JP4433769B2 - 非線形有限要素解析装置及び方法、コンピュータプログラム、記録媒体 - Google Patents

Description

本発明は、非線形有限要素解析を行う装置並びに方法、及び、この方法を実行するコンピュータプログラム並びにこのプログラムを記録した記録媒体に関する。

物体に作用する外力がある大きさを超えると、構成材料に局部的な破壊が生じて、変形が徐々に大きくなり、最終的には物体全体が崩壊する。このような物体の挙動を解析するため、従来より非線形有限要素解析が用いられている。この解析手法は、解析対象を要素に分割してモデル化し、物体に作用する外力により各要素に生ずるひずみや応力を逐次計算して、破壊に至る過程を計算する。このような非線形有限要素解析を正確に行うには、各要素毎に、その応力状態に応じて変化する剛性を逐次評価することが必要であり、そのためには、各要素がこれまでに経験したひずみや応力の履歴を記憶することが必要である。

そこで、従来の非線形有限要素解析では、各要素に複数（例えば２次元平面要素では４個、３次元立体要素では８個）の積分点を設定して、それら積分点での履歴情報を記憶し、積分点において履歴を考慮して求めた剛性を用いて要素全体の剛性を評価している。また、非特許文献１では、各要素の積分点を１点のみとする解析手法が提案されている。
Guo-xiong Yu 外２名，"The One-Point Integration Rule in Nonlinear Finite Element Analysis"，コンクリート工学年次論文報告集，社団法人日本コンクリート工学協会，１９９４年，第１６巻，第２号，ｐ．１１７−１２２

上述のように、非線形有限要素解析では、各要素に設定した積分点毎にひずみや応力の履歴を記憶し、その履歴を用いて積分点での剛性を逐次評価しなければならない。このような履歴に基づく剛性の評価には多くの計算処理が必要である。そのため、従来のように各要素に複数の積分点を設定すると、多数の要素について各積分点での剛性評価を行うことは非常に大きな計算負荷となり、また、積分点の履歴を記憶するための記憶容量も膨大となる。一方、上記非特許文献１で提案されるように積分点を各要素に１点のみとしたのでは、要素の動きが不安定になり易く、実用的ではない。

本発明は上記の点に鑑みてなされたものであり、解析に必要な計算量や記憶容量を抑えつつ高い精度で非線形有限要素解析を行えるようにすることを目的とする。

上記の目的を達成するため、本発明は、非線形有限要素解析を行うための装置であって、
解析対象の有限要素モデル及び荷重条件の入力を受け付ける入力手段と、
解析対象の変形挙動特性を表す特性情報が記憶された特性情報記憶部と、
前記入力された有限要素モデルの各要素について積分点よりも少ない個数だけ設定された剛性評価点における、解析計算の過程での変形履歴を表す履歴情報を記憶するための履歴情報記憶部と、
前記入力された有限要素モデルの各要素の各積分点の剛性に基づいて剛性行列を生成し、この剛性行列で規定される剛性方程式の解を計算する有限要素計算部と、
前記有限要素計算部により計算された剛性方程式の解に基づいて各要素の前記積分点及び前記剛性評価点での応力を計算する応力計算部と、
前記特性情報記憶部に記憶された特性情報と、前記履歴情報記憶部に記憶された履歴情報とを参照して、各要素の前記剛性評価点での剛性変化を判別し、その剛性変化に応じた応力修正量を計算する修正量計算部と、
前記剛性評価点での応力修正量に基づいて、同じ要素内の各積分点での応力を修正する応力修正部と、
各剛性評価点と同じ有限要素モデルの同じ要素に属する積分点の剛性を、当該剛性評価点について前記特性情報及び前記履歴情報から求められる剛性修正量と同じ量だけ変化させることにより、前記前記剛性行列を修正する剛性修正部と、
前記剛性評価点について、前記有限要素計算部で計算された解から求められるひずみ及び前記応力修正部で計算された応力修正量で修正された応力を、その変形履歴として前記履歴情報記憶部に格納する履歴格納部と、
前記応力修正部が修正した各積分点の応力に基づいて前記有限要素モデル全体の内力を計算し、この内力と外力とが釣り合ったかどうかを計算する釣り合い判定部と、を備え、
前記釣り合い判定部により内力と外力とが釣り合ったと判定されるまで、前記有限要素計算部、前記応力計算部、前記修正量計算部、前記応力修正部、前記剛性修正部、及び前記履歴格納部による処理を繰り返すことを特徴とする。

