JP2012125843A - 異形ワークの揺動研削方法、及び揺動型研削盤 - Google Patents

Abstract

【課題】
マスターワークを使用せずに、カム類を代表例とする断面非円形の異形ワークを研削可能にすることである。
【解決手段】
断面非円形の異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃｗ₁ が主軸Ｓの軸心Ｃ₁ と同心となるように、ドッグ２６で把持された当該異形ワークＷ₁ を連続回転させながら、被研削面である外周面を研削する方法であって、前記異形ワークＷ₁ の基準位置からの回転角度（θｘ）と、研削ユニットＧＵの揺動角度（θｙ）との関係を特定して異形ワークＷ₁ の外周研削形状を定めた外周形状特定式〔θｙ＝ｆ₁ （θｘ）〕を予め計算しておいて、前記外周形状特定式〔θｙ＝ｆ₁ （θｘ）〕に基づいて、揺動軸心Ｃ₀ を中心にして研削ユニットＧＵを揺動させながら、前記異形ワークＷ₁ を連続回転させて、その外周面を当該外周形状特定式〔θｙ＝ｆ₁ （θｘ）〕で特定された形状に研削する。
【選択図】 図１３

Description

本発明は、マスターワークを使用せずに、カム類を代表例とする断面非円形の異形ワークを研削可能にしたり、或いは断面多角形状の異形ワークの各平面部を順次研削可能にした異形ワークの揺動研削方法、及び揺動型研削盤に関するものである。
本明細書において、「異形ワーク」とは、断面非真円のワーク又は真円の偏心部が回転軸心に対して偏心している偏心ワークを意味し、断面真円に対して部分的に変形されたワークは勿論のこと、断面多角形状、或いは断面ひょうたん形のワークも含まれる。

断面が非円形の異形ワークを研削するには、当該異形ワークに対して相似大形のマスターワークを使用して行っていた。このマスターワークを使用する研削盤について、図１７を参照して簡単に説明する。図１７において、主軸台１０１及び心押し台１０２は、いずれも揺動テーブル１０３に取付けられ、当該揺動テーブル１０３は、ベース１０４に揺動軸心Ｃ₀ を中心に揺動可能に支持され、主軸台１０１にマスターワークＷ₀ が主軸（図示せず）に、当該主軸の軸心Ｃ₁ と同心に取付けられている。一方、ベース１０４には、前記マスターワークＷ₀ と対向してカムローラ１０５が回転可能に支持され、前記マスターワークＷ₀ は、一端が前記揺動テーブル１０３のアーム部１０３ａに連結されて、他端がバネ調整機構１０６の調整ロッド１０６ａに連結された引張りバネ１０７の復元力により、前記カムローラ１０５に押圧されている。また、主軸の軸心Ｃ₁ に対して直交する水平方向に進退可能に砥石台１０８が配置され、当該砥石台１０８に取付けられた砥石１０９により、主軸台１０１及び心押し台１０２の各スピンドル１１１，１１２で両端を支持されたワークＷ’は、揺動テーブル１０３が揺動軸心Ｃ₀ を中心にして揺動することにより、マスターワークＷ₀ の形状がそのまま転写された状態で砥石１０９により研削される。

しかし、上記したマスターワークを使用する異形ワークの研削方法は、研削対象の異形ワークが異なる毎に、当該異形ワークに対応したマスターワークを、その都度製作する必要があり、当該マスターワークの製作には、高い精度が要求されるために、多大な時間とコストを要する問題があった。また、マスターワークを使用して製品を研削した場合において、研削後の製品の外形形状の精度が要求範囲内に収まらない場合、即ち、製品の外形形状が不良な場合には、当該マスターワークの修正、或いはマスターワークを再製作する必要があり、良品が研削可能になるまでには、マスターワークの製作に係る浪費が発生することもある。

一方、特許文献１には、マスターワークを使用せずに、異形ワークに対して砥石を、当該ワークの外形形状に対応するように前後動させて、当該異形ワークを研削する方法が開示されている。しかし、異形ワークの回転角度に対する砥石の前後動の位置を計算するには、計算（プログラム）自体が相当に難しい。しかも、砥石が取付けられた砥石台を前後動させるためには、回転運動を直線運動に変化する場合に不可避的に発生するバックラッシュをなくすために、リニアサーボモータが使用されている。そして、熱膨張の影響をなくして研削精度を高めるために、前記リニアサーボモータを冷却させるための冷却装置、及び砥石台の前後動をスムーズに行うための静圧摺動装置の使用が不可避となる。

上記したように、マスターワークを使用せずに、異形ワークに対して砥石を前後動させて研削する方法は、上記したように、砥石を前後動させる装置の各所に高精度を要求させる部分があって、装置自体が高価になると共に、研削のためのプログラムの作成が複雑なため困難であるのに加えて、ユーザーが当該プログラムを簡単に変更できないようにブラックボックス化されているものもあるため、ユーザーにとって使い勝手も悪かった。

特開２００５−１８５３１号公報

本発明は、マスターワークを使用せずに、カム類を代表例とする断面非円形の異形ワークを研削可能にしたり、或いは断面多角形状の異形ワークの各面部を順次研削可能にすることを課題としている。

上記課題を解決するための請求項１の発明は、断面非円形の異形ワークの回転軸心が主軸の軸心と同心となるように、チャックで把持された当該異形ワークを連続回転させながら、被研削面である外周面を研削する方法であって、テーブルに主軸台及び心押し台が取付けられた研削ユニットの全体は、前記主軸の軸心のほぼ直下に当該主軸の軸心と平行に配置された揺動軸心を中心に揺動可能であり、前記異形ワークの基準位置からの回転角度と、前記研削ユニットの揺動角度との関係を特定して異形ワークの外周研削形状を定めた外周形状特定式を予め計算しておいて、前記外周形状特定式に基づいて、揺動軸心を中心にして研削ユニットを揺動させながら、前記異形ワークを連続回転させて、その外周面を当該外周形状特定式で特定された形状に研削することを特徴としている。

請求項１の発明は、異形ワークの基準位置からの回転角度と、研削ユニットの揺動角度との関係を、正弦定理、余弦定理等の三角関数を用いて数学的に算出することにより、異形ワークの外周研削形状を定めた外周形状特定式を予め計算しておく。そして、テーブルに主軸台及び心押し台が取付けられた研削ユニットの全体が、主軸の軸心のほぼ直下に当該主軸の軸心と平行に配置された揺動軸心を中心に揺動可能に配置された状態で、即ち、主軸の軸心のほぼ直下に配置された揺動軸心を中心にして異形ワークを揺動可能に配置した状態において、前記外周形状特定式に基づいて、研削ユニットを揺動させながら異形ワークを連続して回転させることにより、当該異形ワークは、前記外周形状特定式で定められた形状に外周が研削される。上記計算は、三角関数を使用するのみで、数学的に行えるために、特許文献１の研削方法を実施するために、異形ワークの回転角度に対する砥石台の前後動の位置を計算するのに比較すれば、容易に行える。即ち、請求項１の発明を実施するための研削（加工）プログラムは、三角関数を用いた数学的方法により作成できるため、その作成は、請求項１の発明の当業者であれば比較的容易に行える。請求項１の発明は、請求項３で特定される揺動型研削盤の使用により実施可能となる。

