JP2009193339A - 不均質材料モデルの作成方法、この方法を用いた不均質材料のシミュレーション方法、不均質材料モデルの作成装置及び不均質材料のシミュレーション装置 - Google Patents

Abstract

【課題】マトリックス材料に粒子が分散した複合材料のモデルを作成するとき、従来と同等の計算結果が得られ、短時間に効率よくモデルを作成する方法、装置を提供する。
【解決手段】コンパウンドゴム全体の領域をメッシュ分割した第１のメッシュモデルと、分散するフィラー粒子の領域をメッシュ分割した第２のメッシュモデルと、を作成し、第２のメッシュモデルを、第１のメッシュモデルに配置する。第２のメッシュモデルの要素と第１のメッシュモデルの要素が重なる領域では、第２のメッシュモデルの重なった要素の節点の変位を、第１のメッシュモデルの重なった要素の節点の変位を用いて拘束する。さらに、第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値と、第２のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、フィラー粒子の持つ材料定数の値に近似するように、材料定数を与える。
【選択図】 図２

Description

本発明は、ポリマー等の第１の材料にフィラー等の第２の材料が配置された不均質材料のモデルを作成する不均質材料モデルの作成方法、及びこの方法を用いた不均質材料のシミュレーション方法、不均質材料モデルの作成装置及び不均質材料のシミュレーション装置に関する。

最近、有限要素法を用いた複合材料の力学的シミュレーションが種々提案されている。特に、ゴム等のマトリックス材料中に、カーボンブラックやシリカ等の充填剤（以降、フィラー粒子という）を分散させたコンパウンド等のモジュラスや粘弾性特性等の力学的特性をシミュレーションし解析することが提案されている。

下記特許文献１では、ゴム材料を、数値解析が可能な要素でモデル化したゴム材料モデルを設定し、ゴム材料モデルにシミュレーション条件を設定して変形計算を行い、変形計算から必要な物理量を取得するゴム材料のシミュレーション方法が記載されている。このとき、ゴム材料モデルとして、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、フィラー粒子をモデル化したフィラーモデルと、マトリックスモデルとフィラーモデルとの間の界面を形成する界面モデルとを含み、界面モデルは、フィラーモデルを連続して取り囲みかつ厚さを有するとともにマトリックスモデルとは異なる粘弾性特性が定義されているモデルが使用される。

特許第３６６８２３号公報

しかし、特許文献１に記載のゴム材料モデルは、マトリックスモデル、界面モデル、及びフィラーモデルが存在し、このモデルの形状にあわせて細かくメッシュ分割されている。このため、ゴム材料モデルは複雑であり、モデルの作成に時間を要する。また、メッシュの自動分割を行った場合、分割してできる各要素の形状がいびつになり、また、各要素の大きさもばらばらになる場合もある。このとき、上記いびつな要素や大きさの異なる要素を修正するために自動分割されたメッシュをオペレータが手動で修正する必要があり、モデルの作成に時間を要する。このため上記特許文献１の方法は、シミュレーションを行うためにモデルを作成するとき処理効率の点で問題がある。

そこで、本発明は、上記問題点を解決するために、第１の材料に第２の材料が配置された不均質材料のモデルを作成するとき、短時間に効率よくモデルを作成することができる不均質材料モデルの作成方法、及びこの方法を用いた不均質材料のシミュレーション方法、不均質材料モデルの作成装置及び不均質材料のシミュレーション装置を提供することを目的とする。

本発明は、第１の材料に第２の材料が配置された不均質材料のモデルを作成する不均質材料モデルの作成方法であって、前記第１の材料及び前記第２の材料を含んだ不均質材料全体の領域をメッシュ分割することにより複数の要素から構成される第１のメッシュモデルと、前記第２の材料の領域をメッシュ分割することにより複数の要素から構成される第２のメッシュモデルと、を作成するステップと、前記不均質材料を再現するために、前記第２のメッシュモデルを、前記第１のメッシュモデルに配置し、このとき第２のメッシュモデルの要素と前記第１のメッシュモデルの要素の重なりを調べ、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を、前記第１のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を拘束するステップと、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに、材料定数を与えることにより、不均質材料モデルを作成するステップと、を有し、前記第１のメッシュモデルの重なった前記要素に与える材料定数の値と、前記第２のメッシュモデルの重なった前記要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに材料定数を与えることを特徴とする不均質材料モデルの作成方法を提供する。

その際、前記第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値と、前記第２のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に一致するように、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに材料定数を与えることが好ましい。
このとき、前記第２の材料が持つ材料定数は、前記第１の材料定数が持つ材料定数に比べて値が大きく、前記第１のメッシュモデルに与える材料定数として、前記第１の材料が持つ材料定数の値を与え、前記第２のメッシュモデルに与える材料定数として、前記第２の材料が持つ材料定数の値から前記第１の材料が持つ材料定数の値を差し引いた値を与えることが好ましい。

さらに、前記第２のメッシュモデルの要素のうち縁に位置する要素に与える材料定数の値は、前記第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように与えられ、前記第２のメッシュモデルの要素のうち縁に位置する要素と重ならず、内側の要素と重なる前記第１のメッシュモデルの要素は消去され、前記第２のメッシュモデルの前記内側の要素には、材料定数として、前記第２の材料が持つ材料定数の値が与えられることが好ましい。

