JP2009193562A - 数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置、方法、及びプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】ハードディスクのスライダ形状等の設計に用いられる多目的最適化設計支援技術に関し、数式処理された目的関数に基づく可視化を短時間に実行し、設計支援に利用可能とすることにある。
【解決手段】１０１は、入力パラメータのサンプルの組に対する複数の目的関数の組を計算する。１０２は、１０１の計算結果に基づいて目的関数を多項式近似する。１０３は、ＱＥ法等に基づいて、数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する。１０４は、目的関数間論理式に基づいて、上記目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する。１０５と１０６の各部は、可能領域表示部が表示する可能領域から認識される目的関数のパレート境界に基づいて、そのパレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する。
【選択図】図１

Description

本発明は、ハードディスクのスライダ形状等の設計に用いられる多目的最適化設計支援技術に関する。

ハードディスクの高密度化・高容量化に伴い、磁気ディスクとヘッダとの距離はますます小さくなってきている。標高差やディスク半径位置による浮上変動量の少ないスライダ設計が要求されている。

スライダは、図１６の１６０１として示されるように、ハードディスク内の磁気ディスク上を移動するアクチュエータ１６０２の先端下部に設置されており、ヘッダの位置はスライダ１６０１の形状によって計算される。

スライダ１６０１の最適形状を決める際、ヘッダの位置に関係するフライハイト（図１６の１６０３）、ロール（１６０４）、ピッチ（１６０５）に関する関数を同時に最小化する、いわゆる多目的最適化の効率的計算が必要になる。

従来は、多目的最適化問題を直接扱うのではなく、下記数１式として示されるように、各目的関数ｆ_iに重みｍ_iを乗算して得られる項の線形和ｆが計算されその最小値が算出される、単目的最適化が行われていた。

そして、プログラムにより、図１７に示されるスライダ形状Sを決定するパラメータｐ、ｑ、ｒ等の値が少しずつ変更されながら、関数値ｆが計算され、その値が最小となるようなスライダ形状が算出されていた。

ここで、ｆは重みベクトル｛ｍ_i｝に依存する。実際の設計では、さらに｛ｍ_i｝が変更されながら、それぞれの変更値に対するｆの最小値が算出され、その最小値と｛ｍ_i｝とのバランスが総合的に判断されることにより、スライダ形状が決定されていた。

また、多目的最適化におけるパレート曲面（最適化曲面）を数値解析手法で求める、ＮＢＩ（Normal Boundary Intersection)法と呼ばれる手法なども知られている。
特開２００２−１１７０１８号公報

しかし、前述した従来技術における単目的関数ｆの最適化技術においては、時間のかかる浮上計算を繰り返し実行しなければならない。特に、スライダ形状が細部まで探索される場合には、入力パラメータ（図１７のｐ、ｑ、ｒ等に相当）の数が２０個前後にもなり、１万回以上の浮上計算が必要になり、最適化に非常に時間がかかるという問題点を有していた。

例えば、図１８は、従来技術のシステムが実行する動作フローチャートであり、仕様設定（ステップＳ１８０１）、重みベクトルの設定（ステップＳ１８０２）の後、単目的関数の最適化処理（ステップＳ１８０３）の計算には、何万組もの入力パラメータ組に対し
て、膨大な回数の浮上計算が必要である。

また、この手法においては、ｆの最小値（とその時の入力パラメータ値）は、重みベクトル（ｍ_1,..,ｍ_t）の決め方に依存する。実際の設計では、重みベクトルの色々な組に対してｆを最適化して比較したい、という状況が頻繁に生じる。しかし、上記従来技術では、重みベクトルを変える度に、図１８のステップＳ１８０４からステップＳ１８０２への繰り返しにより、コストの高い浮上計算を伴う最適化計算をはじめからやり直す必要があるため、実験できる重みベクトルの種類に限度があった。最終的な重みベクトルが決定され（図１８のステップＳ１８０５）、最適スライダ形状（最適パラメータ組）が出力されるまでには（図１８のステップＳ１８０６）、膨大な時間を必要としていた。

また、関数値ｆの最小化においては、パレート曲面上の１点ずつしか求めることができないため、目的関数同士の最適な関係を予測することも難しく、そのような情報を設計にフィードバックすることもできないという問題点を有していた。

また、数値解析手法によってパレート曲面を求める前述の従来技術では、可能領域が非凸な場合に解けなかったり、パレート曲面を求める元となる点（端点）が近かった場合にアルゴリズムがうまく動かなかったりすることがあるという問題点を有していた。

本発明の課題は、多目的最適化設計において、目的関数に基づく可視化（パレート境界の表示等）を短時間に実行し、それに基づく目的関数間の関係の視覚的・直感的把握、最適化の限界予測、単目的化による最適化を実施する場合の重み係数の比の適切な選択を可能とし、それらの結果に基づいて探索範囲を絞り込んだ状態での短時間での浮上計算等に基づく詳細な最適化を実現することにある。

本発明の態様は、設計パラメータ（入力パラメータ）の組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する設計支援装置を前提とする。設計パラメータは、例えば、ハードディスク磁気記憶装置のスライダ部の形状を決定するためのパラメータである。

サンプル組目的関数計算部（例えば図１の１０１）は、所定組数の設計パラメータのサンプルの組に対する複数の目的関数の組を計算する。
目的関数近似部（例えば図１の１０２）は、所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、目的関数を数式近似する。この目的関数近似部は、例えば、所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、重回帰分析により、目的関数を重回帰式により多項式近似する。

