JP3066060B2

JP3066060B2 - ベゼー曲線区間の多角形近似方式

Info

Publication number: JP3066060B2
Application number: JP29208090A
Authority: JP
Inventors: 登村山; 捷谷口; 龍夫笠原
Original assignee: Ricoh Co Ltd
Current assignee: Ricoh Co Ltd
Priority date: 1990-10-31
Filing date: 1990-10-31
Publication date: 2000-07-17
Anticipated expiration: 2015-07-17
Also published as: JPH04167082A

Description

【発明の詳細な説明】〔産業上の利用分野〕この発明は、CADシステム等のコンピュータ図形処理
システムにおいて、ベゼー曲線式で記述されている文字
等の輪郭部を多角形に近似する近似方式に関し、特に、
少ない頂点数で高い近似精度を得ることのできるベゼー
曲線分割数の決定方式に関する。

〔従来の技術〕

CADシステム等のコンピュータ図形処理システムで
は、一般に文字等の輪郭部はベゼー（または、ベジエ:B
zier）曲線等のｍ次多項式曲線で記述されている。こ
のため、これらの輪郭部を、プリンタで印字したり、デ
ィスプレイ画面上に描画したりする場合には、輪郭部の
各曲線区間を、ポリゴン（polygon:多角形辺）に近似し
てビットマップに展開する必要がある。３次ベゼー曲線
を、ポリゴンに近似する場合、各頂点座標は次のように
して求める。まず、３次ベゼー曲線は、第５図に示すよ
うに、始点をP₀、制御点をP₁,P₂、終点をP₃とすると、Ｂ（ｔ）＝P₀（１−ｔ）^３＋3P₁（１−ｔ）²t ＋3P₂（１−ｔ）t²＋P₃t³ … （０≦ｔ≦１）で表される。これを一般の３次多項式に変形すると、Ｂ（ｔ）＝Ｚ（ｔ）＝A₃t³＋A₂t²＋A₁t＋A₀ … （０≦ｔ≦１）ただし、 A₃＝（P₃−P₀＋３（P₁−P₂）） A₂＝−３（P₁−P₀＋（P₁−P₂）） A₁＝３（P₁−P₀） A₀＝P₀ となる。

次いで、曲線区間の分割数をｎとし、かつ、 t ＝i/n g₃＝A₃/n³ g₂＝A₂/n² g₁＝A₁/n g₀＝A₀ とおくと、Ｚ（ｔ）＝Ｇ（ｉ）＝g₃i³＋g₂i²＋g₁i＋g₀ ＝（（g₃i＋g₂）ｉ＋g₁）ｉ＋g₀ … （ｉ＝0,1,2,…,n）と変形できる。この式によると、固定値g₃〜g₀の計算
は必要であるが、１つの頂点座標の演算は３回の掛算と
３回の加算とで済むため、一般式に比べ、演算回数を
大幅に減らすことが出来る（特願平２−76148号参
照）。

〔発明が解決しようとする課題〕

ところで、所定の曲線区間をポリゴンに近似して描画
する場合、ポリゴンの分割数ｎの決定はポリゴンの生成
速度に大きく影響する。このため、キー操作に対する優
れた即答性が要求される図形処理システムでは、分割数
ｎの決定は極めて重要である。ところが、前述の従来例
では、ポリゴンの頂点座標の高速演算方式については述
べているが、分割数ｎの算出については触れていない。

この発明は、文字等の輪郭部のベゼー曲線区間をポリ
ゴンで近似する場合、少ない頂点数で高い近似精度を得
ることのできるベゼー曲線分割数の決定方式を提供する
ことを目的とし、さらに、こうして得た分割数によって
生成されるポリゴンの各頂点座標の演算速度の高速化を
図ることを目的とする。

