DE69007538T2

DE69007538T2 - Zerstäubungsanlage mit rotierender Magnetanordnung, deren Geometrie ein vorgegebenes Targetabtragprofil erzeugt.

Info

Publication number: DE69007538T2
Application number: DE69007538T
Authority: DE
Inventors: Robert L Anderson; John C Helmer
Original assignee: Varian Associates Inc
Current assignee: Varian Semiconductor Equipment Associates Inc
Priority date: 1989-05-22
Filing date: 1990-05-14
Publication date: 1994-07-21
Anticipated expiration: 2010-05-15
Also published as: JPH036372A; KR0168840B1; KR900019108A; EP0399710B1; EP0399710A1; US4995958A; CA2017206A1; DE69007538D1; JP3069576B2; CA2017206C

Description

Gebiet der Erfindung

Diese Erfindung bezieht sich auf ein Zerstäubungsgerät und insbesondere auf ein Zerstäubungsgerät mit einer rotierbaren Anordnung von Magneten, die in einer Geometrie angeordnet sind, die ein ausgewähltes Abtragungsprofil erzeugt.

Hintergrund der Erfindung

Ebene Magnetrons sind seit langer Zeit von der halbleiterherstellenden Industrie in Zerstäubungseinrichtungen in Benutzung, um Silikonwafer mit verschiedenen Materialien, zum Beispiel Aluminium, während der Herstellung von integrierten Schaltkreisen zu beschichten.
Eine Zerstäubungsvorrichtung mit einem stationären, ebenen Magnetron ist typischerweise eine Hochleistungszerstäubungsvorrichtung, die eine enorme Verbesserung gegenüber Vorrichtungen darstellt, die auf Diodenzerstäubung oder Bedampfungstechniken basieren. Eine Zerstäubungsvorrichtung mit einem stationären, ebenen Magnetron hat jedoch praktische Nachteile, von denen der schwerwiegendeste derjenige ist, daß die Plasmaentladung eine schmale Rille in dem Target abträgt. Diese lokalisierte Abtragung erzeugt eine nicht-einheitliche Verteilung von zerstäubten Atomen, die zu einer Ablagerung mit nicht einheitlicher Schichtbedeckung auf dem Halbleiter-Wafer führt.
Eine Vielzahl von Versuchen, von denen einige teilweise erfolgreich waren, wurden unternommen, um eine solche Quelle zur Ausdehnung der Target-Abtragung zu verändern und um die Verteilung der zerstäubten Atome gleichmäßiger zu machen. Zum Beispiel beschreibt die US- Patentschrift 4,444,643, das hier als Referenz eingeführt ist, eine Zerstäubungsvorrichtung, die ein mechanisch rotierendes Dauermagnetbauteil enthält. Die Rotation des Dauermagnetbauteils verursacht eine Abtragung über einem größeren Gebiet des Target.
Andere Versuche wurden unternommen, um die Abtragung über ein größeres Oberflächengebiet durch die Benutzung ausgedehnter magnetischer Felder zu vergrößern. Die für solch einen Versuch erforderlichen Magneten sind groß und kompliziert, und es ist schwierig sicherzustellen, daß die Eigenschaften des Magnetrons sich nicht verändern, wenn das Target abgetragen wird. Das erzielte Abtragungsmuster ist deshalb schwierig vorherzubestimmen.
Es wurden auch spezielle Anordnungen der Magneten zur Erzielung einer gleichmäßigeren Abtragung vorgeschlagen. Eine solche Anordung ist in der veröffentlichten europäischen Patentanmeldung 211,412 mit dem Titel "Magnetron Sputtering Apparatus and its Magnetic Source", veröffentlicht am 25.02.1987, beschrieben. Eine andere solche Anordnung ist in der japanischen Offenlegungsschrift (Kokai) Nr. 62-211,375 mit dem Titel "Sputtering Apparatus", veröffentlicht am 11.03.1986, beschrieben. Wie in dieser Schrift dargelegt ist, zeigt unsere Arbeit, daß keine von diesen vorgeschlagenen Anordnungen eine gleichmäßige Abtragung erzielt.

Abriß der Erfindung

Es wird gemäß Anspruch 1 ein Zerstäubungsgerät zur Verfügung gestellt, das einen drehbaren Magneten enthält. Der Magnet ist so konfiguriert, daß ein Abschnitt der Mittellinie des Magneten in Polarkoordinaten (r,θ) durch eine Gleichung der Form beschreibbar ist, wobei ξ(u) ein vorgewähltes, normalisiertes Abtragungsprofil und C eine ausgewählte Konstante ist.
Im allgemeinen kann das obige bestimmte Integral durch numerische Integration ausgerechnet werden.
In dem wichtigen Spezialfall, bei dem das vorgewählte Abtragungsprofil konstant ist, vereinfacht sich die obige Gleichung auf
θ = [r² - 1] - arctan [r² - 1] + C
Die Mittellinie des magnetischen Mittels kann als eine geschlossene Kurve durch Anwendung von Symmetrie konstruiert werden. In einer Ausführungsform wird ein erster Abschnitt der Mittellinie in dem Intervall θ&sub0;≤θ≤θ&sub0;+π durch eine der obigen Gleichungen beschrieben, und die geschlossene Mittelinie wird durch Spiegelung des ersten Abschnitts an der Linie θ=θ&sub0; konstruiert. Wenn ein Magnet von im wesentlichen konstanter Breite und Stärke so konfiguriert und um seinen polaren Ursprung gedreht wird, ist das von dem Zerstäubungsgerät erzeugte Abtragungsprofil in dem Target das vorgewählte Abtragungsprofil.
Falls ein wesentlicher Abschnitt der Mittellinie des magnetischen Mittels durch eine der obigen Gleichungen beschrieben wird, kann eine geschlossene Mittellinie durch die Verbindung der Endpunkte des wesentlichen Abschnitts durch eine oder mehrere Kurven konstruiert werden, die obige Gleichungen nicht erfüllen, aber das erzeugte Abtragungsprofil wird dann von dem vorgewählten Profil ein wenig abweichen.
In einer Ausführungsform zur Herstellung eines konstanten Abtragungsprofils ist eine Vielzahl von Magneten mit gleichen Abmessungen und Stärken mit ihren Zentren auf der Kurve angeordnet, die durch die letztere der obigen Gleichungen definiert ist. Das Magnetfeld wird durch die Benutzung von Halteelementen aus magnetischem Material ein heitlich gemacht, der die Magneten zurückhält und die magnetische Kontur des Magneten gestaltet.

