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Drehwaage für gravimetrische Untersuchungen Die Coulombsche Dreh-
oder Torsionswaage mit zwei Gewichtsmassen, die durch Roland von E ö t v ö s vervollkommnet
wurde, findet eine immer mehr verbreitetere Anwendung zur Ermittelung von Erzlagern
und macht häufig die kostspieligen Versuchsbohrungen überflüssig.
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Zur Bestimmung der geologischen Struktur der tief liegenden Schichten
mittels der Torsionswaage zeichnet man die Isogramme auf, d. h. die Kurven, welche
die Punkte gleicher Intensität der senkrechten Komponente der Schwere verbinden.
Diese senkrechte Komponente wird nacheinander mittels eines Netzes von feststehenden
Punkten, sogenannten Stationspunkten, berechnet, indem man für jeden derselben die
Zunahme entsprechend der waagerechten Verstellung um je einen Zentimeter festlegt.
Diese Zunahme wird auf Grund der Anzeigen der Waage im Laufe der Beobachtungen der
Stationspunkte bestimmt.
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Es genügt, an jedem Stationspunkt zwei Werte
und
zu kennen, in denen U (x, y, z) die potentielle Funktion der Schwere ist
und x, y, z die nach Norden, nach Westen und senkrecht nach unten (Abb. s) von einem
gemeinschaftlichen Ausgangspunkt aus gemessenen Koordinaten sind. Die bisher gebräuchlichen
Waagen bestehen aus zwei geraden Waagebalken, die nebeneinander liegen und mittels
zusammengedrehter, starrer Platin-Iridium-Drähte an ein und demselben Punkt aufgehängt
sind. An dem einen Ende jedes Waagebalkens ist ein Gewicht befestigt und an dem
anderen ein Draht, an welchem ein gleiches Gewicht in bestimmter Höhe (Abb. a) aufgehängt
ist.
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Leider geben die Waagen nur die beiden Werte
und
gleichzeitig mit den anderen abgeleiteten Funktionswerten
und
an. Um die Werte und
zu erhalten, ist man gezwungen, eine Reihe von linearen Gleichungen erster Ordnung
mit vier'Unbekannten aufzulösen, und diese Unbekannten sind die vier abgeleiteten
Funktionen nachstehender Formel:
Nach der wohlbekannten Theorie der Torsionswaagen findet das Gleichgewicht jedes
Waagebalkens,
nach dem Azimuth A eingestellt, in nachstehender Gleichung seinen Ausdruck:
T bedeutet die Winkelabweichung des Waagebalkens, m die an den Enden jedes Waagebalkens
aufgehängte Gewichtsmasse, h die Höhendifferenz jeder der beiden Massen injedes
Waagebalkens, l die Länge des Waagebalkens und t den Drehungskoeffizienten des Platindrahtes.
K bezeichnet das Trägheitsmoment des Systems in bezug auf die senkrechte Achse,
die mit dem Platindraht zusammenfällt. Die Null der Skala ist infolge der Schwankungen
im molekularen Zustand des Drahtes veränderlich; man hat somit fünf Unbekannte,
nämlich die Null und die vier abgeleiteten Funktionen. Man müßte deshalb mit einer
Waage mit einem Balken an jedem Punkt mindestens fünf Beobachtungen unter fünf verschiedenen
Azimuthen vornehmen.
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Mittels Waagen mit zwei Balken würden die Beobachtungen sechs Gleichungen
geben zur Ermittelung der sechs Unbekannten: Uxz, U" U"Y, UD und die beiden Nullen
entsprechend den beiden Waagebalken. Tatsächlich ist man gezwungen, mindestens vier
Beobachtungen vorzunehmen, um die Kontrollgleichungen zu erhalten.
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Das Auftreten der beiden Unbekannten Uxy und UD zwingt zur Vornahme
einer größeren Anzahl Beobachtungen an jedem Stationspunkt und verringert infolgedessen
die Genauigkeit der Messungen. Diese Übelstände liegen in der Natur der Torsionswaage
mit Waagebalken mit zwei Gewichtsmassen, wie sie bis heute üblich ist, da sie von
der Anzahl der Massen abhängen, die bei allen bekannten Ausführungsformen der Waage
dieselbe ist.
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Diese Übelstände kommen in Wegfall bei Verwendung von Waagebalken
mit yz gleichen Massen, die an den Enden von zz (n --- 2) Armen gleicher
Länge aufgehängt sind, wobei die n Arme zusammen den Waagebalken bilden und symmetrisch
um einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt angeordnet sind. Die 7a Massen werden .in
verschiedenen Höhen hl, hl ... h" an den Enden der Arme befestigt
bzw. aufgehängt.
