JP2732711B2

JP2732711B2 - 多次元情報表示方法および装置

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Publication number: JP2732711B2
Application number: JP40408790A
Authority: JP
Inventors: 久典野中; 康弘小林
Original assignee: Hitachi Ltd
Current assignee: Hitachi Ltd
Priority date: 1990-12-20
Filing date: 1990-12-20
Publication date: 1998-03-30
Anticipated expiration: 2013-03-30
Also published as: US5408596A; JPH04219862A

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は多次元情報の表示方法な
らびに装置に係り、特に最適制御、最適設計等の最適化
計算の結果の表示に好適な多次元情報表示方法に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】従来の多次元情報表示方法としては、レ
ーダーチャート、チャーノフの顔グラフ、星座グラフ等
が考案されており（脇本，他２名：多変量グラフ解析
法，朝倉書店，１９７９）、また、折線の属性に多次元
の情報を付与して表示する方法も知られている(R.M.Pic
kett,G.G.Grinsteinの論文「アイコノグラフィック・デ
ィスプレイ・フォー・ビジュアライジング・マルチディメ
ンジョナル・データ(Icongraphic Displays for Visuali
zing Multidimensional Data)」Proc.IEEE Int.Conf.Sy
st.Man,Cybern,第514頁〜第519頁,1988)。これらの表示
法によると、一つまたは二つ以上の点がその属性として
持つ複数の情報を表わすことができる。例えば顔グラフ
では、単純化された顔の絵を用いて、目の大きさや傾
き、顔の輪郭等で一つの点に関する複数の情報が定量的
に表現される。

【０００３】なお、多次元とは、一般に２次元以上の次
元をいう。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】従来の多次元情報表示
方法では、有限個の点が持つ複数の情報を表現すること
はできるが、多次元空間内における情報の連続的変化の
状況を表わすことはできない。例えば、多次元空間内の
任意の一点の周りの多変数関数の値の増減状況を表示し
ようとした場合に、従来の多次元情報表示方法を直接適
用することは困難である。このため、従来は多次元空間
を任意の一点を含む直線や平面で切断し、その切断面に
おける関数の値の増減の状況を描くという手法が採られ
ていた（例えば、特開平1-273102号公報参照)。

【０００５】しかし、この手法では、多次元空間を二つ
の座標軸によって張られる平面によって切断する場合、
座標軸の数をｎとすると平面の数はnＣ₂となる。従っ
て、ｎ＝１００では４９５０枚もの別個の平面図が必要
となり、ユーザが多次元空間における関数値の増減状況
を直感的に把握する上で障害となる。

【０００６】本発明は、以上のような問題点を解消し、
多次元空間における関数値の増減状況の直感的把握に役
立つ多次元情報表示方法および装置を提供することを目
的とする。

【０００７】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、本発明による多次元情報表示方法は、多変数関数の
定義域として定まる多次元空間内に存在する任意の一点
の周囲の一つ以上の点における前記多変数関数の値を表
示する方法であって、表示面を複数の領域に分割し、該
複数の領域を、前記多次元空間内の前記一点を頂点とす
る複数の象限にそれぞれ対応付け、前記一点の周囲にあ
る象限上の点における前記多変数関数の値を、該点に対
応する前記領域上の一点の位置に表示するようにしたも
のである。

【０００８】前記表示面は、好ましくは、一点から放射
状に伸びる複数の線で複数の領域に分割される。

【０００９】前記多変数関数の値の表示は、例えば、一
定値きざみの関数値をとる点の位置に指標を表示するこ
とにより行う。この指標は、好ましくは、関数値の増減
方向を示すものである。

【００１０】また、前記多変数関数の値の表示として
は、該値の大きさに応じて表示色を変化させて行うこと
もできる。

【００１１】前記領域と象限との対応付けは、前記多次
元空間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二
つの領域同士が隣接するように行うことが望ましい。そ
のためには、オイラー閉路を求めるアルゴリズムを利用
することができる。

【００１２】本発明による多次元情報表示方法は、他の
見地によれば、多変数関数の定義域として定まる多次元
空間内に存在する任意の一点の周囲における前記多変数
関数の値の増減状況を表示する方法であって、前記任意
の一点を頂点とする各象限上における複数の点の関数値
を計算する第１のステップと、該第１のステップの計算
結果に基づき、前記各象限上における関数値の増減状況
を出力装置に表示する第２のステップとを備えたもので
ある。

【００１３】この第２のステップでは、例えば、出力装
置上に円を描き、該円を中心点の周りに分割して扇形を
生成し、該生成した扇形上に当該象限上における関数値
の増減状況を表示する。

【００１４】前記第２のステップでは、前記各象限上に
おける関数値の増減状況を等高線、表示色の変化、三次
元メッシュ図、鳥瞰図の少なくとも一つで表わすことも
できる。

【００１５】本発明による多次元情報表示装置は、前記
いずれかに記載の多次元情報表示方法を用いて画像デー
タを作成するためのプログラム、前記多変数関数の式、
および前記多次元空間内の任意の一点の座標を格納する
記憶装置と、前記プログラムを実行し、画像データを作
成する中央処理装置と、該作成された画像データに基づ
いて画像を表示する画像出力装置とを備えたものであ
る。

【００１６】本発明による非線形最適化計算結果の検証
装置は、与えられた多変数関数の最適解を求める最適化
計算装置と、該非線形最適化計算装置により求められた
解の周囲における前記多変数関数の増減状況を表示する
前記多次元情報表示装置と、オペレータが表示範囲を決
定するための情報を入力する入力手段とを備え、オペレ
ータが対話的に表示範囲を調整して、前記求められた解
が鞍点か否かおよび当該解の近傍に別の解が存在するか
否かを確認するようにしたものである。

【００１７】本発明による多変数関数の最適化装置は、
多次元空間内の任意の一点の座標を指定するための入力
手段と、該入力手段により与えられた一点の周囲の多変
数関数の増減状況を表示する前記多次元情報表示装置と
を備え、オペレータが前記入力手段を介して前記一点の
座標を指定し、該座標を中心点とする多次元空間表示を
行い、オペレータがその結果を参照して中心点の座標を
変更し、最終的に所望の関数値を与える座標を得るよう
にしたものである。

