JP6885137B2 - 粘性流体の混練状態の解析方法 - Google Patents

Description

本発明は、ケーシングと、ロータとを有する混練機で練られる粘性流体の状態を、コンピュータを用いて解析するための方法に関する。

下記特許文献１は、混練機で練られる粘性流体の状態を、コンピュータを用いて解析するための方法を提案している。混練機は、ケーシングと、ロータとを有している。ケーシングは、実質的に閉鎖された混練空間を画定する内壁面を具えている。ロータは、混練空間内で回転可能に配置されている。

下記特許文献１の解析方法では、先ず、コンピュータに、ケーシング、ロータ及び粘性流体を、それぞれ有限個の要素で離散化したケーシングモデル、ロータモデル及び粘性流体モデルが入力される。そして、下記特許文献１の解析方法では、コンピュータが、粘性流体モデルを混練空間に配置して、ロータモデルの回転による粘性流体モデルの流動計算を行うシミュレーション工程が実施される。

特許第５５１４２３６号公報

発明者らは、鋭意研究を重ねた結果、粘性流体が練られている混練状態において、ケーシングの内壁面に作用する圧力が負圧となる部分が生じることを知見した。このような部分では、粘性流体の一部が内壁面に対してスリップしていると推察される。

しかしながら、上記特許文献１の解析方法では、上述のような現象を考慮することなく流動計算が行われていたため、粘性流体の解析精度については、さらなる改善の余地があった。

本発明は、以上のような実状に鑑み案出されたもので、粘性流体の状態の解析精度を向上しうる粘性流体の混練状態の解析方法を提供することを主たる目的としている。

本発明は、実質的に閉鎖された混練空間を画定する内壁面を具えたケーシングと、前記混練空間内で回転するロータとを有する混練機で練られる粘性流体の状態を、コンピュータを用いて解析するための方法であって、前記コンピュータに、前記ケーシング、前記ロータ及び前記粘性流体を、それぞれ有限個の要素で離散化したケーシングモデル、ロータモデル及び粘性流体モデルを入力する工程と、前記コンピュータが、前記粘性流体モデルを前記混練空間に配置して、前記ロータモデルの回転による前記粘性流体モデルの流動計算を行うシミュレーション工程とを含み、前記ケーシングモデルは、前記ケーシングの内壁面を定義した内壁面モデルを有し、前記シミュレーション工程は、前記内壁面モデルの少なくとも前記粘性流体モデルが接触している部分の圧力を計算する工程と、前記内壁面モデルのうち前記圧力が負圧となる部分において、前記粘性流体モデルと前記内壁面モデルとの間にスリップを生じさせる工程とを含むことを特徴とする。

本発明に係る前記粘性流体の混練状態の解析方法において、前記スリップを生じさせる工程は、前記粘性流体モデルの前記内壁面モデルでの壁面せん断応力をゼロに定義してもよい。

本発明の粘性流体の混練状態の解析方法は、コンピュータに、ケーシング、ロータ及び粘性流体を、それぞれ有限個の要素で離散化したケーシングモデル、ロータモデル及び粘性流体モデルを入力する工程と、コンピュータが、粘性流体モデルを混練空間に配置して、ロータモデルの回転による粘性流体モデルの流動計算を行うシミュレーション工程とを含んでいる。

シミュレーション工程は、内壁面モデルの少なくとも粘性流体モデルが接触している部分の圧力を計算する工程と、内壁面モデルのうち圧力が負圧となる部分において、粘性流体モデルと内壁面モデルとの間にスリップを生じさせる工程とを含んでいる。従って、本発明の粘性流体の混練状態の解析方法では、ケーシングの内壁面の圧力が負圧となる部分で生じる粘性流体のスリップを考慮して、粘性流体の流動計算が可能となるため、粘性流体の状態の解析精度を向上させることができる。

混練機の一例を示す部分断面図である。 粘性流体を混練している混練機の一例を示す部分断面図である。 粘性流体の混練状態の解析方法を実行するためのコンピュータの一例を示す斜視図である。 粘性流体の混練状態の解析方法の処理手順の一例を示すフローチャートである。 混練機モデル入力工程の処理手順の一例を示すフローチャートである。 混練機モデルの一例を示す断面図である。 混練空間及びロータモデルの斜視図である。 混練空間の断面図である。 混練空間を分解して示す断面図である 粘性流体モデルと気相モデルとが混在して配置された混練空間を示す断面図である。 圧力項ｅ^βpと、圧力ｐとの関係の一例を示すグラフである。 シミュレーション工程の処理手順の一例を示すフローチャートである。 ロータ（ロータモデル）のトルクと時刻との関係を示すグラフである。

