JPH03198169A - 曲線発生方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔概　要〕 文字パターンの生成、コンピュータグラフィックあるい
はコンピュータエイデツドデザインなどにおける曲線生
成方式に関し、 ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数の制御点をベイツ
エル関数の制御点への変換を高速に行うようにした曲線
生成方式を得ることを目的とし、ノンユニフォーム・Ｂ
スプライン関数におケル制御点の座標をベイツエル関数
における制御点の座標に変換する変換係数を格納した変
換テーブルと、この変換テーブルから得られた変換係数
と入力曲線データとの積和演算を行う積和演算器とから
なるデータ変換手段を備え、このデータ変換手段によっ
てノンユニフォーム・Ｂスプライン関数で表現された入
力曲線データをベイツエル関数のデータに変換し、得ら
れたベイツエル関数のデータを用いてベイツエル関数生
成器によって曲線を生成するように構成した。

〔産業上の利用分野〕

文字パターンの生成、コンピュータグラフィ７り（ＣＧ
）あるいはコンピュータエイデツドデザイン（ＣＡＤ）
などにおける曲線生成方式に関する。

〔従来の技術〕

上記のような分野においては、自然界に曲線で表される
物体が多いことから、現実に近い高品質の画像表現を行
うために、より少ないデータによって高品質で高速な曲
線を生成することがが望まれている。

ノンユニフォーム−Ｂスプライン（Ｎｏｎ−ｕｎｉｆｏ
ｒｍＢ−ｓρ１ｉｎｅ）関数を用いた曲線生成において
は、太線で示した曲線Ａを生成するに必要な制御点は、
第２図（ａ）に示すように、制御点Ｑ１〜Ｑ、の５つで
済むのでデータ量が少な（、また、データの制御性の点
でも優れているがハードウェアとして構成することが困
難であって高品質、高速な生成を行うことができないと
いう問題がある。

すなわち、ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数の定義
式を３次の場合を例にとると次の式で示される。

ノットベクトル　ｔｌ、ｈ、−・−’　ｊｉ−１＋　Ｌ
ｉ＋　ｊｉ＋１＋・−−一’ｌ　ｔ　Ｉ’ｌ　＋　４に
おいて、ここで、Ｑｌは制御点であり、Ｎｉ、４（ｔ）
はノットベクトルから算出される基底関数である。

区間［１＋＋１１．、〕のＮｉ、ａ（ｔ）を計算するた
めのアルゴリズムは下記のように初期条件から次々に漸
化式を解くことができ、ｆ（ｔ）は上記（１）式に示さ
れるようにこのＮｔ、４（ｔ）とＱ、との積和演算によ
って求められる。

初期条件 Ｎｔ、４（ｔ）＝　１　　（ｔ、≦１＜１．。υＮｉ、
４（ｔ）＝Ｏ（上記以外＞　　−−−−−・　（２）漸
化式 この（３）式は割算を含んだ複雑な式であって、高速な
演算処理を行うハードウェアを実現することが困難であ
る。

一方、ベイツエル（Ｂｅｚ　１ｅｒ）関数の定義式を上
述の（１１〜（３）式に示したノンユニフォーム・Ｂス
プライン関数の記述に対応して示すと次のとおりである
。

ノットベクトルｔ＋、ｔ＋、Ｌ、ｔ＋、’−−−−−−
−　ｔｌ、　ｔ４．　ｔｚ。

ｊ　ｉ＋−”’−’−’＋　Ｌｎ＋４　＋　Ｌｎ。４　
＋　ｎ＋１　＋ｊｎ＋４において・ここで、Ｑ、／は制
御点であり、Ｂｔ、＜（ｔ）はノットベクトルから算出
される基底関数である。

このベイツエル関数による曲線生成は中点分割法を適用
することによってハードウェアとして構成することが比
較的容易であり、誤差のない高品質の曲線を生成するこ
とができる。

しかしながら、ベイツエル関数を用いて上記（８１図に
太線で示したと同一の曲線Ａを生成するためには同図（
ｂｌに示すようにＱ１′〜Ｑ、′の８つの制御点が必要
であり、上記のＢスプライン関数を用いる場合に比して
データの量が多く、また、データの制御性などの点で劣
っている。

〔発明が解決しようとする課題〕

先に引用した第２図のｔａ１図と（１））図とを比較す
ると、（ａ）図のノンユニフォーム・Ｂスプライン関数
の制御点Ｑ、〜Ｑ、から（ｂｌ図のベイツエル関数のＱ
ｌ　’〜Ｑｌ’の８つの制御点を得ることができれば、
ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数によって得られる
と同一の曲線Ａをベイツエル関数生成器を用いて得るこ
とができることが判る。

