JP2903303B2

JP2903303B2 - アニメーション処理方法およびその応用

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Publication number: JP2903303B2
Application number: JP8233492A
Authority: JP
Inventors: 博文伊藤; 嘉久品川; 利▲やす▼ 國井
Original assignee: MONORISU KK
Current assignee: MONORISU KK
Priority date: 1996-09-03
Filing date: 1996-09-03
Publication date: 1999-06-07
Anticipated expiration: 2016-09-03
Also published as: US5966141A; JPH1079042A

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、アニメーション
を処理する方法、特に、画像をフレームをキーフレーム
とそれ以外の中間フレームに分類して処理を行う方法に
関する。この方法は、例えばアニメーション作成の際の
インビットウィーニング（inbetweening）またはトゥウ
ィーニング（tweening）と呼ばれる中割処理の自動化に
利用することができる。この発明はまた、前記の方法を
実現するプログラムを記録する記録媒体、および前記の
方法を利用したアニメーションの送受信システムに関す
る。

【０００２】

【従来の技術】テレビ、ビデオ再生装置をはじめ、各種
マルチメディア機器や画像通信技術の進歩により、今日
の情報文化、娯楽文化において、映像は音声とともに中
心的な役割を果たしている。各種映像に対する需要の拡
大が映像技術の進展を促し、映像技術の進歩が新たな映
像文化を産んでいる。アニメーションの世界でも、画像
の高品質化やコンピュータ・グラフィックス（以下Ｃ
Ｇ）技術の導入により、かつて想像もできなかった複雑
精緻な、または極めて芸術性の高い作品が製作されるよ
うになった。

【０００３】今日のテレビの標準規格のひとつにＮＴＳ
Ｃがある。この規格では、表示フレーム数は通常３０Ｆ
ＰＳ（frames per second）である。また、リミテッド
・アニメーションという簡易的な表示の場合は１５ＦＰ
Ｓ、映画の場合はこの数字が通常２４ＦＰＳとなる。し
たがって、テレビや映画などのアニメーションを作成す
るとき、最低でも１５ＦＰＳに相当するセル画を描く必
要がある。１時間のアニメーションの場合、セル画は数
万という膨大な枚数になる。

【０００４】こうしたセル画を効率的に制作する手法と
して、従来より中割手法が知られている。この手法は、
まずアニメータがキーフレームと呼ばれる重要なフレー
ムを描き、キーフレーム間のフレーム（以下「中間フレ
ーム」という）を他の数名のアニメータが分業して描き
足すというものである。ただし、描画自体は依然手作業
によるため、効率化には限界がある。

【０００５】最近では、この中割手法がＣＧのアニメー
ション・プログラムにも取り入れられている。こうした
アニメーション・プログラムでは、時間軸上にオブジェ
クトの動きを割り付けていく。キーフレームはイベント
の起こった箇所に設けられる。例えば金槌でくぎをたた
くアニメーションを作る場合、キーフレームは２つ存在
する。１番目のキーフレームは金槌を振り上げて構える
場面、２番目は金槌がくぎに当たる場面である。したが
って、まずこれらのキーフレームにおけるオブジェクト
の画像をコンピュータに入力する。

【０００６】つづいて、２つのキーフレーム間のオブジ
ェクトの位置を計算することによって中割が行われる。
最も簡単な計算は線形補間であり、オブジェクトは２つ
のキーフレーム間を一定の速度で移動していく。最近で
は、キーフレーム間でオブジェクトの速度が変わるよう
な場合を想定し、イーズ・イン（加速）やイーズ・アウ
ト（減速）と呼ばれる手法も実現されている。また、オ
ブジェクトの移動経路をスプライン曲線で表現すること
により、より自然で滑らかな中間フレームを生成する技
術も知られている。

【０００７】特開昭６０−１９１３６６号公報には、従
来一般的な中割技術が開示されている。この公報では、
キーフレームに描かれたキャラクタが複数の曲線で構成
されるとき、それらの曲線の複数のキーフレーム間にお
ける対応関係を予め記述することより、中間フレームに
おけるキャラクタの形状を自動的に算出、生成しようと
いうものである。

【０００８】

【発明が解決しようとする課題】各種アニメーション・
プログラムに中割機能をもたせることにより、アニメー
ション制作の効率を改善することができる。しかしなが
ら、中割を行うための準備として、ユーザはキーフレー
ム間で対応しあう点を予め入力したり、対応しあう点が
頂点になるような多角形を描画しなければならないな
ど、通常のフリーハンドの描画作業とは異なる作業を強
いられる。このため、アニメータに負担が生じている。

【０００９】さらに大きな問題として、アニメーション
・プログラムによって実際に中割を行うと、しばしば中
間フレームにおけるオブジェクトが不合理な形状をとる
ことがある。例えば、目の前で掌を１８０゜回転させる
ようなアニメーションの場合、キーフレーム間で対応し
あう指を自動認識することは容易ではない。したがっ
て、あるキーフレームの中指と次のキーフレームの人差
し指の間が間違って対応づけられるなど、現実にはあり
えない中間フレームが生成されるおそれがある。

【００１０】一般に、フレーム間のオブジェクトの正し
い対応づけは画像認識の分野で以前から研究されてお
り、エリアマッチング等の種々の手法が提案されてい
る。それにも拘らず、高価なハードウエアと長い計算時
間を許したとしても、完全な対応づけはほとんど不可能
と考えられている。対応付けの精度を高めるためには、
オブジェクトのキーフレーム間における動きが少なくな
るよう非常に多数のキーフレームを設ける必要がある。
しかし、これではアニメーション制作の効率化に逆行す
るし、それでも満足できる精度で対応づけがなされるこ
とは稀である。特に、掌の回転の具合によって複数の指
が重なって見えたり離れて見える場面が混在する場合、
画像認識によるアプローチはきわめて困難である。

【００１１】

【課題を解決するための手段】本発明の目的は、キーフ
レームから中間フレームを自動生成する際に中間フレー
ムにおけるオブジェクトの形状が妥当なものになるこ
と、準備すべきキーフレームの数を減らすこと、フリー
ハンドによるキーフレームの描画を認めること、キーフ
レームに予めフレーム間の対応情報を与える必要をなく
すこと、比較的簡素なハードウエアを用いて短い計算時
間で中間フレームを生成すること、これら一連の処理に
当たってユーザの操作性が簡単であることにある。

【００１２】これらの目的を達成するために、本発明者
は、まずどのような場合に中間フレームにおけるオブジ
ェクトの形状が不合理になりうるかを解析した。その結
果、位相幾何学（トポロジー）の概念を導入することに
より、この問題が説明できることを明らかにした。すな
わち、オブジェクトの形状の妥当性はそのオブジェクト
の位相という観点で捉えることができるのである。本発
明者は、位相幾何学、特に後述のモース理論を拡張する
ことにより、オブジェクトの形状の妥当性を確保するた
めの方法を見いだした。

【００１３】本発明では、キーフレームにおけるオブジ
ェクトの形状が、ある立体の断面の輪郭線形状に等しく
なるような立体を想定する。この立体をアニメーション
立体と呼ぶ。いったんアニメーション立体ができれば、
あとはこの立体の断面を切り出すことにより、中間フレ
ームにおけるオブジェクトの形状を得ることができる。
逆にいえば、ある断面の形状がその断面の位置に対応す
る中間フレームにおけるオブジェクトの形状に一致する
ような立体がアニメーション立体である。

【００１４】例えば第１のキーフレームに１つの球Ａ、
第２のキーフレームには２つの球Ｂ、Ｃが描かれていた
とする。このとき、ケース１．球Ｂ、Ｃのうち一方（球Ｂとする）は球Ａそ
のものであり、他方（球Ｃとする）はいずれかの中間フ
レームで出現した、と考えることができる。この他に、ケース２．球Ａが分裂して球Ｂ、Ｃになった、という可
能性もある。もちろん、この他にもいくつかの可能性は
ある。

【００１５】しかしいずれの場合でも、アニメーション
立体を導入することにより、位相幾何学の観点から説明
することが可能である。すなわち、１．は「球ＡとＢは
同じ連結成分に含まれ、球Ｃは別の連結成分に含まれ
る」と表現できる。連結成分とは、それぞれが個別の実
体と考えてよい。つまり、アニメーション立体は球Ａと
Ｂを断面として含む立体と、球Ｃを断面として含む立体
の、合計２つの立体の集合として構成される。一方、
２．は「球Ａ、Ｂ、Ｃはすべて同じ連結成分に含まれ
る」と表現できる。この場合、アニメーション立体は単
一の立体で構成される。アニメーション立体は、球Ａを
断面とする箇所から球ＢおよびＣを断面とする箇所の間
で分岐する。分岐に関する考察も位相幾何学によって可
能になる。

【００１６】このように、本発明では位相という概念を
意識してアニメーション立体を生成するため、中間フレ
ームにおけるオブジェクトの妥当な形状を条件に応じて
提示することができる。例えば、一般則として「球は分
裂しない」という条件が与えられれば、本発明では正し
く上記１．の場合の中間フレームを生成する。分裂とい
う現象は位相幾何学では分岐（ブランチ）として扱われ
る。オブジェクトの形状のとりうる可能性の明確な分類
は、位相幾何学の助けを借りることによって可能となる
のである。

【００１７】（１）具体的には、本発明のアニメーショ
ン処理方法は、フレームをキーフレームとそれ以外の中
間フレームに分類して処理を行う。この方法は、オブジ
ェクトが描かれた複数のキーフレームを準備するキーフ
レーム準備工程と、アニメーション立体を生成する工程
であって、その立体の断面の輪郭線形状を前記キーフレ
ームに描かれたオブジェクトの輪郭線形状に一致させた
うえで、その立体の位相に注目しながらその立体の表面
を生成する立体生成工程とを含む。

【００１８】この構成において、まず複数のキーフレー
ムが準備される。つづいて、アニメーション立体を生成
する。アニメーション立体の形状はその複数の断面の輪
郭線形状によって規定され、それら輪郭線形状はそれぞ
れ対応するキーフレームに描かれたオブジェクトの輪郭
線形状に一致する。つづいて、アニメーション立体の位
相に注目しながらその立体の表面を生成し、立体が完成
する。

【００１９】いったんアニメーション立体が完成すれ
ば、あとはこの断面を切り出すことで任意の中間フレー
ムが得られる。このため、少ないキーフレームから多数
の中間フレームを生成することができる。また、アニメ
ーション立体の状態で保存することにより、アニメーシ
ョンのデータベース化が可能になる。

【００２０】（２）本発明のある態様は、生成されたア
ニメーション立体の前記断面とは異なる断面における輪
郭線形状をもとに中間フレームに含まれるオブジェクト
の二次元形状を取得する補間工程を含む。この補間工程
がいわゆる中割工程である。

【００２１】（３）本発明のある態様では、前記立体生
成工程は、隣接するキーフレームに描かれているオブジ
ェクトの輪郭線どうしの近さをもとに隣接するキーフレ
ーム間における輪郭線の対応関係を把握する対応輪郭線
検出工程と、対応する輪郭線間の表面をホモトピーの概
念を用いて生成する表面生成工程とを含む。

【００２２】例えば前述のケース１．の場合、球Ａが球
Ｂ、Ｃのいずれになったかを判定する際、球Ａと球Ｂ、
球Ａと球Ｃ、それぞれの近さを計算する。近さは、例え
ば球Ａの輪郭線上に一定間隔で点をとり、これらの各点
から球Ｂの輪郭線上の最も近い点までの距離を求めてこ
れらを合計し、この合計値の小ささで評価する。この合
計値を球Ｃについても求め、例えば球Ｂに関する合計値
のほうが小さいければ球Ａは球Ｂになったと考える。こ
の作業を繰り返すことにより、異なるキーフレーム間で
対応しあう輪郭線の対（以下「対応輪郭線対」という）
が判明する。

【００２３】つづいて、対応輪郭線対の間の表面をホモ
トピーの概念で生成する。ホモトピーの正確な定義は後
述するが、概略的には、ホモトピーはある関数ｆを別の
関数ｇに連続的に変形していく関数Ｆである。したがっ
て、対応輪郭線対の一方の形状関数をｆ、他方のそれを
ｇとしてホモトピーＦを定めれば、そのＦによって対応
輪郭線対の間の表面が生成される。これをすべての対応
輪郭線対の間で行うことにより、アニメーション立体が
完成する。

【００２４】この態様によれば、異なるキーフレーム間
で互いに近い位置にある輪郭線どうしが対応するであろ
うという経験則をもとに、輪郭線の対応関係の把握を自
動化することができる。このため、ユーザはキーフレー
ムをフリーハンドで描画することができ、わざわざキー
フレーム間の画像の対応関係を入力する必要もない。中
間フレームにおけるオブジェクトの形状も妥当なものに
なる。

【００２５】また、この態様によれば、ホモトピーの概
念によって立体の表面が生成されるため、このホモトピ
ーの関数形を決めておけば表面の一意的な表現が可能と
なる。立体のモデリングの際に表面パッチの貼り付けを
行う場合、通常その貼り付け方が一意的には決まらず、
したがって自動化が困難とされる。本発明は副次的な効
果としてアニメーション立体の一意的表現が可能にな
り、したがってアニメーション自体の一意的な表現が可
能になる。

【００２６】（４）本発明のある態様では、前記対応輪
郭線検出工程は、隣接するキーフレーム間で輪郭線の数
が一致しないとき、それらのキーフレーム間で輪郭線の
自然消滅または自然発生があったものとみなし、その自
然消滅または自然発生を考慮して輪郭線の対応関係を把
握する。ここで「自然消滅」「自然発生」とは、分岐に
よって発生または消滅するのではなく、それ自体、他と
無関係に発生または消滅することをいう。

【００２７】この態様は、上述の球の例においてケース
１を選択することに等しい。すなわち、ケース１では球
Ａの輪郭線は球Ｂのそれに連続的につながっていくが、
球Ｃの輪郭線はいずれかの中間フレームで自然発生す
る。一方、ケース２では球Ａの輪郭線が球ＢおよびＣに
分岐するだけで、新たな輪郭線が自然発生するわけでは
ない。

【００２８】この態様は「実存する三次元のオブジェク
トが分裂したり融合する可能性は低い」という経験則に
基づいている。球の例でも、ケース２よりはケース１の
ほうがより一般的な現象である。したがって、本態様の
ような決め方をすることにより、ユーザがケースを指定
しなくても、大抵の場合に所望のアニメーションを得る
ことができる。この結果、ユーザの操作はより簡単にな
る。

【００２９】（５）本発明のある態様では、前記対応輪
郭線検出工程は、隣接するキーフレーム間で輪郭線の自
然消滅または自然発生があった場合、輪郭線の木構造を
もとに自然消滅または自然発生すべき輪郭線を推定して
輪郭線の対応関係を把握する。

【００３０】例えば、トーラス（ドーナツ）が９０°回
転したとき、最初に中心の穴が見えていたとしても、こ
れが見えなくなる場合がある。輪郭線の中に別の輪郭線
があるとき、前者を親輪郭線、後者を子輪郭線と定義す
れば、トーラスの外側の円は親輪郭線、内側の円は子輪
郭線となる。したがって、消えるのは子輪郭線のほうで
ある。通常の三次元オブジェクトでは、子輪郭線は親輪
郭線の存在を前提に存在するため、子輪郭線だけが残っ
て親輪郭線が消えるという現象は起こらない。同様に、
自然発生する輪郭線が既存の輪郭線の親輪郭線になるこ
ともない。本態様では、こうした観点から自然消滅また
は自然発生する輪郭線を推定する。「木構造」とは輪郭
線の親子関係を示すもので、前記推定を可能ならしめる
ものである。

【００３１】本態様によれば、ユーザが自然消滅等する
輪郭線をわざわざ指定する必要がなく、ユーザの操作が
より容易になる。

【００３２】（６）本発明の別の態様では、前記対応輪
郭線検出工程は、アニメーション立体の連結成分の数に
関する指定にもとづいて輪郭線の分岐を考慮し、輪郭線
の対応関係を把握する。

【００３３】球の例において、ケース１で関係する連結
成分は２であり、輪郭線の数は１から２に変化し、輪郭
線は分岐しない。このため、「輪郭線の数が連結成分の
数以下のときは輪郭線の分岐はない」と一般化すること
ができる。一方、ケース２で関係する連結成分は１であ
り、輪郭線の数はケース同様に１から２に変化する。ケ
ース２では輪郭線は分岐している。このため、「連結成
分よりも輪郭線が多いときは輪郭線の分岐がある」と一
般化することができる。

【００３４】このように、予め隣接するキーフレーム間
で関係する連結成分の数が与えられれば、あとは輪郭線
の数から自動的に輪郭線の分岐の有無を判定することが
できる。

【００３５】（７）本発明のある態様では、前記表面生
成工程は、対応する輪郭線上において対応しあう点（以
下「対応点対」ともいう）をそれらの点の近さをもとに
検出し、これらの対応点対をホモトピーの軌跡で連続的
につなぐことで立体の表面を生成する。

【００３６】本態様では、対応点対を自動的に決めるこ
とができるため、アニメータがキーフレーム間の対応点
対をわざわざ指定したり入力する必要がない。

【００３７】（８）本発明のある態様では、（７）のと
き前記表面生成工程は、対応する２つの輪郭線Ａ、Ｂそ
れぞれの上の点ａ、ｂについて、点ａから見て輪郭線Ｂ
上の最も近い点が点ｂであり、かつ点ｂから見て輪郭線
Ａ上の最も近い点が点ａであるとき、これら点ａ、ｂを
対応点対として検出する。以降、これらの点を「最近点
対」ともよぶ。

【００３８】この態様は後述の連続トロイダルグラフを
用いた対応点対検出の基本原理に当たる。この方法によ
れば、輪郭線Ａ、Ｂ上の対応点対がそれぞれの輪郭線全
周を見渡したうえで決まるため、従来の離散トロイダル
グラフ（後述）に比べてより自然な対応関係を見い出す
ことができる。

【００３９】（９）本発明のある態様では、前記対応輪
郭線検出工程は、隣接するキーフレームに描かれている
オブジェクトの移動による影響を差し引いたうえで、そ
れらキーフレーム上に存在する輪郭線どうしの近さを判
断する。

【００４０】例えば、カメラでオブジェクトを撮影する
ような場合、カメラの移動によってすべてのオブジェク
トが移動する。この状態でキーフレーム間の対応輪郭線
対を検出すると、誤対応が増えると考えられる。カメラ
が動かなくとも、複数のオブジェクトが右から左に移動
するような場合に同様の問題が起こる。そこでこの態様
では、移動の影響を差し引いたうえで輪郭線どうしの近
さを判断する。具体的には、すべてのオブジェクトをも
との位置に戻したうえで近さを判定するなどの方法があ
る。