【００１８】本発明による最適制御装置は、制御対象の
制御変数を入力変数とする多変数関数で表わす手段と、
該多変数関数を最適化する前記多変数関数の最適化装置
と、最適化の結果に基づいて制御を実行する手段とを備
えるものである。

【００１９】本発明による資源の最適配分装置は、複数
の資源の投入量に依存して出力量の定めるシステムにお
いて、前記複数の資源の投入量を入力変数とする多変数
関数で前記出力量を表わす手段と、該多変数関数の値を
最大化する前記多変数関数の最適化装置と、最適化の結
果に基づいて前記出力量を最大とする前記資源の配分を
出力する手段とを備えたものである。

【００２０】本発明による多次元象限展開方法は、ｎ次
元（ｎは次元数を示し、２以上の整数）空間内の任意の
一点を頂点とする４×nＣ₂個の象限を表示面に展開する
方法であって、表示面を、一点から放射状に伸びる４×
nＣ₂個の線で複数の領域に分割し、該複数の領域をそれ
ぞれ前記多次元空間内の任意の一点を頂点とする複数の
象限に対応付け、かつ、該対応付けは、前記多次元空間
内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二つの領
域同士が隣接するように行うようにしたものである。

【００２１】本発明による制御パラメータ決定装置は、
システムの制御パラメータを決定する制御パラメータ決
定装置であって、システムの入力パラメータ（およびシ
ステムで検出されたフィードバックパラメータ）に基づ
いて制御パラメータを決定する制御パラメータ決定手段
と、該制御パラメータの妥当性を検証する請求項１１記
載の多次元情報表示装置とを備えたものである。

【００２２】

【作用】本発明によれば、次元の数に係わらず、多次元
空間内の任意の一点を頂点とするすべての象限を一つの
平面上に展開することができ、かつ、各象限上の任意の
点を前記平面上の対応する領域内の一点に対応づけるこ
とができる。したがって、前記多次元空間内の任意の一
点の周囲にある各象限上の複数の点における多変数関数
の値を、その点が属する象限に対応する前記領域内の対
応点に表示することにより、多次元情報を一つの平面図
に描くことが可能になる。その結果、多次元空間におけ
る任意の一点の周りにおける関数値の増減状況を直感的
に把握することが可能となる。

【００２３】関数値の表示の手法としては、等高線によ
る表示、色（濃淡を含む）の変化による表示、三次元メ
ッシュ、鳥瞰図等による平面上での３次元表示が考えら
れる。その他、表面の凹凸を制御できるような立体的な
表示手段を利用すれば、その表面に関数値に応じた凹凸
を形成するような立体的な表示も可能である。

【００２４】領域と象限との対応付けは、前記多次元空
間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二つの
領域同士が隣接するように行うことにより、表示面上の
分割された領域の境界で等高線が連続し、関数値の増減
状況の把握が容易になる。

【００２５】本発明は、多変数関数の値が最小（極小を
含む）または最大（極大を含む）となる入力変数値の組
み合わせを求めるのに有用であり、プラントの最適制
御、機械，システム等の最適設計、その他各種の最適化
に応用できる。

【００２６】

【実施例】以下では、多次元空間内にある任意の一点を
中心点とする半径１の球の内部を該一点の近傍として定
義し、該近傍における多変数関数の値の変化状況を平面
上に描く場合を例にとり実施例を説明する。このように
して描いた図を本明細書では「多次元空間展開図」と呼
ぶ。なお、本実施例では、多変数関数は、非線形最適化
問題の目的関数である。

【００２７】なお、本実施例においては平面上の各領域
は、一つの円をその中心点の周りに分割して得られる扇
形であるとする。ただし、扇形以外の形状、例えば三角
形であってもよい。すなわち、一点から放射状に伸びる
複数の線で分割される領域であれば足りる。

【００２８】図２に本実施例による多次元情報表示装置
の計算機構成を示す。本実施例による計算機は、ディス
プレイまたはプリンタ等の出力装置１、画像データ作成
装置２、出力部３、ＣＰＵ（中央演算装置）４、ワーキ
ングメモリ５、および記憶部６から構成される。ワーキ
ングメモリ５は内部記憶装置に、記憶部６は外部記憶装
置にそれぞれ相当する。

【００２９】ＣＰＵ４は記憶部６より多次元情報表示用
のプログラム（図１、図１０および図１１に示す処理手
順）を逐次ワーキングメモリ５に呼出して実行し、多次
元空間展開図を描くための図形基礎データを作成する。
ここで図形基礎データとは、例えば出力装置１上でどの
位置にあるピクセルがオンになるかオフになるかを表わ
す論理情報である。該図形基礎データは出力部３を介し
て画像データ作成装置２に送られ、ここで画像データが
作成される。この画像データが出力装置１に出力され
る。出力装置１は、画像データに基づく所定の図形（多
次元空間展開図）を表示する。なお、前記図形基礎デー
タは、オンオフ情報に加えて、あるいは代えて色情報、
階調情報を含むものであってもよい。

【００３０】記憶部６は少なくとも、多変数関数の
式、多次元空間内における任意の一点の座標、および
多次元情報表示用プログラムを記憶する。なお、上記
のデータの全てあるいは一部をワーキングメモリ５に記
憶することもできる。

【００３１】多変数関数の式：本実施例では多変数関
数Ｆの一例として以下の関数を用いる。Ｆ＝(Ｘ１＋３・Ｘ２＋Ｘ３)²＋４・(Ｘ１−Ｘ２)² ここで、Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３は入力変数、Ｆは３変数の多
変数関数である。すなわち、Ｆの定義域は３次元空間で
ある。

【００３２】多次元空間内における任意の一点（例え
ば、出力装置１に表示される円の中心）の座標：本実施例では、該一点をＡ（０，０，０）とする。この
点の座標は図８に示すような入力装置８からオペレータ
が入力する。本実施例を非線形最適化装置に適用した場
合、点Ａは、目的関数である多変数関数の解の座標点と
なる。