このためには、ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数の
）７）ベクトルにノットを追加すればよいが、ノット追
加のアルゴリズムとして知られている０ｓｌｏあるいは
Ｂｏｅｈｍのアルゴリズムにおいては、先に示した（３
）式と同類の演算を繰返えすために高速で演算可能なハ
ードウェアを構成することが困難である。

ここで、ノットベクトルｔ　、　、　−−−−−−ｔｉ
＋・・−・・＋ｊｎ４４ 制御点Ｑ　＋　、　Ｑ　ｔ　、　−−−−−−−Ｑ　、
、で表されるノンユニフォーム・Ｂスプライン関数のノ
ットベクトルにＢｏｅｈｍのアルゴリズムによってノッ
トを１つ追加してノットベクトルｔ、、−−−−−ｔｉ
、　ｔｉ、・・−・−・−＋ｔＦｌ＋４に、また、制御
点Ｑ　Ｉ　’　＋　ＱＺ　’　＋　’−’−”−’＋　
Ｑｌｌ＋１に変換する例を示すと、 Ｑ、′＝（１−α、）十αｊＱｊ αｉ　＝　１　　　　　　　　　　（Ｊ≦１−４）α、
＝０　　　　　　　　　　　　（ｉ≦　ｊ）となる。

このようにノットベクトル間の割算を繰返えし行うこと
によってノンユニフォーム・Ｂスプライン関数からベイ
ツエル関数への変換を行うことはできるが、割算の回数
が多いために高速なハードウェアを得ることは望めない
。

本発明はノンユニフォーム・Ｂスプライン関数の制御点
をベイツエル関数の制御点への変換を高速に行うように
した曲線生成方式を得ることを目的とする。

〔課題を解決するための手段〕

第１図の原理図に示すように、ノンユニフォーム・Ｂス
プライン関数における制御点の座標をベイツエル関数に
おける制御点の座標に変換する変換係数を格納した変換
テーブルと、この変換テーブルから得られた変換係数と
入力曲線データとの積和演算を行う積和演算器とからな
るデータ変換手段とを設け、このデータ変換手段によっ
てノンユニフォーム・Ｂスプライン関数で表現された入
力曲線データをベイツエル関数のデータに変換し、得ら
れたベイツエル関数のデータを用いてベイツエル関数生
成器によって曲線を生成するようにした。

〔作　用〕

上記の変換テーブルの作成の例としては、ＲｏｅｈＩ１
１アルゴリズムによってノットを１つずつ追加してゆく
ときにノット追加前の制御点とノット追加後の制御点と
の変換係数が求められるが、各段階で初期のノンユニフ
ォーム・Ｂスプライン関数の制御点からの変換係数に換
算して保存することによって、最終的にノンユニフォー
ム・Ｂスプライン関数からベイツエル関数へ直接変換す
るための変換係数テーブルが得られる。

より具体的な例を挙げて説明すると、ノンユニフォーム
・Ｂスプライン関数のノットベクトル、例えばｔ、　＝
　（０，０，５，０，７５，１）を入力し、ベイツエル
関数の制御点Ｑ、を得るためのノンユニフォーム・Ｂス
プライン関数の制御点Ｑ、からの変換係数を格納する格
納領域Ｓ（ｉ、ｊ）をｉ＝ｊのときには１に、ｉ≠ｊの
ときには０に初期化する。

次いでＢｏｅｈｍアルゴリズムによってノットを１つ追
加し、その前後の制御点間の変換係数Ｗ　（ｉ　、　Ｄ
を例えば下記のように算出する。

ｔ、　→ｔ、　’　＝　（０，０，０，５，０，７５，
１）ｑ、　　−ΣＷ　（ｉ＋　Ｊ　）　Ｑ　ｊここで、
１１／はベイツエル関数でのノットベクトル、ｑ、′は
ノット追加前の制御点、ｑＪはノット追加後の制御点で
ある。

そして、次の式によってノンユニフォーム・Ｂスプライ
ン関数の制御点ＱＪからの変換係数を求め、上記の変換
係数の算出とともに追加するノットの数に相当する回数
だけ繰返えし、得られた係数を保存することによって所
要の変換テーブルを作成する。