【００４１】この態様によれば、対応輪郭線対の検出精
度が高まるため、準備すべきキーフレームの数をさらに
減らすことができる。

【００４２】（１０）本発明のある態様では、前記対応
輪郭線検出工程は、隣接するキーフレームに描かれてい
るオブジェクトの輪郭線どうしの近さを把握した後、対
応しあう確率が高い順に輪郭線の対を表示し、ユーザに
対応関係を指定する機会を与える。

【００４３】この態様によれば、輪郭線対を検出する際
に生じうる誤対応の問題を容易に解消することができ
る。ユーザの指定操作も簡単である。

【００４４】（１１）本発明のある態様では、前記対応
輪郭線検出工程は、隣接するキーフレームに描かれてい
るオブジェクトの輪郭線の一方が開曲線、他方が閉曲線
の場合、前記閉曲線が前記開曲線の両端をつないだ状態
に対応する場合にはユーザがその旨の指定をする機会を
与える。開曲線とは、有限の長さをもつ曲線であって閉
曲線でないもの、すなわち曲線セグメントをいう。

【００４５】対応する輪郭線の一方が開曲線、他方が閉
曲線の場合、閉曲線が開曲線の両端をつないだ状態に対
応する場合のほか、例えば閉じている目が開くように、
両端が固定されたまま中央部分が２つに開いて分かれた
状態に対応する場合がある。そこで、本発明ではユーザ
がそれらのいずれを望むかを指定できるものとする。

【００４６】（１２）本発明の別の態様は、オブジェク
トが描かれた複数のキーフレームを準備するキーフレー
ム準備工程と、アニメーション立体を生成する工程であ
って、その立体の断面の輪郭線形状を前記キーフレーム
に描かれたオブジェクトの輪郭線形状に一致させたうえ
で、その立体の表面を前記断面の輪郭線どうしをつなぐ
ホモトピーの概念を用いて生成する立体生成工程とを含
む。

【００４７】ここでは（１）同様にまず複数のキーフレ
ームが準される。つづいて、立体生成工程でアニメーシ
ョン立体が生成される。アニメーション立体の表面はホ
モトピーの概念を用いて生成される。この結果、いつで
も中割が可能な状態が実現される。

【００４８】（１３）本発明のある態様では、（１２）
のキーフレーム準備工程は、フレームに描かれるべきオ
ブジェクトの二次元形状が時間の経過とともに位相同形
でなくなるようなフレーム（以下「臨界フレーム」とも
いう）をキーフレームとして準備する。臨界フレームの
例は、１つの物体が引き延ばされて２つの物体に分裂す
るとき、その分裂する瞬間のフレームである。本明細書
では、アニメーション立体の位相が変わることと臨界フ
レームが存在することは同義と考えてよい。なぜなら、
アニメーション立体の臨界フレームに相当する断面にお
いて、１つの物体が２つの物体に分岐等するためであ
る。

【００４９】この態様では、実際にオブジェクトの位相
が変化する場面でその変化がキーフレームに反映され
る。したがって、中間フレームでは逆に位相の変化がな
いことになり、ホモトピーによる表面の生成に好都合で
ある。なぜなら、ホモトピー自体は連続関数であり、ホ
モトピーの軌跡して生成された表面はアニメーション立
体の位相を変化させないためである。

【００５０】この態様によれば、キーフレームから中間
フレームを生成する際、中間フレームにおけるオブジェ
クトの形状が妥当なものになる確率が高まる。なぜな
ら、位相の変化はキーフレームによって指定でき、一
方、キーフレーム以外の位相の変化しないフレームは位
相を変化させないホモトピーの概念を用いて生成される
ためである。この態様では、システムが位相の変化を推
定する必要はない。実際のアニメーション作成現場で
も、アニメータは無意識のうちに臨界フレームをキーフ
レームにしていることが多く、インプリメンテーション
の面でも無理がない。

【００５１】（１４）（１２）において本発明のある態
様は、生成されたアニメーション立体の前記断面とは異
なる断面における輪郭線形状をもとに中間フレームに含
まれるオブジェクトの二次元形状を取得する補間工程を
含む。このため、（２）同様、容易に中割が実現され
る。

【００５２】（１５）（１２）において本発明のある態
様では、前記アニメーション立体は、前記キーフレーム
の数と同じ数の互いに平行な断面によって定義される立
体であって、それらの断面に垂直な軸がキーフレームの
表示時刻を示す時間軸に対応するような三次元形状をも
つ立体である。すなわち、アニメーション立体の断面を
ｘｙ平面に平行におくとき、ｚ軸が時間軸となる。

【００５３】仮に２つのキーフレームの表示時刻をｔ＝
ｔ０、ｔ＝ｔ１とすると、これら２つのキーフレームの
ちょうど中間にある中間フレームの表示時刻はｔ＝（ｔ
０＋ｔ１）／２である。２つのキーフレームはそれぞれ
アニメーション立体のｚ＝ｔ０、ｚ＝ｔ１における断面
である。また、前記中間フレームは同様にｚ＝（ｔ０＋
ｔ１）／２における断面となる。アニメーション立体を
このように定義することにより、中割処理を少ない計算
量で容易に行うことができる。

【００５４】（１６）一方、本発明のさらに別の態様は
記録媒体に関する。この記憶媒体にはアニメーション処
理を行うプログラムが格納される。このプログラムは、
オブジェクトが描かれた複数のキーフレームの入力を受
け付けるキーフレーム受付モジュールと、アニメーショ
ン立体を生成するモジュールであって、その立体の断面
の輪郭線形状を前記キーフレームに描かれたオブジェク
トの輪郭線形状に一致させたうえで、その立体の位相に
注目しながらその立体の表面を生成する立体生成モジュ
ールと、生成されたアニメーション立体の前記断面とは
異なる断面における輪郭線形状をもとに中間フレームに
含まれるオブジェクトの二次元形状を計算する補間モジ
ュールとを含む。このプログラムは（１）および（２）
の処理を行うものと考えられる。

【００５５】（１７）本発明のさらに別の態様はアニメ
ーションを通信するシステムに関する。このシステム
は、オブジェクトが描かれた複数のキーフレームの画像
と、断面の輪郭線形状が前記キーフレームに描かれたオ
ブジェクトの輪郭線形状に一致するようなアニメーショ
ン立体とを送信する送信装置と、前記画像およびアニメ
ーション立体を受信する受信装置とを含む。

【００５６】この構成において、受信装置がアニメーシ
ョン立体を受信した後、アニメーション立体の断面を切
り出すことにより、その断面における輪郭線形状をもと
に中間フレームに含まれるオブジェクトの二次元形状を
取得する。ある程度多数の中間フレームを取得すれば、
これらを順次表示することにより、アニメーションを再
生することができる。

【００５７】このシステムによれば、非常に少ない通信
データ量でアニメーションを送ることができる。

【００５８】

【発明の実施の形態】本発明の好適な実施形態を説明す
る。本発明を理解するに際し、本発明者が先に公表した
論文の内容を「前提技術」として説明することは有用で
ある。この前提技術は本発明者のひとりの論文（東京大
学博士論文１９９３年品川嘉久）の一部である。

【００５９】前提技術は、位相幾何学の考え方を導入し
て立体を正確に表現するための技術である。一方、本発
明は立体の三次元形状ではなく、その断面の二次元形状
を最終目的とし、立体を異なる意味合いで用いる。本発
明では、立体の断面の形状からアニメーションの各フレ
ーム画像を得る。以下、前提技術を引用した後、その前
提技術に対して必要な修正または拡張を加える形で実施
形態を説明する。

【００６０】［前提技術］[１] モース理論に基づく曲面符号化システム（１）はじめにモース（Morse）理論を数学的ツールとして三次元物体
の解釈を行う。しかし、三次元の曲面を完全な正確さを
もって符号化するためにはモース理論だけでは不十分で
ある。以下、その理由を説明し、モース理論を拡張する
ことによってこの問題の解消を図る。

【００６１】三次元空間における立体や曲面の形状を符
号化するとき、通常これらをなんらかの記号の配列とし
て表現する。自然界に見られるオブジェクトの場合は、
形状は非常に多くの自由度をもつ。そのため符号化の際
には一定の単純化が必要となる。位相幾何学（トポロジ
ー）はこうした単純化を行うための数学的手段である。

【００６２】（２）符号化システムに対する要請自然界の物体の形状データは、しばしば断面という形で
利用可能である。例えばＸ線断層撮影などである。この
データを符号化に用いれば、隣接する断面の輪郭線間で
三角パッチなどの内挿を行う曲面再構成システムによる
利用が可能になる。以下説明する符号化方法も断面の輪
郭線（以下単に「輪郭線」とも呼ぶ）に基づく。

【００６３】符号化システムは、例えば人の内耳の半規
管のように、分岐、ハンドル（穴）または多層曲面から
なる内部構造をもつような物体も符号化できなければな
らない。こうした物体を符号化するために、一連の断面
の輪郭線を記録していくだけでは、対象である曲面を十
分に説明することにはならない。

【００６４】符号化システムでは、符号化された曲面の
位相的な正しさ（トポロジカル・インテグリティ）が維
持される必要がある。そうでないと、符号化された曲面
が物理的に意味をなさないことがある。図１は輪郭線構
造の不当な変換例を示している。ここでは２つの輪郭線
があり、一方が他方に包含されている。したがって、本
来前者は後者の境界線を超えることはできず、この規則
が守られない限り正しい符号化はできない。曲面符号化
システムには位相的な正しさの維持が要求されるのであ
る。

【００６５】（３）古典的なモース理論もともとモース理論は変分法を取扱うために提唱され
た。そしてその目的は、無限次元の道の空間における汎
関数の極小値を記述することにあった。このことから逆
に、汎関数の極小値を利用することにより、それ以外の
方法での記述が困難であるような空間の位相的な特徴を
記述することが可能になる。以下、モース理論の概要を
説明する。

【００６６】◎ 可微分多様体モース理論を適用できる空間は可微分多様体である。有
限次元の多様体を考えてみる。

【００６７】いま任意の整数ｎについて、ｎ次元多様体
は位相空間であって、そこではすべての点がｎ次元空間
Ｒⁿの部分集合の上に一対一かつ両連続に写像可能な近
傍をもつとする。このような写像は「チャート」と呼ば
れ、その領域に含まれる点について局所座標系を提供す
る。地球を例にとれば、緯度と経度が局所座標系に当た
る。多様体がｐ回微分可能であるためには、一方の座標
系から他方の座標系への変換が、２つの異なるチャート
の値域に含まれる点についてｐ回微分可能でなければな
らない。

【００６８】このため多様体は、可微分的に重なり合っ
たＲⁿの領域から構成されていると考えることができ
る。例えば、直線や円周は一次元多様体の構造を与えら
れる。また、球の表面は例えば北半球と南半球のよう
に、少なくとも２つのチャートを用いた二次元多様体を
用いて表現できる。同様にトーラスの表面は、少なくと
も４つのチャートを用いた二次元多様体によって表現で
きる。Ｒ³から結び目のある円を取り除けば三次元多様
体の一例となるし、さらに高次の多様体は例えばロボッ
トの腕のコンフィグレーション空間として現れる。

【００６９】◎ 可微分写像および特異点チャートを用いることにより、ｐ次元多様体からｎ次元
多様体への写像はＲ^pの各区分からＲⁿの各区分への写像
として（区分ごとに）数値表現することができる。これ
らの写像については微分可能性を検証することができ
る。要素がｋ回連続的に微分可能であれば、その写像は
Ｃ^k級である。

【００７０】ここで局所座標系の上で高さ関数を定義す
る。高さ関数は与えられた点の高さ（物体が埋め込まれ
ている三次元空間におけるｚ座標など）を返す関数であ
る。高さ関数ｈ：Ｒ²→Ｒのヤコビ行列は、

【数１】で与えられる。ヤコビ行列は各点について計算すること
ができ、そのランクの最大値はｎとｐの小さいほうであ
る。ヤコビ行列のランクがこの最大値に等しい点は「正
則点」と呼ばれ、それ以外の点は「特異点（singular p
oint）」または「臨界点（critical point）」と呼ばれ
る。例えば、高さ関数に関する特異点には、頂上（pea
k）、鞍点（saddle point）、谷底点（pit）がある。別
のいいかたをすれば、特異点はヤコビ行列がゼロベクト
ルとなる点であり、特異点では法線ベクトルが高さ方向
と同じ方向を向く。なお、特異点が写像される点は特異
値と呼ばれる。

【００７１】◎ ヘッセ行列と指数ｎ次元多様体からＲへの写像（以下「多様体上の関数」
と呼ぶ）については、ある点における偏微分の値がすべ
て０の場合、その点が臨界点となる。そのような点にお
いて、前述の関数は二次偏微分に基づく二次形式によっ
て近似される。この行列表示はヘッセ行列と呼ばれ、そ
の要素は以下のように記述される。

【００７２】

【数２】特異点におけるヘッセ行列の負の固有値の数をその特異
点の指数（index）と呼ぶ。指数は後述の図２に示すと
おり、被約形式におけるマイナス符号の数に等しい。す
なわち、頂上の指数は２、鞍点は１、谷底点は０であ
る。後述の図４（ａ）〜（ｃ）のごとく、トーラスの場
合、指数２、１、０の臨界点はそれぞれ１個、２個、１
個である。

【００７３】臨界点におけるヘッセ行列のランクがｎで
あるとき、その特異点は縮退していない、すなわち「非
縮退」と呼ばれる。どのようなＣ²級関数でも、モース
関数によって近似することができる。モース関数とは、
臨界点の縮退がないような関数をいう。したがって、モ
ース関数の臨界点は孤立しているはずであり、コンパク
トな多様体に関する限り、臨界点は有限個しか存在しな
い。いずれの２つの特異値も等しくないと仮定すること
は非常に好都合であり、その仮定の下でも同じ近似結果
が得られた。

【００７４】◎ ホモトピーの型モース理論によれば、多様体とその多様体上のモース関
数が与えられ、その関数の特異点の指数の列び方が判明
すれば、各特異点に対応する一連の演算を行うことによ
って、その多様体と同じホモトピー型をもつ位相空間を
胞複体（cell complex）として構築することができる。

【００７５】高さを表す任意の実数について、セル（胞
体）はその実数の示す高さ以下の点からなる多様体の部
分に関するモデルを与える。Ｒが上下に走査されると
き、２つの連続する特異値の間ではセルの位相は変化し
ないが、特異値を横切るたびに、それ以前のセルに対し
て「ｋ次元セル」をつなげていくことにより、胞セルを
作り上げていくことができる。ここでｋは横切った特異
点の指数である。簡単にいえば、物体の形はその臨界点
の指数と同じ次元をもつセルというものを貼り合わせる
ことで復元できる。

【００７６】図２は、特異点の指数、ｋ次元セルおよび
それによって符号化される物体の関係を示す図である。
ここでは物体としてトーラスを挙げている。同図のごと
く、注目する高さが臨界点を含む高さを横切るとき、そ
の高さより下の点によって構成される位相が変化する。
この変化は、位相的に見れば後述するようにｋ次元セル
をつないでいくことと同じである。同図のごとく、二次
元セル（ｋ＝２）はお椀を伏せたような形、一次元セル
（ｋ＝１）は紐のような形、０次元セル（ｋ＝０）はひ
とつの点で表すことができる。もとの物体の形は、それ
らのセルをつなげた上で、粘土細工のように変形するこ
とで得られる。トーラスの場合、二次元セルを１個、一
次元セルを２個、０次元セルを１個つなげて得られる。

【００７７】ここで注意すべきは、指数の配列だけでは
セルを完全に記述することはできないことである。図３
（ａ）〜（ｃ）は、それぞれが同じモースの指数の配列
をもつ３組の曲面を示す。このように、指数の配列だけ
でセルを完全に決めることはできない。そのため、セル
をつないでいくときにいずれの連結成分（それぞれ独立
した実体）が関連するかを知らなければらない。

【００７８】レーブ（G.Reeb）は、多様体から位相商空
間として得られるグラフを提唱した。レーブグラフは特
異点の相互関係を示すもので、物体表面を等高線で表
し、各等高線の連結成分をひとつの点として表すことで
得られる。レーブは、多様体（コンパクトとする）にお
いて、モース関数の下で同じ値をもち、かつ対応する断
面として同じ連結成分に含まれるすべての点を等化する
ことにより、このグラフを導出した。つまり、２つの臨
界点を含む平面間に存在する多様体の部分の連結成分は
グラフの辺として表現され、各特異点はグラフの各頂点
に対応する。レーブグラフは物体の骨格を示すグラフと
いうことができる。

【００７９】図４（ａ）〜（ｃ）は、トーラスとそのレ
ーブグラフの関係を示す図である。図４（ａ）は、もと
のトーラス、図４（ｂ）はその断面図、図４（ｃ）はレ
ーブグラフを示している。図４（ｂ）において、同一平
面内にあって重なり合わない円の部分が、（ｃ）におけ
る２つの別々の辺に相当する。このレーブグラフはアイ
コンとして極めて表現力に優れているため、以降必要に
応じてこのグラフをアイコン表示に用いる。

【００８０】（４）理論上の限界重要なのは、モース理論をこのように古典的な方法で用
いた場合、多様体に内在する位相的な性質を発見するこ
とができるに過ぎないことである。指数の配列だけで
は、多様体が空間に埋め込まれている状態を符号化する
ことができない。例えば、空間に埋め込まれたトーラス
に結び目があるかどうかは知ることができない。図４
（ｂ）に示すとおり、２つの異なる形状が同じ特異点に
帰着するためである。同様に図４（ｃ）に示すとおり、
連結があるかどうかもモース理論による単純な符号化で
は示せない。

【００８１】（５）モース理論に基づく符号化の拡張ここでは、議論の対象をＣ²級（三次元空間に埋め込ま
れたＣ²）のコンパクトな二次元多様体の表面に限る。
我々が用いる曲面上のモース関数は、空間における高さ
関数から誘導する。事実、Ｃ²曲面をわずかに回転させ
れば臨界点の縮退をなくすことができるため、その高さ
関数をモース関数にすることができる。

【００８２】モース理論によれば、２つの臨界レベル
（臨界点が含まれる平面の高さ）の間では断面の位相は
変化しない。このことから、曲り具合の異なる多くの円
筒を用いて、２つの臨界レベルの間の曲面をモデル化す
ることができる。特異点のない断面は平面に埋め込まれ
た円から構成されるため、包含関係を表示するために構
造的な符号化が必要となる。すなわち同じ円に含まれる
複数の円をグループ化する符号化である。

【００８３】我々は、レーブグラフから得られる情報
（すなわち各頂点間の接続状態）の他に、モースの指数
に新たな情報を付け加える拡張符号化を提案する。すな
わちこの情報は、２つの連続する臨界値の間で複数の円
筒がどのように交換され、どのような向きに接続される
かに関する情報である。