【００３３】多次元情報表示プログラム：多次元情報
表示プログラムの処理内容を図１に示す。以下ではその
詳細を各ステップごとに説明する。（ｉ）ステップ１１円をその中心点の周りに複数個の扇形に分割した図を出
力装置１上に描くための図形基礎データを作成する。本
ステップの詳細を図１０に示す。ステップ１０１におい
て、出力装置１上における円の中心の座標に関するデー
タ、円の半径ｒに関するデータ、および円の分割数Ｎに
関するデータを入力し、記憶部６に記憶させる。これら
のデータは、オペレータが入力装置８から入力する。ま
た、これらのデータは、ＣＰＵ４が所定のプログラムを
用いて自動的に求めるようにすることも可能である。ス
テップ１０２において前記のデータに基づき、出力装置
１上で該円（半径ｒ）の円周上にあるピクセルをＯＮす
る図形基礎データを作成する。また、ステップ１０３に
おいては円周上の一点の座標を求め、ステップ１０４に
おいて円の中心と円周上の一点とを結ぶ線分を複数本引
いてなる扇形の図形基礎データを作成する。

【００３４】本実施例においてはこれらの扇形はｎ次元
空間内にある一点（前記の座標で与えられる点）の近
傍の象限にそれぞれ対応するものと考える。ｎ次元空間
において象限数は４×_nＣ₂で表されるから、３次元空間
においては象限の数は１２である。以下に３次元空間に
おける全ての象限を示す。ここで、例えば［Ｘ１，Ｘ
２］とは、ｎ次元空間内にある前記一点を頂点とし、Ｘ
１軸方向とＸ２軸方向とで張られる該一点を中心とする
象限を表わすものとする。

【００３５】３次元空間におけるすべての象限は次のと
おりである。［Ｘ１，Ｘ２］，［Ｘ１，Ｘ３］，［Ｘ１，−Ｘ２］，［Ｘ１，−Ｘ３］，［Ｘ２，Ｘ３］，［Ｘ２，−Ｘ１］，［Ｘ２，−Ｘ３］，［Ｘ３，−Ｘ１］，［Ｘ３，−Ｘ２］，［−Ｘ１，−Ｘ２］，［−Ｘ１，−Ｘ３］，［−Ｘ２，−Ｘ３］本実施例においてはすべての象限を平面上に表示するこ
とを考え、前記の円を１２等分して１２個の扇形を作成
する。すなわち、扇形と象限とは一対一に対応する。ま
た、図３に示すようにそれぞれの扇形に通し番号ｊを、
扇形の辺に通し番号ｍを与える。

【００３６】（ii）ステップ１２前記の１２個の扇形のそれぞれが３次元空間内の点Ａを
頂点とするどの象限に対応するかを決定する。ここで
は、あらかじめ扇形と象限との対応関係、および扇形の
辺と座標軸との対応関係が表１に示すように決定されて
いるとする。この扇形と象限との対応付けの手法につい
ては後述する。

【００３７】

【表１】

【００３８】本実施例では、この対応関係は、ｊをキー
として象限の名前を、ｍをキーとして座標軸の名前を、
また逆に象限の名前をキーとしてｊを、座標軸の名前を
キーとしてｍを得ることができるようなデータ構造でワ
ーキングメモリ５または記憶部６に記憶されるものとす
る。

【００３９】象限上の一点と扇形上の一点との対応付け
の例を図４を用いて説明する。図４は、［Ｘ１，Ｘ２］
上にある一点Ｂをｊ_[X1,X2]番目の扇形上の点Ｂ’に対
応付けた例である。点Ｂ’は等高線を構成する点のデー
タである。３次元空間における中心点Ａの座標を、（Ｘ
１ ^*，Ｘ２ ^*，Ｘ３ ^*）とすれば、点Ｂの座標は、（Ｘ１ ^*
＋Ｘ１，Ｘ２ ^*＋Ｘ２，Ｘ３）と表わせる。この点を図
４に示す座標変換により平面上の点Ｂ’（Ｘ，Ｙ）に対
応付けることができる。

【００４０】（iii）ステップ１３３次元空間における各象限上に存在する点における関数
Ｆの値を、該点に対応する扇形上の一点の位置に表示す
る。このステップ１３の詳細を図１１および図１２に示
す。図１１のステップ１１１において、初期値の設定を
行う。すなわち、図１１のステップ１１１に示す情報が
ＣＰＵから出力され、出力装置１に表示される。その情
報は、記憶部６に記憶されている。オペレータは、ステ
ップ１１１の情報に関するデータのうち既に与えられて
いるデータを除いて、出力装置１から該当するデータ等
を入力する。これらのデータが初期値として設定され
る。なお、Ｆ₀は中心点における多変数関数の値であ
る。ステップ１１１の情報に示されていないが、分割数
Ｋで分割される象限の半径方向の距離もオペレータは指
定する。この範囲が多次元空間展開図に表示される範囲
である。

【００４１】本実施例においては、象限の総数Ｎ＝１
２，各象限内において円周方向の分割数Ｍ＝４０，半径
方向の分割数Ｋ＝２００が設定されたとする。分割数Ｋ
およびＭに基づいて象限内にメッシュが形成される。次
に、ステップ１１２の処理が実行され、ｍ＞Ｍになるま
でステップ１１３の計算が繰り返される。なお、“φ”
は角度を表わす。ステップ１１４では、各象限内に形成
されるメッシュの１つの格子点に座標（例えばＢ）が与
えられる。ステップ１１５に示す式は、その座標に対応
する多変数関数の値を求めるためのものである。このよ
うにして、各象限を円周方向に４０等分した半径上で、
中心点から円周に向かって関数Ｆの値が逐次計算され
る。ステップ１１６は、ステップ１１５で得られた多変
数関数の値が中心点Ａにおける多変数関数値のよりも
０．５の倍数だけ大きくなる（あるいは小さくなる）値
か否かを判定する。０．５で割り切れる値は、後述する
等高線を表示するためのデータとして用いられる。な
お、０．５は、等高線のレベルの間隔であり、他の値に
することも可能である。ステップ１１６の判定が「Ｙｅ
ｓ」のとき、ステップ１１７，１１８が実行される。ス
テップ１１７および１１８は、多変数関数の定義域とし
て定まるｎ次元空間のある象限内の点を、対応する扇形
に投影したときの扇形内の位置に対する座標（Ｘ，Ｙ）
を求める。この座標は、ワーキングメモリ５または記憶
部６に記憶する。なお、前述のｎ次元空間のある象限内
の点は、ステップ１１６で「Ｙｅｓ」と判定された多変
数関数の値を生じる位置の座標で示される。さらに、座
標（Ｘ，Ｙ）を基点とする矢印を描くための図形基礎デ
ータがステップ１２０および１２１で作成され、記憶部
６に記憶される。なお、この矢印の図形基礎データは、
出力装置１に表示された場合に多変数関数の値が増加す
る方向を指すように作成される。ステップ１２０および
１２１に先だって、ステップ１１９の判定が行われる。
この判定は、ステップ１１５で得られた多変数関数の値
がＦoldの値より大きいか否かを判定するものである。
「Ｙｅｓ」の場合はステップ１２０、「Ｎｏ」の場合は
ステップ１２１の各処理を行う。以後、ステップ１２２
でＦoldの値がステップ１１５で得られた値に変換さ
れ、ステップ１２３以降の処理が繰り返される。ｊ＞Ｎ
になったとき、ステップ１３の処理が終了する。