請求項２の発明は、断面多角形状の異形ワークの回転軸心が主軸の軸心と同心となるように、チャックで把持された当該異形ワークを断面形状である多角形の各面部の中心角に対応する角度内で回転させて、被研削面である各面部を順次変更しながら、当該各外周面を研削する方法であって、テーブルに主軸台及び心押し台が取付けられた研削ユニットの全体は、前記主軸の軸心のほぼ直下に当該主軸の軸心と平行に配置された揺動軸心を中心に揺動可能であり、前記異形ワークの各面部の基準位置からの回転角度と、前記研削ユニットの揺動角度との関係を特定して異形ワークの各面部の外周研削形状を定めた外周形状特定式を予め計算しておいて、前記外周形状特定式に基づいて、揺動軸心を中心にして研削ユニットを揺動させながら、前記異形ワークの各面部を順次変更させながら、各面部を、その中心角に対応する角度内で回転させて、当該各面部を前記外周形状特定式で特定された形状にそれぞれ研削することを特徴としている。

請求項１の発明は、研削対象の異形ワークが真円に対して異形であるために、当該異形ワークの軸心を揺動させながら、連続回転させて研削するのに対して、請求項２の発明は、研削対象の異形ワークが断面多角形状であって、多角形の角数と同一の面部を有していて、異形ワークの軸心を揺動させながら、当該異形ワークを各面部の中心角に対応する角度内で回転させて、各面部毎に順次研削を行う点において、請求項１の揺動研削方法と異なる。請求項２の発明においても、断面多角形状の異形ワークの各面部の基準位置からの回転角度と、当該異形ワークの揺動角度との関係を定めた外周形状特定式は、三角関数を用いて数学的に計算して算出する。

請求項３の発明は、請求項１又は２に記載の異形ワークの揺動研削方法を実施するための揺動型研削盤であって、前記主軸を駆動回転させる主軸用サーボモータを備えていて、前記揺動軸心を中心にして揺動可能に支持された研削ユニットと、当該研削ユニットを前記揺動軸心を中心にして揺動させるための揺動用サーボモータとを備え、前記異形ワークの基準位置からの回転角度と前記研削ユニットの揺動角度とが前記外周形状特定式で特定される関係を維持するように、前記主軸用及び揺動用の各サーボモータを同期回転させて、当該異形ワークを前記外周形状特定式で特定される形状に研削するように構成したことを特徴としている。

請求項３の発明によれば、異形ワークの基準位置からの回転角度と、研削ユニットの揺動角度との関係を特定して異形ワークの外周研削形状を定めた外周形状特定式を満足するように、研削ユニットの主軸を回転させる主軸用サーボモータと、当該研削ユニットを揺動軸心を中心にして揺動させるための揺動用サーボモータとを同期させて回転させることにより、異形ワークの外周を前記外周形状特定式で特定される形状に研削できる。即ち、異形ワークの研削点の位置が外周形状特定式に特定される位置となるように、異形ワークを駆動回転させる主軸用サーボモータと、研削ユニットを揺動させる揺動用サーボモータとの２種類のサーボモータとを同期回転させることにより、マスターワークを使用せずに、しかも砥石を前後動させることなく、異形ワークの研削が可能となる。

請求項４の発明は、請求項３の発明において、前記揺動用サーボモータは、出力軸が対向し、しかも同一軸心上に配置された一対で構成されることにより、当該各揺動用サーボモータの軸心が揺動軸心となっていて、当該一対の揺動用サーボモータは、それぞれ駆動軸心上に入力軸及び出力軸を有する減速機を備え、各揺動用サーボモータの駆動軸は、各減速機の入力軸にそれぞれ連結されて、各減速機の間に配置された研削ユニット取付体の両端部が、当該各減速機の出力軸に連結され、前記研削ユニット取付体に前記研削ユニットが一体に取付けられて、各揺動用サーボモータの駆動軸の回転が減速されて、前記研削ユニット取付体を回転させることにより、前記研削ユニットは、各揺動用サーボモータの軸心を中心にして揺動する構成であることを特徴としている。

請求項４の発明によれば、揺動用サーボモータが同一軸心上に出力軸が対向して配置された一対で構成されて、各揺動用サーボモータの駆動軸の回転は、それぞれの減速機により減速されて、両端部が各減速機の出力軸に一体に連結された研削ユニット取付体、即ち、研削ユニットを揺動させる構成になっている。このように、研削ユニットは、軸心方向に沿った両側から駆動されて揺動する構成であるために、揺動時に研削ユニットに捩り力が作用しなくなる。この結果、研削ユニットの揺動中においても、当該研削ユニットは、静止しているのと同様の研削精度を維持できる。

また、駆動軸を対向させて配置された一対の揺動用サーボモータと、当該一対の揺動用サーボモータに対応する各減速機の計４つの回転機器の軸心は、いずれも同一軸心上に配置されて、対向配置された一対の揺動用サーボモータと研削ユニット取付体とが実質的に直結された状態となるため、研削ユニットの揺動軸心の位置、及び揺動角度の各精度が高くなり、この点も異形ワークの研削精度の維持に寄与する。

請求項５の発明は、請求項３又は４の発明において、前記主軸用サーボモータは、主軸と同心に配置されて、当該主軸の軸心上に入力軸及び出力軸を有する減速機を介して回転が減速されて主軸が駆動される構成であることを特徴としている。

請求項５の発明によれば、主軸用サーボモータ、減速機、及び主軸の各軸心が同一であって、主軸用サーボモータの駆動軸と主軸とが実質的に直結した状態を実現できるので、異形ワークの回転角度の精度は、当該主軸用サーボモータの回転角度の精度をそのまま維持できて、異形ワークの研削精度が高められる。

本発明に係る揺動研削方法は、異形ワークの基準位置からの回転角度と、研削ユニットの揺動角度との関係を、正弦定理、余弦定理等の三角関数を用いて数学的に算出することにより、異形ワークの外周研削形状を定めた外周形状特定式を予め計算しておく。そして、テーブルに主軸台及び心押し台が取付けられた研削ユニットの全体が、主軸の軸心のほぼ直下に当該主軸の軸心と平行に配置された揺動軸心を中心に揺動可能に配置された状態で、即ち、主軸の軸心のほぼ直下に配置された揺動軸心を中心にして異形ワークを揺動可能に配置した状態において、前記外周形状特定式に基づいて、研削ユニットを揺動させながら、断面非円形の異形ワークの場合には、当該異形ワークを連続して回転させると共に、断面多角形状の異形ワークの場合には、当該異形ワークを１回転以内で回転させて各面部を順次研削することにより、当該異形ワークは、断面非円形、断面多角形状のいずれであっても、前記外周形状特定式で定められた形状に外周が研削される。上記計算は、三角関数を使用するのみで、数学的に行えるために、特許文献１の研削方法を実施するために、異形ワークの回転角度に対する砥石台の前後動の位置を計算するのに比較すれば、容易に行える。即ち、本発明を実施するための研削（加工）プログラムは、三角関数を用いた数学的方法により作成できるため、その作成は、請求項１の発明の当業者であれば比較的容易に行える。

