JPH0566607B2 - - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 （発明の技術分野） この発明は、CAD（Computer Aided Design）
やCAM（Computer Aided Manufacturing）に
おけるパラメトリツク表示された自由曲面の評価
方法によるCAD／CAMシステムに関するもので
ある。

（発明の技術的背景とその問題点） 従来のCADやCAMシステムにおいて形状定義
する場合、数式により表現できる単純形状を組合
せて表現する方法が通例であり、その組合せの方
法としては論理演算（セツトオペレーシヨン）の
原理を用いている。しかし、金型形状の場合、全
てを数式で表現できる形状の組合せで定義するこ
とができない場合がある。実際には所望形状の一
部に数式表現可能な形状を用い、その他に点群に
より定義される自由曲面を用いて両者の組合せに
より表現する形状が多い。しかし、自由曲面に対
して従来のセツトオペレーシヨンが困難であつた
ため、数式表現による形状と自由曲面による形状
が混在する形状を処理し加工データを生成する場
合、それぞれの形状に対して別個のアルゴリズム
を用いて処理しなければならないのが現状であ
る。

金型の形状加工を、NC（Numerical Control）
加工を主体とするCAD／CAMの概念を用いて実
現しようとする場合、加工オペレータが加工現場
における迅速な工具経路の変更等のオペレータの
ノウハウを十分反映できるような機能を持たせる
ことが重要になる。この点を考慮して形状加工シ
ステムを考えた場合、以下に示すような要求〜
を満たす必要がある。

形状定義機能と工具経路生成機能とが完全に
分離されていること リアルタイムで工具経路の自動生成が可能で
あること 数式形状と自由曲面形状を同一プロセツサで
処理可能なこと それらの組合せのセツトオペレーシヨンが可
能なこと CAシステムとの結合が容易なこと システムソフトウエアがコンパクトであるこ
と 形状モデリング主体に開発されてきたCADの
機能を拡張することを目的として、自由曲面式を
モデリングに取入れる研究が現在進められてお
り、一般的には自由曲面のデータ構造を判断し
て、自由曲面をＢ−Reps（Boundary
Representation）として認識することにより処
理の統一を計つている。しかしながら、Ｂ−
Repsの場合、CSG（Constructive Solid
Geometry）に比べデータ構造が複雑であり、ま
た処理が繁雑となるため、CAMの機能としてセ
ツトオペレーシヨンを実現しようとすると、前述
の要求仕様を満たすのは困難となる。形状モデ
リングは３次元物体の数学モデルをコンピユータ
内部に構築し、それを要求された問題に適する形
に加工し、外部表現することである。したがつ
て、先ず数学モデルが作成されていなければなら
ず、数学モデルの作成としては上述のCSG又は
Ｂ−Repsの２つの手法が主に存在している。結
果的には、CSGに基づくモデルは曲面によつて
２つに分割された３次元空間の片側、すなわち半
空間領域の集まりによつて、３次元空間内に閉じ
た点集合領域を３次元物体形状モデルとして作り
出すものであり、Ｂ−Repsは物体の点、辺、曲
面等のトポロジー関係とトポロジー関係の要素で
ある頂点、辺、曲面の幾何形状情報を与え、３次
元空間内に閉じた２次元マニフオールドを創成し
て３次元物体の形状モデルとするものである。ま
た、実際の形状加工を考慮し、Ｚ軸方向に１価以
上の形状（オーバーハングした形状等）は処理し
ないと仮定し、形状の存在する領域を境界曲面か
らＺ軸一方向に固定すれば、第１図に示すよう
に、基本形状Ａ，Ｂ毎のＺ軸を比較することでセ
ツトオペレーシヨンは実現できる。すなわち、論
理和の場合はＺ値の最大値を選択し、論理積の場
合は最小値を選択することで所望の形状を得るこ
とができる。しかしながら、上述の仮定に反する
ような形状の処理は困難であり、厳密な意味でセ
ツトオペレーシヨンを実現しているとは言えな
い。これに対してCSGの場合、データ構造が簡
潔であり、処理方法から判断して高速処理が可能
と考えられる。

ここに、自由曲面とは曲面形状を数式化できな
い曲面、たとえばＦ（ｘ、ｙ、ｚ）＝０のような式
で表現できない曲面である。このため曲面は第２
図に示すように、点群２をデータ構造に持ち、点
群２の点と点の間はたとえばCoons式やBezier式
で補間することで曲面１を詳細に表現できる。さ
らに、自由曲面は複雑な形状を有するので、補間
曲面式は全てパラメータ表示された式となる。つ
まり、第３図に示すように曲面１の詳細表現はパ
ラメータ空間（uv座標系）で補間したパラメー
タを用い、XYZ座標系の実空間への補間を行な
う。このことは曲面１がパラメータ空間により表
現されることを意味し、実空間内だけでは曲面の
存在を認識することは不可能である。このような
曲面をCADやCAMの一要素として加えた場合、
球形状や平面のような数式面等の他の要素との関
係を調べなければならないが、これは明らかに実
空間での解析であり、上記問題点のために非常に
困難で、自由曲面取扱い上の欠点となつていた。