また、前記第２のメッシュモデルは複数作成され、このうちの第２のメッシュモデルＡと第２のメッシュモデルＢが重なるとき、前記第２のメッシュモデルＡの重なった要素を定める節点の変位を、前記第２のメッシュモデルＢの重なった要素を定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルＡの重なった要素を定める節点の変位を拘束し、前記第２のメッシュモデルＡ及びＢの要素に付与される材料定数の値の和は、前記第２の材料が持つ材料定数の値に近似する値であることが好ましい。

さらに、前記第２のメッシュモデルは複数作成され、このうちの第２のメッシュモデルＣと第２のメッシュモデルＤが重なるとき、前記第２のメッシュモデルＣの縁に位置する、重なった要素ｃを定める節点の変位を、前記第２のメッシュモデルＤの、前記要素ｃと重なった要素ｄを定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルＣの重なった要素ｃを定める節点の変位を拘束し、前記第２のメッシュモデルＣの縁に位置する、重なった要素ｃに与える材料定数の値は、第２のメッシュモデルＤの重なった要素ｄに与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように、与えられ、前記第２のメッシュモデルＤの要素ｆが前記第２のメッシュモデルＣの前記要素ｃと重ならず、内側の要素ｅと重なるとき、前記第２のメッシュモデルＤの前記要素ｆは消去され、前記第２のメッシュモデルＣの前記要素ｅには、材料定数として、前記第２の材料が持つ材料定数の値が与えられることが好ましい。

なお、前記不均質材料は、例えば、ゴムコンパウンドであり、前記第１の材料は、例えば、ポリマーであり、前記第２の材料は、例えば、ゴムコンパウンドに用いる充填剤である。

さらに、本発明は、前記不均質材料モデルの作成方法で作成された不均質材料モデルに対して、所定の位置に強制変位あるいは外力を与えることにより、不均質材料の力学変形のシミュレーションを行うことを特徴とする不均質材料のシミュレーション方法を提供する。

また、本発明は、第１の材料に第２の材料が配置された不均質材料のモデルを作成する不均質材料モデルの作成装置であって、前記第１の材料及び前記第２の材料を含んだ不均質材料全体の領域をメッシュ分割することにより、複数の要素から構成される第１のメッシュモデルと、前記第２の材料をメッシュ分割することにより、複数の要素から構成される第２のメッシュモデルとを作成する手段と、前記不均質材料を再現するために、前記第２のメッシュモデルを、前記第１のメッシュモデルに配置し、このとき第２のメッシュモデルの要素と前記第１のメッシュモデルの要素の重なりを調べ、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を、前記第１のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を拘束する手段と、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに、材料定数を与えることにより、不均質材料モデルを作成する手段と、を有し、前記不均質材料モデルを作成する手段は、前記第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値と、前記第２のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに材料定数を与えることを特徴とする不均質材料モデルの作成装置を提供する。

本発明は、前記不均質材料モデルの作成装置で作成された不均質材料モデルに対して、所定の位置に強制変位あるいは外力を与えることにより、不均質材料の力学変形のシミュレーションを行うことを特徴とする不均質材料のシミュレーション装置を提供する。

本発明では、第１のメッシュモデルと別に作成した第２のメッシュモデルを第１のメッシュモデルに配置し、そのとき、第１のメッシュモデルと重なった第２のメッシュモデルの要素を定める節点の変位を、第１のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を用いて拘束する。さらに、第１のメッシュモデル及び第２のメッシュモデルに、材料定数を与えるとき、第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値と、第２のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように材料定数を与える。このため、シミュレーション結果については、従来と同等の結果を得ることができる。さらに、第１のメッシュモデル及び第２のメッシュモデルの作成においては、第２の材料の配置の影響を受けることなく自由にメッシュ分割することができるので、従来のように、第２の材料の配置に依存して各要素の形状がいびつになったり、各要素の大きさがばらばらになることはない。また、第１のメッシュモデルは、第２の材料の配置に合わせることなく、矩形領域とすることができ、しかも、ボクセル型の単純なメッシュに分割できるので、メッシュ分割も短時間にできる。したがって、短時間に効率よくモデルを作成することができる。

以下、添付の図面に示す実施形態に基づいて、本発明の不均質材料のシミュレーション方法、不均質材料モデルの作成装置及び不均質材料のシミュレーション装置を詳細に説明する。

図１は、本発明の不均質材料モデルの作成方法及び不均質材料のシミュレーション方法を実施する不均質材料シミュレーション装置の一形態の構成を示す図である。
図１に示すシミュレーション装置１０は、マトリックス材料中にカーボンやシリカ等のフィラー粒子が分散配置したコンパウンドモデル等の不均質材料のモデルを作成し、この作成した不均質材料のモデルを用いて、所定のシミュレーション条件で不均質材料の力学変形挙動を再現することにより、不均質材料の力学特性を算出するものである。

シミュレーション装置１０は、ＣＰＵ１２、メモリ１４および入出力ポート１６を有して構成されるコンピュータで構成された装置である。メモリ１４に記憶されたプログラムを起動させることにより条件設定部１８、モデル作成部２０、シミュレーション演算部２２及び力学特性算出部２４がコンピュータ上に形成されて、シミュレーション装置１０が構成される。ＣＰＵ１２は、条件設定部１８、モデル作成部２０、シミュレーション演算部２２及び力学特性算出部２４の各処理の管理及び制御を行い、各部分の処理の実質的な計算を行う部分である。
入出力ポート１６には、プリンタ２５、ディスプレイ２６及び入力操作系２８が接続されている。