目的関数間論理式計算部（例えば図１の１０３）は、数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する。この目的関数間論理式計算部は、例えば、数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、限量記号消去法（ＱＥ法）により設計パラメータの変数を消去して目的関数間論理式を計算する。

可能領域表示部（例えば図１の１０４）は、目的関数間論理式に基づいて、任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する。
設計支援部（例えば図１の１０５、１０６）は、可能領域の表示に基づいて設計支援を行う。この設計支援部は、例えば、可能領域表示部が表示する可能領域から認識される目
的関数のパレート境界に基づいて、そのパレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する。

本発明によれば、ハードディスクのスライダ形状等に関する設計パラメータのある程度の設計パラメータのサンプル組から目的関数を多項式等の数式で近似し、その式を数式処理の手法を使って計算することが可能となる。

これにより、入力パラメータをパラメータのまま扱えるため、目的関数間の論理関係や入出力関係を捉えることが容易となる。そして、このようにして算出され数式処理された目的関数を、設計支援の前段、特にパレート境界の判定に用いることにより、非常に効率的な設計支援システムを実現することが可能となる。

以下、図面を参照しながら、本発明を実施するための最良の形態を詳細に説明する。
図１は、本発明の実施形態の機能ブロック構成図である。
浮上実計算実行部１０１は、ハードディスクのスライダ形状に関する入力パラメータサンプル組１０７を入力し、各組に対して、スライダの浮上計算を実行し、各目的関数値を出力する。この場合の入力パラメータサンプル組１０７は、高々数百組程度でよい。

目的関数多項式近似部１０２は、入力パラメータサンプル組１０７と、各組に対して浮上実計算実行部１０１にて算出された各目的関数値とに対して、重回帰分析により、スライダ形状に関する各目的関数を、重回帰式による多項式で近似する。

ＱＥ計算部１０３は、目的関数多項式近似部１０２にて算出された各目的関数多項式と、入力パラメータサンプル組１０７（入力パラメータ組１０８）の各パラメータ値の制約条件とから、ＱＥ法（Quantifier Elimination：限量記号消去法）により、任意の２つの目的関数間の論理式を算出する。

可能領域表示部１０４は、ＱＥ計算部１０３にて算出された任意の２つの目的関数間の論理式に基づいて、目的関数の可能領域を特には図示しないコンピュータディスプレイに表示する。

単目的関数最適化部１０５は、目的関数多項式近似部１０２にて算出された各目的関数多項式と、可能領域表示部１０４にてユーザが決定した重みベクトルとに基づいて、目的関数の重み付き線形和として得られる単目的関数値を、入力パラメータ組１０８に対して計算し、その単目的関数値が最小となる入力パラメータ組１０８の候補を算出する。入力パラメータ組１０８の数は、１万組〜２万組程度である。

浮上実計算最適化部１０６は、単目的関数最適化部１０５にて算出された単目的関数値が最小となる入力パラメータ組１０８の候補について、詳細な浮上計算を実行し、それから求まる目的関数の重み付き線形和として得られる単目的関数値を算出することにより、その単目的関数値が最小となる入力パラメータ組１０８を、最適スライダ形状パラメータ組１０９として出力する。このときの各目的関数は、実際の浮上計算から得られるものが用いられ、重みベクトルは、単目的関数最適化部１０５で使用されたのと同じもの又はそれを若干修正したものが用いられる。

以上の構成を有する本発明の実施形態の動作について、図２〜図４、図１２の動作フローチャート及び図５〜図８〜図１１、図１３、及び図１４の動作説明図に従って説明する。

図２は、図１の機能ブロック構成を有するシステムによって実行される本発明の実施形態の全体処理の動作フローチャートである。
まず、図１の浮上実計算実行部１０１が、スライダ形状の探索範囲に関する設計仕様として、数百組程度の入力パラメータサンプル組１０７を入力し（図２のステップＳ２０１）、各組に対してスライダの浮上計算を実行し、各目的関数値を出力する（図２のステップＳ２０２）。

これにより、例えば、図５に示されるような入力パラメータサンプル組１０７とそれに対する目的関数値のデータファイルが作成される。図５において、ｘ1 〜ｘ8 、・・・として示される列の値がそれぞれ入力パラメータサンプル組１０７であり、cost2として示される列の値が或る目的関数の値群である。

次に、図１の目的関数多項式近似部１０２が、上記入力パラメータサンプル組１０７と各組に対して算出された各目的関数値とからなるデータファイルに対して、重回帰分析を実行することにより、スライダ形状に関する各目的関数を、重回帰式による多項式で近似する（図２のステップＳ２０３）。

この結果、下記数２式として例示されるような目的関数の多項式が得られる。

ここで、スライダ設計では作業が進むにつれて入力パラメータの種類が多くなる傾向にある。中には（他のパラメタの影響により）、或る目的関数への寄与度が低いパラメータもあると推測できる。そこで、重回帰分析により寄与度の低いパラメタを除外するルーチンを処理に組み込むことで、より簡単な多項式での近似が可能になる。設計者が解析に使用するパラメータ数を入力すると、目的関数多項式近似部１０２は、その設定数までパラメータを絞り込む。このパラメータ削減処理により、後述するＱＥ法の計算時に計算量を削減することが可能になる。