以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明される。
本実施形態の粘性流体の混練状態の解析方法（以下、単に「解析方法」ということがある）は、混練機で練られる粘性流体の状態を、コンピュータを用いて解析するための方法である。

「混練」とは、例えば、ゴム材料や樹脂材料等の粘性流体の成形時の前処理として、原材料の薬品、粉体などと液状バインダを分散させながら互いに濡らし、それらを均質にする作用乃至操作として定義される。代表的な混練工程は、混練機（バンバリーミキサー）を用いて行われる。

粘性流体としては、安定的な流動状態とみなすことができれば、特に限定されない。本実施形態の粘性流体は、架橋前のゴムや樹脂等の粘性を有する流動性材料である場合が例示される。流動状態としては、例えば、架橋前のゴムの場合、十分に練られて約８０℃程度まで昇温した状態が相当する。なお、粘性流体は、可塑性を有するゴム又は樹脂等に限定されるものではない。

図１は、混練機１の一例を示す部分断面図である。図２は、粘性流体５を混練している混練機１の一例を示す部分断面図である。本実施形態の混練機１は、ケーシング２と、ロータ３とを有している。

ケーシング２は、混練空間４を画定する内壁面９を具えている。このケーシング２は、筒状に形成されている。本実施形態の混練空間４は、断面横向きの略８の字状に形成されている。但し、混練空間４は、このような形状に限定して解釈されるものではない。

ケーシング２の上部には、混練空間４内に、練られる前の粘性流体５（図２に示す）を投入するためのラム７が設けられている。さらに、ケーシング２の下部には、混練空間４で練られた粘性流体５を排出する排出部８が設けられている。ケーシング２は、粘性流体５の混練時において、ラム７及び排出部８が閉じられる。これにより、混練空間４は、実質的に閉鎖される。

なお、「実質的に閉鎖される」とは、ラム７及び排出部８が閉じられた粘性流体５（図２に示す）の混練時において、混練空間４が密閉された状態を意味している。なお、混練空間４の密閉状態には、ケーシング２に形成される隙間からの空気の出入りが許容される。本実施形態の解析方法では、混練空間４に空気の出入りがない状態を仮定して、混練機で練られる粘性流体の状態が計算される。

ロータ３は、混練空間４内で回転し、粘性流体５（図２に示す）を練るためのものである。本実施形態の混練機１は、一対のロータ３、３を有している。

各ロータ３、３には、円筒状の基部３ａと、基部３ａからケーシング２の内壁面９に向かってのびる少なくとも一つの翼部３ｂとが設けられている。このような翼部３ｂは、混練空間４に配置される粘性流体５（図２に示す）を撹拌するのに役立つ。

図３は、解析方法を実行するためのコンピュータの一例を示す斜視図である。コンピュータ６は、本体６ａ、キーボード６ｂ、マウス６ｃ及びディスプレイ装置６ｄを含んでいる。本体６ａには、例えば、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリ、磁気ディスクなどの記憶装置、及び、ディスクドライブ装置６ａ１、６ａ２が設けられている。また、記憶装置には、本実施形態の解析方法を実行するためのソフトウェア等が予め記憶されている。図４は、本実施形態の解析方法の処理手順の一例を示すフローチャートである。

本実施形態の解析方法では、先ず、コンピュータ６（図３に示す）に、図１に示した混練機１をモデル化した混練機モデル１１が入力される（混練機モデル入力工程Ｓ１）。図５は、混練機モデル入力工程Ｓ１の処理手順の一例を示すフローチャートである。図６は、混練機モデル１１の一例を示す断面図である。

本実施形態の混練機モデル入力工程Ｓ１では、先ず、ケーシング２（図１に示す）を有限個の要素Ｆ（ｉ）で離散化したケーシングモデル１２が入力される（工程Ｓ１１）。工程Ｓ１１では、ケーシング２（図１に示す）の設計データ（例えば、ＣＡＤデータ）に基づいて、ケーシング２の輪郭の少なくとも一部が、数値解析法により取り扱い可能な有限個の要素Ｆ（ｉ）（ｉ＝１、２、…）で離散化（モデル化）される。これにより、ケーシングモデル１２が定義される。

本実施形態のケーシングモデル１２は、ラム７（図１に示す）をモデル化したラムモデル２６、排出部８（図１に示す）をモデル化した排出部モデル２７、及び、ラムモデル２６と排出部モデル２７とを除いた部分をモデル化した主部２８を含んで構成されている。さらに、ラムモデル２６、排出部モデル２７、及び、主部２８は、隙間なく一体としてモデル化されている。また、ラムモデル２６、排出部モデル２７、及び、主部２８には、ケーシング２の内壁面９（図１に示す）を定義した内壁面モデル１９を有している。このような内壁面モデル１９により、ケーシングモデル１２には、後述の混練空間１４が画定される。本実施形態の要素Ｆ（ｉ）としては、例えば、３次元のソリッド要素が採用されている。

