DE3744325C2 - Verfahren zur Vorabschätzung des Endwertes einer zu einem Endwert strebenden Schwingungsdauer einer Schwingröhre eines Schwingungs-Aräometers - Google Patents

Verfahren zur Vorabschätzung des Endwertes einer zu einem Endwert strebenden Schwingungsdauer einer Schwingröhre eines Schwingungs-Aräometers

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Description

Die Erfindung betrifft gemäß dem Oberbegriff der Ansprüche 1 und 2 jeweils ein Verfahren zur Vorabschätzung des Endwertes einer zu einem Endwert strebenden Schwingungsdauer einer Schwingröhre eines Schwingungs-Aräometers.
Das Schwingungs-Aräometer z. B. (DE 26 27 954 A1) ist ein Gerät zur Messung der Dichte von Flüssigkeiten, die in eine Schwingröhre eingefüllt werden, auf der Grundlage der Schwingungsdauer T der Röhre. Die Schwingröhre ist häufig eine dünne, U-förmige Röhre.
Allgemein betrachtet, wird die Dichte ρX einer Flüssigkeit, deren Dichte berechnet werden soll, durch die Gleichung
dargestellt. In dieser ist
ρx: Dichte der Substanz, deren Dichte gemessen werden soll,
ρA: Dichte einer ersten Bezugssubstanz A,
ρB: Dichte einer zweiten Bezugssubstanz B,
Tx: Schwingungsdauer der Substanz, deren Dichte gemessen werden soll,
TA: Schwingungsdauer der ersten Bezugssubstanz A,
TB: Schwingungsdauer der zweiten Bezugssubstanz B.
Die Berechnung kann jedoch nur durchgeführt werden, nachdem die Temperatur der Flüssigkeit einen vorbestimmten, stabilen Zustand erreicht hat, da die Schwingungsdauer Tx mit der Temperatur variiert. Gewöhnlich benötigt die Temperatur einige Minuten, bis sie den stabilen Zustand erreicht hat und ein längerer Zeitraum könnte nötig sein, um die Genauigkeit der Messung zu erhöhen. Folglich ist eine rasche Durchführung der Messung nicht möglich, was besonders nachteilig ist, wenn die Dichten verschiedener Flüssigkeiten nacheinander gemessen werden.
Der Erfindung liegt deshalb die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren bereitzustellen, welches rasch die Endschwingdauer T₀ der Schwingröhre liefert.
Diese Aufgabe wird sowohl durch das Verfahren nach Anspruch 1 als auch durch das Verfahren nach Anspruch 2 gelöst. Gemäß diesem Verfahren erfolgt eine Vorabschätzung der Endschwingdauer bevor die Temperatur einen stabilen Zustand erreicht hat.
Nachdem die Schwingröhre mit der Flüssigkeit gefüllt ist, deren Dichte gemessen werden soll, wird gemäß Anspruch 1 die Endschwingdauer auf der Grundlage der Schwingungsdauer T zur Zeit t mit der folgenden Gleichung berechnet:
Hierbei bedeuten:
T₀: letzte Schwingungsperiode,
tT: Konstante, die durch die Anfangstemperatur der Flüssigkeit betimmt wird,
τT: Zeitkonstante, die durch die Art der Flüssigkeit bestimmt wird.
Die Ergebnisse der Berechnung liegen sehr nahe bei den Dichten, die durch tatsächliche Messungen nach Erzielung des Gleichgewichts erhalten werden, was zu einer Verkürzung der benötigten Zeit für die Messung führt.
Vorteilhafte Ausgestaltungen und Weiterbildungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen gekennzeichnet.
Einzelheiten und Vorteile ergeben sich aus der nachfolgenden Beschreibung der Erfindung, die unter Bezugnahme auf die beiliegende Zeichnung näher erläutert wird.
In dieser zeigt
Fig. 1(a) und Fig. 1(b) jeweils ein Beispiel für den zeitlichen Verlauf der Schwingungsdauer in einer graphischen Darstellung und
Fig. 2 einen Vergleich der Meßergebnisse, die durch die vorliegende Erfindung erhalten werden, mit denen, die durch den Stand der Technik erhalten werden, in einer graphischen Darstellung.
Der zeitliche Verlauf der Schwingungsdauer hängt vom zeitlichen Verlauf der Flüssigkeitstemperatur und der Röhrentemperatur ab. Außerdem hängt der Verlauf von der Wärmekapazität der Flüssigkeit ab. Daher kann die Zeitfunktion der Schwingungsdauer nicht für alle Flüssigkeiten gleich sein.
Allgemein betrachtet wird die Beziehung zwischen der Zeit t und der Temperatur x der Flüssigkeit durch eine Exponentialfunktion ausgedrückt:
X₀: Endtemperatur,
