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Drehwaagengehänge für Schweremessungen
Die Gleichung zur Bestimmung
der Schwerevariationen mit den Drehwaagen von Eötvös ist unter der Voraussetzung
abgeleitet, daß die auf die Attraktionsmassen wirkenden Kräfte innerhalb der Abmessungen
der Drehwaage linear mit dem Abstand der Attraktionsmassen vom Schwerpunkt wachsen.
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Das hat zur Folge, daß in der Gleichung für den Gleichgewichtszustand
des Gehänges nur die zweiten Ableitungen der Potentialfunktion der Schwere vorkommen.
Diese zweiten Ableitungen und die daraus berechneten Werte, Krümmungsgröße und horizontaler
Gradient der Schwere, haben die Größenordnung lo-9, während die Koeffizienten der
Gleichung etwa von der Größenordmlng Io4 sind.
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Die genannte Voraussetzung von der linearen Änderung der Schwere
ist nur angenähert richtig.
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Bei höheren Anforderungen muß angenommen werden, daß die Schwere innerhalb
der Abmessungen der Drehwaage sich nicht proportional der ersten Potenz der Entfernung
der Attraktionsmassen vom Schwerpunkt des Gehänges ändert, sondern daß auch höhere
Potenzen, d. h. zunächst die zweiten Potenzen des Abstandes, berücksichtigt werden
müssen. Dann treten in der Gleichung der Drehwaage außer den zweiten Ableitungen
des Schwerepotentials U auch noch die dritten auf; die Gleichgewichtsbedingung heißt
dann:
Diese Gleichung spricht die Gleichheit des durch die Gravitationskräfte an den Gehängemassen
erzeugten Drehmomentes fund des Gegendrehmomentes n - n0 # . des Torsiondsdrahtes
aus. # ist die 2 p D Torsionskonstante des Drahtes, der Ver-2 p D drillungswinkel,
n0 die torsionsfreie Stellung, n die tordierte Stellung, n-n, die Stellungsdifferenz
in Skalenteilen und 2 pD die Schenkellänge des Torsionswinkels, ausgedrückt in der
Anzahl der Spiegelreflexionen p und der Brennweite D der Linse, die die Lichtmarke
abbildet. a ist das Azimut des Drehwaagengehäuses, U die Potentialfunktion der Schwere.
x, y, z sind die Richtungen geographisch Nord und Ost und Lot. #, #, # sind die
Koordinaten der Attraktionsmassenpunkte des Gehänges in dem #-#-#-Koordinatensystem,
dessen Nullpunkt der Schwerpunkt des Gehänges ist, dessen #-Achse die Richtung des
horizontalen Balkens des Gehänges ist, dessen #-Achse senkrecht dazu in der Horizontalebene
verläuft und dessen #-Achse mit dem Lot zusammenfällt.
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Die Integrale sind über alle Massenpunkte des Gehänges zu erstrecken.
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Da t die Potentialfunktion der Schwere ist, so ist # U # Uz #²U U#
? die Schwere selbst und Uzx = = # z #z#z die Zunahme der Schwere pro Zentimeter
Nordrichtung # Uz #²U Uzy = = die Zunahme der Schwere pro #y #z#y Zentimeter Ostrichtung.
Aus Uzx und U2, errechnet sich der horizontale Gradient der Schwere
Uzy und sein Azimut γ durch tg γ = .
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# Uz #²U Uz2 = = ist die Zunahme der Schwere # z #x² pro Zentimeter
Lotrichtung ? Vertikalgradient der Schwere.
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Uyyx - Uxxx/² = (Uyy - Uxx/²)x und Uyyy/² - Uxxy lassen sich nicht
physikalisch deuten.
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# (Uyy - Uxx) Uyyz - Uxxx = (Uyy - Uxx)z = und # Uxy Uxyz = sind
die Änderungen, welche die #z Bestimmungsstücke Uyy - Uxx und Uxy der Lrümmungsgröße
K =
- 2 Zxy deren Azimut # durch tg # = gegeben Uyy - Uxx ist, pro Zentimeter der Lotrichtung
erleiden.
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# Uxy # Uxy Uxxy = und Uxyy = sind die #x #y Änderungen von Uxy pro
Zentimeter der x = Nordrichtung und pro Zentimeter der y' = Ostrichtung erfahren.
