JP3511301B2 - 曲面データ生成方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、コンピュータグラフィ
ックスやＣＡＤ等の分野において計算機上で曲面データ
を生成する方法に関し、特に曲面データを対話的に修正
・変形することを可能とする曲面データ生成方法に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】近年、ＣＧ（コンピュータグラフィック
ス）の分野における技術の進歩はめざましい。例えば、
レイトレーシング、ラジオシティ法等の手法を用いて、
写真と同程度の画像の生成が可能となりつつある。ま
た、ＣＧを用いたアニメ−ションの制作も注目を集めて
いる。しかし、三次元曲面の入力・編集方法に関して
は、有効な方法がなく、膨大な工数がかかっているのが
現状である。

【０００３】計算機上に三次元曲面を表現するデータを
生成する場合に重要な要件は、次の３点である。

【０００４】（１）様々な形状を表現できること。すな
わち、分岐や穴等を含む複雑な曲面形状を入力・変形で
きること。 （２）曲面が滑らかであること。 （３）曲面に細部（ディテール）を追加できること。ま
た、その細部を修正できること。

【０００５】特に、曲面の変形は、アニメ−ションを制
作する場合に重要な機能である。

【０００６】従来、計算機上に曲面を生成する方法とし
ては、例えば以下に述べる二つの方法が提案されてい
る。

【０００７】第１は、コンピュータ・エイデッド・デサ
イン、Vol.10、No.6(1974 年) 第350 頁から第360 頁(C
omputer Aided Design, Vol. 10, No. 6 (1974) pp. 35
0-360)において論じられている多面体細分割法である。
これは、多面体を再帰的に分割し、角を落して曲面を得
る方法である。分割を繰り返すことによって、滑らかな
曲面が生成される。この方法は、正則なメッシュだけで
はなく任意のトポロジーの多面体が扱えるという優れた
特長を有している。

【０００８】第２は、コンピュータ・グラフィックス、
Vol.22、No.4 (1988年) 第205 頁から第212 頁(Compute
r Graphics, Vol. 22, No. 4 (1988) pp. 205-212)にお
いて論じられている階層化Ｂ−スプライン曲面を用いる
方法である。この方法は、Ｂ−スプライン曲面を基本と
しており、曲面に対して細部情報を付加したり、対話的
に変形することが可能である。

【０００９】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上記の
従来方法のうち多面体細分割法では、曲面形状を対話的
に操作することができないという問題点があった。さら
に、曲面に細部の情報を付加することができないという
問題点があった。

【００１０】また、階層化Ｂ−スプライン曲面法では、
初期形状として正則なメッシュしか扱えないという欠点
があった。このため、階層化Ｂ−スプライン曲面法で
は、分岐や穴のあるような複雑な形状を扱うことができ
ない。

【００１１】以上のように、任意のトポロジーからなる
曲面を対話的に入力し、入力された曲面に対して、対話
的に変形および細部の追加等を行なう方法は、従来提案
されていない。

【００１２】本発明の第１の目的は、計算機上で、任意
のトポロジーからなる曲面を表すデータを対話的に入力
・編集することのできる曲面データ生成方法を提供する
ことにある。

【００１３】

【課題を解決するための手段】上記の目的を達成するた
め、本発明は、計算機上で初期多面体Ｓ0 を表現するデ
ータから曲面を近似するデータを生成する曲面データ生
成方法であって、上記初期多面体Ｓ0 を表現するデータ
を用いて初期多面体Ｓ0 の細分割をｎ回繰り返し、順
次、分割多面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）のデータを生
成し、曲面を近似する分割多面体Ｓn のデータを得るス
テップと、上記多面体（Ｓ0 、Ｓ1 、Ｓ2、…、Ｓn ）
の各データを、それぞれ、保持するステップと、上記保
持した各多面体のデータを用いて、初期多面体Ｓ0 また
は分割多面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）を変形すること
によって、生成したい曲面を近似する分割多面体Ｓn を
変形するステップとを備えたことを特徴とする。

【００１４】変形の指示は、多面体Ｓ0 、Ｓ1 、Ｓ2 、
…、Ｓn のうちどの多面体の上で行なってもよい。例え
ば、多面体Ｓ0 の頂点をポインティングデバイス等を用
いて移動した場合は、多面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）
を再計算して多面体Ｓn のデータを得て、該多面体（生
成したい曲面を近似する多面体）Ｓn を表示する。一般
に、Ｓi (0≦i ≦n)の頂点をポインティングデバイス等
を用いて移動した場合は、多面体（Ｓi+1 、Ｓi+2 、
…、Ｓn ）を再計算し、表示することになる。

【００１５】多面体Ｓi の頂点位置は、多面体Si-1に対
して相対的に記述するのがよい。例えば、多面体Si-1を
分割して多面体Ｓi を求めた場合は、まずその多面体Ｓ
i-1の分割によって規定される頂点位置を多面体Ｓi の
データとして保持しておき、その後、多面体Ｓi におい
てその頂点の移動が指示された場合、その移動量をオフ
セットとして保持しておくようにするとよい。これによ
り、大局的な変形がなされた場合に、その大局的な変形
の結果にオフセットを加えれば頂点の位置が求められる
ようになるから、細部の特徴を保存したまま大局的な変
形を行なうことができることとなる。

【００１６】変形は、例えば、多面体Ｓi （ｉ＝０，
１，２，…，ｎ）のｊ番目の頂点Ｐi,j を選択して、該
頂点Ｐi,j の移動量を指定し、その多面体Ｓi から分割
されて生成される分割多面体Ｓi+1 、Ｓi+2 、…、Ｓn
の頂点のうち、前記頂点Ｐi,jの移動の影響を受ける頂
点群をリストアップし、リストアップされた頂点群の位
置を再計算することによって、曲面を近似する分割多面
体Ｓn を変形したデータを生成するようにすることで実
現される。

【００１７】多面体Ｓi の頂点の移動に応じて分割多面
体Ｓi+1 、Ｓi+2 、…、Ｓn のデータを再生成するため
には、多面体Ｓi （ｉ＝０，１，２，…，ｎ）の各面Ｆ
i,j（Ｆi,j は多面体Ｓi のｊ番目の面を示す）に対し
て、多面体Ｓi の細分割処理により面Ｆi,j から生成さ
れる面Ｆ'i+1,kへのポインター情報を保持しておくのが
よい。

【００１８】変形を行なう際には、最終的に曲面を近似
する多面体Ｓn を、計算機の表示画面に表示しながら行
なうとよい。表示される分割多面体の分割レベルｄを指
定できるようにし、その分割レベルｄの分割多面体Ｓd
を表示画面に表示しながら、変形を実行するようにして
もよい。

