JP3103790B2 - 三次元オブジェクトのモデリング方法、装置および記録媒体 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は三次元のオブジェ
クトをモデリングする技術に関する。この発明は特に、
三次元のオブジェクトの形状を記述する技術に関し、一
例としてコンピュータグラフィクス（ＣＧ）やコンピュ
ータ支援設計（ＣＡＤ）などの分野に利用できる。

【０００２】

【従来の技術】ＣＧやＣＡＤの世界では、三次元オブジ
ェクトのモデリングに際し、おもにワイヤーフレーム、
サーフェス、ソリッドの３つのモデリング手法が利用さ
れている。これらのうち、ワイヤーフレームモデルは計
算負荷の面で有利である。しかし、いずれのエッジ（つ
まり辺）の間に面が存在するか不明な場合があったり、
オブジェクトの表示がいわゆる針金細工の状態でなされ
るため、表示品質の点で満足できないことも多い。一
方、サーフェスモデルやソリッドモデルでは、オブジェ
クトを実際の見え方に近い状態で表示できるため、多く
の商用システムに標準機能として実装されている。今
日、これらのモデルがなければＣＧによる高品質の映像
の制作、ＣＡＤによる製品の効率的な開発はもはや不可
能といってよい。

【０００３】ＣＧとＣＡＤの共通課題のひとつは、いか
に自然な曲面が表現できるかにある。例えば、サイコロ
のように平面だけからなるオブジェクトや、ボールのよ
うに単純な曲面だけからなるオブジェクトの設計は容易
である。しかし、例えばＣＧで手のひらを映像化したい
とき、このモデリングはさして容易ではない。一般に自
然界に存在するオブジェクトはいろいろな形状の曲面か
らなっており、平面や単純な曲面だけで構成される場合
はほとんどない。そうしたオブジェクトのＣＧによる映
像化には多大な労力を要する。

【０００４】ＣＧにおけるそうした事情はＣＡＤでも同
じである。ＣＡＤでは直接自然のオブジェクトの形状を
再現する必要性は少ないにしても、例えば自動車のボデ
ィー表面の微妙な曲がり具合は製品の気品や洗練、すな
わち製品価値そのものに直接影響する。そうしたとき、
デザイナーが望み通りの曲面を既存のシステムで実現す
るのは大変な作業である。同様に、既存のＣＡＤシステ
ムを用いる限り、例えば複雑精妙な曲面を多く含むアー
ルデコ調の家具の設計を短時間でなすことは困難であ
る。

【０００５】

【発明が解決しようとする課題】より詳しくいえば、Ｃ
ＡＤシステムのソリッドモデルには、おもに境界表現
（Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ
ｓ：Ｂ−ｒｅｐｓ）とＣＳＧ（Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖ
ｅ Ｓｏｌｉｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ）というふたつのア
プローチがある。境界表現は、立体が面（ｆａｃｅ）か
ら、面が辺（ｅｄｇｅ）から、辺が頂点（ｖｅｒｔｅ
ｘ）からそれぞれ構成される事実に着目し、頂点の座標
と接続状態をモデリングデータとして扱う。一方、ＣＳ
Ｇはプリミティブと呼ばれる比較的単純な形状の立体を
いくつか準備しておき、それらプリミティブ間の集合演
算（Ｂｏｏｌｅａｎ ｓｅｔ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ）
によって立体を表現する。ＣＳＧは境界表現よりも一般
にデータ構造が簡単でデータ量も少ないが、限られたプ
リミティブを組み合わせるだけなので、上述した複雑ま
たは微妙な曲面の設計には向かない。

【０００６】一方、境界表現は自由曲面（ｆｒｅｅ−ｆ
ｏｒｍ ｓｕｒｆａｃｅ）の記述を妨げるものではな
く、実際にオブジェクトの一部をその形で表現すること
も多い。しかし、例えばいろいろな形をとる手のひらを
自由曲面で表現する場合、手のひらの表面をどのように
分割すればうまく曲面パッチが貼れるのか、また、必要
最小限の分割はどのようになせばよいのか、などに理論
的な裏付けを与えるシステムはなかったといってよい。
このためデザイナーは試行錯誤に頼らざるを得ず、単に
時間がかかるにとどまらず、同じオブジェクトをモデリ
ングした結果が人により大きく異なるか、または同じ人
でも毎回異なることになった。つまり、従来一般的な境
界表現を用いたシステムでは、オブジェクトに対して恒
常的に、矛盾なく、一意的に自由曲面を貼ることができ
ず、結局はオブジェクトの表面の大半を最初からポリゴ
ンで記述したほうが確実な場合が多かった。

【０００７】そうした状況下、自由曲面を諦めてポリゴ
ンを採用すれば、そこには別の課題がある。精緻な映像
をうるためにポリゴン数を増やせばデータ量も比例して
増大することである。アプリケーションによってはひと
つのオブジェクトに例えば数十万のポリゴンが要求さ
れ、その入力作業は煩瑣の一語に尽きる。ポリゴン依存
から脱却しない限り、ＣＧやＣＡＤの未来に質的な変革
をもたらすことはできない。

【０００８】この発明はそうした課題に鑑みてなされた
ものであり、その目的は、複雑精妙な曲面も容易に記述
できるモデリング技術の提供にある。本発明の別の目的
は、そうした曲面を矛盾なく、確実に貼り付けることの
できる理論的根拠に則ったモデリング技術を提供するこ
とにある。本発明のさらに別の目的は、そうしたモデリ
ングを簡単なユーザインタフェイス、例えば一般のドロ
ーイングシステム程度の簡便さで実現できる技術の提供
にある。本発明のさらに別の目的は、モデリングしたオ
ブジェクトの位相的な正しさを容易に保証できる技術の
提供にある。

【０００９】

【課題を解決するための手段】本発明のモデリング方法
は、オブジェクトの位相情報で定まる骨格グラフにその
オブジェクトの幾何情報を付加することにより、そのオ
ブジェクトをモデリングする。骨格グラフはオブジェク
トの構造を端的に示すもので、オブジェクトの各部の接
続関係を明示する。したがって、その本来の目的のため
に、オブジェクトの位相情報を表示する。本発明では、
このグラフにオブジェクトの幾何情報を持たせること
で、位相的にも幾何的にも正しいモデリングが実現す
る。

【００１０】本発明の別の態様では、まずオブジェクト
の高さ方向の特異点をノードとしてその座標が指定され
る。つぎに、ノード間の接続状態を示すエッジが曲線情
報として指定され、エッジ上の点におけるオブジェクト
の断面の輪郭線がその点に関連づけて入力される。しか
る後、入力された輪郭線間にオブジェクトの外形に沿う
補助曲線が付与される。

【００１１】この態様では、ノードとエッジによって一
種のグラフが形成され、まずオブジェクトの位相情報が
確定する。しかも、ノードについてはその座標が指定さ
れ、エッジについてはその曲線情報が指定されるため、
幾何情報も決まる。さらに、前記輪郭線や補助曲線によ
って、オブジェクトの外形が特定される。

【００１２】本発明のモデリング装置は、オブジェクト
の高さ方向の特異点をノードとしてその座標を指定する
手段と、ノード間の接続状態を示すエッジを曲線情報と
して指定する手段と、エッジ上の点におけるオブジェク
トの断面の輪郭線をその点に関連づけて入力する手段
と、入力された輪郭線間にオブジェクトの外形に沿う補
助曲線を付与する手段を含む。これらの手段により、オ
ブジェクトの位相情報と幾何情報を特定しながらオブジ
ェクトをモデリングすることができる。