τx: Zeitkonstante, die von der Art der Flüssigkeit bestimmt wird,
tX: Konstante, die durch die Anfangstemperatur der Flüssigkeit bestimmt wird.
Fig. 1(a) und 1(b) sind graphische Darstellungen eines Vergleichs der stabilen und instabilen Variationen der Schwingungsdauer T nach tatsächlichen Messungen. In den graphischen Darstellungen wird vorausgesetzt, daß die Schwingungsdauer T eine Exponentialfunktion der Zeit t sein kann. Demgemäß wird eine Gleichung
wobei
T₀: Endschwingungsdauer,
τT: Zeitkonstante, die durch die Art der Flüssigkeit bestimmt wird,
tT: Konstante, die durch die Anfangstemperatur der Flüssigkeit bestimmt wird,
auf der Grundlage der Gleichung (2) angenommen.
Wenn A und B jeweils T₀ und
gesetzt werden, dann kann die Gleichung (3) in die Gleichung
umgeschrieben werden. Die Gleichung (4) wird nach der Zeit t differenziert, um eine weitere Gleichung zu erhalten:
Da die Gleichung
aus Gleichung (4) folgt, kann die Gleichung (5) in eine folgende Gleichung
umgeformt werden.
Wenn
dann erhält man aus der Gleichung (7)
T ′ = α T + β (8)
Der Wert α wird aus (8) nach der Methode der kleinsten Quadrate zur Zeit t nach Beginn der Flüssigkeitszuführung in die Schwingröhre bestimmt.
Der Wert τT wird aus dem Wert α bestimmt.
Der Wert τT, der wie oben beschrieben bestimmt wird, wird in die Gleichung (4) eingesetzt. Der Wert A wird durch Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Gleichung (4) für die Schwingungsdauer T ermittelt. Die Endschwingungsdauer T₀ wird aus A erhalten.
Tafel 1 stellt die auf der wie oben beschriebenen bestimmten Endschwingungsdauer T₀ basierenden, vorabgeschätzten Dichten im Vergleich zu den entsprechenden, nach dem Stand der Technik ermittelten bzw. tatsächlich gemessenen Dichten in verschiedenen Zeitabständen nach Beginn der Einleitung von Flüssigkeit in die Schwingröhre dar.
Tafel 1
Fig. 2 ist eine graphische Darstellung der Werte aus der Tafel 1. Sowohl aus der Tafel als auch aus der graphischen Darstellung ist ersichtlich, daß ein genaues Ergebnis in einer wesentlich kürzeren Zeit durch die Vorabschätzung erhalten werden kann.
Außerdem ist ersichtlich, daß die Genauigkeit der Vorabschätzung erhöht wird, wenn der differenzierte Wert der Schwingungsdauer, d. h. der Veränderungswert in den graphischen Darstellungen aus Fig. 1(a) und 1(b) klein ist. Daher kann die Messung beendet werden, wenn der differentierte Wert ausreichend klein ist.
Da der Wert A gleich β τT ist, erhält man aus der Gleichung (8) den Wert A=T₀, nachdem der Wert τT bestimmt ist. Bei den Werten, die nach der oben beschriebenen Art berechnet werden, ist die Fehlerquote jedoch geringer, da im Wert T′ vergleichsweise große Fehler beinhaltet sein können.
Während des Konvergenz-Prozesses der Schwingungsdauer kann es zu Schwankungen kommen, wie z. B. in Fig. 1 (b) gezeigt. Selbst während der Schwankung, wenn die Methode der kleinsten Quadrate angewendet wird, können die Berechnungsergebnisse anhand der Gleichung (3), wie in Fig. 1 (b) mit einer unterbrochenen Kurvenlinie dargestellt, mit dem Verfahren der vorliegenden Erfindung erhalten werden, was eine genaue Vorabschätzung ermöglicht.
Wie unter Bezugnahme auf die Gleichung (3) definiert, ist τT eine Zeitkonstante, die durch die Art der Flüssigkeit, deren Dichte gemessen werden soll, bestimmt wird, und tT ist eine Konstante, die durch die Anfangstemperatur der Flüssigkeit bestimmt wird. Obwohl einschließlich tT zusammen mit A = T₀ während der Berechnungsdurchführung der Gleichung (4) mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt wird, wird er nicht tatsächlich benutzt.
Wie oben beschrieben, kann die Zeit, die für die Messung der Dichte einer Flüssigkeit benötigt wird, beträchtlich durch das Verfahren der vorliegenden Erfindung verkürzt werden, da die genaue Schwingungsdauer der Schwingröhre und damit die Dichte der in die Röhre gefüllten Flüssigkeit durch Berechnung bestimmt werden, bevor die Temperatur der Flüssigkeit einen stabilen Zustand erreicht hat.