本発明に係る揺動型研削盤の正面図である。 同じく側面図である。 図１の部分拡大図（揺動用サーボモータＭ₁ の駆動軸１４と、研削ユニット取付体Ａの一端の支持軸部４とが減速機Ｒ₁ を介して接続された状態を示す部分拡大断面図）である。 （１），（２）は、異形ワークＷ₁ の研削の順序を示す図である。 （３），（４）は、異形ワークＷ₁ の研削の順序を示す図である。 （５），（６）は、異形ワークＷ₁ の研削の順序を示す図である。 異形ワークＷ₁ の回転角度（θｘ）と、主軸台Ｂの揺動角度（θｙ）との関係を示す全体図である。 異形ワークＷ₁ の仮想位置における研削点Ｐ₂ 及びその前後の２つの研削点Ｐ₁ ，Ｐ₃ と、異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃ'w₁ との関係を示す図５の部分拡大図である。 異形ワークＷ₁ の仮想位置における当該異形ワークＷ₁ の軸心Ｃw₁、研削点Ｐ₂ 及び砥石Ｇの軸心Ｃ₃ との関係を示す図５の部分拡大図である。 異形ワークＷ₁ の仮想位置及び現実の位置における当該異形ワークＷ₁ の各軸心Ｃw₁，Ｃ'w₁ と、主軸台Ｂの揺動軸心Ｃ₀ と、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ との関係を示す図５の部分拡大図である。 異形ワークＷ₁ の現実の位置における当該異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁と、主軸台Ｂの揺動軸心Ｃ₀ と、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ との関係を示す図５の部分拡大図である。 仮想位置における異形ワークＷ₁ の研削点Ｐ₂ の仮想回転角度（α−γ）を求めるための図である。 砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を中心にして、仮想位置に配置された異形ワークＷ₁ を角度（β）だけ回転させて、現実の研削位置まで戻すと、当該異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁にスタート状態で配置された位置に対する当該異形ワークＷ₁ の回転角度は（α−γ＋β）になることを示す図である。 図１１の状態における三角形Ｐ'₂Ｃ₃ Ｃw₁を角度（β）だけ回転させた状態を模式的に表示した図である。 図１１の状態において、揺動位置に長軸線Ｆを垂直にして配置されたスタート位置の異形ワークＷ₁ を角度（θy)だけ時計方向に回転させて、スタート位置から研削点Ｐ₂ を研削するまでの異形ワークＷ₁ の回転角度（θx)は、（α−β＋γ−θy)であることを示す図である。 異形ワークＷ₁ の回転角度（θx)と主軸台Ｂの揺動角度（θy)との関係〔（θy)＝ｆ₁(θx)〕を示すグラフである。 （ａ），（ｂ）は、偏心ワークＷ₂ の研削原理を示す図である。 断面正方形状の異形ワークＷ₃ の研削原理を示す図である。 （ａ），（ｂ）は、マスターワークＷ₀ を使用した揺動型研削盤の平面図、及び左側面図である。

最初に、図１ないし図３を参照して、本発明の揺動研削方法を実施するための揺動型研削盤について説明する。図１は、本発明に係る揺動型研削盤の正面図であり、図２は、同じく側面図であり、図３は、図１の部分拡大図（揺動用サーボモータＭ₁ の駆動軸１４と、研削ユニット取付体Ａの一端の支持軸部４とが減速機Ｒ₁ を介して接続された状態を示す部分拡大断面図）である。第１ベース１には、主軸Ｓの軸心Ｃ₁ に沿って所定間隔をおいて一対の第２ベース２が固定されて、各々の第２ベース２に固定された支持体３に、研削ユニット取付体Ａにおける主軸Ｓの軸心Ｃ₁ に沿った両端部の支持軸部４が複数の軸受５を介して回転可能に支持されている。このため、研削ユニット取付体Ａは、その両端部の支持軸部４が複数の軸受５を介してそれぞれ支持体３に回転可能に支持される。

支持体３の外側の端面には、ボルト６及び自身の嵌合部７を介して円筒状のケーシング８が一体に取付けられ、更に、ケーシング８の外側の端面には、ボルト１１及び自身の嵌合部１２を介して揺動用サーボモータＭ₁ の円筒状の取付部１３が一体に取付けられている。揺動用サーボモータＭ₁ の回転軸心は、研削ユニット取付体Ａの回転軸心の延長上に存在する。即ち、研削ユニット取付体Ａを挟んで一対の揺動用サーボモータＭ₁ が対向して配置されていて、一対の揺動用サーボモータＭ₁ の回転軸心と、研削ユニット取付体Ａの回転軸心とは、同心となるように、水平に配置されている。研削ユニット取付体Ａの回転軸心と同心に配置された一対の揺動用サーボモータＭ₁ の軸心は、後述の揺動軸心Ｃ₀ となる。

揺動用サーボモータＭ₁ の駆動軸１４は、ハーモニックドライブ（登録商標）機構からなる減速機Ｒ₁ を介して研削ユニット取付体Ａの支持軸部４に連結されている。即ち、一対の揺動用サーボモータＭ₁ の各駆動軸１４の回転は、各減速機Ｒ₁ によりそれぞれ減速されて、研削ユニット取付体Ａの両端の各支持軸部４を駆動する構成にして、研削ユニット取付体Ａが駆動回転される際に、当該研削ユニット取付体Ａに捩り力が作用しないようにして、当該研削ユニット取付体Ａの上面部に一体に取付けられる研削ユニットＧＵの研削精度が低下しないようにしている。

前記減速機Ｒ₁ は、楕円状のカムの外周に薄肉の軸受１５を嵌め込んだウェブジェネレータ１６と、薄肉カップ状の金属弾性体からなって、開口部外周に歯が刻まれたフレクススプライン１７と、内周に前記フレクススプライン１７の歯と噛合する歯が形成されたサーキュラ・スプライン１８との計３つの部品から成って、ウェブジェネレータ１６のカムの部分に、揺動用サーボモータＭ₁ の駆動軸１４が挿入され、前記サーキュラ・スプライン１８のカップ底の部分は、複数本のボルト１９を介して研削ユニット取付体Ａの支持軸部４の端面に固定され、サーキュラ・スプライン１８は、複数本のボルト２０を介してケーシング８の端面に固定されている。フレクススプライン１７の外周に形成された歯の数は、サーキュラ・スプライン１８の内周に形成された刃の数よりも通常は２だけ少なくなっているため、ウェブジェネレータ１６の回転により、フレクススプライン１７が弾性変形されながら、サーキュラ・スプライン１８の内側を回転すると、前記歯数の相違によって、入力側であるウェブジェネレータ１６の回転は、減速されて出力側であるフレクススプライン１７に伝達される。入力側に連結されるウェブジェネレータ１６と、出力側に連結されるフレクススプライン１７の各軸心は、互いに同心となっていて、揺動用サーボモータＭ₁ の軸心上に存在している。なお、ハーモニックドライブ（登録商標）機構からなる減速機Ｒ₁ の通常の減速比は、（１／１００）である。

研削ユニット取付体Ａの上面側には、研削ユニットＧＵが一体に取付けられ、当該研削ユニットＧＵが水平配置された状態で、研削ユニットＧＵの主軸Ｓの軸心Ｃ₁ の直下に前記揺動軸心Ｃ₀ が配置される。

