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Apparat zur Lösung bestimmter Differentialgleichungen. Gegenstand
der Erfindung ist ein Apparat zur Lösung bestimmter Differentialgleichungen durch
Entwicklung nach -der Fouriersehen Reihe. Eine Ausführungsform ;des Apparates, welcher
Gegenstand der Erfindung ist, ist auf .der Zeichnung in Abb.. i, 2 und 3 für die
Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordung mit konstanten Koeffizienten schematisch
dargestellt.
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Der Rahmen a trägt drei Scheibensysteme b,
c und d. Die
Anordnung ist .so getroffen, @daß bei einer Verschiebung des Rahmens entlang der
Schiene e das Scheibensystem b sich mittels Zahnrad f und an ,der
Schiene angebrachter Zahnstange während einer Periode der vorliegenden Kurve auch
einmal dreht. Das System c dreht sich bei der Zurücklegung .des Weges zweimal, während
das System d sich dreimal dreht. Die Systeme können beliebig vermehrt werden. Die
Antriebsräder sind ,dann so zu wählen, :daß jedes folgende System sich einmal mehr
dreht.
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Sind z Scheibensysteme vorhanden, so gibt der Apparat die zwei z=Koeffizienten
für die Glieder sin o_, sin 2 a, sin 3 u . . . sin z a cos u, cos 2 ü, cos 3 a .
. . cos z a der Fourierschen Reihe nach der Größe und .dem Vorzeichen an.
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Sind die in Abb. 2 und 3 besonders dargestellten drei Scheiben eines
Systems miteinander starr verbunden, derart, daß die Mitte der oberen Scheibe 17
nicht mit der Mitte der unteren Scheibe 16 zusammenfällt, so werden die die oberen
Scheiben umfassenden Kurbelschleifen g, h und i nach einem Sinu Gesetz
verschoben. Diese Verschiebungen werden durch die Hebel k, 1, m auf die Verbindungsstange
n übertragen. Der Schreibstift o an ,dem Ende .dieser Verbindungsstange zeichnet
dann die aus den Einzelverschiebungen resultierende Kurve. Je nach der Exzentrizität
der einzelnen Scheiben und der Phasenverschiebung erhält die Kurve eine verschiedene
Form. Die Verbindungsstange n ist in ihrer Länge verstellbar, sie habe die Länge
Ao. Dann schreibt bei einer Verschiebung ein Stift aim Punkte o eine Kurve mit der
Gleichung _ , A1 sin a+ A2 sin 2 a+. . . A, sin z a @` - A°
T Bi cos a + B2 cos 2 a -i- . . . Bi cos z x
wenn z Scheibensysteme
vorhanden sind. Man erhält den Wert des Differentialquotienten z. Ordnung des Sinus
oder Kosinus eines Winkelvielfachen nach dem-Winkel differenziert,
und
zwar nach der Größe und dem Vorzeichen, wenn man den Faktor des Winkelvielfachen
mit der ursprünglichen Funktion des um
vergrößerten Winkelvielfachen und mit dem Vielfachen des Winkels multipliziert.
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Die Kurbelschleifen p, q und r der Abb. i sind gegenüber
den Kurbelschleifen g, h und i entgegen der Drehrichtung der Scheibensystezne um
den Winkel
gedreht. Unter dem Einfluß der Kurbelschleifen verschieben sich dann die Punkte
s, t und u um den Wert des Differentialquotienten i. Ordnung der ursprünglichen
Sinusfunktion, wenn,die Hebel w und x die Schleifenverschiebung verdoppeln .und
die Hebel y und z dieselben verdreifachen. Die Summe der Quotienten wird durch Hebel
und Gestänge auf die Verbindungsstange i übertragen. Ein Stift im Punkte v beschreibt
bei der Verschiebung die erste Differentialkurve des vom Punkte o erzeugten Linienzuges.
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Die Verschiebung der Punkte :2, 3 und 4 stellt entsprechend die Differentialquotienten
i. Ordnung der Bewegung der Punkte s, t und u oder die Differentialquotienten 2.
Ordnung der ursprünglichen Funktionen dar, wenn die Hebel 5 und 6 .die Verschiebung
der Kurbelschleife vervierfachen und die Hebel 7 und 8 dieselbe verneunfachen. Die
Summe dieser Verschiebungen wird durch Hebel auf die Verbindungsstange 9 übertragen.
Ein Stift im Punkte io verzeichnet die zweite Differentialkurve des vom Punkte o
erzeugten Linienzuges. Die mit der Verbindungsstange i i verstellbar verbundene
Stange 12 überträgt einen von der Wahl des Angriffspunktes auf der Stange i i abhängenden
Teil der Bewegungen der Punkte o und v auf die Stange 13, die anderseits
im Punkte io eine Verschiebung im Betrange des zweiten Differentialquotienten von
o erfährt. Ein Punkt i4 :dieser Stange 13 und damit auch der Punkt 15 erfährt
also eine Verschiebung
Die Größen C, D und E hängen von der Wahl des Angriffspunktes der Stange i2 an Stange
Ir und von der Wahl des Punktes 14 auf Stange 13 ab. y hat die Form der Fouriersehen
Reihe als Funktion von x oder der Hilfsveränderlichen a.
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Ist f (x) als. Kurve für rechtwinklige Koordinaten begeben,
so läßt sich A" leicht bestimmen. Sind außerdem C, D und E durch die gestellte
Aufgabe bekannt und alle vier Werte am Apparat eingestellt, so stellen sich bei
dem Befahren der Kurve f (x) mit dem Stift in Punkt 15 die Scheibensysteme
b, c und d usw. exzentrisch ein, wenn die einzelnen Scheiben eines Systems verschiebbar
miteinander verbunden sind. Die Größe der wagerechten Verschiebung zwischen der
Mitte der unteren Scheibe 16 und der Mitte der oberen Scheibe 17 in der Anfangsstellung
des Apparates stellt ein Maß für .den Koeffizienten A der entsprechenden Sinusfunktion
dar, während die senkrechte Verschiebung der Scheibenmitten ein Maß für :den Beiwert
B der entsprechenden Sinusfunktion gibt. Für die richtige Führung der Gelenkpunkte
ist zu sorgen.
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Es lassen sich Differentialgleichungen höherer Ordnung mit dem Apparat
lösen, wenn für .die Bewegungsabnahme von den Scheibensystemen weitere Angriffspunkte
an den Kurbelschleifen mit dem richtigen Voreilwinkel und .dem entsprechenden Hebelverhältnis
für .die Vergrößerung der Schleifenverschiebung angeordnet werden. Es kann auch
die Verschiebung der Kurbelschleifen gleich einem Differentialquotienten höherer
Ordnung gewählt werden, dann muß durch Einschaltung entsprechender Hebel die Verschiebung
der Hebelpunkte für die Darstellung der Differentialquotienten niedrigerer Ordnung
und der ursprünglich gegebenen Funktion verkleinert werden. Der Verwendungsbereich
des Apparates läßt sich noch erweitern durch die Veränderung der Länge der Stangen
n, i und 9 und Verschiebung des Angriffspunktes der Stange i2 und des Punktes-14
in Abhängigkeit von x. Für Apparate zur Lösung von Differentialgleichungen höherer
Ordnung käme eine sinngemäße Änderung der Stangenlängen lind Angriffspunkte im Übertragungsgestänge
für .die höheren Differentialquotienten hinzu.