ｂ　（ｉ、Ｄ　−ｂ　（ｉ、ｊ）＋ΣＷ（ｉ、ｋ）　ｘ
　Ｓ　（ｋ、ｊ）Ｓ　（ｉ、ｊ）　　＝　ｂ　（ｉ、ｊ
）ｂ（ｉ、Ｄ　　＝０ 第３図はこのようにして得られた変換テーブルに格納さ
れている値の例を示すものであり、この変換テーブルを
用いてノンユニフォーム・Ｂスプライン関数で表現され
た入力曲線データをベイツエル関数のデータに変換する
方法を具体的に説明する。

この第３図の上段に示されているＱ、−Ｑ、は制御点座
標Ｑ＋、Ｑｚ、Ｑ３．Ｑ４．Ｑ５のそれぞれに対する係
数であることを示しており、また、左列に示されている
Ｑｌ　〜Ｑｓ’はベイツエル関数に変換した新しい８つ
の制御点を求めるための係数であることを示している。

ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数による曲線データ
として制御点座標Ｑ、、Ｑｚ、Ｑｓ、Ｑ４．Ｑｓと例え
ば（０，０，５，１）のノットベクトルを入力すると、
制御点座標Ｑｔ、Ｑｚ、　Ｑ８．Ｑａ、Ｑｓのそれぞれ
に上記第３図の変換テーブルからの係数が乗算される第
４図の積和演算が行われ、ベイツェル関数における８つ
の制御点座標Ｑｌ　’〜Ｑａ’が求められる。なお、こ
の第４図におけるＱ１〜Ｑ５の係数をそれぞれ点線の枠
で囲って、これらの係数が第３図におけるＱ１〜Ｑ、の
係数であることを示した。

このようにして得られたベイツェル関数における制御点
座標Ｑｌ　’〜Ｑ、′を用いてベイツエル関数生成器に
よって曲線を生成させれば、ノンユニフォーム・Ｂスプ
ライン関数によって指定された曲線が生成される。

本発明によれば、データ変換手段ｌにおける変換係数テ
ーブルの参照と積和演算とをパイプライン処理によって
実行することができるので、このパイプライン処理を行
うことによってさらに高速化することができる。

〔実施例〕

第５図は、上記〔作用〕の項で説明した変換処理を行う
ための本発明の実施例を示すもので、第１図のデータ変
換手°段ｌに相当するデータ変換手段ｌＯは＃ｌ〜＃８
の乗算器１１１．１１□、・・・−・・１１ａと、加算
器１２と、変換係数テーブル１３とを含んでいる。

このデータ変換手段１０にはノンユニフォーム・Ｂスプ
ライン関数における制御点座標および後述するノットベ
クトルのコードが入力され、この制御点座標は上記乗算
器１１□１１□、−−−−一・−，１１ｎの一方の入力
端子に供給され、他方の入力端子にはノットベクトルの
コードを変換係数テーブルで変換して得られた変換係数
が供給される。

このノットベクトルのコードについて説明すると、ノン
ユニフォーム・Ｂスプライン関数においてはノットを自
由に挿入することができ、これによって制御点数が増加
するので制御の自由度も増大する。

第６図（ａ）は４つの制御点Ｑ、〜Ｑ４を有するノンユ
ニフォーム・Ｂスプライン関数によって生成される図形
Ａについて、同図伽）に示すように、その中点ｔ＝０．
５に制御点Ｑ、を追加して５つの制御点Ｑｏ、Ｑ＋、〜
Ｑ４とし、さらにこの図形Ａの端点である１＝０の制御
点Ｑｌ　’の位置をＱ１″に移動させた状態を点線で示
したもので、１＝０の制御点Ｑｌ　’の移動は１＝０〜
ｔ＝０．５の区間の曲線形状に影響を与えるだけでｔ＝
０．５〜ｔ＝１の区間には影響を与えないので、図形Ａ
として示したような曲線の形状の局所制御が可能である
。

この第４図の例ではｔ＝０．５のノットを挿入したが、
−船釣にはノットの値は制限されないが、１つのノット
ベクトルについて１つの変換係数テーブルが必要である
ため、ノットベクトルの種類が増えるとテーブルの格納
容量も増えるためにノットの値に制限を設けることが望
ましい。

この制限方法はシステムに依存するが、曲線近似すると
きにノットを追加する有効な方法である逐次分割法によ
るノットベクトルの例を次の表に示す。この逐次分割法
においては、ある参照データに対して曲線近似を行った
ときの誤差評価によっであるノット区間の誤差が予め定
めた闇値より大きかった場合にはその区間の中点にノッ
トを追加するものであり、下記の表から明らかなように
ノットの各要素は規則性を有するためにコード化するこ
とが容易である。

