JP2005176020A - 復号方法および復号装置 - Google Patents

Abstract

【課題】 マルチアンテナシステム等において復号に用いられるＳｐｈｅｒｅ Ｄｅｃｏｄｉｎｇを高速化する。
【解決手段】 複素格子生成行列ＨをＱＲ分解するにあたり、最左列のベクトルのノルムが最小となるような列の入れ替え（（ａ），（ｃ），（ｅ））とハウスホルダー変換（（ｂ），（ｄ））とを交互に行なうことにより、上三角化された行列Ｒの主対角成分のうち左上の成分を小さくし右下の成分を大きくする。このようにし得られた行列Ｒを用いてＳｐｈｅｒｅ Ｄｅｃｏｄｉｎｇを行なう。
【選択図】 図５

Description

本発明は、復号方法および復号装置、特に、異なる信号を複数のアンテナで送信し複数のアンテナで受信して復号するマルチアンテナシステム、格子符号化を行なうシステム、およびマルチアンテナと格子符号化を組み合わせたシステムに適した復号方法および復号装置に関する。

異なる信号を送信する複数のアンテナを使用したマルチアンテナシステムの無線通信では、全送信アンテナに供給する合計電力と信号の占有帯域幅を一定にしても、送受信局のアンテナ数を増加するにつれて通信路容量が線形に増加することが知られている（下記非特許文献１，２）。

マルチアンテナシステムでは、最尤復号に必要な計算量は送信アンテナの数に従って大きくなり、最尤復号を用いた通信を行なうためには高速なアルゴリズムが必要となる。

マルチアンテナを用いた無線通信において、パイロット信号等により通信路状態情報（ＣＳＩ）が受信局にて既知の場合、受信局で各送信信号点に対しフェージングの影響のみを考慮し、雑音を無視した理想的な受信信号点を計算できる。従って、各受信アンテナに加わる雑音が白色ガウス雑音（ＡＷＧＮ）である場合、最尤復号を行なうには実際の受信点から最もユークリッド距離の小さい理想的な受信点を探索し、この受信点に対応する送信点を計算すればよい。

理想的な受信点を格子点と見なすと、最尤復号問題は古典的な格子の最近接点探索問題を有限個の格子点について考えることにより解くことができる。格子の最近接点探索問題には比較的高速なアルゴリズムがＰｏｈｓｔらにより提案されており（非特許文献３）、近年Ｐｏｈｓｔらの手法はＳｐｈｅｒｅ Ｄｅｃｏｄｅｒ（ＳＤ）として通信の復号問題に応用されるようになった（非特許文献４）。そこで、本明細書ではＳＤの高速化による、マルチアンテナを用いた無線通信の最尤復号の高速化について記述する。

与えられた格子の表現行列をＫＺ法やＬＬＬ法と呼ばれる手法で変形することでＳＤの計算量を削減することができる（非特許文献５）。しかしながら、フェージング係数が時間とともに変わる無線通信では、与えられる格子が時間とともに変化すること、ならびにＫＺ法やＬＬＬ法はそれ自体の計算量が大きいことから、これらの手法は望ましくない。

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本発明の目的は、ＳＤの新たな手法として格子の表現行列を少ない計算量で変形してＳＤを高速化する手法を提案することにある。

本発明によれば、送信信号を要素とするベクトルに乗算することによって、ランダムノイズを含まない理想的な受信信号を要素とするベクトルを与える格子生成行列であって、実数または複素数を成分とするものを決定し、該格子生成行列またはそのグラム行列を、列の並べ替えを行ないつつ上三角化することにより、上三角化された行列を生成し、該上三角化された行列を用いて受信信号に最も近い前記理想的な受信信号を探索することによって受信信号を復号するステップを具備する復号方法が提供される。

送信アンテナの本数がｔ、受信アンテナの本数がｒであるマルチアンテナシステムの一例を図１に示す。送信側においては、ｔ個の複素数（または実数）からなる送信信号がそれぞれｔ個の直交振幅変調器（または変調器）１０において搬送周波数ｆｃで変調され、ｔ個の送信機１２を経てｔ本のアンテナから送出される。各送信信号には定期的にパイロット信号が挿入される。受信側では、ｒ本のアンテナで受信され、受信機１４を経て復調器１６において搬送周波数ｆｃで復調され、復号器１８で復号される。伝送路推定部２０は受信信号に含まれるパイロット信号から伝送路の状態を推定し、伝送路推定値を出力する。