Kurzbeschreibung der Zeichnungen

Es zeigen:
Fig. 1 eine schematische perspektivische Teilansicht eines bekannten Zerstäubungsgerätes, das einen stationären, ebenen Magnetron (1 mtorr = 0,132 Pa) enthält;
Fig. 2A eine generalisierte Ansicht eines bekannten Zerstäubungsgerätes, das ein rotierendes Magnetbauteil enthält;
Fig. 2B das von der Quelle aus Fig. 2A erzeugte Abtragungsprofil;
Fig. 3A die von einer stationären, runden, ringförmigen Magnetanordnung erzeugte Abtragungsregion auf dem Target;
Fig. 3B das von dem magnetischen Bauteil gemäß Fig. 3A angenommene stationäre Abtragungsprofil, wenn das Bauteil stationär ist;
Fig. 3C das durch die Rotation der in Fig. 3A dargestellten magnetischen Anordnung erzeugte Abtragungsprofil (1 IN = 25,4mm);
Fig. 4 eine geometrische Konstruktion für eine Abtragungsregion mit einer nicht einheitlichen Breite W, die die Gleichung
E(R) = kΣL(arc(R)) = K/R
erfüllt, wobei K eine Konstante ist;
Fig. 5 das Pfadelement mit konstanter Breite und die mit ihnen verbundenen Mengen zur Ableitung der Gleichung der Mittellinie des Pfades;
Fig. 6A einen Graph der Lösung von Gleichung (13);
Fig. 6B eine durch Spiegelung eines Abschnitts der in Fig. 6A dargestellten Kurve um die Achse erzeugte geschlossene Kurve;
Fig. 6C eine vergrößerte Darstellung aus Fig. 6B, mit einem Pfad konstanter Breite, der um die oberen und unteren Abschnitte der geschlossenen Kurve zentriert ist, mit Ausnahme der relativ kleinen Regionen bei θ=0 und θ=π, bei denen die Breite vom konstanten Wert abweicht;
Fig. 7A+B zeigen wechselweise vielkeulige Ausführungsformen, die den Ort der Mittellinie des Magneten anzeigen;
Fig. 8A eine Ausführungsform der vorliegenden Erfindung;
Fig. 8B das von der Ausführungsform gemäß Fig. 8A erzeugte Abtragungsprofil.
Fig. 9 das Magnetfeld für die Ausführung von Fig. 8;
Fig. 10A eine runde Magnetanordnung, die für Wirbelstrommessungen benutzt wird;
Fig. 10B die Wirkung von Wirbel strömen während der Rotation des Magneten aus Fig. 10A an den Orten, die mit den Buchstaben A-H bezeichnet sind;
Fig. 11A eine kreisförmige Magnetanordnung;
Fig. 11B die Wirkung von Wirbel strömen durch die Rotation der Magnetanordnung aus Fig. 11A als eine Funktion der Orte A-C, wie sie in Fig. 11A angedeutet sind;
Fig.12A-E alternative Ausführungsformen für die Mittellinie des magnetischen Mittels der vorliegenden Erfindung, die vorgewählten Abtragungsprofilen entsprechen;
Fig. 13 das gemessene Abtragungsprofil für die Ausführungform aus Fig. 8 im Vergleich mit dem vorherbestimmten Profil;
Fig. 14A eine Magnetstruktur, die gemäß der Lehre der veröffentlichten europäischen Patentanmeldung 211 412 hergestellt wurde;
Fig. 14B das berechnete Abtragungsprofil für die Magnetstruktur aus Fig. 14A;
Fig. 15A einen Vergleich der für eine gleichmäßige Abtragung von der japanischen Offenlegungsschrift 62-211,357 vorgeschlagenen Gleichung mit der Gleichung für eine gleichmäßige Abtragung gemäß der vorliegenden Lehre;
Fig. 15B einen Vergleich der zu den zwei in Fig. 15A dargestellten Kurven gehörenden Abtragungsprofilen.

