DE2608515A1

DE2608515A1 - Doppel ungerade diskrete fourier- transformationsanordnung

Info

Publication number: DE2608515A1
Application number: DE19762608515
Authority: DE
Inventors: Georges Bonnerot
Original assignee: Telecommunications Radioelectriques et Telephoniques SA TRT
Current assignee: Telecommunications Radioelectriques et Telephoniques SA TRT
Priority date: 1975-03-05
Filing date: 1976-03-02
Publication date: 1976-09-16
Also published as: DK144629B; CA1057400A; SE406254B; SE7602933L; DK144629C; DK89076A; AU500735B2; GB1540883A; DE2608515C2; FR2303326B1; BE839153A; NL7602083A; JPS5611181B2; JPS51112242A; FR2303326A1; US4051357A; AU1160176A; CH627010A5

Description

PHF 7552k

WIJ/Sp/RJ T) r. TI * r 1· ρ r ί SjbI» ο 1 ?! 2 2] .' 2 . 7

I'aii'ii! .ι:-.wait _ ,

"Doppel ungerade diskrete Fourier-TraiisformationsanOrdnung".

Hintergrund der Erfindung.

(A.I) Bereich der Erfindung

Die Erfindung bezieht sich auf eine Anordnung zum Berechnen von Fourier-Koeffizienten C eines reellen Eingangssignals, welches Eingangssignal einer Reihe von N zeit- und amplitudendiskreten Abtastwerten X entspricht, welche Anordnung mit einer VorverarbeitungsanOrdnung versehen ist, der über einen Eingangskreis N Abtastwerte X, zugeführt werden und die mit einer Speicheranordnung mit mindestens zwei Aus-

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24.2.76

gangen versehen ist; weiter mit einer ersten Multiplizieranordnung zum Multiplizieren komplexer Zahlen, welche Anordnung an die Ausgänge der genannten Speicheranordnung und eine-s Komplexzalxlgenerators angeschlossen ist; und weiter mit einer DFT-Recheneinheit, die an die genannte Multiplizieranordnung angeschlossen ist.

Eine derax-tige Anordnung ist für Spektral- ' analyse oder zum Filtern von Signalen verwendbar.

(A,2) Beschreibung des Standes der Technik. Die Berechnung der diskreten Fourier-Transformation einer Reihe äquidistanter Abtastwerte eines Signals war der· Gegenstand bereits vieler Veröffentlichungen. Siehe beispielsweise den Literaturhinweis 1 des Paragraphen (d). Die wirtschaftlichste Art und Weise der Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) ist unter den Namen "Fast Fourier Transform" (FFT), d.h. die schnelle diskrete Fourier-Transformation bekannt.

Wenn die Reihe durch N Abtastwerte eines reellen Signals gebildet wird, entspricht für eine FFT die Anzahl durchzuführender Bearbeitungen der Anzahl Berechnungen, die von der FFT durchgeführt wird, wenn die Reihe durch N komplexe Abtastwerte gebildet wird. Infolge der Eigenschaften reeller Signale ist die Anzahl Bearbeitungen, die in einem

: PHF

^J 2H.2.76

FFT durchgeführt wird, wenn ihr reelle Signalabtastwerte zugeführt werden, unnötig hoch. Wie im Literaturhinweis 2 beschrieben ist, kann die Anzahl Bearbeitungen an N reellen Abtastwerten auf eine Anzahl zurückgebracht werden, die der Anzahl Bearbeitungen, die an N/2 komplexen Abtastwerten durchgeführt werden muss, nahezu entspricht.

Bei diesen? bekannten Anordnung wird von einer FFT ausgegangen, die auf übliche Weise aufgebaut ist und sich ausschliesslich zum Verarbeiten komplexer Signalabtastwerte und zum Erzeugen komplexer Fourier-Koeffizienten eignet. Mittels einer Vorverarbeitungsanordnung und der ersten Multiplikationsanordnung werden die reellen Signalabtastwerte in komplexe Zahlen ungewandelt, die der FFT zugeführt werden.