本発明によれば、解析に必要な計算量や記憶容量を抑えつつ高い精度で非線形有限要素解析を行うことができる。

図１は、本発明の一実施形態である非線形有限要素解析システム１０（以下、解析システム１０と略称する）の構成図である。同図に示すように、解析システム１０は、ＣＰＵ１２、ＲＯＭやＲＡＭ等のメモリやハードディスク装置等を含む記憶部１４、ディスプレイ装置１６、キーボードやマウス等の入力装置１８を備えるコンピュータシステムにより構成されている。記憶部１４には、解析プログラム２０がインストールされており、ＣＰＵ１２がこの解析プログラム２０を実行することにより解析システム１０としての機能が実現される。

記憶部１４には、また、特性情報記憶部２２及び履歴情報記憶部２４が設けられている。特性情報記憶部２２には、解析対象を構成する材料の応力ひずみ線図など、解析対象の変形特性を表す特性情報が記憶されている。また、履歴情報記憶部２４には、後述するように、解析プログラム２０の実行の過程で計算される各要素の中心点のひずみや応力等の履歴情報が記憶されていく。

図２は、特性情報記憶部２２に記憶される特性情報、及び、履歴情報記憶部２４に記憶される履歴情報を説明するための図である。同図に示すように、特性情報としては例えば応力ひずみ線図が記憶され、履歴情報として、黒丸Ｓ１〜Ｓ５で示すように、応力ひずみ線図の上をどのような経路で移動してきたかの履歴が記憶される。例えば、同図において、ひずみが同じε_０である状態Ｓ２と状態Ｓ５とでは応力及び剛性（すなわち、応力ひずみ線図の勾配）は異なっているが、履歴情報に基づいて現在の状態がＳ２又はＳ５の何れであるかを判別して、現在の応力及び剛性の値を正確に把握できるのである。後述するように、本実施形態では、各要素の中心点（以下、要素中心点という）の履歴情報を履歴情報記憶部２４に記憶するものとしている。

図３は、ＣＰＵ１２が実行する解析プログラム２０の処理手順を示すフローチャートである。このフローチャートは、解析対象に静的荷重が作用した場合にその解析対象に生ずるひずみや応力を計算すべく、荷重値を所定の増分値ずつ増加させながら解析計算を行う場合の手順を示している。

図３に示す如く、先ず、ステップ１００において、解析対象の有限要素モデルの節点情報が入力され、ステップ１０２において、同有限要素モデルの要素情報が入力される。この要素情報には、各要素を構成する節点番号や、積分点及び要素中心点の座標、要素中心点の剛性等の情報が含まれる。さらに、ステップ１０４において、解析対象に作用する荷重条件を表すデータが入力される。なお、ステップ１００〜１０４での情報入力は入力装置１８から行われものしてもよいし、ネットワーク経由で外部システムから入力されるものとしてもよい。

ステップ１０６では、荷重の増分が計算される。
ステップ１０８では、各要素の各積分点の剛性を、同じ要素の要素中心点の剛性と同じ値に設定し、それら積分点の剛性に基づいて、要素剛性行列が作成される。
ステップ１１０では、要素剛性行列に基づいて全体剛性行列が組み立てられ、ステップ１１２で、この全体剛性行列で規定される剛性方程式の解が計算される。
ステップ１１４では、計算された剛性方程式の解から各要素のひずみが計算され、計算されたひずみに各要素の剛性を掛けることにより各要素の応力が計算される。以下、本ステップ１１４で計算された応力を仮定応力という。

ステップ１１６では、各要素の要素中心点での仮定応力σ_０の修正量Δσ_０が計算される。具体的には、特性情報記憶部２２に記憶された特性情報と履歴情報記憶部２４に記憶された要素中心点の履歴情報とを参照して、要素中心点での剛性変化を判別し、その剛性変化に応じた修正量Δσ_０が計算される。なお、仮定応力σ_０及びその修正量Δσ_０は応力成分毎に求められるが、夫々の応力成分ｋをσ_ｋ，０及びΔσ_ｋ，０で表すものとする。

ステップ１１８では、各要素について、上記修正量Δσ_ｋ，０を用いて、各積分点Ｐ_ｉ（ｉ＝１〜ｎ；ｎは各要素の積分点の個数）における応力成分ｋの仮定応力σ_ｋ，ｉが修正される。具体的には、積分点Ｐ_ｉにおける応力成分ｋの応力修正量Δσ_ｋ，ｉが次式で計算され、これを仮定応力σ_ｋ，ｉに加えることにより応力修正が行われる。

Δσ_ｋ，ｉ＝σ_ｋ，ｉ・Δσ_ｋ，０／σ_ｋ，０
ただし、以下の場合（１）〜（４）には、Δσ_ｋ，ｉ＝Δσ_ｋ，０とする。なお、以下においてβ，γ、αは解析対象の材質等に応じて適宜設定される値である。