第３図はまた、実空間に存在する曲面１をパラ
メータ空間に写像した図を示しており、曲面１の
各境界線（辺）はパラメータ空間上の曲面領域を
示す矩形領域３の各境界線に対応している。この
ことが、以下に示す現象を起こすのである。すな
わち、第４図に示すようにパラメータ空間上で直
線的な補間をしても曲面上で歪んでしまう。この
補間を工具軌跡とすると、実空間においてＡとＢ
に示す工具のピツチ（ピツクフイード）が一定と
ならず、ある所では広く、またある所では狭くな
り、この現象が加工効率に大きく影響してしま
う。次に加工の工程を考えると、第５図に示すよ
うに特定の領域A′を指定してその部分だけの部
分加工が当然考えられる。しかし、その領域指定
も実空間A′とパラメータ空間A″との対応が困難
である。加工領域A′は実空間で指定するが、そ
れに対してパラメータ空間での対応付けA″が不
可能（解析的）である。さらに、第６図に示すよ
うに曲面が極端に曲つている場合、従来のパラメ
ータ補間を行なうと左図に示すような工具軌跡
TTを発生する。しかし、加工の際は右図に示す
ような工具軌跡生成TT′の要求もあり、このよう
な工具軌跡は従来のパラメータ補間では不可能で
ある。

次に、Ｂ−Repsによる従来のシステム例を第
７図に示して説明する。

たとえば第８図に示すような立体形状２００を
想定した場合、形状データ入力装置１０で入力さ
れた形状データは所定の演算処理で第９図に示す
ような立体を構成する境界要素２０１〜２０９に
分解されると共に、各要素の連結関係を示す物体
構造データ２１と、各要素の頂点座標、辺の方程
式、面の方程式を示す数式化形状データ２２とに
分離されて整理される。立体形状２００が自由曲
面を有する場合は、前述したような点群と補間曲
面で表わせる自由曲面データ２３を有するが、Ｂ
−Repsの自由曲面データ２３は必らず光線デー
タを含んでいるものでなければならない。このよ
うにして求められた形状データ２０は、工具半
径、工具送り方向、切削速度、加工領域等の加工
情報３１と共に、数式化形状処理部３０に入力さ
れてデータポインタの追跡処理が行なわれる。つ
まり、Ｂ−Repsでは形状要素の境界情報を有し
ているので、この境界をドツト情報で追跡して行
けば、CRT等の表示装置で画面表示処理１０１
したり、NC加工のための工具軌跡を生成１０２
したり、材料、大きさ等に関する物体特性を求め
るマスプロパテイ演算処理１０３を行なつたりす
ることができる。このようなＢ−Repsでは立体
形状等を境界の関数に分解しているので、形状デ
ータの数が多くなつてしまうと共に、幾何学的に
存在し得ないような形状を定義してしまつたり、
形状要素の入力ミスによつて立体ではあり得ない
形状を入力してしまうといつた欠点がある。

一方、CSGによる従来のシステム例は第１０
図に示すような構成となつており、形状データ入
力装置１０から入力された形状データは物体構造
データ２１及び数式化形状データ２２に分離さ
れ、これらデータは境界を示す面の情報を含んで
いる。したがつて、第８図の立体形状は第１１図
の形状要素（プリミテイブ）２１０〜２１２に分
解され、プリミテイブ２１１及２１２を加算した
形状からプリミテイブ２１０を減算すれば立体形
状２００となる。このように、CSGシステムで
は境界を示す関数情報が必要であることから、従
来のCSGでは自由曲面データを取扱うことがで
きず、形状データ２０にも含まれていない。形状
データ２０は形状抽出処理部４０に送られ、表示
や工具軌跡生成等のアプリケーシヨン対応の処理
４３に応じた空間情報SPを入力して立体の全体
形状情報TSを生成する。すなわち、数式化形式
データ２２と空間情報SPは数式化形状処理４１
で合成され、合成された数式化形状SSPが物体構
造データ２１と共にセツトオペレーシヨン４２さ
れることによつて全体形状情報TSが生成される。
この全体形状情報TSが画面表示処理１０１され
たり、NC工具の軌跡を生成１０２したり、マス
プロパテイ演算処理１０３されたり、面交線演算
処理１０４されたりすると共に、これらアプリケ
ーシヨン対応の処理を示すアプリケーシヨン情報
Ｓ１〜Ｓ４が出力され、アプリケーシヨン対応の
処理４３で空間情報SPに変換される。このよう
に、従来のCSGでは形状データ２０として自由
曲面を取扱つていないので、自由曲面を含んだ形
状に対してアプリケーシヨンを行ない得ない欠点
がある。

（発明の目的） この発明は上述のような事情からなされたもの
であり、この発明の目的は、CSG方式の利点を
生かしつつ、自由曲面に対しても実空間上で評価
を行なつたと同等の効果を得る方法を用いた
CAD／CAMシステムを提供することにある。

（発明の概要） この発明は自由曲面の評価方法によるCAD／
GAMシステムに関するもので、CSGによる自由
画面をも対象とした形状データ入力装置と、実空
間及びパラメータ空間の形状を表現るする関数に
対する任意位置データの距離を求め、前記形状の
物体構造データを用いてセツトオペレータを行な
う形状抽出処理部と、空間情報を前記形状抽出処
理部に与えるアプリケーシヨン対応処理部と、前
記形状抽出処理部から出力される全体形状情報を
基に前記形状を表示する表示部とを具備し、前記
自由曲面の評価を、前記実空間内で指定した座標
値が、パラメータ表示された曲面に対してどのよ
うな位置関係にあるかを収束演算して行なうよう
にしたことを特徴とするCAD／CAMシステムで
ある。