〔課題を解決するための手段〕

この発明によるベゼー曲線区間の多角形近似方式は、
ｍ次多項式で表される所定のベゼー曲線区間を、複数区
間に分割して多角形で近似する際に、多角形の隣接する
頂点Ｐ（ｉ）およびＰ（ｉ＋１）の弦Ｐ（ｉ）・Ｐ（ｉ
＋１）の中点から弧Ｐ（ｉ）・Ｐ（ｉ＋１）の中点まで
の距離が所定の近似精度となるようにベゼー曲線区間の
分割数をｍ次多項式の高次の係数より決定する。

〔作用〕

この発明によれば、所定の曲線区間が、例えば３次ベ
ゼー曲線で定義されているとすると、第３図に示すよう
に、ベゼー曲線10をｎ分割した点をＰ（ｉ）,P（ｉ＋
１），…、Ｎ（＝2n）分割した点をＱ（2i）,Q（2i＋
１）,Q（2i＋２），…、ただし、Ｐ（ｉ）＝Ｑ（2i）,P
（ｉ＋１）＝Ｑ（2i＋２）とすると、点Ｑ（2i）と点Ｑ
（2i＋２）とを結ぶ直線11の中点Ｍ（2i＋１）および点
Ｑ（2i＋１）の距離Erは次のように表される。

Er＝|Q（2i＋１）−Ｍ（2i＋１）｜ … ここで、Ｑ（2i＋１）＝Ｇ（2i＋１）Ｍ（2i＋１）＝（Ｇ（2i＋２）＋Ｇ（2i））/2 であるから、 Er＝|Q（2i＋１）−Ｍ（2i＋１）｜＝|G（2i＋１）−（Ｇ（2i＋２）＋Ｇ（2i））/2| … となる。

ところで、頂点座標Ｇ（ｉ）を表す式は、３元多項
式であるから、第４図に示すように、Ｇ（ｉ）,F
（ｉ）,E（ｉ）の３つの定数テーブルの層で表すことが
出来る。内容は次毎の差分になっており、例えば、Ｇ
（４）の値はＧ（３）（＝g₃）およびＦ（３）の和から
求められ、Ｆ（３）の値はＦ（２）（＝f₂）およびＥ
（２）の和から求められる。この操作を順に続けて行け
ば、各頂点座標Ｇ（ｉ）が求まる。

テーブルＧ（ｉ）は式から、Ｇ（ｉ＋１）−Ｇ（ｉ）＝g₃（（ｉ＋１）^３−i³）＋g₂（（ｉ＋１）^２−i²）＋g₁（（ｉ＋１）−ｉ）＝g₃（3i²＋3i＋１）＋g₂（2i＋１）＋g₁ ＝3g₃i²＋（3g₃＋2g₂）ｉ（g₃＋g₂＋g₁）＝f₂i²＋f₁i＋f₀＝Ｆ（ｉ） … となる。ただし、 f₂＝3g₃ f₁＝3g₃＋2g₂ f₀＝g₃＋g₂＋g₁ である。

テーブルＦ（ｉ）は式から、Ｆ（ｉ＋１）−Ｆ（ｉ）＝f₂（（ｉ＋１）^２−i²）＋f₁（（ｉ＋１）−ｉ）＝f₂（（2i＋１）＋f₁ ＝2f₂i＋f₂＋f₁ ＝e₁i＋e₀＝Ｅ（ｉ） … となる。ただし、 e₁＝2f₂＝6g₃ e₀＝f₂＋f₁＝6g₃＋2g₂ である。

また、テーブルＥ（ｉ）は式から、Ｅ（ｉ＋１）−Ｅ（ｉ）＝e₁（（ｉ＋１）−ｉ）＝e₁ … となる。

これらの式から距離Erを求めると、式から 2Er＝（Ｇ（2i＋２）−Ｇ（2i＋１）） −（Ｇ（2i＋１）−Ｇ（2i））となり、次いで、式から 2Er＝Ｆ（2i＋１）−Ｆ（2i）＝f₂（4i＋１）＋f₁ ＝3g₃（4i＋１）＋3g₃＋2g₂ ＝6g₃（2i＋１）＋2g₂ となる。ここで、g₃＝A₃/n³,g₂＝A₂/n²であるから、 Er＝3A₃（2i＋１）/n³＋A₂/n² となり、Erはｉ＝０またはｎのとき最大となる。またそ
の値をEmとすると、 Em＝3A₃/n³＋A₂/n² または Em＝3A₃（2n＋１）/n³＋A₂/n² となる。ｎがある程度大きいと、 Em＝A₂/n² または Em＝（3A₃＋A₂）/n² … となる。