条件設定部１８は、後述するシミュレーション演算部２２で行う有限要素法を用いて、ゴムや樹脂等のマトリックス材料中にカーボンブラックやシリカ等のフィラー粒子が分散したコンパウンドモデル（不均質材料のモデル）のシミュレーション演算を行うために、マトリックス材料やフィラー粒子の材料定数、フィラー粒子の位置情報、モデル作成方法・材料定数指示情報の他、シミュレーションを行うための外力や強制変位の与え方を定めたシミュレーション条件等を設定する部分である。
具体的には、オペレータが、ディスプレイ２６に表示された入力画面を見ながら、マウスやキーボード等の入力操作系２８を用いて指示入力した情報に基づいて、材料定数、フィラー粒子の位置情報、あるいは、後述するモデル作成方法・材料定数指示情報、さらにはシミュレーション条件等が設定される。設定された材料定数、位置情報、モデル作成情報、シミュレーション条件等は、メモリ１４に記憶される。フィラー粒子の位置情報には、例えば、フィラー粒子の形状を円形形状や楕円形状とした場合、円や楕円の中心点の位置の情報が含まれる。この位置情報は、後述するように、マトリックスモデル上に粒子モデルを配置するときに用いられる。又、モデル作成方法・材料定数指示情報には、コンパウンドモデルを構成するマトリックスモデルとフィラーモデルの作成方法及び材料定数の与え方等を定めるために複数の選択肢から選択された番号の情報が含まれる。

モデル作成部２０は、メモリ１４から材料定数、位置情報、モデル作成方法・材料定数指示情報等を呼び出して、マトリックスモデル及びフィラーモデルを別々に作成し、この後、マトリックスモデル上にフィラーモデルを配置して、フィラーモデルとマトリックスモデルとの重なった双方の部分に対して、モデル作成方法・材料定数指示情報で設定された指示内容に応じて、モデルの修正処理を施し、さらに、モデル作成方法・材料定数指示情報で設定された指示内容に応じて材料定数をフィラーモデル及びマトリックスモデルに与えて、実行可能なコンパウンドモデルを作成する部分である。
モデル作成部２０のモデル作成方法については後述する。モデルの生成とは、コンピュータ上で、有限要素モデルを構成する節点の位置情報、節点の番号、要素番号等の情報及び各要素の材料定数がまとめられたファイルが作成されることをいう。

シミュレーション演算部２２は、実行可能なコンパウンドモデルを用いて、シミュレーション条件を与えることで、例えば強制変位や外力をコンパウンドモデルの所定の節点に与えることで、公知の有限要素法を用いてシミュレーション演算を行う部分である。シミュレーション演算によって得られる、変形したコンパウンドモデルは、メモリ１４に記憶される。

力学特性算出部２４は、メモリ１４に記憶された変形したコンパウンドモデルの演算結果を呼び出して、コンパウンドモデル全体の力学挙動のパラメータを算出する部分である。力学特性を線形特性として表す場合、例えばヤング率やせん断剛性等の値が算出され、非線形特性として表す場合、例えば超弾性ポテンシャルの各パラメータの値が算出される。

シミュレーション演算前のコンパウンドモデル、シミュレーション演算後のコンパウンドモデル、各有限要素に作用する応力や歪みの分布、あるいは、力学特性の算出値が、プリンタ２５あるいはディスプレイ２６に出力される。

図２は、シミュレーション装置１０で実施されるシミュレーション方法のフローを示す図である。
まず、コンパウンドモデルの作成のための条件及びシミュレーション演算を行うための条件が、条件設定部１８で設定される（ステップＳ１００）。具体的には、マトリックス材料やフィラー粒子の材料定数、フィラー粒子の位置情報、モデル作成方法・材料定数指示情報、シミュレーション条件等が設定される。オペレータが、指示入力した情報に基づいて、各種情報及びシミュレーション条件等が設定され、メモリ１４に記憶される。モデル作成方法・材料定数指示情報とは、後述する２つのモデルの重なりをどのように修正するか、あるいは２つのモデルの重なった部分に材料定数をどのように与えるか、といった情報である。

次に、モデル作成部２０において、フィラー粒子の領域を含んだマトリックス材料を表すマトリックスメッシュモデルと、フィラー粒子を再現するフィラーメッシュモデルが別々に作成される（ステップＳ１１０）。
図３（ａ）は、正方形形状のマトリックス材料３０にフィラー粒子３２が１つ配置される例を示している。以降の説明では、図３（ａ）に示す例を用いてモデル化することを説明する。
図３（ａ）に示すコンパウンド全体の正方形領域３４、すなわちマトリックス材料３０の領域及びフィラー粒子３２の領域を含んだ全体の領域を、図３（ｂ）に示すように、等間隔の分割線で縦方向、横方向に分割したボクセル型メッシュモデルがマトリックスメッシュモデル３６として作成される。本発明においては、このマトリックスメッシュモデル３６が第１のメッシュモデルに対応する。マトリックスメッシュモデル３６は、ボクセル型である必要は無い。自動メッシュにより作成されてもよい。しかし、マトリックスモデル３６を均一なメッシュサイズで、同じ形状で作成することで、メッシュ分割に依存しないシミュレーション結果が得られる点で好ましい。