（発明の実施例） 第１２図はこの発明方法を実現するシステム例
を第１０図に対応させて示すもので、CSGによ
る形状データ２０としては境界を示す面の関数情
報が用いられ、自由曲面データ２３は境界データ
を含んでいない。そして、自由曲面データ２３は
形状抽出処理部４０内でアプリケーシヨン対応の
処理４４からの空間情報を共に処理され、更に数
式化形状処理４１の情報と共に形状情報スタツク
エリア４６に格納される。このスタツクエリア４
６には全てのプリミテイブの情報が格納される。
格納されたプリミテイブは物体構造データ２１を
基にセツトオペレーシヨン４２され、全体形状情
報TSを得るようになつている。形状入力の方法
は人間が直感的に理解し易く、しかも表現能力の
豊かなものが望まれ、ここではプリミテイブによ
る入力とセツトオペレーシヨンとの組合せを用い
ている。複雑な形状は階段を追つて作られていく
ため、形状の変形や付加、削除などの変更操作も
形状を構築する上で大きな役割を演じている。プ
リミテイブによる入力は、直方体、円柱等の単純
な図形を基本形状として登録しておき、これを必
要に応じて取り出す方法である。また、セツトオ
ペレーシヨンはBoolean Operationとも呼ばれ、
プリミテイブや掃引などによつて既に定義された
２つの形状の空間領域に対して集合演算を行なう
ものである。一般に和、差、積の３種の演算が用
いられ、差の代わりに反転（Negative）を用い
る場合もある。このような集合演算を繰り返して
適用することにより、複雑な形状を取ることがで
きる。

そして、３次元物体形状は３次元ユークリツド
空間の部分集合としてモデル化できる。モデルは
物理的な物体を表わすから、内部を閉じた３次元
空間の部分集合である。今、与えられた物体に対
応する３次元空間の閉じた領域をＳ(X)とし、この
点集合をＳとすると、 Ｓ＝｛Ｘ：Ｘ∈Ｓ(X)｝ ……(1) と表現することができる。Ｓ(X)は閉じた領域なの
で半空間領域の集まりと考えることができ、Ｓを
更にいくつかの部分集合による集合演算で表現す
ることができる。ＳをS_i（ｉ＝１、２、…、ｎ）
の部分集合に分解し、遂次的にＳをこれらの部分
集合を使つて集合演算φ_iで構成する。ここで利用
する集合演算φ_iは、和、積及び差集合演算である
とする。こうすると P_i＝φ_i（P_i-1、S_i） P₁＝S₁ Ｓ＝φ_o（P_o-1、S_o） ……(2) （ｉ＝２、３、…、ｎ） としてＳを表現できる。φ_iは和集合演算ならばP_i
＝φ（P_i-1、S_i）＝S_i∪P_i-1、積集合演算ならばP_i＝
Ф_i（P_i-1、S_i）＝S_i∩P_i-1、差集合演算ならばP_i＝
φ_i（P_i-1、S_i）＝P_i-1−S_i＝P_i-1∩Ｓ〜_i（〜を補集合
演
算とする）とする。S_iをいくつかの部分集合の積
で表わし、S_iの内部を閉じるとする。すなわち、 S_i＝S_i1∩S_i2∩…∩S_in ……(3) と置く。(3)式のS_ijを半空間領域に対応させると、 S_ij＝｛Ｘ：f_ij(X)≧０｝ ……(4) と書け、こうして３次元物体形状を半空間領域に
よる数学モデルとして表現できた。形状モデリン
グでは、S_iの部分集合であるS_ij（ｊ＝１、２、〜、
ｍ）の１つあるいはいくつかは、解析的に特徴の
ある半空間領域を表わし、残りはこの半空間領域
を閉じるため使用されることが多い。このS_iの特
徴をS_iの名前に使用し、あらかじめ準備されたS_i
の種類をそれぞれプリミテイブと呼ぶ。

次に、トポロジーモデルのセツトオペレーシヨ
ンがどのような処理過程を経るかを説明する。
今、第１３図Ａに示すように２つの立体B₁，B₂
があり、立体B₁，B₂は各々６つの面、12の辺、
８の頂点を持つ。つまり、 B₁について： F₁＝６、E₁＝12、V₁＝８、H₁＝０、R₁＝０、
B₁＝１ B₂について： F₂＝６、E₂＝12、V₂＝８、H₂＝０、R₂＝０、
B₂＝１ ただし、Ｆ＝面、Ｅ＝辺、Ｖ＝頂点、Ｈ＝穴、
Ｒ＝穴 輪郭（Ring）、Ｂ＝立体である。