Detaillierte Beschreibung

Fig. 1 zeigt eine schematische Teilansicht eines bekannten Zerstäubungsgerätes 1, das ein stationäres, ebenes Magnetron 2 enthält. Das Magnetron 2 enthält eine Anode 4, die an Erdpotential angeschlossen ist und eine Kathode (Target) 6, die an eine negative Hochspannungsquelle (nicht eingezeichnet) angeschlossen ist. Das Target 6 hat die Form eines Ringes, der ursprünglich (i. e. bevor die Zerstäubung stattfindet) eine ebene, obere Oberfläche 6a aufweist. Eine Vielzahl von in Fig. 1B dargestellten Dauermagneten 8 ist in einer kreisförmigen Anordnung unter dem Target 6 angeordnet. Ein Inertgas, zum Beispiel Argon unter 5 Millitorr, wird in die das Magnetron 2 enthalten den Vakuumkammer 5 mit niedrigem Druck, zum Beispiel Argon mit 5 Millitorr, durch den Gaseinlaßanschluß 3 eingeführt. Die Vakuumkammer 5 ist an eine Vakuumpumpe (nicht eingezeichnet) zur Herstellung eines Vakuums in der Kammer vor der Einführung des Inertgases angeschlossen.
Ein Wafer w wird von einem geeigneten, an der Kammer 5 angebrachten Waferbefestigungmittel 7 gehalten, so daß die ebene Oberfläche des zu beschichtenden Wafers ausgerichtet ist auf und parallel angeordnet ist zu der ebenen Oberfläche 6a des Targets 6.
Im Betrieb begrenzen die durch Pfeile B symbolisierten magnetischen Feldlinien die Entladung auf die ringförmige Region 12, in der energiegeladene Ionen beim Entladen das Target 6 durch Auswerfen von Aluminiumatomen beschießen und abtragen, von denen einige die ebene Oberfläche des Wafers w beschichten. Die energiegeladenen Ionen tragen dann während des Entladens eine ringförmige Rille 3 im Target 6 ab, und, wie oben erwähnt, erzeugt diese lokalisierte Abtragung eine nicht-gleichmäßige Verteilung der zerstäubten Atome.
Fig. 2A zeigt eine vereinfachte Ansicht einer bekannten Versamag - Zerstäubungsquelle 14, die kommerziell von Varian Associates. Inc., dem Inhaber der vorliegenden Erfindung, verkauft wird. Es versteht sich von selbst, daß die Quelle 14 in einer Vakuumkammer (nicht eingezeichnet) enthalten ist und daß ein Inertgas in die Kammer eingeführt wurde, wie in Verbindung mit Fig. 1 beschrieben wurde.
Die Quelle 14 enthält einen Motor 16, der eine Welle 23 um eine Achse 20 dreht, wie durch den Pfeil A angedeutet ist. Eine Magnettragwelle 19 zweigt senkrecht von der Welle 23 ab, und trägt ein mit ihm verbundenes Magnetbauteil 21. Somit ist die zentrale Achse 24 des Magnetbauteils 21 von der Achse 20 mit einer Entfernung R beabstandet.
Das Magnetbauteil 21 enthält eine Magnetanordnung, die der in Fig. 1F dargestellten entspricht, bei der die Dauermagneten im Kreis angeordnet sind, so daß im Betrieb eine runde, kreisförmige Entladung 15, begrenzt durch die Magnetfeldlinien B, erzeugt wird.
Das Target (Kathode) 17 ist tellerförmig geformt und an eine negative Hochspannungsquelle (nicht eingezeichnet) angeschlossen. Ein an der Vakuumkammer (nicht eingezeichnet) befestigtes Plasmaschild 22 ist elektrisch geerdet und dient als Anode. Das Target 17 ist mit einer Stützplatte 18 verbunden. Die Stützplatte 18, die mit dem Gehäuse 26 verbunden ist, trägt das Target 17. Das Gehäuse 26 zusammen mit der Stützplatte 18 bilden eine wasserdichte Kammer 28 für die Aufnahme eines Wasserbades zur Kühlung des Targets.
Der Wafer w wird von einem Waferträger (nicht eingezeichnet) getragen, der an der Vakuumkammer befestigt ist, so daß die zu beschichtende obere Oberfläche wa des Wafers w unterhalb und parallel zum Target 17 angeordnet ist.
Im Betrieb dreht der Motor 16 die Welle 23, so daß das gesamte Magnetbauteil 21 um die Achse 20 gedreht wird. Das durch diese Drehung im Target 17 erzeugte Abtragungsmuster ist komplexer als eine simple Rille. Fig. 2B, die vertikal zu Fig. 2A ausgerichtet ist, zeigt einen teilweisen Querschnitt (bei dem der vertikale Maßstab zur Verdeutlichung vergrößert wurde) des Targets 17, das das Tiefenprofil der Abtragung im Target 17 zeigt, das durch die Drehung des Magnetbauteils 21 viele Male um die Achse 20 mit einer konstanten Geschwindigkeit erzeugt wurde. Die unterbrochene Linie 27 zeigt den Weg der Achse 24.
Die Entladung 15 ist in seiner ursprünglichen Position in Fig. 2B dargestellt. Die Entladung 15 dreht sich natürlich mit der Achse 24 um die Achse 20. Wie Figur 2B zu entnehmen ist, ist die Abtragung des Target 17 nicht gleichmäßig, wenn die runde kreisförmige Entladung 15 gedreht wird.
Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Magnetbauteil, das da; Magnetbauteil 21 in der in Figur 2A dargestellten Struktur ersetzen kann und das in Betrieb, wenn es um die Achse 20 rotiert wird, ein vorbestimmtes Abtragungsprofil in dem Target 17 erzeugt. Von besonderein Interesse ist der Fall, bei dem das Abtragungsprofil so gewählt ist, daß es eine konstante Tiefe aufweist.
Die theoretische Basis der vorliegenden Erfindung wird besser verständlich, wenn zunächst in Betracht gezogen wird, warum das in Figur 2B dargestellte Abtragungsprofil nicht gleichmäßig ist. Das in Figur 2A dargestellte Magnetbauteil 21 enthält Magneten 8, die, wie in Figur 1B dargestellt, kreisförmig angeordnet sind, so daß die resultierende kreisförmige Entladung 15 (dargestellt in Figur 2A) für analytische Zwecke mit einheitlicher Intensität in der Entladungsregion 30 angenommen werden kann, die an das Target 17 angrenzt (die tatsächliche Intentsitätsverteilung ist ungefähr Gaussisch).
Wenn zu Versuchszwecken die Magnetanordnung 21 stationär gehalten wird, kann angenommen werden. daß das Abtragungsprofil im Target 17 die Form aufweist, die in Figur 3B dargestellt ist, die mit Figur 3A ausgerichtet ist. Das heißt, daß die Abtragungstiefe über die Breite des Ringes 30 konstant ist. Die tatsächliche Tiefe der Abtragung würde natürlich von der Intensität der Entladung und der Zeitdauer, in der die Entladung über dem Target durchgeführt wurde, abhängen.