揺動用サーボモータＭ₁ は、駆動軸１４の回転角度を検出可能なエンコーダ（図示せず）を備え、１回転当たり発生パルス数は（１．６×１０⁷ ）である。研削ユニット取付体Ａは、減速機Ｒ₁ により（１／１００）だけ減速されて回転するので、研削ユニット取付体Ａの１回転に対して揺動用サーボモータＭ₁ の発生するパルス数は、（１．６×１０⁹ ）となり、研削ユニット取付体Ａの揺動角度の精度は相当に高い。

研削ユニット取付体Ａの上面側に一体に取付けられる研削ユニットＧＵは、テーブル２１に固定された主軸台Ｂと、当該主軸台Ｂと対向して、主軸Ｓの軸心Ｃ₁ の方向に沿ってスライド可能に配置された心押し台Ｄとから成る。一対の揺動用サーボモータＭ₁ の回転が各減速機Ｒ₁ により減速されて、研削ユニット取付体Ａが駆動回転されるのと同様に、主軸台Ｂのケーシング２２に複数の軸受２３を介して回転可能に支持された主軸Ｓは、当該主軸Ｓの後端側に配置された主軸用サーボモータＭ₂ の回転が、ハーモニックドライブ（登録商標）機構からなる減速機Ｒ₂ により減速されて、駆動回転される。また、主軸用サーボモータＭ₂ と、減速機Ｒ₂ の入力側及び出力側の各部材の軸心（入力側に連結されるウェブジェネレータ１６と、出力側に連結されるフレクススプライン１７の各軸心）は、いずれも主軸Ｓの軸心Ｃ₁ 上に配置されている。なお、減速機Ｒ₂ は、減速機Ｒ₁ とサイズのみが異なっていて、同一構造を有している。

心押し台Ｄは、通常の研削盤の心押し台と同一構成であって、主軸台Ｂ及び心押し台Ｄの各スピンドル２４，２５で異形ワークＷ₁ を両センタ支持し、かつドッグ２６により、当該異形ワークＷ₁ を主軸Ｓと一体に回転させて、当該主軸Ｓの軸心Ｃ₁ の直交する水平方向に対して進退する砥石Ｇにより異形ワークＷ₁ を研削することは、通常の研削盤と同一である。なお、図２において、３１は、砥石台を示す。

以下、上記した外周形状特定式の算出方法について説明する。本発明においては、図４−Ａ〜図４−Ｃに示されるように、異形ワークＷ₁ が主軸軸心Ｃ₁ を中心にして反時計方向に回転すると共に、砥石Ｇが時計方向に回転して、当該異形ワークＷ₁ を研削すると、主軸軸心Ｃ₁ は、揺動軸心Ｃ₀ を中心に揺動しながら、当該異形ワークＷ₁ は研削される。そして、異形ワークＷ₁ の主軸軸心Ｃ₁ に対する回転角度（θx)と、揺動軸心Ｃ₀ を通る垂線と、当該揺動軸心Ｃ₀ と主軸軸心Ｃ₁ とを結ぶ線分Ｌ₁₂との形成する揺動角度（θy)との関係により、当該異形ワークＷ₁ の外周形状は特定される。従って、揺動角度（θy)は、異形ワークＷ₁ の回転角度（θx)の関数となり、この関数〔θy ＝ｆ₁(θx)〕を求めればよく、以下、この関数の算出方法について説明する。なお、図４−Ａ〜図４−Ｃにおいて、図示の関係上、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ は、現実の位置よりも当該砥石Ｇの外周面に近接させて図示してある。

異形ワークＷ₁ は、回転軸心Ｃw₁に対して中心角度が１８０°の部分は、当該回転軸心Ｃw₁から外周までの長さ（半径）が等しい真円であって、残りの１８０°の部分は、当該回転軸心Ｃw₁から外周までの長さが変化する非真円となって、全体として卵形をなしている。このため、異形ワークＷ₁ を主軸台Ｂと心押し台Ｄの各スピンドル２４，２５にセットして、回転させた場合に、異形ワークＷ₁ の真円の部分は、砥石Ｇの最も突出した部分（砥石Ｇにおける当該砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を通る水平面と交差する部分であって、以下、「最突出部Ｇａ」という）で研削されるが、非真円の部分は、最突出部Ｇａの上方又は下方のいずれかにずれた位置で研削される。本例の異形ワークＷ₁ では、図４−Ａ（ｂ）及び図４−Ｂ（ｄ）非真円の部分における回転軸心Ｃw₁から外周までの距離が漸次短くなる部分、及び漸次長くなる部分は、それぞれ砥石Ｇの最突出部Ｇａよりも下方及び上方で研削される。

ここで、関数〔θy ＝ｆ₁ （θx)〕を算出するには、異形ワークＷ₁ の非真円部の特定の研削点Ｐ₂ を研削する場合において、基準位置からの異形ワークＷ₁ の回転角度（θｘ）と主軸軸心Ｃ₁ の揺動角度（θｙ）を計算し、異形ワークＷ₁ の非真円部における可能な限り多数の異なる研削点Ｐ₂ の異形ワークＷ₁ の回転角度（θｘ）と主軸軸心Ｃ₁ の揺動角度（θｙ）を算出すればよい。本例の異形ワークＷ₁ では、真円部と非真円部が交差する２点を結ぶ直線を短軸線Ｅと称し、当該短軸線Ｅと直交して、回転軸心Ｃw₁を通る軸線を長軸線Ｆと称する。異形ワークＷ₁ の回転角度（θｘ）は、短軸線Ｅを基準とする。異形ワークＷ₁ の非真円部の外周の研削点Ｐ₂ が特定される。そして、異形ワークＷ₁ の特定の研削点Ｐ₂ における異形ワークＷ₁ の回転角度（θｘ）と主軸軸心Ｃ₁ の揺動角度（θｙ）を算出するに際して、異形ワークＷ₁ の真実の外周形状に近付けるために、以下の計算では、研削点Ｐ₂ の前後の異なる２つの研削点Ｐ₁ ，Ｐ₃ を基準にして算出している。

図５〜図９は、異形ワークＷ₁ の回転角度（θｘ）と主軸台Ｂの軸心Ｃ₁ の揺動角度（θｙ）を計算するための図であって、図５は、全体図であり、図６〜図９は、図５の各部分の拡大図である。図５に示されるように、異形ワークＷ₁ の研削点Ｐ₂ は、砥石Ｇの最突出部Ｇａよりも下方に配置されており、計算の便宜上、研削点Ｐ₂ が砥石Ｇの最突出部Ｇａに位置するように、仮想的に、当該異形ワークＷ₁ を砥石の軸心Ｃ₃ を中心にして僅かに回転させる。この状態が、図５で実線で図示されている。また、異形ワークＷ₁ の研削点Ｐ₂ を仮想位置に配置された場合には、実際の研削点Ｐ₂ と区別するために、当該研削点の位置をＰ'₂と表示するが、研削点Ｐ₂ の前後の各点Ｐ₁ ，Ｐ₃ に関しては、表示が複雑となるので、「’」を付さずにそのまま表示する。なお、図５〜図９において、ＣＬ₃₁は、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を中心として、研削位置における異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁を通る円弧を示し、ＣＬ₃₂は、揺動軸心Ｃ₀ を中心にして、異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁を通る円弧を示す。仮想位置の異形ワークＷ₁ の軸心Ｃ'w₁ は、前記円弧ＣＬ₃₁上に位置する。また、Ｌ₂₄は、揺動軸心Ｃ₀ を通る垂線を示す。

