DE905676C - Einrichtung zur Integration von Differentialgleichungen hoeherer Ordnung - Google Patents

Description

• Einrichtung zur Integration von Differentialgleichungen höherer Ordnung Das Patent 894 624 betrifft eine Einrichtung zur Integration von Differentialgleichungen außer erster auch solcher höherer Ordnung, wobei eine der Ordnung der Differentialgleichung entsprechende Anzahl von jeweils aus einem Geschwindigkeitsregelorgan und einem daran angeschlossenen Antrieb bestehenden Integrationsstufen funktionell derart hintereinandergeschaltet ist, daß jeder Antrieb das Regelorgan des Antriebes der nächstfolgenden Stufe einstellt und der letzte Antrieb das primär entsprechend der Veränderlichen, also entsprechend der Störfunktion einstellbare Regelorgan der ersten Stufe im rückstellenden Sinn beeinflußt. Sofern die zu lösende Differentialgleichung verschiedene Grade von Differentialquotienten enthält, wird gemäß dem Patent 894 624 das entsprechend der Störfunktion ausgelenkte Regelorgan der ersten Integrationsstufe außer durch einen Antrieb der zweiten Integrationsstufe noch durch den Antrieb der ersten Integrationsstufe mechanisch zurückgestellt. Diese Lösung erscheint unzweckmäßig und baulich viel zu umständlich.
• Gemäß dieser Zusatzerfindung wird bei einer solchen Einrichtung zur Lösung von Differentialgleichungen höherer Ordnung und verschiedenen Grades das Eingangsglied der ersten Integrationsstufe außer von dem Antrieb der letzten Integrationsstufe auch unmittelbar von den Ausgangswerten der ersten oder weiteren Integrationszwischenstufen rückbeeinflußt. Die Überlagerung der Rückführimpulse der einzelnen Integrationsstufen kann mit bekannten Mitteln, z. B. mechanisch durch Differentialgetriebe oder insbesondere elektrisch mittels geeigneter Mischverstärker, z. B. Drehspulrelais oder Röhrenverstärker, erfolgen.
• Die Erfindung soll nachstehend an Lösungsbeispielen für die Differentialgleichungen x IL kl'x+ko'x= f(t) und x@k2.x+kl.x+ko.x=f(t) erläutert werden.
• Zur übersichtlicheren Darstellung der Schaltung ist in der Zeichnung ein einfaches Symbol für den Integrator eingeführt.
• In Fig. i und ia stellt der in das Quadrat eingeschriebene Wert x1 bzw. x", den Integralwert der betreffenden Integralstufe dar, der also bei den in der Zeichnung des Patents 894624 angegebenen Integrationsvorrichtungen durch die Stellung des Integratorhebels wiedergegeben wird. Die Geschwindigkeit des Integralwertes x1 bzw. x" ist verhältlich dem Differentialwert, der auf den Eingang des Integrators einwirkt. Es ist also z1 = k1 - x, bzw. x. = k,n - x._1 .
• In dieser übersichtlicheren Darstellungsweise geben die Fig. 2, 3 und 4 die in Fig. i bis 3 des Patents 894 624 angegebenen Einrichtungen wieder. Es sei nachstehend für diese drei Schaltungsanordnungen der systematische Aufbau erläutert, wobei mit k; (k1, k2 usw.) die Konstanten der hintereinandergeschalteten Integrationseinrichtungen und mit ci (cl, c2 usw.) die Rückführkonstanten bezeichnet sind.
• Die in Fig. 2 symbolisch angegebene Schaltung löst die Differentialgleichung erster Ordnung x +ko.x=f(t). Es ist nämlich xl@kl,xo, Da ferner x, = cl - x1 ist, ergibt sich x1 - cl ' k1 ' x1 = f (t) Mit anderer Benennung der Konstanten k und der Veränderlichen c entsteht dann die vorgenannte Gleichung x -i- k, ' x = f (t).
• Die Anordnung gemäß Fig. 3 (entsprechend Fig. 2 des Patents 894 62q.) löst die Gleichung z+ k, . x=f(t). Bei dieser Anordnung ist xl=kl. xo und x2 = k2 x1 .