Wenn, wie für Signale mit bestimmten Symmetrieeigenschaften, die Fourier-Koeffizienten reell sind, kann die Anzahl durchzuführender Bearbeitungen noch weiter verringert werden und zwar kann diese Anzahl Bearbeitungen auf etwa N/4 im Vergleich zu der Anzahl Bearbeitungen in einer herrkömmlichen FFT (siehe Literaturhinweis 3) zurückgebracht werddn. Zum Erreichen dieser Verringerung der Anzahl durchzuführender Bearbeitungen wird die herkömmliche Sti-uktur der FFT geändert, was unerwünscht oder

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9 R Π 8 ^ 1 5 ^PHF ^7552k

ZOUÖO I O 24.2.76 ■

sogar bei einer als Bauelement gemeinten FFT-Recheneinlieit unmöglich ist.

(Β) Zusammenfassung der Erfindung.

Die Erfindung bezweckt nun, eine Anordnung der eingangs erwähnten Art zu schaffen und zwar zum Umwandeln reeller Abtastwerte eines reellen Zeitsignals in reelle Fourier-Koeffizienten unter Verwendung einer herkömmlichen FFT.

Entsprechend der Erfindung ist dazu die Speicheranordnung derart eingerichtet um an seinen Ausgängen N/4 Signalabtastwerte X. und N/4 Signalabtastwerte N . zu erzeugen, wobei die Signalab-

2 ^{+ X}
tastwerte X. und X„ um N/2 Abtastwerte gegenüber

2 ^{+ i}

einander verschoben sind; welche Multiplizieranordnung zum Erzeugen von N/4 komplexen Abtastwerten Z. infolge der Paare von Ausgangsabtastwerten X., X_n-

der Speicheranordnung und der vom Komplexzahlgenerator erzeugten komplexen Zahl eingerichtet ist; welche DFT-Recheneinheit infolge der N/4 komplexen Abtastwerte Z., N/4 komplexe Signale & erzeugt; und wobei weiter eine zweite Multiplizieranordnung vorhanden ist, der die genannten Signale . O" zugeführt werden, sowie ein zweiter Komplexzahlgenerator, der der genannten zweiten Multiplizieranordnung zugeordnet ist, welche zweite Multiplizieranordnung infolge der ihr zugeführten Signale

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_OßnQr λ r PHF 7552k

2bUöb I b 24.2.76

und komplexe Zahlen die reellen Zahlen C und

die reellen Zahlen C^. als Real- bzw. Imaginärteil

2 ^{+ q}
einer komplexen Zahl C + j C„ liefert.

^q 2 ^{+ q} Durch Anwendung der erfindungsgemässen Mass-

, nahmeji kann eine FFT der Oi'dnung N/4 angewandt werden .

(c) Kurze Umschreibung der Figuren.

Fig. 1 zeigt an Hand einiger Diagramme den ■ Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzdomänenabtastwerten für eine herkömmliche FFT;

Fig. 2 zeigt ein Blockschaltbild einer herkömmlichen FFT;

Fig. 3 zeigt die Anordnung nach der Erfindung,

Fig. 4 zeigt eine Reihe Signalabtastwerte, die der erfindungsgemässen Anordnung zugeführt wird;

Fig. 5 zeigt an Hand einiger Diagramme den Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzdomänenabtastwerten für die erfindungsgemässe Anordnung.

(p) Bezugsmaterial

1. Digital Signal Processing; Part 2; L.R. Rabiner, C.M.Radar; IEEE Press 1972.

2. Real Signals Fast Fourier Transform Storage Capacity and Step Number Reduction by Means of an Odd Discrete Fourier Transform; J.L. Vernet; Proceedings of the IEEE, October 1971; Seiten 1531 - 1532. . '

24.2.76

3· A Fast Fourier Transform Algorithm for Symmetrie Real Valued Series; H. Ziegler; IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Heft AU-20, No. 5j December 1972; Seiten 353 - 356.

(Ε.I) Die herkömmliche DFT.