従って、第３図に示す曲線10を、多角形で近似する場
合、全曲線区間で距離Em以下の精度で近似するには、当
該曲線区間の分割数ｎを、ｎ＝MAX〔（|A₂|/Em）^1/2，（|3A₃＋A₂|/Em）^1/2〕 … となるように定めればよいことになる。

次に、こうして得た分割数ｎによって求まるポリゴン
の各頂点座標Ｇ（ｉ）の算出は、式〜から次のよう
に行う。まず、式から、Ｅ（ｉ＋１）＝Ｅ（ｉ）＋e₁ … ただし、 e₀＝6g₃ e₁＝6g₃＋2g₂ となる。これが定数テーブルの第１層となる。

次に、式から、Ｆ（ｉ＋１）＝Ｆ（ｉ）＋Ｅ（ｉ）ただし、 f₀＝g₃＋g₂＋g₁ f₁＝3g₃＋2g₂ f₂＝3g₃ となる。これが定数テーブルの第２層となる。

次に、式から、Ｇ（ｉ＋１）＝Ｇ（ｉ）＋Ｆ（ｉ） … ただし、 g₀＝A₀ g₁＝A₁/n g₂＝A₂/n² g₃＝A₃/n³ となる。これが定数テーブルの第３層となる。

従って、各頂点座標Ｇ（ｉ）は第１〜第３層の順に加
算して行くことにより、Ｇ(ｉ＋３)＝Ｇ(ｉ＋２)＋Ｆ(ｉ＋２) ＝Ｇ(ｉ＋２)＋Ｆ(ｉ＋１)＋Ｅ(ｉ＋１) ＝Ｇ(ｉ＋２)＋Ｆ(ｉ＋１)＋Ｅ(ｉ)＋e₁ となり、１つの頂点座標の算出は３回の加算で済む。従
って、全頂点座標の算出は3n回の加算で済み、演算回数
を大幅に減らすことが出来る。

〔実施例〕

第１図はこの発明をコンピュータ図形処理システムに
適用した場合のシステム構成図である。

第１図において、システムバス１上には、文字コード
および文字の輪郭の各区間の座標値が輪郭データとして
格納されている辞書２、中央処理装置（CPU）および各
種のラッチ，レジスタ，メモリ等からなるマイクロ・コ
ンピュータ構成の処理部３、第１〜第３の定数テーブル
4a〜4c、出力文字コードや出力文字サイズを指定する入
力装置としてのキーボード５、ポリゴン化した文字の輪
郭像を格納するビットマップメモリ６、このビットマッ
プメモリ６に格納した文字データを表示する出力装置と
してのディスプレイ装置７がそれぞれ接続されている。
辞書２に格納されている輪郭データは、前述した曲線10
が３次元ベゼー曲線の場合、始点P₀、制御点P₁および
P₂、終点P₃の各座標値である。

次に、第２図に示すフローチャートを参照してｍ次元
多項式曲線の一つである３次元ベゼー曲線によって記述
されている文字の輪郭の各曲線区間を、ｎ分割して描画
する場合の動作について説明する。

まず、キーボード５からある文字コードが入力される
と（ステップS1）、処理部３は辞書２からこの文字コー
ドに対応する文字の輪郭の各区間の輪郭データを順次読
み出し、内部メモリに書き込む（ステップS2）。