  Da x, = c2 - x2 ist, ergibt sich x1 = k1 - c2 - x2.

  Somit ist

  xl=kl-k2.c2»xl.

  Führt man wieder andere Benennungen für die

  Konstanten und Veränderlichen ein, so erhält man die

  vorgenannte Gleichung

  z-F-ko.x=f(t).

  Fig.4 gibt die erfindungsgemäße Schaltung zur

  Lösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung und

  zweiten Grades

  x +k1' x +ko' x=f(t)

  wieder. Es ist wieder

  xl=kl'xo@

  22=k2 XI.

  Da x, = cl # XI -f- c2 * x2 ist, ergibt sich

  XI = k1 . (cl . x1 + c2 . x2).

  Infolgedessen ist

  21 = k1 (cl' x1 -i- c2 ' x 2) = k1 ' cl ' x1 + k1 ' k2 ' c2 ' XI-

  Mit einfacherer Bezeichnung der Konstanten und

  Veränderlichen ergibt sich also wieder vorstehende

  Gleichung

  x -1-k1 ' x -f- ko ' x = f (t)

  Die Schaltungsanordnung gemäß Fig. 5 dient zur

  Lösung der Differentialgleichung

  x+k2-x-f-k,'x-f-ko' x=f(t). Auch bei dieser Anordnung ist zunächst x, = k1 ' x, , x2=k2'xl. x3=k3*x2, wobei x,= cl - k1 +c,- x2 +C.- x3 ist.
• Infolgedessen ergibt sich 1l = k1 (cl ' XI + c2 ' x2 + c3 ' x3) x1 = 4. (cl ' x1 + c2 ' k2 - XI + c3 ' k3 ' x2) , x1 = k1 (cl ' XI + c2 ' k2 ' x1 + c3 ' k3 ' k2 ' x1) Aus der letztgenannten Gleichung ergibt sich unter Verwendung einfacherer Bezeichnungen der Konstanten und Veränderlichen die Gleichung -x+k2'x+kl'x+ko'x=f(t). Die Einbringung der Störfunktion f (t) geschieht bei allen Anordnungen in derselben Form, wie dies im Patent 89q.62¢ beschrieben ist, indem sie nämlich der Bewegung des ersten Integratorhebels, z. B. durch Verstellen der Abgriffsbasis oder mittels eines Differentialgetriebes, additiv überlagert wird. Die Überlagerung der Rückführimpulse cl - x1, c2 - x2 usw. kann ebenfalls mechanisch mittels Differentialgetriebe oder aber besser durch Überlagerung der von den einzelnen Potentiometern der Einrichtung nach dem Patent 894624 abgegriffenen Spannungen in einem Drehspulverstärker oder Röhrenverstärker oder magnetischen Verstärker erfolgen.
• Es ist ersichtlich, daß bei entsprechend weiterer Ausgestaltung der Anordnung gemäß Fig. 4 und 5 alle Gleichungen höherer Ordnung von demselben Typus apparativ verwirklicht werden können.

Claims (1)

1. PATENTANSPRUCH- Einrichtung zur Integration von Differentialgleichungen zweiter oder höherer Ordnung, bei welcher eine der Ordnung der Differentialgleichung entsprechende Anzahl von jeweils aus einem Geschwindigkeitsregelorgan und einem daran angeschlossenen Antrieb bestehenden Integrationsstufen funktionell derart hintereinandergeschaltet ist, daß jeder Antrieb das Regelorgan des Antriebes der nächstfolgenden Stufe einstellt und der letzte Antrieb das primär entsprechend der Veränderlichen [Störfunktion f (t)] einstellbare Regelorgan der ersten Stufe im rückstellenden Sinn beeinflußt, dadurch gekennzeichnet, daß bei Gleichungen vom Typus x+ki' x +ko' x= f (t) und x -i- k2 . x -i- ki . x -I- ko ' x = f (t) die Ausgangswerte jeder Integrationsstufe außer der nächstfolgenden Integrationsstufe auch unmittelbar den Eingang der ersten Integrationsstufe beeinflussen, wobei die Rückführimpulse beispielsweise elektrisch in Mischverstärkern überlagert werden.