Die herkömmliche DFT wird wie folgt definiert :

η = O

In dieser Beziehung ist C, der k. zu berechnende Fourier-Koeffizient, X ein Eingangssignalabtastwert, N die Anzahl in Betracht gezogener Eingangssignalabtastwerte X ; j = ι/ —1 und η und k sind ganze Zahlen mit den Werten 0, 1, 2, ... N-1.

Auf entsprechende Weise wird die inverse diskrete Fourier-Transformation wie folgt definiert:

N - 1 r-

X=) CL. exp /2Tj. -tM (²)

Der Zusammenhang, der durch die DFT oder die inverse DFT zwischen die Zeitdomäne und die Frequenzdomäne gelegt wird, ist in Fig. 1 auf schematische Weise dargestellt. Im Diagramm.1a sind N Signalabtastwert X_n, X₁, X , ... Xvr-j dargestellt. Diese Signalab tastwerte treten zu den Zeitpunkten 0, T, 2T, . . .

SQ9838/Q353

(N-1)T auf. Mit Hilfe der in der Beziehung (i) definierten DFT können mit diesen. N Signalabtastwerten N Fourier—Koeffizienten C , C , C₀ , ... G._{T 1} berechnet werden. Insbesondere sind diese Koeffizienten Abtastwerte des Frequenzspekti-ums des Signals, das durch die Signalabtastwerte X , . .., X_M - repräsentiert wird. Diese Frequenzabtastwerte sind bei den Fre-

12 1

quenzen O, —, —, ... (N-1) ~ genommen. Diese Frequenzabtastwerte sind im Diagramm 1b dargestellt.

Umgekehrt können mit Hilfe der in der Beziehung (2) definierten inversen DFT aus den Frequenz abtastwert en C , ... G des Diagramms 1b die Signalabtastwerte X_n, ... X,. ₁ des Diagramms 1a abgeleitet werden.

Die Berechnungen zum Effektuieren des Ausdrucks (1) bzw. (2) sind vom selben Typ. Die untenstehende Beschreibung wird sich deswegen auf das Effektuieren des Ausdrucks (i) beschränken.

Die herkömmlichen Fourier-Transformätionsanordnungen sind zur Behandlung komplexer Signalabtastwerte und zur Lieferung komplexer Fourier-Koeffizienten entworfen worden. Eine derartige Fourier-Transformationsanordnung der Ordnung N kann, wie in Fig. 2 dargestellt, als eine Recheneinheit 1 betrachtet werden, die mit N Eingangspaaren (a_n» ^_n)' (a₁, b ) ... (a^ .j, b " .) versehen ist, denen die

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komplexen Zahlen X , X₁J ··· X^ ₁ zugeführt werden und die mit N Ausgangspaaren (d > ^en) ' (^t > ^e-i) ··· (d .., e ) versehen ist, an denen die komplexen Zahlen C , C ... C ₁ auftreten. Der Recheneinheit 1 werden weiter die komplexen Koeffizienten exp

j - 2 ff j —■ \ mit η =0, 1, 2, . . . (N-1) und k = 0, 1, 2, ... (Ν-!) zugeführt. Diese komplexen Koeffizienten werden von einem Speicher 2 geliefert. Ausgehend von diesen komplexen Koeffizienten und von komplexen Eingangszahlen X , X₁, ... X^ ₁ berechnet die Einheit 1 entsprechend der Formel (i) die komplexen Zahlen C_n, C₁ ... G^ .., die an den obengenannten Ausgangspaaren verfügbar werden.

Mit einer derartigen herkömmlichen DFT werden viele überflüssige Berechnungen durchgeführt falls die Fourier-Koeffizienten eines reellen Zeitsignals bestimmt werden müssen, das ausschliesslich reelle oder ausschliesslich imaginäre Fourier-Koeffizient en enthält.

Die Anordnung entsprechend der vorliegenden Erfindung ermöglicht es mit einfachen Mitteln den Speicherraum auf ein Viertel zu reduzieren und falls N gross ist, die Anzahl durchzuführender Berechnungen auf etwa ein Viertel zurückzubringen.