【００４２】以上の操作を円周方向に４０等分した全て
の半径上で行うことにより、結果的にその象限における
多変数関数の値の等高線を、該象限に対応する扇形内に
表示するための図形データが作成される。等高線の表示
に際しては、ＣＰＵ４はワーキングメモリ５または記憶
部６から、扇形内の点の座標と、その座標に矢印を描く
ための図形基礎データとを逐一読みだして、画像データ
作成装置２に送り、最終的に画像が出力装置１上に描か
れる。なお、矢印は関数値の増加方向を示すものである
から、方向を示すことができる指標であれば、矢印以外
のものであってもよい。例えば、中心点から外方向へ向
かって直前の等高線より関数値が増加している場合は
赤、減少している場合は青というように、等高線の色を
変えて示すことも可能である。あるいは、即座の視認性
は劣るが各等高線に付随してその関数値を数値で表示し
てもよい。

【００４３】図５に、以上の手順に従って作成した、点
Ａを中心とする半径１の球の内部における多変数関数Ｆ
の値の増減状況を表わした多次元空間展開図を示す。こ
の図において等高線は扇形の各辺上において連続であ
り、また中心点を囲む閉じた形を成す。さらに等高線の
矢印は全て中心点から遠ざかる方向を指し示している。
以上の事実から、この多次元空間展開図における中心点
である点Ａが多変数関数Ｆの最小点であることを視覚的
に確認することができる。

【００４４】本実施例による多次元空間展開図におい
て、隣接する二つの扇形共有する辺には同一の座標軸を
対応付け、かつ多次元空間内の象限に対応する扇形を全
て列挙することができれば、例えば多変数関数の値の増
減状況を等高線で表わした場合に、全ての等高線が辺を
挾んで連続となるため、中心点の周りの多変数関数の値
の増減状況を直感的に把握する上で効果が高い。本実施
例は、前記の条件を満たすように扇形の各辺へ座標軸を
対応付けることを特徴とする。以下では、その対応付け
にグラフ理論に基づく考え方を用いる例について説明す
る。

【００４５】一つの象限は、二つの座標軸によって定ま
る。これは、一つの線分が二つの頂点によって定まるこ
とに対比させることができる。従って象限と座標軸との
関係は、図６に示すように、象限に線分を、座標軸に頂
点を対応付けた単純なモデルで表現できる。このような
モデル化を行うと、多次元空間における象限と座標軸と
の関係は、辺と頂点から成るグラフとして表わすことが
できる。図７に３次元空間における象限と座標軸との関
係を表わすグラフを示す。このグラフにおいて、例えば
頂点（座標軸）Ｘ１は、Ｘ２，Ｘ３，−Ｘ２，−Ｘ３の
各頂点（座標軸）と辺（象限）を作る。同様にして、図
７のグラフで全ての象限と座標軸との関係を表現するこ
とができる。このグラフにおいて、隣合う２辺（象限）
は一つの頂点（座標軸）を共有するから等高線は連続と
なる。従ってこのグラフ上の任意の頂点を出発点とし、
全ての辺を１回ずつ通って元の頂点に戻ることができれ
ば、等高線を全て連続とするように象限を並べることが
できる。これは前記のグラフでオイラー閉路を求めるこ
とに他ならない。

【００４６】ｎ次元空間を表わす前記のグラフにおい
て、頂点（座標軸）の数は２ｎ個である。それぞれの頂
点（座標軸）は、自分自身と自分の反対方向の頂点とを
除いた「２ｎ−２」個の頂点（座標軸）と辺（象限）を
作る。各頂点から出る辺の総数は次数と呼ばれる。前記
のグラフにおいて各頂点の次数は２ｎ−２であり、これ
はｎに係らず常に偶数である。いずれの頂点についても
その次数が偶数であるグラフはオイラーグラフに属す
る。オイラーグラフは常に一筆書き可能であることが保
証されている。従って前記のグラフは一筆書き可能であ
り、すなわちｎに係らず、常に等高線を連続とするよう
に全ての象限を並べることができることが保証される。

【００４７】オイラー閉路を求めるアルゴリズムは、例
えば、Ｃ．Ｌ．リウ著，伊理正夫，伊理由美共訳「組合
せ数学入門II」pp191〜192,共立全書（1972）に記載さ
れている。本実施例は、以上説明したような手法に基づ
いて、等高線を連続とするような象限の並べ方を決定
し、中心点の周りの関数の値の象限状況がユーザによっ
て直感的に把握しやすい多次元空間展開図を作成する。

【００４８】本実施例では、多変数関数の値の増減状況
を等高線を用いて表現したが、多変数関数の値の増減状
況が視覚的に把握できる表現法であれば全て本発明に適
用することができる。例えば、関数値の大きさに応じて
色の濃淡を異ならせて表示してもよい。この場合には、
前述した一定値毎の関数値の等高線表示とは異なり、計
算したすべての関数値について表示を行うことができ
る。あるいは、三次元のメッシュ図、鳥瞰図等、物の表
面の凹凸状態を三次元的に表示できる手法を用いること
もできる。以上の表示法はすべて平面的な表示面をもつ
出力装置への表示を想定したが、表面の凹凸状態を立体
的に表示できるような表示手段があれば、立体表示する
ことも可能である。

