからの距離についても、上述の２次ベジェ曲線で用
いた方法を利用して計算することができる。先に述べた
数２であらわされる３次ベジェ曲線の標準形は、図１６
に示され、その条件は数２２〜数２６であらわされる。

【００５１】

【数２２】Ｘ₀ ＝Ｙ₀ ＝０

【００５２】

【数２３】Ｘ₃ ＞０

【００５３】

【数２４】Ｙ₃ ＝０

【００５４】

【数２５】Ｙ₁ ＞０

【００５５】

【数２６】｜Ｙ₁ ｜≧｜Ｙ₂ ｜

【００５６】これらの条件のうちの数２２および数２４
を数２に代入して、数２７が得られる。

【００５７】

【数２７】 Ｙ(t) ＝３（１−ｔ）² ｔＹ₁ ＋３（１−ｔ）ｔ² Ｙ₂ ＝３｛（Ｙ₁ −Ｙ₂ ）ｔ³ −（２Ｙ₁ −Ｙ₂ ）ｔ² ＋Ｙ₁ ｔ｝

【００５８】数２７の両辺をｔで微分して数２８を得
る。

【００５９】

【数２８】 ｄＹ／ｄｔ＝３｛３（Ｙ₁ −Ｙ₂ ）ｔ² −２（２Ｙ₁ −Ｙ₂ ）ｔ＋Ｙ₁ ｝

【００６０】図１６において曲線がベースラインから最
も離れるときのｔの値は、数２９より数３０を解くこと
により数３１として与えられる。

【００６１】

【数２９】ｄＹ／ｄＸ＝０

【００６２】

【数３０】

【００６３】

【数３１】

【００６４】ここで、図１６のベジェ曲線上の点につい
ては０≦ｔ≦１の区間に限定すると、数２５および数２
６の条件から数３２が得られる。

【００６５】

【数３２】

【００６６】このときのベースラインからの距離ｄは数
３２で得られるｔの値をτとすると、これを数２７に代
入して数３３を求めることができる。

【００６７】

【数３３】

【００６８】以上の方法は、数２７すなわち図１６のよ
うな標準形の３次ベジェ曲線に対して有効である。一般
形の３次ベジェ曲線は、２次ベジェ曲線の場合と同様、
図１７に示されるような平行移動、回転およびミラー演
算によって最大距離ｄを変化させることなく標準形に変
換することができる。

【００６９】次に、図１７に示すように、制御点Ｐ₀ ＝
（Ｘ₀ ，Ｙ₀ ）、Ｐ₁ ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ）、Ｐ₂ ＝（Ｘ
₂ ，Ｙ₂ ）およびＰ₃ ＝（Ｘ₃ ，Ｙ₃ ）で定義される一
般形の３次ベジェ曲線を、制御点Ｑ₀ ＝（Ｕ₀ ，Ｖ
₀ ）、Ｑ₁ ＝（Ｕ₁ ，Ｖ₁ ）、Ｑ₂＝（Ｕ₂ ，Ｖ₂ ）お
よびＱ₃ ＝（Ｕ₃ ，Ｖ₃ ）で定義される標準形のベジェ
曲線に変換する手順を検討する。２次ベジェ曲線の場合
と同様に数２２および数２４から数３４〜数３７が得ら
れる。

【００７０】

【数３４】Ｕ₀ ＝０

【００７１】

【数３５】Ｖ₀ ＝０

【００７２】

【数３６】 Ｕ₃ ＝√｛（Ｘ₃ −Ｘ₀ ）² ＋（Ｙ₃ −Ｙ₀ ）² ｝

【００７３】

【数３７】Ｖ₃ ＝０

【００７４】ここでベースラインとＸ軸とのなす角度θ
は、数３８および数３９であらわされる。

【００７５】

【数３８】

【００７６】

【数３９】

【００７７】したがって、数４０が得られる。

【００７８】

【数４０】

【００７９】ここで、もしも｜Ｖ₁ ｜＜｜Ｖ₂ ｜である
ならば、Ｕ₁ とＵ₂ とを交換し、且つＶ₁ とＶ₂ とを交
換する（あるいは、数３１における２乗根の前の符号と
して＋を採用する）。さらに、Ｖ₁ ＜０であれば、Ｖ₁
の符号とＶ₂ の符号とをそれぞれ正負逆にする。このよ
うにすれば、３次ベジェ曲線を標準形に変換することが
でき、上述の数３２および数３３より、ベースラインか
らベジェ曲線までの距離の最大値を求めることができ
る。