(E.2) Die diskrete doppel ungerade Fourier-Titans format ions an Ordnung.

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9 ß D 8 5 1 5 ^PHF ^7552k

ZDUOOlO 24.2.76

Die erfindungsgemässe Anordnung ist in Fig. 3 dargestellt. Diese Anordnung enthält eine Speicheranordnung 4, in der über einen Eingang 3 die Signalabtastwerte eingeschrieben werden. Diese Speicheranordnung 4 ist dabei als Schieberegister mit N Registerteilen 4(o) - 4(N-1) ausgebildet, die je zum Speichern eines vollständigen Signalabtastwertes X eingerichtet sind. Zugleich enthält diese Anordnung

eine erste MultiplizieranOrdnung 51 die mit v* Eingängen R(O), Ria), R(4),...R(| - 2) und N/4 Eingängen l(0), 1(2), 1(4), ...I (^ - 2) versehen ist. Die Signalabtastwerte, die in den Registerteilen mit einer geraden Rangnuminer gespeichert sind und die einen Teil des linken Teuls des Registers 4 bilden, werden, wie in der Figur dargestellt, den Eingängen R(i) zugeführt. Die Signalabtastwerte, die in den Registerteilen mit einer geraden Rangnummer gespeichert sind, und die zum rechten Teil des Registers 4 gehören, werden, wie in der Figur dargestellt, nach Polaritätsumkehrung den Eingängen l(i) der Multiplizieranordnung .5 zugeführt. Die obengenannte Polaritätsumlcehrung ist in der Figur auf symbolische Weise mittels Inverter 6,... 8 angegeben. Der einem Eingang R(x) zugeführte Signalabtastwert wird nun als der reelle Teil einer komplexen Zahl betrachtet, deren imaginärer Teil durch.den Signalabtastwert gegeben

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24.2.76

wird, der dem zugehörenden Eingang l(i) zugeführt wird. Dem Eingangpaar R(2m), J(^m) wird folglich beispielsweise die komplexe Zahl X„ - j X^

^m 2 ^{+ 2m} zugeführt.

In der MuItiplikationsanOrdnung 5 wird diese komplexe Zahl (X„ - j X^. ) mit der komplexen

ΪΊ 2 ^{+ 2m}

Zahl I - 2^/"j —^ j , deren Wert für jeden Wert "

I -

von m (m = 0, 1,2, . . . η- - Λ) einem Speicher 9 entnommen wird, multipliziert. Diese Multiplizieranordnung liefert nun N/4 komplexe Zahlen Z„ (m = 0, 1, 2, ··· Τ - 1)· Diese komplexen Zahlen werden.nun einer herkömmlichen DFT 10 der Ordnung N/4 zugeführt. Diese DFT liefert N/4 komplexe Zahlen <j (q = 0, 1, 2, -j- - 1). Zur Bestimmung dieser

komplexen Zahlen Ö7 werden der DFT 10, Koeffizienten zugeführt,, die ebenfalls dem Speicher 9 entnommen werden. Die η- komplexen Zahlen <_/_? werden den Eingangspaaren einer zweiten Multiplizieranordnung 11 zugeführt, die der ersten Multiplizieranordnung 5 entspricht. Die komplexen Zahlen <5~Z werden darin abermals mit einer komplexen Zahl

exp I - 2^~j —τι j , deren Wert bei jedem Wert

Γ ^{q +} ti

J - ZTfj —~ J ,

/ N \ ■

von q (q = 0, 1, 2,·... ητ - 1) dem Speicher 9 ent-.

rird, multiplizii

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N nommen wird, multipliziert. Die η- auf diese Weise

2 6 G 8 51 5 HiF 75521*

24.2.76

gebildeten Produkte sind an den komplexen Ausgangspaaren R'(0)_s I'(0), ... R«( I - 2), I« (| - 2) der Multiplizieranordiiung 1 1 als N komplexe Zahlen (C + j C„ ) verfügbar. Das Ganze aus den N