【００４９】図１に示す多次元情報表示プログラムを非
線形最適化装置に適用した場合について説明する。非線
形最適化装置としては、特願平２−２３９８５９号に開
示されたものがある。この出願の各実施例に、本発明の
図１の実施例を適用することができる。このとき、多変
数関数は、非線形最適化問題の目的関数として用いられ
る。この目的関数は、非線形最適化手法を用いて解くこ
とができ、最適解（最小値）を求めることができる。最
適解が求められた後、図１に示す多次元情報表示プログ
ラムによる処理が行われ、多変数関数によって定める多
次元空間内の一点（最適解を得る位置）を中心としたそ
の近傍における多変数関数の値の変化状態を表示する。

【００５０】図８に、図１の多次元情報情報表示方法を
用いる多次元情報表示装置を示す。ユーザは入力装置８
により中心点Ａの座標を決定するためのデータを入力す
る。入力データは入力部７を介してワーキングメモリ５
に送られる。記憶部６には、多変数関数の式、現在の中
心点Ａの座標、多次元情報表示プログラム、中心点Ａの
座標を更新するためのプログラム等が記憶されている。
まず、ＣＰＵ４は記憶部６より中心点Ａの座標を更新す
るために座標更新用プログラムをワーキングメモリ５に
呼出して実行し、ユーザが入力したデータに基づいて新
たな中心点の座標を生成する。次に、ＣＰＵ４は記憶部
６より多変数関数の式および多次元情報表示プログラム
をワーキングメモリ５に呼出して実行し、新たな中心点
の座標に基づいて、前述したような処理を行い、図５に
示すようなグラフを描くための基礎データを作成する。
このデータは出力部３を介して画像データ作成装置２に
送られ、出力装置１にグラフが描かれる。

【００５１】本実施例によれば、オペレータの指定によ
り多次元空間内の任意の位置の周囲における多変数関数
の値の変化状態を把握することができる。

【００５２】図８に示した多次元情報表示装置は、非線
形最適化装置に適用することができ、非線形最適化計算
結果の検証に利用することができる。以下で非線形最適
化とは多変数関数の最小化を指すものとする。数理計画
法による最適化計算は、端的に言うと関数の勾配が０と
なるような多次元空間内の一点の座標を得ることを目的
としている。このため、非線形最適化計算の結果は、大
域的な意味での最小点である保証はなく、局所的な最小
点（極小点）である場合、または鞍点である場合があ
る。本実施例による多次元情報表示を用いると、非線形
最適化計算の結果得られた座標が最小点であるか鞍点で
あるかの判断を視覚的に容易に行うことができる。ま
た、多次元空間展開図に表示する多次元空間内での領域
を拡大することにより、現在の中心点Ａの近傍に別のさ
らに良い最小点が存在するかどうかを知ることができ
る。

【００５３】多次元空間展開図に表示する多次元空間内
の領域を拡大した場合には、多次元空間展開図の図形基
礎データは次のように作成することができる。すなわ
ち、図１の実施例のステップ１１１で指定する象限の半
径方向の距離を現在値よりも大きくすることによって、
展開図に表示される多次元空間の領域を拡大する。この
とき、図１２のステップ１１６の等高線のレベルを規定
する値「０．５」を、オペレータの指定によって他の値
（例えば、「１．０」等）に変えることができる。これ
により、領域拡大に伴い等高線が過密に表示されること
を防止できる。

【００５４】以下、上記とは別の３変数の関数：ｆ＝2・X1²+0.5・(X2²-1)(X2²-9)+3・X3² について、図１３〜図１６の具体的な多次元空間展開図
を参照し、鞍点、最小点等がどのように表示されるかを
示す。図１４〜図１５は、円の半径（各変数Ｘ１，Ｘ
２，Ｘ３のとりうる範囲）を１．０、等高線の間隔を
０．５とし、中心点の位置をそれぞれ異ならせたもので
ある。図１６は円の半径を６．０に拡大した以外図１４
と同一条件の図である。

【００５５】結論から先にいえば、この関数ｆは、座標
(X1,X2,X3)＝(0.0, ±2.236, 0.0)に最小点を有し、座
標(0.0, 0.0, 0.0)に鞍点を有する。鞍点では、∂f/∂X
1＝∂f/∂X2＝∂f/∂X3=0となるので、最適化プログラ
ムはその点を最小点と誤って認識してしまう。図１４は
座標(0.0,0.0, 0.0)を中心とした多次元空間展開図であ
る。非線形最適化プログラムがこの中心点を最小点と誤
って認識したとしても、図１３から一見してこの中心点
は最小点ではなく、鞍点であることが認識できる。すな
わち、中心点の近傍で等高線の間隔が広くなっているこ
とから中心点近傍で関数の傾きがなだらかになっている
ことが判るが、中心点の周りで等高線が閉じておらず、
また、中心方向を向く矢印と外部方向を向く矢印とが混
在していることから、この中心点は鞍点であることが認
識される。

【００５６】他方、座標(0.0, ±2.236, 0.0)を中心点
とした図１４の多次元空間展開図をみると、中心点の周
りで等高線が閉じており、かつ、すべての矢印が外向き
であることから、この中心点は最小点であることが判
る。

【００５７】図１５は、最小点でも鞍点でもない適当な
一点（1.0, 1.0, 1.0)の周りの展開図である。この図で
は、等高線が複雑に入り乱れ、中心点が安定な位置にな
いことが視覚的に認識される。

【００５８】図１６は、前述のように、図１４と同じ最
小点を中心とした展開図であるが、図１４の円の半径を
拡大したものであり、この拡大によって、より広範囲に
わたって関数値の変化状況を把握することができる。す
なわち、この図によれば、中心点から−X2軸方向に約５
程度はなれた位置に、別の最小点が存在することが判
る。これは、図１４の展開図では認識できなかったこと
である。因みに、この新たな最小点の座標は正確には
(0.0,-2.236, 0.0)である。

【００５９】本発明による多次元情報表示装置を最適化
計算結果の検証装置として用いる非線型最適化システム
の構成を図９に示す。このシステムは、出力装置１、入
力装置８、多次元情報表示装置９２、最適点の座標を含
む非線形最適化計算結果の格納部９３、最適化装置９
４、目的関数（多変数関数）の式および各種初期値を含
む非線形最適化計算のための入力データの格納部９５か
らなる。最適化装置９４の最適化計算結果の検証に本発
明による多次元情報表示装置９２を用いることにより最
適化計算結果の信頼性を向上させることができる。