Wenn die Magnetanordnung mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit um die Drehachse 20 rotiert wird (die Achse 20 ist senkrecht zu der Papierebene in Figur 3A), ist die Menge (Tiefe) der Abtragung an einem Punkt r auf der Abtragungsoberfläche des Targets 17, die in einem Abstand von R linearen Einheiten von dem Mittelpunkt des Targets entfernt ist, die durch jede einzelne vollständige, mit E(R) bezeichnete Rotation der Entladungsregion 30 über dem Target 17 verursacht ist, mit der Gesamtlänge der Bogensegmente in Region 30, die an dem Punkt r vorbeilaufen, d.h. zu der gesamten Länge der Bogensegmente im Abstand R von der Drehachse, direkt proportional. In Figur 3A läuft ein einzelnes Bogensegment Arc (R&sub1;) an dem Punkt r&sub1; während jeder Umdrehung vorbei. Zwei Bogensegmente, Arc&sub1;(R&sub2;) und Arc&sub2; (R&sub2;) laufen während jeder Umdrehung an dem Punkt r&sub2; vorbei. Ein einzelnes Bogensegnient Arc(R&sub3;) läuft an dem Punkt r&sub3; vorbei. Die Gesamtlänge der Bogensegmente im Abstand R vom Ursprung ist Σ L(Arc(R)). Deshalb ist E (R) direkt proportional zu Σ L(Arc(R)).
Da sich andererseits die Zeit, die ein Kreisbogen mit Einheitslänge benötigt, um einen Punkt zu überstreichen, der sich im Abstand R von der Drehachse befindet, invers zu R verändert folgt, daß die Abtragung E (R) umgekehrt proportional zu R ist.
Deshalb gilt:
E(R) = k ΣL(Arc(R))/R (1)
wobei k die Proportionalitätskonstante ist, die von der Intensität der Entladung und anderen Faktoren abhängt.
In Figur 3C ist die Form der Abtragung durch die Rotation der Magnetanordnung 21 aus Figur 3B durch Messung der Kreisbogenlänge und durch Benutzung von Gleichung 1 aufgetragen, wobei wir k = 1 angenommen haben. Um Figur 3C zu erstellen, wurden die jeweiligen, in Figur 3B dargestellten Kreisbogenlängen mit einem flexiblen Lineal gemessen.
Das vorhergesagte durchschnittliche Abtragungsmuster gemäß Figur 3C, trotz der Benutzung der Annäherung für das stationäre Abtragungsmuster aus Figur 3B, ist nahe an dem, das gemessen wurde. Je schmaler das stationäre Abtragungsmuster ist, desto besser ist die Annäherung und desto weniger hängt das durch die Rotation erzielte Ergebnis von der exakten Form des stationären Abtragungsprofils ab.
In erster Annäherung nehmen wir an, daß die Gleichung (1) unabhängig davon gültig ist, ob die Summation über die Kreisbogenlängen für eine einzige Umdrehung oder ob die Summation über Kreisbogenlängen für N Umdrehungen gemacht wird. In anderen Worten ist die Abtragungstiefe für N Umdrehungen gegeben durch
EN(R) = k ΣL(Arc(R))/R
wobei die Summation über die Kreisbogenlängen für N Umdrehungen durchgeführt wird und
EN(R) = k N ΣL(Arc(R))/R
wobei die Summation über die Bogenlängen für eine einzige Umdrehung durchgeführt wird.
In Anbetracht dieses Überlagerungsprinzips sind zwei Abtragungsprofiie dann äquivalent, wenn das eine ein skalares Vielfaches des anderen ist.
In einer ersten Annäherung, falls die Konstante k, welche unter ande rein von der Intensität der Entladung abhängt, erhöht wird, zum Beispiel um einen Faktor 2, kann dieselbe Gesamtabtragungstiefe durch Verminderung der Anzahl von Umdrehungen um einen Faktor 2 erzielt werden.
Die Annahme, daß in einer ersten Annäherung die Formel (1) unabhängig davon gültig ist, ob die Summation über eine oder mehrere Umdrehungen durchgeführt wurde, wurde experimentell durch Abtragungsprofile erhärtet (siehe Erosion Model von Gartek Sputtering Source, Joseph Co und John Helmer, Varian Research Center Report, September 1985), die nahe an den vorhergesagten Abtragungsmustern liegen, die in Figur 3G dargestellt sind.
Man kann die Formel (1) benutzen, um zu versuchen, geometrisch einen geschlossenen Pfad für die Entladung 15 zu konstruieren, die zu einem gleichmäßigen (durchschnittlich konstanten) Abtragung führt, wenn dem Pfad gedreht wird. Solch eine Konstruktion ist in Figur 4 abgebildet. In Figur 4 ist der Dreh-Mittelpunkt mit 0 bezeichnet. Die Konstruktion wird wie folgt ausgeführt. Das Intervall von 0 bis 360º wird in gleiche Winkelabschnitte (22,5º in Figur 4) geteilt.
Ein erster Radius R&sub1; der Länge 1 ist so eingezeichnet, daß er sich von dem Ursprung nach rechts entlang der 0º-Linie erstreckt. Arc (R&sub1;) erstreckt sich von der -22½º-Linie bis zu der +22½º- Linie, und es gilt L(Arc(R&sub1;))/R&sub1;=π/4. Generell gilt: Ri+1=Ri+½ für i=1,...,8. Arc (R&sub2;) hat zwei Segmente Arc&sub1;(R&sub2;) zwischen 22½º und 45º und Arc&sub2; (R&sub2;) zwischen -22½º und -45º, die beide eine identische Bogenlänge aufweisen. Es gilt Σ L(Arc(R&sub2;))/R&sub2;=π/4. Entsprechend erstreckt sich Arc&sub1;(R&sub3;) von der 45º-Linie zu der 67½º-Linie, und Arc&sub2;(R&sub3;) erstreckt sich zwischen der -45º-Linie und der -67½º-Linie und es gilt L(Arc&sub1;(R&sub3;))=L(Arc&sub2;(R&sub3;)). Es gilt ΣL(Arc(R&sub3;))/R&sub3;=π/4. Wenn alle Kreisbögen in dieser Weise gezeichnet wurden, werden eine erste gleichmäßige Kurve C&sub1;, die eine Menge aus Kreisbogen-Endpunkten verbindet, und eine zweite gleichmäßige Kurve C&sub2; gezeichnet, die die andere Menge aus Kreisbogen-Endpunkten verbindet, wie in Figur 4 dargestellt ist. Diese Konstruktion hat den Nachteil, daß die Breite des Gebiets zwischen Kurve C&sub1; und Kurve C&sub2; nicht konstant ist.
Zur Zeit ist wenig bekannt in bezug auf das Abtragungsprofil einer magnetischen Feldkonfiguration mit sich verändernder Stärke und Breite, obwohl ein vielversprechendes Modell vorgeschlagen wurde von Gu et al, Axial Distribution of Optical Emission in an Planar Magnetron Discharge. J. Vac Sci Technol. A, 6(5), Seite 2960, September/ Oktober (1988). Deshalb übernehmen wir einen anderen Ansatz, bei den die Breite der Kontur des Magneten konstant ist. Dies ermöglicht die Konstruktion einer Magnetron-Magnetstruktur mit einem gleichmäßigen magnetischen Feld entlang des Abtragungspfades und die Voraussagbarkeit der Abtragung.
Um eine gleichmäßige Abtragung zu erzielen, gehen wir deshalb analytisch vor, um einen Abtragungspfad zu finden, der
E(R) = k ΣL(Arc(R))/R = K, (2)
erfüllt, wobei K eine beliebige Konstante ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, daß die Breite des Pfades eine Konstante w ist.