~2 ⁺ ^
reellen Abtastwerten'der Frequenzdomäne wird nun

N auf die folgende Weise erhalten: an den 77 reellen Ausgängen R'(2q) (q = 0, 1, 2, . , . η- - 1) sind die

τ· Abtastwerte C~ verfügbar. Durch Umkehrung des Vorzeichens dieser Abtastwerte C_? und zwar mit Hilfe der Schaltungen 12, lh, l6, werden die ^

N Abtastwerte ^₁₂ erhalten. An den 77 imaginären

f \ N

Ausgängen I¹^qJ sind die 77 Abtastwerte C

7Γ + 2q

vorhanden. Durch Umkehrung des Vorzeichens dieser Abtastwerte G._T und zwar mit Hilfe des Schal-

tungen 13» 15» 17 werden die η- Abtastwerte·

G^ erhalten.
§ -1-2q

(F/.2) Mathematische Grundlage. Der erfindungsgemässen Anordnung liegt eine neue diskrete Fourier-Transformation zu Grunde. Diese neue Transformation wird als doppel ungerade diskrete Fourier-Transformation bezeichnet. Diese Transformation wird gekennzeichnet durch die Beziehung: N-1

;r *_n · «ρ I - zKi j ₍₃)

n=0

803838/.0853

Diese Beziehung, in der η und k ganze Zahlen sind, und wobei η sowie k die Werte 0, 1, 2, 3»···Ν-1 annehmen, ordnet ebenso wie die im Ausdruck (i) definierte Fourier-Transformation N Abtastwerten X

eines Signals N Fourier-rKoeffizienten C zu, wobei

JKl

X und C im allgemeinen Fall komplexe Zahlen sind." η lc

Wenn T das Intervall zwischen den Abtastwerten X des Zeitsignals ist, kann die exponentielle Funktion in der doppel ungeraden DFT des Ausdrucks (3) wie folgt geschrieben werden:

exp

Daraus folgt, dass die Werte der exponentiellen Funktion zu. den Zeitpunkten (2n+i) — genommen wer-

T den müssen, die ungerade Vielfache von — sind und.

2k+1
bei den Frequenzen —, die ungerade Vielfache der Frequenz sind.

Daraus geht hervor, dass die döppel ungerade DFT(3) ausgehend von Abtastwerten X eines Zeitsignals, die zu:.¹ Zeitpunkten X2n+1)— genommen sind,

T d.h. zu ungeraden Vielfachen von — , Fourier-Koeffizienten C, liefert,die auf ungeraden Vielfachen der Frequenz liegen. In Fig. 5 ist dies auf schematische Weise dargestellt. Insbesondere sind im Diagramm 5& die Signalabtastwerte X_n» X₁> ··· X_n -

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24.2.70

τ τ

dargestellt, die zu den Zeitpunkten —, 3"^"» ··· (2N-1)— auftreten. Im Diagramm 5b sind die Fourier-Koeffizienten C , C₁, ... G^. dargestellt, die durch, die doppel ungerade DFT erhalten sind un die bei den Frequenzen ^j, -^^, ... auftreten. .

Ausser einer doppel ungeraden diskreten Fourier-Transformation kann auch eine inverse doppel ungerade diskreten Fourier-Transformation wie folgt angegeben werden:

N-I _r

^Xn = n^O ^Ck

Durch. Verwendung der Eigenschaften der exponentiellen Funktionen lässt sich darlegen, dass die doppel ungerade DFT die folgenden Eigenschaften aufweist:

- Wenn die Abtastwerte X des Signals reell sind, sind die komplexen Fourier τ-Ji ο effizi en ten derart, dass:

°k ⁼ -^CN-1-k ^

in der C der komplexe Mehrwert von C_{AT 1} ₁ darstellt.