この結果、下記数３式として例示されるような、パラメータが削減された目的関数の多項式が得られる。

以上説明したようにして、本発明の実施形態では、高々数百サンプル程度の入力パラメータサンプル組１０７を使って、重回帰式により多項式近似された目的関数を得ることができる。このように目的関数を多項式近似できるのは、スライダ設計では、まずスライダの初期形状があって、この初期形状を決定するパラメータを指定範囲内で振りながら最適化が行われるため、そのようなローカルな設計変更範囲での最適化においては、重回帰式による線形近似により十分に有効な初期の最適化が行えるという知見に基づくものである。

本発明の実施形態では、このようにして算出され数式処理された目的関数を、以下に説明するようにして、スライダ設計の前段、特にパレート境界の判定に用いることにより、非常に効率的な設計支援システムを実現することができる。

即ち図１のＱＥ計算部１０３は、目的関数多項式近似部１０２にて算出された各目的関数多項式と、入力パラメータサンプル組１０７（入力パラメータ組１０８）の各パラメータ値の制約条件とから、ＱＥ法（Quantifier Elimination：限量記号消去法）により、任意の２つの目的関数間の論理式を算出する（図２のステップＳ２０４の一部）。

このステップＳ２０４で実行されるＱＥ法のアルゴリズムについて、図３の動作フローチャートに基づいて説明する。
まず、ユーザは、可能領域を表示したい２つの目的関数を指定する（図３のステップＳ３０１）。これらを、ｆ1 、ｆ2 とする。なお、３つの目的関数の指定をするような実施形態も可能である。

次に、ＱＥ計算部１０３は、目的関数多項式近似部１０２にて計算されている指定された２つの目的関数の近似多項式と、入力パラメータサンプル組１０７（入力パラメータ組１０８）の各パラメータ値の制約条件を使って、定式化を行う（図３のステップＳ３０２）。これにより、例えば下記数４式に例示されるような定式が得られる。なお、この例では、パラメータ数は１５のまま削減していない例について示しているが、もちろん削減したものを定式化してもよい。

次に、ＱＥ計算部１０３は、上記数４式で示される式の値Ｆを、ＱＥ法に従って解く（図３のステップＳ３０３）。この結果、下記数５式に例示されるような、入力パラメータｘ1,・・・, ｘ15が消去され、２つの目的関数ｙ1 とｙ2 に関する論理式が出力される。なお、目的関数が３つの場合には、３つの目的関数ｙ1 とｙ2 とｙ3 に関する論理式が出力される。

ＱＥ法の詳細については省略するが、本出願の発明者著による公知文献「計算実代数幾何入門：ＣＡＤとＱＥの概要（数学セミナー、１１号 ２００７ ６４−７０頁（穴井宏和、横山和弘共著））に、その処理方法が開示されており、本発明の実施形態でもその処理方法をそのまま用いている。

続いて、図１の可能領域表示部１０４は、ＱＥ計算部１０３にて算出された任意の２つの目的関数間の論理式に基づいて、コンピュータディスプレイに２つの目的関数の可能領域を表示する（図２のステップＳ２０４、図３のステップＳ３０４）。

具体的には、可能領域表示部１０４は、２つの目的関数ｙ1 とｙ2 に関する２次元の描画平面上の各点をスイープしながら、ＱＥ計算部１０３にて算出された数５式に例示されるような２つの目的関数ｙ1 とｙ2 に関する論理式が真となる点を塗りつぶしてゆく。この結果、例えば図６の塗りつぶされた領域として示されるような形態で、可能領域を表示させることができる。
なお、目的関数が３つである場合には、３次元の表示になる。

上記可能領域表示処理の他の具体例について、以下に説明する。
２つの目的関数の近似多項式が、下記数６式として例示されるように、３つの入力パラメータｘ1 、ｘ2 、ｘ3 に基づいて構成されているとする。

この数６式に対して定式化を行った結果は、下記数７式となる。

更にこの数７式に対してＱＥ法を適用した結果は、下記数８式となる。

この数８式の論理式に基づいて可能領域を描画した結果は、例えば図７のようなものとなる。図７において、斜めの直線は数８式の論理式の各論理境界を示し、塗りつぶされた領域が２つの目的関数の可能領域を示す。

図７の表示を見るとわかるように、塗りつぶされた可能領域において、座標原点に近い下縁部の境界として、２つの目的関数に関するパレート境界を直感的に容易に認識することが可能で、最適化の限界領域を認識できる。目的関数が３つの場合には、パレート境界は曲面（パレート曲面）となるが、３次元による表示の実現が可能である。

また、上記可能領域の全体的な傾きを認識することにより、２つの目的関数から重み付き和の単目的関数（数１式参照）を計算する場合に、重みベクトルにおけるその２つの目的関数間の各重み値の比の最適値を推定することができる。

ここで、数７式では、入力パラメータサンプル組１０７を構成する各入力パラメータが、０から１の間を自由に取れる制約条件が仮定されたが、実際には、入力パラメータの中心点を指定して一定範囲でその値を動かすように探索を行ったほうが、よい結果を得られることが予想される。

そのような動作を可能とするために、図１のＱＥ計算部１０３及び可能領域表示部１０４は、図２のステップＳ２０４において、図３の動作フローチャートの代わりに図４の動作フローチャートを実行する。