ソリッド要素は、精度がよく、接触面の設定が容易な６面体が好ましいが、複雑な形状を表現するのに適した４面体要素や多面体要素等でもよい。なお、これらの要素以外にも、ソフトウェアで使用可能な３次元のソリッド要素や２次元のシェル要素であれば、特に限定されない。

各要素Ｆ（ｉ）には、要素番号、節点（図示省略）の番号、及び、節点の座標値等の数値データや熱条件等が定義される。また、各要素Ｆ（ｉ）には、外力が作用しても変形不能な剛体として定義される。これにより、ケーシングモデル１２での応力計算を省略することができるため、計算コストを低減しうる。ケーシングモデル１２は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

なお、本実施形態の解析方法は、混練機で練られる粘性流体の状態の計算に特化しているため、内壁面モデル１９のみでケーシングモデル１２が定義されてもよい。この場合、要素Ｆ（ｉ）として、２次元のシェル要素が採用されるのが望ましい。

次に、本実施形態の混練機モデル入力工程Ｓ１は、コンピュータ６（図３に示す）に、ロータ３を有限個の要素Ｇ（ｉ）で離散化したロータモデル１３が入力される（工程Ｓ１２）。工程Ｓ１２では、各ロータ３、３（図１に示す）の設計データ（例えば、ＣＡＤデータ等）に基づいて、図１に示した基部３ａ及び翼部３ｂの輪郭が、有限個の要素Ｇ（ｉ）で離散化（モデル化）される。これにより、基部モデル１３ａ及び翼部モデル１３ｂをそれぞれ含む一対のロータモデル１３、１３が定義される。

一対のロータモデル１３、１３は、ケーシングモデル１２の内部に配置される。また、一対のロータモデル１３、１３は、その中心Ｏａ、Ｏｂの周りで回転可能な回転領域として定義される。

要素Ｇ（ｉ）には、要素Ｆ（ｉ）と同様に、変形不能な剛性が定義される。本実施形態の要素Ｇ（ｉ）としては、要素Ｆ（ｉ）と同様に、３次元のソリッド要素を採用することができる。なお、ロータモデル１３は、ケーシングモデル１２と同様に、ロータ３の表面のみがモデル化されたものでもよい。一対のロータモデル１３、１３は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

次に、本実施形態の混練機モデル入力工程Ｓ１では、コンピュータ６（図３に示す）に、混練機１の混練空間４（図１に示す）を有限個の要素Ｈ（ｉ）で離散化した混練空間（混練空間モデル）１４が入力される（工程Ｓ１３）。図７は、混練空間１４及びロータモデル１３の斜視図である。図８は、混練空間１４の断面図である。図９は、混練空間１４を分解して示す断面図である。

本実施形態の工程Ｓ１３では、図１に示したケーシング２及び一対のロータ３、３の設計データ（例えば、輪郭等）に基づいて、ケーシング２の内壁面９と、一対のロータ３、３の外周面３ｏとで閉じられた３次元空間（輪郭）が、図８に示した有限個の要素Ｈ（ｉ）で離散化（モデル化）される。これにより、密閉状態の混練空間１４が入力される。混練空間１４は、図６及び図７に示されるように、ケーシングモデル１２の内壁面モデル１９によって区画される外周部１４ｏと、一対のロータモデル１３、１３の外周面１３ｏで区画される内周部１４ｉとを有している。

図８及び図９に示されるように、要素Ｈ（ｉ）は、例えば、オイラー要素が採用されている。要素分割（離散化）は、例えば、四面体、六面体などの他、多面体セルによって行われる。なお、これらの要素以外にも、ソフトウェアで使用可能な３次元の格子状の要素であれば、特に限定されない。また、各要素Ｈ（ｉ）には、後述する粘性流体モデル１６や気相モデル１７について、圧力、温度、又は、速度等の物理量が計算される。

本実施形態の混練空間１４は、図９に分離して示されるように、一対の回転可能な回転部１４Ａ、１４Ｂと、一対の回転部１４Ａ、１４Ｂ間を継ぎ、かつ、一対の回転部１４Ａ、１４Ｂが収容される外枠部１４Ｃとが含まれる。従って、混練空間１４は、３つの部分（即ち、一対の回転部１４Ａ、１４Ｂ、及び、外枠部１４Ｃ）を含んで構成されている。