図１に示すような、複数アンテナを用いた無線通信では、ｔ本の送信アンテナからの送信信号を要素とするベクトルｘ（ｘ∈Ｓ^t）に対し、ｒ本の受信アンテナにおける受信信号を要素とするベクトルｙ（ｙ∈Ｃ^r）は
ｙ＝Ｈｘ＋ｎ （１）
と表される。但しＨはフェージングを表すｒ×ｔ複素行列でｎは加法的雑音を表す。またＳは送信信号の信号点配置の集合である。信号は複素包絡線で表されるので、ｘ，ｙ，ｎは複素数のベクトルである。フェージング行列Ｈはまた、送信信号ｘから複素格子Ｈｘを生成する複素格子生成行列である、ということもできる。行列Ｈは例えば一定周期で挿入されるパイロット信号の受信状態から伝送路推定部２０において推定することができる。

もし加法的雑音ベクトルｎの各々の要素が統計的に独立で同じ分散と平均値０を持つ複素正規分布に従う場合、受信信号ｙに対する最尤復号はｙに最も近い複素格子点Ｈｘ′（但しｘ′∈Ｓ^t）を探すことにより、すなわち||ｙ−Ｈｘ′||²を最小にするｘ′を探索することにより実現できる。

Ｓｐｈｅｒｅ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ（以下ＳＤと略記）の探索の準備として、まず行列Ｈにハウスホルダー変換を適用することにより、下式に示すように、行列Ｈをユニタリ行列Ｑと上三角化された行列ＲにＱＲ分解する。（なお、上三角化された行列とは、ｔ＝ｒの場合、図２に示す上三角行列そのものをいい、ｔ＞ｒの場合、図３に示すように、辺の長さがｒの上三角行列を左側に含むものをいい、ｔ＜ｒの場合、図４に示すように辺の長さがｔの上三角行列を上側に含みその下側の成分がゼロであるものをいうものとする。）
||ｙ−Ｈｘ′||² ＝ ||ｙ−ＱＲｘ′||²
＝ ||Ｑ^*ｙ−Ｑ^*ＱＲｘ′||² （Ｑ^* はユニタリ行列だから）
＝ ||Ｑ^*ｙ−Ｒｘ′||²
ここで||Ｑ^*ｙ−Ｒｘ′||²を最小にする送信信号ｘを求めることにより、最尤復号を行なうことができる。ＳＤでは
||Ｑ^*ｙ−Ｒｘ′||² ＜Ｃ （２）
を満たすｘ′を探すことになるが、行列Ｒが上三角であるから（２）式を満たすｘ′＝（ｘ₁′，…，ｘ_t′）のｘ_t′，ｘ_t-1′，…，ｘ₁′をｔから順番に決めていくことができる。

すなわち、Ｒが図２の上三角行列である場合、Ｒの最下行には非負の成分が右端に１つあるのみであるから、ベクトルＱ^*ｙ−Ｒｘ′の最下の要素には未知数としてはｘ_t′のみが含まれる。この要素の絶対値の２乗がＣ以上である限り（２）式の条件を満たし得ないことから、まずはこの要素の絶対値の２乗がＣ未満となるｘ_t′の値を決定する。条件を満たすｘ_t′の値が複数存在するときは、その１つを選択する。次に、Ｒが上三角行列であることからベクトルＱ^*ｙ−Ｒｘ′の下から２番目の要素には未知数としてｘ_t-1′とｘ_t′のみが含まれ、決定されたまたは選択されたｘ_t′の値のもとで最下の要素と下から２番目の要素の絶対値の２乗和がＣ未満となるｘ_t-1′の値を決定する。条件を満たす値が複数あるときはその１つを選択する。これを繰り返してｘ₁′まで決定することができれば（２）式を満たすベクトルｘ′が見つかった、ということになる。途中で条件を満たすものが存在しないことになったら、以前に選択されなかった候補まで戻って探索を続ける。図４のｒ＞ｔの場合も図２のｒ＝ｔの場合と同様にしてｘ_t′から順に探索して決定することができる。図３のｒ＜ｔの場合は、受信アンテナの数が送信アンテナの数より少ない場合である。この場合は、Ｒの最下行に複数の非ゼロ成分があって探索に時間がかかって実用的ではない。