まず、ユーザは、可能領域を表示したい２つの目的関数を指定する（図４のステップＳ４０１）。これらを、ｆ1 、ｆ2 とする。
次に、ＱＥ計算部１０３は、入力パラメータサンプル組１０７とそれに対応する指定された２つの目的関数（ｆ1 、ｆ2 ）の中で、（ｆ1 、ｆ2 ）がｆ2 ＝ｆ1 に近く、かつ原点に最も近い点、例えば図８の８０１で示される点を抽出する。その点に対応する入力パラメータを（ｐ1,・・・, p15）とする（図４のステップＳ４０２）。

次に、ＱＥ計算部１０３は、目的関数多項式近似部１０２にて計算されている指定された２つの目的関数の近似多項式と、入力パラメータサンプル組１０７（入力パラメータ組１０８）の各パラメータ値に対する振り幅ｔを使って、定式化を行う（図４のステップＳ４０３）。これにより、例えば下記数９式に例示されるような定式が得られる。

次に、ＱＥ計算部１０３は、上記数９式で例示される式の値Ｆを、ＱＥ法に従って解く（図４のステップＳ４０４）。この結果、入力パラメータｘ1,・・・, ｘ15が消去され、２つの目的関数ｙ1 とｙ2 と振り幅ｔに関する論理式が出力される。

続いて、図１の可能領域表示部１０４は、ＱＥ計算部１０３にて算出された任意の２つの目的関数間の論理式に基づいて、振り幅ｔの値を変更しながら、コンピュータディスプレイに２つの目的関数の可能領域を表示する（図４のステップＳ４０５）。

この場合に、入力パラメータサンプル組１０７を含み、かつ面積が小さくなるようなｔが選択されるのが望ましい。
図９（ａ）は、実際のスライダ形状に対応する入力パラメータサンプル組１０７を使って得られた可能領域表示の例である。また、図９（ｂ）は、論理式の境界も表示させた場合の可能領域表示の例である。この例では、低高度（０ｍ）でのスライダ浮上量を第１の目的関数ｆ1 、高々度（４２００ｍ）でのスライダ浮上量を第２の目的関数ｆ2 として、それらの関係をｙ1 、ｙ2 として表したグラフである。

このグラフにおけるパレート曲線の傾きが約−１／８〜−１／５であるため、これら２つの目的関数を重み付け加算して単目的関数（数１式参照）を得るときの重みベクトルにおける重み値の比は、１対８〜１対５程度でよいことがわかる。

このようにして、図１の可能領域表示部１０４での処理では、ユーザは、ディスプレイへの可能領域表示から、まず、単目的関数化による最適化（数１式参照）を想定した場合の重みベクトルにおける重み値の見積りが可能となる（図２のステップＳ２０５）。ユーザは、例えば、ディスプレイ上で可能領域の全体的な傾きを特には図示しない等をマウス等を使って指示することにより、システムに重みベクトルの重み値の比を通知することができる。或いは、システムが、所定のアルゴリズムに従って自動的に重み値の比を検出するようにしてもよい。

また、図７で説明したように、図１の可能領域表示部１０４での処理において、ユーザは、ディスプレイへの可能領域表示において、座標原点に近い下縁部の境界として、２つの目的関数に関するパレート境界を直感的に容易に認識することが可能で、最適化の限界値を予測できる（図２のステップＳ２０６）。ユーザは、例えば、ディスプレイ上で可能領域境界部分の限界領域を特には図示しないマウス等を使って指示することにより、システムにその限界値を通知することができる。或いは、システムが、所定のアルゴリズムに従って自動的に限界値を検出するようにしてもよい。

以上の可能領域表示処理は、ユーザが、２つの目的関数を順次指定しながら、各目的関数ごとに、重みベクトルの重み値の比や、パレート境界を、効率的に指定することができる。

以上の動作の後、図１の単目的関数最適化部１０５は、目的関数多項式近似部１０２にて算出された各目的関数多項式と、可能領域表示部１０４にてユーザが決定した重みベクトルにおける重み値の比とに基づいて、目的関数の重み付き線形和として得られる単目的関数値（数１式参照）を、入力パラメータ組１０８に対して計算し、その単目的関数値が最小となる入力パラメータ組１０８の候補を算出する（図２のステップＳ２０７）。入力パラメータ組１０８の数は、１万組〜２万組程度である。

この場合、各目的関数値の導出においては、実際の浮上計算は実行されずに近似多項式が用いられるため、非常に高速な計算が可能である。更に、数１式に基づいて単目的関数値が計算される際に用いられる重みベクトルにおける重み値群は、可能領域表示部１０４の動作において、ユーザが適切に指定した値が使用されるため、重みベクトルを連続的に変更させるような繰り返し計算は不要である。

最後に、図１の浮上実計算最適化部１０６は、単目的関数最適化部１０５にて算出された単目的関数値が最小となる入力パラメータ組１０８の候補について、詳細な浮上計算を実行し、それから求まる目的関数の重み付き線形和として得られる単目的関数値を算出する（図２のステップＳ２０８）。このときの各目的関数は、実際の浮上計算から得られるものが用いられ、重みベクトルは、単目的関数最適化部１０５で使用されたのと同じもの又はそれを若干修正したものが用いられる。

そして、浮上実計算最適化部１０６は、この単目的関数値とそのときの各目的関数値とについて、前述の可能領域表示処理において予測された目的関数の限界値を参照して、最適化がほぼ収束するか否かを判定する（図２のステップＳ２０９）。