【００８０】《３次ベジェ曲線の分割》次に、上述のよ
うにして求めた距離ｄが所定のトレランスδを超えてい
た場合に、ベジェ曲線を分割して、２本の線分（直線
分）で補間近似する方法について説明する。一般に、ベ
ジェ曲線を分割するには、ド・カステリョ（de Castelj
au）の方法があり、本発明においてもド・カステリョの
方法を利用する。図１８にド・カステリョの方法を用い
た３次ベジェ曲線の分割の過程の概略を模式的に示す。
制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ₃ で定義される３次ベ
ジェ曲線（以下、「制御点Ｐ₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ₃
で定義される３次ベジェ曲線」は単に「３次ベジェ曲線
Ｐ₀ −Ｐ₁ −Ｐ₂ −Ｐ₃ 」と称する）は、次のようにし
てｔ＝τで２つのベジェ曲線に分割する。

【００８１】(1) ３本の線分Ｐ₁ −Ｐ₀ 、Ｐ₂ −Ｐ₁ お
よびＰ₃ −Ｐ₂ をそれぞれτ：１−τに内分し、それら
内分点をそれぞれＰ₁₀、Ｐ₁₁およびＰ₁₂とする。 (2) 線分Ｐ₁₁−Ｐ₁₀およびＰ₁₂−Ｐ₁₁をそれぞれτ：１
−τに内分し、それら内分点をそれぞれＰ₂₀およびＰ₂₁
とする。 (3) 線分Ｐ₂₀−Ｐ₂₁をτ：１−τに内分し、その内分点
をＰ₃₀とする。 (4) このようにして３次ベジェ曲線Ｐ₀ −Ｐ₁ −Ｐ₂ −
Ｐ₃ は２つの３次ベジェ曲線Ｐ₀ −Ｐ₁₀−Ｐ₂₀−Ｐ₃₀と
Ｐ₃₀−Ｐ₂₁−Ｐ₁₂−Ｐ₃ に分割することができる。 以上に述べたように、３次ベジェ曲線を補間近似するに
は、ベースラインからの最大距離を求め、そのベースラ
インからの最遠点で２分割を繰り返し行うことにより、
所定のトレランス以内の誤差で直線列に分割補間するこ
とができる。

【００８２】《凸閉包以外の３次ベジェ曲線の場合》以
上に述べた３次ベジェ曲線は、その制御多角形が凸閉包
であることを前提としていた。しかし、３次ベジェ曲線
には図１９に示すような凸閉包でない３次ベジェ曲線も
存在し得る。これらの場合においても、図２０に示すよ
うに、上述と同様の方法で、補間近似することができ
る。例外的な３次ベジェ曲線として、図２１に示すよう
に始終点Ｐ₀ とＰ₃ が一致した３次ベジェ曲線がある。
このような３次ベジェ曲線の場合には、線分Ｐ₁ −Ｐ₂
がＸ軸と平行になるように変換して、Ｘ軸からの最遠点
で分割すればよい（図２２参照）。以上のような原理に
より、３次ベジェ曲線で表現された曲線データを、比較
的簡単な演算で所定の誤差範囲内に管理しつつ補間近似
して直線分列を得ることができる。このような原理によ
りベジェ曲線−直線列変換を行って曲線描出装置を構成
することができる。