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Uzu = u ~ Zunahme des Vertikalgradienten #z der Schwere pro Zentimeter
der Nordrichtung
# Uzz und Uzzy = = Zunahme des Vertikal-#y gradienten
der Schwere pro Zentimeter der Ostrichtung ergeben den horizontalen Gradienten
des Vertikalgradienten der Schwere und sein Azimut aus tg # = Üztx Aus U, und #
kann man die Isanomalen des Vertikalgradienten U2z der Schwere berechnen und kurvenmäßig
darstellen. U2s,z = 8-aUZy ist die 8 Änderung von Uxy pro Zentimeter der Lotrichtung.
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Die dritten Ableitungen sind etwa von der Größenordnung IOt Ihre
Messung stellt also an die Empfindlichkeit und Genauigkeit der Drehwaage noch höhere
Anforderungen als die Messung der Krümmungsgröße und des horizontalen Gradienten
der Schwere.
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Es zeigt sich im weiteren Verlauf der Darstellung, daß diese Schwierigkeit
mindestens zum Teil durch die Gehängekonstruktion behoben werden kann.
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In der obigen Darstellung der erweiterten Drehwaagengleichung besteht
das Drehmoment der Attraktionsmassen, d. h. die rechte Seite, aus zwölf Gliedern
(Summanden). Jedes Glied ist ein Produkt aus einem Differentialausdruck und einem
Koeffizienten, der seinerseits wieder eine Summe aus zwei oder vier Gliedern ist.
Die Glieder dieser Summen enthalten als Koeffizienten von trigonometrischen Funktionen
zwei oder vier der folgenden zwölf Integrale:
Der Wert dieser Integrale hängt ab von der Anzahl, Größe und geometrischen Anordnung
der Attraktionsmassen des Gehänges, d. h. von den Werten m, #,#, 5.
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Diese können so gewählt werden, daß bestimmte Integrale z. B. Null
werden. Werden beispielsweise die beiden Integrale eines zweigliedrigen Koeffizienten
Null, so ist der ganze Koeffizient Null, und der mit diesem Koeffizienten multiplizierte
Differentialausdruck verschwindet in der Gleichung des betreffenden Gehänges. Wenn
man von vornherein festlegt, welche Difterentialausdrücke mit dem zu konstruierenden
Gehänge gemessen werden sollen, so dürfen deren Koeffizienten nicht Null werden,
während zugleich die Koeffizienten der nicht zu messenden Differentialausdrücke
Null werden müssen.
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Fig. 1 stellt ein Gehänge dar, mit dem man in sieben Azimutstellungen
Uyy - Uxx, Uxy, Uzx, Uzy, Uzzx, Uzzy und no, also die Krümmungsgröße, den horizontalen
Gradienten der Schwere und den horizontalen Gradienten des Vertikalgradienten der
Schwere bestimmen kann. Für die Attraktionsmassen und ihre Koordinaten gelten die
folgenden Gleichungen:
Ferner gelten die allgemeinen Bedingungsgleichungen:
Es sind vier gleiche Massen angenommen, so daß m1 = = m3 = m4 = m.
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Die dargestellte Lösung ist gegeben durch
h Der Schwerpunkt S liegt um die Strecke unter 4 der Balkenmitte.
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Die Richtigkeit der Lösung ist durch Einsetzen in die Bestimmungsgleichungen
zu beweisen. Man findet unter anderem
Setzt man die Werte aller Integrale in die erweiterte Gehängegleichung ein, so nimmt
diese die Form an
Das Gehänge der Fig. 2 mißt in fünf Azimuten Uyy Uxx, Uxy, Uzzx, Uzzy und no, also
die Krümmungsgröße und den horizontalen Gradienten des Vertikalgradienten der Schwere.
Die Bestimmungsgleichungen für vier gleiche Massen sind
Die Koordinaten
befriedigen diese Gleichungen und liefern
Die Gleichung des Gehänges ist
Mit dem in Fig. 3 dargestellten Gehänge wird der horizontale Gradient der Schwere,
der vertikale
Gradient der Krümmungsgröße und der horizontale Gradient
des Vertikalgradienten der Schwere und n0 in sieben Azimuten gemessen.
Die Lösung des Systems ist
NIan erhält
I)ie Gehängegleichung ist