まだ最適化が収束しておらずステップＳ２０９の判定がＮＯと判定された場合には、ステップＳ２０７の処理に戻り、重みベクトルにおける重み値が若干修正されて、再度、ステップＳ２０７とＳ２０８の最適化処理が実行される。

最適化が収束し浮上実計算最適化部１０６がステップＳ２０９の判定をＹＥＳと判定すると、そのとき得られた単目的関数値が最小となる入力パラメータ組１０８を、最適スライダ形状パラメータ組１０９として出力する（図２のステップＳ２１０）。

次に、図１のＱＥ計算部１０３及び可能領域表示部１０４の動作の他の実施形態について説明する。
図４の動作フローチャートで示した上述のＱＥ計算部１０３及び可能領域表示部１０４の動作では、入力パラメータの中心点として、例えば、２つの目的関数（ｆ1 、ｆ2 ）の中でｆ2 ＝ｆ1 に近くかつ原点に最も近い１点、例えば図８の８０１で示される点が指定され、その１点を中心として動き幅ｔの範囲で可能領域の探索が行われるように論理式Ｆ
が作成された。

このように決定された論理式Ｆに基づいて可能領域の表示が行われた場合において、描画の際には、図１０（ａ）に示されるように、動き幅ｔを小さくすると可能領域の範囲は小さくなり、図１０（ｂ）に示されるように、動き幅ｔを大きくすると可能領域の範囲は大きくなる。この場合に、可能領域は、できる限り入力パラメータを正確に含みかつ大きいほうが、設計パラメータを選択できる範囲を広げ設計の自由度を向上できる点で好ましい。

しかし、図４の動作フローチャートで示したように、入力パラメータの１点を中心として可能領域が探索された場合には、図１０（ａ）に示されるように、動き幅ｔが小さいと可能領域に入力パラメータはほぼ正確に含まれるがその可能領域の範囲は小さくなってしまい、逆に動き幅ｔが大きいと可能領域の範囲は大きくなるがその可能領域には入力パラメータが正確には含まれなくなってしまう。つまり、入力パラメータの１点を中心として可能領域を探索する方式では、サンプル集合にフィットするような動き幅ｔを見つけるのが難しいという課題が残る。

そこで、以下に説明する実施形態では、入力パラメータの１点のみを中心として可能領域が探索されるのではなく、図１１に示されるように、パレート境界付近の複数点、例えばＳ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４の４点のそれぞれを中心として、動き幅ｔがそれぞれの点にフィットするように小さめに設定され、それぞれに対応する可能領域Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４が探索される。このようにして得られた複数の可能領域が合成されて表示される。これにより、入力パラメータが正確に含まれかつパレート境界上の広い範囲にわたる可能領域を探索することが可能となる。

図１２は、上述の機能を実現するために図１のＱＥ計算部１０３及び可能領域表示部１０４が図２のステップＳ２０４において実行する動作を示す、図４に代わる動作フローチャートである。

まず、ユーザは、可能領域を表示したい２つの目的関数を指定する（図１２のステップＳ１２０１）。これらを、ｆ1 、ｆ2 とする。
次に、図１のＱＥ計算部１０３は、入力パラメータサンプル組１０７の中で、パレートに近い点の中心点集合Ｓ、例えば、図１１に示されるＳ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４の４中心点を抽出する。具体的には、この中心点集合Ｓは、２つの目的関数（ｆ1 、ｆ2 ）によって規定される平面上において、図１１に示される原点に近い側の端辺上付近の均等間隔に並ぶサンプル点の集合として抽出される。

次に、ＱＥ計算部１０３は、目的関数多項式近似部１０２にて計算されている指定された２つの目的関数の近似多項式と、上記中心点集合Ｓに含まれる各中心点の入力パラメータを変数で表現した中心点入力パラメータ用変数｛ｐ_i｝＝（ｐ1,・・・, p15）と、動き幅ｔ（図４のｔと同じ）を使って、定式化を行い、論理式Ｆを作成する（図１２のステップＳ１２０３）。これにより、例えば下記数９式に例示されるような定式が得られる。なお、図４の説明のときには、（ｐ1,・・・, p15）は特定の１個の中心点の座標としての意味を有していたが、本実施形態では、複数の中心点を表す変数としての意味を有している。

次に、ＱＥ計算部１０３は、上記数９式で例示される式の値Ｆを、ＱＥ法に従って解く（図１２のステップＳ１２０４）。この結果、入力パラメータｘ1,・・・, ｘ15が消去され、２つの目的関数ｙ1 とｙ2 と中心点入力パラメータ用変数｛ｐ_i｝と動き幅ｔに関する論理式Ｇが出力される。

続いて、ＱＥ計算部１０３は、図１２のステップＳ１２０５の判定にて、中心点集合Ｓに含まれる各中心点、例えば図１１に示されるＳ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４を１つずつ選択しながら、ステップＳ１２０６〜Ｓ１２０９の処理を実行する。

まず、ＱＥ計算部１０３は、選択された中心点に対応する入力パラメータ値を、ステップＳ１２０４で算出された論理式Ｇの中心点入力パラメータ用変数｛ｐ_i｝＝（ｐ1,・・・, p15）に代入する（図１２のステップＳ１２０６）。