- Wenn die Fourier-Koeffizienten C reell sind, sind die komplexen Signalabtastwerte derart, dass:

X = ZxT _Λ ' (6)

η N-1-η ^ν '

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^PHF

zk.2.76

- Aus den beiden Eigenschaften (5) und (6) folgt, dass wenn die Abtastwerte X sowie die Fourier»

Koeffizienten C reell sind, dass:

JtC

= "^CN-1-k

Mit Hilfe der obenstellenden Ausdrücke wird nun dargelegt, dass in der erfindungsgemässen Anordnung nach. Fig. 3 eine doppel ungerade diskreten Fourier-Transformation durchgeführt wird.

Aus dem Ausdruck (8) folgt, dass es genügt entweder die Koeffizienten mit einer geraden oder die mit einer ungeraden Rangnummer zu berechnen, da die Koeffizienten mit einer ungeraden bzw. geraden Rangnummer daraus abgeleitet werden können. Wex·- den nun insbesondere die Koeffizienten mit einer geraden Rangnummer berechnet, so geht der Ausdruck (3)> wenn dabei k dem Wert 2q entspricht (mit q = 0, 1, 2, ... ~

Die Reihe von N Abtastwerten X

(mit O^ n< N-I) kann in eine Reihe mit N/2 Abtastwerten X (mit O^ η ^ — - 1) und eine Reihe

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2h.ζ.η β

mit — Abtastwerten X (mit O < η <f -5- - 1) auf-

geteilt werden. Wenn nun die bekannten Eigenschaften der exponentiellen Funktion verwendet werden, geht der Ausdruck (9) in den folgenden Ausdruck

^N 1

ΊΓ ·'· r "Ί

η ¹ ^ (ν α γ ^* I ο-π-· (^q+1) (2η+1) | _Ιλ _λ

^e2q ⁼ N -^-7T ^(Xn"^{J Χ}Ν ^{} eXp} \~^^ ' ^N ^¹⁰)

^ η=0 —+η L. J

Wenn nun die Reihen von Abtastwerten X und 3C_T

η Ti

₂ + η

derart betrachtet werden, dass sie aus Abtastwerten mit einer geraden Rangnummer X und X und

TjT + 2m

Abtastwerten mit einer ungeraden Rangnummer

^X2m+1 ¹^ ^XN , mit m = 0, .1 , 2, 3, | - 1

— + 2m+1

zusammengestellt sind, kann der Ausdruck (1O) wie folgt geschrieben werden:

N > ^(X2m " ^{d X}N ). exp m = 0 ■ ^+dm

Γ ο IT λ (^q + I)(4m + 1)Ί

iP₍₁' ,

N *■ ^v 2m.+ 1 " ^J „ _ _Λ

m = 0 — + 2m+l

I ,1T^ (4q + l)(2im + 3) /

809838/0853

Durch den Ausdruck (11) werden nun — Fourier— Koeffi-

zienten C , mit q = 0, 1, 2, ... \n ~ 1) definiert.

N N

Diese — Fourier-Koeffizienten können in j- Fourier-

N N

mit .q = 0, 1 , 2, ... ^-1 und £

η ten 0_ΛΤ

+2q

Koeffizienten C

N Fourier-Ko effizient en C_T mit q = 0, 1, 2, . . .v- -

aufgeteilt werden. Durch. Verwendung des Ausdruckes

(11) zum Berechnen der Koeffizienten C und
^x ' 2q

C (mit 0 <^ q <^ τ--1 ) und durch Verwendung der
I ^{+ 2q}

bekannten Eigenschaften der exponentiellen Funk-

N
tionen lässt sich darlegen, dass η- komplexe Zahlen

C_ + jC erhalten werden können, die dem nach-^2q |+2q

folgenden Ausdruck entsprechen:

^C2q ^{+ J 0}N _o - N ^ ^^X2m °'*N _ ) . exp

2 ^q m = 0 ^⁺

-27TJ I (12)

Dieser Ausdruck lässt sich weiter vereinfachen zu:

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PHP 7552h 24.2.76

2 ^q

= - . exp

- *Π

(13)

N 4 -	1	ms N 4	*/ y ■ -γ"**
*y			^dm \|+2m
m =	O
-a 1,	'j

Entspricht nun das Eingangssignal dem Ausdruck (7)* so sind alle Fourier-Koeffizienten reell und der Real- und der Imaginärteil des Ausdrucks (12) oder (13) stellt dann je einen Fourier-Koeffizienten dar. Die N/4 komplexen Ausgangszahlen der Multiplikationsanordnung 11 nach Fig. 3 sind also N/2 reellen Fourier-Koeffizienten gleichwertig. Die übrigen N/2 Fourier-Koeffizienten werden nun mit Hilfe des Ausdrucks (8) berechnet.