【００８４】（６）符号化システムの例符号化システムの概要を説明する。このシステムでは、
曲面に対してｋ次元セルを次々につないでいくことによ
り曲面を表現する。そして各断面における輪郭線の階層
構造の変化を追跡する。ここで、セルの接続を示す演算
子を導入し、これらの演算子を用いて曲面を符号化す
る。演算子によって接続されていくセルをアイコンで表
現することにより、符号化の対象となる曲面の構造の理
解を容易にする。

【００８５】この符号化システムの最大の特徴は、得ら
れる符号化の結果が位相の正しさを保証することにあ
る。図１に示したとおり、断面間における輪郭線の階層
構造の変化が物理的に意味のある曲面を規定するとは限
らない。つまり、各断面における輪郭線の階層構造を符
号化するだけでは、位相の正しさを保証することができ
ない。したがって、輪郭線の階層構造を変化させるよう
な演算を符号化することが必要になる。

【００８６】◎ 親子関係と輪郭線輪郭線の階層構造の表現方法を説明する。ここでは木構
造を用いる。

【００８７】まず、ある輪郭線が別の輪郭線を包含する
とき、前者を後者の親輪郭線、後者を前者の子輪郭線と
呼ぶ。図５（ａ）と（ｂ）は輪郭線の親子関係、および
その木構造による表現を示す図である。図５（ａ）のご
とく、親子関係はネスティング構造にすることができ
る。以下、輪郭線の一番目を #1 で示す。 #1 は #2 の
親輪郭線、 #2 は #4 の親輪郭線である。#1 や #7 の
ように親輪郭線をもたない輪郭線は「仮想輪郭線 #0」
の子輪郭線と表現する。したがって、#0 は木構造の頂
点にくる。

【００８８】ある輪郭線の親を示すために、配列 Paren
t#[] を定義する。たとえば Parent#[1]＝0 である。一
方、ある輪郭線の子輪郭線は Children という配列にリ
ストされ、その配列へのポインタが付される。例えば #
3 の子輪郭線である #5 および #6 は、以下のように記
述される。

【００８９】 Children[3]↑[1]＝5、 Children[3]↑[2]＝6 同じ親輪郭線をもつ輪郭線同士は兄弟輪郭線と呼ばれ
る。図５（ａ）の場合、#2 と #3 が兄弟輪郭線であ
る。親輪郭線の親は祖父輪郭線、子輪郭線の子は孫輪郭
線と呼ばれる。また、内部に物体が存在する輪郭線を中
実輪郭線、存在しない輪郭線を中空輪郭線と呼ぶ。図５
（ａ）の場合、#1、#4、#5、#6、#7 は中実輪郭線、#2
および #3 は中空輪郭線である。

【００９０】◎ セルを接続するための演算子４つの演算子、Put_e0、Put_e1_merge、Put_e1_divid
e、Put_e2 を定義する。これらがセルを貼り付ける演算
子である。以下、ｋ次元セルをｅ^kと表示する。

【００９１】物体の構成は頂上から谷底に向けて進む。
処理は、それ以上セルを接続することができなくなった
時点で終了する。演算子によって構成しようとする曲面
の状態を示すために、各断面における輪郭線を用いる。

【００９２】図６は、これらの演算子を用いてトーラス
を構成する方法を示す。以下この図を用いて演算子の機
能を説明する。

【００９３】１．同図の一番上に示すとおり、ｅ²を生
成するために Put_e2（0）を実行する。このパラメータ
「0」は #1 が #0 の内側に生成されることを示す。こ
のセルの断面は同図の「断面表示」の箇所に示される。
図のように、Put_e2 は断面の平面上に輪郭線を生成す
る機能をもつ。演算子によって生成される輪郭線に生成
順の数字を与えるため、Put_e2（0）によって生成され
た輪郭線は #1 である。

【００９４】新たに生成された輪郭線の状態は、初期値
として常に「イネーブル」である。イネーブルとは、そ
の輪郭線に対してセルを接続することが許される状態を
示す。ｅ²のアイコン表示を同図「アイコン」の下に示
す。

【００９５】２．つづいて、Put_e1_divide（1,nil,ins
ide）により、ｅ²に対してｅ¹を貼り付ける。新たに生
成された輪郭線を #2 とする。パラメータ「inside」は
#2が Parent#[1]＝0 の子輪郭線として生成されること
を示す。二番目のパラメータは参照すべき子輪郭線のリ
ストを示す。ここでは２番目のパラメータが「nil」で
あり、ここでは子輪郭線に対する操作、具体的には子輪
郭線の削除はない。

【００９６】３．つぎに、Put_e1_merge（1,2）を用い
て別のｅ¹を貼り付け、#1 と #2 をマージする。この演
算子は、１番目、２番目のパラメータによって示される
輪郭線を１番目のパラメータの側にマージする。マージ
によって２番目のパラメータの示す輪郭線は消滅するた
め、それがその親輪郭線のもつ子輪郭線のリストから削
除される。同時に、その輪郭線の状態が「イネーブル」
から「ディセーブル」に変更される。したがって、この
輪郭線に新たにセルを接続することができない。

【００９７】４．最後に Put_e0（1）を用いてｅ⁰を貼
り付け、#1 を閉じる。#1 の状態はイネーブルからディ
セーブルに変更される。アイコンがこの変更を反映して
いる。ある輪郭線にセルｅ⁰が接続されたとき、その輪
郭線のもつすべての子輪郭線が予めディセーブルされて
いなければならない。

【００９８】以上の手順により、イネーブルの状態で残
っている輪郭線がなくなるため、演算子によるセルの貼
り付けは完了する。

【００９９】図７〜９は疑似パスカルコードによって演
算子のプログラミング例を示す図である。図において、
Max_children と Max_contour_number は十分大きな正
の整数であり、メモリーアロケーションのためだけに用
いられる。

【０１００】図７において、Number_of_children は各
輪郭線の子輪郭線の数、Most_recently_created# は、
最も最近生成された輪郭線の番号、Contour_status
は、各輪郭線がイネーブルであるかディセーブルである
かを示す。Children はある輪郭線の子輪郭線のリスト
を保持する Child_list という配列に対するポインタで
ある。Child_list の終了は定数 End_of_list によって
示される。これらの変数は以下の手順で初期化される。

【０１０１】これにより、仮想輪郭線がイネーブルされる。つぎの c
reate_new_contour は新しい輪郭線を作り、Most_recen
tly_created# を増加させ、その状態を初期化する。

【０１０２】 procedure create_new_contour; begin most_recently_created#:=most_recently_created#+1; contour_status[most_recently_created#]:=enabled; end 図８において、後に使用するために２つのプロシージャ
と３つの関数を定義する。Add_listed_children は第２
パラメータである clist にリストされている輪郭線を
第１パラメータの子輪郭線（children [n]↑）のリスト
に追加する。Remove_listed_children は第１パラメー
タの子輪郭線（children [n]↑）のリストから第２パラ
メータである clist にリストされている輪郭線を削除
する。これらのプロシージャはまた、Number_of_childr
en および Parent#の配列を更新する。

【０１０３】一方、関数 Add_children（n，clist）は
clist のすべての輪郭線が #n の子輪郭線であるとき
「真」を返す。それ以外の場合「偽」を返す。関数 in_
list（n，clist）は clist が #n を含むとき「真」を
返し、それ以外の場合「偽」を返す。関数 List_contai
ning_only（n）は２つプロシージャ、Add_listed_child
ren および Remove_Listed_children に対して与えるべ
き輪郭線を１つだけ含むリストを作るために定義され
る。

【０１０４】これらにより、４つの演算子 Put_e2、Put
_e0、Put_e1_divide および Put_e1_mergeを定義するこ
とができる。これらは図９に示される。

【０１０５】１．Put_e2（n）は #n の子輪郭線として
新たな輪郭線を生成する。

【０１０６】２．Put_e0（n）はｅ⁰を貼り付けることに
より、#n を削除する。ここで、All_successors_disabl
ed（n，contour_number）は、#n のすべての子輪郭線が
ディセーブルであるときに限り「真」を返す。

【０１０７】３．Put_e1_divide（n，clist，inside）
は、#n を分割して新たな輪郭線を作る。Clist にリス
トされている輪郭線は新たに生成される輪郭線の子輪郭
線になる。それらは、#r＝#n または #r＝parent#[n]
の一方が成り立つとき、#r の子輪郭線のリストから削
除される。（これは #n または parent#[n]のいずれの
子輪郭線であったかに依存する）。これら２つの場合の
みが許される。

【０１０８】４．Put_e1_merge（c1,c2)は #c2 を #c1
にマージする。#c2 は Parent#[c2]の子輪郭線のリスト
から削除される。#c2 のすべての子輪郭線は Parent#[c
1]または #c1 の子輪郭線になる（そのいずれであるか
は、#c1 が #c2 の親輪郭線であるか兄弟輪郭線である
かに依存する）。これら２つの場合のみが許される。

【０１０９】これらの演算子によって符号化される曲面
の構造を容易に理解するために、曲面のレーブグラフを
構成するセルの視覚的表示を提案する。

【０１１０】図１０に示すアイコンはそれぞれセルを表
している。セルの貼り合わせは、一方のセルの平らな頂
面と他方のセルの平らな底面を接触させることによって
行われる。中空輪郭線には白いアイコン、中実輪郭線に
は黒いアイコンを用いる。ｅ¹に関しては複数のアイコ
ンが存在する。

【０１１１】図１１はセルの貼り合わせを示す図であ
り、同図に示すごとく子輪郭線のアイコンはその親輪郭
線のアイコンの内側に描かれる。鉛直な軸に関する鏡像
のアイコンも認められる。

【０１１２】アイコンの特徴は、それが貼り付けられる
輪郭線の構造を維持する点にある。例えば図１１の上半
分に示されるように、ｅ¹がセルに接続されるとき、ア
イコンが接続されることになるセルの親子関係の構造が
維持される。

【０１１３】図１１の下半分に示すように、セルの高さ
の調整が必要な場合にはダミーアイコンを挿入する。レ
ーブグラフは平面グラフではないため、ダミーアイコン
を用いてセルを交差させることもできる。この結果、ｅ
¹を離れたセルに接続することが可能となる。ｅ¹がセル
を交換するとき、同時にその内部構造も交換する。階層
的な輪郭線の構造を保持するために、ダミーアイコンは
それが貼り付けられる輪郭線の親輪郭線の境界を越える
ことはできないし、他の輪郭線に侵入することもできな
い。この理由から、ダミーアイコンを用いて交換するこ
とのできる輪郭線は兄弟輪郭線に限られる。

【０１１４】以上のまとめとして、図１２〜１４に演算
子を用いた物体の符号化の例を示す。図１２は、対象と
なる物体のレーブグラフをアイコンによって示したも
の、図１３はその物体の断面の輪郭線を示したもの、図
１４はその物体を構成するための演算子である。

【０１１５】[２] 演算子を用いた符号からの曲面の構
成（１）ホモトピーの軌跡としての曲面の生成前述の方法によって得られた符号化データをもとに物体
の曲面を構成する。

【０１１６】すでに述べたとおり、臨界点を含む断面ど
うしの間では輪郭線の位相は変化しない。頂点から底辺
まで走査したとき、輪郭線の形状は変化する。この輪郭
線の変形はホモトピーを用いてうまく表現することがで
きる。ホモトピーはある関数を他の関数に変換する。以
下の説明においては、すべての輪郭線は形状関数によっ
て表され、変形はホモトピーによって表されるとする。
ホモトピーの定義は以下のとおりである。

【０１１７】〔定義〕Ｘ、Ｙが位相空間であるとき、
ｆ、ｇ：Ｘ→Ｙという写像を考える。ここで、ｘ∈Ｘな
るすべての点ｘに対して、 F(x,0)＝f(x) F(x,1)＝g(x) が成り立つような写像Ｆ：Ｘ×Ｉ→Ｙが存在する場合、
「ｆとｇはホモトープである」といわれる。ここでＩ＝
[0,1]∈Ｒである。またこのとき、写像Ｆは「ｆからｇ
へのホモトピー」と呼ばれる。Ｆが、 F(x,t)=(1−t)f(x)＋tg(x) で定義されるとき、これは直線ホモトピーと呼ばれる。
図１５には輪郭線のホモトピー変形が示されている。こ
の図において、一番上の輪郭線が形状関数ｆ、一方いち
ばん下の輪郭線はｇによって表されている。曲面はｆか
らｇへのホモトピーＦの軌跡として生成される。

【０１１８】（２）演算子をインプリメントするための
要素図１５の曲面を生成するための演算子は、ホモトピーに
よって輪郭線を変形するものとして記述することができ
る。

【０１１９】１．演算子を構成する要素図１６には、演算子を構成する以下の主な４つの要素が
描かれている。

【０１２０】（i）ｆ：Ｉ→Ｒ³ 上の輪郭線の形状を
与える（ii）ｇ：Ｉ→Ｒ³ 下の輪郭線の形状を与える（iii）Ｆ：ｆからｇへのホモトピー（iv）ｈ：２つの輪郭線の高さの差２．形状関数ｆ、ｇとして以下の形状関数を準備する。

【０１２１】（i）点：常に固定点の位置を与え
る定数関数（ii）円：円の形状を与える（iii）多角形：任意の頂点を結ぶ多角形の形状を与え
る（iv）ベジェ：ｎ次元のベジェ曲線で、次式で記述さ
れる

【数３】この関数は制御点Ｐ_i∈Ｒ³と呼ばれるｎ個の点の集合
（順序つき）によって特定される。この制御点はユーザ
ーによって修正することができる。ここで、Ｂⁿ _i（t）
はべルンシュタインの基底関数であり、次式で定義され
る。

【０１２２】

【数４】（v）ＮＵＲＢＳ（Non Uniform Rational B-Spline）曲
線：この曲線の制御点もユーザーによって定義される。
ＮＵＲＢＳ曲線は次の式で定義される。

【０１２３】

【数５】ここでＷ_iは各制御点の重みである。Ｎ_i,_k（t）はＢス
プライン基底関数と呼ばれる（k-1）次の多項式の各区
分の値を示す。これは次式で定義される。

【０１２４】

【数６】ＮＵＲＢＳは、非常に多くのＣＡＤシステムで用いられ
ている。ＮＵＲＢＳは二次曲面を正確に表現することが
でき、また局所的な近似特性をもっている。すなわち、
制御点またはそれに関連する重みが変化したとき、その
点の近傍でしか曲面の形状に影響を与えない。

【０１２５】３．ホモトピーＦ一方、ホモトピーＦとして以下の関数が導入される。こ
れらの関数は断面の輪郭線を出力する。

【０１２６】（i）線形：直線ホモトピー（ii）四分円形：

【数７】（iii）放物線：F(x,t)＝(1−t²)f(x)＋t²g(x) （iv）カージナルスプライン：カージナルスプライン
は、一番上および一番下の輪郭線を内挿補間する。輪郭
線間の対応点を示すトロイダルグラフを使うことによっ
てパラメータの決定を自動化することができる。

【０１２７】（v）ガイディングカーブ：輪郭線上の点
をガイディングカーブに沿って動かすことにより、輪郭
線を変形することができる。輪郭線に対して複数のガイ
ディングカーブを付けることができる。輪郭線がベジェ
曲線またはＮＵＲＢＳ曲線で表されるとき、ガイディン
グカーブは制御点に付けられ、変形は制御点の動きによ
って決定される。ガイディングカーブが付けられていな
い制御点の動きは、隣接する制御点のガイディングカー
ブを用いて計算することができる。

【０１２８】図１７は、ユーザーがガイディングカーブ
を付けることにより、上の輪郭線が徐々に下の輪郭線に
変形される様子を示している。

【０１２９】いずれの場合も、結果的に得られた輪郭線
の間をカージナルスプラインを用いてパッチを当て、曲
面を生成する。

【０１３０】４．演算子のための輪郭線の形状関数演算子のための輪郭線の形状関数は以下のように与えら
れる。

【０１３１】（i）Ｐｕｔ_ｅ２ｆ：点ｇ：ユーザーが特定（デフォルト：円）Ｆ：ユーザーが特定（デフォルト：四分円形）（ii）Ｐｕｔ_ｅ０ｆ：ｅ⁰が付けられる輪郭線の形状関数ｇ：点Ｆ：ユーザーが指定（デフォルト：四分円形）（iii）Put_e1_divide、Put_e1_merge ｅ¹の道ｃ：[0,1]→Ｒ³を決めなければならない。実際
にインプリメントする場合、道ｃは c(0)、c(1/2) およ
び c(1) の位置によって特定される。道は滑らかでなけ
ればならず、また c(1/2) における接線のベクトルはｘ
ｙ平面に平行でなければならない。したがって、c(1/2)
は生成された曲面の鞍点になる。c(1/2) の初期位置
は、

【数８】である。ここで、

【数９】である。道の初期値は c(0) と c(1) を接続する楕円の
弧であり、０≦ｔ≦１／２については、

【数１０】で与えられ、一方、１／２≦ｔ≦１については、

【数１１】で与えられる。この道の初期値のｘｙ平面への射影は、
c(0) および c(1) を結ぶ線分になる。この c(t) の式
において、ルート（１／２乗）の部分を（1−x²）に置
き換えれば放物線の道を得ることもできる。Put_e1_div
ide および Put_e1_merge の要素は以下のとおりであ
る。

【０１３２】・Put_e1_divide ｆ：ｅ¹が付けられる輪郭線の形状関数ｃ：ｅ¹ c(0)、c(1)：c(0)＝f（s₁），c(1) ＝f（s₂）なる s₁、
s₂∈［0,1］で特定されるｇ₁、ｇ₂：輪郭線を道ｃに沿って分割することにより得
られる・Put_e1_merge ｃ：ｅ¹の道ｆ₁、ｆ₂：ｅ¹が付けられる輪郭線の形状関数 c(0)、c(1)：c(0)＝f₁（s₁），c(1) ＝f₂（s₂）なる
s₁、s₂∈［0,1］で特定されるｇ：道ｃに沿って輪郭線をマージすることにより得られ
る Put_e1_divide による変形は、ｅ¹の道をガイディング
カーブとして用いることにより、輪郭線を変形すること
で行われる。すなわち、・F（s₁,t）＝ c(t/2) ・F（s₂,t）＝ c(1-t/2) である。一方、Put_e1_merge の変形は次式によって得
られる。

【０１３３】・F₁（s₁,t）＝ c(t/2) ・F₂（s₂,t）＝ c(1-t/2) （iv）ダミーアイコンすでに述べたダミーアイコンを用いることにより、輪郭
線の構造を変えることなく輪郭線の形状を変形すること
ができる。ダミー演算子の形状関数は以下のとおりであ
る。

【０１３４】ｆ：ダミーが付けられる輪郭線の形状関数ｇ：ユーザが指定（デフォルト：円）このシステムは、子輪郭線が親輪郭線の境界を超えない
ことを自動的にチェックし、位相上の正しさを維持する
ものとする。