（１）要素中心点の応力が非常に小さい場合、つまり、
｜σ_０｜＜βの場合
この場合は、要素の両側の積分点で応力の符号が逆向きとなり、中心点での応力σ_０が小さくなったものと考えられる。したがって、このように小さな応力σ_０を用いて応力修正を行うと計算精度が低下するため、Δσ_ｋ，ｉ＝Δσ_ｋ，０とする。

（２）要素中心点の応力修正量が修正前の応力に比較して大きい場合、つまり、
｜Δσ_０｜＞γ｜σ_０｜の場合
この場合は、Δσ_ｋ，０をそのまま用いて応力修正を行うと、修正量が大きくなり過ぎると考えられるため、Δσ_ｋ，ｉ＝Δσ_ｋ，０とする。

（３）修正前後で要素中心点の応力の符号が変わる場合、つまり、
σ_ｋ，０・（σ_０＋Δσ_０）＜０の場合
この場合も（１）と同様に、中心点での応力σ_０が小さくなったものと考えられるので、Δσ_ｋ，ｉ＝Δσ_ｋ，０とする。

（４）要素中心点の応力が積分点の応力よりも極端に小さい場合、つまり、要素内の全積分点における応力成分ｋの最大値及び最小値を夫々σ_{ｋ，ｍａｘ}、最大値σ_{ｋ，ｍｉｎ}として、
｜σ_{ｋ，ｍａｘ}／σ_０｜≧α かつ ｜σ_{ｋ，ｍｉｎ}／σ_０｜≧αの場合
この場合も（１）と同様に、中心点での応力σ_０が小さくなったものと考えられるので、Δσ_ｋ，ｉ＝Δσ_ｋ，０とする。

次に、ステップ１２０では、上記のように修正された各積分点の応力に基づいて各節点の力が成分毎に計算され、ステップ１２２では、解析対象モデル全体について各成分毎に、全節点の力の合計（すなわち内力）と外力との差（以下、不釣合い力という）が計算される。そして、ステップ１２４では、不釣合い力の全成分が所定の微小値δ以下になったかどうかが判別される。その結果、不釣合い力の全成分がδ以下であれば、計算が収束したと判断されて、ステップ１２６において、計算結果が現在の荷重値と共に画面出力され、ステップ１２８で、各要素の要素中心点のひずみ及び応力の値が履歴情報として履歴情報記憶部２４に格納される。そして、ステップ１３０で荷重が最終値に達したかどうかが判別され、最終値に達していなければ、ステップ１０６へ戻り、次の増分値を計算して、ステップ１０８以降の計算が繰り返される。

一方、ステップ１２４において、不釣合い力の何れかの成分がδより大きい場合には、ステップ１０８へ戻り、要素剛性行列が再作成される。すなわち、ステップ１０８では、上記ステップ１１６で判別された要素中心点の剛性変化と同じだけ各積分点の剛性が変化したものとして、要素剛性行列が修正されることになる。以後、再作成された要素剛性行列に基づいて上記ステップ１１８以後の処理が繰り返される。

図４は、本実施形態の解析システム１０による解析結果の一例を示す。なお、図４では、解析システム１０による解析結果を実線で、従前のように、各要素積分点での履歴を考慮して計算した解析結果を破線で示している。また、図５は、図４に示す解析計算の対象としたコンクリート部材１００の構成を示す図であり、図５（ａ）は正面図、同（ｂ）はＡ−Ａ断面図、同（ｃ）は側面図である。図４は、このコンクリート部材１００のスラブ１０２に水平力を加えていったときのスラブ１０２の水平変位量を解析した結果であり、この結果から分る通り、解析システム１０による解析結果は、従前の解析方法による解析結果とほぼ一致している。

以上説明したように、本実施形態によれば、履歴情報を記憶し、その履歴情報に基づいて剛性評価を行う点を各要素につき要素中心点の一点のみとして、この要素中心点で評価された剛性を同じ要素内の積分点の剛性として用いることにより、従前の手法に比べてコンピュータの計算処理量及び記憶容量を大幅に削減しつつ、従前のように複数の積分点での履歴を用いた場合と同程度の高い精度で非線形有限要素解析を行うことができる。

本発明の一実施形態である非線形有限要素解析システムの構成図である。 特性情報記憶部に記憶される特性情報、及び、履歴情報記憶部に記憶される履歴情報を説明するための図である。 本実施形態においてＣＰＵが実行する解析プログラムの処理手順を示すフローチャートである。 本実施形態の解析システムによる解析結果の一例を示す図である。 図４における解析対象の構成を示す図であり、同図（ａ）は正面図、同図（ｂ）は水平断面図、同図（ｃ）は側面図である。

符号の説明

１０ 非線形有限要素解析システム
１２ ＣＰＵ
１４ 記憶部
１６ ディスプレイ装置
１８ 入力装置
２０ 解析プログラム
２２ 特性情報記憶部
２４ 履歴情報記憶部