そして、ＱＥ計算部１０３は、図１２のステップＳ１２０７の判定処理において動き幅ｔの値を順次刻みながら、図１２のステップＳ１２０８で、刻まれた動き幅ｔの値をステップＳ１２０６にて得られた論理式Ｇに代入してその値を計算する処理を、繰返し実行することにより、現在選択されている中心点に対応する可能領域を算出する。

ＱＥ計算部１０３は、図１２のステップＳ１２０７において動き幅ｔを所定範囲で刻む処理が終了したと判定したら、１つの選択されている中心点に対応して上述のようにして算出された可能領域を、局所的可能領域としてメモリ等に保存する。

ＱＥ計算部１０３は、上述の図１２のステップＳ１２０６〜Ｓ１２０９によって示される１つの中心点に対する局所的可能領域を算出する処理を、図１２のステップＳ１２０５の判定を通じて、中心点集合Ｓに含まれる全ての中心点、例えば図１１に示されるＳ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４に対して実行する。

そして、図１２のステップＳ１２０５において、中心点集合Ｓに含まれる全ての中心点に対する局所的可能領域の算出処理が終了したと判定されたら、図１の可能領域表示部１０４が、メモリ等に保存されている中心点集合Ｓに含まれる各中心点に対応する各局所的可能領域、例えば図１１に示されるＳ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４に対応する各可能領域Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４を同時に重ねて、コンピュータディスプレイに表示する（図１２のステップＳ１２１０）。これにより、ユーザは、選択した２つの目的関数のトレードオフ関係を明確に把握することができる。

図１３（ａ）（ｂ）及び図１４（ａ）（ｂ）は、実際のスライダ形状に対応する入力パラメータサンプル組１０７を使い、４つの中心点を指定して得られた４つの可能領域表示の合成例である。

以上のように、上述の実施形態では、動き幅ｔを小さめにとることで局所的な可能領域構成の精度を上げて、それを多点において実施し、得られれた高精な各点での可能領域を張り合わせることで、大域的なパレート構成の精度向上を実現している。

図１５は、上記システムを実現できるコンピュータのハードウェア構成の一例を示す図である。
図１５に示されるコンピュータは、ＣＰＵ１５０１、メモリ１５０２、入力装置１５０３、出力装置１５０４、外部記憶装置１５０５、可搬記録媒体１５０９が挿入される可搬記録媒体駆動装置１５０６、及びネットワーク接続装置１５０７を有し、これらがバス１５０８によって相互に接続された構成を有する。同図に示される構成は上記システムを実現できるコンピュータの一例であり、そのようなコンピュータはこの構成に限定されるものではない。

ＣＰＵ１５０１は、当該コンピュータ全体の制御を行う。メモリ１５０２は、プログラムの実行、データ更新等の際に、外部記憶装置１５０５（或いは可搬記録媒体１５０９）
に記憶されているプログラム又はデータを一時的に格納するＲＡＭ等のメモリである。ＣＵＰ１５０１は、プログラムをメモリ１５０２に読み出して実行することにより、全体の制御を行う。

入力装置１５０３は、例えば、キーボード、マウス等及びそれらのインタフェース制御装置とからなる。入力装置１５０３は、ユーザによるキーボードやマウス等による入力操作を検出し、その検出結果をＣＰＵ１５０１に通知する。

出力装置１５０４は、表示装置、印刷装置等及びそれらのインタフェース制御装置とからなる。出力装置１５０４は、ＣＰＵ１５０１の制御によって送られてくるデータを表示装置や印刷装置に出力する。

外部記憶装置１５０５は、例えばハードディスク記憶装置である。主に各種データやプログラムの保存に用いられる。
可搬記録媒体駆動装置１５０６は、光ディスクやＳＤＲＡＭ、コンパクトフラッシュ（登録商標）等の可搬記録媒体１５０９を収容するもので、外部記憶装置１５０５の補助の役割を有する。

ネットワーク接続装置１５０７は、例えばＬＡＮ（ローカルエリアネットワーク）又はＷＡＮ（ワイドエリアネットワーク）の通信回線を接続するための装置である。
本実施形態によるシステムは、図１に示される機能ブロックを搭載したプログラムをＣＰＵ１５０１が実行することで実現される。そのプログラムは、例えば外部記憶装置１５０５や可搬記録媒体１５０９に記録して配布してもよく、或いはネットワーク接続装置１５０７によりネットワークから取得できるようにしてもよい。

上述の本発明の実施形態は、ハードディスクのスライダ設計の支援を行う設計支援装置として本発明を実施した場合の例について示したが、本発明はこれに限られるものではなく、多目的最適化を行いながら設計支援を行う各種装置に適用することが可能である。