【００６０】また、本発明による多次元情報表示装置
は、対話形式での多変数関数の非線形最適化装置として
用いることができる。すなわち、ユーザは表示された多
次元空間展開図を参照して関数値の増加・減少方向を視
覚的に捉え、現在の中心点を移動する方向を決定する。
これを入力することによって新たな中心点の座標を生成
し、その中心点の周りの多変数関数の値の増減状況を再
び本発明による多次元情報表示方法を用いて多次元空間
展開図に表わす（例えば、図８の実施例）。以上の操作
を繰り返すことにより、最終的に所望の条件を満たす中
心点の座標を対話的に得ることができる。ここで、本発
明による多次元情報表示方法をシステムの最適制御に応
用した具体例について考える。今、複数の入力パラメー
タに依存して出力値の定まるシステムＳを考える。シス
テムＳの具体例としては、エンジンやモータ等の機械シ
ステム、発電プラントに代表されるエネルギーシステ
ム、化学プラントに代表される生産システム、ポートフ
ォリオ等の経済システムなどがある。このようなシステ
ムにおいて、入力パラメータの組をＰ（Ｘ１，Ｘ２，
…，Ｘｎ）とした場合に、システムの出力値ＦはＦ
（Ｐ）なる関数でモデル化して表わせるものとする。シ
ステムの制御の目標は、Ｆの最大化，最小化、あるいは
特定の値での保持などである。以下では、Ｆの最大化が
目標である場合について説明する。このような問題の具
体例としては、化学プラントの制御問題がある。すなわ
ち、与えられた制約条件の下で、単位時間当りの生産量
を最大化することが制御の目標である。この種の問題は
一般に多峰性の非線形最適化問題であり、数値的な非線
形最適化手法では局所的な最適点しか求められないた
め、制御目標達成のためには不十分である。また、目的
関数の一次微分値に基づいて最適点を求める非線形最適
化手法では、目的関数の最適点と鞍点とを数値的に区別
することができないといった問題もある。さらに、入力
パラメータをある特定の値の近くに取りたい場合に、目
的関数の等高線が図１７に示すようなとき、従来の数値
的な最適化手法では、前記特定の値に対応する点を開始
点として探索を開始し、最小点を見出すことができたと
しても、その点は大域的最小点ではなく開始点から離れ
た局所的な最小点である場合がある。すなわち、従来の
手法では、局所的な最小点をが最終的な解として出力さ
れる場合がある。

【００６１】このような問題は、本発明による多次元情
報表示装置を用いて解決することができる。図１８に、
本発明の多次元情報表示装置を制御用パラメータ決定装
置として組み込んだ製品生産システムの構成を示す。製
品生産システム１３４は、原料１３５から製品１３７を
生産するために必要な加工設備および移送設備を有す
る。原材料１３５は図では１種類のみ示しているが実際
には複数種類存在してよい。移送設備は、原料１３５お
よび中間製品を加工設備間で運搬するものである。生産
システム１３４は、各設備の動作を制御するコントロー
ラ１３８を有する。このコントローラ１３８はホストコ
ンピュータであり、別に、各加工設備および移動設備ご
とに専用のコントローラ（ローカルコントローラ：図示
せず）が設けられている。ローカルコントローラは、コ
ントローラ１３８の制御下で自己の担当する加工設備お
よび移送設備を制御する。生産システム１３４において
は、これを構成する加工設備および移送設備の各能力の
制約下で各設備毎に原料１３５から単位時間当りに生産
される製品１３７の量が最大になるようにする必要があ
る。このため、コントローラ１３８およびローカルコン
トローラは、各設備の制御用パラメータ１４１を制御す
る。各設備を最適に制御するための制御用パラメータ１
４１は、非線形最適化処理装置である制御用パラメータ
決定装置として動作する計算機１３６で決定される。こ
の例では、計算機１３６は本発明の多次元情報表示装置
としての機能も有する。制御用パラメータ決定装置とし
ての計算機１３６には、入力装置１３２から入力された
パラメータ１４２と、生産システム１３４の各設備等に
設けられた検出器１４０の測定値であるフィードバック
パラメータ１３９とが入力される。検出器１４０は、当
該設備の運転状態等のデータを測定する。入力パラメー
タ１４２は、生産システム１３４の動作に関する情報、
すなわち供給される原料１３５の情報、生産システム１
３４の制約条件（例えば、各設備の能力に関する制約条
件）および生産システム１３４の運転上の制約条件（例
えば、生産システムの電力量）等をパラメータとして含
む数式モデルである。この数式モデルが、最適制御用パ
ラメータを求めるために制御用パラメータ決定装置に与
えられる問題である。制御用パラメータ決定装置で得ら
れた最適な制御用パラメータ１４１は、コントローラ１
３８に入力される。コントローラ１３８は、入力した制
御用パラメータ１４１に基づいて各ローカルコントロー
ラに当該設備を制御させるための制御信号を出力する。
フィードバックパラメータ１３９を制御用パラメータ決
定装置に入力することによって、それが前述の数式モデ
ル内に取り込まれ、フィードバックパラメータ１３９を
考慮した非線形最適化処理が行われる。

【００６２】この非線形最適化処理を援助する手段とし
て、本発明による多次元情報表示装置（計算機１３６）
は、記憶装置１３１に記憶された多次元情報表示プログ
ラム、システムの数式モデル、および求められた制御パ
ラメータの組（これが中心点の座標に相当する），近傍
の半径などの情報に基づいて、図１の実施例で説明した
多次元空間展開図（多次元空間グラフ）を画像出力装置
１３３に出力する。制御パラメータの組は、計算機１３
６内で求められたものをそのまま用いても、あるいは入
力装置１３２から別途入力してもよい。ユーザはこの多
次元空間展開図に基づいて、システム１３４の次なる制
御パラメータ１４１を決定し、システム１３４に与え
る。システム１３４は、この制御パラメータに基づい
て、前述のように原料１３５の使用量を決定し、製品１
３７の生産量を制御する。