【００１３】

【発明の実施の形態】本発明の好適な実施形態を説明す
る。本発明を理解するに際し、本発明者が先に公表した
論文の内容を「前提技術」として説明することは有用で
ある。この前提技術は本発明者のひとりの論文（東京大
学博士論文１９９３年品川嘉久）の一部である。以下、
前提技術を引用した後、その前提技術に対して修正また
は拡張を加える形で実施形態を説明する。

【００１４】［前提技術］［１］モース理論に基づく曲面符号化システム （１）はじめに 三次元空間におけるオブジェクト、つまり立体や曲面の
形状を符号化するとき、通常これらをなんらかの記号の
配列として表現する。ここで符号化とはモデリングに必
要な情報でそのオブジェクトを表現することをいう。自
然界に見られるオブジェクトの場合は、形状は非常に多
くの自由度をもつ。そのため符号化の際には一定の単純
化が必要となる。位相幾何学（トポロジー）はこうした
単純化を行うための数学的手段である。

【００１５】本システムは、位相幾何学におけるモース
（Ｍｏｒｓｅ）理論を数学的ツールとして三次元物体の
解釈を行う。後述のごとく、この理論によってオブジェ
クトのモデリングをきわめて効率的かつ矛盾なく行うこ
とができる。しかし、三次元の曲面を完全な正確さをも
って符号化するためにはモース理論だけでは不十分であ
る。以下、その理由を説明し、モース理論を拡張するこ
とによってこの問題の解消を図る。

【００１６】（２）モース理論 もともとモース理論は変分法を取扱うために提唱され
た。そしてその目的は、無限次元の道の空間における汎
関数の極小値を記述することにあった。このことから逆
に、汎関数の極小値を利用することにより、それ以外の
方法での記述が困難であるような空間の位相的な特徴を
記述することが可能になる。以下、モース理論の概要を
説明する。

【００１７】◎可微分多様体 モース理論を適用できる空間は可微分多様体である。有
限次元の多様体を考えてみる。いま任意の整数ｎについ
て、ｎ次元多様体は位相空間であって、そこではすべて
の点がｎ次元空間Ｒ^ｎの部分集合の上に一対一かつ両連
続に写像可能な近傍をもつとする。このような写像は
「チャート」と呼ばれ、その領域に含まれる点について
局所座標系を提供する。地球を例にとれば、緯度と経度
が局所座標系に当たる。多様体がｐ回微分可能であるた
めには、一方の座標系から他方の座標系への変換が、２
つの異なるチャートの値域に含まれる点についてｐ回微
分可能でなければならない。

【００１８】このため多様体は、可微分的に重なり合っ
たＲ^ｎの領域から構成されていると考えることができ
る。例えば、直線や円周は一次元多様体の構造を与えら
れる。また、球の表面は例えば北半球と南半球のよう
に、少なくとも２つのチャートを用いた二次元多様体を
用いて表現できる。同様にトーラスの表面は、少なくと
も４つのチャートを用いた二次元多様体によって表現で
きる。Ｒ^３から結び目のある円を取り除けば三次元多様
体の一例となる。

【００１９】◎可微分写像および特異点 チャートを用いることにより、ｐ次元多様体からｎ次元
多様体への写像はＲ^ｐの各区分からＲ^ｎの各区分への写
像として（区分ごとに）数値表現することができる。こ
れらの写像については微分可能性を検証することができ
る。要素がｋ回連続的に微分可能であれば、その写像は
Ｃ^ｋ級である。

【００２０】ここで局所座標系の上で高さ関数を定義す
る。高さ関数は与えられた点の高さ（物体が埋め込まれ
ている三次元空間におけるＺ座標など）を返す関数であ
る。 高さ関数ｈ：Ｒ^２→Ｒのヤコビ行列は、

【００２１】

【数１】

【００２２】で与えられる。ヤコビ行列は各点について
計算することができ、そのランクの最大値はｎとｐの小
さいほうである。ヤコビ行列のランクがこの最大値に等
しい点は「正則点」と呼ばれ、それ以外の点は「特異点
（ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔ）」または「臨界点
（ｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔ）」と呼ばれる。例え
ば、高さ関数に関する特異点には、頂上点（ｐｅａ
ｋ）、鞍点（ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ）、谷底点（ｐ
ｉｔ）がある。別のいいかたをすれば、特異点はヤコビ
行列がゼロベクトルとなる点であり、特異点では法線ベ
クトルが高さ方向と同じ方向を向く。

【００２３】◎ヘッセ行列と指数 ｎ次元多様体からＲへの写像（以下「多様体上の関数」
と呼ぶ）については、ある点における偏微分の値がすべ
て０の場合、その点が臨界点となる。そのような点にお
いて、前述の関数は二次偏微分に基づく二次形式によっ
て近似される。この行列表示はヘッセ行列と呼ばれ、そ
の要素は以下のように記述される。

【００２４】

【数２】

【００２５】特異点におけるヘッセ行列の負の固有値の
数をその特異点の指数（ｉｎｄｅｘ）と呼ぶ。指数は後
述の図１に示すとおり、被約形式におけるマイナス符号
の数に等しい。すなわち、頂上の指数は２、鞍点は１、
谷底点は０である。後述の図３（ａ）〜（ｃ）のごと
く、トーラスの場合、指数２、１、０の臨界点はそれぞ
れ１個、２個、１個である。

【００２６】臨界点におけるヘッセ行列のランクがｎで
あるとき、その特異点は縮退していない、すなわち「非
縮退」と呼ばれる。どのようなＣ^２級関数でも、モース
関数によって近似することができる。モース関数とは、
臨界点の縮退がないような関数をいう。したがって、モ
ース関数の臨界点は孤立しているはずであり、コンパク
トな多様体に関する限り、臨界点は有限個しか存在しな
い。

【００２７】◎ホモトピーの型 モース理論によれば、多様体とその多様体上のモース関
数が与えられ、その関数の特異点の指数の列び方が判明
すれば、各特異点に対応する一連の演算を行うことによ
って、その多様体と同じホモトピータイプの位相空間を
胞複体（ｃｅｌｌ ｃｏｍｐｌｅｘ）として構築するこ
とができる。

【００２８】高さを表す任意の実数について、セル（胞
体）はその実数の示す高さ以下の点からなる多様体の部
分に関するモデルを与える。Ｒが上下に走査されると
き、２つの連続する特異点間ではセルの位相は変化しな
いが、特異点を横切るたびに、それ以前のセルに対して
「ｋ次元セル」をつなげていくことにより、胞セルを作
り上げていくことができる。ここでｋは横切った特異点
の指数である。簡単にいえば、物体の形はその臨界点の
指数と同じ次元をもつセルというものを貼り合わせるこ
とで復元できる。

【００２９】図１は、特異点の指数、ｋ次元セルおよび
それによって符号化される物体の関係を示す図である。
ここでは物体としてトーラスを挙げている。同図のごと
く、注目する高さが臨界点を含む高さを横切るとき、そ
の高さより下の点によって構成される位相が変化する。
この変化は、位相的に見れば後述するようにｋ次元セル
をつないでいくことと同じである。同図のごとく、二次
元セル（ｋ＝２）はお椀を伏せたような形、一次元セル
（ｋ＝１）は紐のような形、０次元セル（ｋ＝０）はひ
とつの点で表すことができる。もとの物体の形は、それ
らのセルをつなげた上で、粘土細工のように変形するこ
とで得られる。トーラスの場合、二次元セルを１個、一
次元セルを２個、０次元セルを１個つなげて得られる。