【０１３５】（３）微分不可能な場合および縮退への対
応これまで、物体表面の曲面がＣ²級の可微分性をもつと
仮定してきた。またすべての臨界点は非縮退であると仮
定した。しかしながら、円筒や立方体など物体を設計す
る場合、多面体や、頂点または底辺が平面であるような
微分不可能な点または縮退した点を含めて符号化できる
ことが望ましい。

【０１３６】この観点から、縮退していない高さ関数を
もつＣ²可微分の多様体をもとに機能の拡張を行う。具
体的には以下のとおりである。

【０１３７】◎ 微分不可能な点を含む輪郭線図１８は微分不可能な点を含む物体を示す。この場合、
図１９に示すような微分可能な形状関数をもつ物体に置
き換えることによって符号化が可能となる。

【０１３８】◎ 水平な頂部、底部または分岐部水平面を表す場合には、高さｈの変化を０に置き換えれ
ばよい。例えば図２０に示すように、頂部も分岐部もそ
れぞれ水平面の場合、図２１のように高さを０として表
現することができる。

【０１３９】◎ 尾根線（リッジ）図２２に示すようにリッジに対応する場合、形状関数ｆ
およびｇを、途中で折り返す線分α：Ｉ→Ｒ³を用い
て、以下のように設定することができる。すなわち、１
本のひもを２つ折り畳んだような形状である。

【０１４０】f(x)，g(x)＝α（2x）０≦ｘ≦1/2 f(x)，g(x)＝α（1−2x） 1/2＜ｘ≦１ ◎ 火山のリム図２３に示すように火山のリムについては、リッジ同様
の方法および高さｈを０にすることによって記述が可能
となる。

【０１４１】［３］断面データからの滑らかな曲面の生
成（１）はじめに断面データからもとのオブジェクトを再構成したい場合
がある。特に医療分野では、いくつかの断面データから
もとの器官の全体形状を再生する意義が大きい。３Ｄ医
療データの生成方法として次のサーフェスモデルが知ら
れている。

【０１４２】１．三角形タイル手法多角形で表現された隣接輪郭線どうしの間を三角形パッ
チで埋めていく。２．スプライン近似スプライン近似によって曲面を構成する。ここではホモトピー、および特別な場合としてこれら２
つのサーフェスモデルを包含する新たなモデルを提案す
る。このモデルは、これら２つのサーフェスモデルの欠
点を解消するものである。

【０１４３】このホモトピーモデルは、連続トロイダル
グラフによる輪郭線上の対応点対の表示と、その表示か
らホモトピーを用いて曲面を生成するステップを含む。
最終的に得られる曲面は古典的なパラメトリックな曲面
であり、スプライン近似を包含している。ここでは２つ
の例を示す。１つは直線ホモトピーを用いてロフト曲面
を洗練するもの、もう１つはカージナルスプライン曲面
である。

【０１４４】（２）トロイダルグラフによる表現三角形手法については、トロイダルグラフによる表現が
知られている。このグラフ理論では最短対角線アルゴリ
ズムに基づく手法が提案されている。まず始めに、既知
のトロイダルグラフ（これは連続グラフではない）につ
いて説明し、つぎに我々が拡張した連続バージョンを説
明する。

【０１４５】ここで、輪郭線はひとつづきの線分によっ
て近似されるものとする。また、ある輪郭線をｍ個の異
なる輪郭線点Ｐ₀、Ｐ₁、…Ｐ_m-1の列によって定義し、
別の輪郭線をＱ₀、Ｑ₁、…Ｑ_n-1によって定義する。こ
れら２つの閉曲線の方向は同じであると考える。三角形
の生成は次の２つの条件を満たさなければならない。

【０１４６】１．同一輪郭線上の２つのノードが同じ三
角形のノードとして定義されるためには、これらのノー
ドがその輪郭線上で隣合っていなければならない。

【０１４７】２．どの三角形についても、頂点のうちの
２つだけが同じ輪郭線から取得される。

【０１４８】従来のトロイダルグラフでは、これら２つ
の規則を統合した上でグラフ理論に反映されている。す
なわち、三角形相互の位相上の関係をトロイダルグラフ
の中に表現するのである。このグラフでは、頂点は
Ｐ₀、Ｐ₁、…Ｐ_m-1とＱ₀、Ｑ₁、…Ｑ_n-1の間の可能なス
パンすべての組に対応し、弧は可能な三角形すべての組
に対応する。例えば、頂点（Ｐ₃，Ｑ₅）はＰ₃とＱ₅を結
ぶスパンを示し、頂点（Ｐ₃，Ｑ₅）から（Ｐ₃，Ｑ₆）の
弧によって△Ｐ₃Ｑ₅Ｑ₆の三角形ができる。

【０１４９】曲面として許容可能なもののグラフでは、
すべての行において垂直方向の弧がちょうど１つ存在
し、またすべての列において水平方向の弧がちょうど１
つ存在する。輪郭線間に生成される曲面のうち、許容で
きるものは２とおりである。１つは円筒と位相同形のも
の、もう１つは２つの円錐と位相同形のものである。以
下、前者の場合を中心に説明する。

【０１５０】最短対角線アルゴリズムは単純では、まず
隣接する輪郭線がそれぞれ単位正方形に写像される。こ
こで点Ｐ₀と、Ｑ₀が近いと仮定する。最短対角線アルゴ
リズムでは、点Ｐ₀と点Ｑ₀を結ぶことによって三角形の
生成を開始する。点Ｐ_iおよびＱ_jが接続された後、つぎ
に接続すべき候補であるＰ_i−Ｑ_j+1、またはＰ_i+1−Ｑ_j
の一方が選択され、接続される。以降、この繰り返しで
ある。これを平面上で考えれば、階段関数によって表現
できる。ただし、輪郭線を一周すればもとに戻るため、
階段の開始点と終了点は同一点でなけれはならない。こ
のことを表現するために、Ｐをトーラスの外周を円周に
沿って移動する方向、Ｑをそれと垂直方向にとることが
できる。この表現方法の場合、Ｐがトーラスの外周を一
周したとき、Ｑもトーラスの曲がった円筒部分を一周
し、もとの点に戻る。

【０１５１】以上、この方法は、隣接する閉曲線どうし
の形状が近い場合には極めて良好な結果をもたらすが、
それらの形状が大きく変化する場合には、無理な対応づ
けが原因となり、生成される曲面に人工的な皺、または
フォールド（折り目）が生じることが知られている。

【０１５２】この様子は図２４のｑ₃−ｐ₀−ｑ₂に示さ
れる。同図のごとく、曲面は点Ａの回りにしわを持つよ
うに見える。人工的な皺はスムーズシェーディングを用
いても消すことができない。この問題はノードの接続状
態を修正することで解決することはできない。なぜな
ら、ｐ₀およびｐ₁の間にノードが存在しないためであ
る。

【０１５３】このように、三角形手法によって生成され
る曲面は各輪郭線に対するノードの選択に大きく依存す
る。三角形手法は、輪郭線を局所的に見ながら三角形を
つないでいくため、上記の皺のような局所的問題が生じ
る。なお、各輪郭線の外周がちょうど１になるように輪
郭線を正規化することによって、輪郭線間のコヒーレン
ス（連接性）を改善する提案もある。しかしその方法で
も輪郭線上の局所的な制約条件のみが考慮されている。
三角形手法では、生成される曲面の滑かさも問題にな
る。スムーズシェーディングを施された三角形表現の曲
面は一見滑らかに見えるが、曲面の法線は曖昧になり、
オブジェクトの形状が複雑な場合、それを正確に把握す
ることが困難になる。

【０１５４】（３）最適経路を見出すための発見的アプ
ローチ以下、経路とは対応しあう輪郭線上の対応しあう点を結
ぶ線をいう。ここではまず、「最近点対」を定義する。

【０１５５】・定義１：ｄ（Ｐ_i，Ｑ_j）＝min ｄ（Ｐ_i，Ｑ_k）（０≦ｋ＜ｎ）ｄ（Ｐ_i，Ｑ_j）＝min ｄ（Ｐ_k，Ｑ_j）（０≦ｋ＜ｍ）がともに成り立つとき、頂点（Ｐ_i，Ｑ_j）を最近点対と
よぶ。ここで、ｄ（Ｐ、Ｑ）は点Ｐと点Ｑの間の距離で
ある。

【０１５６】・注意１：トロイダルグラフの各行および
各列に存在する最近点対は、せいぜい１つである。

【０１５７】一般に、すべての最近点対を結ぶ許容可能
な経路は存在しない。そのためできる限り多くの最近点
対を結ぶ方法が検討される。そのためまず、最近点対で
ある点の重みを１、それ以外を０とする。Ψ（Ｓ）をＳ
が通過する頂点の重みの合計と定義する。いいかえれ
ば、Ψ（Ｓ）は許容可能な経路Ｓが通過する最近点対の
数である。この結果、問題はコスト許容性が最大になる
経路を見つけることに還元される。

【０１５８】もちろん理論的にはそれで正しいが、その
ための計算量は非常に大きい。そこで我々は、最近点対
をグループ化する、より単純なアプローチを考案した。
実験の結果、最近点対がグループ化できることが判っ
た。そのグループとは、Ｐ_iとＱ_j以降、それぞれ次の点
どうしが最近点対となる（Ｐ_i，Ｑ_j）、（Ｐ_i+1，
Ｑ_j+ ₁）、…（Ｐ_i+k，Ｑ_j+k）から構成されるようなグ
ループである。これを「長さＬ（Ｒ）がｋ＋１である最
近点対のひとづづきのランＲ」と表現し、点ｐがランＲ
の構成要素であるときｐ∈Ｒと表記する。このとき次の
命題が成り立つ。

【０１５９】命題１．最近点対（Ｐ_i，Ｑ_j）を通過する
許容可能な経路Ｓ₁が存在するとき、ランＲのすべての
最近点対を通過する許容可能な別の経路Ｓ₂が存在す
る。ただし、（Ｐ_i，Ｑ_j）∈Ｒであり、Ψ（Ｓ₁）≦Ψ
（Ｓ₂）である。

【０１６０】[証明]Ｌ（Ｒ）≧２であるとして、一般性
を失わない。

【０１６１】ケース１：（Ｐ_i+1，Ｑ_j+1）∈Ｒ、かつＳ
₁がこの点を通らない場合ケース１ａ：Ｓ₁が（Ｐ_i+1，Ｑ_j）を通る場合Ｓ₁が列ｊ＋１を離れるとき、最後に通る点を（Ｐ_k，Ｑ
_j+1）とする。また、Ｓ₁＝Ｓ₃Ｓ₄Ｓ₅とする。ここでＳ₄
を（Ｐ_i+1，Ｑ_j）〜（Ｐ_k，Ｑ_j+1）の経路とすれば、Ｓ
４は（Ｐ_i，Ｑ_j）も（Ｐ_i+1，Ｑ_j+1）も通らないため、
注意１によりΨ（Ｓ₄）＝０となる。一方、（Ｐ_i+1，Ｑ
_j+1）∈Ｒであるため、明らかに（Ｐ_i ₊₁，Ｑ_j+1）〜
（Ｐ_k，Ｑ_j+1）の経路であってΨ（Ｓ₆）＝１となるＳ₆
が存在する。それゆえ、Ｓ₂をＳ₃、Ｓ₆、Ｓ₅を含む（す
なわち、Ｓ₄のかわりにＳ₆を含む）経路とすれば、Ψ
（Ｓ₂）＝Ψ（Ｓ₁）＋１である。

【０１６２】ケース１ｂ：Ｓ₁が（Ｐ_i，Ｑ_j+1）を通る
場合ケース１ａと同じである。

【０１６３】ケース２：（Ｐ_i-1，Ｑ_j-1）∈Ｒ、かつＳ
₁がこの点を通らない場合ケース１と同様である。

【０１６４】この構成方法を再帰的に適用することによ
り、命題１の経路Ｓ₂が得られる。命題１によれば、Ψ
を最大にするためにランのみを考慮すればよく、各ラン
の中身までは考えなくてよいことが判る。したがって前
に述べた目的、すなわち、できる限り多くの最近点対を
結ぶ方法の検討は、Ψを最大にする許容可能なランの集
合を選択することに還元される。

【０１６５】ここで、許容可能な経路が通過するランの
集合を許容可能なランの集合と定義する。明らかに、２
つのランから構成されるランの集合はいずれも許容可能
である。３つのラン｛Ｒ₁，Ｒ₂，Ｒ₃｝の集合であって
許容可能でないものは以下のとおりである。まず、Ｒ₁
＝（Ｐ_i1，Ｑ_j1）…、Ｒ₂＝（Ｐ_i2，Ｑ_j2）…、Ｒ₃＝
（Ｐ_i3，Ｑ_j3）…、およびｉ₁＜ｉ₂＜ｉ₃（mod m）と仮
定する。ここで、ｊ₁＜ｊ₃＜ｊ₂（mod m）またはｊ₂＜
ｊ₁＜ｊ₃（mod m）またはｊ₃＜ｊ₂＜ｊ₁（mod m）であ
るとき、この集合は許容可能ではない。ｍの剰余系を考
えるのは、輪郭線が一周するともとに戻るためである。

【０１６６】４以上のランで構成される集合について
は、それに含まれるいかなる３つの構成要素も許容可能
な集合である場合に限り、許容可能である。このことか
らわかるように、この計算労力は大きい。

【０１６７】こうした複雑性に鑑み、我々は発見的なス
キームを考えることにした。複雑さの原因の１つはｍに
関する剰余を用いる点にあるため、これを廃止する。こ
れはトーラス上にＰ，Ｑを表したとき、そのトーラスを
切断して平面にすることに対応する。この単純化によ
り、許容可能性はランの三値的な問題ではなく、二値的
な問題になる。２つのラン（Ｐ_i1，Ｑ_j1）…、および
（Ｐ_i2，Ｑ_j2）…の集合は、ｉ₁＜ｉ₂かつｊ₁＜ｊ₂、ま
たはｉ₁＞ｊ₂かつｊ₁＞ｊ₂の場合、許容可能である。集
合｛Ｒ₁，Ｒ₂｝が許容可能でないとき、Ｒ₁はＲ₂と
不適合であると表現する。このテスト方法は極めて簡単
であるが、トーラスを２つに切断して平面にするとき、
ランが分割される可能性がある。そこで最終的に、Ψを
最大にするランを選択するために、スタックを用いた以
下の発見的アルゴリズムを採用する。

【０１６８】アルゴリズムＮ個のランがあり、各ランＲ_k＝（Ｐ_ik，Ｑ_jk）につい
てｉ₁＜ｉ₂＜…＜ｉ_k＜…＜ｉ_nが成り立つとする。また
最初にスタックは空であるとする。

【０１６９】ステップ１．Ｒ₁をスタックに積む。ステップ２．ｋを２とする。ステップ３．Ｒをスタックの一番上に積まれたランであ
るとする。ステップ４．もしＲ_kとＲが適合すれば、Ｒ_kをスタック
に積む。そうでない場合であって、かつＬ（Ｒ_k）≦Ｌ（Ｒ）で
あれば、Ｒ_kがスタックから取り除かれ、ｋ＝ｋ＋１と
する。それ以外の場合、Ｒがスタックから取り除かれ
る。

【０１７０】ステップ５．ｋ≦Ｎであればステップ３に
戻る。

【０１７１】Ｒ_kについては、ｋ回以下の繰り返しが必
要である。そのため、このアルゴリズムの時間複雑性は
Ｏ（Ｎ²）である。このアルゴリズムにより、互いに適
合するランのうち、ある長さを超えるものが次々にスタ
ックに積まれ、確保されていく。この結果、Ψをほぼ最
大値にする許容可能なランの集合を得ることができる。
最終的に得られたランの様子は図２５に示される。

【０１７２】◎ トロイダルグラフの連続バージョンつぎに、経路の進路を詳細に決める必要がある。経路は
上述のアルゴリズムによって選ばれたランの各点を通過
しなければならないが、それ以外の点についてはまだ未
定の状態にある。ここでは進路を決めるために、最近点
対どうしの間の線形補間を採用する。詳細な説明に入る
前に、離散的なトロイダルグラフの連続バージョンの概
要を説明する。

【０１７３】まず始めに、上下の輪郭線はなんらかのパ
ラメータによって表示されなければならない。輪郭線上
の点は以下の関数によって指定される。

【０１７４】ｆ，ｇ：Ｉ→Ｒ³、ここでＩ∈Ｒ、かつ
［０，１］で定義される。また f(0)＝ｆ(1) 、および
ｇ(0) ＝ g(1) である。

【０１７５】連続トロイダルグラフでは、そのグラフに
含まれる２つの点の水平および垂直距離がそれら２つの
間のパラメータ値の差を表す。したがって、パラメータ
がＮＵＲＢＳ曲線などのパラメータそのものを指す
［２］とは意味合いが異なる。パラメータの例は以下の
とおりである。

【０１７６】・例１：弧長をパラメータとして使う。ｌ
₁とｌ₂がそれぞれ下と上の閉曲線の長さを表すとする。
例えば、（Ｐ_i1，Ｑ_j1）と（Ｐ_i2，Ｑ_j2）のグラフ上の
水平距離は上の閉ループ上のＰ_i1〜Ｐ_i2の弧長を表す。
またグラフ上の垂直距離は下の閉ループ上のＱ_j1〜Ｑ_j2
の弧長を表す。グラフ上の点（ｘ，ｙ）はＰ₀からの弧
上の距離がｘｌ₁であるような点Ｐ、およびＱ₀からの弧
上の距離がｙｌ₂であるような点Ｑの組を表すよう正規
化される。

【０１７７】・例２：輪郭線の形状が円に近い場合、偏
角をパラメータに用いることができる。この場合、本質
的には円筒座標系を用いることと同じである。なお、輪
郭線は線分で近似する必要はない。パラメトリックな曲
線、例えばベジェ曲線、Ｂスプライン曲線またはカージ
ナル・スプライン曲線を利用することができる。

【０１７８】・例３：スプライン基数関数のパラメータ
をグラフのパラメータとして利用する。

【０１７９】後述する線形補間を利用するためには、弧
長による表示が望ましい。しかし、曲線パラメータから
弧長への変換は容易ではない。１つの解決策は、スプラ
イン曲線を線分によって近似し、実際の弧長の代りに線
分の長さを利用する方法である。後に示す表示例はこの
近似を用いている。

【０１８０】点が輪郭線上を最初のノードから離れるに
従ってパラメータが単調増加する限り、以下の議論にお
いてどのようなパラメータを使うかは本質的な問題では
ない。許容可能な経路に関するグラフの連続バージョン
は、このグラフ上で単調増加（または単調減少）する
「多値関数」として表現される。厳密にいえば、経路は
グラフｙ＝Ｕ_i(x) およびｘ＝Ｖ_i(y) の連鎖として表示
される。ここで、Ｕ_i：［ｘ_2i，ｘ_2i+1］→ＩＶ_i：［ｙ_2i，ｙ_2i+1］→Ｉ（０＝ｘ₀≦ｘ₁≦…≦ｘ_2nn−₁＜１，０＝ｙ₀≦ｙ₁≦…
≦ｙ_2nn-1＜１）は、単調増加（単調減少）関数であ
り、Ｕ_iおよびＶ_iの結合点（ｘ_2i+1，ｙ_2i+1）におい
て、Ｕ_i（ｘ_2i+1）＝Ｖ_i（ｙ_2i+1）、およびＵ₀(0)＝Ｖ_nn-1(1) が成立し、Ｖ_iおよびＵ_i+1の結合点（ｘ_2i+2，ｙ_2i+2）
において、Ｖ_i（ｙ_2i+2）＝Ｕ_i+1（ｘ_2i+2）が成立するような関数である。