【００６３】例えば、（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３）という３つ
のパラメータで動作の定まるシステムの生産量Ｆが、 F=2・X1²+0.5・(X2²-1)(X2²-9)+3・X3² なる目的関数（多変数関数）でモデルかできる場合につ
いて考察する。今、計算機１３６による非線形最適化計
算の結果、（0.0,2.236,0.0）なる解を得たとする。こ
の点を中心点とし、半径１の範囲を表わす多次元空間展
開図を図１９に示す。同図において、関数の等高線を表
わす矢印は関数の減少方向を指している。この応用例で
は、中心点の周りで等高線が閉じており、また中心点か
ら遠ざかるに従って関数が減少することから、中心点が
最大点の一つであることが分かる。

【００６４】また、別の最適化計算の結果、（0.0, 0.
0, 0.0）なる解を得たとする。この解を中心点とする多
次元空間展開図を図２０に示す。この図によると、等高
線は中心点の周りで閉じておらず、また等高線の矢印に
中心点方向を指すものがある。これらの事実から、この
解は最大点でなく鞍点であることが視覚的に分かる。図
２１は図１９の解を中心点として半径６の範囲を表わし
た多次元空間展開図である。この図では、中心点から−
Ｘ２方向で距離約５の場所に別の最大解があることが分
かる。この座標は正確には（0.0, 2.236, 0.0）であ
る。

【００６５】以上述べたように、多次元空間展開図を用
いてシステムのモデルの振る舞いを解析し、適切な制御
パラメータの値を決定することができる。

【００６６】この応用例では、製品生産システムについ
て説明したが、本発明は、汎用的に、出力変数が複数の
入力変数の非線形関数として表わされる場合に、出力変
数の最小値（あるいは最大値）を与える入力変数を求め
る非線形最適化に適用できる。例えば、プラント、機
器、装置等の制御であれば、制御結果を表わす出力変数
が最小となるような複数の入力制御変数値の組み合わせ
を求めることができる。あるいは、複数の資源の投入量
に依存して利益（出力量）が定まるようなシステムで
は、利益が最大となるような資源の配分を求めることが
できる。証券市場のような金融操作のコンピュータ制御
のためにも利用できる。

【００６７】その他、機械（要素）等の非線形最適設計
のための計算機支援設計（ＣＡＤ）システムにも利用可
能である。非線形最適化処理装置を有するＣＡＤシステ
ムの一例としてのコイル設計においては、与えられた負
荷に対して、コイルの変形が所定の値より大きくないと
いう制約条件に基づいて、コイル用のワイヤの半径，コ
イルの巻数，および各アームの半径が選択されなければ
ならない。本発明は、前記制約条件が満足される範囲
で、コイルのパラメータを最適化するために利用するこ
とができる。また、他の例としては、シャフトが最小摩
擦で確実に回転することが望まれるような場合には、本
発明は、そのシャフトを支持するベアリングの設計を行
うＣＡＤシステムにも適用できる。

【００６８】

【発明の効果】本発明を用いることにより、多次元空間
内の任意の一点の周りの多変数関数の値の増減状況を一
つの平面図で視覚的に表現することができる。従って、
最適化計算結果の検証方式ならびに装置、対話型での資
源の最適配分方式のためのインタフェース等に利用する
ことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明による多次元情報表示のための基本的な
処理ステップを示すフローチャートである。

【図２】本発明による一実施例の計算機構成を示すブロ
ック図である。

【図３】本発明による多次元情報表示のための円の分割
態様の説明図である。

【図４】本発明による多次元情報表示のための象限と扇
形との対応付けの説明図である。

【図５】本発明による多次元空間展開図の一例の説明図
である。

【図６】本発明による多次元空間展開図の象限と座標軸
との関係のモデル化の原理の説明図である。

【図７】本発明による多次元空間展開図の等高線を連続
とする象限の配列順序の決定方式の説明に供するグラフ
である。

【図８】本発明による多次元情報表示装置の構成例を示
すブロック図である。

【図９】本発明による多次元情報表示装置を最適化計算
結果の検証装置として用いる非線形最適化システムの構
成例を示すブロック図である。

【図１０】図１のフローチャート中の主要ステップの詳
細を示すフローチャートである。

【図１１】図１のフローチャート中の他の主要ステップ
の詳細を示すフローチャートである。

【図１２】図１１のフローチャートに続くフローチャー
トである。

【図１３】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１４】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１５】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１６】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１７】最適制御における問題点の説明図である。