【００１９】さらに、本発明は、計算機上で初期多面体
Ｓ0 を表現するデータから曲面を近似するデータを生成
する曲面データ生成方法であって、上記初期多面体Ｓ0
を表現するデータを用いて初期多面体Ｓ0 の細分割をｎ
回繰り返し、順次、分割多面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn
）のデータを生成し、曲面を近似する分割多面体Ｓnの
データを得るステップと、上記多面体（Ｓ0 、Ｓ1 、Ｓ
2 、…、Ｓn ）の各データを、それぞれ、保持するステ
ップと、上記計算機の表示画面上に表示される分割多面
体の分割レベルｄ、および頂点の移動操作を行う操作レ
ベルｅを指定するステップと、分割多面体Ｓd を、上記
計算機の表示画面に表示するステップと、表示された分
割多面体Ｓd 上の頂点Ｐd,j を選択し、該頂点Ｐd,j の
移動量ΔＶを指定するステップと、前記頂点Ｐd,j を移
動量ΔＶだけ移動せしめる分割多面体Ｓｅの頂点群Ｐe,
k の移動量を求めるステップと、上記分割多面体Ｓｅの
頂点群Ｐe,k を移動することによって、生成したい曲面
を近似する分割多面体Ｓnを変形するステップとを備え
たことを特徴とする。

【００２０】頂点Ｐd,j を移動量ΔＶだけ移動せしめる
分割多面体Ｓe の頂点群Ｐe,k の移動量としては、頂点
群Ｐe,k の移動量の２乗和が最小となるような移動量を
用いるとよい。

【００２１】

【００２２】

【作用】初期多面体Ｓ0 を細分割することによって、任
意のトポロジーからなる滑らかな曲面を近似する多面体
Ｓn を表すデータが生成される。多面体Ｓ0 の頂点を移
動することによって、曲面を大局的に変形することがで
きる。また、多面体Ｓi(0<=i<n)の頂点を操作すること
によって、曲面の細部の変形が可能である。多面体Ｓi
(0<=i<n)を表すデータは、すべて保持されている。

【００２３】多面体Ｓi の頂点位置を多面体Si-1に対し
て相対的に記述しておくことにより、曲面の大局的な操
作に細部の形状が追従するようにできる。また、多面体
Ｓdの頂点移動を指定し、この頂点移動を実現するため
の多面体Ｓe の頂点移動量を求めることによって、曲面
を直接的に操作および変形することができる。変形され
た曲面をキ−フレ−ムに登録し、キ−フレ−ム補間する
ことによってアニメ−ションが生成される。

【００２４】以上の発明を用いることにより、任意のト
ポロジーからなる曲面を入力し対話的に変形し、アニメ
−ションを生成することができる。

【００２５】

【実施例】以下、図面を用いて、本発明の実施例を説明
する。

【００２６】［１］曲面データ生成処理およびアニメ−
ション制作処理の概要 図１は、本発明の一実施例に係る曲面データ生成方法を
適用したアニメ−ション制作用システムの構成を示す。
図２は、図１のシステムにおける曲面データ生成処理の
概要を示す処理フローチャートである。

【００２７】曲面データ生成処理は、（１）初期多面体
の定義、（２）細分割による曲面生成、（３）曲面の対
話的修正、の３つのステップからなる。曲面データを生
成した後、その曲面データを用いてアニメ−ションの生
成を行なう。以下、図１および図２を参照して、曲面デ
ータ生成処理の３つのステップの概要を説明する。

【００２８】（第１ステップ）初期多面体の定義 ユーザは、生成したい曲面の概形を規定するために、初
期多面体Ｓ0 （１０１）を定義する（ステップ２０
１）。初期多面体の定義（すなわち、初期多面体を表す
データの入力）は、入力装置（１１３）を用いて対話的
に入力することが可能である。また、別途、ＣＡＤシス
テムを用いて生成したものを読み込むことも可能であ
る。

【００２９】（第２ステップ）細分割による曲面生成 次に、ユーザは、入力装置（１１３）を用いて、多面体
を分割する場合の分割数Ｎを指定する。この分割数Ｎを
用いて、多面体細分割ルーチン（１０２）が初期多面体
Ｓ0 を分割し、分割多面体データ（１０３）を生成する
（ステップ２０２）。

【００３０】細分割による曲面生成について、図１を参
照して詳しく説明する。まず、多面体細分割ルーチン
（１０２）は、初期多面体Ｓ0 を分割して分割多面体Ｓ
1 （１０５）を生成する。分割とは、多面体の辺および
頂点を丸めて、より滑らかな多面体を作成する処理であ
る。さらに、多面体細分割ルーチン（１０２）は、分割
多面体Ｓ1 （１０５）を分割し、分割多面体Ｓ2 （１０
６）を作成する。このような分割を分割数Ｎ回だけ繰り
返して、分割多面体データＳ1 ，Ｓ2 ，…，Ｓn（１０
３）を作成する。

【００３１】以下、ｉ回だけ分割された多面体のことを
レベルｉの分割多面体と呼ぶこととする。また、分割の
回数のことを分割レベルと呼ぶこととする。

【００３２】以上のようにして、初期多面体Ｓ0 （１０
１）から多面体Ｓn （１０７）が生成される。十分な分
割数Ｎだけ分割した結果得られた多面体Ｓn （１０７）
は、滑らかな曲面を十分に近似するものであり、曲面Ｓ
n が生成されたといってよい。生成されたすべての分割
多面体Ｓ1 ，Ｓ2 ，…，Ｓn は、メモリーに格納され
る。生成された曲面Ｓn は、形状表示ルーチン（１１
２）によってディスプレイ（１１５）に表示される。

【００３３】（第３ステップ）曲面の対話的修正 ユーザは、分割多面体を対話的に修正して所望の曲面を
作成する。修正は、入力装置（１１３）を用いて、ディ
スプレイ１１５に表示された分割多面体上の頂点を選択
し移動することによって行う。

【００３４】まず、ユーザは、入力装置（１１３）を用
いて、曲面を修正するための処理モードを設定する（ス
テップ２０３）。ユーザが設定した情報は、制御情報
（１１７）としてメモリに格納される。設定する処理モ
ードのうち重要なものは、表示レベルｄ、操作レベル
ｅ、および操作方法の３つである。

【００３５】表示レベルｄは、多面体で近似された曲面
をディスプレイ（１１５）に表示する場合の分割レベル
である。すなわち、分割多面体Ｓd がディスプレイ（１
１５）に表示されることになる。最終的には分割数Ｎま
で分割した分割多面体ＳN が、生成したい曲面を近似す
ることになるから、表示レベルｄはｄ＝Ｎとすればよい
が、後述するように曲面を変形する際に常に分割多面体
ＳN を表示するのでは計算量が多くなってしまう。そこ
で、表示レベルｄは、ユーザが適宜設定できるようにし
てある。