Figur 5 zeigt ein Element P eines Pfades mit einer Mittellinie, dessen Gleichung in Polarkoordinaten durch R=R(Θ) ausgedrückt wird. Die Breite w des Pfades wird als konstant angenommen. Es sei α der augenblickliche Winkel zwischen der Kurve R=R (Θ) und dem Bogensegment Arc(R) am Punkt (Θ, R (Θ)). Das Bogensegment Arc(R) erstreckt sich vom äußeren Rand des Pfadsegmentes P zu dem inneren Rand des Pfadsegmentes.
Wir nehmen an, daß
E(R) = k L/R = K (3)
wobei L=L(Arc(R)) ist und k, K Konstanten sind.
Deshalb gilt:
L/r = k&sub1;, (4)
wobei k&sub1;=K/k ist.
Wir sehen aus Figur 5, daß
tan α tan α' w/d
so daß gilt:
tan α w/ [L² - w²]
Diese Approximation wird für kleine Pfadbreiten w besser. Wir setzen
tan α = w/ [L² - w²] (5)
Auf der anderen Seite ergibt sich aus Figur 5:
tan α ΔR/RΔθ
Unter der Annahme, daß die Kurve R=R (Θ) an dem Punkt (Θ, R(Θ)) differenzierbar ist, erhalten wir
oder
tan α = 1/R dR/dθ (6)
Aus den Gleichungen (5) und (6) haben wir
Substitution von L=k&sub1;R aus Gleichung (4) ergibt
oder
Wir definieren
R&sub0; = w/k&sub1;. (9)
R&sub0; ist der minimale Wert von dem Radius R, weil
imaginär ist, wenn R< w/k&sub1; ist.
In der Praxis kann R&sub0; zu Entwurfszwecken frei gewählt werden, da k&sub1; beliebig ist.
Wir definieren nun
r = R/R&sub0; (10)
so daß
dr = dR/R&sub0; (11)
Dann wird Gleichung (8)
dθ = [r² - 1]/r dr,
eine Differenzialgleichung, die die bekannte Lösung hat:
θ = [r² - 1] - arctan ( [r² - 1]) + C (12)
oder
wobei C die Integrationskonstante ist.
Eine Betrachtung von Gleichung (12) zeigt, daß für positive r es nur dann eine reelle Lösung gibt, falls r≥1 ist, d.h., nur falls R≥R&sub0; ist. Wenn wir C=0 wählen, ist Θ=0, wenn r=1 ist, d.h. wenn R=R&sub0; ist. So daß sich für diese Wahl von G der minimale Wert von R, R&sub0; ergibt, wenn Θ=0 ist.
Figur 6A zeigt einen Graph der Beziehung zwischen Θ und r=R/R&sub0;, definiert durch Gleichung (12), wobei C=0 ist, d.h., durch
θ = [r² - 1] - arctan [r² - 1] (14)
Es ist wichtig anzumerken, daß die Mittellinie des Pfades spiralförmig nach außen verläuft, und es ist deshalb unmöglich, einen geschlossenen Pfad von konstanter Breite w zu konstruieren, der die Gleichung (3),
E(R) = kL/R = K, eine Konstante, erfüllt und die an allen Punkten differenzierbar ist.
Unter Ausnutzung von Symmetrie und Abschwächung der Forderung nach Differenzierbarkeit an einer endlichen Anzahl von Punkten (die auch den Pfad mit nicht-einheitlicher Breite in einer engen Nachbarschaft von solchen Punkten ausmacht) können wir jedoch einen geschlossenen Pfad konstruieren, der in der Praxis zu einer einheitlichen Abtragung führt, wenn Magneten gleicher Länge und Breite mit ihrer Mitte auf der Linie angeordnet werden, die die Mitte des Pfades darstellen, um einen Abtragungspfad mit einheitlicher Breite zu erzeugen (außer bei den nicht-differenzierbaren Punkten). Die maximale Abtragung findet dort statt, wo die Tangenten (nicht eingezeichnet) an den magnetischen Feldlinien (in den Figuren 1 und 9 dargestellt) parallel zu der Oberfläche von dem Target verlaufen. Dies wird als die Mittellinie des magnetischen Mittels definiert. Die Mittellinie ist mit der durch Gleichung (14) definierten Kurve koinzident. Zum Beispiel ist die obere Hälfte A der in Figur 6B dargestellten Kurve durch die Gleichung (14) definiert, wobei 0≤θ≤π gilt. Die untere Hälfte B der Kurve wird durch Spiegelung der oberen Hälfte an der Polarachse erzeugt. Es ist anzumerken, daß die resultierende geschlossene Kurve an den zwei Punkten (0,1) und (π,r(π)) nicht differenzierbar ist.
Alternative geschlossene Pfade (nicht eingezeichnet) können dadurch definiert werden, daß irgendein 180º-Segment der durch Gleichung (14) definierten Kurve genommen wird, wobei θ&sub0;≤Θ≤Θ&sub0;+π und θ&sub0;> 0 ein beliebiger Winkel ist, und daß dieses Segment an der Linie θ=θ&sub0; gespiegelt wird.
Figur 6C ist eine Vergrößerung von Figur 6B, in der wir einen Pfad P mit einem Segment P, konstanter Breite w, das um den größten Teil der oberen Kurve A herum angeordnet ist, und mit einem Segment P&sub2; definiert haben, das um den größten Teil der unteren Kurve B herum angeordnet ist. Es ist anzumerken, daß ein Pfad konstanter Breite nicht in enger Nachbarschaft N&sub1; und N&sub2; der nicht-differenzierbaren Punkte definiert werden kann; wir schließen den Pfad an diesen Punkten jedoch mit den gepunkteten Linien, die in Figur 6C dargestellt sind. Wir haben verifiziert, daß die Wirkung einer nicht konstanten Pfadbreite in enger Nachbarschaft zu diesen zwei diskreten Punkten vernachlässigbar ist.
Figuren 7A und 7B zeigen alternative vielkeulige Ausführungsformen für den Ort der Mittellinie der Magneten. Die Mittellinie C&sub2; im zweiten Quadranten von Figur 7A ist durch Gleichung (14) definiert, wobei π/2≤θ≤π gilt. Die Kurve C&sub2; wird an ihrer Ursprungsachse gespiegelt, um die Kurve C&sub3; zu erhalten. Die Kurven C&sub2; und C&sub3; werden an der π/2-Linie gespiegelt, um C&sub1; und C&sub4; zu erhalten.
In Figur 7B ist die Mittellinie durch Gleichung (14) für 0≤θ≤270º und durch Gleichung (13) für die Sektion des Rückpfades zwischen B und C definiert. Die kurzen Sektionen des Pfades zwischen A und B und zwischen C und D werden willkürlich gewählt, um einen geschlossenen Pfad herzustellen.
Einige Vorteile eines vielkeuligen Magneten gegenüber einem einkeuligen, festgeformten Magneten sind wie folgt:
a. Er braucht nicht so schnell rotiert zu werden, um dieselbe Mittelung zu erzielen. Ein Zweikeulen-Magnet muß nur halb so schnell rotiert werden, ein Dreikeulen-Magnet nur ein Drittel so schnell.
b. Der Magnet ist rotationssymmetrisch und im mechanischen Gleichgewicht.
c. Die addierten Keulen und zugehörigen Spitzen geben zusätzliche Freiheitsgrade, da sie, falls gewünscht, einzeln eingestellt werden können. Zum Beispiel können die Spitzen einzeln eingestellt werden, um Abtragung in der Mitte des Targets zu erzielen.
d. Da die Länge der stationären Abtragungsrille länger ist, ist die elektrische Impedanz von der Quelle geringer.