【００３０】ここで注意すべきは、指数の配列だけでは
セルを完仝に記述することはできないことである。図２
（ａ）〜（ｃ）は、それぞれが同じモースの指数の配列
をもつ３組の曲面を示す。このように、指数の配列だけ
でセルを完全に決めることはできない。そのため、セル
をつないでいくときにいずれの連結成分（それぞれ独立
した実体）が関連するかを知らなければらない。

【００３１】レーブ（Ｇ．Ｒｅｅｂ）は、多様体から位
相商空間として得られるグラフを提唱した。レーブグラ
フは特異点の相互関係を示すもので、物体表面を等高線
で表し、各等高線の連結成分をひとつの点として表すこ
とで得られる。レーブは、多様体（コンパクトとする）
において、モース関数の下で同じ値をもち、かつ対応す
る断面として同じ連結成分に含まれるすべての点をアイ
デンティファイすることにより、このグラフを導出し
た。つまり、２つの臨界点を含む平面間に存在する多様
体の部分の連結成分はグラフのエッジ（辺）として表現
され、各特異点はグラフの各頂点に対応する。レーブグ
ラフは物体の骨格を示すグラフということができる。

【００３２】図３（ａ）〜（ｃ）は、トーラスとそのレ
ーブグラフの関係を示す図である。図３（ａ）は、もと
のトーラス、図３（ｂ）はその断面図、図３（ｃ）はレ
ーブグラフを示している。図３（ｂ）において、同一平
面内にあって重なり合わない円の部分が、（ｃ）におけ
る２つの別々のエッジに相当する。このレーブグラフは
アイコンとして極めて表現力に優れているため、以降必
要に応じてこのグラフをアイコン表示に用いる。

【００３３】（３）理論上の限界 重要なのは、モース理論をこのように古典的な方法で用
いた場合、多様体に内在する位相的な性質を発見するこ
とができるに過ぎないことである。指数の配列だけで
は、多様体が空間に埋め込まれている状態を符号化する
ことができない。例えば、空間に埋め込まれたトーラス
に結び目があるかどうかは知ることができない。図２
（ｂ）に示すとおり、２つの異なる形状が同じ特異点に
帰着するためである。同様に図２（ｃ）に示すとおり、
連結があるかどうかもモース理論による単純な符号化で
は示せない。

【００３４】（４）モース理論に基づく符号化の拡張 ここでは、議論の対象をＣ^２級（三次元空間に埋め込ま
れたＣ^２）のコンパクトな二次元多様体の表面に限る。
本システムが用いる曲面上のモース関数は、空間におけ
る高さ関数から誘導する。事実、Ｃ^２曲面をわずかに回
転させれば臨界点の縮退をなくすことができるため、そ
の高さ関数をモース関数にすることができる。

【００３５】モース理論によれば、２つの臨界レベル
（臨界点が含まれる平面の高さ）の間では断面の位相は
変化しない。このことから、曲り具合の異なる多くの円
筒を用いて、２つの臨界レベルの間の曲面をモデル化す
ることができる。この事実を利用してシステムを構築す
る。

【００３６】（５）符号化システムの例 符号化システムの概要を説明する。このシステムでは、
曲面に対してｋ次元セルを次々につないでいくことによ
り曲面を表現する。ここで、セルの接続を示す演算子を
導入し、これらの演算子を用いて曲面を符号化する。演
算子によって接続されていくセルをアイコンで表現する
ことにより、符号化の対象となる曲面の構造の理解を容
易にする。この符号化システムの最大の特徴は、得られ
る符号化の結果が位相の正しさを保証することにある。

【００３７】◎セルを接続するための演算子 ４つの演算子、Ｐｕｔ ｅ０、Ｐｕｔ ｅ１ ｍｅｒｇ
ｅ、Ｐｕｔ ｅ１ ｄｉｖｉｄｅ、Ｐｕｔ ｅ２を定義
する。これらがセルを貼り付ける演算子である。以下、
ｋ次元セルをｅ^ｋと表示する。物体の構成は頂上から谷
底に向けて進む。処理は、それ以上セルを接続すること
ができなくなった時点で終了する。演算子によって構成
しようとする曲面の状態を示すために、各断面における
輪郭線を用いる。図４は、これらの演算子を用いてトー
ラスを構成する方法を示す。以下この図を用いて演算子
の機能を説明する。

【００３８】１．同図の一番上に示すとおり、ｅ^２を生
成するためにＰｕｔ ｅ２（０）を実行する。このパラ
メータ「０」は一番目の輪郭線＃１が、すべての輪郭線
を包含する仮想的な輪郭線＃０の内側に生成されること
を示す。このセルの断面は同図の「断面表示」の箇所に
示される。図のように、Ｐｕｔ ｅ２は断面の平面上に
輪郭線を生成する機能をもつ。演算子によって生成され
る輪郭線に生成順の数字を与えるため、Ｐｕｔ ｅ２
（０）によって生成された輪郭線は＃１である。

【００３９】新たに生成された輪郭線の状態は、初期値
として常に「イネーブル」である。イネーブルとは、そ
の輪郭線に対してセルを接続することが許される状態を
示す。ｅ^２のアイコン表示を同図「アイコン」の下に示
す。

【００４０】２．つづいて、Ｐｕｔ ｅ１ ｄｉｖｌｄ
ｅ（１，ｎｉｌ，ｉｎｓｉｄｅ）により、ｅ^２に対して
ｅ^１を貼り付ける。新たに生成された輪郭線を＃２とす
る。パラメータ「ｉｎｓｉｄｅ」は＃２がＰａｒｅｎｔ
＃［１］＝０の子輪郭線として生成されることを示す。
ここで配列Ｐａｒｅｎｔ＃［］はある輪郭線の親輪郭線
（つまり、その輪郭線を包含する輪郭線）を示す。二番
目のパラメータは参照すべき子輪郭線のリストを示す。
ここでは２番目のパラメータが「ｎｉｌ」であり、ここ
では子輪郭線に対する操作、具体的には子輪郭線の削除
はない。

【００４１】３．つぎに、Ｐｕｔ ｅ１ ｍｅｒｇｅ
（１，２）を用いて別のｅ^１を貼り付け、＃１と＃２を
マージする。この演算子は、１番目、２番目のパラメー
タによって示される輪郭線を１番目のパラメータの側に
マージする。マージによって２番目のパラメータの示す
輪郭線は消滅するため、それがその親輪郭線のもつ子輪
郭線のリストから削除される。同時に、その輪郭線の状
態が「イネーブル」から「ディセーブル」に変更され
る。したがって、この輪郭線に新たにセルを接続するこ
とができない。

【００４２】４．最後にＰｕｔ ｅ０（１）を用いてｅ
^０を貼り付け、＃１を閉じる。＃１の状態はイネーブル
からディセーブルに変更される。アイコンがこの変更を
反映している。ある輪郭線にセルｅ^０が接続されたと
き、その輪郭線のもつすべての子輪郭線が予めディセー
ブルされていなければならない。以上の手順により、イ
ネーブルの状態で残っている輪郭線がなくなるため、演
算子によるセルの貼り付けは完了する。