ＳＤでは、受信点を中心とする球体に対して最初に適当な値を半径√Ｃとして与え、その球体内を探索する。もしその球体内に格子点が見つかった場合、受信点から見つかった格子点までの距離を新たな球体半径√Ｃとしてさらに探索を進め、新たに設定された球体内部に格子点が見つからなかったら最後に見つかった格子点が受信点に最も近い格子点ということになる。最初に与えられた球体内部に格子点が見つからなかった場合には更に大きな探索半径を与えるか、信号の消失を宣言することによって対処する。

次に、本発明におけるＳＤの高速化の手法について説明する。ρ＝Ｑ^*ｙ＝（ρ₁，…，ρ_r）^Tとするとｔ≦ｒの場合の（２）の不等式は以下のように表すことができる。

ここでＤ₁≧…≧Ｄ_tが成り立つ。式（４）はＳ_k，Ｄ_kにより
｜ｘ_i′−Ｓ_i｜² ＜（Ｃ′−Ｄ_i）／｜ｒ_ii｜² （７）
と表される。

次に計算量を減らすｘ_i′の決定順番を考える。式（７）を満たすｘ_i′の数は
（Ｃ′−Ｄ_i）／｜ｒ_ii｜² （８）
に比例する。ｘ_i′はｉ＝ｔ，…，１の順に決定されていくため、直観的にＳＤの計算量はｘ_i′の決定順番を、大きいｉに対して式（８）の値が小さくなるようにすることで減らせる。また、式（８）の値は｜ｒ_ii｜²に反比例するため、大きなｉに対してｒ_iiが大きくなるようにＲを構成すればよい。本発明では、後に説明するように、行列ＨのＱＲ分解の際に列の並び替えとハウスホルダー変換とを交互に行なう、ソート付ＱＲ分解を行なうことによりこのようなＲを達成する。

ＳＤをＱとＲを計算する部分、Ｑ，Ｒ，ｙの組からｘを計算する部分に分け、それぞれ前処理部、探索部と呼ぶことにする。本発明により前処理部の計算量が従来にくらべわずかに増えるが、探索部の計算量を大きく削減することができる。フェージング環境では、或るフェージング行列Ｈに対し複数個の信号を送るため、１回の前処理に対して探索は複数回行なわれる。そのためＳＤ全体の計算量は削減される。

本発明におけるソート付ＱＲ分解について説明する。図５の（ａ）欄に示すように、行列を構成する各列についてノルムの計算を行ない。ノルムが最小である列（ハッチングで示す）を左端の列と入れ替える並び替えを行なった後に、図５の（ｂ）欄に示すように、最初の対角成分ｒ₁₁を決定するハウスホルダー変換を行なう。なお対角成分ｒ₁₁は列の並び替え後の最左列のノルムに等しい。次に（ｃ）欄に示すように、最上行および最左列を除いた部分行列の最左列のノルムが最小となるような列の入れ替えを行ない、２番目の対角成分ｒ₂₂を決定するハウスホルダー変換を行なう（（ｄ）欄）。さらに上２行左２列を除いた部分行列の最左列のノルムを最小にする列の入れ替えを行なってから（（ｅ）欄）、ハウスホルダー変換を行なう。これを繰り返すことにより、大きなｉに対してｒ_iiが大きい行列Ｒが得られる。なお、上記の記述においてノルムの計算および比較は各部分行列について行なわれるが、列の入れ替えは、行列全体について行なわれる。