【０１８１】図２６はｎｎ＝２の場合を示す図である。
なお、離散的なトロイダルグラフはこの連続バージョン
の特別な場合であり、変換は階段状、すなわちｙ＝ｑ_i
およびｘ＝ｐ_iの連鎖という形で表される。

【０１８２】以上の考察をもとに、経路の詳細が最終的
にこのグラフ上で決定される。最近点対が（ｘ_i，ｙ_i）
（ｉ＝０，１，…ｋ−１）であり、０＝ｘ₀＜…＜ｘ_k-1
であると仮定する。この経路は以下のような関数Ｕ(x)
：Ｉ→Ｉによって記述することができる。

【０１８３】

【数１２】すでに述べたとおり、この式は（ｘ_i，ｙ_i）と
（ｘ_i+1，ｙ_i+1）の間の線形補間である。この様子は図
２７に示される。この経路によって表現される表面は図
２８に示される。輪郭線自身は図２４と同じである。こ
の例は直線ホモトピーを表している。図２４と図２８を
比較すれば明らかなとおり、図２８の表面の方が図２４
に比べてより滑かである。「皺」の発生も回避されてい
る。

【０１８４】なお、定義１の最近点対は離散的な点どう
しの距離の比較から決定したが、この概念も連続トロイ
ダルグラフに合わせて拡張することができる。すなわ
ち、最近点対を「輪郭線上で互いに最も近い点の対」と
定義すればよい。ただし、最近点対は無数に存在しうる
ため、実際のインプリメンテーションでは適度なサンプ
リングを行うものとする。

【０１８５】以上、我々の手法では、まず最近点対間の
対応をとり、つづいてそれ以外の点の対応をとるという
ステップを経る。このため、局所的な対応状態に注目す
る従来の手法で問題となる不自然な接続結果が生じるこ
とはい。また、最初に輪郭線全周に渡って最近点間の対
応をとるため、輪郭線の局所構造に起因するノイズに対
する耐性が向上する。

【０１８６】（４）ホモトピーモデルに基づく表面の生
成すでに述べたとおり、連続トロイダルグラフ上の点は上
下の輪郭線の点の間の対応を示す。対応点どうしはホモ
トピーによってつながれる。正確にいえば、曲面はｆ〜
ｇＵへのホモトピーの軌跡によって生成される。ここで
Ｕは連続トロイダルグラフ上の関数であり、輪郭線どう
しの対応を示す。直線ホモトピーの場合、それらの点は
単純に直線によって接続される。以下、ホモトピーモデ
ルを用いた表面生成を説明する。

【０１８７】このホモトピーモデルでは、ホモトピーを
用いて各輪郭線上の対応点どうしを接続することによ
り、隣接する輪郭線の間に表面パッチを生成する。この
モデルでは離散的なトロイダルグラフによる対応点対の
表現とは異なり、輪郭線上のすべての点が隣接する輪郭
線上に対応点を持つため、ホモトピーがそれらの対応点
間を接続するファイバーとして利用される。輪郭線間の
表面パッチはホモトピーの軌跡と見なすことができる。
わかりやすい例は円筒である。円筒の表面は２つの円の
間の対応点を接続することで生成できる。詳細は省く
が、このモデルはパラメトリックな曲面を包含してい
る。

【０１８８】◎ ホモトピーを用いたパラメトリックな
曲面の生成下および上の輪郭線を写像ｆ，ｇ：Ｘ→Ｒ³、Ｘ＝
［ｘ₀，ｘ₁］∈Ｒで表す。

【０１８９】簡単のために、下の輪郭線はｚ＝０の平面
上、上の輪郭線はｚ＝１の平面上にあるとし、Ｘ＝Ｉと
する。「２つの点Ｐ（ｐ_x，ｐ_y）、Ｑ（ｑ_x，ｑ_y）がホ
モトピーＦによってつながれる」とは、 F(x,0)＝f(x)＝（p_x，p_y，0） F(x,1)＝g(x)＝（q_x，q_y，1）がともに成立するようなｘ∈Ｉが存在することである。
すなわち、上下の輪郭線の間にあり、平面ｚ＝ｔ上のす
べての断面がｘ∈Ｘなる F(x,t) によって与えられると
き、Ｆはｆからｇへのホモトピーである。いいかえれ
ば、表面は２変数関数 F(x,t) によって表される。

【０１９０】２つの輪郭線がともに１個の閉曲線からな
る場合、それらは位相同形である。一方、２つの輪郭線
が異なる数の閉曲線を含む場合、それらは位相同形では
ない。そのような場合、分岐に対する取扱いが必要にな
る。簡単のために、上の輪郭線は２つの閉曲線、下の輪
郭線は１つの閉曲線を含むと仮定する。分岐に対する取
扱いは、２つの閉曲線が１点で結合するような仮想輪郭
線を上下輪郭線の間に導入することによって可能とな
る。図２９に示すとおり、この結合箇所が１点である場
合、仮想輪郭線は２つの閉曲線を含む。またこの結合箇
所が２つの別個の点と考えられる場合、仮想輪郭線は１
つの閉曲線からなると考えてよい。

【０１９１】◎ トロイダルグラフ表示からの表面の生
成ｆ，ｇ：Ｉ→Ｒ³が下および上の輪郭線を表す関数とす
る。ホモトピーモデルの場合、考慮すべき許容可能な経
路は逆関数Ｕ^-1を持つ単調増加連続関数Ｕ：Ｉ→Ｉによ
ってトロイダルグラフ上に表現されなければならない。
しかる後、f(x)および g(U(x)) の間のホモトピーによ
って表面が生成される。直線ホモトピーが使用されると
き、これは次の式で表現される。

【０１９２】

【数１３】カージナルスプラインを用いることもできる。４つの輪
郭線をｆ_-1、ｆ₀、ｆ₁、ｆ₂で表し、それぞれの間の許
容可能な経路をＵ_-1、Ｕ₀、Ｕ₁でそれぞれ表すとす
る。この場合ｆ₀とｆ₁の間の表面は次の式で表現され
る。

【０１９３】

【数１４】ただし、

【数１５】である。ｆ_iがカージナルスプライン関数によって表現
されるとき、その表面をカージナルスプライン表面と呼
ぶ。

【０１９４】［４］断面からのレーブグラフの自動的な
生成（１）はじめにこの章では、オブジェクトの断面データが与えられたと
きに、そのオブジェクトの符号を自動的に取得する方法
を説明する。この技術により、断面データが利用できる
とき、自然界に存在するオブジェクトの形状を取扱うこ
とができる。まず最初に、オブジェクトのレーブグラフ
を自動的に再構成する。レーブグラフが構成されれば、
そこから表面の符号を得ることは容易である。ここでも
Ｃ²連続性と非縮退の特異点を仮定する。

【０１９５】一連の処理は［２］で説明した符号化デー
タから表面を生成する処理の逆演算と見なすことができ
る。このためユーザーは、表面を直接符号化する代りに
レーブグラフまたは断面を記述することができる。この
方法はまた、得られた結果が、直接断面データを用いた
表面再構成システムに与えられる場合にも有益である。

【０１９６】医療分野への応用を考えたとき、表面再構
成システムに対してデータを準備する工程は以下のとお
りである。すなわち、ＣＴスキャンで器官の画像を撮影
して登録する。つぎに輪郭線の外形線をデジタイズし、
いずれの輪郭線どうしを接続するかを決定する。この
後、スムージングによって登録されていないデータを計
算し、最後に表面を構成する。

【０１９７】この一連のプロセスの中で最も難しい部分
は、いずれの輪郭線対に表面パッチを生成すべきかを決
定することである。この目的のためにレーブグラフが利
用される。レーブグラフでは各輪郭線がノードとして表
現され、２つの連続する断面の輪郭線間の位相上の関係
を示すことができる。

【０１９８】既述の図４（ａ）〜（ｃ）は、例としてト
ーラスの高さ関数のレーブグラフを示す。この例では、
レーブグラフの点は断面上の輪郭線を表している。例え
ば人の内耳の半規管のように、データが複雑な場合、こ
のレーブグラフを人手作業で生成することは大変な労力
を要するとともに、非常に難しい作業になる。圧倒的な
枚数の断面画像からオブジェクトの全体的な位相構造を
理解することはほとんど不可能に近い。

【０１９９】位相構造の理解を容易ならしめるために、
我々はレーブグラフの自動再構成方法を開発した。隣接
する断面上に存在する任意の輪郭線対を考えるとき、こ
の対の重み関数を定義する。我々の方法は、この重み関
数および表面にあいたハンドル（つまり穴）の数に関す
る先験的な知識を用いることによって、レーブグラフを
自動的に構築することができる。まず始めに、我々のア
ルゴリズムは輪郭線の数が変化しないような、レーブグ
ラフの辺の主要部分を生成する。その後、上述の重み関
数およびハンドルに関する先験的な知識を用いてグラフ
の残りの部分を決定する。具体的には、既知のハンドル
の数に矛盾しないような辺を、重みが減っていく順に
（すなわち、最初に重みが最大の箇所に辺を付けるよう
に）、グラフに付け加えることによってレーブグラフを
完成させる。

【０２００】（２）レーブグラフの定義レーブグラフは立体オブジェクトの位相上の「骨格」を
表し、いずれの輪郭線の間に表面パッチを生成すべきか
を示す。

【０２０１】レーブグラフは多様体の上に定義される。
多様体は、ユークリット空間と同じ局所的特性を持つと
みなすことができる。例えば、平面や球面は二次元多様
体である。以下、立体オブジェクトの表面は二次元多様
体であると仮定する。

【０２０２】ここでは、オブジェクトの二次元多様体の
表面上の高さ関数ｈ（Ｘ）に関するレーブグラフを用い
る。ここでｈ（Ｘ）はオブジェクトの表面上の点の高さ
を与える関数で、Ｘ＝（ｘ，ｙ，ｚ）はＲ³（ｘ，ｙ，
ｚ∈Ｒ）に埋め込まれている。すなわち、ｈ（ｘ，ｙ，
ｚ）＝ｚである。

【０２０３】表面上の高さ関数のレーブグラフは、Ｒ³
におけるグラフの商空間である。商空間は２つの点（ｘ
₁，ｙ₁，ｚ）および（ｘ₂，ｙ₂，ｚ）が高さｚにおいて
曲面の断面上の同じ連結成分であるとき、これらを等化
する（図４（ａ）〜（ｃ））。これは、図４（ｂ）に示
すようにｚ軸に対して垂直な断面を考えればわかりやす
い。すなわちレーブグラフは、各断面における輪郭線を
ノードとして表現する。オブシェクトの表面に開いてい
る穴（ハンドル）はすべての臨界点が非縮退であり、か
つ各鞍点に集まる辺の数が３であるとき、レーブグラフ
において閉曲線として現れる。この知見を後述のアルゴ
リズムに利用する。

【０２０４】レーブグラフは、いずれの輪郭線の間に表
面パッチが存在するかを示している。以下、底部からｉ
番目の断面を含む平面の式をｚ＝ｚ_iと仮定し、この平
面を第ｉフレームと呼ぶことにする。

【０２０５】（３）レーブグラフの構成 ◎ 重み関数ここでは一連の断面が与えられたときにレーブグラフを
構成する重み関数を定義する。隣接する断面に含まれる
輪郭線の対が与えられたとき、この関数は重みを与え
る。分岐を取扱うとき、重みが減っていく順に輪郭線の
間に辺を張っていく。

【０２０６】重み関数の作り方には何とおりかの方法が
ある。重み関数は、互いにより近い輪郭線の対に対して
より大きな重みを与えるものとする。おおまかにいえ
ば、我々は輪郭線間の「平均距離」の逆数を用いた。以
下の計算において、我々はこの平均距離を輪郭線間の距
離Ｄによって割った。このことにより、異なる断面の輪
郭線の対の重みを比較することができる。

【０２０７】第ｊフレームの第ｉ輪郭線をＬ^j _iで表現
する。また、Ｌ^j _iおよびＬ^j+1 _kの間に生成される表面
パッチに対応する辺の重さをｑ（Ｌ^j _i，Ｌ^j+1 _k）で表
す。Ｎ^jは第ｊフレームに含まれる輪郭線の数、Ｎ_frame
はフレームの数を表す。輪郭線は多角形によって近似さ
れるものとし、実際のインプリメンテーションでは以下
の式１を用いた。

【０２０８】

【数１６】ここでＤ_jは第ｊフレームと第（j+1）フレームの間の距
離である。Ｌ^j _iを近似する多角形はｎ^j _i個の頂点を持
ち、第ｍ点をｘ^j _i,mで表す。ｆは次式で定まる。

【０２０９】

【数１７】この式においてｄは距離の関数、ＡはＲ³に含まれる点
の集合、ｘ，ｙ∈Ｒ³とする。この関数ｆはｘと集合Ａ
の中の点の最短距離を与える。

【０２１０】◎ レーブグラフの自動生成以下、重み関数と任意の一連の断面を用いて我々のアル
ゴリズムによるレーブグラフの構成を説明する。始め
に、つぎに示すケース１のごとく、輪郭線の数が変わら
ない主要な部分についてグラフを生成する。数が変わる
場合は、ケース２で対応する。すなわち、予めわかって
いる穴の数と矛盾しない辺を、重みの減る順番にレーブ
グラフの中に張っていく。

【０２１１】ケース１：Ｎ^j＝Ｎ^j+1の場合ケース１ａ：輪郭線が互いに最も近いＬ^j _i1、Ｌ^j+1 _i2
の対で構成される場合。すなわち、

【数１８】がともに成り立つ場合（このような対を「最近輪郭線
対」と呼ぶ）。

【０２１２】重み関数を用いることにより、一対の輪郭
線の間が辺で結ばれる。図３０（ａ）〜（ｅ）はケース
１、２を説明する図である。ここでは、図３０（ａ）お
よび（ｂ）のような状況は発生しないと仮定する。

【０２１３】ケース１ｂ：ケース１ａが成り立たない場
合図３０（ｃ）に示すような分岐が生じていると考える。
我々のインプリメントテーションでは、次の条件のいず
れかが成立する場合、Ｌ^j _i1およびＬ^j+1 _i2の間に辺が
張られる。

【０２１４】

【数１９】ケース２：Ｎ^j≠Ｎ^j+1の場合ケース２ａ：２つのフレームの間に分岐が起っている場
合（図３０（ｄ））ケース２ｂ：分岐が起っていない場合（図３０（ｅ））これら２つのケースは重み関数によって区別することが
できる。ｑ（Ｌ^j _i1，Ｌ^j+1 _k）、ｑ（Ｌ^j _i2，
Ｌ^j+1 _k）がともに大きな数値の場合、Ｌ^j+1 _kからＬ
^j _i1、Ｌ^j _i2への分岐が起っている可能性が高い。

【０２１５】このように重み関数のみからでも分岐の可
能性を判断することは可能である。しかし我々は、重み
以外にオブジェクトの大域的な情報を利用するアルゴリ
ズムを提案する。以下、Ｎ_connはオブジェクトの連結成
分の数、ｇはオブジェクトの穴（ハンドル）の数、Ｍ
_connはレーブグラフの連結成分の数、ｌはレーブグラフ
の閉曲線の数を示す。つぎに示す９ステップのアルゴリ
ズムでは、Ｎ_conn＝１であると仮定する。また最初、グ
ラフには辺がない状態であるとする。

【０２１６】アルゴリズム・ステップ１：隣接するフレーム上の輪郭線のすべての
対について関数ｑを計算し、すべての輪郭線Ｌ^f _c（ｆ
はフレーム番号、ｃは輪郭線番号）についてその最も近
くに隣接する輪郭線Ｌ^f´_c´（ｆ´はフレーム番号＋ｄ
ｉ、ｃ´は最近輪郭線番号）を示す表を作成する。Ｌ^f
´_c´はｑの最大値およびｄｉ＝±１におけるｑの値を
与える。

【０２１７】・ステップ２：まずケース１のすべての対
に関して辺をグラフに追加する。

【０２１８】・ステップ３：つぎにケース２にあたる輪
郭線Ｌ^j _i1およびＬ^j+1 _i2の対を選択し、最近輪郭線対
の間に辺を張る。

【０２１９】・ステップ４：ｌ＞ｇまたはＭ_conn＜Ｎ
_connの場合、アルゴリズムはステップ９に飛ぶ。

【０２２０】・ステップ５：ステップ３において辺が張
られなかったケース２の輪郭線の対のリストを重みが大
きい順にならべて生成する。こうして表示される辺をＥ
₁、Ｅ₂…と書く。

【０２２１】・ステップ６：作成されたリストの中から
一番上にある輪郭線の対を選択する。

【０２２２】・ステップ７：その対に対して辺を張った
とき、ｌ≦ｇかつＭ_conn≧Ｎ_connなら、その辺をグラフ
に追加する。そうでない場合、その辺を拒絶する。

【０２２３】・ステップ８：処理が終了した対をリスト
から削除する。リストが空にならなければ、ステップ６
に戻る。

【０２２４】・ステップ９：生成されたグラフが期待ど
おりでない場合、接続されるべきでない輪郭線の対の重
みを対話形式で０に修正する。しかる後、処理をステッ
プ１に戻す。

【０２２５】以上のアルゴリズムでレーブグラフが構成
できれば対応あう輪郭線が判明するため、後は［３］の
表面構成技術によってオブジェクトを再構成することが
できる。なお、このアルゴリズムをＮ_conn＞１である複
数要素のオブジェクトに適用する場合、ステップ４にお
いて各連結成分に対してｇを指定すればよい。

【０２２６】◎ 医療分野への適用我々はこのアルゴリズムを用いて、人の耳の蝸牛管およ
び半規管の三次元表面を再構成した。セロイジン（切片
固定剤）処理により、耳の標本を固定した上で、これを
２０μｍｍの厚さにスライスした。この標本を写真撮影
し、グラフィカ社のドラムスキャナ（Ｇ−２２５Ｃ）を
用いて写真をイメージデータに変換し、スタイラスペン
を使ってオブジェクトの外形線をプロットした。処理に
は、ＨＰ９０００シリーズのモデル５５０を用いた。最
後に輪郭線データをシリコングラフィックス社のパーソ
ナルアイリスに入力し、レーブグラフを生成してオブジ
ェクトの表面を再構成した。