【００３６】操作レベルｅは、ユーザが曲面を操作する
レベルを規定するものである。曲面の操作は、分割多面
体Ｓi （ｉは任意）の頂点を移動することによって実現
する。すなわち、操作レベルｅの場合、ユーザは、分割
多面体Ｓｅの頂点を移動して曲面を操作することにな
る。なお、分割多面体Ｓe は、分割多面体Ｓd とともに
ディスプレイ１１５に表示されている。

【００３７】操作方法には、頂点操作と直接操作の２通
りの方法がある。頂点操作とは、分割多面体Ｓｅの頂点
を選択・移動することにより、曲面の変形を行なう操作
方法である。直接操作とは、分割多面体Ｓｄの頂点を選
択・移動することにより、曲面の変形を行なう操作方法
である。直接操作の場合には、ユーザは、分割多面体Ｓ
ｄの頂点を選択・移動するが、システムはこれ（指定さ
れた分割多面体Ｓｄの変形）を実現するための分割多面
体Ｓe の頂点群とその移動量を求め、求めた通りに分割
多面体Ｓｅの頂点群を移動することにより、指定された
分割多面体Ｓdの頂点の移動を実現する。

【００３８】図１および図２を参照して、本第３ステッ
プの曲面の対話的修正についてさらに説明する。

【００３９】もし、ユーザが指定した操作方法が直接操
作ではなく、頂点操作であれば以下の処理を行う（ステ
ップ２０４）。まず、ユーザは、ディスプレイ（１１
５）上に表示されている分割多面体Ｓe の頂点を入力装
置（１１３）を用いて選択し、移動する（ステップ２０
５）。その具体的な操作方法は、どのようなものでもよ
い。例えば、頂点をマウスでピックしドラッグするなど
の操作方法でよい。

【００４０】ユーザが指定した分割多面体Ｓe の頂点と
移動量とから、細分割再計算ルーチン（１０９）を用い
て、分割多面体Ｓe+1 、Ｓe+2 、…、Ｓd の頂点位置を
再計算する（ステップ２０６）。得られた分割多面体Ｓ
d をディスプレイ（１１５）に再表示する（ステップ２
０７）。以上により、頂点操作による曲面の操作が実現
される。

【００４１】もし、ユーザが指定した操作方法が頂点操
作ではなく、直接操作であれば以下の処理を行う（ステ
ップ２０４）。まず、ユーザは、ディスプレイ（１１
５）上に表示されている分割多面体Ｓd の頂点を入力装
置（１１３）を用いて選択し、移動する（ステップ２０
８）。頂点操作と同様に、その具体的な操作方法はどの
ようなものでもよい。

【００４２】ユーザが指定した分割多面体（曲面）Ｓd
の頂点と移動量とから、直接操作処理ルーチン（１１
０）を用いて、そのように分割曲面Ｓd 上で指定された
移動を実現するためには、分割多面体Ｓe のどの頂点を
どの程度移動すればよいかを求める（ステップ２０
９）。分割多面体Ｓe の頂点移動量が求められれば、そ
の後の処理は頂点操作のステップ２０６以降の処理と同
等である。そして、修正された分割多面体Ｓd がディス
プレイ（１１５）に再表示される（ステップ２０７）。

【００４３】以上の修正でユーザが満足すれば、曲面の
生成処理は終了する（ステップ２１０）。さらなる修正
を行う場合には、モードの変更（ステップ２１１）等を
行い上記の修正処理を繰り返す。

【００４４】以上の第１ステップから第３ステップによ
り、ユーザは、所望の曲面データを生成することができ
る。

【００４５】（第４ステップ）アニメ−ションの生成 上記第３ステップまでで曲面データが生成される。生成
された曲面を元曲面としてアニメ−ションを制作する。
アニメ−ションは、キ−フレ−ム法を用いる。図１を参
照して、アニメ−ションの生成処理の概要を説明する。

【００４６】まず、ユーザは、アニメ−ションのフレ−
ム数を指定する。そして、キ−となるフレ−ムでの曲面
の形状、曲面の位置、回転角、および拡大率（キ−フレ
−ムデ−タ１２０）を、キ−フレ−ム設定ル−チン（１
２１）を用いて対話的に指定して登録する。曲面の形状
の指定は、元曲面を上記第３ステップの方法で対話的に
変形して行う。

【００４７】キ−フレ−ムの設定が終了したら、キ−フ
レ−ムにおける、曲面形状、位置、回転角、および拡大
率をキ−フレ−ム補間ル−チン１２２により補間する。
補間は、公知のキ−フレ−ム補間法を用いればよい。生
成されたアニメ−ションは、ディスプレイ装置１１５に
表示される。表示された画像は、コンバ−タ１２３を用
いてビデオ信号に変換され、ＶＴＲ装置１２４によって
録画され、ビデオテ−プ１２４に記録される。

【００４８】次に、図３から図１３を参照して、本実施
例における曲面生成処理およびアニメ−ションの制作処
理の具体例について、以下の［２］から［９］で詳細に
説明する。

【００４９】［２］初期多面体（１０１） ユーザは入力装置（１１３）を用いて、まず曲面形状の
概要を規定する初期多面体データＳ0 （１０１）を入力
する（図２のステップ２０１）。この初期多面体データ
は、通常の多面体データであり、公知の形状モデリング
方法で入力するか、別のＣＡＤプログラムで作成したも
のを読み込んでもよい。多面体としては任意のトポロジ
ーの多面体が使用できる。また、面上の頂点は、同一平
面上に存在する必要はない。このため様々な形状の曲面
を入力することが可能である。

【００５０】図３を用いて初期多面体データＳ0 のデー
タ構造を説明する。

【００５１】図３（ａ）は、簡単な初期多面体Ｓ0 の例
を示す。この例では、多面体は９個の頂点（Ｖ1 、…、
Ｖ9 ）、および４個の面（Ｆ1 、…、Ｆ4 ）から構成さ
れている。この多面体を表現するために、図３（ｂ）に
示す頂点データ、図３（ｃ）に示す面データを用いる。
頂点データとしては、各頂点の位置、およびその頂点を
共有する面の番号が格納されている。面データとして
は、各面の頂点の番号が格納されている。

【００５２】［３］多面体細分割処理（１０２） 図４および図５を用いて、多面体細分割処理ルーチン
（１０２）の詳細を説明する。

【００５３】多面体細分割処理は、初期多面体の稜線お
よび頂点を丸めることによって滑らかな形状を得る処理
である。この細分割によって、初期多面体Ｓ0 から分割
多面体Ｓ1 を生成し、さらに分割多面体Ｓ1 を分割して
分割多面体Ｓ2 を生成し、その分割多面体Ｓ2 を分割し
て分割多面体Ｓ3 を生成し、…というように、順次細分
割を繰り返す。