一方、フィラー粒子３２の円形状の領域を、図３（ｃ）に示すようにメッシュ分割したフィラーメッシュモデル３８が作成される。本発明においては、フィラーメッシュモデル３８は、第２のメッシュモデルに対応する。フィラーメッシュモデル３８を作成するためのメッシュ分割は、自動分割でもよいし、オペレータの指示入力に基づいて設定された手順に従ってメッシュ分割されてもよい。
マトリックスメッシュモデル３６及びフィラーメッシュモデル３８は、コンピュータ上は、有限要素モデルを構成する節点の位置情報、節点の番号、要素番号等の情報がファイルにまとめられて構成されたものである。

次に、モデル作成部２０において、作成されたマトリックスメッシュモデル３６上にフィラーメッシュモデル３８が配置される（ステップＳ１２０）。図３（ｄ）は、マトリックスメッシュモデル３６上にフィラーメッシュモデル３８が配置された状態を示している。フィラーメッシュモデル３８は、メモリ１４から呼び出されたフィラー粒子の位置情報に基づいて配置される。

次に、モデル作成部２０において、フィラーメッシュモデル３８の配置されたマトリックスメッシュモデル３６に対して、マトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８の各要素間の重なりが、モデルを構成する節点の位置座標及び要素の情報を用いて調べられる（ステップＳ１３０）。
具体的には、フィラーメッシュモデル３８の各要素を定める節点が、マトリックスメッシュモデル３６の要素中に含まれるか否かが調べられる。
この結果として、フィラーメッシュモデル３８の重なった要素の節点の情報と、マトリックメッシュモデル３６の重なった要素を定める節点の情報とが得られる。

次に、フィラーメッシュモデル３８の重なった要素の節点の変位は、マトリックメッシュモデル３６の重なった要素を定める節点の変位を用いた式で関係付けられる（ステップＳ１４０）。これによって、フィラーメッシュモデル３８の重なった要素の節点の自由度がシミュレーション演算において拘束される。このように、フィラーメッシュモデル３８の、マトリックスメッシュモデル３６と重なった部分の節点を、マトリックスメッシュモデル３６の節点に拘束するのは、フィラーメッシュモデル３８とマトリックスメッシュモデル３６を別々に作成しているため、シミュレーション演算において別々に振舞う変形挙動が生じないようにする必要があるからである。

図４（ａ）には、フィラーメッシュモデル３２の重なった要素の節点の変位を、マトリックメッシュモデル３６の重なった要素を定める節点の変位を用いた式で関係付ける処理方法の例が示されている。図４（ａ）中、節点５０は、フィラーメッシュモデル３６の重なった要素の節点であり、節点５１〜５４は、マトリックメッシュモデル３６の重なった要素を定める節点である。節点５０の変位をｕ₀で表し、節点５１〜５４の変位をｕ₁，ｕ₂，ｕ₃，ｕ₄で表す。
この場合、節点５１，５２，５３，５４の位置情報と、節点５０の後述する変換Ｔによる投影先の位置情報を用いて、以下に示す方法により重み係数ｗ_i（ｉ＝５１〜５４の整数）が求められる。
節点５１，５２，５３，５４で形成される要素の面上の物理空間上の形状を、所定のパラメトリック空間上の単位セル形状に形状変換を施したものとして定めることにより、節点５０の、単位セル形状内における対応点の位置情報を求め、この位置情報および形状関数を用いて重み係数を求める。

具体的には重み係数ｗ_iを算出する際に用いる変換Ｔを説明する。この変換Ｔは、上記節点５１，５２，５３，５４とこれらの節点間を結ぶ線分によって形成される物理空間上の四角形を、パラメトリック空間上の基準形状（単位セル形状）、例えば一辺の長さが２の正方形に変換する。節点５１，５２，５３，５４は正方形の各頂点（頂点５５，５６，５７，５８）に、四角形の各辺は正方形の各辺に、四角形の内部領域は正方形の内部領域に写像される。また、この逆変換Ｔ^−１により上記正方形を節点５１，５２，５３，５４によって形成される四角形に変換し、正方形の内部領域は四角形の内部領域に、正方形の各頂点は四角形の各節点に、四角形の各辺は正方形の各辺に写像される。すなわち、変換Ｔは、物理空間における有限要素の面の４角形形を、パラメトリック空間における正方形に一対一に写像する。
したがって、変換Ｔにより、節点５０に対する対応点である、パラメトリック空間の正方形上における対応点６０を求めることができる。

より具体的には、後述する形状関数Ｎ_１（ｒ，ｓ），Ｎ_２（ｒ，ｓ），Ｎ_３（ｒ，ｓ），Ｎ_４（ｒ，ｓ）を用いて、物理空間（Ｘ−Ｙ座標空間）における位置座標（ｘ，ｙ）を下記式（１）を用いて位置座標（ｒ、ｓ）と対応づけることができる。ここで、ｘ_１，ｙ_１，ｘ_２，ｙ_２，ｘ_３，ｙ_３，ｘ_４，ｙ_４は、それぞれ、節点５１，５２，５５，５４の位置座標である。
なお、上記パラメトリック空間上の基準形状として正方形を用いているが、３角形の形状であってもよく、本発明において基準形状は正方形に限定されない。また、本発明では、２次元形状で表されるモデルの境界線を変換Ｔにて変換するものであるが、３次元形状で表されるモデルの場合前記境界線は境界面となり、この場合パラメトリック空間上の基準形状は面となる。したがって、この場合、変換Ｔによりモデルの境界面はパラメトリック空間上の基準形状である面へ変換される。