【００８３】上述の原理に基づく本発明の実施例を、以
下、図面を参照して説明する。図１は、本発明の一実施
例に係る曲線描出装置の概略的な構成を示している。本
実施例の曲線描出装置では、３次ベジェ曲線で表現され
た曲線データを補間近似するにあたり、ベジェ曲線を必
要に応じて変換し標準形のベジェ曲線として、ベジェ曲
線を定義するベジェ多角形の底辺から曲線までの距離の
最大値を求め、前記最大値が所定の許容値以下でない場
合に前記ベジェ曲線を２分割して、分割された結果得ら
れる各曲線部分の各々について、さらにベジェ多角形の
底辺から曲線までの距離の最大値を求め、その距離の最
大値が許容値以下でないかぎりベジェ曲線の２分割を繰
り返すとともに、前記距離の最大値が許容値以下の曲線
部分を、そのときのベジェ多角形の底辺に相当する直線
分に置き換えて、もとの曲線データを補間近似する一連
の直線分群のデータを出力することができる。

【００８４】図１に示す曲線描出装置は、曲線−直線列
変換処理部１０および記憶装置２０を有している。曲線
−直線列変換処理部１０は、典型的にはＣＰＵ（中央処
理装置）を含み主としてソフトウェアにより所定のごと
く機能するように構成される。もちろん、この曲線描出
処理部１０の一部または全部は、各機能要素に相当する
ハードウェアにより構成するようにしてもよい。記憶装
置２０は、例えばメモリおよびハードディスク装置のよ
うなディスク装置等の少なくともいずれかを備え、直線
列に変換されるべき原ベジェ曲線データが予め格納され
るとともに、曲線−直線列変換処理に関連する座標、曲
線および直線データ、ならびに曲線−直線列変換処理に
より得られる直線列データを含むデータが適宜必要に応
じて格納される。この記憶装置２０は、本実施例による
曲線描出装置が組み込まれるシステムの記憶装置の一部
を利用してもよい。

【００８５】曲線−直線列変換処理部１０は、原データ
読出し部１１、標準形変換部１２、最大距離算出部１
３、比較部１４、トレランス規定部１５、分割点決定／
ベースライン出力部１６、分割処理部１７、および出力
処理部１８を備えている。原データ読出し部１１は、予
め記憶装置２０に格納されているベジェ曲線の原データ
を読出して曲線−直線列変換処理のため標準形変換部１
２に与える。標準形変換部１２は、与えられたベジェ曲
線データが、先に述べたような標準形のベジェ曲線であ
るときはそのまま最大距離算出部１３に与え、前記ベジ
ェ曲線データが標準形でないときは、そのデータを標準
形に変換して最大距離算出部１３に与える。最大距離算
出部１３は、与えられた標準形のベジェ曲線データにつ
いてベースラインからの距離の最大値すなわち最大距離
を求める。トレランス規定部１５は、ベジェ曲線に対す
る直線列の近似誤差の所要の許容値すなわちトレランス
を保持規定する。このトレランスは、例えば外部操作に
基づく設定入力により所要の条件に合わせて設定される
ものとする。

【００８６】比較部１４は、最大距離算出部１３で得ら
れた最大距離とトレランス規定部１５で規定されたトレ
ランスとを比較し、その比較結果を分割点決定／ベース
ライン出力部１６に与える。分割点決定／ベースライン
出力部１６は、比較部１４の比較結果に応じて異なる２
つの機能を有する。すなわち、前記最大距離が前記トレ
ランスを超えているときは、分割点決定／ベースライン
出力部１６はこの場合前記最大距離が得られたベジェ曲
線上の点を、もとのベジェ曲線の分割点として決定し分
割処理部１７に与える。また、前記最大距離が前記トレ
ランス以下であるときは、分割点決定／ベースライン出
力部１６は、そのときのベースラインに相当する直線分
を、そのベジェ曲線の近似直線分として出力処理部１８
に与える。