Obenstehend wurde nur derjenige Fall beschrieben, im den reelle Zeitsignalabtastwerte in reelle Frequenzsignalabtas-twerte umgewandelt werden und zwar durch Verwendung des Ausdrucks (3). Venn nun vom Ausdruck (4) ausgegangen wird, lässt sich darlegen, dass die Anordnung nach Fig. 3 sich auch zum Umwandeln von reellen Frequenzsignalabtastwerten in reelle Zeitsignalabtastwerte eignet. Aus

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? R Π 8 S 1 5 ^PIIF ^755Zk

/OUÖO IO -4.2.76

dem Ob en s teilenden geht hervor, dass die Zahl N, die in der erfxndungsgemässen Anordnung auftritt, ein Vielfaches von 4 sein muss, was selbstverständlich.

keine Beschränkung in bezug auf die Anzahl umzuwan-

N delnder Abtastwerte ist. ¥enn τ- eine Potenz von 2 ist, wird man vorzugsweise bekannte Algorithmen der DFT zur Verwirklichung der Anordnung 10 anwenden.

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Claims

24.2.76

PATENTANSPRÜCHE:

Anordnung zum Berechnen von Fourier-Koeffizient en C eines reellen Eingangssignals, welches Signal einer Zeitreihe von N zeit- und amplitudendiskreten Abtastwerten X₁ entspricht, welche Anordnung mit einer Vorverarbeitungsanordnung versehen ist, der über einen Eingangskreis N diskrete Abtastwerte X zugeführt werden und die mit einer Speicheranord-

nung mit mindestens zwei Ausgängen versehen ist; weiter mit einer ersten Multiplizieranordnung zum Multiplizieren komplexer Zahlen, welche Anordnung an die Ausgänge der genannte Speicheranordnung und eines Komplexzahlgenerators angeschlossen ist; weiter mit einer DFT-Recheneinheit, die an die genannte Multiplizieranordnung angeschlossen ist, dadurch gekennzeichnet, dass die Speicheranordnung dazu eingerichtet ist, an seinen Ausgängen N/4 Signalabtastwerte X. und N/4 Signalabtastwerte X^ zu erzeugen, wo-

"*" — j.-5

2 bei die Signalabtastwerte X.

und X um N/2 Abtastwerte gegenüber einander -₊i

verschoben sind; welche Multiplizieranordnung dazu eingerichtet ist, N/4 komplexe Abtastwerte Z.'infolge der Paare von Ausgangsabtastwerten X., X^,. der

2^+X

Speicheranordnung und der von dem Komplexz~ahlgenerator erzeugten komplexen Zahl zu erzeugen; welche

24.2.76

DFT-Recheneinheit infolge der N/4 komplexen Abtastwerte Ζ..,. N/4 komplexe Signale (J~ erzeugt; wobei weiter eine zweite Multiplizieranordnung vorhanden ist, der die genannten Signale ζ$~ zugeführt werden, sowie ein zweiter Komplexzahlgenerator, der der genannten zweiten Multiplizieranordnung zugeordnet ist, welche zweite Multiplizieranordnung infolge der ■ihr zugeführten Signale CJ und komplexen Zahlen

C die reellen Zahlen C und die reellen Zahlen N

q 2^+q

als Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl C + j C liefert.