上述のようにこのノットベクトルのコードが第５図の変
換係数テーブル１３に供給されると、生成されるパイプ
エル関数の制御点の数に等しい数の係数がこのテーブル
１３から読出され、乗算器１１、．１１．、−・・・・
−・、１１ｎでは入力されたノンユニフォーム・Ｂスプ
ライン関数のそれぞれの制御点の座標値にこの係数を乗
算し、これらの乗算器で得られた値を加算器１２で加算
することによってパイプエル関数の制御点の座標を求め
、パイプエル関数による曲線生成器２においてはこの制
御点の座標を用いて所要の曲線の点列の座標を出力する
。

第７図はノンユニフォーム・Ｂスプライン関数による制
御点の最大数がＱ、〜Ｑｌｌの８つの場合のデータ変換
器のハードウェア構成の例を示すもので、ノットベクト
ルのコードによって指定された変換係数テーブルからパ
イプエル関数における最初の制御点座標Ｑｌ　’を得る
ための変換係数を読出し、入力されたノンユニフォーム
・Ｂスプライン関数の制御点Ｑ１〜Ｑｎ　（ｎ＜８）の
値とそれぞれの乗算器において乗算を行い、得られた値
を３段に構成された加算器によって加算することによっ
て、上記パイプエル関数における最初の制御点の座標Ｑ
ｌ　’を出力させる。

続いてパイプエル関数における第２番目の制御点の座標
Ｑｔ′を得るための変換係数を上記同様に変換係数テー
ブルから読出すが、乗算器において上記の最初の制御点
座標Ｑｌ　’を得るための乗算を行っている期間中にこ
の変換係数の読出しを行う前述のパイプライン処理を実
行させることによって、処理に要する時間をさらに短縮
することができる。

そして、このような変換係数テーブルからの読出し、乗
算器による乗算と加算器による加算を繰返えすことによ
ってノンユニフォーム・Ｂスプライン関数における制御
点のすべての座標をパイプエル関数におけるすべての制
御点座標にそれぞれ変換することができる。

したがって、ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数の制
御点として与えられた座標がアウトラインフォントを表
すものであれば、上記のように変換された座標を用いた
パイプエル関数による演算によってこのアウトラインフ
ォントのアウトラインを再現することができるので、こ
のアウトラインの内部を塗りつぶすことによって所要の
フォントが生成される。

なお、この塗りつぶしは公知のように、例えば、得られ
たアウトラインと走査線との最初の交点などの奇数回目
の交点を開始点として塗りつぶしを開始し、次の偶数回
目のアウトラインと走査線との交点を塗りつぶしの終了
点として実行することができる。

〔発明の効果〕

本発明によれば、ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数
の制御点のパイプエル関数の制御点への変換を変換係数
テーブルを使用することによって乗算と加算とを行うだ
けで実行し得るので、繰返えし演算が必要であった従来
の処理に比してその処理時間を著しく短縮することがで
きる。

また、変換係数テーブルの参照と乗算・加算とはパイプ
ライン処理として実行できるので、さらに高速化を図る
ことができるという格別の効果が達成される。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の原理を示すブロック図、第２図はノン
ユニフォーム・Ｂスプライン関数とパイプエル関数にお
ける曲線生成の例を示す図、 第３図は変換係数テーブルの例を示す図、第４図は変換
演算を説明するための図、第５図は本発明の実施例を示
すブロック図、第６図はノンユニフォーム・Ｂスプライ
ン関数における制御点の追加と移動について説明するた
めの図、 第７図はデータ変換器をハードウェア構成とした例を示
す図である。 手続補正書（自発） 平成 ２年１２月 ７日

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 ノンユニフォーム・Ｂスプライン関数における制御点の
   座標をベイツエル関数における制御点の座標に変換する
   変換係数を格納した変換テーブルと、この変換テーブル
   から得られた変換係数と入力曲線データとの積和演算を
   行う積和演算器とからなるデータ変換手段を備え、 このデータ変換手段によってノンユニフォーム・Ｂスプ
   ライン関数で表現された入力曲線データをベイツエル関
   数のデータに変換し、得られたベイツエル関数のデータ
   を用いてベイツエル関数生成器によって曲線を生成する
   ようにしたことを特徴とする曲線生成方式。