【００８７】分割処理部１７は、分割点決定／ベースラ
イン出力部１６より与えられる分割点でもとのデータを
２分割し、２分割の結果得られる各ベジェ曲線データを
標準形変換部１２に与える。標準形変換部１２は、分割
処理部１７から与えられたベジェ曲線データについて
も、原データの場合と同様、標準形のベジェ曲線である
ときはそのまま最大距離算出部１３に与え、前記ベジェ
曲線データが標準形でないときは、そのデータを標準形
に変換して最大距離算出部１３に与える。出力処理部１
８は、分割点決定／ベースライン出力部１６より与えら
れる直線分列を原データ読出し部１１で読出された原ベ
ジェ曲線データが変換された近似直線分列として出力す
る。次に、このような構成の曲線描出装置における特に
本発明のベジェ補間による曲線−直線列変換に係る動作
を図２〜図５に示すフローチャートを参照して詳細に説
明する。

【００８８】図２はベジェ補間による曲線−直線列変換
の全体の処理を示している。まず、与えられた３次元ベ
ジェ曲線データについて、ベースラインからベジェ曲線
までの最大距離ｄを求める（ステップＳ１）。次に、こ
のようにして求められた最大距離ｄを予め設定されたト
レランスδと比較する（ステップＳ２）。前記最大距離
ｄがトレランスδを超えているとき（ｄ＞δ）は、前記
与えられた３次元ベジェ曲線データを前記最大距離ｄを
与える点で２分割し、第１および第２の３次ベジェ曲線
を得る（ステップＳ３）。このステップＳ３で求められ
た第１のベジェ曲線について図２のベジェ補間処理を再
帰的に呼び出す（ステップＳ４）。前記このステップＳ
３で求められた第２のベジェ曲線について図２のベジェ
補間処理を再帰的に呼び出す（ステップＳ５）。

【００８９】ステップＳ５の処理後はステップＳ２へ戻
る。また、ステップＳ２で、前記最大距離ｄがトレラン
スδ以下である（ｄ≦δ）と判定されたときは、そのと
きのベースラインに相当する直線分を出力する（ステッ
プＳ６）。図３に、図２のステップＳ１における３次ベ
ジェ曲線のベースラインからの距離計算の詳細な処理を
示す。図３の処理では、３次ベジェ曲線のベースライン
から３次ベジェ曲線上の最遠点までの距離、すなわちベ
ースラインから３次ベジェ曲線までの最大距離およびそ
の最遠点を与えるｔを求める。まず、ベジェ多角形Ｐ₀
−Ｐ₁ −Ｐ₂ −Ｐ₃ を制御点Ｐ₀ が原点（０，０）とな
るように平行移動する（ステップＳ１１）。すなわち、
Ｐ₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ₃ のＸ座標をそれぞれＰ_0x、
Ｐ_1x、Ｐ_2xおよびＰ_3xとし、Ｐ₀ 、Ｐ₁ 、Ｐ₂ およびＰ
₃ のＹ座標をそれぞれＰ_0y、Ｐ_1y、Ｐ_2yおよびＰ_3yとす
ると、数４１で示される変換を行う。

【００９０】

【数４１】Ｐ_1x＝Ｐ_1x−Ｐ_0x Ｐ_2x＝Ｐ_2x−Ｐ_0x Ｐ_3x＝Ｐ_3x−Ｐ_0x Ｐ_0x＝０ Ｐ_1y＝Ｐ_1y−Ｐ_0y Ｐ_2y＝Ｐ_2y−Ｐ_0y Ｐ_3y＝Ｐ_3y−Ｐ_0y Ｐ_0y＝０