【図１８】本発明の多次元表示装置を利用した製品生産
システムの構成を示すブロック図である。

【図１９】図１８のシステムの説明に供する多次元空間
展開図である。

【図２０】図１８のシステムの説明に供する他の多次元
空間展開図である。

【図２１】図１８のシステムの説明に供する他の多次元
空間展開図である。

【符号の説明】

１…出力装置、２…画像データ作成装置、３…出力部、
４…ＣＰＵ、５…ワーキングメモリ、６…記憶部、７…
入力部、８…入力装置。

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】画像データを作成する中央処理装置と、
該作成された画像データに基づいて画像を表示する画像
出力装置とを備える情報表示装置を用いて、多変数関数
によって記述される対象について、その多変数関数の定
義域として定まる多次元空間内に存在する任意の一点か
ら見た関数値の分布を、画像出力装置の表示面に二次元
的に一覧可能に表示する方法であって、前記表示面に、当該表示面上の一点から放射状に延びる
複数の線を形成して、これらの線で区画される、前記多
次元空間の象限の数に相当する複数の扇形の領域を表示
し、前記複数の領域を、前記多次元空間内の前記任意の一点
として指定された一点を頂点とする複数の象限にそれぞ
れ対応付け、前記一点の周囲に存在する一つ以上の点における前記多
変数関数の値について、それぞれの点が投影される象限
について対応付けられている前記領域上の対応する位置
を求め、その位置に、当該多変数関数の値を示す指標と
して、特定の表現形態を持つ画像を表示することを特徴
とする多次元情報表示方法。
【請求項２】前記多変数関数の値の表示は、一定値き
ざみの関数値をとる点の位置に指標を表示することによ
り行うことを特徴とする請求項１記載の多次元情報表示
方法。
【請求項３】前記指標は、関数値の増減方向を示すも
のであることを特徴とする請求項２記載の多次元情報表
示方法。
【請求項４】前記多変数関数の値の表示は、該値の大
きさに応じて表示色を変化させて行うことを特徴とする
請求項１記載の多次元情報表示方法。
【請求項５】前記領域と象限との対応付けは、前記多
次元空間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する
二つの領域同士が隣接するように行うことを特徴とする
請求項１記載の多次元情報表示方法。
【請求項６】前記領域と象限との対応付けは、オイラ
ー閉路を求めるアルゴリズムに基づいて行うことを特徴
とする請求項５記載の多次元情報表示方法。
【請求項７】前記扇形の領域は、表示装置の表示画面
上に、与えられた一点を中心として円を描き、該円を中
心点の周りに分割して生成することを特徴とする請求項
１〜６のいずれか一項に記載の多次元情報表示方法。
【請求項８】前記特定の表現形態を持つ画像は、等高
線、表示色の変化、三次元メッシュ図、鳥瞰図の少なく
とも一つを表わすための要素であることを特徴とする請
求項１記載の多次元情報表示方法。
【請求項９】多変数関数によって記述される対象につ
いて、その多変数関数の定義域として定まる多次元空間
内に存在する任意の一点から見た関数値の分布を、表示
面に二次元的に一覧可能に表示する装置であって、前記表示面上の一点から放射状に延びる複数の線で区画
される、前記多次元空間の象限数に対応する分割数の扇
形の領域を示す図形データを生成する手段と、前記生成された複数の領域と、前記多次元空間内の前記
任意の一点として指定された一点を頂点とする複数の象
限とを対応付けて、この対応関係を記憶する手段と、前記一点の周囲に存在する一つ以上の点における前記多
変数関数の値について、それぞれの点が投影される象限
について対応付けられている前記領域上の対応する位置
を求める手段と、前記多変数関数の値を示す指標として、特定の表現形態
を持つ画像データを生成して記憶する手段と、前記記憶されている図形データに基づいて、指定された
分割数の扇形の領域を表示すると共に、該扇形の領域の
前記求められた位置に、前記記憶されている画像データ
を表示する手段とを備えることを特徴とする多次元情報
表示装置。
【請求項１０】前記多変数関数の値の表示は、一定値
きざみの関数値をとる点の位置に指標を表示することに
より行うことを特徴とする請求項９記載の多次元情報表
示装置。
【請求項１１】前記画像データを生成して記憶する手
段は、前記特定の表現形態を持つ画像として、関数値の
増減方向を示す図形、等高線、表示色の変化、三次元メ
ッシュ図、鳥瞰図の少なくとも一つを表わすための画像
要素を生成することを特徴とする請求項１０記載の多次
元情報表示装置。
【請求項１２】前記領域と象限との対応付けする手段
は、前記多次元空間内で同一の軸を共有する二つの象限
に対応する二つの領域同士が隣接するように対応付けを
行うことを特徴とする請求項９、１０、および１１のい
ずれか一項に記載の多次元情報表示装置。
【請求項１３】前記多次元空間内の前記任意の一点に
ついての指定を受け付ける手段をさらに備え、前記複数の領域と複数の象限とを対応付けて、この対応
関係を記憶する手段と、多変数関数の値についての領域
上の対応する位置を求める手段と、前記画像データを表
示する手段とは、前記任意の一点の指定を受け付けられ
ると、それに対応して多次元情報を表示することを特徴
とする９、１０、および１１のいずれか一項に記載の多
次元情報表示装置。
【請求項１４】多変数関数によって記述される対象に
ついて表示するための装置であって、前記多変数関数の定義域として定まる多次元空間内に存
在する任意の一点から見た関数値の分布を、表示面に二
次元的に一覧可能に表示するためプログラムと、上記表
示のために用いられるデータとを記憶するための記憶装
置と、前記プログラムを実行し、前記多変数関数の値について
表示面に二次元的に表示するための画像データを生成す
る処理を行う中央処理装置と、前記作成された画像データに基づいて画像を表示する画
像出力装置とを備え、前記中央処理装置は、前記表示面上の一点から放射状に延びる複数の線で区画
される、前記多次元空間の象限数に対応する分割数の扇
形の領域を示す図形データを生成する手段と、前記記憶装置に記憶される前記多次元空間内の前記任意
の一点を指定する情報を読み出して、指定された一点を
頂点とする複数の象限と、前記生成された複数の領域と
を対応付けて、この対応関係を前記記憶装置に記憶させ
る手段と、前記一点の周囲に存在する一つ以上の点における前記多
変数関数の値について、それぞれの点が投影される象限
について対応付けられている前記領域上の対応する位置
を求める手段と、前記多変数関数の値を示す指標として、特定の表現形態
を持つ画像データを生成して、前記記憶装置に記憶させ
る手段と、前記記憶されている図形データに基づいて、指定された
分割数の扇形の領域を表示すると共に、該扇形の領域の
前記求められた位置に、前記記憶されている画像データ
を前記画像出力装置に送って表示させる手段として機能
することを特徴とする多次元情報表示装置。
【請求項１５】前記対応関係を前記記憶装置に記憶さ
せる手段は、指定された一点を頂点とする複数の象限の
それぞれを、前記生成された複数の領域の座標軸を対応
付けて記憶装置に記憶させることを特徴とする請求項１
４に記載の多次元情報表示装置。
【請求項１６】与えられた多変数関数の最適解につい
て、多変数関数の定義域として定まる多次元空間内に存
在する解から見た当該解の周辺の状態を、表地面に二次
元的に目視可能に表示する検証する装置であって、前記表示面上の一点から放射状に延びる複数の線で区画
される、指定された分割数の扇形の領域を示す図形デー
タを生成する手段と、前記生成された複数の領域と、前記多次元空間内の前記
解の位置を頂点とする複数の象限とを対応付けて、この
対応関係を記憶する手段と、前記解の周囲に存在する前記多変数関数の値について、
それぞれの点が投影される象限について対応付けられて
いる前記領域上の対応する位置を求める手段と、前記多変数関数の値を示す指標として、特定の表現形態
を持つ画像データを生成して記憶する手段と、前記記憶されている図形データに基づいて、指定された
分割数の扇形の領域を表示すると共に、該扇形の領域の
前記求められた位置に、前記記憶されている画像データ
を表示する手段と、前記画像データを表示する手段により表示される範囲の
指示の入力を受け付ける手段と、前記画像データを表示する手段は、前記入力された範囲
について画像データを表地面に表示することを特徴とす
る最適化解の検証装置。