Der in Figur 7B dargestellte Entwurf ist dafür nützlich, daß er auf natürliche Weise gestattet, daß sich die Abtragung dichter in Richtung des Mittelpunktes der Quelle als der Pfad in Figur 7A erstreckt. Dieser Magnet wird das längste stationäre Abtragungsprofil und deshalb die geringste Impedanz aufweisen. Je größer der Durchmesser der Quelle, desto besser funktioniert dieser Entwurf. Für Quellen mit sehr großem Durchmesser kann dies der gewählte Entwurf sein.
Wir haben basierend auf der in Figur 6B dargestellten Kurve ein Zerstäubungsgerät unter Beachtung folgender Entwurfsüberlegungen hergestellt:
a. Der Magnet sollte leichtgewichtig und relativ einfach herzustellen sein.
b. Das magnetische Feld sollte gleichmäßig und eng um den Umfangerand verlaufen, so daß die mathematischen Voraussetzungen gültig sind.
c. Der Entwurf sollte so sein, daß der gewünschten Kontur genau gefolgt werden kann.
d. Das magnetische Feld sollte groß sein, um die Impedanz der Quelle gering zu halten.
Figur 8A zeigt ein Layout eines von uns hergestellten Magnetentwurfec, das diese Forderungen erfüllt. Dieser Magnet kann für die Magnetanordnung 21 in Figur 2A benutzt werden. Dauermagneten M&sub1; bis M&sub1;&sub4; sind zwischen Haltelementen 31, 33 schichtweise angeordnet, die die Magneten in ihrer Position halten und eine gleichmäßige Verteilung des magnetischen Feldes entlang des Magneten bewirken und die Kontur des Magneten genau definieren. Die Halteelemente können an einen Magnetträger punktgeschweißt werden. Alternativ kann das magnetische Mittel ein einzelner Magnet sein, der eine von den Halteelementen 31 und 33 bestimmte Kontur aufweist.
Die in Figur 6B dargestellte Kurve A, B reicht durch die Mitte jedes Magneten, und die Mittellinie Ci jedes Magneten verläuft senkrecht zu der Kurve A, B. Es ist ausreichend für die Dicke des Halteelementes hinreichend klein zu sein, so daß es flexibel genug ist, in die gewünschte Kontur gebogen zu werden. Es wurden Tests durchgeführt, um die erforderliche Dicke für die Eisen-Halteelemente zu bestimmen. Es wurden Dauermagneten zwischen Halteelementen mit unterschiedlicher Dicke angeordnet. Die benutzten Magneten bestanden aus Samarium-Kobalt mit einem Energieprodukt von 18 MGO mit Abmessungen von 3/4" × 3/4" × 0.32" (1"=25.4mm). In den meisten Fällen wurden zwei Magneten zur Bildung einer Einheit benutzt, so daß der Magnet 0.64" tief war. Auch der Abstand zwischen den Magneten wurde variiert. Durch diese Tests wurde herausgefunden, daß eine Dicke von 1/16 Zoll ausreichend war (siehe Tabelle 1 unten). Tabelle 1 Wirkung der Halteelemente Beabstandung Halteelemente B bei 0.570 Zoll gauss
Das Magnetfeld wurde mit einer Hall-Sonde gemessen, und die resultie renden Feldlinien sind in Figur 9 dargestellt. Die Messungen wurden mit der Magnetanordnung durchgeführt, die in vorherigen Tests benutzt wurden, wobei Halteelemente mit 1/16 Zoll Dicke und Abstände zwischen den Magneten von 0.4 Zoll benutzt wurden. Das maximale Feld an einem Punkt 1/2 Zoll über dem Magnet, die für das Target und die Rückplatte normalerweise erforderliche Entfernung, beträgt über 500 Gauss. Dieses ist ein stärkeres Feld als notwendig. Mit stärkeren Magneten würde dieses Feld sogar noch stärker werden, was uns erlaubt, falls gewünscht, dickere Targets zu verwenden. Aus der Form der Feldlinien wird eine sehr schmale stationäre Abtragungsrille vorhergesagt. Dies ist ein Vorteil für unseren Entwurf, da er gestattet, daß das stationäre Abtragungsprofil wohldefiniert und vorhersagbar ist.
Man weiß, daß Wirbelströme in dem Target und der Rückplatte durch die Bewegung des Magneten das Magnetfeld verschlechtern und die Benutzung der Quelle negativ beeinflussen. Diese Effekte wurden experimentell bestimmt. Zwei große Scheiben, eine aus Aluminium und eine aus Kupfer, jede 1/4 Zoll dick, wurden zusammengeschraubt, um das Target und die Rückplatte der Zerstäubungsquelle zu simulieren. Die Scheiben wurden an einer Drehmaschine befestigt und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten rotiert. Das in Figur 10A dargestellte Magnetbauteil wurde an einer Seite und eine Hall-Sonde auf der anderen Seite angeordnet. Es wurden Messungen bei verschiedenen Positionen A-H des Magneten durch geführt, wie in der Figur angedeutet wird. Bei normalem Betrieb in einer Versamag -Quelle (Figur 2) wird der Magnet mit 57 Umdrehungen pro Minute oder weniger gedreht. Bei diesen Frequenzen sind die Wirkungen der Wirbelströme gering, wie aus Figur 10B zu entnehmen ist. Wie erwartet, hängt die Wirkung der Wirbelströme von der Position ab. Die Wirkung der Wirbelströme besteht bei einem gegebenen Ort A-C entlang der Kontur auch darin, die Feldlinien nach einer Seite zu verschieben, wie aus den Figuren 11A und 11B ersichtlich ist. Bei weniger als 57 Umdrehungen pro Minute hat sich wiederum herausgestellt, daß auch dieser Effekt vernachlässigt werden kann.
Die Analyse und die oben beschriebene Konstruktion kann in einer wicLtigen Weise generalisiert werden. Sie kann auf den Fall ausgedehnt werden, bei dem das Abtragungsprofil nicht konstant ist.
Wir nehmen wiederum an, daß die Breite des stationären Entladungspfa des eine Konstante w ist. Wenn wir E(A) als ein vorgewähltes, nicht konstantes Abtragungsprofil annehmen, ergibt sich wiederum
E(R) = kL(Arc(R))/R
oder
E(R) = kL/R, (G-1)
wobei L=L (Arc(R)). Wie zuvor bei Figur 5 ergibt sich
Benutzung von Gleichung (G-1) ergibt:
Wir definieren R&sub0;E(R&sub0;)/kW = 1 , wobei R&sub0; der minimale Radius und E(R&sub0;) die Abtragung bei R=R&sub0; ist. Dann wird Gleichung (G-2)
Wir definieren den normalisierten Radius u=R/R&sub0; und die normalisierte Abtragung
ξ (u) = E(R)/E(R&sub0;).
Dann
so daß
wobei r die obere Grenze der Integration ist oder
Es gibt grundsätzlich keine Einschränkung des vorgewählten Abtragungsprofils ξ(u), außer daß das bestimmte Integral existieren sollte, was unter anderem dann erfüllt ist, wenn ξ(u) abschnittsweise konstant und ξ(u)u> 1 ist.