【００４３】［２］演算子を用いた符号からの曲面の構
成 （１）ホモトピーの軌跡としての曲面の生成 前述の方法によって得られた符号化データをもとに物体
の曲面を構成する。すでに述べたとおり、臨界点を含む
断面どうしの間では輪郭線の位相は変化しない。頂点か
ら底辺まで走査したとき、輪郭線の形状は変化する。こ
の輪郭線の変形はホモトピーを用いてうまく表現するこ
とができる。ホモトピーはある関数を他の関数に変換す
る。以下の説明においては、すべての輪郭線は形状関数
によって表され、変形はホモトピーによって表されると
する。ホモトピーの定義は以下のとおりである。

【００４４】〔定義〕Ｘ、Ｙが位相空間であるとき、
ｆ、ｇ：Ｘ→Ｙという写像を考える。ここで、ｘ∈Ｘな
るすべての点ｘに対して、 Ｆ（ｘ，０）＝ｆ（ｘ） Ｆ（ｘ，１）＝ｇ（ｘ） が成り立つような写像Ｆ：Ｘ×Ｉ→Ｙが存在する場合、
「ｆとｇはホモトープである」といわれる。ここでＩ＝
［０，１］∈Ｒである。またこのとき、写像Ｆは「ｆか
らｇへのホモトピー」と呼ばれる。Ｆが、 Ｆ（ｘ，ｔ）＝（１−ｔ）ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ） で定義されるとき、これは直線ホモトピーと呼ばれる。
図５には輪郭線のホモトピー変形が示されている。この
図において、一番上の輪郭線が形状関数ｆ、一方いちば
ん下の輪郭線はｇによって表されている。曲面はｆから
ｇへのホモトピーＦの軌跡として生成される。

【００４５】（２）演算子をインプリメントするための
要素 図５の曲面を生成するための演算子は、ホモトピーによ
って輪郭線を変形するものとして記述することができ
る。

【００４６】１．演算子を構成する要素 図６には、演算子を構成する以下の主な４つの要素が描
かれている。 （ｉ） ｆ：Ｉ−Ｒ^３ 上の輪郭線の形状を与える （ｉｉ） ｇ：Ｉ−Ｒ^３ 下の輪郭線の形状を与える （ｉｉｉ）Ｆ：ｆからｇへのホモトピー （ｉｖ） ｈ：２つの輪郭線の高さの差２．形状関数 ｆ、ｇとして以下の形状関数を準備する。 （ｉ） 点 ：常に固定点の位置を与える定数関数 （ｉｉ） 円 ：円の形状を与える （ｉｉｉ）多角形：任意の頂点を結ぶ多角形の形状を与
える （ｉｖ） ベジェ：ｎ次元のベジェ曲線で、次式で記述
される

【００４７】

【数３】

【００４８】この関数は制御点Ｐ_ｉ∈ＣＲ^３と呼ばれる
ｎ個の点の集合（順序つき）によって特定される。この
制御点はユーザーによって修正することができる。ここ
で、Ｂ^ｎ _ｉ（ｔ）はベルンシュタインの基底関数であ
り、次式で定義される。

【００４９】

【数４】

【００５０】（ｖ）ＮＵＲＢＳ（Ｎｏｎ Ｕｎｉｆｏｒ
ｍ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｂ−Ｓｐｌｉｎｅ）曲線：この
曲線の制御点もユーザーによって定義される。ＮＵＲＢ
Ｓ曲線は次の式で定義される。

【００５１】

【数５】

【００５２】ここでＷ_ｉは各制御点の重みである。
Ｎ_ｉ，_ｋ（ｔ）はＢスプライン基底関数と呼ばれる（ｋ
−１）次の多項式の各区分の値を示す。これは次式で定
義される。

【００５３】

【数６】

【００５４】ＮＵＲＢＳは、非常に多くのＣＡＤシステ
ムで用いられている。ＮＵＲＢＳは二次曲面を正確に表
現することができ、また局所的な近似特性をもってい
る。すなわち、制御点またはそれに関連する重みが変化
したとき、その点の近傍でしか曲面の形状に影響を与え
ないため、局所変形操作に向く。

【００５５】３．ホモトピーＦ 一方、ホモトピーＦとして以下の関数が導入される。こ
れらの関数は断面の輪郭線を出力する。

【００５６】（ｉ） 線形：直線ホモトピー （ｉｉ）四分円形：

【００５７】

【数７】

【００５８】（ｉｉｉ）放物線：Ｆ（ｘ，ｔ）−（１−
ｔ^２）ｆ（ｘ）＋ｔ^２ｇ（ｘ） （ｉｖ） カージナルスプライン：カージナルスプライ
ンは、一番上および一番下の輪郭線を内挿補間する。輪
郭線間の対応点を示す既知のトロイダルグラフを使うこ
とによってパラメータの決定を自動化することができ
る。

【００５９】（ｖ）ガイディングカーブ：輪郭線上の点
をガイディングカーブに沿って動かすことにより、輪郭
線を変形することができる。輪郭線に対して複数のガイ
ディングカーブを付けることができる。輪郭線がベジェ
曲線またはＮＵＲＢＳ曲線で表されるとき、ガイディン
グカーブは制御点に付けられ、変形は制御点の動きによ
って決定される。ガイディングカーブが付けられていな
い制御点の動きは、隣接する制御点のガイディングカー
ブを用いて計算することができる。

【００６０】図７は、ユーザーがガイディングカーブを
付けることにより、上の輪郭線が徐々に下の輪郭線に変
形される様子を示している。いずれの場合も、結果的に
得られた輪郭線の間をカージナルスプラインを用いてパ
ッチを当て、曲面を生成することができる。

【００６１】４．演算子のための輪郭線の形状関数 演算子のための輪郭線の形状関数は以下のように与えら
れる。 （ｉ） Ｐｕｔ ｅ２ ｆ：点 ｇ：ユーザーが特定（デフォルト：円） Ｆ：ユーザーが特定（デフォルト：四分円形） （ｉｉ）Ｐｕｔ ｅ０ ｆ：ｅ^０が付けられる輪郭線の形状関数 ｇ：点 Ｆ：ユーザーが指定（デフォルト：四分円形） （ｉｉｉ）Ｐｕｔ ｅ１ ｄｉｖｉｄｅ、Ｐｕｔ ｅ１
ｍｅｒｇｅ ｅ^１の道ｃ：［０，１］→Ｒ^３を決めなければならな
い。実際にインプリメントする場合、道ｃはｃ（０）、
ｃ（１／２）およびｃ（１）の位置によって特定され
る。道は滑らかでなければならず、またｃ（１／２）に
おける接線のベクトルはｘｙ平面に平行でなければなら
ない。したがって、ｃ（１／２）は生成された曲面の鞍
点になる。ｃ（１／２）の初期位置は、