となる。これは、多面体の必要条件であるオイラ
ーポアンカレの式 Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｒ＋2H−2B＝０ ……(5) を満たしている。この２つの立体B₁及びB₂に対
し、第１３図Ｂに示すように重ね合わせ、その和
をとると同図Ｃに示す形状B₃ができ、この形状
B₃について F₃＝11、E₃＝24、V₃＝16、H₃＝０、R₃＝１、
B₃＝１ となり、これもオイラーポアンカレの式を満たし
ている。つまり、“B₁”＝（８、12、６、０、１），
“B₂”＝（８、12、６、０、０、１）で“B₃”＝
“B₁”＋“B₂”のとき“B₃”＝（16、24、11、０、
１、１）となるため必要な “τ”＝（０、０、−１、１、０、−１） ただし、各成分は（ｖ、ｅ、ｆ、ｒ、ｈ、ｂ） の処理を実施する必要がある。“τ”の処理は立
体、面を１つ消去して穴輪郭を１つ作る処理であ
る。このようにしてR₁＝０、R₂＝０からはR₃＝
１になることより、Ｒは穴輪郭としているがこれ
はまぎれもなく立体と立体の交差線を示すもので
ある。これは、トポロジーモデル（連結関係モデ
ル）においてセツトオペレーシヨンを行なわせる
ためには、対称となる立体同志の交差線が求めら
れればよいことを意味している。また、第１４図
〜第１６図はプリミテイブのセツトオペレーシヨ
ンの例を示しており、第１４図はプリミテイブＰ
１とＰ２の和によつて形状モデルＰ３が作成され
る様子を示している。第１５図はプリミテイブＰ
４とＰ５との差によつて形状モデルＰ６が作成さ
れる様子を、第１６図はプリミテイブＰ７とＰ８
の積によつて形状モデルＰ９が作成される様子を
それぞれ示している。

ところで、自由曲面は通常曲面上の点群によつ
て表わされ、第２図に示すように点群２を滑らか
に結んで曲面の全体形状を表現する。便宜上第１
７図で示すような２次元の点列（ノード；node）
を考えると、ノード２Ａ〜２Ｃを必らず通り、か
つ滑らかに結ぶ曲線は無数に存在するが、これら
曲線群の中から必らず１つの曲線を定義する曲線
式が必要である。ノードの数をｎとすると（ｎ−
１）次多項式で上述の条件を満たす曲線式を求め
ることができる。しかし、多項式の次数が高くな
ればなるほどランジエ効果により曲線は振動し、
この効果はノードを一部ずつ結ぶ低次の多項式を
用いることにより軽減される。これが局所補間又
はスプライン補間である。スプライン補間は、ノ
ードとノードの間を低次多項式で表現するもの
で、ノードの数をｎとすると（ｎ−１）の式を得
ることになる。全式の接続性は、隣接する式の端
条件をノード上で一致させることで容易に保つこ
とができる。

曲面の場合は、４つのノードで囲まれた曲面を
１単位（パツチと呼ぶ）として曲面式を設定し、
上述の２次元の場合と同様に（ただし、３次元の
考察が必要）それらの連続性をパツチの境界上で
持たせればよい。曲面式は、一般にCoonsの式、
Bezeirの式、Ｂ−Splineパツチのいずれかを用い
ている。Coons補間式は第１８図に示すような曲
面Ｐ（ｕ、ｖ）に対して Ｐ（ｕ、ｖ）＝ ［F₀(u)、F₁(u)、G₀(u)］Ｂ→F₀(v) F₁(v) G₀(v) G₁(v) ……(6) ただし、 Ｂ→＝Ｐ（０、０） Ｐ（１、０） Pu（０、０） Pu（１、０） Ｐ（０、１） Ｐ（１、１） Pu（０、１） Pu（１、１） Pv（０、０） Pv（１、０） Puv（０、０） Puv（１、０） Pv（０、１） Pv（１、１） Puv（０、１） Puv（１、１） F₀(t)＝2t³−3t²＋１、G₀(t)＝t³−2t²＋ｔ F₁(t)＝−2t³＋3t²、G₁(t)＝t³−t² で与えられ、このCoons補間式は実空間座標系に
存在しないベクトル式である。また、上記Coons
補間式はパラメトリツクな表現法を用いており、
このパラメトリツク表現は複雑な式を簡素表現で
きる反面、そのパラメトリツク空間と実空間との
間の関係を明確にできないという欠点を持つ。つ
まり、パラメトリツク空間内で式に与えるパラメ
ータは、実空間内で全く評価できないのである、
物体は３次元空間内に存在し、その空間内で評価
される必要がある。

金型形状等に見られる自由曲面と数式化表現可
能な形状とは全く同一座標系内に存在するにも拘
わらず、全く別の空間内で論議されるのである。
そのため、この発明では自由曲面を数式化形式と
同一空間で取扱うようにしている。

この発明の自由曲面評価の手法を図面を参照し
て説明すると、第１９図に示すように実空間内で
指定した座標値（ｘ、ｙ、ｚ）が、パラメータ表
示（ｕ、ｖ）された曲面１に対してどのような位
置関係にあるかを演算するものである。その演算
手法は収束演算を利用するもので、以下収束演算
の概略を述べ、次にその詳細を説明する。