ここで、形状関数Ｎ_１（ｒ，ｓ），Ｎ_２（ｒ，ｓ），Ｎ_３（ｒ，ｓ），Ｎ_４（ｒ，ｓ）は、図５（ａ）〜（ｄ）に定義される関数である。ここで、式（１）中のマトリクスをＭとすると、このマトリクスＭの成分が上述した各節点における重み係数となる。具体的には、節点５０の、位置座標（ｘ_１，ｙ_１）の節点５１に対する重み係数は、節点５０のパラメトリック空間座標における対応点６０の位置座標を（ｒ_０，ｓ_０）としてＮ_１（ｒ_０，ｓ_０）となる。
このようにして、重み係数ｗ_iが算出される。

次に、拘束される節点５０の変位ｕ₀を、節点５１〜５４の変位と重み係数ｗ_i（ｉ＝５１〜５４）とを用いて表す拘束式が設定される。この拘束式の例が下記式（２）に示されている。
節点５１，５２，５３，５４の変位、例えばＸ方向の変位をｕ₁，ｕ₂，ｕ₃，ｕ₄とすると、節点５０におけるＸ方向の変位ｕ₀は下記式（２）のように定める。
ｕ₀ ＝ｗ₅₁×ｕ₅₁＋ｗ₅₂×ｕ₅₂＋ｗ₅₃×ｕ₅₃＋ｗ₅₄×ｕ₅₄ （２）

上記式（２）に示すように、フィラーメッシュモデル３８の重なった要素の節点５０の変位ｕ₀を、マトリックメッシュモデル３６の重なった要素を定める節点５１〜５４の変位ｕ₁，ｕ₂，ｕ₃，ｕ₄を用いて表すことができる。式（２）に示すような拘束条件の式は、重なる要素の節点毎に作られ、後述する有限要素法を用いたシミュレーションにおいて、節点の変位を拘束する式として、剛性マトリックスに組み込まれる。

次に、フィラーメッシュモデル３８が複数作成されて、フィラーメッシュモデル３８同士が重なる場合を想定して、フィラーメッシュモデル３８間の重なりが調査される（ステップＳ１６０）。
フィラーメッシュモデル３８同士の重なりの調査は、ステップＳ１３０と同様に行われるので、その説明は省略する。
次に、一方のフィラーメッシュモデル３８の重なった要素の節点の変位を、他方のフィラーメッシュモデル３８の重なった要素の節点の変位を用いて表す式で関係付けられる（ステップＳ１７０）。これによって、フィラーメッシュモデル３８同士の重なった要素の節点の自由度がシミュレーション演算において拘束される。この関係付けは、ステップＳ１４０と同様の方法で行われるので、その説明は省略する。
このように、フィラーメッシュモデル同士が重なった部分の節点は、他方のフィラーメッシュモデルの節点に拘束されるのは、フィラーメッシュモデル同士を別々に作成しているため、シミュレーション演算において別々に振舞う変形挙動が生じないようにする必要があるからである。

次に、作成されたマトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８とに材料定数が付与される（ステップＳ１８０）。
材料定数の付与は、コンピュータ上、マトリックスメッシュモデル３６、フィラーメッシュモデル３８のファイルに、材料定数の値が書き込まれることをいう。
フィラーメッシュモデル３８と重ならないマトリックスモデル３６の要素には、マトリックス材料が持つ材料定数の値が付与される。マトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８との重なる部分の要素には、付与される材料定数の値の和が、フィラー粒子が持つ材料定数の値に略近似されるように、値が付与される。略近似とは、フィラー粒子が持つ材料定数の値の９５％〜１０５％の範囲をいう。好ましくは、フィラー粒子が持つ材料定数の値に一致するようにマトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８との重なる部分の要素に付与される。このとき、マトリックスメッシュモデル３６の要素とフィラーメッシュモデル３８の要素にどのように分配して材料定数の値を付与するかは特に制限されないが、例えば、マトリックスメッシュモデル３６の要素にマトリックス材料の持つ材料定数の値Ｘが付与され、フィラーメッシュモデル３８の要素にフィラー粒子の持つ材料定数の値Ｙからマトリックス材料の持つ材料定数の値Ｘを差し引いた値（Ｙ−Ｘ）が付与される。

こうして、材料定数の値が付与されたマトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８は、シミュレーション演算に供される（ステップＳ１９０）。シミュレーション演算では、まず、ステップ１４０及びステップＳ１７０で作成された拘束条件の式が、マトリックスメッシュモデル３６及びフィラーメッシュモデル３８の剛性マトリックスに加えられて１つの剛性マトリックスとして統合される。この統合した剛性マトリックスと、メモリ１４から呼び出されたシミュレーション条件とを用いて、所定の位置に強制変位あるいは外力を与えるシミュレーション演算が行われる。シミュレーション方法は、本発明において特に限定されず、公知の有限要素法による計算方法を用いることができる。
こうしてシミュレーションで得られた結果は、メモリ１４に記憶される。あるいは、シミュレーションにより得られたマトリックスメッシュモデル３６及びフィラーメッシュモデル３８の変形結果や歪み分布や応力分布等の情報は、プリンタ２５やディスプレイ２６に出力される。