【００６２】

【数８】

【００６３】である。ここで、

【００６４】

【数９】

【００６５】である。道の初期値はｃ（０）とｃ（１）
を接続する楕円の弧であり、０≦ｔ≦１／２について
は、

【００６６】

【数１０】

【００６７】で与えられ、一方、１／２≦ｔ≦１につい
ては、

【００６８】

【数１１】

【００６９】で与えられる。この道の初期値のｘｙ平面
への射影は、ｃ（０）およびｃ（１）を結ぶ線分にな
る。このｃ（ｔ）の式において、ルート（１／２乗）の
部分を（１−ｘ^２）に置き換えれば放物線の道を得るこ
ともできる。Ｐｕｔ ｅ１ ｄｉｖｉｄｅおよびＰｕｔ
ｅ１ ｍｅｒｇｅの要素は以下のとおりである。 ・Ｐｕｔ ｅ１ ｄｉｖｉｄｅ ｆ：ｅ^１が付けられる輪郭線の形状関数 ｃ：ｅ^１ ｃ（０）、ｃ（１）： ｃ（０）＝ｆ（ｓ_１），ｃ（１）＝ｆ（ｓ_２）なる
ｓ_１、ｓ_２∈［０，１］で特定される ｇ_１、ｇ_２：輪郭線を道ｃに沿って分割することにより
得られる ・Ｐｕｔ ｅ１ ｍｅｒｇｅ ｃ：ｅ^１の道 ｆ_１、ｆ_２：ｅ^１が付けられる輪郭線の形状関数 ｃ（０）、ｃ（１）： ｃ（０）＝ｆ_１（ｓ_１），ｃ（１）＝ｆ_２（ｓ_２）なる
ｓ_１、ｓ_２∈［０，１］で特定される ｇ：道ｃに沿って輪郭線をマージすることにより得られ
る Ｐｕｔ ｅ１ ｄｉｖｉｄｅによる変形は、ｅ^１の道を
ガイディングカーブとして用いることにより、輪郭線を
変形することで行われる。すなわち、 ・Ｆ（ｓ_１，ｔ）＝ｃ（ｔ／２） ・Ｆ（ｓ_２，ｔ）＝ｃ（１−ｔ／２） である。一方、Ｐｕｔ ｅ１ ｍｅｒｇｅの変形は次式
によって得られる。

【００７０】・Ｆ_１（ｓ_１，ｔ）＝ｃ（ｔ／２） ・Ｆ_２（ｓ_２，ｔ）＝ｃ（１−ｔ／２） （３）微分不可能な場合および縮退への対応 これまで、物体表面の曲面がＣ^２級の可微分性をもつと
仮定してきた。またすべての臨界点は非縮退であると仮
定した。しかしながら、円筒や立方体など物体を設計す
る場合、多面体や、頂点または底辺が平面であるような
微分不可能な点または縮退した点を含めて符号化できる
ことが望ましい。

【００７１】この観点から、縮退していない高さ関数を
もつＣ^２可微分の多様体をもとに機能の拡張を行う。具
体的には以下のとおりである。

【００７２】◎微分不可能な点を含む輪郭線 図８は微分不可能な点を含む物体を示す。この場合、図
９に示すような微分可能な形状関数をもつ物体に置き換
えることによって符号化が可能となる。

【００７３】◎水平な頂部、底部または分岐部 水平面を表す場合には、高さｈの変化を０に置き換えれ
ばよい。例えば図１０に示すように、頂部も分岐部もそ
れぞれ水平面の場合、図１１のように高さを０として表
現することができる。

【００７４】◎尾根線（リッジ） 図１２に示すようにリッジに対応する場合、形状関数ｆ
およびｇを、途中で折り返す線分α：Ｉ→Ｒ^３を用い
て、以下のように設定することができる。すなわち、１
本のひもを２つ折り畳んだような形状である。 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）＝α（２ｘ） ０≦ｘ≦１／２ ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）＝α（１−２ｘ） １／２＜ｘ≦１ ◎火山のリム 図１３に示すように火山のリムについては、リッジ同様
の方法および高さｈを０にすることによって記述が可能
となる。以上が前提技術である。この前提技術を本発明
との関連を中心にまとめれば以下のとおりである。

【００７５】［１］について モース理論は特異点と指数の情報しか与えない。したが
って、立体を構成するための胞体（セル）の種類は概念
として判明するが、それを具体的にどのような幾何的関
係をもって接続していくかは不明である。

【００７６】レーブグラフもモース理論の問題点を解決
するわけではない。レーブグラフによれば特異点間、す
なわちノード間の接続関係がエッジの貼り方からわかる
が、結び目はわからない。本発明ではその理由を、レー
ブグラフが特異点の三次元位置情報や特異点間のエッジ
の形状情報を持たない点に求める。本発明ではレーブグ
ラフに幾何情報を付加することで問題を解決し、位相的
にも幾何的にも望み通りのオブジェクトを設計可能にす
る。前提技術ではレーブグラフをアイコン表示すること
（図４参照）でオブジェクトの内部構造に至る符号化を
実現したが、本発明では内部構造を問題にする代わり
に、オブジェクトに所望の曲面パッチを確実に貼ること
に重きをおく。その際、［１］で説明したモース理論、
ホモトピー理論、レーブグラフ、および本発明者が提案
した演算子によるオブジェクトの符号化理論が基礎とな
る。

【００７７】［２］について ［１］によって立体が符号化された後、立体に曲面を貼
る方法を示している。［１］［２］によれば、臨界断面
の間をホモトピーによって連続変形すれば立体に曲面を
貼ることができる。臨界断面の間で輪郭線の位相が変化
することはなく、ホモトピーは輪郭線の位相を変化させ
ないためである。その一方、臨界断面を横切れば輪郭線
の位相が変化するため、それまでと同じホモトピーでは
曲面を表現できない。つまり、ホモトピーのような連続
関数で表すことのできる必要十分な数の分割を実現する
断面が臨界断面である。

【００７８】従来よりサーフェスモデルではスキニング
（ｓｋｉｎｉｎｇ）と呼ばれる手法がある。この手法
は、例えば飛行機の翼のようなオブジェクトを設計する
とき、まずそのリブの形状をいくつか指定する。その
後、リブの輪郭線間に曲面を貼り付けてオブジェクトの
表面を生成する。しかしこの手法では、例えばオブジェ
クトに分岐があるときには対応できない。位相幾何学的
考察に基づかないためである。

【００７９】本発明では臨界断面はレーブグラフのノー
ドに対応する。臨界断面の間はエッジに相当する。した
がって、臨界断面間にホモトピーで曲面を貼ることは、
レーブグラフのエッジごとにその周りに円筒と同相の曲
面を貼ることに等しい。オブジェクトをレーブグラフで
表現しておけば、ノード間は必ずひとつの円筒と同相の
曲面が貼れる。円筒と同相の曲面は複数の四辺形の曲面
に分割できるため、ノード間は必ず複数の四辺形パッチ
に分割できる。このことは、［１］［２］の理論によ
り、どのようなオブジェクトにも恒常的かつ効率的に曲
面パッチが貼れることを意味し、複雑なオブジェクトの
自由曲面による容易かつ確実な表現という従来の課題を
解決する。なお、現実のインプリメントでは、円筒と同
相の曲面を上述のように四辺形に分割してパッチを貼っ
ていくため、パッチを貼る段階以降ホモトピーという概
念は用いられない。

【００８０】［実施の形態］図１４は本発明のモデリン
グ方法を利用したＣＧ制作装置１の構成図である。これ
らの構成はソフトウエアのモジュールで実現してもよい
し、ハードウエア回路などで実現してもよい。

【００８１】ＣＧ制作装置１はおもに、ユーザからの指
示を入力するユーザインタフェイス（ＵＩ）部１０、オ
ブジェクトのモデリングを行うモデリング部３０、モデ
リングされたオブジェクトを可視化するレンダリング部
５０、可視化されたデータを表示データに変換して表示
装置７０へ出力する表示制御部６０、モデリングされた
オブジェクトを二次記憶装置８０に記憶する記憶制御部
９０、モデリングされたオブジェクトのデータをネット
ワークヘ送り出す通信制御部１００を含む。