次いで、処理部３は内部メモリに書き込んだ輪郭デー
タの中から最初の曲線区間の輪郭データを読み出し、こ
の区間の曲線を、所定の要求精度に合わせて分割するた
めの最小分割数ｎを求める（ステップS3）。この分割数
ｎは、前述した式から、ｎ＝MAX〔（|A₂|/Em）^1/2，（|3A₃＋A₂|/Em）^1/2〕となる。ただし、 A₃＝（P₃−P₀＋３（P₁−P₂）） A₂＝−３（P₁−P₀＋（P₁−P₂））である。Emは要求精度であり、256×256画素サイズの場
合、0.1〜0.5程度である。

次に、こうして得た分割数ｎによって得られるポリゴ
ンの各頂点座標Ｇ（ｉ）を、前述した式〜によって
算出する（ステップS4）。このとき、各層における加算
結果を各層毎に設けた３つの定数テーブル4a〜4cに順次
格納し、次の頂点座標の算出のときに使用する（ステッ
プS5）。

次いで、求めた頂点座標をビットマップメモリ６上に
展開し（ステップS6）、ポリゴンによる輪郭像を形成す
る。そして、当該曲線区間の全頂点座標の算出が終了す
るまでステップS4〜S6を繰り返し、全頂点座標の算出が
終了すると（ステップS7）、ステップS3に戻り、次の曲
線区間のポリゴン化を同様にして行う。そして、全曲線
区間のポリゴン化が終了すると（ステップS8）、ビット
マップメモリ６上に展開した輪郭像をディスプレイ装置
７に表示し（ステップS9）、処理を終了する。

なお、前述の実施例において、表示する文字のサイズ
に応じて近似精度を変更し、分割数ｎを変化させるよう
にしてもよい。

また、２次元ベゼー曲線のポリゴン化も同様にして行
うことができる。この場合、式においてA₃＝０と置く
ことによって、分割数ｎは、ｎ＝（|A₂|/Em）^1/2 となる。なお、２次ベゼー曲線は、始点をP₀,制御点をP
₁,終点をP₂とすると、Ｂ（ｔ）＝P₀（１−ｔ）^２＋2P₁（１−ｔ）ｔ＋P₂t² （０≦ｔ≦１）で表される。これを一般の２次多項式に変形すると、Ｂ（ｔ）＝Ｚ（ｔ）＝A₂t²＋A₁t＋A₀ （０≦ｔ≦１）ただし、 A₂＝P₂＋P₀−2P₁ A₁＝２（P₁−P₀） A₀＝P₀ となる。

〔発明の効果〕

この発明によれば、文字等の輪郭部のベゼー曲線区間
をポリゴンで近似する場合、少ない頂点数で高い近似精
度を得ることができ、また、こうして得た分割数によっ
て生成するポリゴンの各頂点座標の演算回数を大幅に減
らすことが可能となる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明を適用したコンピュータ図形処理シス
テムの構成図、第２図は第１図の動作を説明するためのフローチャー
ト、第３図は距離Erの算出方法の説明図、第４図は定数テーブル、第５図は１曲線区間の説明図である。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献特開昭59−211165（ＪＰ，Ａ) 特開平１−154292（ＪＰ，Ａ) 特開平１−71384（ＪＰ，Ａ) 特開平４−538378（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 11/00

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】ｍ次多項式で表される所定のベゼー曲線区
間を、複数区間に分割して多角形で近似する際に、上記
多角形の隣接する頂点Ｐ（ｉ）およびＰ（ｉ＋１）の弦
Ｐ（ｉ）・Ｐ（ｉ＋１）の中点から弧Ｐ（ｉ）・Ｐ（ｉ
＋１）の中点までの距離が所定の近似精度となるように
上記ベゼー曲線区間の分割数を前記ｍ次多項式の高次の
係数より決定することを特徴とするベゼー曲線区間の多
角形近似方式。
【請求項２】前記ｍ次多項式に対応してｍ層の定数テー
ブルを備え、上記定数テーブルは前記多角形の頂点毎の
差分により形成されており、下層の定数テーブルから上
層の定数テーブルへと順次加算して行くことで上記頂点
の座標を求めることを特徴とする請求項１記載のベゼー
曲線区間の多角形近似方式。