Claims (5)

1. 非線形有限要素解析を行うための装置であって、
   解析対象の有限要素モデル及び荷重条件の入力を受け付ける入力手段と、
   解析対象の変形挙動特性を表す特性情報が記憶された特性情報記憶部と、
   前記入力された有限要素モデルの各要素について積分点よりも少ない個数だけ設定された剛性評価点における、解析計算の過程での変形履歴を表す履歴情報を記憶するための履歴情報記憶部と、
   前記入力された有限要素モデルの各要素の各積分点の剛性に基づいて剛性行列を生成し、この剛性行列で規定される剛性方程式の解を計算する有限要素計算部と、
   前記有限要素計算部により計算された剛性方程式の解に基づいて各要素の前記積分点及び前記剛性評価点での応力を計算する応力計算部と、
   前記特性情報記憶部に記憶された特性情報と、前記履歴情報記憶部に記憶された履歴情報とを参照して、各要素の前記剛性評価点での剛性変化を判別し、その剛性変化に応じた応力修正量を計算する修正量計算部と、
   前記剛性評価点での応力修正量に基づいて、同じ要素内の各積分点での応力を修正する応力修正部と、
   各剛性評価点と同じ有限要素モデルの同じ要素に属する積分点の剛性を、当該剛性評価点について前記特性情報及び前記履歴情報から求められる剛性修正量と同じ量だけ変化させることにより、前記前記剛性行列を修正する剛性修正部と、
   前記剛性評価点について、前記有限要素計算部で計算された解から求められるひずみ及び前記応力修正部で計算された応力修正量で修正された応力を、その変形履歴として前記履歴情報記憶部に格納する履歴格納部と、
   前記応力修正部が修正した各積分点の応力に基づいて前記有限要素モデル全体の内力を計算し、この内力と外力とが釣り合ったかどうかを計算する釣り合い判定部と、を備え、
   前記釣り合い判定部により内力と外力とが釣り合ったと判定されるまで、前記有限要素計算部、前記応力計算部、前記修正量計算部、前記応力修正部、前記剛性修正部、及び前記履歴格納部による処理を繰り返すことを特徴とする非線形有限要素解析装置。
2. 前記剛性評価点は各要素の中心点であることを特徴とする請求項１記載の非線形有限要素解析装置。
3. 解析対象の変形挙動特性を表す特性情報が記憶される特性情報記憶部と、剛性評価点における、解析計算の過程での変形履歴を表す履歴情報を記憶するための履歴情報記憶部とを備えるコンピュータにより非線形有限要素解析を行う方法であって、前記コンピュータが
   解析対象の有限要素モデル及び荷重条件の入力を受け付ける入力ステップと、
   前記入力された有限要素モデルの各要素の各積分点の剛性に基づいて剛性行列を生成し、この剛性行列剛性方程式の解を計算する有限要素計算ステップと、
   前記有限要素計算ステップで計算された剛性方程式の解に基づいて各要素の前記積分点及び積分点よりも少ない個数だけ設定された剛性評価点での応力を計算する応力計算ステップと、
   前記特性情報記憶部に記憶された特性情報と、前記履歴情報記憶部に記憶された履歴情報とを参照して、各要素の前記剛性評価点での剛性変化を判別し、その剛性変化に応じた応力修正量を計算する修正量計算ステップと、
   前記剛性評価点での応力修正量に基づいて、同じ要素内の各積分点での応力を修正する応力修正ステップと、
   各剛性評価点と同じ有限要素モデルの同じ要素に属する積分点の剛性を、当該剛性評価点について前記特性情報及び前記履歴情報から求められる剛性修正量と同じ量だけ変化させることにより、各要素評価点の剛性を修正する剛性修正ステップと、
   前記修正した各積分点の応力に基づいて、前記有限要素モデルの内力を計算し、この内力と外力とが釣り合ったかどうかを計算する釣り合い判定ステップと、
   前記剛性評価点について、前記有限要素計算ステップで計算された解から求められるひずみ及び前記応力修正ステップで計算された応力修正量で修正された応力を、その変形履歴として前記履歴情報記憶部に格納する履歴格納ステップと、を実行し、
   前記釣り合い判定ステップにて内力と外力とが釣り合ったと判定されるまで、前記有限要素計算ステップ、前記応力計算ステップ、前記修正量計算ステップ、前記応力修正ステップ、前記剛性修正ステップ、及び前記履歴格納ステップを繰り返すことを特徴とする非線形有限要素解析方法。
4. 請求項３記載のプログラムを前記コンピュータに実行させるためのプログラム。
5. 請求項４記載のプログラムを記録した記録媒体。

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