Die Gleichung (G-4) definiert die Beziehung zwischen Θ und r und die in Gleichung (G-4) geforderte Integration kann numerisch ausgeführt werden, um die Beziehung zwischen Θ und r graphisch darzustellen.
Mit demselben Vorgehen können wir einen geschlossenen Pfad unter Benutzung von Gleichung (G-4) oder (G-5) entwerfen, um die Mittellinie des Pfades über einem ausgewählten Winkelintervall zu definieren. Zum Beispiel können wir, wenn (G-4) den Mittellinienabschnitt für 0≤Θ≤π definiert, eine geschlossene Mittellinie durch Spiegelung dieses Segmentes an der Polarachse konstruieren.
Für r≥π/2 haben wir eine ausreichende Annäherung der Form
θ = C(r) ( [r² - 1] - arctan [r² - 1] (G-6)
gefunden.
Die Form von C(r) wird durch die Tatsache nahegelegt daß, falls u²ξ²(u> 1 für u≥u&sub0; gilt, die Gleichung (G-4) dann ersetzt werden kann durch
Auf der anderen Seite aus (G-6) für r> 1, haben wir
θ = C(r)(r - π/2) (G-8)
deshalb definieren wir C(r) durch
Für 1≤r< π/2 nehmen wir C(r)=1 in (G-5), das zu der Gleichung für gleichmäßige Abtragung führt. Mit dieser Annäherung können wir einen Pfad entwerfen, der eine gleichmäßige Abtragung für 1≤r≤π/2 und beliebige Abtragung für R> π/2 bietet.
Durch die Benutzung der Gleichungen (G-6) und (G-9) haben wir die Kontur des Magneten errechnet, der erforderlich ist, um ein gegebenes Abtragungsprofil für mehrere ausgewählte Abtragungsprofile zu erzeugen. Figuren 12A-E zeigen die Ergebnisse dieser Berechnungen. Die Mittellinie (nicht eingezeichnet) jeder Kontur ist durch Gleichung (G-4) definiert und durch Gleichung (G-6) und (G-9) approximiert. Die Breite jeder Kontur ist konstant und vorzugsweise klein.
Spalte 1 in Figuren 12A bis 12E zeigt das vorgewählte Abtragungsprofil. Spalte 3 zeigt die berechnete Form des Magneten, der dem vorgewählten Abtragungsprofil in Zeile 1 entspricht. Die Gleichungen (G-6) und (G-9) werden benutzt, um die Mittellinie des Magneten zu bestimmen. Anhang 1 zeigt einen Quellcode eines Gomputerprogramms, das in der Lage ist, die Mittellinie zu errechnen, die dem konstanten Abtragungsprofil von Figur 12A und den geneigten Abtragungsprofilen von Figuren 12B und 12C entspricht.
Spalte 2 zeigt eine graphische Simulation des Abtragungsprofils, das durch die Technik erzielt wurde, die benutzt wurde, um, wie zuvor beschrieben, Figur 3G zu entwerfen. Die Übereinstimmung zwischen den Entwurfsabtragungsprofilen (Spalte 1) und den Profilen, die durch eine graphische Überprüfung erzielt wurden (Spalte 2), ist sehr gut. Die Magnetformen scheinen auf den ersten Blick sehr ähnlich, aber eine sorgfältige Betrachtung zeigt erhebliche Unterschiede, die zu verschiedenen Abtragungen führen.
Die Möglichkeit, einen Magneten mit einem vorbestimmten Abtragungsprcfil zu entwerfen, ist bedeutsam, da sie gestattet, die Form der Abtragung in einer vorhersehbaren und kontrollierbaren Art und Weise zu verändern, um eine zerstäubte Schicht mit ausgewählten Eigenschaften zu erhalten. Es sind letztlich die ausgewählten Eigenschaften und die Qualität der zerstäubten Schicht am wichtigsten. Ein nicht-optimales Abtragungsprofil könnte bevorzugt werden, falls es zu einer gleichmäßigeren Schicht oder zu einer Schicht mit anderen ausgewählten Tiefen-Charakteristiken führt.
Die Möglichkeit, das Abtragungsprofil zu steuern, gestattet es uns, bei geringeren Targethöhen und Waferentfernungen zu arbeiten. Im einzelnen gestattet das gleichmäßige Abtragungsprofil, das von der Magnetanordnung in Figur 8 erzeugt wurde, eine enge Verbindung zwischen dem Wafer und dem Target. Dies reduziert die Gaszerstäubung und erhöht die Zerstäubungsraten, was zu einem größeren Durchsatz führt. Dies führt auch zu einer besseren Target-Verwendbarkeit, da geringere Seitenverluste in bezug auf die zerstäubten Atome vorkommen. Bei gleichmäßiger Abtragung kann die Entfernung zwischen dem Target und dem Magneten verändert werden (durch das Gerät nicht gezeigt), wenn das Target abgetragen wird, wobei die elektrischen Eigenschaften der Quelle wahrend der Lebenszeit des Targets konstant gehalten werden.
Die in Figur 8 gezeigte Magnetanordnung wurde dadurch getestet, daß sie anstelle eines Magnetbauteils 21 gemäß dem Stand der Technik in einer in Figur 2B dargestellten Zerstäubungsquelle 14 benutzt wurde. Es wurde herausgefunden, daß diese neue Quelle bei so niedrigen Drükken wie 0,2 Millitorr arbeiten würde. Es wurde auch bei Drücken zwischen 2 und 10 Millitorr getestet. Bei einem Strom von 5 Ampere und einem Druck von 5 Millitorr ist die statische Impedanz ungefähr 70 Ohm und die dynamische Impedanz ungefähr 15 Ohm.
Figur 13 zeigt das gemessene Abtragungsprofil dieser neuen Quelle und vergleicht das Ergebnis mit dem vorhergesagten Profil unter Verwendung der graphischen Simulationstechnik, die in Zusammenhang mit den Figuren 3A und 3C erklärt wurde. Die Übereinstimmung zwischen der gemessenen und vorhergesagten Abtragung ist sehr gut.
Es ist lehrreich, die obigen Ausführungsformen mit den in der veröffentlichten europäischen Patentanmeldung Nr. 211 412 und der veröffentlichten japanischen Patentanmeldung 62-2111,375, auf die vorstehend Bezug genommen wurde, zu vergleichen.
Figur 14A zeigt einen Magneten, der gemäß der Lehre der 412-Veröffentlichung hergestellt wurde. Figur 14B zeigt das berechnete Abtragungsprofil für solch einen Magneten. Man beachte, daß die Abtragung bei kleinen Radien nicht gleichmäßig ist.
Die 375-Veröffentlichung stellt fest, daß Magneten, die entlang einer herzartig geschlossenen Kurve angeordnet sind, ausgedrückt durch die folgende Gleichung
r = l - a + 2a θ π (A-1)
zu einer einheitlichen Abtragung führt (aber nicht einheitlicher Schichtdicke). Figur 15A vergleicht die Gleichung (A-1) der 375 mit der Gleichung (14), die wir für eine gleichmäßige Abtragung abgeleitet haben. Diese Kurven sind darin signifikant unterschiedlich, so daß sie zu substantiell verschiedenen Abtragungsmustern führen. Figur 15B zeigt, daß das Abtragungsprofil für Gleichung (14), das flach ist, und das Abtragungsprofil, das der Gleichung (A-1) entspricht, nicht konstant ist und in der Tat über denselben Bereich von R um ungefähr 48% variiert.