【００５４】多面体細分割処理ルーチン（１０２）にお
ける一回の分割の手続きは、以下の３つのステップから
なる。

【００５５】（第１ステップ）多面体の各面について、
少し小さい面を作成する。例えば、図４では、面Ｐ1Ｐ2
Ｐ4 Ｐ3 に対して、少し小さい面Ｑ1 Ｑ2 Ｑ4 Ｑ3 が
生成されている。他の面についても同様にして、少し小
さい面を作成する。この面のことをＦ面と呼び、その頂
点をイメージ頂点と呼ぶ。イメージ頂点の位置は、以下
のルール（数１）に基づいて決定される。

【００５６】

【数１】

【００５７】ここで、Wjはオリジナルの面の頂点の位置
を示し、Viは頂点Wiのイメージ頂点の位置を示す。例え
ば、コンピュータ・エイデッド・デサイン、Vol.10、N
o.6(1974 年) 第356 頁から第360 頁(Computer Aided D
esign, Vol. 10, No. 6 (1974) pp. 356-360)のDoo-Sab
in の方法では、αは以下のように与えられる。

【００５８】

【数２】

【００５９】（第２ステップ）二つの面に共有される各
稜線Ｅに対して、稜線Ｅの２つの頂点から生成される４
つのイメージ頂点を接続して、四辺形を生成する。図４
では、稜線Ｐ2 Ｐ4 に対して面Ｑ2 Ｑ5 Ｑ6 Ｑ4 が生成
されている。このようにして生成される面をＥ面と呼
ぶ。

【００６０】（第３ステップ）ｎ個の面を共有する頂点
Ｖについて、その頂点Ｖを共有する全ての面のＶに関す
るイメージ頂点を接続して、ｎ辺形を生成する。図４で
は、頂点Ｐ4 に対して面Ｑ4 Ｑ6 Ｑ8 Ｑ7 が生成されて
いる。このようにして生成される面をＶ面と呼ぶ。

【００６１】以上のようにして、多面体を細分割する。
この細分割をＮ回だけ繰り返すことによって滑らかな形
状の曲面が得られる。

【００６２】図５は、以上のような手順で、立方体に対
して細分割処理を行った結果である。図５（ａ）が、初
期多面体Ｓ0 である立方体である。図５（ｂ）は、図５
（ａ）の立方体を分割して得られた分割多面体Ｓ1 であ
る。さらに、図５（ｃ）は、図５（ｂ）の分割多面体Ｓ
1 を分割して得られた分割多面体Ｓ2 である。

【００６３】［４］曲面の変形方法の概要 上述したように生成した曲面を変形する方法について、
その概要を説明する。初期多面体を細分割して生成した
曲面を変形する場合は、まず初期多面体の頂点を移動し
て初期多面体を変形し、変形された初期多面体を再度細
分割して近似曲面を生成する。多面体細分割法におい
て、細部の制御が必要な場合には、初期多面体を分割し
て制御点を増やす必要がある。多面体細分割法は、その
曲面生成のプロセス自体が分割を用いているため、これ
は容易に実現できる。初期多面体Ｓ0 を細分割して生成
される曲面は、分割多面体Ｓn を細分割して生成される
曲面と同じである。この意味で、分割多面体Ｓn は、初
期多面体Ｓ0 の詳しい表現であると言える。

【００６４】この性質を利用すれば、以下のように細部
は自然に定義できる。すなわち、曲面を大局的に変形し
たい場合には初期多面体Ｓ0 の頂点を移動し、細分割処
理を行なう。もし細部の形状を変形したい場合には、分
割多面体Ｓ1 の頂点を操作し、分割多面体Ｓ1 に対して
細分割処理を行なう。さらに細部の操作が必要な場合に
は、分割多面体Ｓ2 、Ｓ3 、…等の頂点を操作し、細分
割処理を行なう。

【００６５】図６は、立方体を細分割して生成される曲
面を操作した例である。ここでは、図６（ａ）は、初期
多面体Ｓ0 （立方体）と細分割によって生成される曲面
（球状の曲面）を示している。図６（ｂ）は、初期多面
体Ｓ0 の一つの頂点を移動した場合の曲面の変形を示し
ている。図６（ｃ）は、分割多面体Ｓ1 の一つの頂点を
移動した場合の曲面の変形を示している。このように、
操作する多面体のレベルを変更することにより、大局的
な変形から局所的な変形までを実現することができる。

【００６６】 ［５］オフセット参照による分割多面体の表現方法 曲面を対話的に操作する場合には、大局的な変形が細部
の特徴を破壊しないことが望ましい。すなわち、例え
ば、分割多面体Ｓ4 の頂点を操作することによって曲面
のディテール（細部）を表現した後に、初期多面体Ｓ0
の頂点を移動した場合、分割多面体Ｓ4 の頂点で表現し
たディテールを局所的には保存しつつ、大局的な変形を
実現したい。

【００６７】図７は、このような変形の例を示す。図７
（ａ）は、母曲面とその母曲面上に作成した細部の断面
を示す。このような細部を作成した後、母曲面に対し大
局的な変形を施した場合、図７（ｂ）のように、局所的
には細部を保存したまま母曲面の変形がなされることが
望ましい。

【００６８】このような変形機能は、小さいスケールの
面の頂点を親の面に対して相対的に定義することで実現
される。すなわち、分割によって生成された分割多面体
Ｓi+1 の頂点位置は、分割多面体Ｓi の分割によって規
定される頂点位置にオフセットを加えて定義するように
する。このとき、イメージ頂点の位置は、上述の（数
１）を修正し、以下のように定義される。

【００６９】

【数３】

【００７０】ここで、Oiはオフセットを表している。

【００７１】図８を用いて、２次元の場合のオフセット
参照の方法を説明する。図８（ａ）は、もとの制御線Ｓ
0 （白丸とそれをつなぐ線分の部分）、およびその制御
線Ｓ0 から生成される曲線を示している。制御線Ｓ0 を
分割して生成されるＳ1 の制御点を図８（ｂ）に示す。
図８（ｂ）の黒丸がＳ1 の制御点である。

【００７２】いま、制御線Ｓ1 の一つの頂点Ｖを操作す
ることを考える。頂点Ｖの移動量ΔＶを、もとの制御線
Ｓ1 を基準にした座標系で定義する。この座標系の定義
方法には、様々な方法がある。ここでは２つの方法を説
明する。

【００７３】（方法１）物体座標系を用いた局所座標系 頂点Ｖの初期位置を原点とし、物体座標系（あるいは世
界座標系）と平行な座標系を用いる。図８（ｃ）におい
て、物体座標系であるＸ−Ｙ座標系と平行であって頂点
Ｖを原点とするＬｘ−Ｌｙ座標系が設けられている。ユ
ーザの指定により頂点ＶをＶ′の位置まで移動する場合
は、このＬｘ−Ｌｙ座標系を用いて、頂点Ｖ（原点）か
らのオフセットで移動量を定義することになる。頂点Ｖ
がＶ′に移動した結果、最終的に生成される曲線（ユー
ザが所望の曲線）は、図中太線で描かれている曲線にな
る。