最初に、図５及び図６を参照にして、仮想位置に配置された異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃ'w₁ から、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を通る水平線Ｌ₂₁に対して下した垂線を線分Ｌ₇ とした場合に、余弦定理を使用して、当該線分Ｌ₇ と、仮想位置の回転軸心Ｃ'w₁ と研削点Ｐ'₂を結ぶ線分Ｌ₂ とのなす角度（α）を求める。この角度（α）を求める計算式が以下に示されている。ここで、Ｌ₁ ，Ｌ₃ 〜Ｌ₆ ，θ₁ 〜θ₇ は、以下の通りである。なお、Ｌ₂₂は、仮想位置の異形ワークＷ₁ の研削点Ｐ'₂を通って、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を通る水平線に対して垂直な線（垂直線）を示す。
Ｌ₁ ：異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃ'w₁ と研削点Ｐ₁ を結ぶ線分
Ｌ₃ ：異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃ'w₁ と研削点Ｐ₃ を結ぶ線分
Ｌ₄ ：研削点Ｐ'₂と研削点Ｐ₃ を結ぶ線分
Ｌ₅ ：研削点Ｐ₁ と研削点Ｐ'₂を結ぶ線分
Ｌ₆ ：研削点Ｐ₁ と研削点Ｐ₃ を結ぶ線分
θ₁ ：線分Ｌ₂ と線分Ｌ₃ のなす角度
θ₂ ：線分Ｌ₁ と線分Ｌ₂ のなす角度
θ₃ ：線分Ｌ₂ と線分Ｌ₄ のなす角度
θ₄ ：線分Ｌ₂ と線分Ｌ₅ のなす角度
θ₅ ：線分Ｌ₄ と線分Ｌ₆ のなす角度
θ₆ ：線分Ｌ₄ と水平線Ｌ₂₁のなす角度
θ₇ ：線分Ｌ₂ と水平線Ｌ₂₁のなす角度

図６において、三角形Ｐ'₂Ｐ₃ Ｃ'w₁ の頂点Ｃ'w₁ の部分、及び三角形Ｐ₁ Ｐ'₂Ｃ'w₁ の頂点Ｃ'w₁ にそれぞれ余弦定理を適用すると、以下のようになって、線分Ｌ₄ 、同Ｌ₅ が求められる。
Ｌ₄ ²＝Ｌ₂ ²＋Ｌ₃ ²−２Ｌ₂ Ｌ₃ ｃｏｓθ₁ 、 Ｌ₅ ²＝Ｌ₁ ²＋Ｌ₂ ²−２Ｌ₁ Ｌ₂ ｃｏｓθ₂ となって、Ｌ₄ ，Ｌ₅ が求められる。
Ｌ₄ ＝（Ｌ₂ ²＋Ｌ₃ ²−２Ｌ₂ Ｌ₃ ｃｏｓθ₁ ）^1/2
Ｌ₅ ＝（Ｌ₁ ²＋Ｌ₂ ²−２Ｌ₁ Ｌ₂ ｃｏｓθ₂ ）^1/2
角度θ₃ は、三角形Ｐ'₂Ｐ₃ Ｃ'w₁ の頂点Ｐ'₂に余弦定理を適用して、
Ｌ₃ ²＝Ｌ₂ ²＋Ｌ₄ ²−２Ｌ₂ Ｌ₄ ｃｏｓθ₃ から、ｃｏｓθ₃ ＝（Ｌ₂ ²＋Ｌ₄ ²−Ｌ₃ ²）／２Ｌ₂ Ｌ₄ となって、角度θ₃ は、以下の通りである。
θ₃ ＝ｃｏｓ^-1〔（Ｌ₂ ²＋Ｌ₄ ²−Ｌ₃ ²）／２Ｌ₂ Ｌ₄ 〕・・・・・式（１）
同様に、角度θ₄ は、三角形Ｐ₁ Ｐ'₂Ｇ'w₁ の頂点Ｐ'₂に余弦定理を適用して、
Ｌ₁ ²＝Ｌ₂ ²＋Ｌ₅ ²−２Ｌ₂ Ｌ₅ ｃｏｓθ₄ から、ｃｏｓθ₄ ＝（Ｌ₂ ²＋Ｌ₅ ²−Ｌ₁ ²）／２Ｌ₂ Ｌ₅ となり、
θ₄ ＝ｃｏｓ^-1〔（Ｌ₂ ²＋Ｌ₅ ²−Ｌ₁ ²）／２Ｌ₂ Ｌ₅ 〕となる。

また、三角形Ｐ₁ Ｐ'₂Ｐ₃ の頂点Ｐ'₂に余弦定理を適用して、
Ｌ₆ ²＝Ｌ₄ ²＋Ｌ₅ ²−２Ｌ₄ Ｌ₅ ｃｏｓ (θ₃ ＋θ₄)から、以下のようにして、線分Ｌ₆ の長さが求められる。
Ｌ₆ ＝〔Ｌ₄ ²＋Ｌ₅ ²−２Ｌ₄ Ｌ₅ ｃｏｓ (θ₃ ＋θ₄)〕^1/2
また、三角形Ｐ₁ Ｐ'₂Ｐ₃ の頂点Ｐ₃ に余弦定理を適用して、
Ｌ₅ ²＝Ｌ₄ ²＋Ｌ₆ ²−２Ｌ₄ Ｌ₆ ｃｏｓθ₅ から、
ｃｏｓθ₅ ＝ (Ｌ₄ ²＋Ｌ₆ ²−Ｌ₅ ²）／２Ｌ₄ Ｌ₆ となって、
θ₅ ＝ｃｏｓ^-1〔 (Ｌ₄ ²＋Ｌ₆ ²−Ｌ₅ ²）／２Ｌ₄ Ｌ₆ 〕・・・・・式（２）
となる。

そして、以下の式（３），同（４）が成立するので
θ₆ ＝９０°−θ₅ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（３）
θ₇ ＝θ₆ −θ₃ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（４）
（式１）〜（式４）から、角度（θ₃ ），（θ₅ ），（θ₆ ），（θ₇ ）が求められたので、目的である角度（α）は、式（５）となる。
α＝１８０°−９０°−θ₇ ・・・・・・・・・・・・・・・・式（５）

次に、図８を参照して、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と、研削点Ｐ₂ の瞬間の研削位置におけるワーク回転軸心Ｃw₁とを結ぶ線分Ｌ₈ と、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と仮想位置におけるワーク回転軸心Ｃ'w₁ とを結ぶ線分Ｌ'₈とで形成される角度（β）を求める。図７において、水平線Ｌ₂₁と、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と仮想位置のワーク回転軸心Ｃ'w₁ とを結ぶ線分Ｌ'₈とで形成される角度を（θ₈ ）とし、水平線Ｌ₂₁と、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と研削点Ｐ₂ の瞬間の研削位置のワーク回転軸心Ｇw₁とを結ぶ線分Ｌ₈ とで形成される角度を（θ₉)とすると、前記角度（β）は、角度（θ₈)と角度（θ₉)との和である。
β＝θ₈ ＋θ₉ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（６）