【００８２】モデリング部３０は幾何情報も含む形でレ
ーブグラフを編集する骨格編集部３１を含む。骨格編集
部３１はレーブグラフのノード、エッジの入力をそれぞ
れ受け付けるノード指定部３２、エッジ指定部３３を含
む。ここではモース関数としてオブジェクトの高さ関数
を採用し、ノードは高さ関数の特異点に対応する。ノー
ド指定部３２は、ユーザが画面上で指定したノードの位
置をもとにその三次元座標をシステム内に取得する。エ
ッジ指定部３３はユーザがドローイングソフトウエアに
準じた方法で描いたエッジの曲線表示、つまりエッジを
三次元空間内の曲線として記述するために必要な情報を
取得する。

【００８３】モデリング部３０はさらに、骨格編集部３
１で編集されたレーブグラフに対し、オブジェクトの外
形で定まる幾何情報を追加する外形編集部４０を含む。
外形編集部４０は、オブジェクトをいくつかの高さで切
断したときその断面に現れるべき輪郭線をユーザが入力
したとき、その曲線表示を取得する輪郭線指定部４１
と、補助曲線であるガイディングカーブ、すなわち輪郭
線間およびノード間を結びオブジェクトの外形に沿う曲
線をユーザが入力したときこの曲線表示を取得するガイ
ディングカーブ指定部４２を含む。

【００８４】この実施の形態におけるオブジェクトのモ
デリングは、モデリング部３０で取得される情報、すな
わちノードの位置、エッジの形状、輪郭線の形状、ガイ
ディングカーブの形状、およびそれらの接続関係によっ
て規定される。以下これらモデリングの結果得られる情
報を「基本情報」と呼ぶことにする。

【００８５】レンダリング部５０は、基本情報を受けて
曲面パッチを貼り付ける曲面パッチ生成部５１を含む。
曲面パッチは、輪郭線とガイディングカーブによって囲
まれたそれぞれ四辺形の領域にパッチを貼る。パッチは
それぞれ自由曲面の式の形でシステム内に保持される。

【００８６】シェーディング部５２は貼られた各パッチ
に対し、既存の手法を用いてシェーディングを施す。例
えば曲面をいったんポリゴン化するコンスタントシェー
ディングや、ポリゴン化を経ないで自由曲面に対して直
接レイトレーシングを行うなどの方法がある。なお、こ
こでいうポリゴン化はレンダリングのために自由曲面か
ら自動計算できるものであり、従来課題となったポリゴ
ン入力の手作業を要しない。ポリゴンを手作業で入力す
るのは、レンダリングではなくモデリングの段階だから
である。

【００８７】また、基本情報のみを保持しておけばいつ
でもレンダリングできるため、シェーディングのために
生成したポリゴンデータは保存しておく必要がない。し
たがって、保持すべきポリゴンデータの増大という従来
の問題にも関係しない。レンダリングされたオブジェク
トは表示制御部６０の制御を経て表示装置７０へ出力さ
れる。ユーザまたは設計者はその表示をもとに設計の内
容を確認する。

【００８８】一方、データ量の少ない基本情報は記憶制
御部９０を経て二次記憶装置８０へ格納される。以前設
計したオブジェクトの表示が必要なときは基本情報が二
次記憶装置８０から読み出され、レンダリング部５０に
よる処理を経て表示装置７０に表示される。基本情報は
また、通信制御部１００をへてネットワークへ送出され
る。例えばＣＧ制作装置１がオブジェクトの画像サーバ
であり、クライアントからオブジェクトの画像が要求さ
れた場合には、サーバは基本情報を送る。クライアント
側に予めＣＧ制作装置１のレンダリング部５０と同じ機
能をインプリメントしておけば、クライアント側でオブ
ジェクトの表示ができる。したがって、この実施の形態
に係る基本情報というデータ形式は、保存、伝送の面で
も有利である。

【００８９】図１５はこの装置によるオブジェクトのモ
デリングの手順を示す図である。図１６〜２０はモデリ
ング途上のオブジェクトを示している。図１５のごと
く、ユーザはまず設計したいオブジェクトの特異点をノ
ードとして入力する（Ｓ１）。ここでは例として、後に
図２０に示すようなふくらみのあるハート型のオブジェ
クトを考える。図１６のごとく、ユーザはＳ１で２個の
頂上点Ｎ１、Ｎ２、１個の鞍点Ｎ３、１個の谷底点Ｎ４
をノードとして入力する。この時点でノード指定部３２
は入力された４個のノードの三次元座標を特定する。座
標の特定は既知の技術、例えばノードの位置を三面図
（縦、横、上から見た状態を示す３つの画面）上で特定
すればよい。

【００９０】つづいて、エッジを指定することでノード
間の接続状態を入力する（Ｓ２）。この実施の形態に特
徴的なのは、エッジ自体が幾何情報をもった状態で入力
されることである。ユーザは図２１に示すとおり、例え
ばノードＮ１、Ｎ３の間に複数の制御点Ａ、Ｂを指定
し、前提技術で述べたベジエ曲線等を用いてノード間を
滑らかにつなぐ。ノードの位置と制御点の位置および採
用する自由曲線の種類が決まれば、ノード間のエッジの
曲線表示が定まる。エッジ指定部３３は入力作業の便宜
を考え、いろいろな自由曲線の式に加えて単なる線分、
円弧等もサポートすることが望ましい。図１７はこうし
てエッジが貼られた状態を示している。

【００９１】つぎに外形編集部４０の輪郭線指定部４１
により、エッジの適当な個所にオブジェクトの外形から
定まる輪郭線を付加する（Ｓ３）。輪郭線の形状もエッ
ジ同様の方法で与える。図１８では３つのエッジの中央
付近にそれぞれひとつずつ輪郭線を与えている。また、
鞍点Ｎ３を含む断面に関する輪郭線も与えている。その
他のノードについては、オブジェクトが実際にそれらの
個所でそれぞれ１点に集まっている場合は輪郭線が要ら
ない。仮に特異点が縮退していて１点に集まっていない
場合は、明示的にその点における輪郭線を入力すること
でシステムは縮退を知ることができる。

【００９２】つづいてガイディングカーブを入力する
（Ｓ４）。ガイディングカーブの形状も自由曲線で指定
する。ガイディングカーブ指定部４２はガイディングカ
ーブの幾何情報を曲線表示として取得する。ガイディン
グカーブの場合、いずれのノードを通るか、およびいず
れの輪郭線のいずれの個所を通るかを指定する。それら
の指定は画面上で通過点をクリックしてなされる。そう
して入力された点を自由曲線の制御点として利用すれば
よい。図１９は４本のガイディングカーブが付与された
状態を示している。この、いわばワイヤーフレームの幾
何情報を得ることで初回のモデリングが終わり、基本情
報が揃う。

【００９３】図２２は基本情報のデータテーブルを示し
ている。同図のごとく、レーブグラフに含まれるノード
Ｎ１等はその三次元座標（ｘ１，ｙ１，ｚ１）等で記述
される。エッジＥ１等はそれが貼られるノードの組（Ｎ
１，Ｎ２）等、およびエッジの曲線式Ｅｅｑ１等で記述
される。輪郭線Ｃ１等はそれが関連付けられるエッジＥ
１等またはノードＮ１等、および曲線式Ｃｅｑ１等で記
述される。輪郭線がエッジに与えられる場合は、そのエ
ッジのいずれの高さに置かれるかを高さｚ１等で指定す
る。ガイディングカーブＧ１等は、それが通過するノー
ドＮ１等、輪郭線Ｃ１等（輪郭線上の通過点の位置を含
む）で記述される。