【００７４】（方法２）タンジェントベクトル（接線方
向）、ノーマルベクトル（法線方向）を用いた局所座標
系 もとの制御線Ｓ1 のタンジェントベクトルとノーマルベ
クトル（あるいはそれらに準ずるベクトル）を用いて局
所座標系を定義する。図８（ｄ）において、頂点Ｖは制
御線Ｓ0 の頂点ＡおよびＢを内分した点として定義され
る。そこで、この図の例では、タンジェントベクトルの
代わりにベクトルＡＢを用いる。ベクトルＡＢの向きを
Ｘ座標の向きとし、その法線ベクトルの向きをＹ座標の
向きとし、頂点Ｖの初期位置を原点として、Ｌｘ−Ｌｙ
座標系を定義する。ユーザの指定により頂点ＶをＶ′の
位置まで移動する場合は、このＬｘ−Ｌｙ座標系を用い
て、頂点Ｖ（原点）からのオフセットで移動量を定義す
ることになる。頂点ＶがＶ′に移動した結果、最終的に
生成される曲線（ユーザが所望の曲線）は、図中太線で
描かれている曲線になる。

【００７５】図８では、二次元の場合のオフセット座標
の与え方を示したが、三次元であっても同様である。上
述の第１の方法では、三次元の物体座標系と平行で頂点
Ｖを原点とする三次元座標系を用いて、頂点Ｖからのオ
フセットで移動量を定義すればよい。

【００７６】図９に、三次元の場合のオフセット座標の
与え方を示す。これは、上述の第２の方法を三次元に適
用した場合を示している。この場合、タンジェントベク
トルの代用として、親の面の二つの稜線を用いる。一回
の細分割で各面の各頂点からイメージ頂点が生成される
ことに注意する。局所座標系は、頂点Ｖの親の面の二つ
の稜線を用いて定義できる。

【００７７】図９において、Ｖ，Ａ，Ｂはそれぞれ分割
多面体Ｓi 上の頂点を示す。Ｖ’，Ａ’，Ｂ’は、分割
多面体Ｓi+1 上のイメージ頂点である。いま、点Ｖ’を
操作することを考える。点Ｖ’の移動量は、次の数式で
表される稜線ＶＡ、稜線ＶＢを用いた座標系で定義でき
る。

【００７８】

【数４】

【００７９】レベルi の多面体の頂点を操作した場合に
は、その影響は、その下のレベル（レベルi+1,i+2,…,
n）のすべての多面体に反映される。このようにもとの
分割多面体を基準にしたオフセットで頂点の移動を表現
しているので、図７に示したように、細部が曲面の大局
的な変形に追従する。言い替えると、局所的に細部を生
成した後に大局的な変形を行なっても、細部の表現がオ
フセットによる表現になっているので、そのような細部
を保存したまま大局的な変形が実現できることになる。

【００８０】［６］分割多面体のデータ構造 次に、図１０を用いて、本実施例における分割多面体
（Ｓ0 、Ｓ1 、…、Ｓn）のデータ構造を説明する。図
１０（ａ）は、初期多面体Ｓ0 の一例を示している。図
１０（ｂ）は、その初期多面体Ｓ0 の頂点データを示
す。

【００８１】頂点データには、頂点位置および面情報以
外に、初期位置およびオフセット情報が付加されてい
る。頂点位置は、実際の頂点の座標を示している。初期
位置は、親の面を細分割したときに上記（数１）の数式
を用いて求められるオフセットなしの頂点位置である。
オフセットは、頂点を対話的に移動することによって与
えられるオフセットを示している。オフセット情報と初
期位置とから頂点位置が求められる。なお、最初の多面
体分割処理（１０２）においては、オフセットはゼロで
あり、初期位置と頂点位置は等しくされている。

【００８２】図１０（ｃ）に、初期多面体Ｓ0 の面デー
タの構造を示す。この面データには、その面の頂点の番
号が格納されている。また、その面を生成した親のレベ
ルの多面体の面番号、およびその面から生成した子供の
レベルの面の面番号が、格納されている。なお、子供の
面番号は、後に説明する頂点操作による曲面の変形処理
において使用される。また、この親の面番号は、後に説
明する直接操作による曲面の変形処理において使用され
る。

【００８３】図１０（ｃ）は、初期多面体Ｓ0 の面デー
タであり、分割されていないため親の面は存在しない。
子供の面のデータは、つねに一つ存在する。例えば、面
Ｆ3から生成されるＦ面は、図１０（ｄ）の面Ｆ’7 で
ある。そこで、多面体Ｓ0 の面データにおいては、面番
号３の面（Ｆ3 ）に子供の面番号７（Ｆ’7 ）が格納さ
れる。

【００８４】図１０（ｄ）は、初期多面体Ｓ0 を一回だ
け分割して得られる分割多面体Ｓ1を示している。図１
０（ｅ）は、分割多面体Ｓ1 の頂点データの構造を示
す。図１０（ｆ）は、分割多面体Ｓ1 の面データの構造
を示す。

【００８５】分割多面体Ｓ1 は、初期多面体Ｓ0 を一回
だけ分割して生成される面であるから、その面が多面体
Ｓ0 に対してＦ面であれば、親の面の番号が面データに
格納される。例えば、図１０（ｄ）において、分割多面
体Ｓ1 の面Ｆ’3 は、初期多面体Ｓ0 の面Ｆ2 から生成
されたＦ面である。そこで、図１０（ｆ）の面データで
は、分割多面体Ｓ1 の面番号３の面に、親の面の面番号
として２が格納される。

【００８６】以上のような面データにおける親の面や子
供の面の番号は、多面体細分割処理において容易に得る
ことができるから、そのときにそれらの番号を格納して
おくようにする。

【００８７】［７］頂点操作による曲面の変形処理 曲面を対話的に修正するもっとも基本的な操作は、多面
体の頂点をユーザが選択し、それを対話的に移動し、形
状を変形することである。このとき、重要なことは、曲
面の変更が高速に行なわれることである。

【００８８】多面体細分割法では、制御頂点の位置を変
更するとその影響は制御頂点を共有している全ての面に
及び、これらの面から生成される分割多面体が変更され
る。一方、位置を変更した制御点を共有していない面か
ら生成される分割多面体は、影響を受けない。この意味
で、多面体細分割法は、局所性を有していると言える。
この性質を用いて、形状を高速に変更することが可能で
ある。

【００８９】分割レベルi の分割多面体Ｓi の頂点Ｖを
操作した場合、その影響を受けて、分割多面体Ｓi+1 の
頂点を変更しなければならない。その手続きは、以下の
ようになる。