2. Anordnung zum Berechnen reeller Signalabtastwerte X eines reellen Signals aus den reellen Fourier-Koeffizienten C des Signals, welche Anordnung mit einer Vorverarbeitungsanordnung versehen ist, der über einen Eingangskreis N Fourier-Koef- * fizienten zugeführt werden und die mit einer Speicheranordnung mit mindestens zwei Ausgängen versehen ist; weiter mit einer ersten MultiplizieranOrdnung zum Multiplizieren komplexer Zahlen, welche Anordnung an die Ausgänge der genannten Speicheranordnung und eines Komplexzahlgenerators angeschlossen ist; weiter mit einer DFT-Recheneinheit, die an die genannte Multiplizieranordnung angeschlossen ist, dadurch gekennzeichnet, dass die Speicheranordnung dazu ein-

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24.2.76

gerichtet ist, an ihren Ausgängen N/4 Koeffizienten C. und N/4 Koeffizienten C zu erzeugen, wobei die

Koeffizienten C. und'C um N/2 Koeffizienten gegen-

⁺ⁱ

über einander verschoben sind; welche MultiplizieranOrdnung zum Erzeugen von N/4 komplexen Abtastwerten ö"· infolge der Paare von Ausgangskoeffizienten

C, G_n. der Speicheranordnung und der vom Komplex- ⁺ⁱ

zahlgenerator erzeugten komplexen Zahl eingerichtet ist; welche DFT-Recheneinheit infolge der N/4 komplexen Abtastwerte Cf. , N/4 komplexe Signale Z.
erzeugt; wobei eine zweite Multiplizieranordnung
vorhanden ist, der die genannte Signale Z. zugeführt werden, sowie ein zweiter Komplexzahlgenerator, der der genannten MultiplizieranOrdnung zugeordnet ist, welche zweite Multiplizieranordnung infolge der ihr zugeführten Signale Z. und der komplexen Zahlen die reellen Zahlen X. und die reellen Zahlen X_n als

Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl X. +
j X liefert.

3· Anordnung nach Ansoruch 1, in der die von
der Speicheranordnung abgegebenen Signalabtastwerte

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? B Π 8 S1 5 ^PHF

21OU OO IQ 24.2.76

X. und X^. als komplexe Zahl X. - j X^ der ersten ^{+i X +i}

Multiplizxeranordnung zugeführt werden, dadurch gekennzeichnet, dass diese komplexen Zahlen (X — jX

^m —+2m

mit komplexen Koeffizienten multipliziert werden, die die Werte einer exponentiellen Funktion sind, deren

Exponent dem ¥ert -2iTj 8 entspricht, wobei i

N eine ganze Zahl ist mit 1 = 0, 1, 2, ... τ;-1·

k. Anordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die komplexen Zahlen <5" , die der zweiten Multiplizxeranordnung zugeführt werden, mit komplexen Koeffizienten multipkiziert werden, die je der Wert einer exponentiellen Funktion sind, deren

J. Exponent dem Wert - 2 "Tf j _ 8 entspricht, wobei

N q eine ganze Zahl ist, die zwischen 0 und -j· -1 variiert.

5. Anordnung nach Ansoruch 2, in der die von der Speicheranordnung abgegebenen Koeffizienten C. und C,_T als komplexe Zahl C.-j C„_T der ersten

Xn - "1 l\j

Multiplizxeranordnung zugeführt werden, dadurch gekennzeichnet, dass diese komplexen Zahlen C-j C_M

mit komplexen Koeffizienten multipliziert werden, die die Werte- einer exponentiellen Funktion sind,

■ ■■

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^{1 +} "8 deren Exponent dem Wert 2 *JTZ entspricht, wo-

N bei i eine ganze Zahl ist mit i=O, 1, 2, . .., IT"''·

6. Anordnung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass die komplexen Zahlen Z., die der zwei ten Multiplizieranordnung zugeführt werden, mit komplexen Koeffizienten multipliziert werden,.die der Wert einer exponentxellen Funktion sind, deren Ex-

ponent dem Wert 2 TT^ J §. entspricht, wobei i

N eine ganze Zahl ist mit i = O, 1, 2, . . · -τ - 1.

609838/0853 _0B!G1Nal R4SPECTED

, in .