【００９４】いったんモデリングが終われば、レンダリ
ング部５０でオブジェクトのレンダリングを行う（Ｓ
５）。曲面パッチ生成部５１は輪郭線とガイディングカ
ーブで形成される各四辺形領域に貼るべき自由曲面を計
算する。ノードを含む領域は三角形になるが、これは四
辺形の縮退として扱えばよく、従来の技術で対応でき
る。操作の簡単のために、この実施の形態では領域の４
頂点から形状が定まるテンソル積曲面をパッチとして採
用するが、パッチは前提技術で述べたカージナルスプラ
イン曲面でもよいし、ＮＵＲＢＳ等のＢ−スプライン曲
面、ベジエ曲面、グレゴリー（Ｇｒｅｇｏｒｙ）パッチ
等でもよい。

【００９５】シェーディング部５２は、パッチの貼りつ
けが終了したオブジェクトにシェーディングを施す。シ
ェーディングされたオブジェクトは表示制御部６０の制
御を経て表示装置７０に表示される（Ｓ６）。図２０は
表示されたオブジェクトを示す図である。同図のごと
く、ハート型のオブジェクトが表示される。

【００９６】この後、表示したオブジェクトに修正の余
地があれば（Ｓ７のＹ）ユーザは必要な編集段階（図１
５の場合、Ｓ１）に戻り、ノードの位置やエッジの形状
等を変更する。しかる後に再度レンダリングと表示を経
て、最終的に承認可能なオブジェクトができあがれば、
基本情報を二次記憶装置８０に記憶したり（Ｓ８）、ネ
ットワークに送り出すことで一連の処理を終了する。

【００９７】本実施の形態の処理について認識すべき点
がいくつかある。まず第一の点は、基本情報があたかも
従来のワイヤーフレームモデルのようでありながらそれ
とは本質的に異なる点である。すなわち、従来のワイヤ
ーフレームモデルは最終的に得られる情報がワイヤーフ
レームのみであるため、レンダリングしても決して曲面
を貼ることができない。一方、本発明はワイヤーフレー
ムモデル程度のデータ量でありながら、オブジェクトの
表面を貼って表示することができる。

【００９８】第二の点は、そうして表面を貼った状態が
従来のサーフェスモデルによるモデリングに似て非なる
ことである。サーフェイスモデルでは各曲面が独立して
いて、オブジェクトの実体が面のどちらにあるかわから
ない。一方、本実施の形態によれば、オブジェクトの位
相情報をもつレーブグラフを利用するため、オブジェク
トの実体を常にシステムとして把握している。この意味
で本実施の形態はソリッドモデラであることがわかる。

【００９９】第三の点は、高度なソリッドモデルをドロ
ーイングソフトウエア程度の簡単なユーザインタフェイ
スで実現できるこである。これらの特徴により、編集が
容易でデータ量も少なく、しかも設計したオブジェクト
の構造を容易に保証できるシステムを提供することがで
きる。

【０１００】以上が本実施の形態に係るＣＧ制作装置１
の構成と動作である。本発明については、例えば以下の
ような実施の形態も考えられる。 １．ＣＧ制作装置１では輪郭線やガイディングカーブも
ユーザが入力した。しかし、これはシステム側である程
度デフォルト設定ができる。例えばノードと輪郭線の位
置からある程度妥当なガイディングカーブを自動生成す
る機能をガイディングカーブ指定部４２に設ける。図１
８のオブジェクトから図１９のそれへの移行に当たり、
同じエッジに付けられた輪郭線の対応点を決め、これら
をひとつのガイディングカーブの制御点とすればよい。
対応点の決め方として、まず、 ｉ）各輪郭線でｘ座標が最小になる点（Ｐ１とする）を
検出し、 ｉｉ）各輪郭線でＰ１から各輪郭線の周囲の１／４進ん
だ点をＰ２とし、 ｉｉ）各輪郭線でＰ２から各輪郭線の周囲の１／４進ん
だ点をＰ３とし、 ｉｉ）各輪郭線でＰ３から各輪郭線の周囲の１／４進ん
だ点をＰ４とする、 という簡単な処理を行う。つづいて、各輪郭線のＰ１ば
かりを制御点としてひとつのガイディングカーブを生成
する。同様にＰ２〜４についてそれぞれひとつのガイデ
ィングカーブを生成する。対応点の決め方自体は他にも
既知の技術があり、それを用いてもよい。ガイディング
カーブを自動生成する場合、基本情報からガイディング
カーブのデータを外すことも可能になる。

【０１０１】２．同様に輪郭線についてもある程度シス
テム側で自動生成ができる。例えば、輪郭線はエッジを
中心とする円と決めてもよい。その円の半径は定数とし
てもよいし、隣のエッジとの間隔の１／３など、エッジ
どうしの相互位置をもとに決めてもよい。この場合、基
本情報から輪郭線のデータを外すことも可能になる。

【０１０２】３．モデリングとレンダリングの分け方に
はいくぶん自由度がある。例えば、曲面パッチ生成部５
１もモデリング部３０へ入れてもよい。両者の境界はあ
る程度概念的なためである。

【０１０３】４．モデリング部３０とレンダリング部５
０をひとつのプログラムにまとめ、記録媒体としてユー
ザに提供してもよい。モデリング部３０とレンダリング
部５０のうちの曲線パッチ生成部５１をひとつのプログ
ラムにまとめて記録媒体に格納してもよい。基本情報を
作成するだけであれば、モデリング部３０のみをプログ
ラムとして提供することもできる。それ以外の組合せに
ついても当業者には容易に実現できるところである。

【０１０４】［実験の結果］図２３はＣＧ制作装置１で
人の手をモデリングした結果を示している。同図は手に
関する基本情報を表示した画像で、図１９に対応する。
この実験では、レーブグラフのノードとエッジはそれぞ
れ約１０、輪郭線とガイディングカーブはそれぞれ約２
０で、ガイディングカーブはすべて自動生成した。

【０１０５】一方、図２４は図２３の基本情報をもとに
手をレンダリングして表示した結果を示している。この
実験の場合、図２３の状態、つまり基本情報のデータサ
イズは約３キロバイト、図２４の状態、つまりレンダリ
ングしてＶＲＭＬ形式でバッチを貼ったときのデータサ
イズは約６００キロバイト（圧縮時は約２００キロバイ
ト）であった。したがって、データ量の点からも本発明
の有用性が実証された。