以上説明した本発明の実施形態に関して、更に以下の付記を開示する。
（付記１）
設計パラメータの組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する設計支援装置において、
所定組数の前記設計パラメータのサンプルの組に対する前記複数の目的関数の組を計算するサンプル組目的関数計算手段と、
前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、前記目的関数を数式近似する目的関数近似手段と、
該数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する目的関数間論理式計算手段と、
該目的関数間論理式に基づいて、前記任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する可能領域表示手段と、
該可能領域の表示に基づいて設計支援を行う設計支援手段と、
を含むことを特徴とする数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
（付記２）
前記設計支援手段は、前記可能領域表示手段が表示する可能領域から認識される前記目的関数のパレート境界に基づいて、該パレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して前記多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する、
ことを特徴とする付記１に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
（付記３）
前記目的関数近似手段は、前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、重回帰分析により、前記目的関数を重回帰式により多項式近似する、
ことを特徴とする付記１又は２のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
（付記４）
前記目的関数間論理式計算手段は、前記数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、限量記号消去法により前記設計パラメータの変数を消去して前記目的関数間論理式を計算する、
ことを特徴とする付記１乃至３のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
（付記５）
前記目的関数間論理式計算手段は、前記設計パラメータのサンプルの組のうち対象となる前記目的関数に関するパレート境界付近の複数の中心点のそれぞれに対応する前記各設計パラメータのサンプルの組と該各中心点からの各動き幅に関する各制約条件を個別に満たすように、複数の前記目的関数間論理式をそれぞれ計算し、
前記可能領域表示手段は、前記目的関数間論理式計算手段が計算した複数の前記目的関数間論理式のそれぞれに基づいて複数の前記可能領域を重ねて表示する、
ことを特徴とする付記１乃至４のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
（付記６）
前記設計パラメータは、ハードディスク磁気記憶装置のスライダ部の形状を決定するためのパラメータである、
ことを特徴とする付記１乃至４のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
（付記７）
設計パラメータの組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する設計支援方法において、
所定組数の前記設計パラメータのサンプルの組に対する前記複数の目的関数の組を計算するサンプル組目的関数計算ステップと、
前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、前記目的関数を数式近似する目的関数近似ステップと、
該数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する目的関数間論理式計算ステップと、
該目的関数間論理式に基づいて、前記任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する可能領域表示ステップと、
該可能領域の表示に基づいて設計支援を行う設計支援ステップと、
を含むことを特徴とする数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
（付記８）
前記設計支援ステップにおいて、前記可能領域表示ステップにて表示される可能領域から認識される前記目的関数のパレート境界に基づいて、該パレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して前記多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する、
ことを特徴とする付記７に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
（付記９）
前記目的関数近似ステップにおいて、前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組と
それに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、重回帰分析により、前記目的関数を重回帰式により多項式近似する、
ことを特徴とする付記７又は８のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
（付記１０）
前記目的関数間論理式計算ステップにおいて、前記数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、限量記号消去法により前記設計パラメータの変数を消去して前記目的関数間論理式を計算する、
ことを特徴とする付記７乃至９のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
（付記１１）
前記目的関数間論理式計算ステップにおいて、前記設計パラメータのサンプルの組のうち対象となる前記目的関数に関するパレート境界付近の複数の中心点のそれぞれに対応する前記各設計パラメータのサンプルの組と該各中心点からの各動き幅に関する各制約条件を個別に満たすように、複数の前記目的関数間論理式をそれぞれ計算し、
前記可能領域表示ステップにおいて、前記目的関数間論理式計算ステップにて計算された複数の前記目的関数間論理式のそれぞれに基づいて複数の前記可能領域を重ねて表示する、
ことを特徴とする付記７乃至１０のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
（付記１２）
前記設計パラメータは、ハードディスク磁気記憶装置のスライダ部の形状を決定するためのパラメータである、
ことを特徴とする付記７乃至１１のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
（付記１３）
設計パラメータの組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援するコンピュータに、
所定組数の前記設計パラメータのサンプルの組に対する前記複数の目的関数の組を計算するサンプル組目的関数計算機能と、
前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、前記目的関数を数式近似する目的関数近似機能と、
該数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する目的関数間論理式計算機能と、
該目的関数間論理式に基づいて、前記任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する可能領域表示機能と、
該可能領域の表示に基づいて設計支援を行う設計支援機能と、
を実現させるためのプログラム。
（付記１４）
前記設計支援機能において、前記可能領域表示機能にて表示される可能領域から認識される前記目的関数のパレート境界に基づいて、該パレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して前記多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する、
ことを特徴とする付記１３に記載のプログラム。
（付記１５）
前記目的関数近似機能において、前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、重回帰分析により、前記目的関数を重回帰式により多項式近似する、
ことを特徴とする付記１３又は１４のいずれか１項に記載のプログラム。
（付記１６）
前記目的関数間論理式計算機能において、前記数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、限量記号消去法により前記設計パラメータの変数を消去して前記目的関数間論理式を計算する、
ことを特徴とする付記１３乃至１５のいずれか１項に記載のプログラム。
（付記１７）
前記目的関数間論理式計算機能において、前記設計パラメータのサンプルの組のうち対象となる前記目的関数に関するパレート境界付近の複数の中心点のそれぞれに対応する前記各設計パラメータのサンプルの組と該各中心点からの各動き幅に関する各制約条件を個別に満たすように、複数の前記目的関数間論理式をそれぞれ計算し、
前記可能領域表示機能において、前記目的関数間論理式計算機能にて計算された複数の前記目的関数間論理式のそれぞれに基づいて複数の前記可能領域を重ねて表示する、
ことを特徴とする付記１３乃至１６のいずれか１項に記載のプログラム。
（付記１８）
前記設計パラメータは、ハードディスク磁気記憶装置のスライダ部の形状を決定するためのパラメータである、
ことを特徴とする付記１３乃至１７のいずれか１項に記載のプログラム。