【００９１】次に、ベースラインがＸ軸に一致するよう
にベジェ多角形を回転させて（ステップＳ１２）、制御
点Ｐ₁ およびＰ₂ のＹ座標Ｐ_1yおよびＰ_2yを求める（ス
テップＳ１３）。制御点Ｐ₂ のほうが制御点Ｐ₁ よりも
ベースラインから遠いか否か、すなわちＰ₁ のＹ座標Ｐ
_1yの絶対値｜Ｐ_1y｜がＰ₂ のＹ座標Ｐ_2yの絶対値｜Ｐ_2y
｜を超えているか否かを判定する（ステップＳ１４）。
ステップＳ１４で、制御点Ｐ₂ のほうが制御点Ｐ₁ より
もベースラインから遠ければ（Ｐ₁ のＹ座標Ｐ_1yの絶対
値｜Ｐ_1y｜がＰ₂ のＹ座標Ｐ_2yの絶対値｜Ｐ_2y｜を超え
ていれば）、Ｐ_1yとＰ_2yとを入れ替えてから（ステップ
Ｓ１５）、ステップＳ１６へ移行する。ステップＳ１４
で、制御点Ｐ₂ のほうが制御点Ｐ₁ よりもベースライン
から遠くなければ（Ｐ₁ のＹ座標Ｐ_1yの絶対値｜Ｐ_1y｜
がＰ₂ のＹ座標Ｐ_2yの絶対値｜Ｐ_2y｜以下であれば）、
そのままステップＳ１６へ移行する。

【００９２】ステップＳ１６では、制御点Ｐ₁ のＹ座標
Ｐ_1yが負か否かを調べ、Ｐ_1yが負でなければそのままス
テップＳ１８へ移行し、Ｐ_1yが負ならば、Ｐ₁ およびＰ
₂ のＹ座標Ｐ_1yおよびＰ_2yの符号を逆にしてから（ステ
ップＳ１７）、ステップＳ１８へ移行する。ステップＳ
１８では、ベースラインからベジェ曲線の最遠点までの
距離ｄおよび該最遠点を与えるｔ＝τを求め（ステップ
Ｓ１８）、図２のメインルーチンへ戻る。図４に、図２
のステップＳ３における３次ベジェ曲線の２分割の詳細
な処理を示す。図４の処理は、図３のステップＳ１８で
求められたベースラインから最遠点までの距離ｄが所定
のトレランスを超えているときに実行され、この図４の
処理では、３次ベジェ曲線を図３のステップＳ１８で求
められたｔ＝τに基づいて３次ベジェ曲線を前記最遠点
にて２つの３次ベジェ曲線に分割する。

【００９３】まず、ベジェ多角形Ｐ₀ −Ｐ₁ −Ｐ₂ −Ｐ
₃ の３辺Ｐ₀ −Ｐ₁ 、Ｐ₁ −Ｐ₂ およびＰ₂ −Ｐ₃ をそ
れぞれτ：１−τに内分する（ステップＳ２１）。すな
わち、ステップＳ２１では、Ｐ₀ −Ｐ₁ をＰ₀ −Ｐ₁₀：
Ｐ₁₀−Ｐ₁ に内分し、Ｐ₁ −Ｐ₂ をＰ₁ −Ｐ₁₁：Ｐ₁₁−
Ｐ₂ に内分し、Ｐ₂ −Ｐ₃ をＰ₂ −Ｐ₁₂：Ｐ₁₂−Ｐ₃ に
内分する。次に、ステップＳ２１における内分点Ｐ₁₀、
Ｐ₁₁およびＰ₁₂相互間を結ぶ線分Ｐ₁₁−Ｐ₁₀およびＰ₁₂
−Ｐ₁₁をそれぞれτ：１−τに内分する（ステップＳ２
２）。すなわち、ステップＳ２２では、Ｐ₁₀−Ｐ₁₁をＰ
₁₀−Ｐ₂₀：Ｐ₂₀−Ｐ₁₁に内分し、Ｐ₁₁−Ｐ₁₂をＰ₁₁−Ｐ
₂₁：Ｐ₂₁−Ｐ₁₂に内分する。さらに、ステップＳ２２に
おける内分点Ｐ₂₀とＰ₂₁とを結ぶ線分Ｐ₂₀−Ｐ₂₁をτ：
１−τに内分する（ステップＳ２３）。すなわち、ステ
ップＳ２３では、Ｐ₂₀−Ｐ₂₁をＰ₂₀−Ｐ₃₀：Ｐ₃₀−Ｐ₂₁
に内分する。