回転部１４Ａ、１４Ｂは、各々、円形の外周面１４Ａｏ、１４Ｂｏと、ロータモデル１３の外周面１３ｏ（図６に示す）に等しい内周面１４Ａｉ、１４Ｂｉとを有している。回転部１４Ａ、１４Ｂは、外枠部１４Ｃの内部にそれぞれ填め込まれる。また、回転部１４Ａ、１４Ｂは、ロータモデル１３、１３とともに、中心（回転軸）Ｏａ、Ｏｂの周りで回転可能に定義されている。このような回転部１４Ａ、１４Ｂ内の要素Ｈ（ｉ）により、図１に示したロータ３、３の回転に伴う混練空間４の容積形状の変化が表現されうる。

外枠部１４Ｃは、回転部１４Ａ、１４Ｂを囲む筒状に形成されている。外枠部１４Ｃの軸方向両端は、両端面１４ｔ（図７に示す）によって閉じられている。外枠部１４Ｃは、各回転部１４Ａ、１４Ｂと接触する凹円弧面１４Ｃｏを有している。外枠部１４Ｃの凹円弧面１４Ｃｏと、回転部１４Ａ、１４Ｂの外周面１４Ａｏ、１４Ｂｏとは、スライディングサーフェース等の境界条件が定義されている。これにより、ロータモデル１３、１３を回転させる後述のシミュレーション工程Ｓ５において、混練空間１４の回転部１４Ａ、１４Ｂ内で生じる物理的な作用（力及び熱等）が、この凹円弧面１４Ｃｏを介して外枠部１４Ｃへと伝達される。混練空間１４は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

次に、本実施形態の解析方法では、コンピュータ６（図３に示す）に、粘性流体５（図２に示す）を有限個の要素で離散化した粘性流体モデル１６が入力される（工程Ｓ２）。図１０は、粘性流体モデル１６と気相モデル１７とが混在して配置された混練空間１４を示す断面図である。なお、図１０において、粘性流体モデル１６が着色されて表示されている。

本実施形態の粘性流体モデル１６は、図９に示したオイラー要素が採用された混練空間１４の要素Ｈ（ｉ）によって定義される。混練空間１４の要素Ｈ（ｉ）には、粘性流体５（図２に示す）の物性（例えば、せん断粘度、比熱、及び、熱伝導率等）が定義される。これにより、工程Ｓ２では、混練空間１４に配置された粘性流体モデル１６が設定される。本実施形態の粘性流体モデル１６は、圧力によって密度が変化しない非圧縮流体として定義される。また、混練空間１４には、境界条件を設定する後述の工程Ｓ４において、粘性流体モデル１６の充填率が設定される。

せん断粘度は、例えば、解析対象となる粘性流体５（図２に示す）から粘弾性特性（Ｇ'及びＧ”）が複数の温度条件で測定され、Cox-Merz則などを用いてせん断粘度に変換することで得られる。このようにして得られたせん断粘度ηは、上記特許文献１と同様に、例えば下記式（１）のべき乗法則で近似される。

比熱は、解析対象の粘性流体５（図２に示す）から、例えば断熱型連続法（＠２５℃）にて測定される。熱伝導率は、解析対象の粘性流体から、例えば熱線法（＠２５℃）にて測定される。粘性流体モデル１６は、コンピュータ６（図３に示す）に入力される。

次に、本実施形態の解析方法では、コンピュータ６（図３に示す）に、混練空間４（図１に示す）内に存在する空気（図示省略）を、有限個の要素でモデル化した気相モデル１７が入力される（工程Ｓ３）。本実施形態の気相モデル１７は、粘性流体モデル１６と同様に、図９に示したオイラー要素が採用された混練空間１４の要素Ｈ（ｉ）によって定義される。混練空間１４の要素Ｈ（ｉ）には、空気の粘度、及び、比重といった物性が定義される。これにより、工程Ｓ３では、混練空間１４に配置された気相モデル１７が設定される。

本実施形態の気相モデル１７は、粘性流体モデル１６と同様に、圧力によって密度が変化しない非圧縮流体として定義されている。なお、混練空間１４には、境界条件を設定する後述の工程Ｓ４において、気相モデル１７の充填率が設定される。気相モデル１７は、コンピュータ６（図３に示す）に入力される。

次に、本実施形態の解析方法では、コンピュータ６（図３に示す）に、粘性流体モデル１６の流動計算に必要な境界条件等の各種の条件が定義される（工程Ｓ４）。本実施形態の境界条件としては、図６に示されるように、混練空間１４の外周部１４ｏに定義される流速境界条件、及び、温度境界条件が含まれている。

本実施形態の流速境界条件としては、壁面スリップ条件が採用される。壁面スリップ条件において、混練空間１４の粘性流体モデル１６は、ケーシングモデル１２の内壁面モデル１９（混練空間１４の外周部１４ｏ）において流速を持っている。この場合、粘性流体モデル１６と混練空間１４との接触面のスリップ現象は、例えば、上記特許文献１と同様に、Navier's Lawなどが用いられることにより、シミュレートされうる。