本発明の実施形態の機能ブロック構成図である。 本発明の実施形態の全体処理の動作フローチャートである。 数式処理による可能領域表示の動作フローチャート（その１）である。 数式処理による可能領域表示の動作フローチャート（その２）である。 入力パラメータサンプル組１０７とそれに対応する各目的関数値の例を示す図である。 可能領域表示の例（その１）を示す図である。 可能領域表示の例（その２）を示す図である。 入力パラメータの中心範囲指定動作の説明図である。 可能領域表示の例（その３）を示す図である。 可能領域表示の課題の説明図である。 可能領域表示の改良方式の説明図である。 数式処理による可能領域表示の動作フローチャート（その３）である。 可能領域表示の例（その４）を示す図である。 可能領域表示の例（その５）を示す図である。 本発明の実施形態によるシステムを実現できるコンピュータのハードウェア構成の一例を示す図である。 ハードディスクのスライダの説明図である。 スライダ形状のパラメータの説明図である。 従来技術の動作フローチャートである。

符号の説明

１０１ 浮上実計算実行部
１０２ 目的関数多項式近似部
１０３ ＱＥ計算部
１０４ 可能領域表示部
１０５ 単目的関数最適化部
１０６ 浮上実計算最適化部
１０７ 入力パラメータサンプル組
１０８ 入力パラメータ組
１０９ 最適スライダ形状パラメータ組
１５０１ ＣＰＵ
１５０２ メモリ
１５０３ 入力装置
１５０４ 出力装置
１５０５ 外部記憶装置
１５０６ 可搬記録媒体駆動装置
１５０７ ネットワーク接続装置
１５０８ バス
１５０９ 可搬記録媒体
１６０１ スライダ
１６０２ アクチュエータ
１６０３ フライハイト
１６０４ ロール
１６０５ ピッチ

Claims (10)

1. 設計パラメータの組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する設計支援装置において、
   所定組数の前記設計パラメータのサンプルの組に対する前記複数の目的関数の組を計算するサンプル組目的関数計算手段と、
   前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、前記目的関数を数式近似する目的関数近似手段と、
   該数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する目的関数間論理式計算手段と、
   該目的関数間論理式に基づいて、前記任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する可能領域表示手段と、
   該可能領域の表示に基づいて設計支援を行う設計支援手段と、
   を含むことを特徴とする数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
2. 前記設計支援手段は、前記可能領域表示手段が表示する可能領域から認識される前記目的関数のパレート境界に基づいて、該パレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して前記多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する、
   ことを特徴とする請求項１に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
3. 前記目的関数近似手段は、前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、重回帰分析により、前記目的関数を重回帰式により多項式近似する、
   ことを特徴とする請求項１又は２のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
4. 前記目的関数間論理式計算手段は、前記数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、限量記号消去法により前記設計パラメータの変数を消去して前記目的関数間論理式を計算する、
   ことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
5. 前記目的関数間論理式計算手段は、前記設計パラメータのサンプルの組のうち対象となる前記目的関数に関するパレート境界付近の複数の中心点のそれぞれに対応する前記各設計パラメータのサンプルの組と該各中心点からの各動き幅に関する各制約条件を個別に満たすように、複数の前記目的関数間論理式をそれぞれ計算し、
   前記可能領域表示手段は、前記目的関数間論理式計算手段が計算した複数の前記目的関数間論理式のそれぞれに基づいて複数の前記可能領域を重ねて表示する、
   ことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
6. 前記設計パラメータは、ハードディスク磁気記憶装置のスライダ部の形状を決定するためのパラメータである、
   ことを特徴とする請求項１乃至５のいずれか１項に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援装置。
7. 設計パラメータの組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、
   その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する設計支援方法において、
   所定組数の前記設計パラメータのサンプルの組に対する前記複数の目的関数の組を計算するサンプル組目的関数計算ステップと、
   前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、前記目的関数を数式近似する目的関数近似ステップと、
   該数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する目的関数間論理式計算ステップと、
   該目的関数間論理式に基づいて、前記任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する可能領域表示ステップと、
   該可能領域の表示に基づいて設計支援を行う設計支援ステップと、
   を含むことを特徴とする数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
8. 前記設計支援ステップにおいて、前記可能領域表示ステップにて表示される可能領域から認識される前記目的関数のパレート境界に基づいて、該パレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して前記多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する、
   ことを特徴とする請求項７に記載の数式処理技法を用いた多目的最適化設計支援方法。
9. 設計パラメータの組を複数入力して、所定の計算に基づいて複数の目的関数を計算し、その複数の目的関数に対して多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援するコンピュータに、
   所定組数の前記設計パラメータのサンプルの組に対する前記複数の目的関数の組を計算するサンプル組目的関数計算機能と、
   前記所定組数の設計パラメータのサンプルの組とそれに対応して計算された複数の目的関数の組とに基づいて、前記目的関数を数式近似する目的関数近似機能と、
   該数式近似された複数の目的関数のうちの任意の２つ又は３つの目的関数について、それらの間の論理関係を示す論理式を目的関数間論理式として計算する目的関数間論理式計算機能と、
   該目的関数間論理式に基づいて、前記任意の２つ又は３つの目的関数の値がとり得る領域を可能領域として表示する可能領域表示機能と、
   該可能領域の表示に基づいて設計支援を行う設計支援機能と、
   を実現させるためのプログラム。
10. 前記設計支援機能において、前記可能領域表示機能にて表示される可能領域から認識される前記目的関数のパレート境界に基づいて、該パレート境界近傍に対応する設計パラメータの組に限定して前記多目的最適化処理を実行することにより、最適な設計パラメータの組の決定を支援する、
    ことを特徴とする請求項９に記載のプログラム。