最後に、力学特性算出部２４において、シミュレーション演算により変形したマトリックスメッシュモデル３６及びフィラーメッシュモデル３８の結果が呼び出され、各節点の変位や作用する力から、マトリックスメッシュモデル３６及びフィラーメッシュモデル３８で再現したコンパウンドの力学特性の値が算出される（ステップＳ２００）。力学特性は、例えばコンパウンド全体の見かけ上のヤング率、せん断剛性や、超弾性ポテンシャルで表したときの各種パラメータの値を含む。
算出された値は、プリンタ２５やディスプレイ２６に出力されて、プリントアウトあるいは画面表示に供される。

なお、上記実施形態では、マトリックスメッシュモデル３６の要素と重なったフィラーメッシュモデル３８の要素の節点の変位を、マトリックスメッシュモデル３６の重なった要素の節点の変位に拘束し、さらに、２つのフィラーメッシュモデル３８の要素同士が重なったとき、一方の要素の節点の変位を、他方の要素の節点の変位に拘束したが、本発明では、以下のように拘束することもできる。

フィラーメッシュモデル（第２のメッシュモデル）３８の要素のうち縁（エッジ）に位置する要素に与える材料定数の値は、マトリックスメッシュモデル（第１のメッシュモデル）３６の、フィラーメッシュモデル（第２のメッシュモデル）３８と重なった要素に与える材料定数の値との和が、フィラー粒子の持つ材料定数の値に近似、好ましくは一致するように与えられることが好ましい。このとき、フィラーメッシュモデル３８の要素のうち縁に位置する要素と重ならず、内側の要素と重なるマトリックスメッシュモデル３６の要素は消去されるとよい。さらに、フィラーメッシュモデル３８の内側の要素には、材料定数として、フィラー粒子の材料が持つ材料定数の値が与えられるとよい。
すなわち、フィラーメッシュモデル３８の縁に位置する要素と重ならず、内側の要素と重なるマトリックスメッシュモデル３６の要素は消去し、消去した要素に対応するフィラーメッシュモデル３８の内側の要素には、フィラー粒子の持つ材料定数の値を与えるとよい。この方法では、フィラーメッシュモデル３８の縁以外の要素にフィラー粒子が持つ材料定数の値が与えられるので、正確なシミュレーション計算を行うことができる。

図６（ａ）は、マトリックスメッシュモデル３６にフィラーメッシュモデル３８が重なっている部分の一部を示している図である。フィラーメッシュモデル３８には、節点６４〜７１が記されている。また、符号７２は、フィラーメッシュモデル３８の縁を表している。ここで、節点６４〜６７で構成される要素７３は、フィラーメッシュモデル３８の縁に位置する要素である。この場合、節点６４〜６７のうち、節点６４，６５の位置は、マトリックスメッシュモデル３６の節点８０〜８３で構成される要素８８に含まれるので、節点６４，６５の変位は、節点８０〜８３の変位で拘束される。同様に、節点６６，６７は、マトリックスメッシュモデル３６の節点８２〜８５で構成される要素８９に含まれるので、節点６６，６７の変位は、節点８２〜８５の変位で拘束される。同様に、フィラーメッシュモデル３８の要素８９の節点６６〜６９の変位は、マトリックスメッシュモデル３６の要素８９の節点８２〜８５の変位で拘束される。
一方、マトリックスメッシュモデル３６の要素８８〜９０のうち、フィラーメッシュモデル３８の縁に位置する要素７３と重ならず、内部の要素７４または７５に重なる要素９０は、図６（ｂ）に示すように消去される。要素８９は、要素７３と部分的に重なるので、消去の対象とされない。

フィラーメッシュモデル３８同士が重なる場合も、同様の処理を行うことができる。すなわち、一方のフィラーメッシュモデル（フィラーメッシュモデルＣとする）３８の縁に位置する、重なった要素（要素ｃとする）を定める節点の変位を、他方のフィラーメッシュモデル（フィラーメッシュモデルＤとする）３８の、要素ｃと重なった要素（要素ｄとする）を定める節点の変位を用いて表すことにより、フィラーメッシュモデルＣの重なった要素ｃを定める節点の変位を拘束する。このとき、フィラーメッシュモデルＣの縁に位置する、重なった要素ｃに与える材料定数の値は、フィラーメッシュモデルＤの重なった要素ｄに与える材料定数の値との和が、フィラー粒子の持つ材料定数の値に近似するように、与えられるとよい。さらに、フィラーメッシュモデルＣの要素ｃと重ならず、内側の要素（要素ｅとする）と重なるフィラーメッシュモデルＤの要素は消去され、フィラーメッシュモデルＣの要素ｅには、材料定数として、フィラー粒子が持つ材料定数の値が与えられるとよい。

このように、本実施形態で作成されるモデルは、マトリックス材料を所定の矩形形状としてマトリックスメッシュモデル３６を作成し、フィラーメッシュモデル３８を別途作成し、その後、フィラーメッシュモデル３８をマトリックスメッシュモデル３６に配置する。そのとき、要素間の重なりを調べ、重なる一方の要素の節点を、重なる他方の要素の節点で拘束することにより、マトリックス材料中にフィラー粒子が分散したコンパウンドモデルを再現するモデルを作成する。このため、マトリックスメッシュモデル３６及びフィラーメッシュモデル３８は、フィラー粒子の分散配置の影響を受けることなく自由にメッシュ分割することができるので、従来のように、フィラー粒子の分散配置に依存して各要素の形状がいびつになったり、各要素の大きさがばらばらになることはない。また、マトリックスメッシュ領域は、矩形領域とし、ボクセル型の単純なメッシュに分割できるので、メッシュ分割も短時間にできる。したがって、短時間に効率よくモデルを作成することができる。