【００９０】１．制御点Ｖを共有する分割多面体Ｓi 上
の面Ｆ1 〜Ｆn を求める。 ２．面Ｆ1 〜Ｆn から生成される全てのイメージ頂点に
ついて、（数３）の数式を用いて位置を修正する。

【００９１】分割多面体Ｓi の頂点を移動することによ
って、分割多面体Ｓi+1 の（複数の）頂点が移動する。
分割多面体Ｓi+1 の頂点の移動は、分割多面体Ｓi+2 の
頂点の移動を引き起こす。このように上記の処理を再帰
的に行なうことによって、細分割面の修正が実現され
る。

【００９２】以上の操作を実現するためには、分割多面
体Ｓi のすべての面について、その面が生成する分割多
面体Ｓi+1 のＦ面へのポインターを保存しておけばよ
い。これが分割面のデータ構造において各面に子供の面
の番号を保存しておいた理由である。

【００９３】図１１は、頂点操作による変形処理の手順
を示すフローチャートである。図１１を参照して、頂点
操作による変形処理の詳細を説明する。

【００９４】まず、曲面を操作するためのパラメータ
ｅ、ｄ、Ｖｅ、Ｐを指定する（ステップ１１０１）。こ
こで、ｅは操作する多面体の分割レベル、ｄは表示する
多面体の分割レベルである。Ｖe は、操作する多面体Ｓ
e の頂点のうち、ユーザによって選択され、移動量Ｐを
与えられた頂点である。

【００９５】これらのパラメータが指定されたら、移動
頂点リストを｛（Ｖe ，Ｐ）｝とする（ステップ１１０
２）。移動頂点リストとは、多面体において移動が生じ
た頂点と移動量を保持するリストである。初期状態の移
動頂点リスト｛（Ｖe ，Ｐ）｝は、多面体Ｓe の頂点Ｖ
e が移動量Ｐだけ移動したことを示している。

【００９６】次に、ワークレジスタｉに、指定された分
割レベルｅをセットする。そして、移動頂点リストから
頂点を取り出し、その頂点を一つでも含む面をリストア
ップし、面リストを作成する（ステップ１１０４）。こ
の面リストの作成は、図１０に示すように各頂点データ
中にその頂点を共有する面の情報が付加されているた
め、容易に行なうことができる。

【００９７】細分割処理によって面リストの各面のＦ面
として生成される面は、親の多面体の頂点の移動の影響
を受ける。したがって、面リストのすべての面につい
て、その頂点位置を更新する必要がある。そこで、上述
の（数３）の数式を用いて、面リストのすべての面につ
いて、子供の面（Ｆ面）の位置を再計算する。再計算さ
れた頂点位置は、頂点データ（図１０）の初期位置に格
納される。この初期位置とオフセット情報を加算して頂
点位置が更新される（ステップ１１０５）。更新された
頂点は、新たに移動頂点リストに設定される（ステップ
１１０６）。

【００９８】次に、ワークレジスタｉの分割レベルをイ
ンクリメントし（ステップ１１０７）、その値が分割レ
ベルｄに等しくなったかどうか判別する（ステップ１１
０８）。等しくなければ、分割レベルｉについて、ステ
ップ１１０４からの処理を繰り返す。等しければ、処理
を終了する。すなわち、ステップ１１０４〜１１０７の
処理を、分割レベルｅから分割レベルｄまで行なうこと
によって、多面体Ｓeの頂点移動は多面体Ｓd の頂点移
動に反映され、分割多面体Ｓd が変形される。

【００９９】［８］直接操作による曲面の変形処理 制御頂点を操作することによって曲面を変形する上記
［７］の方法（頂点操作）は、間接的でユーザにわかり
にくい。最も自然な曲面の操作方法は、直接操作であ
る。すなわち、曲面上の１点を直接選択し、その点をど
こに移動したいのか、その位置を指定する方法である。
曲面は、有限の分割数ｄの多面体Ｓd で近似されてい
る。直接操作法では、分割レベルｄの多面体Ｓd 上の頂
点を選択してそれを操作する。

【０１００】ここでは、分割レベルｄの多面体Ｓd 上の
頂点ＶをΔＶだけ移動する場合を説明する。この多面体
Ｓd 上の頂点の移動を、分割レベルｅの多面体Ｓe の頂
点の移動で実現する。言い替えると、分割レベルｄの多
面体Ｓd 上で指定された頂点の移動が実現するように、
分割レベルｅの多面体Ｓe の頂点の移動を行なうように
する。分割レベルｅは、その操作が及ぶ範囲を規定する
こととなる。すなわち、分割レベルｅが小さい場合には
大局的な変形を、大きい場合にはより局所的な変形をも
たらすこととなる。

【０１０１】多面体Ｓd の頂点Ｖは、多面体Ｓd-1 の面
Ｆのある頂点Ｗのイメージ頂点である。頂点Ｖの位置
は、上記（数３）に示したように、多面体Ｓd-1 の頂点
Ｗの位置の線形結合＋オフセットで定義される。このこ
とから、移動量ΔＶは下記の数式で表される。

【０１０２】

【数５】

【０１０３】この関係を再帰的に用いれば、多面体Ｓd
の頂点Ｖの移動量ΔＶは、多面体Ｓe の頂点群Ｕj の移
動量ΔＵj の線形結合で表すことができる。

【０１０４】

【数６】

【０１０５】ここで、多面体Ｓd の頂点ＶをΔＶだけ移
動するために、上記（数６）における移動量ΔＵj をど
のように選ぶかについては、種々の選択の仕方がある。
この実施例では、頂点群Ｕj の移動量ΔＵj の２乗の和
が、最小になるようにしている。そのためには、

【０１０６】

【数７】

【０１０７】とすればよい。以上のようにして、多面体
Ｓd の頂点Ｖの移動を多面体Ｓe の頂点の移動で実現で
きる。

【０１０８】図１２は、直接操作による変形処理の手順
を示すフローチャートである。図１２を参照して、直接
操作による変形処理の詳細を説明する。

【０１０９】まず、曲面を操作するためのパラメータ
ｅ、ｄ、Ｖｄ、Ｐを指定する（ステップ１２０１）。こ
こで、ｅは指定された曲面の変形を実現するために頂点
を（自動的に）移動する多面体の分割レベル、ｄは表示
する多面体の分割レベルである。Ｖd は、多面体Ｓd の
頂点のうち、ユーザによって選択され、移動量Ｐを与え
られた頂点である。

【０１１０】これらのパラメータが指定されたら、まず
頂点荷重リストを｛（Ｖｄ，１）｝とする（ステップ１
２０２）。頂点荷重リストとは、頂点Ｖd の移動を実現
するために、関係する頂点Ｖの情報と、頂点Ｖを移動さ
せた場合に頂点Ｖd に与える影響度（荷重）とを保持す
るリストである。関係する頂点Ｖは、上述の（数６）の
数式中のＵj に対応している。また、頂点Ｖd に与える
影響度は、（数６）の数式中のβj に対応している。初
期状態の頂点荷重リスト｛（Ｖd ，１）｝は、多面体Ｓ
d の頂点Ｖd が影響度（荷重）１を有していることを示
している。