ところで、図１に示した混練機１で練られている粘性流体５（図２に示す）は、ケーシング２の内壁面９のうち、粘性流体が接触している部分の圧力が大きくなるほど、粘性流体の内壁面９での壁面せん断応力が大きくなる。従って、粘性流体の内壁面９での壁面せん断応力は、圧力依存性を有している。このような圧力依存性を考慮するために、本実施形態の壁面スリップ条件において、粘性流体モデル１６の内壁面モデル１９での壁面せん断応力τwは、下記式（２）を用いて定義される。

上記式（２）において、内壁面モデル１９の移動速度ｖ_wallは、中心（回転軸）Ｏａ、Ｏｂからの内壁面モデル１９（混練空間１４の外周部１４ｏ）の半径と、ロータモデル１３の角速度とを乗じたものである。また、ｅ^βpは、内壁面モデル１９の粘性流体モデル１６が接触している部分の圧力ｐを考慮して、粘性流体モデル１６のせん断応力を計算するための圧力項である。図１１は、圧力項ｅ^βpと、圧力ｐとの関係の一例を示すグラフである。本実施形態において、圧力依存性のパラメータβは、２．０×１０^−７（Ｐａ^−１）である場合が例示される。

図１１において、図１０に示した内壁面モデル１９の粘性流体モデル１６が接触している部分の圧力ｐが大きくなるほど、圧力項ｅ^βpが大きくなる。これにより、上記式（２）において、圧力ｐが大きくなるほど、粘性流体モデル１６の内壁面モデル１９での壁面せん断応力τwが大きくなる。このように、上記式（２）は、圧力依存性を考慮した壁面せん断応力τwを計算することができる。

温度境界条件としては、全ての混練空間１４の外面温度が温調温度（例えば５０℃）に設定される条件、又は、断熱条件のいずれかが採用される。なお、断熱条件は、混練空間１４の各外面において、熱が外に逃げない条件である。本実施形態では、計算負荷を軽減する観点より、混練空間１４の温度境界条件としては、断熱条件が採用されている。

他の条件としては、流動計算の初期状態、シミュレーションの単位時間（微小時間）ｔ、内部処理でのイタレーションの反復回数、及び、計算終了時刻など含まれる。また、後述のシミュレーション工程Ｓ５において出力されるパラメータ等が決定される。

さらに、他の条件としては、ロータモデル１３の回転数（図９に示した混練空間１４の回転部１４Ａ、１４Ｂの回転数）、混練空間１４の外周部１４ｏのスリップ率、混練空間１４の容積に対する粘性流体モデル１６及び気相モデル１７の充填率などが含まれる。このような充填率が設定されることにより、粘性流体の充填率が１００％以下（例えば、５０％〜９０％）の状態での流動計算が実施されうる。

図１０に示されるように、初期状態の混練空間１４は、混練空間１４を横切る水平な境界面Ｓを基準として、それよりも上部を気相モデル１７の領域Ａとし、それよりも下部を粘性流体モデル１６の領域Ｍとして混在配置される。境界面Ｓは、粘性流体モデル１６及び気相モデル１７の充填率に基づいて設定される。また、境界面Ｓのレベルが変更されることにより、粘性流体モデル１６の充填率が調節されてもよい。これらの条件は、シミュレーションの目的等に応じて任意に定められる。

次に、本実施形態の解析方法では、コンピュータ６（図３に示す）が、ロータモデル１３の回転により、混練空間１４に配置された粘性流体モデル１６の流動計算を行う（シミュレーション工程Ｓ５）。流動計算では、上記特許文献１と同様に、流体の運動状態を特定する３方向（ｘ，ｙ，ｚ）の速度成分と、流体の内部状態を特定する未知量である圧力ｐ及び温度Tとが計算される。本実施形態の圧力ｐには、内壁面モデル１９の少なくとも粘性流体モデル１６が接触している部分の圧力を含んでいる。また、本実施形態では、非圧縮性流れの場合のNavier-Stoks方程式とし、粘性流体モデル１６及び気相モデル１７の各密度を一定としている。