図７（ａ），（ｂ）は、本発明の方法により、効率よく短時間に作成されるコンパウンドのモデルが、従来の方法で作成されるコンパウンドのモデルと同等のシミュレーション結果を有するか否かを調べるために行ったシミュレーションを説明する図である。
図７（ａ）は、マトリックスメッシュモデル３６にフィラーメッシュモデル３８が配置された、本発明の方法によるコンパウンドモデルである。このモデルの左右両辺に位置する節点に、歪が１００％になるまで強制変位を増加させて与えた。すなわち、図中横方向に一軸伸張の引張りのシミュレーションを行った。
図７（ｂ）は、歪１００％状態のマトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８の変形状態を示している。モデル中には、最大主歪み分布が濃淡で表されている。

なお、マトリックスメッシュモデル３６とフィラーメッシュモデル３８の材料定数は、超弾性ポテンシャルを用いて定めた。超弾性ポテンシャルは、下記式（３）で示される公知のneo-Hookean型超弾性ポテンシャルＵを用いた。ここで、Ｉ₁は伸張状態によって決まる伸張比λによって表されたパラメータであり、Ｄは圧縮性を表すパラメータである。
Ｕ ＝ Ｃ₁₀（Ｉ₁−３）＋１／Ｄ （３）
Ｉ₁ ＝ λ₁ ²＋λ₂ ²＋λ₃ ² （λ₁、λ₂、λ₃は、３方向の伸張比をいう）
マトリックスメッシュモデル３６には、Ｃ₁₀＝０．０２（初期弾性率換算０．０４）、Ｄ＝０．５（ポアソン比換算略０．４９）を用い、フィラーメッシュモデル３８には、Ｃ₁₀＝０．１８（初期弾性率換算０．３６）、Ｄ＝０．０５５５（ポアソン比換算略０．４９）を用いた。

図８は、図７（ａ），（ｂ）に示すモデルで得られたシミュレーション結果を、従来のモデルで得られたシミュレーション結果と比較するグラフを示す。従来のモデルは、フィラー粒子の領域とマトリックス材料の領域を１つのモデルとして同時にメッシュ分割して作成したモデルである。材料定数は、neo-Hookean型超弾性ポテンシャルＵを用い、同様のパラメータの値を用いた。図８のグラフの横軸にはモデル全体の平均歪みを、縦軸にはモデル全体の平均応力を採ってプロットしている。
このグラフからわかるように、従来のモデルを用いたシミュレーション結果と本発明の方法により作成されたモデルのシミュレーション結果とは、概略同じ値を示す。これより、本発明の方法を用いて作成されたモデルのシミュレーション結果は、従来のモデルのシミュレーション結果と同等であることがわかった。
これより、本発明の方法は、従来のモデルの作成方法に比べて、短時間に効率よくモデルを作成でき、しかも、シミュレーション結果は、従来と同等であることがわかった。

以上、本発明の不均質材料のシミュレーション方法、不均質材料モデルの作成装置及び不均質材料のシミュレーション装置について詳細に説明したが、本発明は上記実施形態に限定されず、本発明の主旨を逸脱しない範囲において、種々の改良や変更をしてもよいのはもちろんである。

本発明の不均質材料のシミュレーション装置の一実施形態の構成を示す図である。 図１に示すシミュレーション装置で実施されるシミュレーション方法のフローを示す図である。 （ａ）〜（ｄ）は、本発明のシミュレーション方法で作成されるモデルの作成方法を説明する図である。 本発明のシミュレーション方法で用いる変換を説明する図である。 （ａ）〜（ｄ）は、本発明のシミュレーション方法で用いる変換に使用する形状関数を説明する図である。 （ａ），（ｂ）は、本発明の不均質材料のシミュレーション方法で用いる処理の一部を説明する図である。 （ａ），（ｂ）は、図２に示すシミュレーション方法で行うシミュレーションの一例を説明する図である。 図２に示す本発明のシミュレーション方法で得られた結果と、従来の方法で作成されたモデルで得られた結果の比較を示す図である。

符号の説明

１０ シミュレーション装置
１２ ＣＰＵ
１４ メモリ
１６ 入出力ポート
１８ 条件設定部
２０ モデル作成部
２２ シミュレーション演算部
２４ 力学特性算出部
２５ プリンタ
２６ ディスプレイ
２８ 入力操作系
３２ フィラー粒子
３４ 正方形領域
３６ マトリックスメッシュモデル
３８ フィラーメッシュモデル
５０，５１，５２，５３，５３，６４，６６，６７，６８，６９，７０，７１，８０，８１，８２，８３，８４，８５，８６，８７ 節点
５５，５６，５７，５８ 頂点
６０ 対応点
７２ 縁
７３，７４，７５，８８，８９，９０ 要素

Claims (10)