【００９４】ステップＳ２１〜Ｓ２３の結果より、２つ
の３次ベジェ曲線Ｐ₀ −Ｐ₁₀−Ｐ₂₀−Ｐ₃₀とＰ₃₀−Ｐ₂₁
−Ｐ₁₂−Ｐ₃ とを得る。図５に、図２のステップＳ６に
おけるベースライン直線出力の処理内容を示す。図５の
処理は、図３のステップＳ１８で求められたベースライ
ンから最遠点までの距離ｄが所定のトレランスを満たし
ているときに実行され、この図５の処理では、そのベジ
ェ曲線のベースラインＰ₀ −Ｐ₃ を作図するための情報
を出力する（ステップＳ３１）。このように、図２の処
理は、図２のステップＳ４およびＳ５で再帰的に用いら
れるので、プログラム自体を再帰的呼び出し可能とする
ことにより、プログラム全体を小規模に作ることができ
る。もちろん、ベジェ曲線の分割の繰り返し回数の最大
値を適宜制限すれば、再帰的呼び出しを用いずにプログ
ラムを構成することもできる。

【００９５】上述のような、曲線描出装置は、３次ベジ
ェ曲線を近似直線分列に変換するために種々の形態で用
いることができる。例えば、ホストコンピュータにおけ
るベジェ曲線を近似直線分列としてプロッタにより描画
出力する場合には、図６のように、図１に示したような
曲線−直線列変換部１０をホストコンピュータ３０内に
設け、ホストコンピュータ３０内で、ベジェ曲線から直
線列への変換を行い、ホストコンピュータ３０から直線
列データをプロッタ４０に与えるようにすればよい。こ
のようにすれば、曲線−直線列変換処理をホストコンピ
ュータ３０のＣＰＵにより行うことができる。また、同
様に、ホストコンピュータにおけるベジェ曲線を近似直
線分列としてプロッタにより描画出力する場合に、図７
のように曲線−直線列変換部１０をプロッタ４１内に設
け、プロッタ４１内で、ベジェ曲線から直線列への変換
を行うようにすることもできる。この場合、プロッタ４
１内のＣＰＵで曲線−直線列変換処理を行うことになる
が、ホストコンピュータ３１からプロッタ４１に与える
データはベジェ曲線データのままでよく、ホストコンピ
ュータ３１側の処理を軽減させることができる。

【００９６】なお、上述の実施例では、ベースラインか
らの最遠点でベジェ曲線を分割するようにしたが、ベー
スラインからの最大距離が所定のトレランスを超えてい
る場合に、必ずしも最遠点で分割しなくてもよく、例え
ばｔ＝０．５等の固定のｔの値に対応する個所でベジェ
曲線を分割するようにしたり、その他の適宜なる点でベ
ジェ曲線を分割するようにしたりしてもよい。また、ベ
ジェ曲線を直線分列に変換した後、プロッタまたは工作
機械に与えて曲線の描画または曲線加工を行うばかりで
なく、ベジェ曲線を直線分列に変換した後、さらにラス
タ展開して、ディスプレイまたはいわゆるラスタプロッ
タに与えるようにすることにより、ディスプレイまたは
いわゆるラスタプロッタに曲線を描画する際にも本発明
を有効に用いることができる。

【００９７】

【発明の効果】以上述べたように、本発明によれば、ベ
ジェ関数で表された曲線情報を一連の直線分群で補間近
似して出力するにあたり、ベジェ関数で表されたベジェ
曲線データに基づいてベジェ曲線を定義するベジェ多角
形の底辺から曲線までの距離の最大値を求め、前記距離
の最大値が所定の許容値以下か否かを判定し、前記許容
値以下でないと判定された場合に前記ベジェ曲線を２分
割して、分割された結果得られる各曲線部分の各々につ
いて、前記ベジェ多角形の底辺から曲線までの距離の最
大値を求めその距離の最大値が許容値以下でないかぎり
そのベジェ曲線の２分割を繰り返すとともに、前記許容
値以下であると判定された曲線部分を、そのときのベジ
ェ多角形の底辺に相当する直線分に置き換えて、前記ベ
ジェ曲線の全ての部分が置換された一連の直線分群のデ
ータを前記ベジェ曲線を補間近似する直線分群として出
力するようにして、比較的簡単な構成によって、３次ベ
ジェ曲線データを補間近似して直線分列を得ることがで
き、しかも誤差を的確に管理することを可能とする曲線
描出方法および装置を提供することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明の一実施例に係る曲線描出装置の概略
的な構成を示すブロック図である。