本実施形態において、粘性流体モデル１６は、全温度領域で流体として扱われる。このため、流体の方程式（Navier-Stoks 方程式、質量保存式、エネルギー方程式の連立）を解くことになる。また、本実施形態では、粘性流体５（図２に示す）と空気（図示省略）との２つの流体を一度に扱う必要があるため、自由界面の流れの計算で用いられるＶＯＦ（Volume of Fluid）法が用いられる。ＶＯＦ法では、２つ流体（即ち、粘性流体５及び空気）の界面の移動を直接計算するのではなく、各要素（「セル」ということもある。）の体積中の流体の充填率（体積分率）を定義して自由界面を表現するものである。なお、支配方程式（運動方程式、質量保存式、エネルギー方程式、及び、体積分率輸送方程式）は、上記特許文献１に記載のとおりである。流動計算は、例えば、ANSYS社のFLUNETやCFX、又は、CD-adapoco社のSTAR-CCM+の汎用の流体解析ソフトウェアが用いられることにより、容易に計算されうる。

また、本実施形態において、支配方程式は、圧力ベースの分離型解法で解かれている。圧力方程式と運動方程式とのカップリングには、例えばSIMPLE（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations）アルゴリズムが用いられるのが望ましい。

上述したように、図２に示した粘性流体５の内壁面９でのせん断応力は、圧力依存性を有している。発明者らは、鋭意研究を重ねた結果、粘性流体が練られている混練状態において、ケーシング２の内壁面９に作用する圧力が負圧となる部分が生じることを知見した。このような部分では、粘性流体の一部が内壁面９に対して完全にスリップしており、粘性流体の内壁面９でのせん断応力がゼロになると推察される。本実施形態の解析方法では、ケーシング２の内壁面９の圧力が負圧となる部分で生じる粘性流体のスリップを考慮して、粘性流体の流動計算が行われる。図１２は、シミュレーション工程Ｓ５の処理手順の一例を示すフローチャートである。

本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、先ず、速度と圧力勾配の下限及び上限であるリミットを設定し、速度勾配及び圧力勾配が計算される（工程Ｓ５１）。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、最新の圧力場（本実施形態では、内壁面モデル１９の少なくとも粘性流体モデル１６が接触している部分の圧力ｐを含む）から離散化した運動方程式をセットアップし、反復法ソルバーを用いて、その解、即ち、粘性流体モデル１６（又は混相）の３方向の速度が計算される（工程Ｓ５２）。反復法としては、例えば、ガウス・ザイデル法等が挙げられる。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、上記速度が質量保存式を満たすか否かをチエックするために、先ず、混練空間１４（内壁面モデル１９）のセル表面における粘性流体モデル１６の修正前の質量流量が計算される（工程Ｓ５３）。質量流量は、質量保存則を満たすか否かを判定するために必要である。また、「修正前の質量流量」とあるのは、SIMPLEアルゴリズムのループの中で、最初に取り敢えず使用される質量流量であり、誤差が大きいので、「修正前」と表現されている。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、速度場と圧力場（本実施形態では、内壁面モデル１９の少なくとも粘性流体モデル１６が接触している部分の圧力ｐを含む）とを、前記SIMPLEアルゴリズムを用いてカップリングし、圧力場を修正するための下記のような圧力補正方程式が構築される（工程Ｓ５４）。
▽［ｋ▽φ］＝src

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、工程Ｓ５４で得られた圧力補正方程式が、例えばＡＭＧソルバー、ＣＧ又はＢｉ−ＣＧ等の反復法で計算され、圧力補正量ｐ’が求められる（工程Ｓ５５）。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、工程Ｓ５５で求められた圧力補正量ｐ’に基づいて、圧力場が修正される（工程Ｓ５６）。圧力場の補正は、次のように行われる。
ｐⁿ⁺¹＝ｐⁿ＋ωｐ’
ここで、ｐ：圧力（本実施形態では、内壁面モデル１９の少なくとも
粘性流体モデル１６が接触している部分の圧力を含む）
ｎ：現在のステップ数
ω：緩和係数
なお、本実施形態の緩和係数ωは、例えば０．３が採用されている。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、境界面の境界条件が修正（アップデート）される（工程Ｓ５７）。即ち、工程Ｓ５７では、修正された圧力場から圧力勾配が求められ、その圧力勾配が境界条件として与えられる。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、混練空間１４（内壁面モデル１９）のセル表面の質量流量が修正される（工程Ｓ５８）。修正は、次のように行われる。
ｍ_f ⁿ⁺¹＝ｍ_f*＋ｍ'_f
ここで、ｍ_f ⁿ⁺¹：修正後のセル表面の質量流量
ｍ_f*：修正前のセル表面の質量流量
ｍ'_f：質量流量の修正値

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、速度場が修正される（工程Ｓ５９）。速度場の修正は、例えば、次のようにして行われる。
ｖⁿ⁺¹＝ｖ*−（Ｖ▽ｐ'／∂p^V）
ここで、Ｖ：セルの体積
ｖ*：中間的な速度場（運動方程式から求めた補正前のもの）
∂p^V：運動方程式のマトリクスの対角成分
▽ｐ'：圧力補正量の勾配