半空間領域化の基本概念は自由曲面の空間にお
ける評価の実現である。今、第２０図に示すよう
に、自由曲面上方に点Ｐを想定し、曲面１上の任
意の点Ｎから与点Ｐまでの距離をＥとする。曲面
１上に無数に存在する任意の位置全てに対し、こ
の距離Ｅを計算し、距離Ｅが同じ値をとる曲面１
上の点を結ぶと第２１図に示すように、曲面１上
に距離Ｅの等高線を描くことができる。これを、
Ｅ軸と曲面上の系ｕ、ｖ軸とで表わした図を第２
２図に示す。これは曲面１から与点Ｐへの距離関
数となり、この関数をψ（ｕ、ｙ）とおく。そし
て、この関数に対して、曲面１上のｕ方向につい
て方向微分係数を求めると、 ∂ψ／∂u＝ｕ→・▽ψ ……(7) となる。ｕ→を単位ベクトルとして、gradψとの作
る角をθ₁とすると、 ∂ψ／∂u＝｜▽ψ｜cosθ₁ ……(8) を得る。同様にｖ方向について ∂ψ／∂u＝｜▽ψ｜cosθ₂ ……(9) を得る。今、このポテンシヤル関数の最小値を求
める場合、 ∂ψ／∂u＝０でかつ∂ψ／∂v＝０ ……(10) なる条件を満たす必要がある。また、 ∂ψ／∂u＝｜▽ψ｜cosθ₁、∂ψ／∂v＝｜▽ψ｜cos
θ₂ ……(11) であるから｜▽ψ｜≠０とすると、cosθ₁＝０、
cosθ₂＝０である必要がある。故に、θ₁＝90°、θ₂
＝90°となる。ここで、θは曲面上の各方向と
gradψのなす角であることから、ポテンシヤル関
数値の最小をとる与点Ｐに向う面法線方向での与
点Ｐとの距離となる。

ポテンシヤル最小値とは、与点の曲面に対する
最短距離を示すものであり、これはパラメトリツ
クに表現された曲面を空間的に評価する値とな
る。曲面補間式をＱ→（ｕ、ｖ）とすると、そのと
きポテンシヤル値は ψ（ｕ、ｖ）＝｜Ｐ→−Ｑ→（ｕ、ｖ）｜ ……(12) となり、さらにポテンシヤルの発生する向きを考
えると ψ→（ｕ、ｖ）＝Ｐ→−Ｑ→（ｕ、ｖ） ……(13) となる。今、ポテンシヤル最小値を与える曲面上
の点をu₁、v₁とすると、ポテンシヤルベクトル
は、 ψ→（u₁、v₁）＝Ｐ→−Ｑ→（u₁、v₁） ……(14) となる。ポテンシヤル最小値を与えるu₁、v₁上の
面法線とψ→（u₁、v₁）の向きは一致するので、
u₁、v₁の面法線ベクトルをｎ→とすると Ｓ＝ψ→（u₁、v₁）・ｎ→ ……(15) を行なうことによつてポテンシヤルの符号が決定
でき、その結果半空間領域の向き付けを行なうこ
とができる。

ポテンシヤル最小なる曲面上のパラメータ値
（u₁、v₁）を求めれば、自由曲面に対し半空間の
領域分けを行なうことができる。しかし、解析的
に（u₁、v₁）を求めることは不可能なため、探索
法を用いて求める必要がある。すなわち、曲面上
に探索初期位置（u₀、v₀）を設定し、その時のψ
（u₀、v₀）に対してその極小値は−gradψ（u₀、
v₀）方向にあることは理解できる。

−gradψ（u₀、v₀）＝−▽ψ＝−∂ψ／∂uｕ→−∂ψ
／∂vv→ ……(16) ここでψ／ｖ＝｜▽ψ｜cosθとなるので −▽ψ＝ −ｕ→・｜▽ψ｜cosθ₁−ｖ→・｜▽ψ｜cosθ₂
……(17) となる。これは、（−１▽ψ｜cosθ₁、−１▽ψ｜
cosθ₂）方向に求めたい解があることを示してい
る。ここで、ψ（u₀、v₀）は明らかに与点Ｐとの
距離であるので、次に求める位置は u₁＝−ψ（u₀、v₀）・｜▽ψ｜cosθ₁＋u₀ v₁＝−ψ（u₀、v₀）・｜▽ψ｜cosθ₂＋v₀ ……(18) となる。ここで、X→（ｕ、ｖ）とすると上記(18)式
は一般に、 Ｘ→_i＝ψ（Ｘ→_i-1）・▽ψ（Ｘ→_i-1）＋Ｘ→_i-1……
(19) と書ける。ψ（Ｘ→_i-1）は探索ステツプ、−▽ψ（Ｘ
→_i
−１）は探査方向を示している。この式により次の
探索位置を求め、その探索位置毎に Ｓ＝（Ｐ→−Ｑ→（Ｘ→_i））・ｎ→＝Ｓ（ｎ→は面法
線） をモニタすればよい。Ｓ≒１又はｓ≒−１となつ
た時のX_iがポテンシヤル最小の位置である。