【図２】 図１の曲線描出装置のベジェ補間による曲線
−直線列変換の全体の概略的な処理を説明するためのフ
ローチャートである。

【図３】 図２における３次ベジェ曲線のベースライン
からの距離計算の詳細な処理を説明するためのフローチ
ャートである。

【図４】 図２における３次ベジェ曲線の２分割の詳細
な処理を説明するためのフローチャートである。

【図５】 図２におけるベースライン直線出力の詳細な
処理を説明するためのフローチャートである。

【図６】 図１の曲線描出装置を用いたシステムの一例
の構成を模式的に示すブロック図である。

【図７】 図１の曲線描出装置を用いたシステムの他の
一例の構成を模式的に示すブロック図である。

【図８】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間による
曲線−直線列変換の原理説明において、ベースラインか
らベジェ曲線までの距離を説明するための図である。

【図９】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間による
曲線−直線列変換の原理説明において、２本の直線分に
よるベジェ曲線の近似を説明するための図である。

【図１０】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、近似線分とベ
ジェ曲線との間の距離を説明するための図である。

【図１１】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、再度の補間近
似を説明するための図である。

【図１２】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、補間近似の終
了状態を説明するための図である。

【図１３】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、２次ベジェ曲
線の一般形を説明するための図である。

【図１４】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、２次ベジェ曲
線の標準形を説明するための図である。

【図１５】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、一般形の２次
ベジェ曲線の標準形への変換を説明するための図であ
る。

【図１６】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、３次ベジェ曲
線の標準形を説明するための図である。

【図１７】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、一般形の３次
ベジェ曲線の標準形への変換を説明するための図であ
る。

【図１８】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、ド・カステリ
ョの方法による３次ベジェ曲線の分割を模式的に説明す
るための図である。

【図１９】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、凸閉包でない
３次ベジェ曲線の異なる２つの例を示す図である。

【図２０】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、凸閉包でない
３次ベジェ曲線の異なる２つの例における曲線−直線列
変換を模式的に説明するための図である。

【図２１】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、始終点の一致
した３次ベジェ曲線の一例を示す図である。

【図２２】 本発明の一実施例に用いるベジェ補間によ
る曲線−直線列変換の原理説明において、始終点の一致
した３次ベジェ曲線の一例における曲線−直線列変換を
模式的に説明するための図である。

【図２３】 ２次ベジェ曲線の一例を示す図である。

【図２４】 ３次ベジェ曲線の一例を示す図である。

【符号の説明】

１０…曲線−直線列変換処理部、１１…原データ読出し
部、１２…標準形変換部、１３…最大距離算出部、１４
…比較部、１５…トレランス規定部、１６…分割点決定
／ベースライン出力部、１７…分割処理部、１８…出力
処理部、２０…記憶装置、３０，３１…ホストコンピュ
ータ、４０，４１…プロッタ。