送受信アンテナ数が等しいｒ＝ｔの場合、Ｈの逆行列Ｈ^-1が存在するのでξ＝Ｈ^-1ｙ−ｘ′と置いて
||ｙ−Ｈｘ′||² ＝ ||Ｈ（Ｈ^-1ｙ−ｘ′）||²
＝ ||Ｈξ||²
＝ ξ^*Ｈ^*Ｈξ （９）
＝ ξ^*Ｒ^*Ｑ^*ＱＲξ
＝ ξ^*Ｒ^*Ｒξ
＝ ||Ｒξ||² （１０）
という式変形を行なうことができる。ここで、||Ｒξ||²を最小にするξを求めることにより最尤復号を行なうことができる。探索において
||Ｒξ||² ＜Ｃ （１１）
を満たすξを探すことになるが、式（１１）が成り立つということと、次の式が全てのｋ＝１，…，ｔに対して成り立つこととは同値である。

ξ＝Ｈ^-1ｙ−ｘ′に注意して式（１３）をＳ_kとＤ_kで表すと、各ｘ_i′に対して不等式
｜ｘ_i′−Ｓ_i｜² ＜（Ｃ−Ｄ_i）／ｇ_ii （１４）
が導かれる。

式（１４）を満たすｘ_i′をｉ＝ｔ，…，１の順に逐次決定していくことにより、ｘ′を決定することができる。

このときもまた、本発明により、ＨのＱＲ分解の際に最左列のノルムを最小とする列の並び替えとハウスホルダー変換とを交互に行なって、行列Ｒの主対角成分のうち左上の成分を小さくし右下の成分を大きくすることにより探索の高速化を計ることができる。

Ｃｈｏｌｅｓｋｙ（コレスキー）分解とは複素エルミート行列（または実対称行列）Ａを上三角行列Ｒを用いてＡ＝Ｒ^*Ｒと分解することである。送受信アンテナ数が同じ場合式（９）をＨ^*Ｈ＝Ｒ^*ＲとＣｈｏｌｅｓｋｙ分解することにより式（１０）を得ることができる。その後の処理は同じである。この場合にも、以下の様に、ソート付Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解、すなわち、列の並び替えを行ないつつＲの成分を決定していくことにより、Ｒの左上の成分を小さくし右下の成分を大きくすることで探索を高速化することができる。

行列Ｈのグラム行列Ｇ＝Ｈ^*ＨをＣｈｏｌｅｓｋｙ分解（Ｇ＝Ｒ^*Ｒ）することにより上三角行列Ｒが得られるわけであるが行列Ｇの各成分をｇ_i,j、Ｒの各成分をｒ_i,jとすると、上三角行列Ｒの対角成分ｒ_i,iと非対角成分ｒ_i,j（ｉ＜ｊ）はそれぞれ、（１５）式と（１６）式により順次計算される。

従ってまず行列Ｇの１行目の成分のうち値が最小のものを有する列を最左列と入れ替えた後に（１５）式により行列Ｒの１行目の対角成分ｒ_1,1（＝√ｇ_1,1）を計算し、次いで非対角成分を（１６）式により計算する。次に左から２列目以降の各列について、左から２列目の列と入れ替えたときに得られる対角成分ｒ_2,2の値を（１５）式によりそれぞれ計算し、それらの中で最小のｒ_2,2を与える列を左から２列目と入れ替えた後、（１６）式を使ってＲの２行目の非対角成分を計算する。これを繰り返すことにより、大きいｉに対して対角成分ｒ_i,iが大きい上三角行列Ｒが得られる。

複数本のアンテナを使って送信し、複数本のアンテナを使って受信し復号するマルチアンテナシステムについて記述したが、これらの記述は、所定区間内の送信シンボルから冗長性を付加した格子符号に伝送路符号化し、１本のアンテナから送信する格子符号化システムにも適用可能である。この場合には（１）式の行列Ｈは伝送路符号化前の送信シンボルを要素とするベクトルｘから伝送路符号化後の送信信号を要素とするベクトルｙを生成する格子生成行列となる。この場合に格子生成行列の各成分は実数であっても複素数であってもこれまでの記述が適用可能である。

（１）式の行列Ｈの各成分が複素数である場合、これまでに説明したように複素数のままで取り扱う以外に、複素数の実部と虚部を別々に取り扱い、行と列の長さが（１）式のＨのもののそれぞれ２倍で各成分がすべて実数である行列Ｈ′を用いることにより、これまでの説明がそのまま適用可能である。