【０１１１】次に、ワークレジスタｉに、分割レベルｄ
をセットする。そして、頂点荷重リストから頂点を取り
出し、その頂点を一つでも含む面をリストアップし、面
リストを作成する（ステップ１２０４）。この面リスト
の作成は、図１０に示すように各頂点データ中にその頂
点を共有する面の情報が付加されているため、容易に行
なうことができる。

【０１１２】各面の頂点の位置は親の面の頂点位置によ
って決定されるため、面リストの各面について親の面を
求め、それらの面の各頂点について多面体Ｖd の移動に
対する影響度を求める必要がある。このため、面リスト
のすべての面について、親の面をリストアップする（ス
テップ１２０５）。

【０１１３】さらに、親の面に属するすべての頂点を求
め、これらの頂点が移動した場合の多面体Ｖd の移動に
おける影響度を求める（ステップ１２０６）。これは、
（数１）の数式の荷重αと頂点荷重リストの荷重βとを
積算することによって求められる。更新された頂点と荷
重βは、新たに頂点荷重リストに設定される（ステップ
１２０７）。

【０１１４】次に、ワークレジスタｉの分割レベルをデ
クリメントし（ステップ１２０８）、その値が分割レベ
ルｅに等しくなったかどうか判別する（ステップ１２０
９）。等しくなければ、分割レベルｉについて、ステッ
プ１２０４からの処理を繰り返す。すなわち、ステップ
１２０４〜１２０８の処理を、分割レベルｄから分割レ
ベルｅまで行なうことによって、多面体Ｓe の頂点のう
ち、多面体Ｓd の頂点移動に関係する頂点群Ｕとそれら
がＶd の移動に与える影響度とが求められる。

【０１１５】ステップ１２０９でワークレジスタｉの分
割レベルがｅに等しくなったら、（数７）の数式を用い
て、頂点荷重リストから頂点群Ｕの移動量ΔＵを求める
（ステップ１２１０）。これは、上述の頂点移動で用い
た移動頂点リストである。そこで、図１１のステップ１
１０４からの処理を行なうことによって、曲面全体の変
形が実現される。

【０１１６】［９］アニメ−ションの制作 図１３を用いて、アニメ−ションの制作処理を説明す
る。アニメ−ションは、上記［８］までの処理で曲面
（元曲面）を生成し、その生成した曲面に対し、移動、
回転、拡大率の変更、および形状の変形などを施すこと
によって、制作する。

【０１１７】アニメ−ションの生成は、キ−フレ−ム法
を用いる。まず、アニメ−ションのフレ−ム数を指定す
る（ステップ１３０１）。そして、前記の変形方法を用
いて元曲面を変形することによって、キ−となるフレ−
ムでの曲面の形状（図１のキ−フレ−ムデ−タ１２０）
を生成し指定する。さらに、キ−フレ−ム設定ル−チン
１２１を用いて、キーフレームにおける曲面の位置、回
転角、および拡大率を対話的に指定して登録する（ステ
ップ１３０３）。

【０１１８】以上のステップ１３０２，１３０３を繰り
返して、複数のキ−フレ−ムにおける曲面をすべて指定
する。

【０１１９】すべてのキ−フレ−ムの設定が終了した
ら、キ−フレ−ム補間ル−チン１２２により、各キ−フ
レ−ム間で、曲面形状、位置、回転角、拡大率を補間す
る（ステップ１３０４）。補間は、公知のキ−フレ−ム
補間法を用いればよい。これにより、アニメーションを
構成する各フレームのデータが得られる。

【０１２０】生成されたアニメ−ションは、ディスプレ
イ装置１１５に表示される（ステップ１３０５）。表示
された画像は、コンバ−タ１２３を用いてビデオ信号に
変換され、ＶＴＲ装置１２４によって録画され、ビデオ
テ−プ１２４に記録される（ステップ１３０６）。以上
の処理で、アニメ−ションが生成される。

【０１２１】以上のようにして、初期多面体から滑らか
な曲面を生成し、これを頂点操作あるいは直接操作によ
って対話的に変形することが可能である。曲面の生成方
法として多面体の細分割処理を基礎にしているため、任
意のトポロジーの曲面を生成することが可能である。

【０１２２】また、任意の分割レベルの多面体の頂点を
操作できるため、曲面の大局的な操作から局所的な操作
までを実現できる。さらに、分割多面体の頂点位置を親
の多面体の頂点位置に対して相対的に定義することによ
って、細部の形状が大局的な変形に追従するという対話
的な形状操作に対して好適な変形方法を実現できる。さ
らに、曲面の変形を伴うアニメ−ションが制作できる。

【０１２３】

【発明の効果】本発明によれば、任意の初期多面体から
滑らかな曲面を生成し、生成された曲面を対話的に変形
することができる。したがって、任意のトポロジーから
なる曲面を対話的に入力・編集する方法およびそれを用
いて形状変形を伴うアニメ−ションを制作する方法を提
供することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例に係る曲面データ生成方法を
適用したアニメ−ション制作用システムのシステム構成
図