Claims (3)

1. Verfahren zur Vorabschätzung des Endwertes einer zu einem Endwert strebenden Schwingungsdauer einer Schwingröhre eines Schwingungs-Aräometers, bei dem die Dichte einer Flüssigkeit auf der Grundlage der Schwingungsdauer der Schwingröhre, die mit der Flüssigkeit gefüllt ist, bestimmt wird, wobei die Schwingungsdauer von der Temperatur abhängt und die Temperatur einem Gleichgewichtswert zustrebt, gekennzeichnet durch Berechnung des Endwertes T₀, das heißt der Schwingungsdauer im Temperaturgleichgewicht, zu einem Zeitpunkt nachdem die Einleitung der Flüssigkeit in die Schwingröhre beendet ist und bevor die Schwingungsdauer der Schwingröhre ihren Endwert erreicht, auf der Grundlage der Schwingungsdauer T zur Zeit t gemäß einer Gleichung wobei
tT: eine Konstante, die durch eine Anfangstemperatur der Flüssigkeit bestimmt wird, und
τT: eine Zeitkonstante, die durch die Art der Flüssigkeit bestimmt wird.
2. Verfahren nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1, gekennzeichnet durch die folgenden Verfahrensschritte:
  • (a) Nach Beendigung der Einleitung der Flüssigkeit in die Schwingröhre und vor Erreichen des Endwertes der Schwingungsdauer erfolgt die Bestimmung einer Zeitkonstanten τT, die von der Art der Flüssigkeit, abhängt, nach der Methode der kleinsten Quadrate aus der folgenden Gleichung wobei
    T′: zeitlicher Differentialwert der Schwingungsdauer T,
    T₀: Endwert der Schwingungsdauer,
  • b) Die bestimmte Zeitkonstante τT wird in die Gleichung eingesetzt,
    wobei tT eine Konstante ist, die durch die Anfangstemperatur der Flüssigkeit bestimmt wird, und nach der Methode der kleinsten Quadrate wird aus dieser Gleichung (B) der Endwert T₀ der Schwingungsdauer bestimmt.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Messung beendet ist, wenn der zeitliche Differentialwert T′ der Schwingungsdauer T zur Zeit t kleiner als ein vorbestimmter Schwellenwert wird.
DE19873744325 1986-12-29 1987-12-28 Verfahren zur Vorabschätzung des Endwertes einer zu einem Endwert strebenden Schwingungsdauer einer Schwingröhre eines Schwingungs-Aräometers Expired - Fee Related DE3744325C2 (de)

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