伝送路符号化を行ない、それを複数のアンテナを使って送信する場合について説明する。

ｓ＝（ｓ₁，…，ｓ_Q）を送りたい情報に対応する実ベクトルまたは複素ベクトルとする。伝送路符号化を行なう場合、情報をＴ回の信号送出に跨って送出する。送信信号はｔ×Ｔ行列
Ｘ＝ｓ₁Ａ₁＋ｓ₂Ａ₂＋…＋ｓ_QＡ_Q
で表す。Ａ₁，…，Ａ_Qは送る情報に依存しない予め定められた行列である。Ｘの（ｉ，ｊ）成分は第ｉ送信アンテナからｊ番目に送出する信号を表す。フェージング行列Ｈが信号を送出するＴ回の間一定であると仮定すると、受信信号はｒ×Ｔ行列Ｙを用いて
Ｙ＝ＨＸ＋Ｎ
と表される。ここでＹの（ｉ，ｊ）成分は第ｉ受信アンテナがｊ番目に受信する信号を表し、行列Ｎは加法的雑音を表すｒ×Ｔ行列である。行列の上に矢印をつけたものをその行列の列ベクトルを縦に並べてできる列ベクトルとすると、

最後の式は式（１）と同じ形をしているので、式中に［］で表わされた、行数ｒ×Ｔ、列数Ｑの行列を用いて同じ方法で最も尤もらしいｓを求めることができる。

本発明の手法を用いて、フェージング通信路上のマルチアンテナシステムを利用した符号化無しの通信に対し、ＳＤを用いて最尤復号を行なった際、どれだけ計算量が減らせるかシミュレーションによって明らかにする。シミュレーションにおける球体探索半径は
送信信号が探索球体内に有る確率＝ Ｐｒ｛Ｃ＞||ｎ||²｝
≒ 0.99
を満たすよう決定した。ただし、Ｃは球体探索半径の二乗、ｎは各受信アンテナに加わる雑音を要素に持つベクトルとする。球体内に格子点が見つからない場合はＣをさらに１大きくして格子点が見つかるまで探索を続けることにする。

シミュレーションにおいては以下の環境を考えた。

・送信アンテナ数と受信アンテナ数を等しくＴ本として、式（１０）〜式（１４）の手法により計算する。

・各送信アンテナから、受信アンテナへのフェージング係数は、平均０、分散１．０の複素ガウス分布に従うとする。

・各送信アンテナにおける信号点配置は６４−ＱＡＭとし、各軸の座標は｛.７，.５，.３，.１，１，３，５，７｝とする。全てのシンボルは等確率で生起するものとした。

・各受信アンテナにおける雑音は、受信アンテナのＳＮＲの値を２８ｄＢとし、φ^２＝ＴＥｓａｖ×１０^(-SNR/10)を満たすように複素ガウス分布に従う雑音の分散φの値を調整した。但しＥｓａｖは平均送信シンボルネルギーとする。

格子生成行列を変換しない従来のＳＤ（Ｎｏｒｍａｌ−ＳＤで示す）と、非特許文献３にて提案された手法により行列Ｈの各列をノルム順にソートした後に上三角化した場合（Ｎｏｒｍ−ＳＤで示す）、本発明による、列の入れ替えを行ないつつ上三角化を行なった場合（ＮｅｗＡｌｇｏｒｉｔｈｍ−ＳＤ）それぞれにおけるＳＤの計算量を比べる。今回使用した複素数のＳＤは実数上のＳＤであるＳｃｈｎｏｒｒ−Ｅｕｃｈｎｅｒ法（ＳＥ）を拡張したものである。また比較のため実数上のＳＥの計算量も調べた（Ｒｅａｌ−ＳＤで示す）。計算量の尺度として、各時間スロットにかかる浮動小数点演算の乗除算の平均回数を用い、複素数の乗算は３回の実数乗算、除算では７回の実数乗除算で行なうものとする。図６は与えられた受信点、上三角行列Ｒ，Ｈ^-1から送信信号を予測する探索部の計算量、図７は各フェージング係数に対して上三角行列Ｒ，Ｈ^-1を計算する計算量をそれぞれ示している。図６より、本発明の手法によりアンテナ数を増加するにつれて大幅に計算量が減少し、特にアンテナ数が１２本のとき、従来のＳＤより計算量が７割近く減少していることがわかる。しかしながら、図７より、各フェージング係数に対して必要となる計算量は１割程増加していることがわかる。