【０２２７】図３１は断面データを基に構成された蝸牛
管のレーブグラフを示す。同図のごとく、渦巻状の構造
が正しく表現されている。この例では穴の数ｇ＝０であ
る。

【０２２８】この例の場合、まずはじめに図３１におい
て太線で描かれている辺が生成された。つづいて辺Ｅ₁
およびＥ₂が追加され、Ｅ₃は拒絶された。なぜならＥ₃
はグラフにおいて閉曲線を作るためである。同様の手順
でＥ₄が追加され、Ｅ₅、Ｅ₆、Ｅ₇、Ｅ₈が拒絶された。
処理はここで終了し、グラフは我々が予め知っている形
状に一致した。

【０２２９】図３２は内耳の半規管に関するレーブグラ
フである。半規管は穴を３つ持っている。この場合、辺
Ｅ₁、Ｅ₂、…Ｅ₈およびＥ₉が追加され、Ｅ₁₀、Ｅ₁₁、Ｅ
₁₂が拒絶された。その結果、グラフには正しく３つの閉
曲線が生じた。

【０２３０】この自動化アルゴリズムが、通常人が目で
行う方法よりも優れている理由は、十分な数の断面デー
タがあるとき分岐が生じるような輪郭線に対してｑの値
が大きくなるため、分岐を正しく扱うことができる点に
ある。この情報は、単に断面図を見ているだけでは得る
ことができない。現実に我々が実験を行ったとき、外部
からの指示は全く不要であった。

【０２３１】（４）レーブグラフを用いた表面の符号化一旦レーブグラフが構成されれば、表面の符号を得るこ
とは容易である。したがって、表面の符号化を直接行う
代りに、レーブグラフまたは断面データを記述すること
によってオブジェクトを符号化することができる。符号
はレーブグラフを上から下にスキャンすることにより、
以下の手順で得ることができる。

【０２３２】１．ある高さにおいてグラフのノードが新
たに現れたとき、対応する符号はPut_e2 である。この
ノードが既存の輪郭線（輪郭線＃ｎとする）に含まれて
いれば、対応する符号は Put_e2(n) である。

【０２３３】２．ある高さにおいてグラフのノードが消
えたとき、対応する符号は Put_e0である。

【０２３４】３．２つの辺がマージされるとき、対応す
る符号は Put_e1_merge である。新たな輪郭線の子輪郭
線がマージされた２つの輪郭線の子輪郭線に一致しない
場合、エラーが報告される。

【０２３５】４．辺が分れるとき、対応する符号は Put
_e1_divideである。

【０２３６】分離した輪郭線の子輪郭線（第２パラメー
タclist）は、輪郭線どうしの包含関係をチェックする
ことで決まる。分岐した一方の輪郭線（＃ｍとする）が
他方（＃ｎとする）に含まれる場合、［１］で説明した
第３パラメータは outsideとなる。それ以外（兄弟輪郭
線）の場合、そのパラメータは inside となる。outsid
e の場合、＃ｍの子輪郭線が＃ｎの子輪郭線になるかど
うかがチェックされる。一方、inside の場合、＃ｍお
よび＃ｎの子輪郭線が元の輪郭線の子輪郭線に一致する
かどうかがチェックされる。

【０２３７】ある高さにおいて符号が計算された後、そ
の高さにおける輪郭線どうしの親子関係が、対応する演
算子を輪郭線の木構造に対して適応した結果得られるも
のと一致するかどうかがチェックされる。もし一致しな
ければ、エラーである。親子関係を破っている辺の１つ
の重さは０に修正され、自動化アルゴリズムが再実行さ
れる。

【０２３８】［実施形態］以上が前提技術である。この
前提技術を本発明との関連を中心にまとめれば以下のと
おりである。

【０２３９】［１］についてモース理論は特異点と指数の情報しか与えない。したが
って、立体を構成するための胞体（セル）の種類は概念
として判明するが、それを具体的にどのような幾何的関
係をもって接続していくかは不明である。レーブグラフ
もモース理論の問題点を解決したわけではない。レーブ
グラフでは、特異点相互の関係はわかるが、結び目や階
層関係は判明しない。結び目を知るためには、埋め込み
に関する情報、すなわち幾何情報を知る必要がある。以
上の問題点は、数学上の目的はともかく、立体を正しく
符号化するという産業上の目的からすれば解決が必須で
ある。

【０２４０】こうした観点から、輪郭線の木構造をもと
に輪郭線どうしの階層関係を表現することができ、かつ
立体の埋込み状態を視覚的に容易に指定することの可能
なアイコン表示を導入した。このアイコン表示は立体を
符号化するために必要かつ十分な４種類の演算子（Put_
e0 など）と関連づけられているため、ユーザインタフ
ェイスとしてはアイコンにより、またシステムの内部処
理としては演算子により、立体の符号化を位相的な正し
さを保証しながら行うことが可能となった。

【０２４１】この［１］の技術は、立体を新たに設計す
る場合を目的とする。したがって、既存の立体をその断
面から自動的に再構成するものではない。一方、本発明
はキーフレームを断面として立体を再構成することに等
しい。したがって、［１］の技術は本発明の主たる手段
にはならず、実施形態４においてひとつの応用例として
利用される。

【０２４２】［２］について［１］によって立体が符号化された状態を前提に立体の
表面を生成する。［１］の符号化によれば、臨界断面は
それぞれ演算子（またはアイコン）に対応しているため
すべて判明する。したがって、臨界断面の間をホモトピ
ーによって接続すれば立体の表面を生成することができ
る。臨界断面の間で立体の位相が変化することはなく、
一方、ホモトピーは立体の位相を変化させないためであ
る。［２］の技術は［１］と関連しており、［１］同様
に実施形態４で利用する。

【０２４３】［３］について断面データが与えられたとき、対応輪郭線対の間で対応
しあう点を検出し、それらの輪郭線の間の表面を生成す
る。［３］では基本的に輪郭線の分岐は考慮せず、対応
輪郭線対は判明しているものとして、これらの輪郭線に
おける対応点対を探索する。

【０２４４】対応点対の検出にはトロイダルグラフを用
いる。本発明では従来より提案されている離散タイプの
トロイダルグラフを用いてもよいが、本発明者が提案し
た連続タイプのトロイダルグラフを用いることができ
る。より自然な対応点対を検出するためには後者が有利
である。

【０２４５】連続トロイダルグラフを用いるとき、本発
明者の提案する「最多かつ最長のランを通過する経路」
を見い出すアルゴリズムを用いてもよい。ランは計算量
削減のために所定の最近点対をグループ化するもので、
輪郭線対を結ぶ自然な経路を発見できるとともに、計算
時間短縮の効果を併せもつ。

【０２４６】最近点対が判明すれば、それら対の間を補
間することにより、一方の輪郭線ｆ（ｘ）上のすべての
点と他方の輪郭線ｇ（ｙ）上のすべての点を対応づける
ことができる。ｘ、ｙをそれぞれの輪郭線の弧上の距離
とすれば、対応点対はｙ＝Ｕ（ｘ）という関数Ｕで表現
できる。Ｕが判明すれば、ｆ（ｘ）とｇ（U(x)）をホモ
トピーＦで結べば曲面が生成できる。

【０２４７】［３］の技術は［４］によって対応輪郭線
対が判明した後、本発明の主たる手段として実施形態
１、２で利用する。本発明ではアニメータの労力を軽減
するためにキーフレームどうしの対応点の入力をアニメ
ータに要求しないため、対応点対の自動検出に［３］を
活用する。

【０２４８】［４］について［３］の準備として、隣接する断面間における対応輪郭
線対を検出する。対応輪郭線対の検出とレーブグラフの
生成は同義と考えられる。

【０２４９】対応輪郭線対の検出には場合分けがある。
まず、隣接する断面のそれぞれに含まれる輪郭線の数が
等しい場合、重み関数に従って近い輪郭線どうしが対応
づけられる。輪郭線の数が異なる場合には、オブジェク
トの連結成分とハンドルの数を考慮しながら近い輪郭線
どうしを関連づけていく。一連の処理は本発明者の提案
するレーブグラフの自動生成アルゴリズムで実現でき
る。

【０２５０】ただし本発明では、ユーザによる指定を容
易にするために、連結成分とハンドルの数に関する所定
のデフォルト設定を行う。設定は、アニメーション製作
を念頭においている。これらのパラメータのほか、
［２］で導入した輪郭線の階層構造を示す木構造をもと
に自然消滅または自然発生すべき輪郭線の推定を行う。
さらに、ユーザの意図を確認するための簡単な指示入力
を受け付ける。

【０２５１】実施形態１．前提技術では、立体の表面を
ホモトピーによって構成したとき、そうして得られる立
体がそのまま目的のオブジェクトとなった。したがっ
て、前提技術ではオブジェクトの三次元形状を静止画と
して表現することを主眼とした。

【０２５２】一方、本発明では、立体は最終的にアニメ
ーションのフレームを生成するための手段として用いら
れるにすぎず、オブジェクトの二次元形状を動画として
表現することに主眼がある。このために、前提技術にお
ける立体のｚ軸を空間軸から時間軸に変更する。実施形
態１ではまず、本発明に係るアニメーションの自動中割
システムを説明する。

【０２５３】本実施形態を実現するシステムのハードウ
エアは、自動中割を行うためのプラットホームであるＰ
Ｃと、このＰＣに対してアニメータの描いたキーフレー
ムの画像を入力するためのイメージスキャナだけでよ
い。キーフレームをＰＣ上の描画ソフトウエアなどで作
成する場合にはイメージスキャナも不要である。これ以
外の構成としては、実際に作成したアニメーションの各
フレーム画像を出力するプリンタと、アニメーションに
関するデータを記録する磁気記憶装置などがあればよ
い。

【０２５４】図３３は、本実施形態に係る中割システム
２のソフトウエアモジュール構成図である。同図のごと
くこのシステムは主に、キーフレームの画像を受け付け
るキーフレーム受付部４、複数のキーフレームをもとに
アニメーション立体を生成するアニメーション立体生成
部６、生成されたアニメーション立体を切断して中間フ
レームの画像を取得する中割部２６からなる。

【０２５５】アニメーション立体生成部６は、隣接する
キーフレーム間における対応輪郭線対を検出する対応輪
郭線検出部８と、対応輪郭線対の間の表面をホモトピー
によって生成する表面生成部２０からなる。

【０２５６】対応輪郭線検出部８は、前提技術［４］を
利用する。対応輪郭線検出部８は、連結成分に関する関
する情報を処理する連結成分関連処理部１０、輪郭線の
木構造をもとに消滅する輪郭線の推定などを行う木構造
関連処理部１２、連結成分および木構造を考慮したうえ
で輪郭線間の対応の可能性をそれらの近さをもとに評価
する輪郭線対応評価部１４、評価の結果にもとづき対応
する可能性が高い輪郭線対を表示するオプション機能で
ある候補表示部１６をもつ。

【０２５７】一方、表面生成部２０は、対応輪郭線対の
間の対応点対を前提技術［３］をもとに検出する対応点
検出部２２と、［３］（４）「ホモトピーモデルに基づ
く表面の生成」を用いて拡張トロイダルグラフからアニ
メーション立体の表面を生成するホモトピー関連処理部
２４をもつ。以下、中割システム２によって実際に中割
を行う手順を図３４を用いて説明する。（Ｓ２）キーフレームの入力まず、ユーザは複数のキーフレームを入力する。キーフ
レームに描かれているオブジェクトの輪郭線は各種形状
関数、例えば、点、円、多角形、ベジェ、ＮＵＲＢＳな
どによって近似する。関数はユーザが選択可能としても
よい。精度が要求される場合は、ＮＵＲＢＳ曲線など二
次曲線を忠実に再現できる関数が選ばれる。

【０２５８】ここでは図３５に示す２枚のキーフレーム
Ｆ０とＦ１が入力されたとする。これらのキーフレーム
には円形オブジェクト３０（以下「Ｏｃ３０」）と長方
形オブジェクト３２（以下「Ｏｒ３２」）が描かれてい
る。キーフレームＦ０で画面左にあったＯｃ３０がキー
フレームＦ１では右に移動し、形状も円から楕円に変わ
っている。キーフレームはフリーハンドで描画すればよ
い。

【０２５９】（Ｓ４）パラメータの指定つづいてユーザは各種パラメータを指定する。パラメー
タによる指定は以下の２つである。

【０２６０】１．オブジェクトの連結成分の数Ｎ_conn ２．輪郭線の木構造を考慮するか否か連結成分とは、キーフレームに登場する物体の個数をい
うが、ここでは２つのキーフレームにおける連結成分の
大きいほうをＮ_connと決めることにする。なお、ユーザ
が連結成分の数を指定しなかった場合、システムは以下
のデフォルト設定を行う。

【０２６１】Ｎ_conn＝ｍａｘ（Ｎ^F0，Ｎ^F1）ただし、Ｎ^F0、Ｎ^F1はそれぞれキーフレームＦ０、Ｆ１
に含まれる輪郭線の数である。ここではユーザは指定を
しなかったものとする。この場合、図３５からＮ^F0＝Ｎ
^F1＝２であるから、Ｎ_conn＝２が設定される。この処理
は図３３の連結成分関連処理部１２で行われる。

【０２６２】一方、木構造は前提技術［２］で親輪郭
線、子輪郭線などのことばで定義した輪郭線どうしの包
含関係である。木構造を考慮する場合、後の対応輪郭線
対の検出の際、・輪郭線が消えるとしたら木構造の末端にある子輪郭線
（木構造のリーフ）である・自然発生する輪郭線は既存の輪郭線の親輪郭線になれ
ないという規則が課される。なお、ユーザがこの指定をしな
かった場合、システムはデフォルトとして、「木構造を
考慮しない」を内部的に設定する。ここでもユーザは指
定をしなかったものとし、木構造が考慮されないとす
る。この処理は図３３の木構造関連処理部１２で行われ
る。

【０２６３】（Ｓ６）輪郭線間の対応の評価つぎに、輪郭線対応評価部１４において輪郭線間の対応
の評価を行う。この評価の際、Ｓ４における指定の内容
を考慮したうえで、キーフレームＦ０とＦ１の間で対応
しあう可能性のある輪郭線対をすべて抽出する。いま、
連結成分の数Ｎ_connは２であるため、可能性のある輪郭
線対を（Ｆ０に含まれる輪郭線，Ｆ１に含まれる輪郭
線）と表記すれば、組合せ１：（Ｏｃ３０，Ｏｒ３２）かつ（Ｏｒ３２，Ｏ
ｃ３０）組合せ２：（Ｏｃ３０，Ｏｃ３０）かつ（Ｏｒ３２，Ｏ
ｒ３２）の２組に限られる。仮に、組合せ３：（Ｏｃ３０，Ｏｃ３０）かつ（Ｏｒ３２，Ｏ
ｃ３０）を考えると、２つの輪郭線が同一の輪郭線に集まること
になり、連結成分が１個になってＮ_conn＝２に反する。
したがって、組合せ１、２のみとなる。なお、木構造に
ついては考慮しないため、これら２つの組合せがそのま
ま対応輪郭線対の候補となる。

【０２６４】つづいて、組合せ１、２のいずれが妥当で
あるかを判定する。この判定は、組合せ１、２の含まれ
る合計４つの輪郭線対のそれぞれについてその近さを評
価し、最も近いもの、すなわち最近輪郭線対を求める。
最近輪郭線対は前提技術［４］の重み関数を用いて見い
出すことができる。いまの場合、（Ｏｒ３２，Ｏｒ３
２）が最近輪郭線対になるため、これを含む組合せ２が
自動的に対応輪郭線対の組合せとして選択される。

【０２６５】（Ｓ８）対応輪郭線対の決定Ｓ６で対応輪郭線対が一応見つけ出された。本システム
では、候補表示部１６によってＳ６で決まった対応関係
を図３６のごとく画面に表示する。この対応関係が正し
ければユーザは「ＯＫ」を入力し、対応輪郭線対が決定
される。ただし、Ｓ８はオプション機能として通常はス
キップしてもよい。

【０２６６】（Ｓ１０）対応点対の検出ここで処理は図３３の表面生成部２０に移る。まず、対
応輪郭線対（Ｏｃ３０，Ｏｃ３０）および（Ｏｒ３２，
Ｏｒ３２）のそれぞれについて、輪郭線上の対応点対を
検出する。

【０２６７】（Ｏｃ３０，Ｏｃ３０）を例に説明する。
図３７に示すごとく、２つの輪郭線を同じ大きさの正方
形に収まるように正規化する。輪郭線の形状はスプライ
ン曲線やＮＵＲＢＳ曲線で表され、上下の輪郭線の形状
関数をそれぞれｆ（ｘ）とｇ（ｙ）とおく。ｘ、ｙはそ
れぞれ弧上の距離である。この表記は前提技術［３］
（３）において、連続トロイダルグラフのパラメータに
弧長をとる場合に対応する。

【０２６８】つづいて上下の輪郭線間の最近点対を求め
る。最近点対とは、対応輪郭線対Ａ、Ｂそれぞれの上の
点ａ、ｂについて、点ａから見て輪郭線Ｂ上の最も近い
点が点ｂであり、かつ点ｂから見て輪郭線Ａ上の最も近
い点が点ａであるとき、これら点ａ、ｂの対をいう。図
３８はこうして求められた最近点対ｘｉ−ｙｉを示して
いる。実際のインプリメントでは、上述のごとく、最多
かつ最長のランを発見するアルゴリズムを活用すればよ
い。

【０２６９】この後、補間計算によって最近点対以外の
点どうしの対応を決める。例えば図３８の場合、上の輪
郭線のｘ０とｘ１の弧上の中間点は下の輪郭線のｙ０と
ｙ１の弧上の中間点に対応するなどと考えればよい。輪
郭線上のすべての点の対応関係が判明すれば、ｙ＝Ｕ
（ｘ）なる一様増加関数が決まり、この関数によって対
応点対が記述される。Ｏｒ３２についても同様の処理を
行う。

【０２７０】（Ｓ１２）表面の生成つづいて、ホモトピー関連処理部２４により、アニメー
ション立体の表面が生成される。このために、前提技術
［３］（４）のホモトピーによる表面の生成技術を利用
する。すなわち、ｙ＝Ｕ（ｘ）によって２つの輪郭線上
のすべての点が対応づけられているため、ホモトピーが
これら対応点対をファイバーのようにつなぐ。例えば対
応点対をすべて直線でつなぐ場合、直線ホモトピー、 F(x,t)＝(1-t)f(x)＋tg(x) を用いればよい。ただし、正確にいえばこの式のｇ
（ｘ）はｇ（U(x)）である。アニメーションの場合、立
体の設計のような厳密さは求められないため、実際には
ほとんどの場合が直線ホモトピーでカバーできると考え
られる。