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、エネルギー方程式を解くことにより、粘性流体モデル１６の温度及び粘度が求められる（工程Ｓ６０）。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、内壁面モデル１９のうち圧力ｐが負圧となる部分において、粘性流体モデル１６と内壁面モデル１９との間にスリップを生じさせる（工程Ｓ６１）。本実施形態の工程Ｓ６１では、先ず、内壁面モデル１９のうち圧力ｐが負圧となる部分が特定される。そして、本実施形態の工程Ｓ６１では、内壁面モデル１９のうち圧力ｐが負圧となる部分の壁面せん断応力τw（上記式（２）に示す）がゼロに定義（修正）される。これにより、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、後述の下記式（３）で計算される壁面スリップ速度ｖ_slipが、内壁面モデル１９の移動速度ｖ_wall（本実施形態では、内壁面モデル１９の半径と、ロータモデル１３の角速度とを乗じたもの）と同一の値となる。従って、シミュレーション工程Ｓ５では、粘性流体モデル１６と内壁面モデル１９との間に、スリップを生じさせる（完全スリップ状態にする）ことができる。ゼロに定義された壁面せん断応力τwは、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、粘性流体モデル１６の壁面スリップ速度ｖ_slipが下記式（３）で計算される（工程Ｓ６２）。

上記式（３）において、本実施形態の内壁面モデル１９の移動速度ｖ_wallは、上述したように、内壁面モデル１９の半径と、ロータモデル１３の角速度とを乗じたものである。また、上記式（３）において、係数Ｆ_slipの値が大きくなるほど、内壁面モデル１９に対するスリップが小さい粘性流体モデル１６の壁面スリップ速度ｖ_slipが計算される。

上述したように、工程Ｓ６１では、内壁面モデル１９のうち圧力ｐが負圧となる部分の壁面せん断応力τw（上記式（２）に示す）がゼロに定義（修正）されている。これにより、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、粘性流体モデル１６と内壁面モデル１９との間の完全スリップ状態を考慮した流動計算を行うことができる。

このように、本実施形態の解析方法では、図２に示したケーシング２の内壁面９の圧力が負圧となる部分で生じる粘性流体５のスリップを考慮して、粘性流体５の流動計算が可能となる。従って、本実施形態の解析方法では、上述のような現象を考慮することなく流動計算を行っていた上記特許文献１の解析方法に比べて、粘性流体５の状態の解析精度を向上させることができる。

次に、本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、これらの解が収束したか否かが判断される（工程Ｓ６３）。収束条件については、適宜設定することができる。工程Ｓ６３では、例えば、修正された質量流量の総量が、予め定められた誤差の範囲内に留まったか否かにより、解が収束したか否かが判断される。

工程Ｓ６３において、解が収束したと判断された場合（工程Ｓ６３で、「Ｙ」）、次の工程Ｓ６４が実施される。他方、工程Ｓ６３において、収束していないと判断された場合（工程Ｓ６３で、「Ｎ」）には、工程Ｓ５１〜工程６３が再度実施される。これにより、シミュレーション工程Ｓ５では、解を確実に収束させることができる。

工程Ｓ６４では、次の時刻（本実施形態では、シミュレーションの１タイムステップ分進めた時刻）に移動させる。次に、シミュレーション工程Ｓ５では、指定された時刻に至っているか否かが判断される（工程Ｓ６５）。時刻については、適宜設定することができる。

工程Ｓ６５において、指定された時刻に至っていると判断された場合（工程Ｓ６５で、「Ｙ」）、シミュレーション工程Ｓ５の一連の処理が終了する。他方、工程Ｓ６５において、指定された時刻に至っていないと判断された場合（工程Ｓ６５で、「Ｎ」）、再び、工程Ｓ５１〜工程６３が再度実施される。これにより、シミュレーション工程Ｓ５では、指定された時刻までの間、図２に示したロータ３、３の回転による粘性流体５の流動計算が可能となる。

本実施形態のシミュレーション工程Ｓ５では、上記特許文献１と同様に、粘性流体モデル１６のみに限定して、せん断発熱（即ち、「せん断粘度」に「せん断速度」の二乗を乗じたもの）の計算が行われてもよい。これにより、シミュレーション工程Ｓ５では、温度の計算（エネルギー方程式）に悪影響が与えられるのを防ぐことができるため、計算の安定化を図ることができる。

次に、図４に示されるように、本実施形態の解析方法では、混練機１（図１に示す）の混練性能が、良好か否かが評価される（工程Ｓ６）。工程Ｓ６では、例えば、混練空間１４の粘性流体モデル１６の圧力ｐや、ロータモデル１３のトルク等の物理量に基づいて、混練機１の混練性能が評価される。本実施形態では、図２に示したケーシング２の内壁面９の圧力が負圧となる部分で生じる粘性流体５のスリップを考慮した流動計算を行うことができるため、粘性流体モデル１６の混練状態を正確に評価することができる。