図７において、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と仮想位置の異形ワークＷ₁ の研削点Ｐ'₂とを結ぶ線分Ｌ₉ の長さは、砥石の半径ｒと同一であり、前記角度（θ₈ ）は、以下のようにして求められる。
まず、三角形Ｐ'₂Ｃ₃ Ｃ'w₁ の頂点Ｐ'₂に余弦定理を適用すると、
Ｌ'₈ ² ＝Ｌ₂ ²＋Ｌ₉ ²−２Ｌ₂ Ｌ₉ ｃｏｓ（１８０−θ₇ ）となって、線分Ｌ'₈の長さは、以下の通りである。
Ｌ'₈ ＝〔Ｌ₂ ²＋Ｌ₉ ²−２Ｌ₂ Ｌ₉ ｃｏｓ（１８０−θ₇ ）〕^1/2
三角形Ｐ'₂Ｃ₃ Ｃ'w₁ の頂点Ｃ₃ に余弦定理を適用すると、
Ｌ₂ ²＝Ｌ₉ ²＋Ｌ'₈ ² −２Ｌ₉ Ｌ'₈ｃｏｓθ₈ となって、
ｃｏｓθ₈ ＝（Ｌ₉ ²＋Ｌ'₈ ² −Ｌ₂ ²）／２Ｌ₉ Ｌ'₈となり、
θ₈ ＝ｃｏｓ^-1〔（Ｌ₉ ²＋Ｌ'₈ ² −Ｌ₂ ²）／２Ｌ₉ Ｌ'₈〕・・・・式（７）
となる。

次に、図８において、揺動軸心Ｃ₀ から砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を通る垂直線Ｌ₂₃に対して垂線を下して、当該垂線と前記垂直線Ｌ₂₃との交点をＱとし、線分Ｃ₀ Ｑと垂直線Ｌ₂₂との交点をＳとすると、線分Ｃ₀ Ｑの長さは、砥石Ｇの半径ｒに等しい線分Ｌ₁₀と、異形ワークＷ₁ の真円部の半径に等しい線分Ｌ₁₁との和となる。また、Ｌ₁₂は、揺動軸心Ｃ₀ と、研削点Ｐ₂ の瞬間の研削位置のワーク回転軸心Ｃw₁とを結ぶ線分であり、Ｌ₁₃は、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と揺動軸心Ｃ₀ とを結ぶ線分である。砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と揺動軸心Ｃ₀ とを結ぶ線分Ｌ₁₃と、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ と点Ｑとを結ぶ線分Ｌ₁₄（線分Ｌ₁₂と長さが等しい）との交差角度を（θ₁₀）とし、線分Ｌ₁₃と水平線Ｌ₂₁との交差角度を（θ₁₁）とすると、当該角度（θ₁₁）は、以下の通りである。

ｔａｎθ₁₀＝（Ｌ₁₀＋Ｌ₁₁）／Ｌ₁₄
θ₁₀＝ｔａｎ^-1〔（Ｌ₁₀＋Ｌ₁₁）／Ｌ₁₄〕・・・・・・・・・・式（８）
θ₁₁＝９０°−θ₁₀・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（９）

また、線分Ｌ₁₃は、（Ｌ₁₄＝Ｌ₁₃ｃｏｓθ₁₀）から、Ｌ₁₃＝Ｌ₁₄／ｃｏｓθ₁₀となる。
また、線分Ｌ₈ と線分Ｌ₁₃との交差角度（θ₁₂）は、三角形Ｃ₀ Ｃ₃ Ｃw₁の頂点Ｃ₃ に余弦定理を適用して、以下のようにして求められる。
Ｌ₁₂ ² ＝Ｌ₈ ² ＋Ｌ₁₃ ² −２Ｌ₈ Ｌ₁₃ｃｏｓθ₁₂
ｃｏｓθ₁₂＝（Ｌ₈ ² ＋Ｌ₁₃ ² −Ｌ₁₂ ² ）／２Ｌ₈ Ｌ₁₃
θ₁₂＝ｃｏｓ^-1〔（Ｌ₈ ² ＋Ｌ₁₃ ² −Ｌ₁₂ ² ）／２Ｌ₈ Ｌ₁₃〕・式（１０）

θ₉ ＝θ₁₁−θ₁₂・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（１１）
であるので、式（７）〜式（１１）から、目的であるβ（＝θ₈ ＋θ₉ ）は求められる。

次に、図９を参照して、揺動角度（θｙ）を算出する。三角形Ｃ₀ Ｃ₃ Ｑにおいて、線分Ｃ₀ Ｃ₃ と線分Ｃ₃ Ｑとが形成する角度（θ₁₀）は、式（８）で既に求めたので、線分Ｃ₀ Ｑと線分Ｃ₀ Ｃ₃ との形成角度（θ₁₃）は、以下の通りである。
θ₁₃＝１８０°−９０°−θ₁₀・・・・・・・・・・・・・・・式（１２）
また、線分Ｃ₀ Ｃ₃ と、揺動軸心Ｃ₀ を通る垂直線Ｌ₂₄とが形成する角度（θ₁₄）は、以下の通りである。
θ₁₄＝９０°−θ₁₃・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（１３）

また、線分Ｃ₀ Ｃw₁と線分Ｃ₀ Ｃ₃ とで形成される角度（θ₁₅）を求めるために、三角形Ｃ₀ Ｃ₃ Ｃw₁の２本の線分Ｌ₈,Ｌ₁₂に対して正弦定理を適用すると、（Ｌ₈ ／ｓｉｎθ₁₅＝Ｌ₁₂／ｓｉｎθ₁₂）となり、（ｓｉｎθ₁₅＝Ｌ₈ ｓｉｎθ₁₂／Ｌ₁₂）となって、角度（θ₁₅）は、以下の通りである。
θ₁₅＝ｓｉｎ^-1（Ｌ₈ ｓｉｎθ₁₂／Ｌ₁₂）・・・・・・・・・・式（１４）
式（１３）及び式（１４）から、揺動角度（θy)は、以下の通りである。
θｙ＝θ₁₅−θ₁₄・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（１５）

次に、図１０〜図１３を参照して、異形ワークＷ₁ の研削点Ｐ₂ を研削する時点での揺動角度（θy)に対する当該異形ワークＷ₁ の回転角度（θx)を求める。図１０は、研削点Ｐ₂ の仮想回転角度（α−γ）を求めるための図である。図１０において、異形ワークＷ₁ の仮想位置において、角度（α）は、線分Ｌ₇ （仮想位置で長軸線Ｆを垂直にした異形ワークＷ₁ の当該長軸線Ｆに含まれる線分）と、仮想位置の回転軸心Ｃ'w₁ と研削点Ｐ'₂を結ぶ線分Ｌ₂ とのなす角度である。角度（γ）は、仮想位置における異形ワークＷ₁ の長軸線Ｆと前記線分Ｌ₂ とで形成される角度である。図１０において、仮想位置でスタート位置に配置された異形ワークＷ₁ が一点鎖線で示されており、仮想研削点Ｐ'₂を仮想研削している異形ワークＷ₁ は、異形ワークＷ₁ の仮想位置のスタート位置に対して（α−γ）だけ回転したことになる。即ち、仮想研削点Ｐ'₂を仮想研削している異形ワークＷ₁ の仮想回転角度は、（α−γ）である。