第２３図で示すように、曲面１は２つのパラメ
ータｕ、ｖで表現され、式Ｃ→＝Ｓ→（ｕ、ｖ）で示
し、実空間で任意に指定した点の位置ベクトルを
Ｐ→とする。今、初期パラメータ値を（Pu、Pv）
とすると、曲面１上の位置ベクトルＣ→は Ｃ→＝Ｓ→（Pu、Pv） ……(20) となり、この時のベクトルＶ→は Ｖ→＝Ｐ→−Ｃ→ ……（21） となり、このベクトルＶ→に対して ｎ→＝∂Ｃ→／∂u×∂Ｃ→／∂v……（22） ｎ→／｜ｎ→｜≒Ｖ→／｜Ｖ→｜……（23） であれば、｜Ｖ→｜は曲面１から任意点に対する最
短距離にある。次に、上記（23）式を満足するよ
うなパラメータ（Pu、Pv）を求める手法を説明
する。第２４図はパラメータ（Pu、Pv）点での
曲面１の接平面１Ａを示すもので、接平面１Ａ上
にはｕ、ｖ各方向に接線ベクトルが存在する。こ
の接平面１ＡにベクトルＶ→を投影したＶ→′を計算
すると、 Ｖ→′＝（ｎ→×Ｖ→）×ｎ→……（24） によつてベクトルの方向を計算し、後に Ｖ→′＝｜Ｖ→｜sinθ・Ｖ→′／｜Ｖ→′｜……（25
） の計算をすることによつて求めることができる。
そして、このベクトルＶ→′に対して、接平面１Ａ
上に存在するｕ、ｖ方向の接線ベクトル（Ｔ→ｕ、
Ｔ→ｖ）向きの成分を計算する。その計算は、各方
向成分を各々TU、TVとし、Ｔ→ｕとｘ軸、Ｔ→ｖ
とｙ軸のなす角をθ、ψとすると TU＝V′xcosθ−Vysinθ ……（26） TV＝−V′xsinψ−Vycosθψ ……（27） となる。このTU、TVを基にそれに見合う大き
さのパラメータ量分だけ、初期のパラメータから
移動させたパラメータが、より上記（23）式を満
足させる可能性のある曲面位置を示しているとい
える。このパラメータの計算は面のｕ、ｖ方向の
曲面の境界線長さをDU、DVとすると PUnew＝PU＋TU／DU ……（28） PVnew＝PV＋TV／DV ……（29） で行なわれる。この結果を基に再び(20)式へ戻り、
（23）式が満足されるまでこの処理を繰り返す。
（23）式を満足した｜Ｖ→｜は、面からの距離を表
わす。しかし、このままでは面の表裏どちらの方
向か明確化しないので、次に後述する極製性判を
行なう必要がある。

以上では一般的なベクトル式で説明したが、更
に具体的な例で説明すると、第２４図で示したも
のと同様の性質をもつデータを得る場合の評価関
数は、第２５図の接平面４Ｓに関する面法線方向
の距離ベクトルｎ→である。ここで、曲面４Ａ上の
点Ｃはパラメータｕ、ｖと表現される。

Ｃ→＝Ｓ→（ｕ、ｖ）ｘ＝Sx（ｕ、ｖ） ｙ＝Sy（ｕ、ｙ） ｚ＝Sz（ｕ、ｖ） ０≦ｕ≦１ ０≦ｖ≦１ ……（30） スキヤンライン７上の任意の点をＰ→とし、スキ
ヤンされるパツチに探索開始点を決め、この探索
開始点のパラメータ値をu₁、v₁とすると、 x₁＝Sx（u₁、y₁） y₁＝Sy（u₁、y₁） z₁＝Sz（u₁、v₁）Ｃ→ ……（31） となり、次に開始点と任意の点との距離ベクトル
を求める。

Ｖ→＝Ｐ→−Ｃ→ ……（32） このＶ→ベクトルに対して、 ｎ→＝∂Ｓ／→（ｕ、ｖ）／∂u×∂Ｓ／→（ｕ、ｖ
）／∂v ……（33） ｎ／→／｜ｎ｜≒Ｖ／→／｜Ｖ｜ ……（34） が成立すれば、｜Ｖ→｜は評価関数の値である。ス
キヤンライン７の評価は第２６図のようになる。
（33）式はパラメータu₁、v₁でのｕ方向接線ベク
トルとｖ方向接線ベクトルの外積計算をしたもの
で、これは面法線ベクトルｎ→となる。２次元の場
合同様、（34）式は１回で満足されないため、次
の手続きへ移る。この処理はＶ→を接平面４Ｓに投
影する処理であり、接平面４Ｓはｕ、ｖ線ベクト
ルと法線ベクトルｎ→から成る座標系のｕ、ｖ接線
ベクトルが存在する平面である。接平面４Ｓへの
投影処理は第２７図のようになる。すなわち、 Ｖ→′＝（ｎ→×Ｖ→）×ｎ→……（35） の計算をすることによつて投影したベクトルの方
向が計算でき、その後にこのＶ→′の大きさを決め
る。その計算は で求められる。ここで求めたＶ→について、Ｔ→ｕ、
Tv→、ｎ→座標系に対するTu、Tv成分を各々求め
る。ここで、Tu、Tv軸は必ずしもｘ、ｙ、ｚ直
交座標系と一致しないため、座標変換の処理が必
要になる。座標変換の手順は、法線ベクトルをＺ
軸と一致させる処理を基本とし、第２８図に示す
ようにｎ→に対して、θ、ψのパラメータが分つて
いるとすると、Ｚ軸回りに、 Ｔ→ｕ＝Ｔ→ｕ・M₁ Ｔ→ｖ＝Ｔ→ｖ・M₁ Ｖ→′＝Ｖ→′・M₁……（37） ただし、M₁＝cosψ −sinψ ０−sinψ cosψ ００ ０ １ 続いてＹ軸回りに、 Ｔ→ｕ＝Ｔ→ｕ・M₂ Ｔ→ｖ＝Ｔ→ｖ・M₂ Ｖ→′＝Ｖ→′・M₂……（38） ただし、M₂＝cosθ ０ −sinθ０ １ ０sinθ ０ cosθ の計算をすればｎ→がＺ軸と一致したことになる。
このときのＸ−Ｙ平面でのＴ→ｕ、Ｔ→ｖ座標系の関
係は、第２９図に示すものとなる。このような関
係にあるＴ→ｕ、Ｔ→ｖ座標系に対するＶ→′の各々の
成分を次に求める。Ｖ→′の成分を（Vx、Vy、
Vz）とするとＴ→ｕ成分は、 Tu＝Vx cosθ−Vy sinθ ……（39） であり、Ｔ→ｖ成分は、 Tv＝−Vx sinψ＋Vy cosψ ……（40） となる。（39）及び（40）式により計算した値を
基に、これに見合う大きさのパラメータ分だけ初
期のパラメータu₁、v₁からずらした点が、より
（34）式を満足する可能性のある位置といえる。
新たなパラメータの位置の計算は、パツチのｕ、
ｖ方向の境界線長さDu、Dvとすれば、 u₁＝u₁＋Tu／Du v₁＝v₁＋Tv／Dv ……（41） で行なえばよい。