工程Ｓ６において、混練機１（図１に示す）の混練性能が良好であると評価された場合（工程Ｓ６で、「Ｙ」）、流動計算に用いられた混練機モデル１１（図６に示す）に基づいて、混練機１が製造される（工程Ｓ７）。他方、工程Ｓ６において、混練機１の混練性能が良好でないと評価された場合（工程Ｓ６で、「Ｎ」）、混練機１の設計因子や練条件が変更され（工程Ｓ８）、工程Ｓ１〜工程Ｓ６が再度実行される。これにより、本実施形態の解析方法では、混練性能が良好な混練機１を確実に設計することができる。

本実施形態の解析方法では、混練空間１４内に、粘性流体モデル１６及び気相モデル１７が定義されたが、このような態様に限定されるわけではない。例えば、混練空間１４内に粘性流体モデル１６のみが定義されてもよい。これにより、混練空間１４の計算対象を、粘性流体モデル１６のみに限定されるため、計算負荷を小さくすることができる。さらに、混練空間１４内に粘性流体モデル１６のみが充填される場合、ＶＯＦ法を省略して有限体積法のみで計算することができるため、計算負荷を小さくすることができる。

以上、本発明の特に好ましい実施形態について詳述したが、本発明は図示の実施形態に限定されることなく、種々の態様に変形して実施しうる。

図１に示した基本構造を有する混練機が製造された（実験例）。実験例の混練機には、ケーシングの内壁面に圧力センサーが埋め込まれた。この圧力センサーは、内壁面に接触している粘性流体の圧力を測定するためのものである。そして、実験例では、混練空間に充填された粘性流体が混練され、ロータのトルクが測定された。

図４、図５に示した処理手順に基づいて、ケーシングモデル、ロータモデル及び粘性流体モデルがコンピュータに入力する工程と、コンピュータが、粘性流体モデルを混練空間に配置して、ロータモデルの回転による粘性流体モデルの流動計算を行うシミュレーション工程とが実施された（実施例、比較例）。

実施例のシミュレーション工程では、図１２に示した処理手順に従って、内壁面モデルの少なくとも粘性流体モデルが接触している部分の圧力を計算する工程と、内壁面モデルのうち圧力が負圧となる部分において、粘性流体モデルと内壁面モデルとの間にスリップを生じさせる工程とが実施された。他方、比較例では、上記特許文献と同様に、実施例のスリップを生じさせる工程が実施されなかった。

そして、実施例及び比較例では、流動計算において、ロータモデルのトルクが計算された。共通仕様は、次のとおりである。
混練機（混練機モデル）：
ロータ（ロータモデル）の個数：２個
一方のロータ（ロータモデル）の回転数：４２rpm
他方のロータ（ロータモデル）の回転数：３８rpm
粘性流体（粘性流体モデル）の充填率：７０％

図１３は、ロータ（ロータモデル）のトルクと時刻との関係を示すグラフである。図１３では、テストの結果、実施例の計算結果は、比較例の計算結果に比べて、実験例の測定結果に近似させることができた。従って、実施例は、比較例に比べて、粘性流体の状態の解析精度を向上しうることが確認できた。

１２ ケーシングモデル
１３ ロータモデル
１６ 粘性流体モデル
１９ 内壁面モデル

Claims (1)

1. 実質的に閉鎖された混練空間を画定する内壁面を具えたケーシングと、前記混練空間内で回転するロータとを有する混練機で練られる粘性流体の状態を、コンピュータを用いて解析するための方法であって、
   前記コンピュータに、前記ケーシング、前記ロータ及び前記粘性流体を、それぞれ有限個の要素で離散化したケーシングモデル、ロータモデル及び粘性流体モデルを入力する工程と、
   前記コンピュータが、前記粘性流体モデルを前記混練空間に配置して、前記ロータモデルの回転による前記粘性流体モデルの流動計算を行うシミュレーション工程とを含み、
   前記ケーシングモデルは、前記ケーシングの内壁面を定義した内壁面モデルを有し、
   前記シミュレーション工程は、前記内壁面モデルの少なくとも前記粘性流体モデルが接触している部分の圧力を計算する工程と、
   前記内壁面モデルのうち前記圧力が負圧となる部分において、前記粘性流体モデルと前記内壁面モデルとの間にスリップを生じさせる工程とを含み、
   前記スリップを生じさせる工程は、前記粘性流体モデルの前記内壁面モデルでの壁面せん断応力をゼロに定義する粘性流体の混練状態の解析方法。

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