1. 第１の材料に第２の材料が配置された不均質材料のモデルを作成する不均質材料モデルの作成方法であって、
   前記第１の材料及び前記第２の材料を含んだ不均質材料全体の領域をメッシュ分割することにより複数の要素から構成される第１のメッシュモデルと、前記第２の材料の領域をメッシュ分割することにより複数の要素から構成される第２のメッシュモデルと、を作成するステップと、
   前記不均質材料を再現するために、前記第２のメッシュモデルを、前記第１のメッシュモデルに配置し、このとき第２のメッシュモデルの要素と前記第１のメッシュモデルの要素の重なりを調べ、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を、前記第１のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を拘束するステップと、
   前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに、材料定数を与えることにより、不均質材料モデルを作成するステップと、を有し、
   前記第１のメッシュモデルの重なった前記要素に与える材料定数の値と、前記第２のメッシュモデルの重なった前記要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに材料定数を与えることを特徴とする不均質材料モデルの作成方法。
2. 前記第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値と、前記第２のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に一致するように、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに材料定数を与える請求項１に記載の不均質材料モデルの作成方法。
3. 前記第２の材料が持つ材料定数は、前記第１の材料定数が持つ材料定数に比べて値が大きく、
   前記第１のメッシュモデルに与える材料定数として、前記第１の材料が持つ材料定数の値を与え、
   前記第２のメッシュモデルに与える材料定数として、前記第２の材料が持つ材料定数の値から前記第１の材料が持つ材料定数の値を差し引いた値を与える請求項２に記載の不均質材料モデルの作成方法。
4. 前記第２のメッシュモデルの要素のうち縁に位置する要素に与える材料定数の値は、前記第１のメッシュモデルの重なった要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように与えられ、
   前記第２のメッシュモデルの要素のうち縁に位置する要素と重ならず、内側の要素と重なる前記第１のメッシュモデルの要素は消去され、前記第２のメッシュモデルの前記内側の要素には、材料定数として、前記第２の材料が持つ材料定数の値が与えられる請求項１に記載の不均質材料モデルの作成方法。
5. 前記第２のメッシュモデルは複数作成され、このうちの第２のメッシュモデルＡと第２のメッシュモデルＢが重なるとき、前記第２のメッシュモデルＡの重なった要素を定める節点の変位を、前記第２のメッシュモデルＢの重なった要素を定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルＡの重なった要素を定める節点の変位を拘束し、
   前記第２のメッシュモデルＡ及びＢの要素に付与される材料定数の値の和は、前記第２の材料が持つ材料定数の値に近似する値である請求項１〜４のいずれか１項に記載の不均質材料モデルの作成方法。
6. 前記第２のメッシュモデルは複数作成され、このうちの第２のメッシュモデルＣと第２のメッシュモデルＤが重なるとき、
   前記第２のメッシュモデルＣの縁に位置する、重なった要素ｃを定める節点の変位を、前記第２のメッシュモデルＤの、前記要素ｃと重なった要素ｄを定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルＣの重なった要素ｃを定める節点の変位を拘束し、
   前記第２のメッシュモデルＣの縁に位置する、重なった要素ｃに与える材料定数の値は、第２のメッシュモデルＤの重なった要素ｄに与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように、与えられ、
   前記第２のメッシュモデルＤの要素ｆが、前記第２のメッシュモデルＣの前記要素ｃと重ならず、内側の要素ｅと重なるとき、前記第２のメッシュモデルＤの前記要素ｆは消去され、前記第２のメッシュモデルＣの前記要素ｅには、材料定数として、前記第２の材料が持つ材料定数の値が与えられる請求項１〜４のいずれか１項に記載の不均質材料モデルの作成方法。
7. 前記不均質材料は、ゴムコンパウンドであり、前記第１の材料は、ポリマーであり、前記第２の材料は、ゴムコンパウンドに用いる充填剤である請求項１〜６のいずれか１項に記載の不均質材料モデルの作成方法。
8. 請求項１〜７のいずれか１項に記載の不均質材料モデルの作成方法で作成された不均質材料モデルに対して、所定の位置に強制変位あるいは外力を与えることにより、不均質材料の力学変形のシミュレーションを行うことを特徴とする不均質材料のシミュレーション方法。
9. 第１の材料に第２の材料が配置された不均質材料のモデルを作成する不均質材料モデルの作成装置であって、
   前記第１の材料及び前記第２の材料を含んだ不均質材料全体の領域をメッシュ分割することにより、複数の要素から構成される第１のメッシュモデルと、前記第２の材料の領域をメッシュ分割することにより、複数の要素から構成される第２のメッシュモデルとを作成する手段と、
   前記不均質材料を再現するために、前記第２のメッシュモデルを、前記第１のメッシュモデルに配置し、このとき第２のメッシュモデルの要素と前記第１のメッシュモデルの要素の重なりを調べ、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を、前記第１のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を用いて表すことにより、前記第２のメッシュモデルの重なった要素を定める節点の変位を拘束する手段と、
   前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに、材料定数を与えることにより、不均質材料モデルを作成する手段と、を有し、
   前記不均質材料モデルを作成する手段は、前記第１のメッシュモデルの重なった前記要素に与える材料定数の値と、前記第２のメッシュモデルの重なった前記要素に与える材料定数の値との和が、前記第２の材料の持つ材料定数の値に近似するように、前記第１のメッシュモデル及び前記第２のメッシュモデルに材料定数を与えることを特徴とする不均質材料モデルの作成装置。
10. 請求項９に記載の不均質材料モデルの作成装置で作成された不均質材料モデルに対して、所定の位置に強制変位あるいは外力を与えることにより、不均質材料の力学変形のシミュレーションを行うことを特徴とする不均質材料のシミュレーション装置。