ところで、評価関数の極性は、面によつて形成
される立体の形状内外の判定を行なうために必要
なデータである。この極性は形状内において負、
形状外において正であるのが望ましく、面で表現
される形状の内外判定の基本は面法線との関係で
ある。ここでは極生の決定に、面法線と評価ベク
トルの開き角より決定する方法をとる。上記
（23）式を満足したＶ→′に対して AN＝ｎ／→／｜ｎ｜・Ｖ／→／｜Ｖ｜……（42） の計算を行なうと、以下に示すようにＶ→とＶ′→′
の開き角が90゜以上の時にANは負、90゜以下の時
にANは正となる。また、ｎ→とＶ→′はほぼ同一直
線上に存在するので AN≒１； 面法線ベクトルと同方向 −１； 面法線ベクトルと逆方向 となり、評価関数値を V′＝｜V′→｜・AN／｜AN｜ ……（43） とすれば、形状内外の判定可能な評価関数とな
る。

面境界での評価関数の取扱いとして、評価関数
の適用可能な領域範囲が存在する。評価関数は任
意のスキヤン点に対して形状を表現する面の面法
線方向の距離で表わす。そのため、第３０図に示
すような適用範囲が存在する。しかし、評価関数
の演算を行なわせる際、上記（28）及び（29）式
の結果がこの領域外になることがある。この位置
は曲面１上に存在しないため、その位置からスキ
ヤン点に対して面法線を立てるのは不可能であ
り、傾斜外の評価関数の取扱いについて特別に考
慮しなくてはならない。

ここでは、第３１図に示すようなベクトルＥ→を
評価ベクトルとする。すなわち、パツチ４の境界
線５に垂直な面法線６に対して、境界線５に直交
するベクトルを考え、その垂直方向ベクトルを評
価ベクトルＥ→とするのである。このような評価ベ
クトルＥ→を用いると、評価関数は近似的ではある
が第３２図に示すようにパツチ曲面４からの距離
を明確化し、かつ面４に対する上下関係（表裏関
係）を明確化する。その演算法は上記（28）及び
（29）式の結果が第３３図に示すＡ〜Ｈの領域の
どこに属するかを判定する。これはパラメータ空
間上での領域判定である。この判定は、パラメー
タ空間上で形状内部を表現する領域を負とするよ
うなＦ（ｕ、ｖ）≦０なる関数を各境界線毎に用意
し（４本）、その値を全て比較することで容易に
行なうことができる。次に、第３４図に示すよう
に、パラメータ空間上での前回の探索位置P1と、
上記（28）及び（29）式の結果P2から求めるこ
とができる直線と形状境界線との交点IPを求め
る。直線の式は ｖ＝v₀／u₀ｕ＋v₂・u₀−v₀・u₂／u₀ ……（44） であるので、交点IPは容易に求めることができ
る。このパラメータを基に再びＶ′→を求める処理
を行なう。この処理を経ても尚（28）及び（29）
式の結果P2が領域外であるなら、境界線とスキ
ヤン点に対し第３５図で示すような探索を行なつ
て行き、 Ｖ→′・Ｔ→＝０ ……（45） となるようなｕ、ｖパラメータを求め、第３０図
に示すような評価関数値を求める極性は前述と同
一である。なお、第３５図は境界線５に上の点
（ｕ、ｖ）とスキヤン点SCとの間をベクトルＶ→′
で表わし、点（ｕ、ｖ）における接線ベクトルを
Ｔ→で示している。そして、（45）式の結果を得る
手法は第３６図に示す通りである。

以上述べた方法で自由曲面の評価を行なうこと
によつて、次に示すような２つの自由曲面間の交
線を求めることができる。第２５図に示すよう
に、２つの曲面４Ａ及び４Ｂのどちらか一方の面
上にスキヤンライン７を設定し、そのライン７上
の点について上記手法に基づく評価法を用いる。
この際、この評価法によつて計算される評価関数
とスキヤンラインとの関係は第２６図のようにな
り、この評価関数の０となる位置がスキヤンライ
ン７と面４Ａとの交点となり、全てのスキヤンラ
イン７についてこの交点を求めると、その交点群
は曲面４Ａ及び４Ｂ間の交線を表わすことにな
る。