【０２７１】図３９はこうして生成されたアニメーショ
ン立体を示す図である。このアニメーション立体の上面
がキーフレームＦ０、下面がＦ１に対応する。このアニ
メーション立体の特徴は、Ｏｃ３０とＯｒ３２に関する
２つの立体からなることである。ここで連結成分Ｎ_conn
＝２であるから、これらの立体は図３９では交わって見
えても、本システムではこれらは互いに相手を素通りす
るような別々の立体として扱われる。

【０２７２】（Ｓ１４）中割の実行確認アニメーション立体が生成された後、システムはユーザ
に対して中割を実行するかどうかを問い合わせる。ここ
でユーザが「ＹＥＳ」を入力するとシステムは次のＳ１
６に進み、「ＮＯ」を入力するとＳ２０へ進む。

【０２７３】（Ｓ１６）中割システムはまず、中割に必要なパラメータの入力をユー
ザに求める。パラメータの例は、キーフレームＦ０、Ｆ
１の表示時刻、生成すべき中間フレームの数などであ
る。キーフレームの表示時刻が指定されれば、２つのキ
ーフレームの表示時刻の差を例えば１／３０秒で割るこ
とより、ＮＴＳＣ規格に則って生成すべき中間フレーム
の数が判明する。逆に、生成すべき中間フレームの数が
直接入力されれば、フレームの表示時刻に関する情報が
なくとも中割を行うことができる。

【０２７４】図４０は中割の様子を示している。いまキ
ーフレームＦ０、Ｆ１がそれぞれ表示時刻ｔ０、ｔ１に
対応しているとすれば、表示時刻ｔ＝ａｔ０＋（１−
ａ）ｔ１、ａ∈［０，１］の中間フレームは、アニメー
ション立体の縦軸を（１−ａ）：ａに内分する点を含む
ｘｙ平面上の断面形状で決まる。同図の場合、Ｏｃ３０
とＯｒ３２が一部重なった状態の中間フレームが得られ
る。

【０２７５】（Ｓ１８）アニメーションの表示アニメーションは上記のパラメータａを動かすことによ
り、キーフレームＦ０とＦ１の間の任意の中間フレーム
の画像を得て生成される。図４１は、生成された中間フ
レームが２枚の場合を示している。同図のごとく、アニ
メーション立体をｔ＝２／３ｔ０＋１／３ｔ１、および
ｔ＝１／３ｔ０＋２／３ｔ１という平面で切断して２枚
の中間フレームが得られる。これらを２枚のキーフレー
ムの間において同図の上から順に表示すれば、Ｏｒ３２
の前をＯｃ３０が横切るアニメーションが完成する。

【０２７６】Ｏｃ３０がＯｒ３２の前後いずれを通過す
るかは、Ｏｃ３０とＯｒ３２に関する画像データのいず
れを先に中間フレームに描画するかによる。したがっ
て、Ｏｃ３０がＯｒ３２の前を通るアニメーションを作
りたければ、Ｏｒ３２の描画を先に行い、Ｏｃ３０をこ
れに上書きすればよい。このため、システムはユーザに
対して「どちらのオブジェクトが遠くにあるか」を問い
合わせてもよい。ユーザがＯｒ３２のほうが遠いと指定
すれば、システムはＯｒ３２を先に処理することで所望
のアニメーションが得られる。

【０２７７】なおシステムは、表示されたアニメーショ
ンがユーザの希望に沿うかどうかを問い合わせてもよ
い。ユーザが「ＮＯ」を入力したとき、Ｓ８の処理に戻
って輪郭線どうしの対応関係をマニュアルで修正しても
よい。対応する可能性のある輪郭線対が多数存在すると
き、図３３の候補表示部１６が、それらの輪郭線対を対
応の可能性の高い順に画面に色を変えて表示していって
もよい。

【０２７８】（Ｓ２０）アニメーション立体の記憶Ｓ１４で「ＮＯ」が入力された場合、システムは中割を
行わずに図３９のアニメーション立体を記憶装置に記憶
する。この際、アニメーション立体に必要な名前を付け
ておくことにより、アニメーションのデータベース化が
可能となる。実際にアニメーションを再生するときに
は、記憶装置から必要なアニメーション立体を呼び出し
てＳ１６の中割を行い、これを表示すればよい。

【０２７９】アニメーション立体の記憶に必要なデータ
の種類は以下のとおりである。

【０２８０】１．キーフレームの画像２．キーフレーム間の対応輪郭線対の表示３．対応輪郭線対における対応点対の表示４．対応点対を接続するホモトピーこの中で４については、直線ホモトピーなどをデフォル
トとして決めておけば不要になる。したがってデータ量
も少なく、アニメーション立体は通信にも好適である。
例えばアニメーション提供者側の送信装置によってアニ
メーション立体を各家庭に送り、各家庭側では受信装置
でこれを受信する。受信装置はこのアニメーション立体
に対してＳ１６の中割、およびＳ１８の表示を行えばよ
い。その場合、アニメーション立体の送り手の側で、生
成すべき中間フレームの数など、中割に必要な情報をア
ニメーション立体に付加して送ってもよい。

【０２８１】実施形態２．実施形態１ではキーフレーム
間で輪郭線の数が変化しない例を説明した。実施形態２
ではこれが変化する例を用いて、パラメータの指定と輪
郭線の発生、消滅の推定との関係を説明する。

【０２８２】例１．重なり合わない２つの円（タイプ
１）図４２は２枚のキーフレームＦ０、Ｆ１の画像を示して
いる。この例では、キーフレームＦ０に１個のオブジェ
クトＯｃ４０、Ｆ１に２個の重なり合わないオブジェク
トＯｃ４２、４４がある。以下、実施形態１の主要なス
テップに即して中割処理を説明する。

【０２８３】（Ｓ４）パラメータの指定１．オブジェクトの連結成分の数Ｎ_conn デフォルト値がＮ_conn＝ｍａｘ（Ｎ^F0，Ｎ^F1）で計算さ
れる。ここでＮ^F0＝１、Ｎ^F1＝２であるから、Ｎ_conn＝
２が設定される。２．輪郭線の木構造を考慮するか否かデフォルトとして、「木構造を考慮しない」が内部的に
設定される。

【０２８４】（Ｓ６）輪郭線間の対応の評価連結成分の数Ｎ_connは２であるため、キーフレームＦ０
とＦ１の間で対応しあう可能性のある輪郭線対は、組合せ１：（Ｏｃ４０，Ｏｃ４２）かつＯｃ４４は自然
発生組合せ２：（Ｏｃ４０，Ｏｃ４４）かつＯｃ４２は自然
発生の２組に限られる。このうち、（Ｏｃ４０，Ｏｃ４２）
が最近輪郭線対であるから、これを含む組合せ１が自動
的に対応輪郭線対の組合せとして選択される。

【０２８５】この後、Ｓ８、Ｓ１０は実施形態１同様に
進む。

【０２８６】（Ｓ１２）表面の生成図４３は生成されたアニメーション立体を示す図であ
る。Ｏｃ４０とＯｃ４２が結ばれ、Ｏｃ４４は任意の箇
所で発生する。Ｏｃ４４に関する立体の頂点４６を含む
断面が臨界断面になる。システムはこの臨界断面を例え
ばｔ＝（ｔ０＋ｔ１）／２の位置におく。なお、ここで
はＯｃ４４に関する立体を円錐として描いたが、これは
円柱などでもよい。

【０２８７】処理はこの後、Ｓ１４、Ｓ１６と進んだと
する。

【０２８８】（Ｓ１６）中割実施形態１同様、アニメーション立体をｔ＝２／３ｔ０
＋１／３ｔ１、およびｔ＝１／３ｔ０＋２／３ｔ１とい
う平面で切断して２枚の中間フレームを得る。

【０２８９】（Ｓ１８）アニメーションの表示図４４は、生成された中間フレームが２枚の場合を示し
ている。同図のごとく、Ｏｃ４０は徐々にＯｃ４２にな
る一方、Ｏｃ４４が画面に次第に現れる。図４３でＯｃ
４４に関する立体を円柱とすれば、Ｏｃ４４は突然最終
的な大きさで画面に現れることになる。また、Ｏｃ４４
に関する立体を円錐とし、その円錐の頂点を右側にずら
せば、Ｏｃ４４が画面右側から次第に近づいてくるよう
なアニメーションになる。なお、Ｓ２０については実施
形態１同様である。

【０２９０】例２．重なり合わない２つの円（タイプ
２）この例でも図４２の２枚のキーフレームＦ０、Ｆ１が入
力されたとする。ただし今回は、Ｏｃ４４が自然発生す
るのではなく、Ｏｃ４０がＯｃ４２とＯｃ４４に分裂す
るアニメーションを作りたいとする。このために、以下
の２つのアプローチが考えられる。

【０２９１】［アプローチ１］例１同様、Ｓ４でパラメ
ータの指定をすることなくアニメーションを自動作成す
る。その場合、当然図４４に示すアニメーションができ
る。このアニメーションはユーザの希望に反するため、
Ｓ１８においてユーザは「ＮＯ」を入力する。システム
はＳ８の処理に戻り、ユーザは輪郭線どうしの対応関係
をマニュアルで修正する。ユーザは明示的にＯｃ４０と
Ｏｃ４２、およびＯｃ４０とＯｃ４４を連続的にマウス
でクリックするなどの方法が考えられる。

【０２９２】［アプローチ２］Ｓ４で連結成分の数Ｎ
_connを明示的に指定する。この場合、Ｎ_conn＝１とすれ
ばよい。このときアニメーション立体は図４５のように
二股に分岐する。分岐する際に鞍点４８が生じ、この鞍
点４８を含む断面が臨界断面になる。システムはこの臨
界断面を例えばｔ＝（ｔ０＋ｔ１）／２の位置におき、
これをキーフレームのように扱う。すなわち、臨界断面
上のアニメーション立体の２つの輪郭線５０、５２と、
もとのキーフレームＦ０、Ｆ１のそれぞれの間でホモト
ピーを用いた表面の生成を行う。図４６は最終的に得ら
れるアニメーションを示している。

【０２９３】例３．重なり合う２つの円（タイプ１）図４７は例３のキーフレームＦ０、Ｆ１を示している。
キーフレームＦ０では内側にＯｃ６０、外側にＯｃ６２
という重なり合う円があり、キーフレームＦ１にはひと
つの円Ｏｃ６４がある。

【０２９４】ここでもＳ４でパラメータを指定しないも
のとし、Ｎ_conn＝２、および「木構造を考慮しない」が
設定される。キーフレームＦ０とＦ１の間で対応しあう
可能性のある輪郭線対は、組合せ１：（Ｏｃ６０，Ｏｃ６４）かつＯｃ６２は自然
消滅組合せ２：（Ｏｃ６２，Ｏｃ６４）かつＯｃ６０は自然
消滅の２組に限られる。このうち、（Ｏｃ６０，Ｏｃ６４）
が最近輪郭線対であるから、これを含む組合せ１が選択
される。

【０２９５】図４８は生成されたアニメーション立体を
示す図である。このアニメーション立体は、外円Ｏｃ６
２に関する立体と、内円Ｏｃ６０に関する立体の２つか
ら構成される。これらの立体は図面上では重なっている
が、Ｎ_conn＝２であるからシステムでは別個の立体とし
て扱われる。図示しないが、こうして生成されたアニメ
ーション立体に対して中割を行えば、当然ながら途中で
外円Ｏｃ６２が突然消滅するアニメーションが得られ
る。

【０２９６】例４．重なり合う２つの円（タイプ２）図４９は例４のキーフレームＦ０、Ｆ１を示している。
キーフレームＦ０は例３と全く同じである。キーフレー
ムＦ１にはひとつの長方形Ｏｒ７０がある。ここではキ
ーフレームＦ０がトーラスを正面から見たところ、キー
フレームＦ１が同じトーラスを９０°横から見たところ
であり、ユーザはトーラスが９０°回転するアニメーシ
ョンを作りたいものとする。

【０２９７】ここで、Ｓ４でパラメータを指定しないと
すれば、例３同様キーフレームＦ０とＦ１の間で対応し
あう可能性のある輪郭線対は、組合せ１：（Ｏｃ６０，Ｏｒ７０）かつＯｃ６２は自然
消滅組合せ２：（Ｏｃ６２，Ｏｒ７０）かつＯｃ６０は自然
消滅の２組に限られる。ここで仮に、計算上（Ｏｃ６０，Ｏ
ｒ７０）が最近輪郭線対となれば、例３同様、Ｏｒ６２
が途中で突然消滅するようなアニメーションが生成され
る。これはトーラスの回転とはまったく異なる映像であ
る。この問題を解決するには以下の２つのアプローチが
考えられる。

【０２９８】［アプローチ１］例２のアプローチ１同様
の措置をとる。

【０２９９】［アプローチ２］Ｓ４で連結成分の数Ｎ
_connを明示的に１とする。このときアニメーション立体
は図５０のようになる。このアニメーション立体では、
トーラスの内円Ｏｃ６０が尾根線（リッジ）７２で消滅
している。このリッジを含む断面が臨界断面であるる。
最終的に生成されるアニメーションは図５１に示すとお
りである。この例を変形すれば、人が目を閉じるような
アニメーションを作ることができるし、そのフレームを
逆に辿れば目が開くアニメーションも作れる。

【０３００】さらに、この例ではトーラスにおける円Ｏ
ｃ６０とＯｃ６２が階層構造をなすことから、別のアプ
ローチも考えられる。

【０３０１】［アプローチ３］Ｓ４で明示的に「木構造
を考慮する」と指定する。このとき、「輪郭線が消える
としたら木構造の末端にある子輪郭線である」という原
則が適用される。いまＯｃ６０、Ｏｃ６２それぞれの輪
郭線を＃６０、＃６２と表記するとき、キーフレームＦ
０の輪郭線の木構造は、＃０−＃６２−＃６０であるから、消滅する輪郭線があればそれは＃６０と推
定できる。このため、アニメーション立体はやはり図５
０のようになり、アプローチ２同様のアニメーションが
得られる。したがって、連結成分の数に関する指定と木
構造に関する指定は、一方が指定されたとき、他方に関
係なく指定された処理をなすようシステムを設計すれば
よい。ユーザは、連結成分または木構造のうち、ケース
バイケースで理解が容易なほうに関する指定を行うこと
ができる。

【０３０２】例３と例４の相違は、アニメーションで表
現しようとする対象が三次元物体として実存しうるか否
かにある。例３のアニメーション立体（図４８）は実在
しえない。一方、例４のアニメーション立体（図５０）
は、実在のトーラスを回転させながら生成される立体と
把握できる以上、実在しうる。実在する三次元物体を対
象とするアニメーションを作成する場合、システムのデ
フォルト値として「木構造を考慮する」としてもよい。

【０３０３】以上、実施形態２ではキーフレーム間で立
体の数が変化するような場合を考えた。ここではオブジ
ェクトの形状として円を中心に説明したが、円と多角形
は位相同形であるため、同じ原理でいろいろなオブジェ
クト形状に対応することができる。また、複雑なアニメ
ーションであっても、各部は上述の４つのパターンのい
ずれかで構成されていることが多いため、本実施形態の
応用範囲は広い。

【０３０４】実施形態３．実施形態１、２に沿ってシス
テムを設計する場合、オプション機能として設けたほう
がよい技術を説明する。

【０３０５】（１）曲線セグメントの処理機能図５２はこの機能を説明するためのキーフレームＦ０、
Ｆ１を示す図である。キーフレームＦ０には２つの端点
８２、８４をもつひとつの開曲線（曲線セグメント）８
０が描かれ、キーフレームＦ１にはひとつの閉曲線８６
が描かれている。

【０３０６】一方、実施形態２の例４は人の目が開く場
合に応用できることを述べた。図５２のキーフレームは
人の目が開く状態と考えることができる。したがって、
実施形態２の例４の処理により、図５３に示すようなア
ニメーションを作成することができる。

【０３０７】しかしながら、キーフレームＦ０からキー
フレームＦ１への変化としては、図５４に示すように、
一方の端点８２から曲線セグメントが延びていき、他方
の端点８４に到達する場合も考えられる。こうした場合
に対応すべく、システムは両端が閉じるような開曲線の
指定を受け付けるものとする。具体的には、システムは
キーフレームに開曲線が存在するとき、図５３および図
５４を表示してユーザの選択を促す。ユーザが入力しな
い場合は、デフォルトとして図５３が選択されたものと
して通常の処理を行う。

【０３０８】図５５はこの曲線セグメント処理機能の効
果を説明するもので、キーフレームＦ０は火山を横から
見たところ、キーフレームＦ１はその火山を上から見た
ところを示している。キーフレームＦ０は稜線９０と、
冠雪線９２という２つの開曲線からなる。ここで、稜線
９０についてはデフォルト設定、冠雪線９２については
端点が延びてつながるという指定をすれば、キーフレー
ムＦ０からキーフレームＦ１までの自然な視点変更アニ
メーションを作成することができる。

【０３０９】（２）視点移動に対する補正機能例えばカメラが平行に移動したり、景色を見る人が列車
に乗っている場合など、画面上のオブジェクトがすべて
同じ方向に平行移動する場合がある。

【０３１０】図５６では２つのキーフレームＦ０、Ｆ１
に長方形Ｏｒ１００と円Ｏｃ１０２が描かれているが、
これらはキーフレーム間で平行移動している。そのた
め、このまま重み関数によって対応輪郭線対を検出した
場合、（Ｏｃ１０２，Ｏｒ１００）が最近輪郭線対とし
て誤って検出されうる。その結果、ユーザが予期しない
アニメーションが生成される。

【０３１１】そこで本システムは、複数のオブジェクト
がキーフレーム間で同じような移動をする場合、ユーザ
からその旨の指定を受け付ける。ユーザが「平行移動を
考慮する」を指定した場合、システムは既存の画像領域
マッチング手法などによってオブジェクトの動きベクト
ルを検出した後、オブジェクトの動きをゼロに戻して対
応輪郭線対の検出を行う。

【０３１２】実施形態４．実施形態１〜３では、前提技
術［３］［４］をベースとしてシステムを説明した。こ
れらのシステムは、ユーザに位相幾何学的な知識を要求
しない点に特徴をもつ。

【０３１３】一方、位相幾何学に関する知識はなくと
も、ある程度簡単なアニメーションについてはアニメー
ション立体を頭の中で想像できる場合もある。そうした
場合、前提技術［１］［２］をベースとする新たなシス
テムの可能性が開ける。すなわち、ユーザがアニメーシ
ョン立体を自らアイコンによって作り上げていくような
システムである。アイコンによって立体を設計する場
合、前提技術［１］［２］により、立体の位相の正しさ
が保証される。したがって、いったんアニメーション立
体が作成できれば、中割によって生成される中間フレー
ムも必ず位相的に正しいものとなる。実施形態４のシス
テムは、実施形態１〜３のシステムに対する補助システ
ムとしてインプリメントすればよい。

【０３１４】図５７は、実施形態４の中割システム１２
０を実現するソフトウエア構成図である。同図において
図３３と同等の部材には同一の符号を与えて説明を省略
する。