Claims

1. Magnetron-Zerstäubungsgerät mit:

einer Vakuumkammer;

einem Mittel zur Befestigung eines Targets mit einer Vorderfläche in der Vakuumkammer; und

einem drehbaren magnetischen Mittel zur Erzeugung eines sich drehenden magnetischen Feldes über der Vorderfläche des Targets, wobei das magnetische Feld eine Mittellinie aufweist, die eine geschlossene Kurve in der Ebene der Vorderfläche des Targets bildet,

wobei die magnetischen Mittel so konfiguriert sind, daß wenigstens ein erster Abschnitt der normierten Mittellinie des magnetischen Mittels in Polarkoordinaten (r, Θ) durch eine Gleichung der Form

darstellbar ist, in der u der normierte Radius der Drehachse des magnetischen Feldes, ξ (u) ein vorgewähltes normiertes Abtragungsprofil, das in dem Target während der Rotation des magnetischen Mittels hergestellt werden soll, G eine ausgewählte Konstante ist und Θ eine ausgewählte Bandbreite hat.

2. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das vorgewählte Abtragungsprofil ξ (u) eine Konstante ist und der erste Abschnitt durch eine Gleichung der Form

θ = [² - 1 - arctan r² - 1 + C beschreibbar ist, bei der C eine ausgewählte Konstante ist.

3. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 1, daduch gekennzeichnet, daß jeder Abschnitt der Kurve durch eine Gleichung der angegebenen Form für eine bestimmte Wahl von C und eine ausgewählte Bandbreite von θ beschrieben ist.

4. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß ein zweiter Abschnitt der Mittellinie durch Spiegelung des ersten Abschnitts an einer ausgewählten Achse erzielt wird.

5. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das magnetische Mittel eine erste Mehrzahl von Magneten mit einheitlicher Länge enthält, wobei die Mitte der Mittellinie, die die Pole aller Magneten der ersten Mehrzahl trennt, auf dem ersten Abschnitt liegt.

6. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daßdas magnetische Mittel eine erste Mehrzahl von Magneten und eine zweite Mehrzahl von Magneten enthält, wobei die Mitte der Mittellinie, die die Pole aller Magneten der ersten Mehrzahl trennt, auf dem ersten Abschnitt und die Mitte der Mittellinie. die die Pole aller Magneten der zweiten Mehrzahl trennt, auf dem zweiten Abschnitt liegt.

7. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch ein erstes und ein zweites Haltemittel aus magnetischem Material, von denen jedes vom größten Teil des ersten Abschnitts gleichmäßig beabstandet ist, um das von dem magnetischen Mittel erzeugte magnetische Feld entlang des ersten Abschnitts gleichmäßig zu verteilen.

8. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß die Haltemittel flexibel sind.

9. Zerstäubungsgerät nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß 0≤θ≤π/2 gilt.