第３７図は、NC装置３００内に上述の如き工
具軌跡生成機能を組込んだ際の処理の流れを示
す。通常の処理は紙テープ３０７のNCの情報を
読込み（３０３）、そのNC情報を表わしている
キヤラクタイメージのデータをバイナリ変換する
（３０４）。そのバイナリデータを基に指令情報の
解析処理を行ない（３０５）、サーボ処理（３０
６）を行なつてその出力を工作機械３０８に与え
る。NC装置３００に具軌跡生成機能３０２を組
込むこと、直線バイナリデータを出力できるこ
と、直線補間の連続であるため指令情報解析が不
要であること等の利点があり、これにより処理の
高速化が期待できる。このため、NC装置３００
が工具軌跡生成機能を有することは有効であり、
形状データ３０１を入力して工具軌跡TPを生成
してサーボ処理（３０６）すれば、入力された形
状データに従つた加工を行なうことができる。よ
つて、前述の形状抽出処理部４０をNC装置３０
０内に工具軌跡生成処理３０２として組込めば、
セツトオペレーシヨンされた全体形状情報TSを
工具軌跡TPとして利用することができる。この
場合、複雑形状の加工の際に必要となるNC指令
情報は膨大な量となりその取扱いが問題となる
が、それに対して工具軌跡生成処理（３０２）を
するための形状データ３０１は非常にコンパクト
な量であり、その取扱いも容易である。また、第
３８図は上記NC装置３００のハードウエアの構
成例を示し、工具軌跡生成処理部３１２と従来の
NCコントロール部の接続は２通り考えられる。
１つは、工具軌跡生成処理部３１２を内部に置く
利点を十分に生かす方法であり、これは図示実線
で示すように工具軌跡生成処理部３１２及びNC
コントロール部のCPU３１０が共通に利用可能
なRAM３１１を設け、このRAM３１１を介し
て相互に情報伝達するものである。これによると
データ転送時のロス時間がなくなり、高速処理が
可能である。もう１つは、従来のNCコントロー
ル部との間に、図示破線部のうようにインタフエ
ース３１３を設けて接続する方法である。この方
法を用いると処理速度にデータ転送速度の影響が
含まれるので、全体的に処理速度が遅くなる。

なお、第３７図の例では、形状データ３０１を
NC装置３００内で直接工具軌跡生成処理（３０
２）するようにしているが、第３９図に示すよう
にNC情報と共に紙テープ３０７に入力し、指令
情報の読込み時に、NC情報か形状データかを判
定して振分けるようにすることも可能である。

（発明の効果） 以上のようにこの発明によれば、CSGによる
自由曲面に対しても領域分けを行なうことがで
き、従来と同様のアプリケーシヨン処理が可能な
CAD／CAMシステム提供できる。

【図面の簡単な説明】

第１図は２次元図形についてのセツトオペレー
シヨンを説明するための図、第２図は曲面の点群
による表示例を示す図、第３図はXYZ実空間と
uvパラメータ空間の関係を示す図、第４図〜第
６図は実空間とパラメータ空間との間の関係を説
明するための図、第７図はＢ−Repsによる従来
のシステム例を示すブロツク図、第８図は立体形
状の一例を示す図、第９図及び第１１図は第８図
の立体形状の分解例を説明するための図、第１０
図はCSGによる従来のシステム例を示すブロツ
ク図、第１２図はこの発明方法を実現するシステ
ム例を示すブロツク図、第１３図〜第１６図はセ
ツトオペレーシヨンを説明するための図、第１７
図は曲面の補間を説明するための図、第１８図は
Coons補間式を説明するための図、第１９図〜第
２４図はこの発明による自由曲面の評価の原理を
説明するための図、第２５図〜第２９図はこの発
明の自由曲面の具体的な評価を説明するための
図、第３０図〜第３６図は自由曲面の極性判定の
手法を説明するための図、第３７図及び第３８図
はNC装置に対する具体的応用例を示すブロツク
構成図、第３９図は更に別の例を示すブロツク構
成図である。 １……曲面、１Ａ……接平面、２……点群（ノ
ード）、３……矩形領域、４……パツチ、１０…
…形状データ入力装置、２０……形状データ、３
０……数式化形状処理部、３１……加工情報、４
０……形状抽出処理部、４１……数式化形状処
理、４２……セツトオペレーシヨン、４３，４４
……アプリケーシヨン対応の処理、４５……自由
曲面評価演算処理、４６……形状情報スタツクエ
リア、２００……立体形状。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. １ CSGによる自由画面をも対象とした形状デ
   ータ入力装置と、実空間及びパラメータ空間の形
   状を表現する関数に対する任意位置データの距離
   を求め、前記形状の物体構造データを用いてセツ
   トオペレータを行なう形状抽出処理部と、空間情
   報を前記形状抽出処理部に与えるアプリケーシヨ
   ン対応処理部と、前記形状抽出処理部から出力さ
   れる全体形状情報を基に前記形状を表示する表示
   部とを具備し、前記自由曲面の評価を、前記実空
   間内で指定した座標値が、パラメータ表示された
   曲面に対してどのような位置関係にあるかを収束
   演算して行なうようにしたことを特徴とする自由
   曲面の評価方法によるCAD／CAMシステム。