【０３１５】本システムのアニメーション立体生成部１
３０は、アニメーション立体の骨格に相当する部分を生
成する骨格生成部１３２と、骨格にパッチを貼り付けて
表面を生成する表面生成部１５０をもつ。

【０３１６】骨格生成部１３２は、アイコン処理部１３
４を含む。アイコン処理部１３４は、アイコンユーザイ
ンタフェイス部１３６（以下、ユーザインタフェイスを
ＵＩと表記）と接続検査部１３８を含む。アイコンＵＩ
部１３６は、レーブグラフのアイコン表示をＵＩとして
提供する、レーブグラフに関するエディターである。ア
イコンＵＩ部１３６は、ｋセルに対応したアイコンやダ
ミーアイコンなどを準備し、これらを画面に表示するこ
とによってユーザの選択を待つ。ユーザはクリック・ア
ンド・ドラッグによって必要なアイコンを必要な位置に
置いていくことができる。

【０３１７】一方、接続検査部１３８は、アイコンどう
しの間に不正な接続関係がないかどうかを判定する。例
えば、アニメーション立体の頂点にいきなり演算子 Put
_e0に対応するアイコンがくることはない。また、各演
算子に対してつぎに接続可能な演算子が決まるため、そ
の対応関係に該当しないアイコンの列びがあればエラー
を表示してユーザに通知する。

【０３１８】表面生成部１５０は、ガイディング曲線処
理部１５２とホモトピー関連処理部１５４を含む。ガイ
ディング曲線処理部１５２は、ガイディング曲線の入力
を受け付ける。前提技術［２］ではホモトピーＦとして
（i）〜（v）を導入し、そのうち（v）をユーザが自由
に指定するガイディング曲線と位置づけたが、実際のイ
ンプリメンテーションでは、ホモトピーを決めるという
意味において、（i）〜（iv）のすべてをガイディング
曲線と考えることができる。ガイディング曲線を（i）
の直線ホモトピーとすると、対応輪郭線対の対応点対を
画面上で指定するとその対応点対が直線で結ばれる。ガ
イディング曲線が（iv）のカージナルスプラインの場
合、スプライン曲線を決めるために４点の指定が必要で
ある。したがって、隣接する４つの輪郭線について対応
点を指定することにより、それら４つの輪郭線の区間に
関するガイディング曲線が決まる。ガイディング曲線処
理部１５２では、ユーザによる対応点対の指定に従い、
ガイディング曲線の式を計算して決めていく。

【０３１９】ホモトピー関連処理部１５４は、実施形態
１のごとく、輪郭線上のすべての点が隣接する輪郭線上
に対応する点をもつ場合、実施形態１同様にそれらの輪
郭線間をファイバーのように接続する。しかし、ユーザ
の指定した対応点対のみから表面を生成する場合は、対
応輪郭線対と隣接するガイディング曲線によって形成さ
れる領域ごとに表面パッチを当てるものとする。図５８
は表面パッチを貼り付ける方法を説明する図である。同
図では、対応輪郭線対の形状関数をｆとｇ、ガイディン
グ曲線の形状関数をＧ０とＧ１としている。このとき、
同図の点Ｐのごとく、Ｇ０とＧ１をα：（１−α）に内
分し、ｆとｇをβ：（１−β）に内分する点の位置は、（１−β）ｆ＋βｇという曲線と、（１−α）Ｇ０＋αＧ１という曲線のブレンディング（混ぜ合わせ）として決め
ることができる。ブレンディングの例として、

【数２０】（１−β ）ｆ（α）＋βｇ（α）＋（１−
α）Ｇ０（β）＋αＧ１（β）−（１−β）（１−α）
ｆ（０）−β（１−α）ｆ（１）−（１−β）αｇ
（０）−βαｇ（１）などを用いることができる。こうしてこの領域の表面パ
ッチが一意的に定まる。他の領域についても同様であ
る。

【０３２０】以下、この構成による中割の手順を図５９
のフローチャートを用いて説明する。

【０３２１】まずユーザは、生成したいアニメーション
から逆にアニメーション立体の形を思い浮かべ、その立
体をアイコンによって表現する（Ｓ３０）。いま、円が
２つに分裂するアニメーションを作りたいとすれば、作
成すべきアニメーション立体は図６０のような二股に分
岐した立体である。そこでユーザはこれをアイコンによ
って図６１のように入力する。同図では、演算子 Put_e
2、Put_e1_divide、および２つの Put_e0 に相当するア
イコンがこの順に置かれている。

【０３２２】つづいて、システムはアイコンの入力が完
了した時点で、キーフレームを順に入力するようユーザ
に指示する。本実施形態では、フレーム上でオブジェク
トがとる形状が時間の経過とともに位相同形でなくなる
ような臨界的なフレームをキーフレームとして入力す
る。図６１の場合、ｅ²セルの生成に相当するフレー
ム、ｅ¹の貼り付けに相当するフレーム、ｅ⁰の貼り付け
に相当するフレームがそれぞれキーフレームである。

【０３２３】ユーザはシステムからの指示に従い、ｔ＝
ｔ０、ｔ＝（ｔ０＋ｔ１）／２、ｔ＝ｔ１の３つのキー
フレームの画像を入力する（Ｓ３２）。図６２はこのと
きの画面表示を示している。なお、ｔ＝ｔ０とｔ＝ｔ１
のキーフレームは平らな頂上と底部に当たるため、前提
技術［２］の「縮退のある場合」の考慮を行う。

【０３２４】ここでシステムはガイディング曲線の入力
待ちとなる。ユーザはマウスなどによってガイディング
曲線を入力し、対応輪郭線対の対応点対の位置をシステ
ムに伝える（Ｓ３４）。なお、図６２の場合、ｔ＝ｔ０
とｔ＝（ｔ０＋ｔ１）／２の間に Put_e1_divide のた
めの道ｃ（ｔ）を定義しなければならないため、これも
他のガイディング曲線とともに与える。ガイディング曲
線の入力が終了したときの様子は図６３に示されてい
る。

【０３２５】つぎに、ホモトピー関連処理部１５４が必
要な表面パッチを貼り付けることでアニメーション立体
の表面を生成する（Ｓ３６）。以降の処理は図３４のＳ
１４以降と同じである。

【０３２６】以上が本実施形態による自動中割技術を用
いたアニメーションの作成方法である。

【図面の簡単な説明】

【図１】輪郭線の不当な変換例を示す図である。

【図２】特異点の指数、ｋ次元セルおよびそれによっ
て符号化される物体の関係を示す図である。

【図３】（ａ）〜（ｃ）はそれぞれが同じモースの指
数の配列をもつ３組の曲面を示す図である。

【図４】（ａ）〜（ｃ）はトーラスとそのレーブグラ
フの関係を示す図である。

【図５】（ａ）（ｂ）は輪郭線の親子関係、およびそ
の木構造による表現を示す図である。

【図６】演算子を用いてトーラスを符号化する方法を
示す図である。

【図７】疑似パスカルコードによって演算子のプログ
ラミング例を示す図である。

【図８】疑似パスカルコードによって演算子のプログ
ラミング例を示す図である。

【図９】疑似パスカルコードによって演算子のプログ
ラミング例を示す図である。

【図１０】それぞれがセルに対応するアイコンを示す
図である。

【図１１】セルの貼り合わせを示す図である。

【図１２】オブジェクトのレーブグラフをアイコンに
よって示した図である。

【図１３】オブジェクトの断面の輪郭線を示す図であ
る。

【図１４】オブジェクトを構成するための演算子を示
す図である。

【図１５】輪郭線のホモトピー変形を示す図である。

【図１６】演算子を構成する主な４つの要素を示す図
である。

【図１７】ガイディング曲線によって上の輪郭線が徐
々に下の輪郭線に変形される様子を示す図である。

【図１８】微分不可能な点を含む物体を示す図であ
る。

【図１９】図１８の物体を微分可能な形状関数をもつ
物体に置き換えた様子を示す図である。

【図２０】頂部も分岐部もそれぞれ水平面である物体
を示す図である。

【図２１】図２０の物体の高さを０として表現した状
態を示す図である。

【図２２】物体のリッジを示す図である。

【図２３】火山のリム構造を示す図である。

【図２４】従来の三角形手法によって人工的な皺が生
じた様子を示す図である。

【図２５】最長かつ最多のランを得るためのアルゴリ
ズムによって最終的に見いだされたランを示す図であ
る。

【図２６】連続トロイダルグラフにおいて、ｎｎ＝２
のときの経路を示す図である。

【図２７】最近点対以外の点の対応を線形補間によっ
て導いた様子を示す図である。

【図２８】図２７の経路に従って生成された表面を示
す図である。

【図２９】オブジェクトの分岐箇所を示す図である。

【図３０】（ａ）〜（ｅ）は輪郭線どうしの対応の態
様を示す図である。

【図３１】断面データを基に構成された蝸牛管のレー
ブグラフを示す図である。

【図３２】内耳の半規管に関するレーブグラフを示す
図である。

【図３３】実施形態１に係る中割システムのソフトウ
エアモジュール構成図である。

【図３４】実施形態１の中割システムによって実際に
中割を行う手順を示すフローチャートである。

【図３５】実施形態１のキーフレームＦ０とＦ１を示
す図である。

【図３６】実施形態１のＳ６で決まった対応関係を示
す図である。

【図３７】実施形態１の対応点の検出（Ｓ１０）のた
めに輪郭線を正規化する様子を示す図である。

【図３８】実施形態１の対応点の検出（Ｓ１０）によ
って求められた最近点対を示す図である。

【図３９】実施形態１で生成されたアニメーション立
体を示す図である。

【図４０】実施形態１の中割の様子を示す図である。

【図４１】実施形態１で生成された中間フレームの数
が２の場合のアニメーションを示す図である。

【図４２】実施形態２の例１のキーフレームＦ０、Ｆ
１の画像を示す図である。

【図４３】実施形態２の例１について生成されたアニ
メーション立体を示す図である。

【図４４】実施形態２の例１について生成されたアニ
メーションのフレーム画像を示す図である。

【図４５】実施形態２の例２について生成されたアニ
メーション立体を示す図である。

【図４６】実施形態２の例２について生成されたアニ
メーションのフレーム画像を示す図である。

【図４７】実施形態２の例３のキーフレームＦ０、Ｆ
１の画像を示す図である。

【図４８】実施形態２の例３について生成されたアニ
メーション立体を示す図である。

【図４９】実施形態２の例４のキーフレームＦ０、Ｆ
１の画像を示す図である。

【図５０】実施形態２の例４について生成されたアニ
メーション立体を示す図である。

【図５１】実施形態２の例４について生成されたアニ
メーションのフレーム画像を示す図である。

【図５２】実施形態３の機能（１）を説明するための
キーフレームＦ０、Ｆ１の画像を示す図である。

【図５３】図５２のキーフレームから実施形態２の例
４の技術によってアニメーションを作成したときの様子
を示す図である。

【図５４】図５２のキーフレームから実施形態３の機
能（１）を用いてアニメーションを作成したときの様子
を示す図である。

【図５５】実施形態３の機能（１）の効果を説明する
図である。

【図５６】実施形態３の機能（２）を説明するための
キーフレームＦ０、Ｆ１の画像を示す図である。

【図５７】実施形態４の中割システム１２０を実現す
るソフトウエア構成図である。

【図５８】ホモトピー関連処理部によって表面パッチ
を貼り付ける方法を説明する図である。

【図５９】実施形態４の中割の手順を示すフローチャ
ートである。

【図６０】実施形態４でユーザが生成すべきアニメー
ション立体を示す図である。

【図６１】図６０のアニメーション立体のアイコン表
現である。

【図６２】図６０のアニメーション立体のキーフレー
ムの画像と位置を示す図である。

【図６３】図６２のキーフレーム間にガイディング曲
線をつけた状態を示す図である。

【符号の説明】

２，１２０中割システム、４キーフレーム受付部、
６，１３０アニメーション立体生成部、８対応輪郭
線検出部、１０連結成分関連処理部、１２木構造関連
処理部、１４輪郭線対応評価部、１６候補表示部、
２２対応点検出部、２４ホモトピー関連処理部、２
６中割部、１３２骨格生成部、１３４アイコン処
理部、１３６アイコンＵＩ部、１３８接続検査部、
１５０表面生成部、１５２ガイディング曲線処理部、
１５４ホモトピー関連処理部。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (58)調査した分野(Int.Cl.⁶，ＤＢ名) G06T 1/00 - 17/50

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】フレームをキーフレームとそれ以外の中
間フレームに分類して処理を行うアニメーション処理方
法において、オブジェクトが描かれた複数のキーフレームを準備する
キーフレーム準備工程と、アニメーション立体を生成する工程であって、その立体
の断面の輪郭線形状を前記キーフレームに描かれたオブ
ジェクトの輪郭線形状に一致させたうえで、その立体の
位相に注目しながらその立体の表面を生成する立体生成
工程と、を含むことを特徴とするアニメーション処理方法。
【請求項２】請求項１に記載の方法において、該方法
はさらに、生成されたアニメーション立体の前記断面とは異なる断
面における輪郭線形状をもとに中間フレームに含まれる
オブジェクトの二次元形状を取得する補間工程を含むこ
とを特徴とするアニメーション処理方法。
【請求項３】請求項１に記載の方法において、前記立体生成工程は、隣接するキーフレームに描かれているオブジェクトの輪
郭線どうしの近さをもとに隣接するキーフレーム間にお
ける輪郭線の対応関係を把握する対応輪郭線検出工程
と、対応する輪郭線間の表面をホモトピーの概念を用いて生
成する表面生成工程と、を含むアニメーション処理方法。
【請求項４】請求項３に記載の方法において、前記対応輪郭線検出工程は、隣接するキーフレーム間で
輪郭線の数が一致しないとき、それらのキーフレーム間
で輪郭線の自然消滅または自然発生があったものとみな
し、その自然消滅または自然発生を考慮して輪郭線の対
応関係を把握するアニメーション処理方法。
【請求項５】請求項３に記載の方法において、前記対応輪郭線検出工程は、隣接するキーフレーム間で
輪郭線の自然消滅または自然発生があった場合、輪郭線
の木構造をもとに自然消滅または自然発生すべき輪郭線
を推定して輪郭線の対応関係を把握するアニメーション
処理方法。
【請求項６】請求項３に記載の方法において、前記対応輪郭線検出工程は、アニメーション立体の連結
成分の数に関する指定にもとづいて輪郭線の分岐を考慮
し、輪郭線の対応関係を把握するアニメーション処理方
法。
【請求項７】請求項３に記載の方法において、前記表面生成工程は、対応する輪郭線上において対応し
あう点をそれらの点の近さをもとに検出し、これらの対
応しあう点をホモトピーの軌跡で連続的につなぐことで
立体の表面を生成するアニメーション処理方法。
【請求項８】請求項７に記載の方法において、前記表面生成工程は、対応する２つの輪郭線Ａ、Ｂそれ
ぞれの上の点ａ、ｂについて、点ａから見て輪郭線Ｂ上
の最も近い点が点ｂであり、かつ点ｂから見て輪郭線Ａ
上の最も近い点が点ａであるとき、これら点ａ、ｂを対
応しあう点として検出するアニメーション処理方法。
【請求項９】請求項３に記載の方法において、前記対応輪郭線検出工程は、隣接するキーフレームに描
かれているオブジェクトの移動による影響を差し引いた
うえで、それらキーフレーム上に存在する輪郭線どうし
の近さを判断するアニメーション処理方法。
【請求項１０】請求項３に記載の方法において、前記対応輪郭線検出工程は、隣接するキーフレームに描
かれているオブジェクトの輪郭線どうしの近さを把握し
た後、対応しあう確率が高い順に輪郭線の対を表示し、
ユーザに対応関係を指定する機会を与えるアニメーショ
ン処理方法。
【請求項１１】請求項３に記載の方法において、前記対応輪郭線検出工程は、隣接するキーフレームに描
かれているオブジェクトの輪郭線の一方が開曲線、他方
が閉曲線の場合、前記閉曲線が前記開曲線の両端をつな
いだ状態に対応する場合にはユーザがその旨の指定をす
る機会を与えるアニメーション処理方法。
【請求項１２】フレームをキーフレームとそれ以外の
中間フレームに分類して処理を行うアニメーション処理
方法において、オブジェクトが描かれた複数のキーフレームを準備する
キーフレーム準備工程と、アニメーション立体を生成する工程であって、その立体
の断面の輪郭線形状を前記キーフレームに描かれたオブ
ジェクトの輪郭線形状に一致させたうえで、その立体の
表面を前記断面の輪郭線どうしをつなぐホモトピーの概
念を用いて生成する立体生成工程と、を含むことを特徴とするアニメーション処理方法。
【請求項１３】請求項１２に記載の方法において、前記キーフレーム準備工程は、フレームに描かれるべき
オブジェクトの二次元形状が時間の経過とともに位相同
形でなくなるようなフレームをキーフレームとして準備
するアニメーション処理方法。
【請求項１４】請求項１２に記載の方法において、該
方法はさらに、生成されたアニメーション立体の前記断面とは異なる断
面における輪郭線形状をもとに中間フレームに含まれる
オブジェクトの二次元形状を取得する補間工程を含むこ
とを特徴とするアニメーション処理方法。
【請求項１５】請求項１２に記載の方法において、前記アニメーション立体は、前記キーフレームの数と同
じ数の互いに平行な断面によって定義される立体であっ
て、それらの断面に垂直な軸がキーフレームの表示時刻
を示す時間軸に対応するような三次元形状をもつ立体で
あるアニメーション処理方法。
【請求項１６】フレームをキーフレームとそれ以外の
中間フレームに分類してアニメーション処理を行うプロ
グラムを格納した記録媒体であって、そのプログラムは、オブジェクトが描かれた複数のキーフレームの入力を受
け付けるキーフレーム受付モジュールと、アニメーション立体を生成するモジュールであって、そ
の立体の断面の輪郭線形状を前記キーフレームに描かれ
たオブジェクトの輪郭線形状に一致させたうえで、その
立体の位相に注目しながらその立体の表面を生成する立
体生成モジュールと、生成されたアニメーション立体の前記断面とは異なる断
面における輪郭線形状をもとに中間フレームに含まれる
オブジェクトの二次元形状を計算する補間モジュール
と、を含むことを特徴とする記録媒体。
【請求項１７】フレームをキーフレームとそれ以外の
中間フレームに分類して処理を行うアニメーション処理
システムであって、オブジェクトが描かれた複数のキーフレームの画像と、
断面の輪郭線形状が前記キーフレームに描かれたオブジ
ェクトの輪郭線形状に一致するようなアニメーション立
体とを送信する送信装置と、前記画像およびアニメーション立体を受信する受信装置
と、を含み、前記受信装置は前記アニメーション立体の前記
断面とは異なる断面における輪郭線形状をもとに中間フ
レームに含まれるオブジェクトの二次元形状を取得する
ことを特徴とするアニメーション処理システム。