【図面の簡単な説明】

【図１】 特異点の指数、ｋ次元セルおよびそれによっ
て符号化される物体の関係を示す図である。

【図２】 図２（ａ）〜（ｃ）はそれぞれが同じモース
の指数の配列をもつ３組の曲面を示す図である。

【図３】 図３（ａ）〜（ｃ）はトーラスとそのレーブ
グラフの関係を示す図である。

【図４】 演算子を用いてトーラスを符号化する方法を
示す図である。

【図５】 輪郭線のホモトピー変形を示す図である。

【図６】 演算子を構成する主な４つの要素を示す図で
ある。

【図７】 ガイディング曲線によって上の輪郭線が徐々
に下の輪郭線に変形される様子を示す図である。

【図８】 微分不可能な点を含む物体を示す図である。

【図９】 図８の物体を微分可能な形状関数をもつ物体
に置き換えた様子を示す図である。

【図１０】 頂部も分岐部もそれぞれ水平面である物体
を示す図である。

【図１１】 図１０の物体の高さを０として表現した状
態を示す図である。

【図１２】 物体のリッジを示す図である。

【図１３】 火山のリム構造を示す図である。

【図１４】 本発明のモデリング方法を利用したＣＧ制
作装置１の構成図である。

【図１５】 ＣＧ制作装置１によるオブジェクトのモデ
リングの手順を示す図である。

【図１６】 ＣＧ制作装置１によるモデリング途上（Ｓ
１終了時点）のオブジェクトを示す図である。

【図１７】 ＣＧ制作装置１によるモデリング途上（Ｓ
２終了時点）のオブジェクトを示す図である。

【図１８】 ＣＧ制作装置１によるモデリング途上（Ｓ
３終了時点）のオブジェクトを示す図である。

【図１９】 ＣＧ制作装置１によるモデリング途上（Ｓ
４終了時点）のオブジェクトを示す図である。

【図２０】 ＣＧ制作装置１によるモデリング途上（Ｓ
６終了時点）のオブジェクトを示す図である。

【図２１】 ノードＮ１、Ｎ３の間に自由曲線でエッジ
を貼る方法を示す図である。

【図２２】 実施の形態で生成された基本情報のデータ
テーブルを示す図である。

【図２３】 実施の形態のＣＧ制作装置１で人の手をモ
デリングした結果得られた基本情報を表示した状態を示
す図である。

【図２４】 図２３の基本情報をもとに手をレンダリン
グして表示した結果を示す図である。

【符号の説明】

１ ＣＧ制作装置、１０ ユーザインタフェイス部、３
０ モデリング部、３１ 骨格編集部、３２ ノード指
定部、３３ エッジ指定部、４０ 外形編集部、４１
輪郭線指定部、４２ ガイディングカーブ指定部、５０
レンダリング部、５１ 曲面パッチ生成部、５２ シ
ェーディング部、６０ 表示制御部、７０ 表示装置、
８０ 二次記憶装置、９０ 記憶制御部、１００ 通信
制御部。

フロントページの続き (56)参考文献 情報化学討論会・構造活性相関シンポ ジウム講演要旨集、Ｖｏｌ．14ｔｈ−19 ｔｈ（1991）國井利泰「ＣＧによる４次 元モデリング」ｐ．特３−14 ＩＥＥＥ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａ ｐｈｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔ ｉｏｎｓ、Ｖｏｌ．11、Ｎｏ．５（Ｓｅ ｐｔｅｍｂｅｒ 1991）、（米）、Ｙｏ ｓｈｉｈｉｓａ Ｓｈｉｎａｇａｗａ ａｎｄ Ｔｏｓｈｉｙａｓｕ Ｌ．Ｋｕ ｎｉｉ、「Ｓｕｒｆａｃｅ Ｃｏｄｉｎ ｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｏｒｓｅ Ｔ ｈｅｏｒｙ」、ｐ．66−78 ＩＥＥＥ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａ ｐｈｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔ ｉｏｎｓ、Ｖｏｌ．11、Ｎｏ．６（Ｎｏ ｖｅｍｂｅｒ 1991）、（米）、Ｙｏｓ ｈｉｈｉｓａ Ｓｈｉｎａｇａｗａ ａ ｎｄ Ｔｏｓｈｉｙａｓｕ Ｌ．Ｋｕｎ ｉｉ、「Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ Ｒｅｅｂ Ｇｒａｐｈ Ａｕｔｏｍａ ｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｏｍ Ｃｒｏｓｓ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ」、ｐ．44−51 情報処理学会第54回（平成９年前期) 全国大会講演論文集（1997−３−12）情 報処理学会、田村周，品川嘉久、「形状 情報付きレーブグラフによる３次元物体 の構成」ｐ．［４］189−［４］190 (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 1/00 - 17/50 G06F 17/50

Claims (7)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 三次元オブジェクトを構築する装置であ
   って、 当該装置はドローイングツールとしてのユーザインタフ
   ェイスを有し、 前記ユーザインタフェイスは、ユーザが、幾何情報をも
   内在させる形で前記オブジェクトの骨格グラフを編集す
   るための機能部分を提供し、 前記機能部分は、前記ユーザから入力される前記骨格グ
   ラフのノードの三次元座標を取得することを特徴とする
   三次元オブジェクトのモデリング装置 。
2. 【請求項２】 三次元オブジェクトを構築する装置であ
   って、 当該装置はドローイングツールとしてのユーザインタフ
   ェイスを有し、 前記ユーザインタフェイスは、ユーザが、幾何情報をも
   内在させる形で前記オブジェクトの骨格グラフを編集す
   るための機能部分を提供し、 前記機能部分は、前記ユーザから入力される前記骨格グ
   ラフのエッジの形状情報を取得することを特徴とする三
   次元オブジェクトのモデリング装置 。
3. 【請求項３】 コンピュータにて実行可能なプログラム
   を記録した、コンピュータにて読み取り可能な記録媒体
   であって、 前記プログラムは、三次元オブジェクトを構築するため
   のドローイングツールとしてのユーザインタフェイス機
   能を有し、 前記ユーザインタフェイス機能は、ユーザが、幾何情報
   をも内在させる形で前記オブジェクトの骨格グラフを編
   集するための編集機能を提供し、 前記編集機能は、前記ユーザから入力される前記骨格グ
   ラフのノードの三次元座標を取得することを特徴とする
   記録媒体。
4. 【請求項４】 コンピュータにて実行可能なプログラム
   を記録した、コンピュータにて読み取り可能な記録媒体
   であって、 前記プログラムは、三次元オブジェクトを構築するため
   のドローイングツールとしてのユーザインタフェイス機
   能を有し、 前記ユーザインタフェイス機能は、ユーザが、幾何情報
   をも内在させる形で前記オブジェクトの骨格グラフを編
   集するための編集機能を提供し、 前記編集機能は、前記ユーザから入力される前記骨格グ
   ラフのエッジの形状情報を取得することを特徴とする記
   録媒体。
5. 【請求項５】 オブジェクトの高さ方向の特異点をノー
   ドとしてその座標の指定を受け付け、 ノード間の接続状態を示すエッジを曲線情報としてその
   指定を受け付け、 エッジ上の点におけるオブジェクトの断面の輪郭線の入
   力を受け付けてこれを前記の点に関連づけ、 入力された輪郭線間にオブジェクトの外形に沿う補助曲
   線をユーザからの入力または計算処理をもとに付与し、これら一連の処理によって得られるデータを用いて オブ
   ジェクトを記述することを特徴とする三次元オブジェク
   トのモデリング方法。
6. 【請求項６】 オブジェクトの高さ方向の特異点をノー
   ドとしてその座標の指定を受け付ける手段と、 ノード間の接続状態を示すエッジを曲線情報としてその
   指定を受け付ける手段と、 エッジ上の点におけるオブジェクトの断面の輪郭線の入
   力を受け付けてこれを前記の点に関連づける手段と、 入力された輪郭線間にオブジェクトの外形に沿う補助曲
   線をユーザからの入力または計算処理をもとに付与する
   手段と、 を含むことを特徴とする三次元オブジェクトのモデリン
   グ装置。
7. 【請求項７】 オブジェクトの高さ方向の特異点をノー
   ドとしてその座標の指定を受け付ける機能と、 ノード間の接続状態を示すエッジを曲線情報としてその
   指定を受け付ける機能と、 エッジ上の点におけるオブジェクトの断面の輪郭線の入
   力を受け付けてこれを前記の点に関連づける機能と、 入力された輪郭線間にオブジェクトの外形に沿う補助曲
   線をユーザからの入力または計算処理をもとに付与する
   機能と、 をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録し
   たコンピュータ読み取り可能な記録媒体。