Claims (11)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ベジェ関数で表された曲線情報を一連の
   直線分群で補間近似して出力するにあたり、 ベジェ関数で表されたベジェ曲線データを格納する曲線
   格納ステップと、 ベジェ関数で表されたベジェ曲線データを読み出す曲線
   読み出しステップと、 読み出されたベジェ曲線データに基づいてベジェ曲線を
   定義するベジェ多角形の底辺から曲線までの距離の最大
   値を求める最遠点算出ステップと、 前記最遠点算出ステップで求められた距離の最大値が所
   定の許容値以下か否かを判定する判定ステップと、 前記判定ステップで前記許容値以下でないと判定された
   場合に前記ベジェ曲線を２分割する分割ステップと、 前記分割ステップで２分割された結果得られる各曲線部
   分の各々について前記最遠点算出ステップからの処理を
   繰り返し実行させる繰り返しステップと、 前記判定ステップで前記許容値以下であると判定された
   場合に、その曲線部分を、そのときのベジェ多角形の底
   辺に相当する直線分に置き換える直線置換ステップと、 前記曲線読み出しステップで読み出されたベジェ曲線の
   全ての部分が前記直線置換ステップにより直線分に置換
   された後に、置換された一連の直線分群のデータを前記
   ベジェ曲線を補間近似する直線分群として出力する出力
   ステップとを有することを特徴とする曲線描出方法。
2. 【請求項２】 分割ステップは、最遠点算出ステップで
   算出された最遠点をとる点でベジェ曲線を分割するステ
   ップを含むことを特徴とする請求項１に記載の曲線描出
   方法。
3. 【請求項３】 分割ステップは、ベジェ曲線の中間部の
   適宜なる点でベジェ曲線を分割するステップを含むこと
   を特徴とする請求項１に記載の曲線描出方法。
4. 【請求項４】 最遠点算出ステップは、ベジェ曲線を標
   準型に変換するステップを含むことを特徴とする請求項
   １〜３のいずれか１項に記載の曲線描出方法。
5. 【請求項５】 出力ステップは、得られた直線分群をラ
   スタ展開するステップを含むことを特徴とする請求項１
   〜４のいずれか１項に記載の曲線描出方法。
6. 【請求項６】 ベジェ関数で表された曲線情報を一連の
   直線分群で補間近似して出力する曲線描出装置におい
   て、 ベジェ関数で表されたベジェ曲線データを格納するため
   の曲線格納手段と、 前記曲線格納手段から読み出されたベジェ曲線データお
   よび与えられたベジェ曲線データに基づいてベジェ曲線
   を定義するベジェ多角形の底辺から曲線までの距離の最
   大値を求めるための最遠点算出手段と、 前記最遠点算出手段で求められた距離の最大値が所定の
   許容値以下か否かを判定するための判定手段と、 前記判定手段で前記許容値以下でないと判定された場合
   にそのベジェ曲線を２分割するとともに分割の結果得ら
   れる各曲線部分の各々のベジェ曲線データを前記最遠点
   算出手段に与えるための分割手段と、 前記判定ステップで前記許容値以下であると判定された
   曲線部分を、そのときのベジェ多角形の底辺に相当する
   直線分に置き換えるための直線置換手段と、 前記曲線格納手段に格納されたベジェ曲線の全ての部分
   が前記直線置換手段により直線分に置換された一連の直
   線分群のデータを前記ベジェ曲線を補間近似する直線分
   群として出力するための出力手段とを有することを特徴
   とする曲線描出装置。
7. 【請求項７】 分割手段は、最遠点算出手段で算出され
   た最遠点をとる点でベジェ曲線を分割するための手段を
   含むことを特徴とする請求項６に記載の曲線描出装置。
8. 【請求項８】 分割手段は、ベジェ曲線の中間部の適宜
   なる点でベジェ曲線を分割するための手段を含むことを
   特徴とする請求項６に記載の曲線描出装置。
9. 【請求項９】 最遠点算出手段は、ベジェ曲線を標準型
   に変換するための手段を含むことを特徴とする請求項６
   〜８のいずれか１項に記載の曲線描出装置。
10. 【請求項１０】 出力手段は、得られた直線分群をラス
    タ展開するための手段を含むことを特徴とする請求項６
    〜９のいずれか１項に記載の曲線描出装置。
11. 【請求項１１】 出力手段は、得られた直線分群を描画
    するプロッタであることを特徴とする請求項６〜１０の
    いずれか１項に記載の曲線描出装置。