図１１は、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を中心にして、仮想位置に配置された異形ワークＷ₁ を角度（β）だけ回転させて、研削点Ｐ₂ の瞬間の研削位置まで戻すと、当該異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁にスタート状態で配置された位置に対する当該異形ワークＷ₁ の回転角度は（α−γ＋β）になることを示す図であり、図１２は、図１１の状態における三角形Ｐ'₂Ｃ₃ Ｃw₁を角度（β）だけ回転させた状態を模式的に表示した図である。図１１において、線分Ｌ₂ と線分Ｌ'₈との交差角度を（δ）とし、線分Ｌ₇ と直線（水平線）Ｌ₂₁との交点をＶ（図１１及び図１２参照）とすると、三角形ＶＣ'w₁ Ｐ'₂において、〔α＋（δ＋θ₈ ）＋９０°＝１８０°〕となって、以下の式が成立する。
α＋δ＋θ₈ ＝９０°・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（１６）

一方、図１２において、各角度θ₈ ，θ₉ ，α，δは、図示の通りである。なお、図１２において、Ｌ'₂₁ は、砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を通る水平線Ｌ₂₁を、当該軸心Ｃ₃ を中心にして角度（β）だけ回転させて生ずる直線であって、当該直線Ｌ'₂₁ と、研削点Ｐ₂ で研削されている異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁を通る垂線Ｌ₂₅との交点をＴとし、前記回転軸心Ｃw₁から直線Ｌ'₂₁ に下した垂線と、当該直線Ｌ'₂₁ との交点をＵとする。また、直線Ｌ₂₆は、異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁を通って、前記水平線Ｌ₂₁に平行な直線（補助線）である。直線Ｌ₈ と直線Ｌ₂₆とが交差して形成される角度は、直線Ｌ₈ と水平線Ｌ₂₁との交差角度である（θ₉ ）に等しく、未知数である線分Ｃw₁Ｔと線分Ｃw₁Ｕとで形成される角度を（θ₁₆）とすると、直線Ｌ₂₅と直線Ｌ₂₆とは直交するので、以下の式が成立する。
θ₁₆＋α＋δ−θ₉ ＝９０°・・・・・・・・・・・・・・・・式（１７）

式（１６）と式（１７）から、以下の関係が成立する。
α＋δ＋θ₈ ＝θ₁₆＋α＋δ−θ₉ ＝９０°・・・・・・・・・式（１８）
式（６）と式（１８）から、以下のようにして、角度（θ₁₆）が導かれる。
θ₁₆＝θ₈ ＋θ₉ ＝β・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（１９）

この結果、図１１から明白なように、研削点Ｐ₂ が研削されている瞬間における異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁を通る垂線に対する当該異形ワークＷ₁ の回転角度θ'(ｘ）は、仮想研削点Ｐ'₂を仮想研削している異形ワークＷ₁ の仮想回転角度（α−γ）に、異形ワークＷ₁ の仮想位置から研削点Ｐ₂ の瞬間研削位置まで戻す角度（β）を加えた角度となる。
θ'(ｘ）＝（α−γ＋β）・・・・・・・・・・・・・・・・・式（２０）

そして、図１３から明白なように、上記回転角度θ'(ｘ）は、研削点Ｐ₂ が研削されている瞬間における異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁を通る垂線を基準にした当該異形ワークＷ₁ の回転角度であって、異形ワークＷ₁ は、揺動軸心Ｃ₀ を中心に揺動しながら研削されるので、研削点Ｐ₂ を研削する瞬間には、当該異形ワークＷ₁ の回転軸心Ｃw₁と揺動軸心Ｃ₀ とを結ぶ線分Ｌ₁₂を基準にする必要があり（回転角度の基準となる異形ワークＷ₁ は、図１３で２点鎖線で示されている）、当該線分Ｌ₁₂は、長軸線Ｆが垂直な異形ワークＷ₁ のスタート位置に対して角度 (θy)だけ揺動している。従って、上記した回転角度θ'(ｘ）から揺動角度 (θy)を減じた値が、異形ワークＷ₁ の真の回転角度〔θ（ｘ）〕となる。
θ（ｘ）＝θ'(ｘ）−θ（ｙ）＝α−γ＋β−θ（ｙ）・・・・式（２１）

そして、異形ワークＷ₁ の外周の多数（無数）の研削点において、当該異形ワークＷ₁ の回転角度 (θx)と揺動角度 (θy)とを、上記のようにして求める。本異形ワークＷ₁ の場合には、横軸及び縦軸に、それぞれ異形ワークＷ₁ の累積回転角度、主軸台Ｂの揺動角度 (θy)をとると、関数〔θy ＝ｆ₁(θx)〕は、図１４に示されるようになる。上記のようにして、異形ワークＷ₁ の外周形状を特定するに際して、選択される研削点の数が多い程、外周形状を特定するための関数〔θy ＝ｆ₁(θx)〕は、異形ワークＷ₁ の真実の外周形状に近付いて、研削の精度が高められる。

そして、図１〜図３において、主軸用サーボモータＭ₂ を定速回転させながら、即ち、時間に対する異形ワークＷ₁ の回転角度の変化を一定にしながら、異形ワークＷ₁ の外周形状を特定する式である前記関数〔θy ＝ｆ₁(θx)〕を満足するように、揺動用サーボモータＭ₁ を非定速で回転させると、異形ワークＷ₁ の外周は、設定通りの形状に研削される。

上記したように、揺動用サーボモータＭ₁ と減速機Ｒ₁ との併用により、理論上、研削ユニットＧＵを取付けている研削ユニット取付体Ａの１回転に対して、揺動用サーボモータＭ₁ の発生パルス数は、（１．６×１０⁹)となっているために、研削ユニットＧＵの揺動角度の精度は相当に高いので、結果として、異形ワークＷ₁ の研削精度が高くなって、目的とする形状通りに研削可能となる。

また、偏心ワークＷ₂ の研削原理を示す図１５（ａ），（ｂ）において、偏心ワークＷ₂ は、いずれも真円の偏心部Ｗ₂aと同心部Ｗ₂bとが軸方向に沿って接続して設けられた形状であって、偏心部Ｗ₂aの中心Ｃ'w₂ は、同心部Ｗ₂bの中心（軸心）Ｃw₂に対して偏心量（ｅ）だけ偏心している。図１５（ａ）は、偏心部Ｗ₂aと同心部Ｗ₂bの各軸心Ｃw₂，Ｃ'w₂ を結ぶ線分の延長線が砥石Ｇの軸心Ｃ₃ を通る基準位置に偏心ワークＷ₂ が配置された状態を示し、図１５（ｂ）は、偏心ワークＷ₂ が回転角度θx だけ回転した状態において主軸台Ｂ（偏心ワークＷ₂ ）が前記基準位置に対して揺動角度θy だけ揺動した状態を示す。なお、図１５（ａ），（ｂ）において、Ｐ₂ は、研削点を示す。