【図２】実施例の曲面データ生成処理の概要を示す処理
フローチャート図

【図３】初期多面体データの説明図

【図４】多面体細分割処理の説明図

【図５】立方体に対して細分割処理を行った例を示す説
明図

【図６】曲面変形の説明図

【図７】曲面変形の説明図

【図８】オフセット参照の説明図

【図９】３次元の場合のオフセット参照の説明図

【図１０】多面体のデータ構造の説明図

【図１１】頂点操作による曲面変形処理の手順を示すフ
ローチャート図

【図１２】直接操作による曲面変形処理の手順を示すフ
ローチャート図

【図１３】アニメ−ション制作処理の手順を示すフロー
チャート図

【符号の説明】

１０１ 初期多面体データ １０２ 多面体細分割ルーチン １０３ 分割多面体データ １０９ 細分割多面体再計算ルーチン １１０ 直接操作処理ルーチン

フロントページの続き (56)参考文献 特開 昭63−170781（ＪＰ，Ａ) 特開 平５−233780（ＪＰ，Ａ) 特開 平５−181941（ＪＰ，Ａ) 特開 平５−81377（ＪＰ，Ａ) Ｅ．Ｃａｔｍｕｌｌ， Ｊ．Ｃｌａｒ ｋ，Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅｌｙ ｇｅｎｅ ｒａｔｅｄ Ｂ−ｓｐｌｉｎｅ ｓｕｒ ｆａｃｅｓ ｏｎ ａｒｂｉｔａｒｙ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｍｅｓｈｅ ｓ，ｃｏｍｐｕｔｅｒ−ａｉｄｅｄ ｄ ｅｓｉｇｎ，米国，ＩＰＣ Ｓｃｉｅｎ ｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ Ｌｉｍｉｔｅｄ．，1978年 11月30日，Ｖｏｌｕｍｅ10 Ｎｕｍｂｅ ｒ６，350−355 小松 功児，顔画像からの顔の３次元 形状の推定とその表情の変更，電子情報 通信学会論文誌Ｄ−ＩＩ，日本，（社) 電子情報通信学会，1990年 ５月25日, 第Ｊ73−Ｄ−ＩＩ巻 第５号，706−716 Ｄ．Ｄｏｏ， Ｍ．Ｓａｂｉｎ，Ｂｅ ｈａｖｉｏｕｒ ｏｆ ｒｅｃｕｒｓｉ ｖｅ ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｓｕｒｆａｃ ｅｓ ｎｅａｒ ｅｘｔｒａｏｒｄｉｎ ａｒｙ ｐｏｉｎｔｓ，ｃｏｍｐｕｔｅ ｒ−ａｉｄｅｄ ｄｅｓｉｇｎ，米国, ＩＰＣ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅ ｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ ｌｉｍ ｉｔｅｄ．，1978年11月30日，Ｖｏｌｕ ｍｅ10 Ｎｕｍｂｅｒ６，356−360 Ｄａｖｉｄ Ｒ．Ｆｏｒｓｅｙ， Ｒ ｉｃｈａｒｄ ＩＩ． Ｂａｒｔｅｌ ｓ，Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｂ−Ｓ ｐｌｉｎｅ Ｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔ，Ｃ ｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ，米 国，Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅｒ ｙ’ｓ，1988年 ８月 ５日，Ｖｏｌｕ ｍｅ22 Ｎｕｍｂｅｒ４，215−212 (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06F 17/50 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)

Claims (6)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】計算機上で初期多面体Ｓ0 を表現するデー
   タから曲面を近似するデータを生成する曲面データ生成
   方法であって、 上記初期多面体Ｓ0 を表現するデータを用いて初期多面
   体Ｓ0 の細分割をｎ回繰り返し、順次、分割多面体（Ｓ
   1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）のデータを生成し、曲面を近似す
   る分割多面体Ｓn のデータを得るとともに、上記分割多
   面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）のデータを順次生成する
   際には、多面体Ｓi （ｉ＝１，２，…，ｎ）の頂点位置
   を、多面体Ｓi-1 によって定義される座標系に対して相
   対的に記述するステップと、 上記多面体（Ｓ0 、Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）の各データ
   を、それぞれ、保持するステップと、 上記保持した各多面体のデータを用いて、初期多面体Ｓ
   0 または分割多面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）を変形す
   ることによって、生成したい曲面を近似する分割多面体
   Ｓn を変形するステップとを備えたことを特徴とする曲
   面データ生成方法。
2. 【請求項２】計算機上で初期多面体Ｓ0 を表現するデー
   タから曲面を近似するデータを生成する曲面データ生成
   方法であって、 上記初期多面体Ｓ0 を表現するデータを用いて初期多面
   体Ｓ0 の細分割をｎ回繰り返し、順次、分割多面体（Ｓ
   1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）のデータを生成し、曲面を近似す
   る分割多面体Ｓn のデータを得るとともに、上記分割多
   面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）のデータを順次生成する
   際には、多面体Ｓi （ｉ＝１，２，…，ｎ）の頂点位置
   を、多面体Ｓi-1 の分割によって規定される頂点位置に
   該頂点の移動量であるオフセットを加えて定義するステ
   ップと、 上記多面体（Ｓ0 、Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）の各データ
   を、それぞれ、保持するステップと、 上記保持した各多面体のデータを用いて、初期多面体Ｓ
   0 または分割多面体（Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）を変形す
   ることによって、生成したい曲面を近似する分割多面体
   Ｓn を変形するステップとを備えたことを特徴とする曲
   面データ生成方法。
3. 【請求項３】請求項１または２に記載の曲面データ生成
   方法において、前記変形するステップは、前記多面体Ｓ
   0 、Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn の頂点を選択し、該頂点の移
   動量を指定することにより、多面体の変形を行なうこと
   を特徴とする曲面データ生成方法。
4. 【請求項４】計算機上で初期多面体Ｓ0 を表現するデー
   タから曲面を近似するデータを生成する曲面データ生成
   方法であって、 上記初期多面体Ｓ0 を表現するデータを用いて初期多面
   体Ｓ0 の細分割をｎ回繰り返し、順次、分割多面体（Ｓ
   1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）のデータを生成し、曲面を近似す
   る分割多面体Ｓn のデータを得るステップと、 上記多面体（Ｓ0 、Ｓ1 、Ｓ2 、…、Ｓn ）の各データ
   を、それぞれ、保持するステップと、 上記計算機の表示画面上に表示される分割多面体の分割
   レベルである表示レベルｄ、および頂点の移動操作を行
   う分割レベルである操作レベルｅを指定するステップ
   と、 分割多面体Ｓd を、上記計算機の表示画面に表示するス
   テップと、 表示された分割多面体Ｓd 上の頂点Ｐd,j を選択し、該
   頂点Ｐd,j の移動量ΔＶを指定するステップと、 前記頂点Ｐd,j を移動量ΔＶだけ移動せしめる分割多面
   体Ｓｅの頂点群Ｐe,k の移動量を求めるステップと、 上記分割多面体Ｓｅの頂点群Ｐe,k を移動することによ
   って、生成したい曲面を近似する分割多面体Ｓn を変形
   するステップとを備えたことを特徴とする曲面データ生
   成方法。
5. 【請求項５】請求項４に記載の曲面データ生成方法にお
   いて、前記頂点Ｐd,j を移動量ΔＶだけ移動せしめる分
   割多面体Ｓe の頂点群Ｐe,k の移動量として、頂点群Ｐ
   e,k の移動量の２乗和が最小となるような移動量を用い
   ることを特徴とする曲面データ生成方法。
6. 【請求項６】請求項４に記載の曲面データ生成方法にお
   いて、前記分割多面体のデータを保持するステップは、
   前記多面体Ｓi （ｉ＝１，２，…，ｎ）の各面Ｆi,j
   （Ｆi,j は多面体Ｓi のｊ番目の面を示す）に対して、
   多面体Ｓi-1 の細分割処理により面Ｆ'i-1,kから面Ｆi,
   j が生成されている場合は、該面Ｆ'i-1,kへのポインタ
   ー情報を保持し、該ポインター情報を用いることによ
   り、前記頂点Ｐd,j を移動量ΔＶだけ移動せしめる分割
   多面体Ｓｅの頂点群Ｐe,k の移動量を求めることを特徴
   とする曲面データ生成方法。