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Die Gleichgewichtsgleichung eines derartigen Waagearmes enthält nur
die Unbekannten U.,Z und Uyz. Somit ist der einfachste Fall der in Abb. 3 dargestellte,
wo lz - 3 ist.
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In dieser Waage besteht jeder Balken aus drei geraden Stangen 0A,
0I3, 0C gleicher Länge 1, die symmetrisch zur Mitte des Balkens angeordnet sind.
Drei unter sich gleiche Massen in sind an den Ecken a, B, c des gleichschenkligen
Dreiecks aufgehängt, welches durch die freien Enden der drei Stangen gebildet wird.
Die eine, B, sitzt unmittelbar am Balken, die zweite, A, in einem Abstande aA
- h und die dritte, C, in einem doppelten Abstand cC = 2h vom Ende
c.
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Der Balken selbst hängt an einem starren Draht, dessen Torsionskoeffizient
t ist.
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Es ist leicht festzustellen, daß die Projektionen auf die Achsen 0x
und 0y der Schwerkräfte, die an den MassenA, Bund C (Abb. z) angreifen, folgende
sind: für A ml # cos A Ux2 + ml # sin A Uxy -f- mh #
Uz und ' nzl # cos A Uxy + ml # sin A Uy2 -I- mit #
Uy-#; für B ml cos (A -E- i--o°) U,2 -f- ml sin (A -E--
igo°)Uxy und ml . cos (A + i2o°) Uxy -i- ml # sin
(A -E- i?,o°) Uy2; endlich für C: ml . cos (A + i20°) U,2 +
ml # sin (A - i20°) Uxy + 2mh U, und ml # cos (A - i2o°) Uxy- -r
ml sin (A -- i2o°) Uy.2 -f- 2mh Uyz, U,2 und Uy 2 bezeichnen
und
Man erhält somit als Werte ihrer entsprechenden Momente zur senkrechten Achse o-x,
für A .
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m12 cos 2 A U,y. + 1 m12 sin 2 A UD + mhl (U., cos
A - U"-- sin A) ;
für B ' m12 cos (2 A -E- 24o°) Uxr
+ z m12 sin (2 A + 24o°)_UD; für C ml' cos (2 A-240°) Uxy + ml2sin(2A-24o°)
UD2nahl [Uy-z cos(A-x2o°)-U"sin (A-120°)].
Summiert und vereinfacht
erhält man als Gesamtmoment:
und die Gleichgewichtsgleichung für den nach dem Azimut A gerichteten Waagebalken
lautet:
wobei T die Abweichung des Waagebalkens und t den Torsionskoeffizienten des Aufhängedrahtes
bezeichnet.
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Ein einzelner Balken mit drei Massen gibt die Unbekannte: C'xZ, UYz
und die entsprechende Null der Skala. Somit sind vier Beobachtungen, einschließlich
einer Kontrollbeabachtung, erforderlich.
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Vermehrt man die Anzahl der Balken, so vermindern sich die an jedem
Punkt vorzunehmenden Beobachtungen.
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Die in Abb. 4. dargestellte Waage hat drei gleiche Balken, deren jeder
drei Arme und drei Massen besitzt und die parallel nebeneinander so angeordnet sind,
daß die drei unter sich gleichen Massen m der Enden der drei nebeneinanderliegenden
Arme der drei verschiedenen Balken in verschiedenen Höhen stehen (Abb. 3). Die drei
Massen liegen in bekannter Weise innerhalb von Glasröhren zum Schutze gegen äußere
Einflüsse.
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Zwei mittels einer derartigen Waage nach zwei Richtungen ausgeführte
Beobachtungen genügen zur Feststellung der Werte
und Waage vier Messungen vornehmen muB; denn
während man mittels einer Eötvöses sind fünf Unbekannte (U"., U" und die drei entsprechenden
Nullen der drei Balken) erforderlich. Jede Beobachtung liefert drei Gleichungen,
so daß man mit zwei Beobachtungen deren sechs erhält, was zur Ermittelung der Unbekannten
genügt; eine der Gleichungen dient außerdem zur Kontrolle.
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Die Ausführung der Waage nach der Erfindung entspricht in ihrem Bau
der bekannten Eötvös-Waage mit zwei Gewichtsmassen, nur daß es vorteilhaft ist,
an Stelle des gewöhnlichen selbsttätigen Registrierverfahrens mit einer feststehenden
photographischen Platte eine sich sehr langsam kontinuierlich umdrehende Platte
zu verwenden, wodurch man in der Lage ist, nicht die feststehende Lage des Lichtpunktes,
die dem Gleichgewicht des Balkens entspricht, zu photographieren, sondern die kontinuierliche
Kurve (Sinuskurve) entsprechend den Ausschwingungen des Balkens und die Gleichgewichtslage
des Balkens durch den Mittelwert einer gewissen Anzahl von Maximallängenstellungen
zu bestimmen.