また、偏心ワークＷ₂ の回転角度θx と、基準位置に対する主軸台Ｂ（偏心ワークＷ₂ ）の揺動角度θy との関係式（外周形状特定式）〔θy ＝ｆ₂ （θx ）〕は、上記した異形ワークＷ₁ と同様にして、余弦定理、正弦定理等の三角関数を使用して数学的に算出することが可能である。そして、上記した外周形状特定式〔θy ＝ｆ₂ （θx ）〕を満足するように、主軸用サーボモータＭ₂ を定速回転させながら、揺動用サーボモータＭ₁ を変速回転させると、偏心ワークＷ₂ の偏心部Ｗ₂aの外周は、外周形状特定式〔θy ＝ｆ₂ （θx ）〕のように研削される。なお、偏心ワークＷ₂ の同心部Ｗ₂bは、主軸台Ｂを揺動させることなく、定位置のままで研削する。

また、本発明に係る揺動研削方法で研削可能な異形ワークは、真円に対して部分的に変形されている前記異形ワークＷ₁,偏心ワークＷ₂ に限定されず、断面多角形状の異形ワークであっても研削可能である。図１６は、断面正方形状の異形ワークＷ₃ の研削原理を示したものであって、異形ワークＷ₃ の各面が水平又は垂直になった基準位置に対する異形ワークＷ₃ の回転角度θ（x)と、異形ワークＷ₃ の回転角度がθ（x)の時点における、主軸台Ｂの揺動角度θ（ｙ）との関数（外周形状特定式）〔θy ＝ｆ₃(θx)〕を、上記した異形ワークＷ₁ ，偏心ワークＷ₂ の場合と同様にして予め計算しておいて、関数〔θy ＝ｆ₃(θx)〕を満足するように、主軸台Ｂを揺動させればよい。なお、断面多角形状の異形ワークＷ₃ の場合には、多角形の数に応じて、異形ワークＷ₃ をセットし直して、各面を順次研削する必要がある。なお、図１６において、Ｐ₂ は、研削点を示す。

また、断面多角形状の異形ワークにおいて、各面は、前記異形ワークＷ₂ のように、平面のものに限られず、各面が凸面又は凹面になっている断面多角形状の異形ワークの研削も可能である。

更に、本発明に係る揺動研削方法により研削可能な更に別の異形ワークとしては、ひょうたん形のワークも挙げられる。

Ａ：研削ユニット取付体
Ｂ：主軸台
Ｃ₀ ：揺動軸心
Ｃ₁ ：主軸の軸心
Ｃ₃ ：砥石の軸心
Ｃw₁, Ｃw₂：異形ワークの回転軸心
Ｃw₃：偏心ワークの回転軸心
Ｇ：砥石
ＧＵ：研削ユニット
Ｍ₁ ：揺動用サーボモータ
Ｍ₂ ：主軸用サーボモータ
Ｐ₂ ：研削点
Ｒ₁,Ｒ₂ ：減速機
Ｓ：研削ユニットの主軸
Ｗ₁ ：卵形の異形ワーク
Ｗ₂ ：偏心ワーク（異形ワーク） Ｗ₂a：偏心ワークの偏心部
Ｗ₂b：偏心ワークの同心部
Ｗ₃ ：断面正方形状の異形ワーク
θｘ：異形ワークの回転角度
θｙ：研削ユニット又は主軸台の揺動角度
１６：減速機のウェブジェネレータ（入力軸）
１７：減速機のフレクススプライン（出力軸）
２１：研削ユニットのテーブル

Claims (5)

1. 断面非円形の異形ワークの回転軸心が主軸の軸心と同心となるように、チャックで把持された当該異形ワークを連続回転させながら、被研削面である外周面を研削する方法であって、
   テーブルに主軸台及び心押し台が取付けられた研削ユニットの全体は、前記主軸の軸心のほぼ直下に当該主軸の軸心と平行に配置された揺動軸心を中心に揺動可能であり、
   前記異形ワークの基準位置からの回転角度と、前記研削ユニットの揺動角度との関係を特定して異形ワークの外周研削形状を定めた外周形状特定式を予め計算しておいて、
   前記外周形状特定式に基づいて、揺動軸心を中心にして研削ユニットを揺動させながら、前記異形ワークを連続回転させて、その外周面を当該外周形状特定式で特定された形状に研削することを特徴とする異形ワークの揺動研削方法。
2. 断面多角形状の異形ワークの回転軸心が主軸の軸心と同心となるように、チャックで把持された当該異形ワークを断面形状である多角形の各面部の中心角に対応する角度内で回転させて、被研削面である各面部を順次変更しながら、当該各外周面を研削する方法であって、
   テーブルに主軸台及び心押し台が取付けられた研削ユニットの全体は、前記主軸の軸心のほぼ直下に当該主軸の軸心と平行に配置された揺動軸心を中心に揺動可能であり、
   前記異形ワークの各面部の基準位置からの回転角度と、前記研削ユニットの揺動角度との関係を特定して異形ワークの各面部の外周研削形状を定めた外周形状特定式を予め計算しておいて、
   前記外周形状特定式に基づいて、揺動軸心を中心にして研削ユニットを揺動させながら、前記異形ワークの各面部を順次変更させながら、各面部を、その中心角に対応する角度内で回転させて、当該各面部を前記外周形状特定式で特定された形状にそれぞれ研削することを特徴とする異形ワークの揺動研削方法。
3. 請求項１又は２に記載の異形ワークの揺動研削方法を実施するための揺動型研削盤であって、
   前記主軸を駆動回転させる主軸用サーボモータを備えていて、前記揺動軸心を中心にして揺動可能に支持された研削ユニットと、
   当該研削ユニットを前記揺動軸心を中心にして揺動させるための揺動用サーボモータと、
   を備え、
   前記異形ワークの基準位置からの回転角度と前記研削ユニットの揺動角度とが前記外周形状特定式で特定される関係を維持するように、前記主軸用及び揺動用の各サーボモータを同期回転させて、当該異形ワークを前記外周形状特定式で特定される形状に研削するように構成したことを特徴とする異形ワークの揺動型研削盤。
4. 前記揺動用サーボモータは、出力軸が対向し、しかも同一軸心上に配置された一対で構成されることにより、当該各揺動用サーボモータの軸心が揺動軸心となっていて、
   当該一対の揺動用サーボモータは、それぞれ駆動軸心上に入力軸及び出力軸を有する減速機を備え、
   各揺動用サーボモータの駆動軸は、各減速機の入力軸にそれぞれ連結されて、各減速機の間に配置された研削ユニット取付体の両端部が、当該各減速機の出力軸に連結され、
   前記研削ユニット取付体に前記研削ユニットが一体に取付けられて、各揺動用サーボモータの駆動軸の回転が減速されて、前記研削ユニット取付体を回転させることにより、前記研削ユニットは、各揺動用サーボモータの軸心を中心にして揺動する構成であることを特徴とする請求項３に記載の異形ワークの揺動型研削盤。
5. 前記主軸用サーボモータは、主軸と同心に配置されて、当該主軸の軸心上に入力軸及び出力軸を有する減速機を介して回転が減速されて主軸が駆動される構成であることを特徴とする請求項３又は４に記載の異形ワークの揺動型研削盤。

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