マルチアンテナシステムの１例を示す図である。 ｔ＝ｒである場合の上三角化された行列を示す図である。 ｔ＞ｒである場合の上三角化された行列を示す図である。 ｔ＜ｒである場合の上三角化された行列を示す図である。 ソート付ＱＲ分解を説明する図である。 上三角行列が得られた後の計算量の比較を示すグラフである。 上三角行列が得られるまでの計算量の比較を示すグラフである。

Claims (12)

1. （ａ）送信信号を要素とするベクトルに乗算することによって、ランダムノイズを含まない理想的な受信信号を要素とするベクトルを与える格子生成行列であって、実数または複素数を成分とするものを決定し、
   （ｂ）該格子生成行列またはそのグラム行列を、列の並べ替えを行ないつつ上三角化することにより、上三角化された行列を生成し、
   （ｃ）該上三角化された行列を用いて受信信号に最も近い前記理想的な受信信号を探索することによって受信信号を復号するステップを具備する復号方法。
2. ステップ（ｂ）において、ハウスホルダー変換を行なった後に得られる対角成分が最小となる列の並べ替えとハウスホルダー変換とを交互に行なうことによって上三角化が行なわれる請求項１記載の方法。
3. 前記格子生成行列の行数と列数は相等しく、
   ステップ（ｂ）において、該格子生成行列のグラム行列をコレスキー分解することによって得られるべき上三角行列の各行の各成分を順次決定する過程において、次に決定される行の各成分のうち対角成分が最小となる列の並び替えと行の各成分の決定とを交互に行なうことによって上三角行列の各成分が決定される請求項１記載の方法。
4. 前記格子生成行列の列数は前記送信信号が送信される送信アンテナの数に対応し、前記格子生成行列の行数は前記受信信号を受信する受信アンテナの数に対応する請求項１〜３のいずれか１項記載の方法。
5. 前記格子生成行列の列数は格子符号化前の信号の数に対応し、前記格子生成行列の行数は格子符号化後の信号の数に対応する請求項１〜３のいずれか１項記載の方法。
6. 前記格子生成行列の列数は格子符号化前の信号の数に対応し、前記格子生成行列の行数は前記受信信号を受信する受信アンテナの数と格子符号化後の信号を送出する回数の積に対応する請求項１〜３のいずれか１項記載の方法。
7. 送信信号を要素とするベクトルに乗算することによって、ランダムノイズを含まない理想的な受信信号を要素とするベクトルを与える格子生成行列であって、実数または複素数を成分とするものまたはそのグラム行列を、列の並べ替えを行ないつつ上三角化することにより、上三角化された行列を生成する手段と、
   該上三角化された行列を用いて受信信号に最も近い前記理想的な受信信号を探索することによって受信信号を復号する手段とを具備する復号装置。
8. 前記生成手段は、ハウスホルダー変換を行なった後に得られる対角成分が最小となる列の並べ替えとハウスホルダー変換とを交互に行なうことによって上三角化を行なう請求項７記載の装置。
9. 前記格子生成行列の行数と列数は相等しく、
   前記生成手段は、該格子生成行列のグラム行列をコレスキー分解することによって得られるべき上三角行列の各行の各成分を順次決定する過程において、次に決定される行の各成分のうち対角成分が最小となる列の並び替えと行の各成分の決定とを交互に行なうことによって上三角行列の各成分を決定する請求項７記載の装置。
10. 前記格子生成行列の列数は前記送信信号が送信される送信アンテナの数に対応し、前記格子生成行列の行数は前記受信信号を受信する受信アンテナの数に対応する請求項７〜９のいずれか１項記載の装置。
11. 前記格子生成行列の列数は格子符号化前の信号の数に対応し、前記格子生成行列の行数は格子符号化後の信号の数に対応する請求項７〜９のいずれか１項記載の装置。
12. 前記格子生成行列の列数は格子符号化前の信号の数に対応し、前記格子生成行列の行数は前記受信信号を受信する受信アンテナの数と格子符号化後の信号を送出する回数の積に対応する請求項７〜９のいずれか１項記載の装置。

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